Kappale 3: Symbolinen manipulointi
|
|
- Anni-Kristiina Pesonen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kappale 3: Symbolinen manipulointi 3 Johdanto: Symbolinen manipulointi Määrittämättömien ja määritettyjen muuttujien käyttö Exact-, Approximate- ja Auto-tilojen käyttö Automaattinen sievennys Eräiden sisäänrakennettujen funktioiden hidastettu sievennys Arvojen korvaaminen ja rajoitusten asettaminen Algebra-valikko Tavallisimmat algebralliset toiminnot Calc-valikko Tavallisimmat differentiaali- ja integraalitoiminnot Käyttäjäkohtaiset funktiot ja symbolinen manipulointi Out-of-Memory -virheilmoitus Erikoisvakiot symbolisessa manipuloinnissa Tässä kappaleessa kerrotaan yleisesti, kuinka symbolista manipulointia voi käyttää algebralaskuissa sekä differentiaali- ja integraalilaskuissa. Voit suorittaa symbolisia laskutoimituksia Home-näytössä. Kappale 3: Symbolinen manipulointi 45
2 Johdanto: Symbolinen manipulointi Ratkaise yhtälöryhmä 2x ì 3y = 4 ja ë x + 7y = ë 12. Ratkaise ensimmäinen yhtälö niin, että muuttujaa x tulkitaan muuttujan y avulla. Korvaa x saadulla lausekkeella toisessa yhtälössä, ja ratkaise y:n arvo. Sijoita sitten y:n arvo ensimmäiseen yhtälöön ja ratkaise x:n arvo. Vaihe Näppäimet Näyttö 1. Ota esiin Home-näyttö ja tyhjennä komentorivi. Ratkaise yhtälö 2x ì 3y = 4 x:n suhteen. Näppäilemällä 1 valitset solve(algebravalikosta. Voit myös kirjoittaa solve( suoraan näppäimistöltä tai painaa ½ ja valita sen. 2. Aloita yhtälön ë x + 7y = ë 12 ratkaisu muuttujan y suhteen, mutta älä paina vielä -näppäintä. " MM 1 2X 3YÁ4 bxd 1 X «7YÁ 12bYd 3. Korvaa x ensimmäisessä yhtälössä ratkaistulla lausekkeella with - operaattorin avulla (Í). Näin saat muuttujan y arvon. with -operaattori näkyy ruudulla merkkinä. Korosta historia-alueen viimeisin ratkaisu automaattisella liittämistoiminnolla ja liitä ratkaisu komentoriville. Í C 4. Korosta historia-alueelta x:n yhtälö. CCC 5. Liitä korostettu lauseke automaattisesti komentoriville. Korvaa sitten toisesta yhtälöstä saatu y:n arvo. Ratkaisu on: x = ë 8/11 ja y = ë 20/11 Í C Tämä on esimerkki symbolisesta manipuloinnista. Yhtälöryhmiä voi myös ratkaista yksivaiheisella funktiolla. (Lisätietoja sivulla 61.) 46 Kappale 3: Symbolinen manipulointi
3 Määrittämättömien ja määritettyjen funktioiden käyttö Kun lasket algebralaskuja tai differentiaali- ja integraalilaskuja, on tärkeää, että ymmärrät miten määrittämättömien tai määritettyjen muuttujien käyttö vaikuttaa laskutoimituksiin. Muutoin saatat esimerkiksi saada ratkaisuksi luvun odottamasi algebralausekkeen sijasta. Määrittämättömät ja määritetyt muuttujat Vihje: Käytä muuttujanimiä, joissa on enemmän kuin yksi merkki. Jätä yksimerkkiset nimet määrittämättä, niin voit käyttää niitä symbolilaskuissa. Muuttujatyypin määrittäminen Kun syötät lausekkeen, joka siältää muuttujan, TI-89 käsittelee muuttujaa seuraavasti. Jos muuttuja on määrittämätön, sitä käsitellään algebrasymbolina. Jos muuttuja on määritetty (vaikka sen arvoksi olisi määritetty 0), sen arvo korvaa muuttujan. Muuttujatyypin tunnistaminen on tärkeää. Jos esimerkiksi haluat löytää xò :n ensimmäisen derivaatan suhteessa x:ään. Jos x on määrittämätön, ratkaisu on odotetun muotoinen. Jos x on määritetty, ratkaisu voi olla odottamattoman muotoinen. Menetelmä: Syötä muuttujanimi. Ellet tiedä, että muuttujaan x oli jo aiemmin tallennettu arvo 5, on ratkaisu 75 harhaanjohtava. Esimerkki: Jos muuttuja on määritetty, arvo esitetään. Huom! Näppäimillä 2 saat esiin luettelon määritetyistä muuttujista. Lisätietoja Kappaleessa 21. Käytä gettype -funktiota. Jos muuttuja on määrittämätön, muuttujanimi esitetään. Jos muuttujan tyyppi on määritetty, se näkyy näytössä. Jos tyyppiä ei ole määritetty, näytössä lukee "NONE". Kappale 3: Symbolinen manipulointi 47
4 Määritetyn muuttujan nollaaminen Voit poistaa muuttujan määrittelyn nollaamalla sen. Kun haluat nollata: Yhden tai useamman määritetyn muuttujan Tee näin: Käytä DelVar-funktiota. Huom! Tietoja kansioista Kappaleessa 5. Kaikki yksikirjaimiset muuttujat (a z) nykyisestä kansiosta Voit nollata muuttujia myös VAR-LINKnäytössä ( 2 ) Kappaleen 21 mukaisesti. Paina Home-näytössä 2ˆ Clear a-z. Sinua kehotetaan vahvistamaan nollaaminen. Paina. Muuttujan väliaikainen ohittaminen Jos näppäilet with-operaattorin ( ) painamalla Í-näppäintä, voit: Ohittaa väliaikaisesti muuttujan määritetyn arvon. Huom! Lisätietoja -operaattorista sivulla 55. Määrittää väliaikaisen arvon määrittämättömälle muuttujalle. 48 Kappale 3: Symbolinen manipulointi
5 Exact-, Approximate- ja Auto-tilojen käyttö Exact/Approx-tilojen asetukset, joita käsitellään lyhyesti Kappaleessa 2, vaikuttavat suoraan laskutoimitusten ratkaisujen tarkkuuteen. Tässä osassa kuvataan tila-asetusten ja symbolisen manipuloinnin suhdetta. EXACT-asetus Kun Exact/Approx = EXACT, TI-89 käyttää tarkkaa rationaalista aritmetiikkaa, jossa sekä osoittaja että nimittäjä voivat sisältää 614 numeroa. EXACT-asetus. Muuntaa irrationaaliluvut perusmuotoon niin pitkälle kuin mahdollista ilman pyöristystä. Esimerkiksi 12 muuntuu muotoon 2 3 ja ln(1000) muotoon 3 ln(10). Muuntaa liukuluvut rationaaliluvuiksi. Esimerkiksi 0.25 muuntuu muotoon 1/4. Funktiot solve, csolve, zeros, czeros, factor,, fmin ja fmax käyttävät vain tarkkoja symbolisia algoritmeja. Nämä funktiot eivät laske likimääräisiä ratkaisuja EXACT-asetuksessa. Eräillä yhtälöillä, kuten 2 x = x, on ratkaisuja, joita TI-89:n funktioilla ja operaattoreilla ei pystytä eksplisiitisesti tulkitsemaan. Sellaisille yhtälöille EXACT ei laske likimääräisiä ratkaisuja. Esimerkiksi yhtälöllä 2 x = x on likimääräinen ratkaisu x , mutta EXACT-asetuksella sitä ei esitetä. Edut Ratkaisut ovat tarkkoja. Haitat Kun käytät monimutkaisia rationaalilukuja ja irrationaalisia vakioita: Laskutoimituksissa kuluu enemmän muistia. Muisti saattaa loppua ennen ratkaisun saamista. Laskeminen vie aikaa. Ratkaisut voivat olla massiivisia. Niitä on hankalampi ymmärtää kuin liukulukuja. Kappale 3: Symbolinen manipulointi 49
6 APPROXIMATE-asetus Kun Exact/Approx = APPROXIMATE, TI-89 muuntaa rationaaliluvut ja irrationaaliset vakiot liukuluvuiksi. Sääntöön on muutamia poikkeuksia: Eräät sisäänrakennetut funktiot, jotka edellyttävät yhden argumenteistaan olevan kokonaisluvun muuttavat argumentin kokonaisluvuksi, jos se on mahdollista. Esimerkiksi: d(y(x), x, 2.0) muuntuu muotoon d(y(x), x, 2). Kokonaisina lukuina olevat liukulukujen eksponentit muunnetaan kokonaisluvuiksi. Esimerkiksi: x 2.0 muuntuu muotoon x 2 myös APPROXIMATE-asetuksella. Funktiot kuten solve ja (integrate) voivat käyttää sekä tarkkaa symbolitekniikkaa että likimääräistä numeerista tekniikkaa. Nämä funktiot ohittavat kaikki tai osan tarkoista symbolitekniikoistaan, jos asetuksena on APPROXIMATE. Edut Jos tarkkoja ratkaisuja ei tarvita, tämä asetus säästää aikaa ja/tai muistia EXACTasetukseen verrattuna. Likimääräiset ratkaisut ovat joskus tiiviimpiä ja ymmärrettävämpiä kuin tarkat ratkaisut. Jos et aio laskea symbolisia laskutoimituksia, likimääräiset ratkaisut ovat samankaltaisia kuin perinteisissä numeerisissa laskimissa. Haitat Ratkaisuissa, jotka sisältävät määrittämättömiä muuttujia tai funktioita, esiintyy usein epätäydellistä purkautumista. Esimerkiksi kerroin, jonka pitäisi olla 0, saatetaan esittää pienenä arvona kuten E-11. Symboliset laskutoimitukset, kuten rajaarvot ja integrointi eivät välttämättä tuota tyydyttäviä ratkaisuja APPROXIMATE-asetuksella. Likimääräiset ratkaisut ovat joskus vähemmän tiiviitä ja ymmärrettäviä kuin tarkat ratkaisut. Haluat esimerkiksi ehkä mieluummin nähdä ratkaisun 1/7 kuin Kappale 3: Symbolinen manipulointi
7 AUTO-asetus Kun Exact/Approx = AUTO, TI-89 tarkkaa rationaalista aritmetiikkaa siellä, missä kaikki operandit ovat rationaalilukuja. Muussa tapauksessa käytetään liukulukuaritmetiikkaa sen jälkeen, kun rationaalisia operandeja on muutettu liukuluvuiksi. Liukuluvut ovat ns. "tarttuvia". Esimerkiksi: 1/2 1/3 muuntuu muotoon 1/6 mutta 0.5 1/3 muuntuu muotoon Liukuluvut eivät kuitenkaan tartu rajojen, kuten määrittämättömien muuttujien, yli eikä listan tai matriisin alkioiden välillä. Esimerkiksi: (1/2-1/3) x + (0.5 1/3) y muuntuu muotoon x/ y ja {1/2-1/3, 0.5 1/3} muuntuu muotoon {1/6, } AUTO-asetuksessa funktiot, kuten solve, määrittävät mahdollisimman monta tarkkaa ratkaisua, ja käyttävät sen jälkeen tarvittaessa likimääräisiä numeerisia menetelmiä lisäratkaisujen etsinnässä. Myös (integrate) käyttää tarvittaessa likimääräisiä numeerisia menetelmiä, jos tarkat symbolit menetelmät eivät pysty määrittämään ratkaisua. Edut Saat tarkkoja ratkaisuja, jos ne ovat käytännöllisiä, ja likimääräisiä numeerisia tuloksia, jos tarkat tulokset ovat epäkäytännöllisiä. Voit usein myös määrätä ratkaisun esitysmuodon, jos syötät joitakin kertoimia joko rationaalitai liukulukuina. Haitat Jos haluat vain tarkkoja ratkaisuja, likimääräisten ratkaisujen hakemiseen saattaa kuulua turhaan aikaa. Jos haluat vain likimääräisiä ratkaisuja, tarkkojen ratkaisujen hakemiseen saattaa kulua turhaan aikaa. Myös muisti saattaa loppua kesken tarkkoja ratkaisuja haettaessa. Kappale 3: Symbolinen manipulointi 51
8 Automaattinen sievennys Kun kirjoitat lausekkeen komentoriville ja painat, TI-89 sieventää lausekkeen automaattisesti sievennyksen oletussääntöjen mukaisesti. Sievennyksen oletussäännöt Kaikkia seuraavia sääntöjä sovelletaan automaattisesti. Väliaikaisia ratkaisuja ei esitetä näytössä. Jos muuttujalle on määritelty arvo, se korvaa muuttujan. Jos muuttuja on määritelty toisen muuttujan suhteen, muuttuja korvautuu alimman tason arvolla (ääretön haku). Huom! Lisätietoja kansioista kappaleessa 5. Huom! Lisätietoja kappaleessa Hidastettu sievennys eräissä sisäänrakennetuissa funktioissa, sivu 54. Oletussievennys ei muuta muuttujia, jotka käyttävät polun nimia kansion määrittelyyn. Esimerkiksi x+class\x ei sievenny muotoon 2x. Funktiot: Argumentit sievennetään. (Jotkut sisäänrakennetut funktiot hidastavat joidenkin argumenttiensa sievennystä.) Jos kyseessä on sisäänrakennettu tai käyttäjäkohtainen funktio, funktion määritelmää sovelletaan sievennettyihin argumentteihin. Sen jälkeen funktionaalinen muoto korvautuu saadulla ratkaisulla. Numeeriset alilausekkeet yhdistetään. Tulot ja summat lajitellaan järjestykseen. Tulot ja summat, jotka sisältävät määrittämättömiä muuttujia, lajitellaan muuttujanimen ensimmäisen kirjaimen mukaan. Määrittämättömät muuttujat r - z oletetaan todellisiksi muuttujiksi, ja ne sijoitetaan aakkosjärjestykseen summan alkuun. Määrittämättömät muuttujat a - q oletetaan vakioiksi, ja ne sijoitetaan aakkosjärjestykseen summan loppuun (mutta ennen lukuja). Samankaltaiset tekijät ja termit yhdistetään. 52 Kappale 3: Symbolinen manipulointi
9 Nollia ja ykkösiä sisältäviä identiteettejä hyödynnetään. Tämä liukuluku aiheuttaa, sen, että numeeriset tulokset esitetään liukulukuina. Jos kokonaisliukuluku syötetääm eksponenttina, sitä käsitellään kokonaislukuna (eikä se tuota liukulukuratkaisua). Polynomiset suurimmat yhteiset jakajat sievennetään. Polynomit lavennetaan, jos näppäinperuutus ei ole mahdollinen. Yhteiset nimittäjät muodostetaan, jos näppäinperuutus ei ole mahdollinen. Funktionaalisia identiteettejä hyödynnetään. Esimerkiksi: ln(2x) = ln(2) + ln(x) ja sin(x)ñ + cos(x)ñ = 1 Ei näppäinperuutusta Ei näppäinperuutusta Sievennyksen kesto Syötteen, ratkaisun tai väliaikaisen lausekkeen rakenteesta riippuen lausekkeen laventaminen ja yhteisten nimittäjien sievennys saattaa kestää kauankin. Voit keskeyttää pitkän sievennyksen painamalla. Sen jälkeen voit yrittää lauseketta osa kerrallaan. (Liitä koko lauseke automaattisesti komentoriville ja poista tarpeettomat osat.) Kappale 3: Symbolinen manipulointi 53
10 Hidastettu sievennys eräissä sisäänrakennetuissa funktioissa Yleensä muuttujat sievennetään automaattisesti alimpaan mahdolliseen tasoonsa, ennen kuin ne siirretään funktioon. Joissakin funktioissa sievennys suoritetaan loppuun vasta funktion suorittamisen jälkeen. Hidastettua sievennystä käyttävät funktiot Hidastettua sievennystä käyttävissä funktioissa on käytettävä varargumenttia, joka suorittaa funktion muuttujan suhteen. Nämä funktiot sisältävät vähintään kaksi argumenttia, joiden yleinen muoto on: function(expression, var [,... ]) Huom! Kaikki varargumenttia käyttävät funktiot eivät käytä hidastettua sievennystä. Esimerkiksi: solve(x^2ì xì 2=0,x) d(x^2ìxì2,x) (x^2ì xì 2,x) limit(xñ ì xì 2,x,5) Huom! Tilanteesta riippuen voi olla tarpeen määrittää var-muuttujalle arvo. Funktiot, jotka käyttävät hidastettua sievennystä: 1. var-muuttuja sievennetään alimpaan tasoonsa, jossa se säilyy muuttujana (vaikka sitä voitaisiinkin sieventää vielä eimuuttujamuotoon). 2. Funktio suoritetaan muuttujaa käyttäen. 3. Jos var-muuttujaa voidaan edelleen sieventää, sen arvo korvautuu ratkaisussa. Esimerkiksi: x ei sievenny. Huom! Oikealla oleva esimerkki määrittää derivaatan lausekkeelle xò arvolla x=5. Jos xò olisi alun perin sievennetty arvoon 75, saisit ratkaisuksi derivaatan luvusta 75, mikä ei kuitenkaan ole tarkoitus. x ei sievenny. Funktio käyttää merkintää xò, ja korvaa x :n arvolla 5. x sievennetään t:ksi. Funktio käyttää merkintää tò. x sievennetään t:ksi. Funktio käyttää merkintää tò, ja korvaa t :n arvolla Kappale 3: Symbolinen manipulointi
11 Arvojen korvaaminen ja rajoitteiden asettaminen with -operaattorilla ( ) voit korvata väliaikaisesti arvoja lausekkeessa ja määritellä rajoitteita. With -operaattorin kirjoittaminen Muuttujan korvaaminen Kun haluat kirjoittaa with -operaattorin ( ), paina Í. Määritetyn muuttujan voi korvata numeroarvolla tai lausekkeella. Lausekkeen xìò derivaatta arvolla x = 5 Jos haluat korvata useampia muuttujia amanaikaisesti, käytä Boolen operaattoria and. Yksinkertaisen lausekkeen korvaaminen Huom! acos(x) ei ole sama kuin a*cos(x). Yksinkertaisen lausekkeen voi korvata muuttujalla, numeroarvolla tai toisella lausekkeella. Jos korvaat usein käytettävän (tai pitkän) termin, myös ratkaisut esitetään tiiviimmässä muodossa. Lausekkeen sin(x) korvaaminen s:llä osoittaa, että lauseke on polynominen sin(x):n suhteen. Kompleksiarvojen korvaaminen Voit korvata kompleksisia arvoja samoin kuin muitakin arvoja. Huom! Yhteenveto kompleksiluvuista Liitteessä B. Vihje: Kun haluat kompleksien i:n, näppäile 2). Älä kirjoita j [I] näppäimistöllä. Kaikkia määrittämättömiä muuttujia käsitellään reaalilukuina symbolisissa laskutoimituksissa. Monimutkaisia kompleksisia laskutoimituksia varten on määritettävä kompleksimuuttuja. Esimerkiksi: x+yi! z Tämän jälkeen voit käyttää muuttujaa z kompleksimuuttujana. Voit myös käyttää muuttujaa z_. Lisätietoja alaviivan _ käytöstä Liitteessä A. Kappale 3: Symbolinen manipulointi 55
12 Korvaamisen rajoitukset Korvaaminen suoritetaan vain siellä, missä vastaavuus on tarkka. Vain x 2 korvautui, ei x 4. Jos määrität korvausmuuttujan sen omilla ehdoilla, voi seurauksena olla loputon toisto. sin(x) x=x+1 Määritä korvaus yksinkertaisilla ehdoilla, niin saat täydellisemmän korvaamisen Korvaa lausekkeet sin(x+1), sin(x+1+1), sin(x+1+1+1) jne. Kun syötät korvauksen, josta seuraa päättymätön toisto: Näyttöön tulee virheilmoitus. Kun painat N, virhe esitetään historia-alueella. Sisäisesti lauseke lajitellaan automaatisen sievennyksen sääntöjen mukaan. Siksi tulot ja summat eivät ehkä vastaa syöttöjärjestystä. Vihje: Käytä solve-funktiota avuksesi yhden muuttujan korvaamisen määrittelyssä. Yleensä tulisi korvata vain yksi muuttuja kerrallaan. Yleisempien lausekkeiden korvaaminen (joko mø cñ =e tai cñøm=e) ei ehkä toimi odotetulla tavalla. Ei korvausvastaavuutta 56 Kappale 3: Symbolinen manipulointi
13 Määrittelyjoukkorajoitukset Monet identiteetit ja muunnokset ovat voimassa vain tietyissä määrittelyjoukoissa. Esimerkiksi: ln(xù y) = ln(x) + ln(y) sinê (sin(q)) = q vain jos x ja/tai y ei ole negatiivinen vain jos q ë p/2 ja q p/2 radiaaneja with -operaattorilla voit rajata määrittelyjoukon. Vihje: Syötä ln(xù y) syötteen ln(xy) sijaan; muuten xy käsitellään yksittäisenä muuttujana nimeltä xy. Vihje: Kun haluat merkin tai, paina à tai Â. Voit myös valita ne valikosta näppäimillä 2I8 tai 2 2. Q Koska ln(xùy) = ln(x) + ln(y) ei aina ole käypä, logaritmejä ei yhdistetä. Kun rajoitus on määritetty, identiteetti on käypä ja lauseke sievennetään. Koska sinê(sin(q)) = q ei ole aina käypä, lauseketta ei sievennetä. Kun rajoitus on määritetty, lauseke voidaan sieventää. Korvaaminen/ Muuttujan määrittäminen Monissa tapauksissa muuttujan määrittäminen tuo samat tulokset kuin korvaaminen. Korvaaminen on kuitenkin yleensä suositeltavaa, koska muuttuja määritetään vain senhetkistä laskutoimitusta varten, eikä siksi vaikuta myöhempiin laskutoimituksiin. Korvaaminen x=1 ei vaikuta seuraavaan laskutoimitukseen. Varoitus: Kun x on määritetty, se voi vaikuttaa kaikkiin laskutoimituksiin, jotka sisältävät x:n (kunnes poistat x:n). Tallentaminen x=1 vaikuttaa seuraaviin laskutoimituksiin. Kappale 3: Symbolinen manipulointi 57
14 Algebra-valikko Algebra -työkalupalkkivalikosta voit valita yleisimmät algebrafunktiot. Algebra-valikko Paina Home-näytössä. Esiin tulee: Huom! Täydellinen kuvaus funktioista ja niiden syntaksista Liitteessä A. Tämän valikon saat esiin myös MATH-valikosta. Paina 2I ja valitse 9:Algebra. Valikkotoiminto solve factor expand zeros approx comdenom propfrac nsolve Kuvaus Ratkaisee lausekkeen määritetyn muuttujan suhteen. Palauttaa vain reaaliratkaisut riippumatta Complex Format -tila-asetuksesta. Esittää ratkaisut and- ja oryhdistelminä. (Valitse kompleksiratkaisuille Algebravalikon asetus A:Complex.) Jakaa lausekkeen tekijöihin kaikkien muuttujien tai vain määrätyn muuttujan suhteen. Laventaa lausekkeen kaikkien muuttujien tai vain määrätyn muuttujan suhteen. Määrittää määrätyn muuttujan ne arvot, joilla lausekkeen arvo on nolla. Arvot esitetään listana. Ratkaisee lausekkeen liukulukuaritmetiikkaa käyttäen, mikäli mahdollista.. Vastaa 3 - näppäimen käyttöä Exact/Approx = APPROXIMATE - asetuksen valinnassa (tai -näppäinten käyttöä lausekkeen ratkaisemiseksi). Laskee yhteisen nimittäjän lausekkeen kaikille termeille ja muuntaa lausekkeen osoittajan ja nimittäjän supistetuksi suhteeksi. Palauttaa lausekkeen varsinaisena osamääränä. Laskee yhtälölle yksittäisen ratkaisun liukulukuna (toisin kuin solve, joka voi tuottaa useita rationaalitai symbolimuotoisia ratkaisuja). 58 Kappale 3: Symbolinen manipulointi
15 Valikkotoiminto Trig Kuvaus Tuo esiin alivalikon: Complex texpand tcollect Laventaa trigonometriset lausekkeet kulmasummilla ja moninkertaisilla kulmilla. Kerää trigonometristen funktioiden kokonaislukupotenssien tulot kulmasummiksi ja moninkertaisiksi kulmiksi. tcollect ja texpand ovat toistensa vastakohtia. Tuo esiin alivalikon: Extract Nämä ovat samat kuin solve, factor ja zeros; mutta ne laskevat myös kompleksiratkaisuja. Tuo esiin alivalikon: Huom! Funktioita left ja right käytetään palauttamaan tietty määrä alkioita tai numeroita luettelon tai merkkijonon vasemmasta tai oikeasta puoliskosta. getnum Käyttää comdenom-funktiota ja palauttaa ratkaistun osoittajan. getdenom Käyttää comdenom-funktiota ja palauttaa ratkaistun nimittäjän. left right Palauttaa yhtälön tai epäyhtälön vasemman puoliskon. Palauttaa yhtälön tai epäyhtälön oikean puoliskon. Kappale 3: Symbolinen manipulointi 59
16 Tavalliset algebra-toiminnot Tässä osiossa annetaan esimerkkejä joidenkin Algebra - työkalupalkkivalikon funktioista. Täydelliset tiedot jokaisesta funktiosta saat Liitteestä A. Jotkut algebra-toiminnot eivät tarvitse erityisfunktiota. Polynomien lisääminen tai jakaminen Voit lisätä tai jakaa polynomeja suoraan käyttämättä erityisfunktiota. Polynomien tekijöihin jakaminen ja laventaminen Käytä funktioita factor ( 2) ja expand ( 3). factor(expression [,var]) tekijöihin jakaminen suhteessa muuttujaan expand(expression [,var]) osittainen tekijöihin jako suhteessa muuttujaan Jaa x 5 ì 1 tekijöihinsä ja lavenna ratkaisu. Huomaa, että factor ja expand suorittavat vastakkaiset toiminnot. Luvun alkutekijöiden etsiminen factor ( 2) -funktiolla voit tehdä muutakin kuin jakaa abgebrallisen polynomin tekijöihinsä. Voit etsiä rationaaliluvun alkutekijät (kokonaisluku tai kokonaislukujen suhde). Osittaisten lavennusten etsiminen expand ( 3) -funktion valinnaisella var-arvolla voit suorittaa osittaisen lavennuksen ja kerätä yhteen muuttujan samat potenssit. Tee täydellinen kehitelmä (xñìx) (yñìy) suhteessa kaikkiin muuttujiin. Tee osittainen lavennus suhteessa x:ään. 60 Kappale 3: Symbolinen manipulointi
17 Yhtälön ratkaiseminen Ratkaise yhtälöstä määrätty muuttuja funktiolla solve ( 1). solve(equation, var) Ratkaise x yhtälöstä x + y ì 5 = 2x ì 5y. solve esittää vain lopullisen ratkaisun. Jos haluat nähdä myös väliratkaisut, voit ratkaista yhtälön vaihe kerrallaan. Huom! Komento 2x vähentää 2x:n molemmilta puolilta. x «y 5 Á 2x 5y 2 x y «5 p 1 Lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen Otetaan kaksi yhtälöä, joissa on kaksi tuntematonta: 2x ì 3y = 4 ë x + 7y = ë 12 Tämän yhtälöryhmän voit ratkaista millä tahansa seuraavista menetelmistä. Huom! Matriisifunktiot simult ja rref eivät löydy Algebra-valikosta. Käytä näppäimiä 2I4 tai ½. Menetelmä solve-funktiolla saat heti lopullisen ratkaisun. Jos käytät solvefunktion kanssa korvausta ( ), voit manipuloida vaiheittain. Käytä matriisissa simult-funktiota. Esimerkki solve(2xì3y=4 and ëx+7y=ë12,{x,y}) Katso tämän kappaleen alusta, miten ratkaistaan x = ë 8/11 ja y = ë 20/11. Syötä kertoimet matriisina ja ratkaisut vakiopystyrivimatriisina. Käytä matriisissa rref-funktiota. Syötä kertoimet suurennettuna matriisina. Kappale 3: Symbolinen manipulointi 61
18 Lausekkeen nollien etsiminen Vihje: Kun haluat merkin tai, näppäile à tai Â.Voit myös valita ne valikosta näppäimillä 2I8 tai 2 2. Käytä zeros-funktiota ( 4). zeros(expression, var) Käytä lauseketta x ù sin(x) + cos(x). Löydä nollat suhteessa muuttujaan x väleillä 0 x ja x 3. Määrittele väli with - operaattorilla (Í). Osamäärän ja yhteisten nimittäjien etsiminen Huom! Funktiota comdenom voi käyttää lausekkeen, luettelon tai matriisin kanssa. Käytä propfrac ( 7) ja comdenom ( 6) -funktioita. propfrac(rational expression [,var]) comdenom(expression [,var]) Löydä osamäärä lausekkeelle (x 4 ì 2xñ + x) / (2xñ + x + 4). Muunna sitten ratkaisu täydellisesti lavennetun osoittajan ja täydellisesti lavennetun nimittäjän suhteeksi. Huomaa, että propfrac ja comdenom ovat vastakkaisia toimintoja. Tässä esimerkissä: varsinaisille murtoluvuille suhteessa muuttujaan yhteisille nimittäjille, jotka keräävät tämän muuttujan samankaltaisia potensseja Jos lasket tämän esimerkin TI-89- laskimellasi, siirtyy propfracfunktio näytön yläreunan ulkopuolelle 31 x + 60 on lausekkeen x 8 4 ì 2xñ +x jakojäännös jaettuna lausekkeella 2xñ +x+4. xñ 2 ì x ì 15/8 on osamäärä Kappale 3: Symbolinen manipulointi
19 Calc-valikko Tavallisia differentiaali- ja integraalitoimintoja voit valita Calc-työkalupalkkivalikosta. Calc-valikko Kun painat Home-näytössä -näppäintä, saat esiin valikon. Huom! Jokaisesta funktiosta ja funktion syntaksista on tarkka kuvaus liitteessä A. Huom! Derivointisymboli d on erikoissymboli. Se ei ole sama kuin näppäimistöllä kirjoitettava d-kirjain j [D]. Symbolin saat näppäilemällä 1 tai 2 =. Valikkotoiminto d differentiate Tämän valikon saat esiin myös, jos painat MATH-valikossa 2I ja valitset A:Calculus. Kuvaus Derivoi lausekkeen suhteessa määrättyyn muuttujaan. integrate Integroi lausekkeen suhteessa määrättyyn muuttujaan. limit G sum Π product fmin fmax arclen taylor nderiv nint desolve Laskee lausekkeen raja-arvon suhteessa määrättyyn muuttujaan. Laskee lausekkeen vaihteluväliin sijoittuvilla diskreeteillä muuttuja-arvoilla ja laskee summan. Laskee lausekkeen vaihteluväliin sijoittuvilla diskreeteillä muuttuja-arvoilla ja laskee tulon. Hakee määritetylle muuttujalle ehdokasarvoja, jotka minimoivat lausekkeen. Etsii määrätylle muuttujalle ehdokasarvoja, joilla lauseke maksimoituu. Palauttaa lausekkeen kaaren pituuden suhteessa määrättyyn muuttujaan. Laskee lausekkeelle Taylorin polynomisen likiarvon suhteessa määrättyyn muuttujaan. Laskee lausekkeen numeerisen derivaatan suhteessa määrättyyn muuttujaan. Laskee integraalin liukulukuna käyttämällä numeerista integrointia (approksimaatio, jossa käytetään integrandiarvojen painotettuja summia). Ratkaisee symbolisesti useita ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä, ehdoilla tai ilman. Kappale 3: Symbolinen manipulointi 63
20 Tavalliset differentiaali- ja integraalitoiminnot Tässä osassa on esimerkkejä eräistä Calctyökalupalkkivalikon funktioista. Yksityiskohtaiset tiedot kaikista funktioista löytyvät liitteestä A. Integrointi ja derivointi Käytä integrate ( 2) ja d differentiate ( 1) -funktioita. (expression, var [,low] [,up]) d (expression, var [,order]) voit määritellä rajat tai integroinnin vakion Huom! Voit integroida vain lausekkeen, mutta voit derivoida lausekkeen, luettelon tai matriisin. Raja-arvon etsiminen Integroi xñùsin(x) suhteessa muuttujaan x. Derivoi ratkaisu suhteessa muuttujaan x. Käytä limit-funktiota ( 3). limit(expression, var, point [,direction])* Merkin d saat näppäilemällä 1 tai 2 =. Älä näppäile j [D]. negatiivinen = vasemmalta positiivinen = oikealta ohitettu tai 0 = molemmat Huom! Voit etsiä raja-arvon lausekkeelle, luettelolle ja matriisille. Etsi raja-arvo lausekkeelle sin(3x) / x kun x lähenee 0. Taylorin polynomin etsiminen Käytä taylor-funktiota ( 9). taylor(expression, var, order [,point]) Tärkeää: Asteasetuksella, skaalaus p/180 differentiaalija integraalisovelluksen ratkaisut saattavat olla poikkeavan muotoisia. Etsi kuudennen kertaluvun Taylorin polynomi sin(x):lle suhteessa muuttujaan x. Tallenna ratkaisu käyttäjäkohtaiseksi funktioksi, jonka nimi on y1(x). Piirrä sitten kuvaaja sin(x) ja Taylorin polynomi. jos ohitetaan, lavennuspiste on 0 Graph sin(x):graph y1(x) 64 Kappale 3: Symbolinen manipulointi
21 Käyttäjäkohtaiset funktiot ja symbolinen manipulointi Voit käyttää käyttäjäkohtaista funktiota argumenttina TI-89 :n sisäänrakennetuissa algebrafunktiossa ja differentiaali- ja integraalifunktioissa. Lisätietoja käyttäjäkohtaisten funktioiden luomisesta Lisätietoja löydät: Kappaleesta 5: Käyttäjäkohtaisten funktioiden luominen ja laskeminen. Kappaleesta 12: Home-näytössä määritellyn funktion kuvaaja ja Paloittain määritellyn funktion kuvaaja. Kappaleesta 17: Yleiskatsaus: Funktion syöttäminen. Määrittämättömät funktiot Vihje: Kun haluat valita Calc-työkalupalkkivalikosta, näppäile 1 (tai 2 =). Voit käyttää funktioita kuten f(x), g(t), r(q) jne., joille ei ole annettu määritelmää. Nämä määrittämättömät funktiot tuottavat symbolisia ratkaisuja. Esimerkiksi: Varmista DelVarfunktiolla, että f(x) ja g(x) ovat määrittämättömiä. Etsi f(x)ù g(x):n derivaatta suhteessa muuttujaan x. Yhden väittämän funktiot Vihje: Kun haluat valita rajaarvon Calctyökalupalkkivalikosta, paina 3. Voit käyttää käyttäjäkohtaisia funktioita, jotka koostuvat yhdestä lausekkeesta. Esimerkiksi: Luo :n avulla käyttäjäkohtainen sekanttifunktio, jossa: sec(x) = 1 cos(x) Etsi sitten rajaarvo sec(x):lle, kun x lähenee p/4. Luo komennolla Define käyttäjäkohtainen funktio h(x), missä: Vihje: Kun haluat valita Calctyökalupalkkivalikosta, paina 2(tai näppäile 2 <). Kun haluat valita taylor:in, paina 9. h(x)= 0 x sin(t) / t Etsi sitten viidennen kertaluvun Taylorin polynomi h(x):lle suhteessa muuttujaan x. Määritä h(x)= (sin(t)/t,t,0,x). Kappale 3: Symbolinen manipulointi 65
22 Yhden/Usean väittämän funktiot Usean väittämän käyttäjäkohtaisia funktioita pitäisi käyttää vain numeeristen funktioiden (kuten nderiv ja nint) argumenttina. Joissakin tapauksissa voit luoda vastaavan yhden väittämän funktion. Voit luoda esimerkiksi kaksiosaisen paloittaisen funktion. Kun: Käytä lauseketta: x < 0 ë x x 0 5 cos(x) Vihje: Voit kirjoittaa pitkiä tekstikappaleita tietokoneella, ja siirtää ne TI-GRAPH LINK:in avulla TI-89:iin. Lisätietoja Kappaleessa 18. Vihje: Jos haluat valita nint:in Calc-työkalupalkkivalikosta, paina j[b]. Jos haluat luoda seuraavan muotoisen usean väittämän funktion: Func If x<0 Then Return ë x Else Return 5cos(x) EndIf EndFunc Integroi sitten numeerisesti y1(x) suhteessa muuttujaan x. Määritä y1(x)=func:if x<0 Then:... :EndFunc Luo vastaava yhden väittämän funktio. Käytä TI-89:n sisäänrakennettua when-funktiota. Määritä y1(x)=when(x<0,ëx, 5cos(x)) Vihje: Valitse Calctyökalupalkkivalikosta painamalla 2 (tai näppäile 2 <). Integroi sitten y1(x) suhteessa muuttujaan x. Liukulukutuloksen saat näppäilemällä. 66 Kappale 3: Symbolinen manipulointi
23 Out-of-Memory-virheilmoitus TI-89 tallentaa väliaikaiset tulokset muistiin ja poistaa ne, kun laskutoimitus on suoritettu loppuun. Pitkät laskutoimitukset saattavat aiheuttaa muistin loppumisen ennen ratkaisun löytymistä. Muistin vapauttaminen Sievennysongelmat Poista tarpeettomat muuttujat. Tarkastele ja poista muuttujia näppäimien 2 avulla kappaleen 21 ohjeiden mukaan. Home-näytössä: Tyhjennä historia-alue (ƒ 8) tai poista tarpeettomat historiaparit. Voit myös pienentää tallennettavien historiaparien määrää toiminnolla ƒ 9. Aseta Exact/Approx = APPROXIMATE näppäimellä 3. (Tämä asetus säästää tilaa, kun ratkaisuissa on runsaasti numeroita. Kun ratkaisuissa on vähän numeroita, tämä asetus käyttää enemmän tilaa kuin AUTO tai EXACT.) Jaa ongelma osiin. Jaa solve(aù b=0,var ) osiin solve(a=0,var ) ja solve(b=0,var ). Ratkaise kumpikin osa ja yhdistä ratkaisut. Jos jossakin yhdistelmässä esiintyy useita määrittämättömiä muuttujia, korvaa kyseinen yhdistelmä yhdellä muuttujalla. Jos m ja c esiintyvät vain muodossa mù cñ, korvaa mù cñ e:llä. (a+b)ñ + (a+b)ñ Korvaa (a+b) lausekkeessa c:llä ja käytä 1 ì (a+b)ñ cñ + cñ. Korvaa ratkaisussa c muodolla (a+b). 1 ì cñ Jos lausekkeet on yhdistetty yhteisellä osoittajalla, korvaa summat nimittäjissä uusilla, ainutkertaisilla määrittämättömillä muuttujilla. x Korvaa kohta añ +bñ + c lausekkeessa añ +bñ + c + y añ +bñ + c kirjaimella d ja käytä x d + y. Korvaa d ratkaisussa d merkinnällä añ +bñ + c. Korvaa määrittämättömät muuttujat jo alkuvaiheissa tiedetyillä numeerisilla arvoilla, erityisesti jos ne ovat yksinkertaisia kokonaislukuja tai murtolukuja. Muotoile tehtävä uudelleen, jotta välttäisit murtolukupotenssit. Poista suhteellisen pienet termit, jotta likimääräinen ratkaisu löytyisi. Kappale 3: Symbolinen manipulointi 67
24 Erikoisvakiot symbolisessa manipuloinnissa Laskutoimituksen ratkaisu saattaa sisältää yhden tai usemman tässä osiossa kuvatun erikoisvakion. Joskus voit joutua syöttämäänvakion syötteesi osaksi. Vihje: saat näppäilemällä. Nämä erikoisvakiot osoittavat identiteetin tai Boolen lausekkeen ratkaisun. Tämä merkintätapa osoittaa mielivaltaista kokonaislukua, joka voi olla mikä tahansa kokonaisluku. Kun mielivaltainen kokonaisluku esiintyy useita kertoja samassa istunnossa, jokaiselle esiintymiskerralle annetaan järjestysluku. Kun saavutetaan järjestysluku 255, numerointi alkaa uudelleen Nollaa laskuri näppäilemällä 2 ˆ 2:NewProb. x=x on tosi kaikilla x:n arvoilla. 5<3 on epätosi. Ratkaisu on jokaisella kokonaisluvulla p:n kerrannainen edustavat mitä tahansa mielivaltaista kokonaislukua, mutta tämä merkintätapa osoittaa erilliset mielivaltaiset kokonaisluvut. ˆ, e Vihje: Merkin ˆ saat näppäilemällä *. Vihje: Merkin e saat näppäilemällä s. Tämä on eri merkki kuin se, jonka saat näppäilemällä j [E] näppäimistöllä. undef ˆ tarkoittaa ääretöntä ja e vakiota (luonnollisten logaritmien perusluku). Näitä vakioita käytetään usein sekä syötteissä että ratkaisuissa. Osoittaa, että ratkaisu on määrittämätön. Matemaattisesti määrittämätön ˆ (määrittämätön merkki) Ei-ainutkertainen raja-arvo 68 Kappale 3: Symbolinen manipulointi
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA Timo Mäkelä Tässä tekstissä esitellään yhden muuttujan reaaliarvoisten funktioiden differentiaalilaskentaa sekä sarjoja. Raja-arvot Raja-arvoja voidaan laskea käyttämällä
Lisätiedotplot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)
[] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä
LisätiedotOhjelmoinnin peruskurssi Y1
Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 30.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 30.9.2015 1 / 27 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.
Lisätiedotcos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.
LisätiedotOlkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
LisätiedotKappale 18: Teksti-editori
Kappale 18: Teksti-editori 18 Johdanto: Tekstitoiminnot... 304 Text-editori-istunnon aloittaminen... 305 Tekstin syöttäminen ja muokkaaminen... 307 Erikoismerkkien syöttäminen... 311 Komentokielisen ohjelman
LisätiedotLAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN
LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua
LisätiedotFunktion määrittely (1/2)
Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.
LisätiedotHarjoitus 10: Mathematica
Harjoitus 10: Mathematica Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen Mathematica-ohjelmistoon Mathematican
LisätiedotReaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:
Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
LisätiedotBM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 2016
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 2016 1. (a) Anna likiarvo lineaarisen approksimaation avulla sille mitä on T (100.5), kun T (100) = 45 ja T (100) = 10. (b) Käyttäen lineaarista
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotOpiskelijan pikaopas STACK-tehtäviin. Lassi Korhonen, Oulun yliopisto
Opiskelijan pikaopas STACK-tehtäviin Lassi Korhonen, Oulun yliopisto 21.3.2016 SISÄLLYSLUETTELO Oppaan käyttäminen... 2 Vastauksen syöttämisen perusteet... 2 Operaatiot... 2 Luvut ja vakiot... 3 Funktiot...
LisätiedotMatematiikkaa laskimella TI-nspire CX CAS. Timo Mäkelä
Matematiikkaa laskimella TI-nspire CX CAS Timo Mäkelä 2 Sisällysluettelo 0. ESIPUHE...5. PERUSASIOITA LASKIMESTA...6 2. LASKIMEN KÄYTTÄMINEN...7 2. LASKUTEKNIIKKAA...7 2.2 YKSIKÖIDEN JA VAKIOIDEN KÄYTTÖ...8
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Lisätiedot12. Differentiaaliyhtälöt
1. Differentiaaliyhtälöt 1.1 Johdanto Differentiaaliyhtälöitä voidaan käyttää monilla alueilla esimerkiksi tarkasteltaessa jonkin kohteen lämpötilan vaihtelua, eksponentiaalista kasvua, sähkölatauksen
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 2 To 8.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 2 To 8.9.2011 p. 1/33 p. 1/33 Lukujen tallennus Kiintoluvut (integer) tarkka esitys aritmeettiset operaatiot
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta
Differentiaali- ja integraalilaskenta Opiskelijan nimi: DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona
LisätiedotReaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
Lisätiedotwxmaxima opas 1 Mikä wxmaxima on 2 wxmaximan käyttö Petri Sallasmaa 13. toukokuuta 2014
wxmaxima opas Petri Sallasmaa 13. toukokuuta 2014 1 Mikä wxmaxima on wxmaxima on yksinkertainen graanen käyttöliittynä Maxima CAS(computer algebra system)-järjestelmälle, joka on luotu wxwidgets nimisen
Lisätiedotetunimi, sukunimi ja opiskelijanumero ja näillä
Sisällys 1. Algoritmi Algoritmin määritelmä. Aiheen pariin johdatteleva esimerkki. ja operaatiot (sijoitus, aritmetiikka ja vertailu). Algoritmista ohjelmaksi. 1.1 1.2 Algoritmin määritelmä Ohjelmointi
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotHannu Mäkiö. kertolasku * jakolasku / potenssiin korotus ^ Syöte Geogebran vastaus
Perusohjeita, symbolista laskentaa Geogebralla Kielen vaihtaminen. Jos Geogebrasi kieli on vielä englanti, niin muuta se Options välilehdestä kohdasta Language suomeksi (finnish). Esittelen tässä muutaman
LisätiedotMerkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.
13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin
LisätiedotKappale 23: Esimerkkitehtävät
Kappale 23: Esimerkkitehtävät 23 Tehtävä 1: Seiväs-nurkka-ongelman analyysia... 362 Tehtävä 2: Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan derivointi... 364 Tehtävä 3: Matriisin tutkiminen... 366 Tehtävä 4: cos(x)
LisätiedotPERUSASIOITA ALGEBRASTA
PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen
LisätiedotAlkuarvot ja tyyppimuunnokset (1/5) Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (2/5) Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (3/5)
Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (1/5) Aiemmin olemme jo antaneet muuttujille alkuarvoja, esimerkiksi: int luku = 123; Alkuarvon on oltava muuttujan tietotyypin mukainen, esimerkiksi int-muuttujilla kokonaisluku,
LisätiedotHarjoitus 1 -- Ratkaisut
Kun teet harjoitustyöselostuksia Mathematicalla, voit luoda selkkariin otsikon (ja mahdollisia alaotsikoita...) määräämällä soluille erilaisia tyylejä. Uuden solun tyyli määrätään painamalla ALT ja jokin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
LisätiedotDifferentiaalilaskennan tehtäviä
Differentiaalilaskennan tehtäviä DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona 2. Derivoimiskaavat 2.1
Lisätiedot1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo
1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):
LisätiedotMAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen
Lisätiedotk=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu
LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
LisätiedotI. Perusteita. Pohdin-projekti Symbolisen laskimen käyttö opetuksessa
Pohdin-projekti Symbolisen laskimen käyttö opetuksessa Laskimien käyttöön liittyvä YTL:n ohjeistus ja lähes kaikenlaisten laskinten salliminen 1 ylioppilaskirjoituksissa muuttaa sekä matematiikan että
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
LisätiedotMatematiikka vuosiluokat 7 9
Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa
LisätiedotTietotyypit ja operaattorit
Tietotyypit ja operaattorit Luennossa tarkastellaan yksinkertaisten tietotyyppien int, double ja char muunnoksia tyypistä toiseen sekä esitellään uusia operaatioita. Numeeriset tietotyypit ja muunnos Merkkitieto
LisätiedotOhjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 3.2.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 3.2.2010 1 / 36 Esimerkki: asunnon välityspalkkio Kirjoitetaan ohjelma, joka laskee kiinteistönvälittäjän asunnon
Lisätiedot1. Algoritmi 1.1 Sisällys Algoritmin määritelmä. Aiheen pariin johdatteleva esimerkki. Muuttujat ja operaatiot (sijoitus, aritmetiikka ja vertailu). Algoritmista ohjelmaksi. 1.2 Algoritmin määritelmä Ohjelmointi
LisätiedotTässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.
Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan
LisätiedotH5 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa
Lisätiedot3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.
Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotKaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 11 Ti 11.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 11 Ti 11.10.2011 p. 1/34 p. 1/34 Automaattiset integrointialgoritmit Numeerisen integroinnin tarkkuuteen
LisätiedotAloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun
Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun 13. elokuuta 2015 Miksi matikkaa Erityisen tärkeää teknillisillä ja luonnontieteellisillä aloilla Ohjelmointi ja tietojenkäsittelytiede Lääketieteellinen
LisätiedotFortran 90/95. + sopii erityisesti numeriikkaan:
Fortran 90/95 + sopii erityisesti numeriikkaan: + optimoivat kääntäjät tehokas koodi + mukana valmiiksi paljon varusfunktioita + kompleksiluvut + taulukko-operaatiot + operaattorit laajennettavissa myös
Lisätiedot1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
LisätiedotFunktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?
Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.
LisätiedotLuvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7
Luvuilla laskeminen TI-84 Plus käyttää laskujen suorittamiseen ns. yhtälönkäsittelyjärjestelmää (EOS TM, Equation Operating System), jonka avulla lausekkeiden syöttö tapahtuu matemaattisessa kirjoitusjärjestyksessä.
LisätiedotValitse ruudun yläosassa oleva painike Download Scilab.
Luku 1 Ohjeita ohjelmiston Scilab käyttöön 1.1 Ohjelmiston lataaminen Ohjeet ohjelmiston lataamiseen Windows-koneelle. Mene verkko-osoitteeseen www.scilab.org. Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download
Lisätiedot0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut
0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotMitä symbolilaskentaohjelmalta voi odottaa ja mitä ei? Tapaus Mathematica
Simo K. Kivelä Mitä symbolilaskentaohjelmalta voi odottaa ja mitä ei? Tapaus Mathematica Symbolinen laskenta ei aina toimi, kuten voisi odottaa. Parempi onkin ajatella, että se elää omaa elämäänsä, jolla
LisätiedotInjektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )
Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään
LisätiedotAlgoritmit 1. Demot Timo Männikkö
Algoritmit 1 Demot 1 31.1.-1.2.2018 Timo Männikkö Tehtävä 1 (a) Algoritmi, joka tutkii onko kokonaisluku tasan jaollinen jollain toisella kokonaisluvulla siten, että ei käytetä lainkaan jakolaskuja Jaettava
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää
LisätiedotPython-ohjelmointi Harjoitus 2
Python-ohjelmointi Harjoitus 2 TAVOITTEET Kerrataan tulostuskomento ja lukumuotoisen muuttujan muuttaminen merkkijonoksi. Opitaan jakojäännös eli modulus, vertailuoperaattorit, ehtorakenne jos, input-komento
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
. Lasketaan valmiiksi derivaattoja ja niiden arvoja pisteessä x = 2: f(x) = x + 3x 3 + x 2 + 2x + 8, f(2) = 56, f (x) = x 3 + 9x 2 + 2x + 2, f (2) = 7, f (x) = 2x 2 + 8x + 2, f (2) = 86, f (3) (x) = 2x
LisätiedotKappale 20: Kantaluvut
Kappale 20: Kantaluvut 20 Johdanto: Kantaluvut... 328 Kantalukujen syöttäminen ja muuntaminen... 329 Matemaattiset toiminnot Hex- ja Bin-luvuilla... 330 Bittien vertaileminen ja manipulointi... 331 Huom!
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotOhjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 2.2.2011 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 2.2.2011 1 / 37 Kännykkäpalautetteen antajia kaivataan edelleen! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
Lisätiedot2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt
. Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri
LisätiedotYHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus
YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein
Lisätiedot8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta
8. Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta - oheisessa kuvassa ympyrä on jaettu kolmeen yhtä suureen osaan, joista kukin osa on yksi kolmasosa koko ympyrästä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotKahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.
10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
LisätiedotAlgebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.
Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)
Lisätiedotmplperusteet 1. Tiedosto: mplp001.tex Ohjelmat: Maple, [Mathematica] Sievennä lauseke x 1 ( mplp002.tex (PA P1 s.2011)
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos -e mplperusteet. Tiedosto: mplp00.tex Ohjelmat: Maple, [Mathematica] Sievennä lauseke x ( x )( + x ). Kokeile funktiota simplify. 2. mplp002.tex
LisätiedotB. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotNumeerinen ratkaisija on erityisen käyttökelpoinen yllä olevan kaltaisten yhtälöiden ratkaisussa.
Kappale 19: Numeerinen ratkaisija 19 Johdanto: Numeerinen ratkaisija... 334 Ratkaisijan avaaminen ja yhtälön syöttäminen... 335 Tunnettujen muuttujien määritteleminen... 337 Tuntemattoman muuttujan ratkaiseminen...
LisätiedotRationaalilauseke ja -funktio
4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös
Lisätiedotkymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla
7.6.1 MATEMATIIKKA VUOSILUOKAT 3 5 Vuosiluokkien 3 5 matematiikan opetuksen ydintehtävinä ovat matemaattisen ajattelun kehittäminen, matemaattisten ajattelumallien oppimisen pohjustaminen, lukukäsitteen
LisätiedotMatemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.
Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
LisätiedotOhjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 9.2.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 9.2.2009 1 / 35 Listat Esimerkki: halutaan kirjoittaa ohjelma, joka lukee käyttäjältä 30 lämpötilaa. Kun lämpötilat
Lisätiedotf(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.
Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina
LisätiedotKoottu lause; { ja } -merkkien väliin kirjoitetut lauseet muodostavat lohkon, jonka sisällä lauseet suoritetaan peräkkäin.
2. Ohjausrakenteet Ohjausrakenteiden avulla ohjataan ohjelman suoritusta. peräkkäisyys valinta toisto Koottu lause; { ja } -merkkien väliin kirjoitetut lauseet muodostavat lohkon, jonka sisällä lauseet
LisätiedotOSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO
OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka
LisätiedotPERUSKOULUSTA PITKÄLLE
Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS
LisätiedotOpettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26.
MAB 0: Kertauskurssi Opettaja: Janne.Lemberg @ tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26. Alustava aikataulu: ma 29.8 ke 31.8 ma 5.9 ke 7.9 ma 12.9 ke 14.9 ma 19.9 ke 21.9 ma 26.9 ke 28.9
LisätiedotOhjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 1.4.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 1.4.2009 1 / 56 Tentti Ensimmäinen tenttimahdollisuus on pe 8.5. klo 13:00 17:00 päärakennuksessa. Tämän jälkeen
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotAlgoritmit C++ Kauko Kolehmainen
Algoritmit C++ Kauko Kolehmainen Algoritmit - C++ Kirjoittanut Taitto Kansi Kustantaja Kauko Kolehmainen Kauko Kolehmainen Frank Chaumont Oy Edita Ab IT Press PL 760 00043 EDITA Sähköpostiosoite Internet
LisätiedotGraafisen TI-84 Plus C Silver Edition - laskimen käytön aloittaminen
Graafisen TI-84 Plus C Silver Edition - laskimen käytön aloittaminen Tämä opas koskee ohjelmiston versiota 4.0. Uusin versio asiakirjoista on saatavilla Internet-sivustolta education.ti.com/guides. Tärkeitä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
LisätiedotFUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN
FUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN Saat kuvapohjan painamalla @-näppäintä tai Insert/Graph/X-Y-POT. Kuvapohjassa on kuusi paikanvaraaja: vaaka-akselin keskellä muuttuja ja päissä minimi- ja maksimiarvot pystyakselin
Lisätiedot2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y =
BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 2, Kevät 207 Päivityksiä: Tehtävän 4b tehtävänanto korjattu ja vastauksia lisätty.. Ratkaise y, kun 2y x = y 2 e x2. Jos y () = 0 niin mikä on ratkaisu
Lisätiedot1.5. Trigonometriset perusyhtälöt
Tämän asian otsake on takavuosina ollut Trigonometriset yhtälöt ja sen käsittely tuolloin ollut huomattavasti laajempi. Perusyhtälöillä tarkoitetaan muotoa sin x = a tan x = c cos x = b (cot x = d) olevia
Lisätiedot