Luentomoniste: Argumentaatioteoria Yleisopinnot Yhteiskuntatieteellinen tiedekunta

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Luentomoniste: Argumentaatioteoria Yleisopinnot Yhteiskuntatieteellinen tiedekunta"

Transkriptio

1 Luentomoniste: Argumentaatioteoria Yleisopinnot Yhteiskuntatieteellinen tiedekunta Sisältö: I Argumentti II Argumenttidiagrammit III Argumentin arviointi IV Implisiittiset premissit V Deduktiiviset argumentit VI Induktiiviset argumentit VII Virhepäätelmät VIII Akateeminen debatti (Lähde: John Eric Nolt: Informal Logic: Possible Worlds and Imagination, McGraw Hill: New York.1984) I Argumentti Argumentin rakenne Argumentti on strukturoitu lausejoukko, jossa yhden joukon jäsenistä väitetään seuraavan joukon muista jäsenistä. Argumentti koostuu premisseistä ja johtopäätöksestä. On syytä huomata, että määritelmä olettaa vain, että yhden lauseen katsotaan seuraavan toisista, ei sitä, että kyseinen lause tosiasiassa seuraa muista joukon jäsenistä. Argumentille on siis olennaista intentio osoittaa jonkin seuraavan jostain muusta. Esimerkiksi: (1) Iso määrä historiallisia dokumentteja kertoo, että noidat ja taikurit ovat hallinneet aidosti yliluonnollisia voimia. Nämä dokumentit ovat uskottavia. Siis, noidat ja taikurit ovat hallinneet aidosti yliluonnollisia voimia. Tämä on argumentin standardimuoto. Tekstissä argumentit voivat esiintyä monessa muodossa ja tarkastelemme tässä monisteessa niiden tunnistamista, argumenttidiagrammien laadintaa ja arviointia. Argumentin tarkoitus on siis osoittaa jokin lause uskomisen arvoiseksi. Toisaalta voimme tietysti todeta, että tämä ei ole argumentaation ainoa tavoite: argumentilla voidaan pyrkiä myös viihdyttämään, hurmaamaan tai hämäämään. Seuraavassa tarkastelemme kuitenkin vain tätä keskeistä funktiota: järkevien uskomusten hankkimista. Argumentti voi olla joko yksinkertainen tai kompleksi. Ajattelemme jokaisella argumentilla olevan vain yksi johtopäätös. Yksittäistä siirtymää perusteesta johtopäätökseen kutsutaan päätelmäksi. Argumentin arviointi koostuu kahdesta seikasta: perusteiden totuudellisuuden arvioinnista ja päättelyn vahvuuden arvioinnista. a) Kaikki haltiat juovat viiniä. Arwen on haltia. Siis, Arwen juo viiniä. b) 95% haltioista juo viiniä. Arwen on haltia. Siis, Arwen juo viiniä. c) Jotkut haltiat juovat viiniä

2 Arwen on haltia. Siis, Arwen juo viiniä. Deduktiivinen argumentti takaa johtopäätöksen totuuden, jos premissit ovat tosia, induktiivinen argumentti tekee johtopäätöksen todennäköiseksi, jos premissit ovat tosia. Virhepäätelmä ei tee johtopäätöstä todennäköiseksi, vaikka premissit ovat tosia. Argumentin tunnistaminen Argumentin tarkoitus on siis todistaa jonkin väitteen olevan totta tai todennäköistä jonkin muiden väitteiden perusteella. On tietysti olennaista, että tunnistamme argumentit, jotka eivät normaalisti esiinny käyttämässämme standardimuodossa. Esimerkiksi: Millainen ääliö sinä oikein luulet minun olevan? En koskaan menisi treffeille sen huijarin kanssa. Teknisesti tämä ei ole argumentti, koska siinä on kysymys. Lauseet on siis muutettava väitelauseiksi. Tämä muuntunee muotoon: En ole ääliö. Siis, en koskaan menisi treffeille sen huijarin kanssa. Teksteissä johtopäätöstä ja premissejä osoitetaan usein eri keinoin. Kielellisiä indikaattoreita johtopäätöksen ilmaisemiseen ovat esimerkiksi: siis, siten, joten, näin ollen, niin ollen, tästä syystä, tästä johtuen, siitä seuraa että, tästä voidaan päätellä, tämä osoittaa, tämä tarkoittaa, tästä voimme päätellä, johtopäätös on että ja lopputulemana. Premissejä ilmaisevia indikaattoreita ovat esimerkiksi: koska, sillä olettaen että, tietäessämme että, näin on koska, syystä että, ottaen huomioon että, kuten voimme päätellä siitä että. Argumenttia arvioitaessa näihin ei kuitenkaan saa luottaa sokeasti, vaan meidän on harkittava lauseiden suhteita muutenkin. Indikaattorit ovat kuitenkin tärkeitä vihjeitä siitä mitä kirjoittaja tai puhuja tarkoittaa. Selitykset ja kausaaliset kuvaukset Suurin sekaannuksen aiheuttaja argumenttien tunnistamisessa on argumentin ja selityksen ero: ne näyttävät usein samanlaiselta ja käyttävät usein samanlaisia indikaattoreita. (Tämä lause tulisi tulkita selitykseksi) Varsinkin sana koska voi toimia molemmissa merkityksissä Argumentissa johtopäätös on periaatteessa aina epävarma ennen argumenttia, selityksessä näin ei ole. Myös kausaaliset kuvaukset, siis syyn ja seurauksen kuvaukset sekoittuvat joskus argumentteihin. Esimerkiksi: Äideille opetettiin hygienian ja raskauden fysiologiset perusteet. Tämän seurauksena vastasyntyneiden kuolleisuus laski rajusti. Mikäli tämä fragmentti tulkitaan argumentiksi, sen järkevyys muuttuu olennaisesti. Seuraavassa muutamia tyypillisiä arkikielen selityksiä: Hän jätti kumppaninsa koska tämä juopotteli liikaa. Koska et auttanut minua tiskien kanssa, en lähde kanssasi ostoksille. Jätit voin aurinkoon. Siksi se suli. Argumentit ja selitykset voivat kuitenkin sisältyä samaan tekstikappaleeseen: 2

3 Et löydä mustikoita nyt, koska nyt ei ole mustikka aika. Selitys ei siis rajaa pois sitä, että teksti toimii myös argumenttina. Esimerkki antaa sekä syyn uskoa johtopäätös että selittää johtopäätöksen. Useimmiten tämän eron tunnistaminen riippuu kontekstista, tarkkaan ottaenhan kyseinen esimerkki olisi voinut yhdellä kertaa tarkoittaa selitystä toiselle ja argumenttia toiselle. On kuitenkin tärkeää erottaa nämä sillä argumentteja ja selityksiä arvioidaan eri kriteerein. Ajatellaan vielä esimerkkiä: Koska et auttanut minua tiskien kanssa, en lähde kanssasi ostoksille. On selvää, ettei ensimmäinen väite tee toista väitettä yleisesti ottaen todennäköiseksi. Pääperiaate tulkinnassa kuitenkin on, että mikäli ei tiedetä onko kyseessä argumentti vai selitys, on syytä kohdella sitä argumenttina. II Argumenttidiagrammit Voidaksemme asianmukaisesti arvioida argumentteja, meidän on ensin muokattava ne sellaiseen selkeään muotoon, joista näemme lauseiden väliset suhteet. Tämä operaatio sisältää kolme vaihetta: (i) (ii) (iii) Laita argumentti indikaattorit sulkuihin. Laita lauseet hakasulkuihin ja numeroi ne. Laadi diagrammi, jossa numerot esittävät vastaavaa lausetta, nuolet todistuksellista tukea ja plus merkit ja viivat lauseiden kuulumista samaan päättelyaskeleeseen. Esimerkiksi: Meillä ei tule olemaan päivänvaloa, koska pääsemme liikkeelle vasta puolen yön jälkeen. Lisäksi, koska kuu on uusi, sekään ei valaise. Meidän on siis matkustettava pimeässä. Numeroituna: 1 [Meillä ei tule olemaan päivänvaloa], (koska) 2 [pääsemme liikkeelle vasta puolen yön jälkeen.] Lisäksi, (koska) 3 [kuu on uusi,] 4 [sekään ei valaise.] 5 [Meidän on (siis) matkustettava pimeässä.] Tämä auttaa meitä saamaan rakenteen esiin. Sovimme niin, että numerot annetaan aina siinä järjestyksessä kuin lauseet esiintyvät ja laitamme numeron aina lauseen alkuun. Piirrämme tästä nyt kaavion: :n ja 3:n alle ei tarvitse piirtää viivaa, koska viivan tarkoitus on auttaa meitä näkemään mitkä premissit yhdessä osoittavat jonkin toisen väitteen. 2 ja 3 ovat lähtöperusteita tai lähtöpremissejä, niihin ei osoita mikään nuoli. Lauseet 1 ja 4 ovat väliperusteita, koska ne ovat sekä johtopäätöksiä jostain toisista lauseista ja perusteita seuraaville lauseille. Se lause, josta ei osoita poispäin mikään nuoli on lopullinen johtopäätös. 3

4 Kaaviosta tulee tehdä joitain huomioita. Ensinnäkin, alussa meillä oli vain kolme virkettä mutta analyysiimme tuli viisi lausetta. Meidän on yleensä syytä kuitenkin merkitä kompleksien osia erikseen, varsinkin jos ne sisältävät päättelyä, sillä päättelyähän me juuri yritämme tarkastella. Tämä ei kuitenkaan ole mekaanista. Lauseiden ymmärtäminen on kompleksi tapahtuma ja meidän on tarkasteltava kulloisiakin lauseita esiintymisyhteydessään, jotta osaamme pilkkoa argumentin oikein. Tarkastellaan seuraavaa esimerkkiä: Numeroituna: Vihurirokko on yleistynyt huomattavasti viime aikoina, koska vanhemmat eivät ole enää niin tarkkoja lastensa rokottamisesta. Siis, vihurirokon esiintymistä saadaan vähennettyä huolehtimalla rokotuksista tarkemmin. 1 [Vihurirokko on yleistynyt huomattavasti viime aikoina, koska vanhemmat eivät ole enää niin tarkkoja lastensa rokottamisesta.] (Siis), 2 [vihurirokon esiintymistä saadaan vähennettyä huolehtimalla rokotuksista tarkemmin.] Oikea tapa analysoida tämä on: 1 2 Tällaisenaan lause on järkevä: jos vihurirokon yleistyminen johtuu rokotusten vähäisyydestä, on järkevää uskoa, että rokotuksista huolehtiminen korjaa asian. Jos emme huomaa, että kyseessä on syyvaikutus suhteen kuvaus, voimme erehtyä numeroimaan argumentin toisin: 1 [Vihurirokko on yleistynyt huomattavasti viime aikoina], (koska) 2 [vanhemmat eivät ole enää niin tarkkoja lastensa rokottamisesta.] (Siis), 3 [vihurirokon esiintymistä saadaan vähennettyä huolehtimalla rokotuksista tarkemmin.] Kaaviona: Päättely 2 siis 1 siis 3 ei kuitenkaan tunnu lainkaan järkevältä. 2:sta ei ole tarkoitettu todisteeksi 1:n puolesta (Se ei tee sitä todennäköiseksi. Esim. jos joku muu vastaa rokotuksista kuin vanhemmat tai virus on hävinnyt). Lisäksi, kolmonen ei seuraa ykkösestä. Pelkästään siitä, että vihurirokko on yleistynyt ei voi vielä päätellä mikä sitä vähentäisi. Argumenttina kyseinen esimerkki siis on erittäin heikko, mutta ei syy vaikutussuhteen kuvauksena. Tästä syystä meidän tulee olla varovaisia kun pilkomme virkkeitä osiin. Toinen tapaus, jossa emme saa pilkkoa lauseita osiin ovat ehtolauseet. Esimerkiksi: Jos kuu on juustoa, se on syötävää. Tämä virke on muodoltaan erilainen kuin argumentti: 4

5 Kuu on juustoa. Siis, se on syötävää. Alkuperäinen lause ei väitä että kuun on juustoa vaan, että siinä hypoteettisessa tilanteessa jossa se on juustoa, se on syötävää. Siksi diagrammeissa ehtolauseita tulee merkitä yksittäisellä numerolla. Myöskään lauseita, joissa esiintyy sana tai ei tulisi pilkkoa, sillä silloin vaikuttaisi siltä, että argumentoija on väittänyt että molemmat lauseet pitävät paikkansa. Konvergentit argumentit Konvergenteilla argumenteilla tulen tarkoittamaan yksinkertaisesti sitä, että argumentissa on useampi päättelylinja, jotka konvergoituvat yhteen johtopäätökseen. Katsotaan esimerkkiä: Markkinoille ei ole minkäänlaista tilausta kodinkoneelle, joka tekee madoista jäätelöä. Sitä paitsi, sellaisen laitteen valmistaminen olisi niin kallista, ettei kenelläkään olisi varaa ostaa sitä kuitenkaan. Siis, sellainen laite ei tule koskaan olemaan markkinoitavissa. Numeroituna: 1 [Markkinoille ei ole minkäänlaista tilausta kodinkoneelle, joka tekee madoista jäätelöä.] Sitä paitsi, 2 [sellaisen laitteen valmistaminen olisi niin kallista, ettei kenelläkään olisi varaa ostaa sitä kuitenkaan.] (Siis), 3 [sellainen laite ei tule koskaan olemaan markkinoitavissa.] Tämä argumentti eroaa aiemmasta esimerkistä siten, että molemmat premissit ovat täysin itsenäisiä. Tällaista argumenttia kutsutaan tiettyjen argumentaatioteoreetikkojen parissa multippeleiksi. Tätä itsenäisyyttä tukee vielä indikaattori sitä paitsi. Tällaista rakennetta merkitään seuraavasti: Kutsumme argumentti normaaliksi, jos siinä ei ole konvergenssia. Ongelmaksi muodostuvat nyt tietyt rajatapaukset, sillä on tavallista, ettei se onko argumentti konvergentti vai ei ole mitenkään itsestään selvää. Ajatellaan esimerkkiä: Kummitusten esiintyminen on hyvin todennettu useiden silminnäkijäkertomusten avulla. Esimerkiksi Borleyn pappilassa englannissa ovat useat eri puolueettomat todistajat nähneet kummituksia eri vuosisatojen aikana. Myös Lontoon Towerista on useita luotettavia silminnäkijähavaintoja. Numeroituna: 1 [Kummitusten esiintyminen on hyvin todennettu useiden silminnäkijäkertomusten avulla.] 2 [Esimerkiksi Borleyn pappilassa englannissa ovat useat eri puolueettomat todistajat nähneet kummituksia eri vuosisatojen aikana.] 3 [Myös Lontoon Towerista on useita luotettavia silminnäkijähavaintoja.] Molemmat perusteet ovat itsenäisiä ja viittaavat useaan silminnäkijään, joten molemmat periaatteessa riittäisivät johtopäätöksen osoittamiseen. Toiset kirjoittajat suosittavat, että meidän tulisi epävarmuustilanteissa valita konvergentti rakenne, jotta argumentin kaikki yksittäiset päättelyaskeleet tulisivat tarkastelluiksi yhtä huolellisesti. Toiset kirjoittajat taas esittävät, että koska (kuten edellisessä 5

6 esimerkissä) päättely olisi mahdollisimman vahvaa, mikäli tulkitsemme argumentin normaaliksi, meidän tulisi tulkita se normaaliksi. Mielestäni epävarmuustilanteissa molempia vaihtoehtoja tulisi harkita ja esittää arvioinnissa miksi jompaakumpaa tulisi suosia. Selvää kuitenkin on, ettei useissa tapauksissa argumentti ole järkevä, ellei sitä tulkita normaaliksi. Mikäli teksti toistaa joitain lauseita, voimme merkitä ne samalla numerolla uudestaan. Lauseen toisto tarkoittaa siis saman merkityksen omaavan lauseen toistamista. Mekaanista menetelmää saman merkityksen omaaville lauseille ei ole. Tulkitsijan on luotettava omaan järkeensä. (Mutta esimerkiksi väite tiikerit ovat nelijalkaisia ei tarkoita että kaikki tiikerit ovat nelijalkaisia, mutta ollakseen mielekäs, sen täytyy olettaa, että vähintään enemmistö tiikereistä on nelijalkaisia.) Sisäkkäiset ja epätäydelliset väitteet Tarkastelemme seuraavaksi yhtä hieman monimutkaisempaa argumentoinnin rakennetta: Monet niistä ulkopolitiikan ongelmista, joita kansakuntamme kohtaa tänä päivänä, ovat suoraa seurausta omasta tuestamme häikäilemättömille diktaattoreille. Castro nousi valtaan Kuubassa USA:n tukeman Batistan epäsuosion siivittämänä. USA:n tuki sarjalle korruptoituneita tyranneja kulminoitui Vietnamin sotaan. Sekä Afrikassa että Etelä Amerikassa kohtaamme jatkuvasti erilaisia ongelmia jälkiseurauksena omasta tuestamme eri hallituksille. Ja tukemme Iranin shaahille, raa alle ja veriselle hallitsijalle, nopeutti Islamilaista vallankumousta ja johti amerikkalaisten panttivangiksi ottamiseen. Tästä syystä ne, jotka argumentoivat diktaattoreiden olevan arvokkaita liittolaisia USA:lle ovat yksinkertaisesti väärässä, mutta ei pelkästään sen takia, että heidän tukemisestaan seuraa vaarallisia ongelmia, vaan myös sen tähden, että mikään valtio, joka perustuu vapaudelle ja tasa arvolle, kuten USA, ei voi pitää diktaattoreita liittolaisinaan. Liittolaiset ovat henkilöitä tai kansakuntia, jotka jakavat tiettyjä perusarvoja ja vapaus ja tasa arvo ovat päinvastaisia arvoja kuin tyrannia. Tätä esimerkkiä numeroidessa tulee kiinnittää huomiota, että erilaiset väitteet voivat sijaita sisäkkäin: 1 [Monet niistä ulkopolitiikan ongelmista, joita kansakuntamme kohtaa tänä päivänä, ovat suoraa seurausta omasta tuestamme häikäilemättömille diktaattoreille.] 2 [Castro nousi valtaan Kuubassa USA:n tukeman Batistan epäsuosion siivittämänä.] 3 [USA:n tuki sarjalle korruptoituneita tyranneja kulminoitui Vietnamin sotaan.] 4 [Sekä Afrikassa että Etelä Amerikassa kohtaamme jatkuvasti erilaisia ongelmia jälkiseurauksena omasta tuestamme eri hallituksille.] Ja 5 [tukemme Iranin shaahille, raa alle ja veriselle hallitsijalle, nopeutti Islamilaista vallankumousta ja johti amerikkalaisten panttivangiksi ottamiseen.] (Tästä syystä) 6 [ne, jotka argumentoivat diktaattoreiden olevan arvokkaita liittolaisia USA:lle ovat yksinkertaisesti väärässä,] mutta ei pelkästään (sen takia), että 7 [heidän tukemisestaan seuraa vaarallisia ongelmia,] vaan myös (sen tähden), 8 [että mikään valtio, joka perustuu vapaudelle ja tasa arvolle,] 9 [kuten USA], ei voi pitää diktaattoreita liittolaisinaan.] 10 [Liittolaiset ovat henkilöitä tai kansakuntia, jotka jakavat tiettyjä perusarvoja] ja 11 [vapaus ja tasa arvo ovat päinvastaisia arvoja kuin tyrannia.] Numerointi voi vaikuttaa ensin oudolta, mutta esimerkiksi lause yhdeksän tuntuisi luontevasti laajenevan lauseeksi: 9: USA perustuu vapaudella ja tasa arvolle Mutta mikä on argumentin rakenne? Lauseet 2 5 tuntuvat liittyvän lauseeseen 1: Ne pyrkivät osoittamaan, että ulkopolitiikan ongelmat ovat itse aiheutettuja: 6

7 Lause 7 taas seuraa 1:stä ja tukee edelleen 6:a. Mutta sitten kirjoittaja selkeästi vaihtaa puheenaihetta ja esittelee uuden argumentin: arvojen jakamisen. Lauseet 10 ja 11 taas tukevat lausetta 8, joka yhdessä 9:n kanssa oikeuttaa myös 6:sta. Kyseessä on siis konvergentti argumentti. Argumentin rakenne on siis: Muita ongelmia, joihin analysoija usein törmää ovat mm. irrelevantit lauseet. Ne voidaan tiputtaa pois: 1 [Amerikkalainen sotilaallinen voima on ainoa keino estää se väkivalta ja terrorismi, joka vaivaa alikehittyneitä maita.] 2 [Voimme toivoa, että koulutus tekee ihmisistä sivistyneempiä.] 3 [Voimme toivoa, että köyhyyden ehkäisy ja hävittäminen tekee heistä vähemmän alttiita liittymään terroristijärjestöihin.] Mutta 4 [niin kauan kuin me olemme heikkoja, terroristit huomaavat sen] ja 5 [he tulevat käyttämään hyväkseen mahdollisuuden tappaa ja silpoa fanaattisten syidensä takia.] Tässä esimerkissä lauseet 2 ja 3 ovat argumentoinnin kannalta irrelevantteja, niiden rooli on pelkästään retorinen, mahdollisesti kontrastin luominen. Itse argumentti on yksinkertaisesti: III Argumenttien evaluointi Argumentin arvioinnin kaksi peruskysymystä ovat siis 1) Ovatko premissit todet? ja 2) Kuinka vahvaa päättely on? Kysymykseen yksi vastaaminen edellyttää tiedon hankintaa, tai toisaalta voimme antaa uusia argumentteja premissien hyväksynnälle. Mutta jossain vaiheessa tämän prosessin on loputtava. Logiikka voi siis auttaa vastaamaan kysymykseen yksi, mutta kokonaan se ei voi korvata premissien hankintaa itsenäisenä prosessina. Joka tapauksessa, meidän tarkastelukohteemme on kysymys 2). 7

8 Mahdolliset maailmat ja validiteetti Tarkastelemme seuraavaksi mahdollisen maailman käsitettä ja sen käyttämistä argumentin arvioinnissa. Yksi tapa määritellä deduktiivinen argumentti on: Argumentti on deduktiivinen, jos on mahdotonta, että premissit ovat todet ja johtopäätös epätosi. Tämän ymmärtämiseksi on vielä syytä erottaa se, mikä on konkreettisessa, fysikaalisessa mielessä mahdotonta ja mikä on absoluuttisessa mielessä mahdotonta. Saattaa olla niin, että on fysikaalisesti mahdotonta, että ihminen juoksee mailin alle kolmen minuutin, tai että alle kahden litran polttomoottori kehittää 10 miljoonaa hevosvoimaa. Mutta voimme kuitenkin kuvitella sellaisia mahdollisia maailmoja, joissa ihmisen fysiologinen rakenne on sellainen, että hän voi juosta niin nopeasti, tai että luonnonlait ovat sellaiset, että alle kahden litran polttomoottori kehittää 10 miljoonaa hevosvoimaa. Ajatellessamme mahdollisia maailmoja, mielikuvituksemme ei saa tässä mielessä rajoittua fyysisiin mahdottomuuksiin. Mutta on myös väitteitä ja väitelauseiden joukkoja, joita emme voi koherentisti ymmärtää mahdollisiksi. Esimerkiksi, emme voi ymmärtää kolmiota, jolla on neljä sivua. Emme myöskään voi ymmärtää tilannetta, jossa kaikki linnut poikkeuksetta ovat punaisia ja yksi lintu on valkoinen. Looginen mahdottomuus tarkoittaa tällaista absoluuttista mahdottomuutta. Näin voimme antaa toisen määritelmän: Argumentti on deduktiivinen, jos on loogisesti mahdotonta, että sen premissit ovat todet ja johtopäätös epätosi. Tämä mahdollistaa yksinkertaisen testin argumentin validiteetille: yritä kuvitella tilannetta, jossa premissit ovat todet ja johtopäätös epätosi. Jos onnistut, argumentti on invalidi. Jos epäonnistut, argumentti on todennäköisesti validi. Sanomme todennäköisesti, koska saattaa olla tilanteita, joissa ajattelukykymme ei yksinkertaisesti riitä. Esimerkiksi neliulotteiset objektit saattavat olla tällaisia. Mutta kykymme testata paranee harjoittelun myötä ja voimme saavuttaa melko suuren yksimielisyyden, varsinkin tavallisten, arkipäiväisten argumenttien kohdalla. Toinen ongelma on tietysti ajatuksen tarkkuus. Moni saattaa luulla, että voi kuvitella henkilön, joka on pidempi kuin kukaan. Mutta tarkempi ajattelu osoittaa, ettei se ole mahdollista. (Voimme kuitenkin kuvitella henkilön, joka on pidempi kuin kaikki muut henkilöt.) Tarkastellaan vielä esimerkkiä. Jotkut matelijat elävät vedessä. Jotkut vedessä elävät olennot syövät vesikasveja. Siis, jotkut matelijat syövät vesikasveja. Kaikki väitteet tässä argumentissa ovat tosia, mutta se ei osoita mitään argumentista. Argumentti on invalidi. (Ajattele maailmaa, jossa ainoat vedessä elävät matelijat ovat krokotiilejä ja jotkut kalat syövät vesikasveja. Tällaisessa maailmassa perusteet ovat todet, mutta johtopäätös epätosi.) Mahdolliset maailmat ja todennäköisyys Tarkastelemme seuraavaksi mahdollisen maailman käsitteen käyttöä invalidien päättelyiden, eli induktiivisten ja virheellisten päättelyiden arvioinnissa. Nämä päättelyt muodostavat jatkumon alkaen erittäin heikoista aina erittäin vahvoihin. Parhaat induktiiviset argumentit ovat miltei yhtä varmoja kuin deduktiiviset argumentit. Induktiivisessa argumentissa johtopäätöksen totuus on yli 50 prosenttia. Todennäköisyys riippuu siitä mikä on mahdollista. Siten yksi tapa arvioida johtopäätöksen todennäköisyyttä suhteessa 8

9 premisseihin on arvioida miten suuressa määrässä niistä mahdollisuuksista, joissa premissit ovat todet, myös johtopäätös on tosi. Toisin sanoen, johtopäätöksen todennäköisyys suhteessa perusteisiin on sellaisten mahdollisten maailmojen prosentuaalinen osuus, jossa premissit ja johtopäätös ovat tosia, niistä mahdollisista maailmoista, joissa premissit ovat tosia (ja johtopäätös joko tosi tai epätosi). Induktiivinen argumentti on sellainen argumentti, jonka johtopäätös on tosi yli 50:ssa prosentissa niistä mahdollisista maailmoista, joissa premissit ovat tosia. Virhepäätelmässä tämä osuus on alle 50 prosenttia. Arvioidaksesi todennäköisyyttä, sinun tulee ensin ajatella niitä mahdollisia maailmoja, joissa premissit ovat tosia. Sitten käyt nämä maailmat läpi ja mietit missä niistä johtopäätös on tosi. Jos johtopäätös on tosi yli 50:ssa prosentissa, päätelmä on induktiivinen. Jos ei, päätelmä on virheellinen. Ajatellaan aiemmin esitettyä esimerkkiä. a) b) c) Kaikki haltiat juovat viiniä. Arwen on haltia. Siis, Arwen juo viiniä. 95 prosenttia haltioista juo viiniä. Arwen on haltia. Siis, Arwen juo viiniä. Muutamat haltiat juovat viiniä. Arwen on haltia. Siis, Arwen juo viiniä. Ensimmäisen esimerkin kohdalla huomaamme heti, että päätelmä on deduktiivinen. Vastaesimerkkiä ei voi olla. Toisen päätelmän kohdalla huomaamme, että Arwen voi kuulua siihen viiteen prosenttiin, joka ei juo viiniä. Siispä testaamme onko päätelmä induktiivinen eli katsomme niitä maailmoja, joissa 95 prosenttia haltioista juo viiniä ja Arwen on haltia. Joissain näistä maailmoista Arwen juo viiniä ja joissain ei. Mutta huomaamme tietysti, että sellaisia koherentteja maailmoja, joissa premissit ja johtopäätös ovat todet on paljon enemmän kuin sellaisia, joissa premissit ovat todet mutta johtopäätös ei. On ikään kuin olemassa useampi tapoja Arwenin mahtua tuohon 95 prosentin joukkoon kuin ei. Kolmannen tapauksen kohdalla taas on selvää, että näitä tapoja on paljon vähemmän. On kuitenkin huomattava, etteivät premissit sano mitään siitä, kuinka paljon haltioita on. Heitä voi olla kaksi tai 12 miljardia. Mutta jos vain muutamat juovat viiniä ja haltioita voi olla vaikka kuinka paljon, on selvää, että on useampia tapoja, joilla Arwen ei kuulu niihin muutamaan, jotka juovat viiniä kuin niitä, joissa Arwen kuuluu niihin muutamiiin. Tällainen testi perustuu siis liittää todennäköisyyden mahdollisen maailman käsitteeseen. Molemmat ovat erittäin kiisteltyjä käsitteitä, eivätkä kaikki teoreetikot suinkaan hyväksyisi tätä. Testi on kuitenkin varsin intuitiivinen ja sitä järjestelmällisesti käyttävien ihmisten arviot tapaavat olla hyvin samansuuntaisia. Yksinkertaisten argumenttien arviointi Ajatellaan argumenttia: Tämä huone on ollut kylmempi kuin nolla Celsius astetta, sillä pesualtaassa oleva vesi on jäätynyt. 9

10 Tätä argumenttia tulee helposti pidetyksi induktiivisena. Tuntuisi selkeältä, että sellaisia maailmoja, joissa vesi oli jäätynyttä, ja huoneen lämpötila alle nolla Celsiusta olisi paljon enemmän kuin sellaisia maailmoja, joissa vesi oli jäätynyttä ja lämpötila ei ollut alle nolla. Mutta tätä intuitiota tulee vastustaa. Sillä emme tiedä oliko kyseinen jää vasta tuotu huoneeseen, onko altaassa jäädytysmekanismi, tai onko allas ikkunan vieressä siten, että siinä on kylmempi kuin muualla. Edelleen, emme tiedä onko veden jäätymispiste kyseisessä maailmassa nolla vai tuhat astetta Celsiusta. Tämä saattaa kuulostaa saivartelulta, mutta saivartelulla on tässä selkeä tarkoitus, nimittäin tuoda esiin se, miten paljon me itse tuomme mukaan argumentin arviointiin. Argumentti tuntuu järkevältä, koska sitä lukiessamme lisäämme siihen valtaisan määrän oletuksia. Tarkastelemme implisiittisiä oletuksia enemmän myöhemmin, mutta niihin on syytä kiinnittää huomiota jo nyt. Yleensä miettiessämme jonkin vaihtoehdon seurauksia, oletamme, että maailma on jokseenkin samanlainen kuin meidän tämän hetkinen maailmamme. Tästä oletuksesta on kuitenkin syytä olla tietoinen. Tämä oletus tekee induktiivisesta päättelystä ja sen arvioinnista mahdollisten maailmojen kautta järkevää, sillä usein ja useassa mielessä on järkevää olettaa, että maailma pysyy jokseenkin samanlaisena. Kompleksien argumenttien arviointi Voidaksemme arvioida komplekseja argumentteja, meidän on siis syytä pitää mielessä, että argumentteja on kolmea eri tyyppiä: deduktiivinen, induktiivinen ja virhepäätelmät. Nämä ovat premissin ja johtopäätöksen välisiä suhteita. Kun argumentti on yksinkertainen, voimme arvioida tätä suhdetta helposti miettimällä mihin tyyppiin argumentti kuuluu. Kun argumenttiin kuuluu useita päättelyaskeleita, meidän on ensin tarkasteltava yksittäisiä siirtymiä ja luotava näiden perusteella kokonaisarvio. Tämä ei tietenkään ole aivan yksinkertaista, mutta joitain yleisiä sääntöjä voidaan esittää. Esimerkiksi, jos argumentin kaikki yksittäiset siirtymät ovat deduktiivisia, on koko argumentti myös deduktiivinen (pohdi miksi näin on). Tarkastellaan seuraavaa esimerkkiä: 1 [Kukaan lapsi ei ole kärsivällinen,] ja 2 [kukaan, joka on kärsimätön, ei pysty istumaan paikallaan.] Siis, 3 [kukaan lapsi ei pysty istumaan paikallaan.] Mutta 4 [jokainen, joka ei pysty istumaan paikallaan, kujeilee.] joten 5 [kaikki lapset kujeilevat.] Lisäksi, koska 6 [jokainen kujeilija rupeaa lopulta ärsyttämään.], joudumme toteamaan, että 7 [kaikki lapset rupeavat lopulta ärsyttämään.] Tässä argumentissa on kolme päätelmää: D D D Kaikki ketjun päättelyt ovat deduktiivisia (todenna tarkastelemalla yksittäisiä siirtymiä), joten päätelmä on kokonaisuudessaan deduktiivinen. Tätä on merkitty diagrammin vieressä olevalla D kirjaimella. Induktiiviset päättelyt ovat hankalampia. Tarkastellaan seuraavaa esimerkkiä: 10

11 Max on eläin. 60 % kaikista eläimistä on nisäkkäitä. Siis, Max on nisäkäs. 60 % kaikista elämistä on kissaeläimiä. Siis, Max on kissaeläin. 60 % kaikista kissa eläimistä on tiikereitä. Siis, Max on tiikeri. Argumentin kaikki yksittäiset askeleet ovat sinänsä järkeviä, mutta koko argumentin todennäköisyys on silti heikko. Miksi? Koska saadaksemme arvion johtopäätöksen todennäköisyydestä, meidän on arvioitava ketjua yhdessä. Lopullinen todennäköisyys premissien ollessa tosia on 60% * 60% * 60% eli 21,6 prosenttia. Meidän on siis todettava, että päättely voi enimmillään olla niin vahva kuin sen heikoin lenkki mutta heikoimmillaan selvästi jokaista yksittäistä siirtymään heikompi. Tietysti, vaikka päättelyssä olisi useita induktiivisia siirtymiä, se voi silti olla kokonaisuudessaan rationaalinen (esim. jos meillä on kolme 90%:n siirtymää, on lopputulos 72,9%). Mikäli päätelmässä on yksikin virhepäätelmä, on päätelmä kokonaisuudessaan virheellinen. (Päätelmä voi kuitenkin joskus olla vahvempi kuin yksittäinen lenkki ja joskus heikompi kuin mikään yksittäinen siirtymä. Ensimmäisessä tapauksessa jokin premissi tekee johtopäätöksen todeksi mutta päätelmän muoto ei heijasta tätä. Toisessa tapauksessa päätelmä premissit ovat ristiriitaiset.) Tarkastellaan seuraavaa esimerkkiä: Argumentin rakenne on: 1 [Omnipotentin olennon tahto toteutuu aina.] 2 [Jokainen omnipotentti hyväntahtoinen olento tahtoisi pahan katoavan.] Siksi, 3 [jos olisi olemassa omnipotentti hyväntahtoinen olento, pahaa ei olisi.] Mutta 4 [pahaa on olemassa.] Siis, 5 [hyväntahtoista omnipotenttia olentoa ei ole olemassa] D D Päätelmän askeleet ovat valideja. Jos premissit ovat tosia, johtopäätöksen täytyy olla tosi. Mikäli argumentti on viallinen, syyn täytyy löytyä premisseistä. Miten ne voitaisiin haastaa? Tutkijat ovat yleensä kritisoineet premissiä kaksi ja neljä. Miten itse kritisoisit niitä? Konvergenteista argumenteista voidaan vielä erikseen huomauttaa, että ne ovat niin vahvoja kuin vahvin itsenäinen haara. Tarkastelussa on kuitenkin muistettava, että perustelujen tulee todella olla kokonaisuudessaan itsenäisiä. Olemme tarkastelleet yksittäisten päättelyjen ja kompleksien argumenttien vahvuutta. Meidän tulee huomata lisäksi, että on olemassa kolmas vahvuus: lauseiden vahvuus. Kahdesta lauseesta vahvempi lause on se, joka on informatiivisempi. Se sulkee pois useampi mahdollisia maailmoja. Esimerkiksi: Arwen on henkisesti vahva haltia, jolla on tummat hiukset, ruskeat silmät ja hän on yli 180 senttiä pitkä. Siis, Arwen on henkisesti vahva haltia. 11

12 Lause kaksi sulkee pois vähemmän mahdollisia maailmoja. Vahva lause on siten myös inherentisti epätodennäköisempi kuin heikko lause, koska se on tosi pienemmässä määrässä maailmoja. Tämä on tärkeää päättelyn kannalta, sillä jos premissi on vahva, argumentin sisältämä päättely on todennäköisesti vahvaa: maailmoja, joissa premissi on tosi, on vähän, joten johtopäätös on todennäköisemmin tosi suhteessa sellaiseen, jossa premissi on heikompi. Esimerkiksi: Kaikki haltiat on yli 160 cm ja alle 180 cm pitkä. Arwen on haltia. Siis, Arwen on yli 165 cm ja alle 175 cm pitkä. Kaikki haltiat on yli 150 cm ja alle 190 cm pitkä. Arwen on haltia. Siis, Arwen on yli 165 cm ja alle 175 cm pitkä. Jälkimmäinen päättely on selvästi heikompaa. Toisaalta, mitä heikompi johtopäätös, sitä vahvempi päättely. Esimerkiksi: Monet haltiat käyttävät valkoista paitaa. Monet haltiat käyttävät vihreää viittaa. Siis, monet haltiat käyttävät valkoista paitaa tai vihreää viittaa. Monet haltiat käyttävät valkoista paitaa. Monet haltiat käyttävät vihreää viittaa. Siis, monet haltiat käyttävät valkoista paitaa ja vihreää viittaa. Jälkimmäisen argumentin johtopäätös on vahvempi, koska se edellyttää että molemmat väitteet ovat tosia, ja siten epätodennäköisempi. IV Implisiittiset premissit Tarkastelemme seuraavaksi implisiittisiä eli julkilausumattomia premissejä. Useaan argumenttiin liittyy väitteitä, jotka tulee olettaa todeksi, jotta päättely olisi järkevää mutta joita puhuja tai kirjoittaja ei ole lausunut julki tai kirjoittanut esiin. Julkilausumattomilla premisseillä tarkoitetaan nimenomaan sellaisia lauseita, jotka ovat päättelyn kannalta tärkeitä, ei mitä tahansa oletuksia. Tähän implisiittisyyteen on monia syitä. On täysin luonnollista, etteivät puhujat tai kirjoittajat lausu julki tai kirjoita esiin kaikkia argumentteihinsa liittyviä premissejä. Mikäli kaikki oletukset kirjoitettaisiin esiin, kielemme muuttuisi varsin pitkäveteiseksi ja toistavaksi. Toisaalta, joskus kirjoittaja voi halutakin pitää oletuksensa piilossa, esimerkiksi koska ne ovat sellaisia, ettei niitä pystyisi puolustamaan. Mutta oli syy mikä tahansa, tällaiset premissit ovat ilmiö, johon argumentoinnin arvioinnissa tulee kiinnittää huomiota. Kriteerit premissien ja johtopäätösten lisäämiselle Aloitamme yksinkertaisella esimerkillä: Antti ei pidä Bertasta, koska Bertta on kristillisdemokraatti. Argumentti on tällaisenaan virhepäätelmä: johtopäätös ei seuraa premissistä. Mutta on selvää, että argumentin esittäjä on olettanut jotain, mitä ei lausuta julki. Esimerkiksi: Bertta on kristillisdemokraatti 12

13 Antti ei pidä kenestäkään kristillisdemokraatista. Siis, Antti ei pidä Bertasta. Tämä muoto vahventanee käsitystämme siitä, miksei kaikkea aina lausuta julki: tässä muodossaan argumentti on kielellisesti jäykkä ja normaali kuulija täydentää argumenttia suurin piirtein kirjoitetulla tavalla. Premissiä ei siis oikeastaan tarvittu normaalissa kommunikaatiossa. Merkitsemme tällaisia argumentteja diagrammeina seuraavasti: 1 [Antti ei pidä Bertasta], (koska) 2 [Bertta on kristillisdemokraatti]. A [Antti ei pidä kenestäkään kristillisdemokraatista.] Tällä merkintätavalla lisätyt premissit erottuvat diagrammeissa helposti: 2 + A 1 Vaikkemme tiedäkään onko premissi totta, voimme kuitenkin todeta, ettei puhuja argumentoinut irrationaalisesti. Tällaiseen premissien täydentämiseen liittyy tietysti tiettyjä tulkinnallisia ongelmia. Paras tapa varmentaa mikä premissi puhujalla täsmälleen ottaen oli mielessä olisi tietysti kysyä puhujalta itseltään (vaikkei sekään varmentaisi täysin mitä puhujalla oli mielessään argumenttia ensi kerran esitettäessä). Aina tämä ei kuitenkaan ole mahdollista eikä tarpeellistakaan. Lähdemme siitä ajatuksesta, että puhujan tarkoitus oli osoittaa johtopäätökseen uskominen järkeväksi. Tämä voi tapahtua vain jos argumentti täyttää tietyt kriteerit. Premissien kirjoittaminen esiin nojaa tähän olettamukseen ja voimme silloin täydentää argumenttia tavalla, jolla se saadaan täyttämään tämä vaatimus. Implisiittisten premissien huomiotta jättäminen aiheuttaisi itse asiassa useita väärin käsityksiä. Tarkoitus on siis ymmärtää puhujan tai kirjoittajan ajatuksia paremmin. On myös syytä muistaa, että johtopäätöskin voidaan jättää mainitsematta, kuten seuraavassa esimerkissä: Ainoa hyvä museonjohtaja on sellainen, joka ostaa sinun töitäsi. Herra Bianchi ei ole koskaan ostanut minun töitäni joten Tätä puuttuvien osien täydentämisprosessia varten voidaan antaa muutamia periaatteita, joista ensimmäinen on: 1. Lisää vain väitteitä, joita argumentin esittäjä tarkoitti oletettavaksi. Meillä on käytettävissä kolme lähdettä kirjoittajan tarkoitusten määrittämiseen. Ensinnäkin, tapa jolla argumentti on muotoiltu. Toiseksi, konteksti jossa argumentti esitettiin. Kolmanneksi, tietomme argumentoijan muista uskomuksista. Ajatellaan aiempaa esimerkkiä. On olemassa useita lauseita, jotka täyttäisivät vaatimuksen argumentin rationaalisuudesta. Esimerkiksi lauseet Antti ei pidä kenestäkään, joka on poliittisen puolueen jäsen ja Kristillisdemokraatit ovat puolueen jäseniä. Myös lause Antti ei pidä kenestäkään tekisi samoin. Kuitenkin argumentti itse tuntuisi tukevan nimenomaan yllä mainittua muotoilua, sillä miksi muuten puhuja olisi nostanut esiin nimenomaan sen, että Bertta on kristillisdemokraatti. Yleinen käsityksemme puhujasta voi myös tukea tai heikentää muotoilun uskottavuutta. Jos tiedämme Antin olevan kiihkeä toisen puolueen kannattaja, kyseinen muotoilu saattaa olla nimenomaan oikea. Toisaalta, jos tiedämme, että Antilla on useita kristillisdemokraattisia ystäviä ja että 13

14 argumentin esittäjä tietää tämän, saattaa olla parasta merkitä koko argumentti virhepäätelmäksi, koska periaate yksi ei sallisi esitettyä muotoilua. Seuraava täydennystä ohjaava periaate on: 2. Lisää premissejä vain jos ne vahvistavat päättelyä. Edellisen esimerkin voidaan todeta olettavan myös, että Antti ja Bertta ovat elossa olevia ihmisiä. Tämä oletus ei kuitenkaan tunnu päättelyn järkevyyden kannalta tärkeältä: jos premissit ovat tosia, on yhdentekevää päättelyn kannalta, onko Antti ihminen, haltia vai juoma automaatti (vaikkei kovin monella juoma automaatilla lienekään puolueen jäsenkirjaa). Siksi tätä premissiä ei tarvitse lisätä. Tähän ei kuitenkaan ole mekaanista sääntöä, ja joissain mahdollisissa maailmoissa kyseinen premissi saattaisi olla merkityksellinen. Kolmas sääntö on: 3. Älä lisää premissiä, joka vain toistaa esitetyn päättelyn. Tällä periaatteella viitataan niin sanottuun ehdollistamiseen. Sen mukaisesti täydennetty argumentti näyttäisi seuraavalta: Bertta on kristillisdemokraatti. Jos Bertta on kristillisdemokraatti, Antti ei pidä Bertasta. Antti ei pidä Bertasta. Tämä täydennys tekisi argumentista validin. Mutta itse asiassa emme ole lisänneet argumenttiin mitään substantiaalista vaan vain lisänneet alkuperäisen päättelyn siihen premissiksi ja monimutkaistaneet argumenttia. Lisäksi, olemme vain siirtäneet argumentissa mahdollisesti piilevän päättelyllisen ongelman premissin totuuden ongelmaksi. Emme ole parantaneet ymmärtämystämme lainkaan. Seuraava periaate on: 4. Jos useat eri premissit täyttävät kohdat 1. 3., lisää se premissi, joka tekee argumentin vahvimmaksi. Tarkoitamme tässä yhteydessä argumentin kokonaisvahvuutta. Esimerkiksi, sellaisen toden premissin lisääminen, joka tekee argumentista induktiivisen, tekee argumentista vahvemman kuin sellaisen epätoden premissin lisääminen, joka tekee argumentista deduktiivisen. Tätä motivoi niin sanottu laupeuden periaate (Principle of Charity): pyrimme alkuperäisen esittäjän kannalta mahdollisimman laupeisiin tulkintoihin. Tätä periaatetta ei kuitenkaan motivoi pelkkä laupeus. Ensinnäkin, jos teemme liian heikon tulkinnan, argumentin alkuperäinen esittäjä voi esittää vahvemman version ja olemme hukanneet aikaa. Periaatteessa tämä prosessi voi jatkua vaikka kuinka kauan. Mutta tärkeämpää on kysyä mikä on meidän tarkoituksemme argumentteja rekonstruoidessa. Jos tarkoituksemme on vain kumota vastustajan kanta, voi heikompien versioiden esittäminen kannattaa. Voihan olla, ettei alkuperäisellä esittäjällä edes ollut vahvin versio mielessä. Mutta toisaalta, jos tarkoituksemme on oman uskomusjärjestelmämme totuudellisuuden parantaminen, vahvimman version tutkiminen on järkevintä ja antaa parhaimman mahdollisuuden parantaa ymmärtämystämme. Tieteen tekemisen näkökulmasta helppojen maalien ampuminen on ajanhaaskausta. Periaatetta neljä tulisi kuitenkin soveltaa niiden puitteiden rajoissa, jonka edelliset periaatteet, varsinkin periaate yksi, antavat. Mikäli taasen haluamme selkeästi parantaa aiempaa argumenttia, meidän tulee tehdä selväksi, että emme enää käsittele alun perin esitettyä argumenttia. Periaatteeseen neljä voidaan lisätä vielä seuraava korollaari: 4.K Jos on olemassa kaksi tai useampia premissejä, jotka kaikki täyttävät ehdot 1. 3., lisää heikoin vaihtoehto. 14

15 Tällä viitataan nyt nimenomaan premissin, ei koko päättelyn vahvuuteen. Esimerkiksi jos periaate yksi ei sulkisi pois premissiä Antti ei pidä kenestäkään, tämä korollaari tekisi sen, sillä premissi Antti ei pidä kenestäkään kristillisdemokraatista. on heikompi siinä mielessä, että se sulkee pois vähemmän mahdollisia maailmoja. Toinen seikka, johon voidaan tässä yhteydessä kiinnittää huomiota on, että toisinaan voimme valita joko deduktiivisen tai induktiivisen premissin. Esimerkiksi, olisimme voineet valita premissin Antti ei todennäköisesti pidä kenestäkään kristillisdemokraatista. Tällä on se etu, että koska se heikentää premissiä, se lisää todennäköisyyttä, että premissi on tosi. Toisaalta se heikentää päättelyn luotettavuutta, joten päättelyn ja premissin vahvuus toimivat tässä mielessä toistensa vastinpareja. Se kumpi valitaan, jos kummankaan puolesta ei ole todistusaineistoa, on jossain määrin tulkitsijan määriteltävissä. V Deduktiiviset argumentit Käsittelemme seuraavaksi joitakin deduktiivisen argumentin muotoja. Mikäli pystymme tunnistamaan, että meille esitetty argumentti omaa tietyn loogisen muodon, oikaisemme hieman argumentin tulkinnassa. Nimittäin jos argumentti on selvästi muodoltaan loogisesti validi ja tunnistamme sen, meidän ei tarvitse soveltaa mahdollisen maailman testiä. Esimerkiksi: Jos liesi on kuuma, voit satuttaa itsesi siinä. Liesi on kuuma. Voit satuttaa itsesi siinä Tämä argumentti on muotoa Modus Ponens. Tunnistamme, ettei voi olla niin, että premissit ovat todet ja johtopäätös epätosi. Ensimmäinen lause on muodoltaan ehtolause. Normaalissa diagrammissa vain numeroimme kyseisen lausekkeen, mutta voimme tässä yhteydessä todeta, että lauseen ensimmäistä osaa, siis sitä osaa, joka tulee jos sanan jälkeen, kutsutaan etujäseneksi eli antekedentiksi ja lauseen loppuosaa takajäseneksi eli konsekventiksi. Muoto on seuraava: Jos p, niin q. p. Siis, q. Toinen tärkeä muoto on niin sanottu Modus Tollens: Päätelmä on muotoa: Jos puhveli on astunut kelloni päälle, se on tuhoutunut. Se ei ole tuhoutunut. Siis, puhveli ei ole astunut kelloni päälle. Jos p, niin q. Ei q. Siis, ei p. On huomattava, että vaikka helposti ymmärrämme, etteivät kellon päälle astuminen ja kellon ehjänä säilyminen voi olla tosia yhtä aikaa mikäli fysiikan lait ovat sellaiset kuin ne nyt ovat, päätelmän muoto ei ole sama asia kuin premissien uskottavuus. Näiden päätelmämuotojen yhteydessä on syytä mainita kaksi yleistä virhepäätelmää. Tarkastellaan seuraavia päätelmiä: (TV1) 15

16 Jos Rin Tin Tin on hevonen, niin Rin Tin Tin on nisäkäs. Rin Tin Tin on nisäkäs. Siis, Rin Tin Tin on hevonen. Päädymme epätoteen johtopäätökseen vaikka argumentin premissit ovat tosia: Rin Tin Tin on koira. Päätelmän perusteella saatuun uskomukseen ei siis voi luottaa. Tätä virhepäätelmää kutsutaan nimellä takajäsenen vahvistaminen (affirming the consequent). Toinen yleinen virhepäätelmä on nimeltään etujäsenen kielto (denying the antecedent): (EK1) Jos sataa, maa kastuu. Ei sada. Siis, maa ei kastu. Kuten tiedämme, maa voi kastua muistakin syistä kuin sateesta. Vaikka perusteet olisivatkin tosia, voi johtopäätös silti olla epätosi. Seuraavassa on lueteltuna muutamia valideja päättelymuotoja: Hypoteettinen syllogismi: Modus Tollendo Ponens (Disjunctive Syllogism) Jos p, niin q. P tai q. P tai q. Jos q, niin r. ei p. ei q. Siis, jos p, niin r. Siis, q. Siis, p. Simplifikaatio Adjunktio (Conjunction) P ja q. P. Siis, p. Q. Siis, pa ja q. Kontrapositio Disjunktiiivinen syllogismi (Constructive dilemma) Jos p, niin q. P tai q. Siis, jos ei q, niin ei p. Jos p, niin r. Jos q, niin s. Jos ei p, niin ei q. R tai s. Siis, jos q, niin p. Käytämme myös muunlaisia ehtolauseita kuin jos niin konstruktiota. Esimerkiksi ilmaus vain jos on jokseenkin tavallinen. Muistetaan, että ilmaus jos viittaa ehtolauseen etujäseneen. Mutta ilmaus vain jos viittaa aina ehtolauseen takajäseneen. Ensimmäinen jäsen on riittäväksi ehto takajäsenen esiintymälle ja takajäsen on välttämätön ehto etujäsenen esiintymälle. Siis, jos on niin, että sade kastelee maan, sade ajatellaan maan kastumiselle riittäväksi ehdoksi. Maan kastuminen taas voidaan ajatella välttämättömäksi ehdoksi sateelle, sillä jos sataa, on välttämättä niin, että maa kastuu. Ajatellaan esimerkkiä: Menen kutsuille vain jos minut kutsutaan. Henkilön pitää siis kutsua välttämättömänä ehtona kutsuille menoon. Kutsu ei ele riittävä ehto: henkilö saattaa olla menemättä, mutta toisaalta siitä, että henkilö menee, voidaan päätellä, että henkilö on saanut kutsun. Mikäli lauseet ovat tosia tai epätosia aina samaan aikaan, sanotaan lauseiden välillä vallitsevan ekvivalenssi. Tätä ilmaistaan ilmauksella jos ja vain jos : 16

17 Laulan jos ja vain jos minua pyydetään. Henkilö laulaa jos häntä pyydetään ja jos häntä pyydetään, hän laulaa. Mutta tämä lause, toisin kuin tavallinen ehtolause, ei salli sitä, että henkilö ei laula, vaikka pyydettäisiin (siis esim. lause Jos laulan, minua on pyydetty laulamaan) Ehdollinen todistus (CP) Esitän seuraavaksi kaksi päätelmätyyppiä, joissa joudumme rikkomaan tekstissä esiintyvät konditionaalit eli ehtolauseet osiin, ehdollisen todistuksen (Conditional Proof eli CP) ja epäsuoran todistuksen (Reductio ad absurdum eli RAA). Ehdollisella todistuksella tarkoitetaan todistusta, jossa todistettava lause on ehtolause. Strategia on yleisesti ottaen seuraava. Oletamme ehtolauseen etujäsenen ja mikäli saamme loogisesti johdettua takajäsenen tosista premisseistä ja etujäsenestä, voimme sanoa, että takajäsen seuraa loogisesti etujäsenestä, eli jos etujäsen, niin takajäsen. Esimerkiksi: 1 [Jos Viiru on elävä kissa, niin Viiru ei ole auringon keskustassa.] (Sillä), oletetaan, että 2 [Viiru on elävä kissa.] 3 [Mikään kissa ei voi höyrystyä hehkuvaksi plasmaksi ja säilyä hengissä.] 4 [Mutta mikä tahansa objekti, joka on auringon keskustassa höyrystyy hehkuvaksi plasmaksi.] (Siis), 5 mikään elävä kissa ei ole auringon keskustassa.] Mutta (me oletimme, että) 2 [Viiru on elävä kissa.] (Siis), 6 [Viiru ei ole auringon keskustassa.] Argumentti saa seuraavan hypoteettisen argumentin muodon, jossa sivussa olevat D kirjaimet kertovat, että siirtymä on deduktiivinen: D D Nyt argumentti ei kuitenkaan ole valmis, sillä siitä puuttuu lopullinen johtopäätös 1. Tätä ei voida laittaa suoraan diagrammiin, sillä sitä ei johdeta suoraan 6:sta, todistettavan lauseen takajäsenestä, vaan koko päätelmästä. Esitämme päätelmää siten, että lisäämme koko todistuksen perään vielä yhden viivan osoittamaan, että ehtolause seuraa koko todistuksesta ja piirrämme nuolen lopulliseen johtopäätökseen. Viivan jälkeen vieressä oleva D kuvaa, että koko päätelmä on deduktiivnen. Vedämme vielä viivan etujäsenen (lause 2) päälle, sillä argumentoijahan ei väittänyt, että lause kaksi on tosi, vaan että jos se on tosi, jokin muukin on tosi, nimittäin takajäsen D D D 1 17

18 Epäsuora todistus (RAA) Reduktio päättelyssä, eli epäsuorassa päättelyssä oletamme jälleen jonkin lauseen ja osoitamme, että kyseisestä oletuksesta seuraa loogisesti ristiriita. Tällöin, jos jokainen askel on deduktiivisesti validi ja premissit ovat tosia, ei alkuperäinen oletus voi olla tosi. Ehdollinen todistus on usein helpoin tapa todistaa jokin lause ja se onkin siksi varsin käytetty. Esimerkiksi: 1 [Ei ole olemassa suurinta positiivista kokonaislukua.] (Sillä), oletetaan, että 2 [on olemassa suurin kokonaisluku n]. Tällöin, (koska) 3 [yhden lisääminen mihin tahansa positiiviseen kokonaislukuun tuottaa aina suuremman luvun], 4 [n+1 on suurempi kuin n]. Mutta (tästä seuraa), 5 [n ei ole suurin positiivinen kokonaisluku]. Tällöin voimme sanoa, että 6 [n on suurin kokonaisluku ja n ei ole suurin kokonaisluku,] mikä on absurdia D D D Jälleen, lopullinen johtopäätös puuttuu. Se seuraa vain koko päättelystä, joten vedämme taas koko päättelyn alle uuden viivan. Koska lause 2 on oletus, se voidaan viivata yli kuviosta # 6 D D D 1 D Jos päättelyn kaikki askeleet ovat valideja, ja johtopäätös epätosi, on jonkin premissin oltava logiikan sääntöjen mukaan epätosi. Jos tiedämme, että kaikki annetut premissit ovat tosia, ainoa vaihtoehto on, että tekemämme oletus on epätosi. Osoitamme päättelyn luonnetta vielä erikseen # merkillä. 18

19 VI Induktiiviset argumentit Tarkastelemme seuraavaksi induktiivisia argumentteja. Ne ovat siis argumentteja, joissa johtopäätös on tosi vähintään 50%:ssa niistä tapauksista, joissa premissit ovat tosia. Vaikka tämä arviointi voi joskus olla erittäin vaikeaa, voidaan kuitenkin todeta myös, että on olemassa selviä tapauksia. Seuraavaa esimerkkiä kutsutaan tilastolliseksi syllogismiksi: n prosenttia F:stä ovat G:tä. x on F. Siis, x on G. Kuten olemme aiemmin todenneet, induktiiviset päättelyt voivat olla vahvuudeltaan hyvin erilaisia. Yllä olevaan esimerkkiin voidaan sijoittaa erilaisia tätä vahvuutta kuvaavia ilmauksia kuten miltei kaikki, useimmat, ja niin edelleen. Tarkastellaan seuraavaksi yhtä esimerkkiä, jotta saamme kuvan siitä, miten mahdollisten maailmojen testiä tulisi soveltaa induktiivisten argumenttien arviointiin. Merkurius, Venus, Maa ja Mars ovat ainoat asteroidi vyöhykkeen sisällä olevat planeetat. Täsmälleen kolme näistä planeetoista ovat elottomia. Siis, Venus on eloton. Jotta voisimme arvioida tätä, meidän tulee arvioida erilaisia mahdollisia maailmoja, joissa premissit ovat tosia. Nämä mahdolliset maailmat voidaan jakaa neljään luokkaan riippuen siitä, mikä planeetta on elollinen. Ensi ajattelemalta voisi ajatella, että sellaisia maailmoja, joissa Maa on elollinen on eniten, koska Maa on oikealla etäisyydellä, sillä on sopiva rakenne ja niin edelleen. Tämä ajattelu on kuitenkin tarpeettoman Maa sidonnaista. Voimme nimittäin ajatella planeettojen sijaitsevan millä tahansa etäisyydellä, tai että niillä on erilainen rakenne. Aurinko saattaa myös olla erilainen. Tästä syystä mikään näistä luokista ei ole eri kokoinen kuin muut. Mutta mikäli näin on, meidän tulisi eri maailmoja ajatellessamme kohdata kaikkia eri luokkia samalla frekvenssillä: 25 % niistä on sellaisia, joissa Merkuriuksella on elämää, 25 % sellaisia, joissa Venuksella on elämää, 25 % tapauksista Maa on elollinen ja 25 % sellaisia, joissa Mars on elämää ylläpitävä. Tällöin johtopäätös on tosi 75 %:ssa tapauksista ja argumentti on induktiivinen. Puuttuva todistusaineisto Induktiivisella argumentilla on eräs piirre, jota deduktiivisella argumentilla ei ole. Nimittäin induktiivisen argumentin vahvuus voi muuttua, kun saamme uutta todistusaineistoa. Tarkastellaan seuraavaa esimerkkiä: Useimmat pankkiirit ovat rikkaita. Parantainen on pankkiiri. Parantainen on rikas. Argumentti on selvästi induktiivinen. Mutta ajatellaanpa, että saamme tietää, että Parantaisen pankki on juuri kaatunut ja että Useimmat pankkiirit, joiden pankki on juuri kaatunut, ovat köyhiä. Jos lisäämme tämän tiedon edelliseen argumenttiin, saamme tulokseksi jokseenkin oudon argumentin. Mutta se ei ole olennaista tässä yhteydessä, vaan se, että nyt olemme sitä mieltä, että argumentti ei anna hyvää syytä uskoa johtopäätös Parantainen on rikas, koska perusteet eivät tee johtopäätöstä todennäköiseksi. Premissien lisääminen voi myös vahvistaa argumenttia. Ajatellaan, että olisimme lisänneet premissit Parantainen on hyvin vanha ja Kaikki vanhat pankkiirit ovat rikkaita. Nyt argumentti tosin tekisi premissin Useimmat pankkiirit rikkaita redundantiksi mutta tässä yhteydessä voimme pitää sitä vain teknisenä seikkana. Seuraus kuitenkin on, että argumentti on nyt deduktiivinen. Premissi voi myös olla 19

20 irrelevantti. Ajatellaan vaikka premissiä Parantainen pitää mieluusti villapipoa. On vaikea nähdä suoraan miten tämä tieto muuttaisi argumentin vahvuutta. Tällainen sensitiivisyys uudelle informaatiolle ei koske deduktiivista argumenttia. Deduktiiviset argumentit ovat niin sanotusti monotonisia: mikään määrä uutta informaatiota ei tee argumentista ei deduktiivista. Syy tähän on selvä: jos ei voi olla tilannetta, jossa premissit ovat tosia ja johtopäätös epätosi, ei tämä voi muuttua mihinkään sillä, että lisäämme premissejä. Tästä seuraa kuitenkin eräs ongelma. Miten kuvata alkuperäistä argumenttia: Useimmat pankkiirit ovat rikkaita. Parantainen on pankkiiri. Parantainen on rikas. jos lisäämme tähän argumenttiin perusteet Parantaisen pankki on juuri kaatunut ja Melkein kaikki pankkiirit, joiden pankki ovat juuri kaatunut, ovat köyhiä. Sillä ei tunnu luontevalta sanoa, että kyseinen argumentti on virhepäätelmä. Juurihan totesimme, että se on induktiivinen. Kun arvioimme induktiivista päättelyä, meidän on muistettava, että se on siis altista uudelle informaatiolle ja meidän on siksi harkittava tämän uuden informaation mahdollisuutta. Ollakseen siis järkevää, induktiossa on otettava huomioon kaikki tiedetty relevantti informaatio. Tätä kutsutaan kattavan todistusaineiston vaatimukseksi. Tällöin avainsanoja ovat tiedetty ja relevantti. Äsken arvioimme, että pankin kaatuminen on relevanttia ja päähinemaku ei. Tiedetty informaatio viittaa siihen informaatioon, joka arvioitsijalla on hallussaan. Tämä luonnollisesti vaihtelee. Mutta miksi sitten rajoitamme informaation tiedettyyn, eikä kaikkeen informaatioon? Tähän on kaksi vastausta, joiden mukaan emme voi niin tehdä, toinen käytännöllinen, toinen teoreettinen. Ensinnäkin, tiedämme sen minkä tiedämme. Ei ole realistista vaatia arvioinnissa käytettävän muuta kuin tiedettyjä perusteita. Mutta teoreettinen vastaus on myös mielenkiintoinen, sillä se kertoo meille paljon siitä mistä induktiivisessa päättelyssä on kyse. Eikö toisaalta olisi ideaalista, että vaatisimme kaiken? Tällainen rajoitus siis koskisi ideaalista päättelijää. Mutta ajatellaanpa tätä tarkemmin. Voidaan nimittäin väittää, että kaiken tiedon vaatiminen tuhoaa induktiivisen päättelyn. Argumentin johtopäätös on joko tosi tai epätosi. Siksi kaiken tiedon vaatiminen vaatii, että tiedämme johtopäätöksen. Päättelyn kannaltahan johtopäätöksen totuushan on erittäin relevanttia informaatiota. Silloin johtopäätöksen vaatiminen tekee päätelmästä deduktiivisen, koska jos oletamme johtopäätöksen meidän on sisällytettävä se perusteisiin, jolloin päätelmä on kehäpäätelmä ja argumentti on deduktiivinen. Toisaalta, jos johtopäätös on epätosi, relevantein väite on johtopäätöksen kielto. Tämä taas tekee argumentista virhepäätelmän, sillä nyt johtopäätös ei voi olla tosi missään maailmassa, jossa kaikki premissit ovat todet. Induktio on mahdollista vain osittaisen tietämättömyyden vallitessa. Tästä syystä siis arvioitsijan on otettava mahdollisimman huolellisesti tietämänsä informaatio huomioon. Jos näin on tehty, on argumentti rationaalinen. Mikäli näin ei ole tehty, on argumentti piilottanut relevanttia informaatiota. Diagrammeja tehdessämme huomioimme tämän kirjoittamalla argumentin viereen, että se ei ota kaikkea relevanttia tietoa huomioon ja ei siksi tee johtopäätökseen uskomista rationaaliseksi. On syytä huomata, että tällainen informaatio on luonteeltaan erilaista kuin implisiittiset perusteet. Implisiittiset perusteet ovat sellaisia, joita puhuja haluaa sinun olettavan, kun taas piilotetun todistusaineiston tapauksessa sinun nimenomaan ei haluta ottavan kyseistä evidenssiä huomioon. On myös syytä muistaa, että piilotettu todistusaineisto on jotain faktuaalista, todennettua informaatiota. Pelkkä vasta esimerkin keksiminen ei siis vielä osoita, että argumentti piilottaa todistusaineistoa. Tällaisen informaation löytäminen ei siten ole myöskään pelkästään loogista arviointia. 20

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei

Lisätiedot

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos... 2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan:

FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: LOGIIKKA 1 Mitä logiikka on? päättelyn tiede o oppi muodollisesti pätevästä päättelystä 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: sisältö, merkitys: onko jokin premissi

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet

Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet 1. Kysy Asiakkaalta: Tunnista elämästäsi jokin toistuva malli, jota et ole onnistunut muuttamaan tai jokin ei-haluttu käyttäytymismalli tai tunne, tai joku epämiellyttävä

Lisätiedot

Pikapaketti logiikkaan

Pikapaketti logiikkaan Pikapaketti logiikkaan Tämän oppimateriaalin tarkoituksena on tutustua pikaisesti matemaattiseen logiikkaan. Oppimateriaalin asioita tarvitaan projektin tekemisessä. Kiinnostuneet voivat lukea lisää myös

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka ) T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation

Lisätiedot

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit 1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät

Lisätiedot

LAUSELOGIIKKA (1) Sanalliset ilmaisut ovat usein epätarkkoja. On ilmaisuja, joista voidaan sanoa, että ne ovat tosia tai epätosia, mutta eivät molempia. Ilmaisuja, joihin voidaan liittää totuusarvoja (tosi,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Aineistoista. Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin

Aineistoista. Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin Aineistoista 11.2.09 IK Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin Muotoilussa kehittyneet menetelmät, lähinnä luotaimet Havainnointi:

Lisätiedot

Tieteenfilosofia 3/4. Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia

Tieteenfilosofia 3/4. Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia Tieteenfilosofia 3/4 Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia 1 Keskeisiä peruskäsitteitä Päättely on sellaista ajattelutoimintaa, joka etenee premisseistä eli oletuksista johtopäätökseen

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

Tietoteoria. Tiedon käsite ja logiikan perusteita. Monday, January 12, 15

Tietoteoria. Tiedon käsite ja logiikan perusteita. Monday, January 12, 15 Tietoteoria Tiedon käsite ja logiikan perusteita Tietoteoria etsii vastauksia kysymyksiin Mitä tieto on? Miten tietoa hankitaan? Mitä on totuus? Minkälaiseen tietoon voi luottaa? Mitä voi tietää? Tieto?

Lisätiedot

Loogiset konnektiivit

Loogiset konnektiivit Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Luonnollisen päättelyn luotettavuus

Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Nimeni on. Tänään on (pvm). Kellonaika. Haastateltavana on. Haastattelu tapahtuu VSSHP:n lasten ja nuorten oikeuspsykiatrian tutkimusyksikössä.

Nimeni on. Tänään on (pvm). Kellonaika. Haastateltavana on. Haastattelu tapahtuu VSSHP:n lasten ja nuorten oikeuspsykiatrian tutkimusyksikössä. 1 Lapsen nimi: Ikä: Haastattelija: PVM: ALKUNAUHOITUS Nimeni on. Tänään on (pvm). Kellonaika. Haastateltavana on. Haastattelu tapahtuu VSSHP:n lasten ja nuorten oikeuspsykiatrian tutkimusyksikössä. OSA

Lisätiedot

Algoritmit. Ohjelman tekemisen hahmottamisessa käytetään

Algoritmit. Ohjelman tekemisen hahmottamisessa käytetään Ohjelmointi Ohjelmoinnissa koneelle annetaan tarkkoja käskyjä siitä, mitä koneen tulisi tehdä. Ohjelmointikieliä on olemassa useita satoja. Ohjelmoinnissa on oleellista asioiden hyvä suunnittelu etukäteen.

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen.

1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen. Joukko-oppia Matematiikan mestariluokka, syksy 2010 Harjoitus 1, vastaukset 20.2.2010 1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi asettele

Lisätiedot

Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset

Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset 2000-08-03T10:30/12:00 Huomaa, että joihinkin kysymyksiin on useampia oikeita vastauksia, joten nämä ovat todellakin vain mallivastaukset. 1 Logiikkaa

Lisätiedot

Argumenteista ja niiden arvioinnista TIES542 Ohjelmointikielten periaatteet, kevät 2016

Argumenteista ja niiden arvioinnista TIES542 Ohjelmointikielten periaatteet, kevät 2016 Argumenteista ja niiden arvioinnista TIES542 Ohjelmointikielten periaatteet, kevät 2016 Antti-Juhani Kaijanaho 14. tammikuuta 2016 1 Argumentin käsite Tässä monisteessa argumentti on kielellinen viesti,

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Heikosta vastauksesta puuttuvat konkreettiset faktat, mikä näkyy esimerkiksi

Heikosta vastauksesta puuttuvat konkreettiset faktat, mikä näkyy esimerkiksi Heikosta vastauksesta puuttuvat konkreettiset faktat, mikä näkyy esimerkiksi asioiden esittämisenä ympäripyöreästi esimerkkien puuttumisena siten, ettei tehtävässä annettuja tai vastauksen kannalta olennaisia

Lisätiedot

LAPSEN HAASTATTELULOMAKE (alle 10-vuotiaalle)

LAPSEN HAASTATTELULOMAKE (alle 10-vuotiaalle) LAPSEN HAASTATTELULOMAKE (alle 10-vuotiaalle) Lapsi Haastattelija Päivä ja paikka 1 LAPSI JA HÄNEN PERHEENSÄ Vanhempasi ovat varmaankin kertoneet Sinulle syyn siihen, miksi olen halunnut tavata Sinua.

Lisätiedot

Perinnöllinen informaatio ja geneettinen koodi.

Perinnöllinen informaatio ja geneettinen koodi. Tehtävä A1 Kirjoita essee aiheesta: Perinnöllinen informaatio ja geneettinen koodi. Vastaa esseemuotoisesti, älä käytä ranskalaisia viivoja. Piirroksia voi käyttää. Vastauksessa luetaan ansioksi selkeä

Lisätiedot

Saa mitä haluat -valmennus

Saa mitä haluat -valmennus Saa mitä haluat -valmennus Valmennuksen jälkeen Huom! Katso ensin harjoituksiin liittyvä video ja tee sitten vasta tämän materiaalin tehtävät. Varaa tähän aikaa itsellesi vähintään puoli tuntia. Suosittelen

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Fakta- ja näytenäkökulmat. Pertti Alasuutari Tampereen yliopisto

Fakta- ja näytenäkökulmat. Pertti Alasuutari Tampereen yliopisto Fakta- ja näytenäkökulmat Pertti Alasuutari Tampereen yliopisto Mikä on faktanäkökulma? sosiaalitutkimuksen historia: väestötilastot, kuolleisuus- ja syntyvyystaulut. Myöhemmin kysyttiin ihmisiltä tietoa

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf

Lisätiedot

Kuka on arvokas? Liite: EE2015_kuka on arvokas_tulosteet.pdf tulosta oppilaiden lomakkeet tehtäviin 1 ja 2.

Kuka on arvokas? Liite: EE2015_kuka on arvokas_tulosteet.pdf tulosta oppilaiden lomakkeet tehtäviin 1 ja 2. Kuka on arvokas? Jotta voisimme ymmärtää muiden arvon, on meidän ymmärrettävä myös oma arvomme. Jos ei pidä itseään arvokkaana on vaikea myös oppia arvostamaan muita ihmisiä, lähellä tai kaukana olevia.

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia

Lisätiedot

Propositioista. Lause ja propositio. Sisältö/merkitys. väite, väittämä arvostelma propositio ajatus. lause merkkijonona

Propositioista. Lause ja propositio. Sisältö/merkitys. väite, väittämä arvostelma propositio ajatus. lause merkkijonona Propositioista Tutkittaessa argumenttien ja päätelmien pätevyyttä ja selvitettäessä ajatusten sekä käsitteiden merkityksiä on argumentit, ajatukset ja käsitteet yleensä ilmaistava kielellisesti. Semantiikassa

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet 9.1 9.5) 30.11. 3.12.2004 1. Osoita lauselogiikan avulla oheisten ehtolausekkeiden ekvivalenssi. (a)!(a

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen

Lisätiedot

Eikev 5. Moos 7: 12-11: 25

Eikev 5. Moos 7: 12-11: 25 1 Eikev 5. Moos 7: 12-11: 25 Hepreankielisessä sanassa eikev on hyvin paljon tarkoitusta. Ensimmäinen tarkoitus on: johdonmukainen, askel askeleelta eteenpäin. Sana eikev tarkoittaa myös kantapäätä. Kaikkivaltias

Lisätiedot

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

Ilpo Halonen 2005. 1.3 Päätelmistä ja niiden pätevyydestä. Luonnehdintoja logiikasta 1. Johdatus logiikkaan. Luonnehdintoja logiikasta 2

Ilpo Halonen 2005. 1.3 Päätelmistä ja niiden pätevyydestä. Luonnehdintoja logiikasta 1. Johdatus logiikkaan. Luonnehdintoja logiikasta 2 uonnehdintoja logiikasta 1 Johdatus logiikkaan Ilpo Halonen Syksy 2005 ilpo.halonen@helsinki.fi Filosofian laitos Humanistinen tiedekunta "ogiikka on itse asiassa tiede, johon sisältyy runsaasti mielenkiintoisia

Lisätiedot

3. Ryhdy kirjoittamaan ja anna kaiken tulla paperille. Vääriä vastauksia ei ole.

3. Ryhdy kirjoittamaan ja anna kaiken tulla paperille. Vääriä vastauksia ei ole. 1 Unelma-asiakas Ohjeet tehtävän tekemiseen 1. Ota ja varaa itsellesi omaa aikaa. Mene esimerkiksi kahvilaan yksin istumaan, ota mukaasi nämä tehtävät, muistivihko ja kynä tai kannettava tietokone. Varaa

Lisätiedot

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys. Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen

Lisätiedot

Matemaatiikan tukikurssi

Matemaatiikan tukikurssi Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon

Lisätiedot

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä

Lisätiedot

Tukikeskustelukoulutus. Tukikeskustelutyökaluna Olen jotain erityistä (Peter Vermeulen) Sari Kujanpää Psykologi, psykoterapeutti (VET)

Tukikeskustelukoulutus. Tukikeskustelutyökaluna Olen jotain erityistä (Peter Vermeulen) Sari Kujanpää Psykologi, psykoterapeutti (VET) Tukikeskustelukoulutus Tukikeskustelutyökaluna Olen jotain erityistä (Peter Vermeulen) Sari Kujanpää Psykologi, psykoterapeutti (VET) Peter Vermeulen Olen jotakin erityistä Kuinka kertoa lapsille ja nuorille

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa

Lisätiedot

Tieteenfilosofia 4/4. Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia

Tieteenfilosofia 4/4. Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia Tieteenfilosofia 4/4 Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia 1 Tieteellinen selittäminen Tieteellisen tutkimuksen perustehtävä on maailmaa koskevan uuden ja totuudenmukaisen

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Modus Ponens. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15. Modus Ponens. Ketjusääntö. Päättelyketju.

Modus Ponens. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15. Modus Ponens. Ketjusääntö. Päättelyketju. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15 JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi (A (A B)) B on tautologia eli (A (A B)) B. 1 / 15 JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä

Lisätiedot

Miina ja Ville etiikkaa etsimässä

Miina ja Ville etiikkaa etsimässä Miina ja Ville etiikkaa etsimässä Elämänkatsomustieto Satu Honkala, Antti Tukonen ja Ritva Tuominen Sisällys Opettajalle...4 Oppilaalle...5 Työtavoista...6 Elämänkatsomustieto oppiaineena...6 1. HYVÄ ELÄMÄ...8

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 3. Logiikka 3.1 Logiikka tietojenkäsittelyssä Pyritään formalisoimaan terveeseen järkeen perustuva päättely Sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim.

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

SUOMI EUROOPASSA 2002 -TUTKIMUS

SUOMI EUROOPASSA 2002 -TUTKIMUS A SUOMI EUROOPASSA 2002 -TUTKIMUS GS1. Alla kuvaillaan lyhyesti ihmisten ominaisuuksia. Lukekaa jokainen kuvaus ja rastittakaa, kuinka paljon tai vähän kuvaus muistuttaa teitä itseänne. a. Ideoiden tuottaminen

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

- Kummalla on vaaleammat hiukset? - Villellä on vaaleammat hiukset.

- Kummalla on vaaleammat hiukset? - Villellä on vaaleammat hiukset. MAI FRICK KOMPARAATIO ELI VERTAILU 1. Komparatiivi -mpi -mpa, -mma monikko: -mpi, -mmi - Kumpi on vanhempi, Joni vai Ville? - Joni on vanhempi kuin Ville. - Kummalla on vaaleammat hiukset? - Villellä on

Lisätiedot

Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.

Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C. Luku 1 Johdatteleva esimerkki Herra K. tarjoaa osto-option Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.

Lisätiedot

Tuen tarpeen tunnistaminen. Lukemisen ja kirjoittamisen ryhmäarviointi. Esitysohjeet opettajalle. toinen luokka syksy

Tuen tarpeen tunnistaminen. Lukemisen ja kirjoittamisen ryhmäarviointi. Esitysohjeet opettajalle. toinen luokka syksy Tuen tarpeen tunnistaminen Lukemisen ja kirjoittamisen ryhmäarviointi toinen luokka syksy Esitysohjeet opettajalle arvioinnin yleisiä periaatteita Tutustu ennen tehtävien esittämistä ohjeisiin ja materiaaliin

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

HENKISTÄ TASAPAINOILUA

HENKISTÄ TASAPAINOILUA HENKISTÄ TASAPAINOILUA www.tasapainoa.fi TASAPAINOA! Kaiken ei tarvitse olla täydellisesti, itse asiassa kaikki ei koskaan ole täydellisesti. Tässä diasarjassa käydään läpi asioita, jotka vaikuttavat siihen,

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta Tuloperiaate Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta ja 1. vaiheessa valinta voidaan tehdä n 1 tavalla,. vaiheessa valinta voidaan tehdä n tavalla,

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisut. Joukko-opin harjoituksia. MAB1: Luvut ja lukujoukot 2

Harjoitustehtävien ratkaisut. Joukko-opin harjoituksia. MAB1: Luvut ja lukujoukot 2 MAB: Luvut ja lukujoukot Harjoitustehtävien ratkaisut Joukko-opin harjoituksia T Joukossa W V ovat kaikki joukkojen W ja V alkiot, siis alkiot, jotka ovat joko W :n tai V :n tai molempien alkioita. Siis

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Java-kielen perusteita

Java-kielen perusteita Java-kielen perusteita valintalauseet 1 Johdantoa kontrollirakenteisiin Tähän saakka ohjelmissa on ollut vain peräkkäisyyttä eli lauseet on suoritettu peräkkäin yksi kerrallaan Tarvitsemme myös valintaa

Lisätiedot

2. Argumenttianalyysi. Renne Pesonen (TaY) 28. syyskuuta / 119

2. Argumenttianalyysi. Renne Pesonen (TaY) 28. syyskuuta / 119 2. Argumenttianalyysi Renne Pesonen (TaY) 28. syyskuuta 2015 35 / 119 Tähän mennessä havaittua: Argumentti koostuu kolmenlaisista asioista 1. Väite V 2. Perustelut P 1, P 2, P 3,... 3. Taustaoletukset

Lisätiedot

Strategian tekeminen yhdessä 14.5.2014

Strategian tekeminen yhdessä 14.5.2014 Strategian tekeminen yhdessä 14.5.2014 Suvi von Becker Miksi yhdessä tekeminen? Johtoporras: Ymmärrys valuu kuin vesi hanhen selästä Ovat niin hankalia, asennevamma. Eikö sana kuulu vai eikö se mene perille?

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

IHMISOIKEUSKASVATUS Filosofiaa lapsille -menetelmällä

IHMISOIKEUSKASVATUS Filosofiaa lapsille -menetelmällä Pohdi! Seisot junaradan varrella. Radalla on 40 miestä tekemässä radankorjaustöitä. Äkkiä huomaat junan lähestyvän, mutta olet liian kaukana etkä pysty varoittamaan miehiä, eivätkä he itse huomaa junan

Lisätiedot

SUBSTANTIIVIT 1/6. juttu. joukkue. vaali. kaupunki. syy. alku. kokous. asukas. tapaus. kysymys. lapsi. kauppa. pankki. miljoona. keskiviikko.

SUBSTANTIIVIT 1/6. juttu. joukkue. vaali. kaupunki. syy. alku. kokous. asukas. tapaus. kysymys. lapsi. kauppa. pankki. miljoona. keskiviikko. SUBSTANTIIVIT 1/6 juttu joukkue vaali kaupunki syy alku kokous asukas tapaus kysymys lapsi kauppa pankki miljoona keskiviikko käsi loppu pelaaja voitto pääministeri päivä tutkimus äiti kirja SUBSTANTIIVIT

Lisätiedot

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Laske 20 12 11 21. Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut a) 31 b) 0 c) 9 d) 31 Ratkaisu. Suoralla laskulla 20 12 11 21 = 240 231 = 9. (2) Kahden peräkkäisen

Lisätiedot

Syntyikö maa luomalla vai räjähtämällä?

Syntyikö maa luomalla vai räjähtämällä? Syntyikö maa luomalla vai räjähtämällä? Tätä kirjoittaessani nousi mieleeni eräs tuntemani insinööri T. Palosaari. Hän oli aikansa lahjakkuus. Hän oli todellinen nörtti. Hän teki heti tietokoneiden tultua

Lisätiedot

MONOGRAFIAN KIRJOITTAMINEN. Pertti Alasuutari

MONOGRAFIAN KIRJOITTAMINEN. Pertti Alasuutari MONOGRAFIAN KIRJOITTAMINEN Pertti Alasuutari Lyhyt kuvaus Monografia koostuu kolmesta pääosasta: 1. Johdantoluku 2. Sisältöluvut 3. Päätäntäluku Lyhyt kuvaus Yksittäinen luku koostuu kolmesta osasta

Lisätiedot

Ratkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R):

Ratkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R): Diskreetti matematiikka, sks 2010 Harjoitus 2, ratkaisuista 1. Seuraavassa on kuvattu kolme virtapiiriä, joissa on paristo, sopiva lamppu L ja katkaisimia P, Q, R, joiden läpi virta kulkee (1) tai ei kulje

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

Sairastuneiden ja omaisten kanssa keskusteleminen

Sairastuneiden ja omaisten kanssa keskusteleminen Infosheet 38 Sairastuneiden ja omaisten kanssa keskusteleminen Ymmärrettävä tieto Antamalla ihmisille tilaisuuden esittää kysymyksensä voit räätälöidä heidän tarpeisiinsa sopivaa tietoa. Jokaiseen keskusteluun

Lisätiedot

Luento 9. June 2, Luento 9

Luento 9. June 2, Luento 9 June 2, 2016 Otetaan lähtökohdaksi, että sopimuksilla ei voida kattaa kaikkia kontingensseja/maailmantiloja. Yksi kiinnostava tapaus on sellainen, että jotkut kontingenssit ovat havaittavissa sopimusosapuolille,

Lisätiedot

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. 3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

Tietorakenteet (syksy 2013)

Tietorakenteet (syksy 2013) Tietorakenteet (syksy 2013) Harjoitus 1 (6.9.2013) Huom. Sinun on osallistuttava perjantain laskuharjoitustilaisuuteen ja tehtävä vähintään kaksi tehtävää, jotta voit jatkaa kurssilla. Näiden laskuharjoitusten

Lisätiedot