I. Perusteita. Pohdin-projekti Symbolisen laskimen käyttö opetuksessa
|
|
- Esa Hovinen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Pohdin-projekti Symbolisen laskimen käyttö opetuksessa Laskimien käyttöön liittyvä YTL:n ohjeistus ja lähes kaikenlaisten laskinten salliminen 1 ylioppilaskirjoituksissa muuttaa sekä matematiikan että matemaattisten aineiden opetusta. Symbolisten laskinten salliminen tulee muuttamaan erityisesti matematiikan opetuksen perusrakenteita ehkä jopa käsitteitä laskento, koulumatematiikka ja matematiikka. Sinänsä itse matematiikassa Symbolinen analyysi (engl. computer algebra) on varsin laaja, paljon tutkittu ja paljon hyödynnetty matematiikan osa-alue. Symbolisella analyysillä on voimakas yhteys ylipäätään tietokonelaskentaan ja laskinten hyötykäyttöön. Erityisesti tunnustettuja ovat erilaiset matemaattiset työvälineohjelmat Maple, MatLab, Mathematica, SciLab ja esimerkiksi symboliset laskimet, joista tämä teksti käsittelee laskimen TI-Nspire CX CAS (Computer Algebra System) opetuskäyttöön liittyviä kysymyksiä ja erityisesti laskimen mahdollistamia uusia näkymiä. I. Perusteita Käyttöliittymän kannalta oleellista on, että käyttöönottoa avittaa ajattelemalla koko laskin aluksi perustoiminnoiltaan kaksijakoiseksi. Laskimessa on käytössä ns. Luonnossivut ja ns. Asiakirjat. Luonnossivut tarkoittavat karkeasti sitä kaikkea mitä graafisilla laskimilla aiemminkin on koulumatematiikassa tehty. On ratkottu algebrallisia ongelmia ja tutkittu geometrisia ilmiöitä eli tehty graafisia tarkasteluja ja piirretty mm. funktioiden kuvaajia. Nyt lisänä ja uusina ominaisuuksina ovat ns. symboliset toiminnot. Asiakirjat tarkoittavat erityisesti opettajalle ja opetukselle mahdollisuutta hyödyntää tietokonetta mm. erilaisten valmiiden ongelmien ja asiakokonaisuuksien muotoilemista tiedostoiksi, jotka ovat esimerkiksi siirrettävissä tietokoneelta sekä itse kämmenlaitteelle että sitä myöten opetuksessa aina SmartBoard-käyttöön asti. 1 Kaikki funktio-, graafiset - ja symboliset laskimet ovat sallittuja. Ks. esim. (s.) Ks. esim. Keijo Ruohonen: Symbolinen analyysi, TTKK Opintomoniste 198, ISBN
2 Tämän esityksen suppeasta muodosta huolimatta on syytä korostaa, että esimerkiksi kolmas merkittävä ja erittelemisen arvoinen asia tulee olemaan mahdollisuus liittää laskimeen Vernier DataQuest sovelluksia reaalimaailman datan keräämiseksi ts. kämmenlaitteeseen voidaan yhdistää tunnistimia ja antureita sekä kerätä näin tarvittavia tietoja. Keskeisimmät painikkeet Seuraavassa esitetään hyvin lyhyesti käyttöliittymän ohjaukseen liittyviä toimintoja. Virta päälle (Virta pois) ja Alkunäyttö Vaihtaa luonnossivuvalintoja ts. Laske vs. Piirrä kuvaaja Tavanomaisin menettely perua tekemisiä Ctrl-Menu Menu avaa valikon toiminnoista, joita kussakin sovelluksessa on mahdollista tehdä. Vastaa hiiren. painiketta Ctrl-Nuolet Touchpad-kosketuslevyllä ohjataan valintoja ja mm. kursoria ja esim. tarttumista. Ohjaavat siirtymisiä esim. asiakirjoissa.
3 A Laske Laske a) 5 b) 3 ( 8 ). Määritä likiarvo lausekkeelle a) 5 11 b) 4, Sievennä lauseke a) ( abc ) b) a a a Polynomien ja rationaalilausekkeiden sieventämisessä saatetaan tarvita komentoa expand() ja polynomien jakaminen tekijöihin onnistuu komennoilla factor() ja cfactor(). 4. Sievennä lauseke a) 5. Jaa tekijöihin polynomi a) 3 ( ab) ( a ) b b) x 8x 10 b) a b ab ab 3 3x 1x 18 Yhtälöt, epäyhtälöt ja yhtälöryhmät voidaan ratakaista hyödyntämällä komentoja solve(yhtälö,muuttuja), solve(epäyhtälö,muuttuja), solve(käyrä1,käyrä,{x,y}) ja linsolve(yhtälöryhmä,{muuttujat}) Esim. Menu 3 Algebra 1 Ratkaise jne. 6. Ratkaise yhtälö a) 3x 3x 36 b) 3 x 5x 8x4 0 Luvut, lausekkeet, funktiot ja esim. vektorit ja matriisit voidaan tallentaa muuttujiksi kolmella erilaisella tavalla Ctrl+Var 1->a a:=1 Menu 1 Toiminnot 1Define a=1 Näistä kaksi ensin mainittua ovat ehkä suositelluimmat. 7. Laske lausekkeen 4k 6 arvo parametrin k arvoilla a) 5 b) Määrittele funktio ja laske funktion arvot a) f (3) b) f ( ). f( x) 3x 5x 7 9. Määritä funktion f nollakohdat. 10. Laske pisteiden P (, 1,5) ja Q ( 3,1,4) keskinäinen etäisyys komennoilla P : [, 1,5], Q : [ 3,1, 4] ja norm(p-q). 11. Laske vektorin v 3i j 5k pituus komennoilla v : [3,, 5] ja norm(v).
4 Eräs tapa opiskella symbolisen laskimen käyttöä on tutustua suoraan erityisesti sellaisiin toimintoihin, jotka ovat uusia suhteessa aiempiin sallittuihin laskimiin. Näin muodoin ryhdytään ratkaisemaan luonnossivupohjalle mm. vanhoja pitkän matematiikan YO-tehtäviä. Valmiita ohjeistavia lausekkeiden rakenteita ja itse komentoja löytyy painikkeella. Tehtävä (Expand, ) Sievennä lauseke a) b) c) ( ab) ( a b) [S-010-1a)] 3x 3 x1 : x 1 4x 1. Tehtävä (Solve, csolve, ) Ratkaise yhtälö a) 3x x [S-011-1a)] b) ln( x1) ln( x1) ln 4 ln [S-011-3a)] c) Minkä luvun kaksikantainen logaritmi on 5? [K-010-c)] d) z 4iz4iz e) Määritä kaikki kompleksiluvut z, jotka toteuttavat yhtälön z i [S ] z l f) Ratkaise yhtälöstä T heilurin varren pituus l. g g) Ratkaise toisen asteen yhtälö ax bx c 0. Tehtävä (linsolve, nsolve,, menu/algebra) a) Ratkaise yhtälöpari x y40 x y0 b) Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä. x y30 x y xy10 c) Ratkaise trigonometrinen yhtälö 3 sin x cos x. (Huom. Ratkaisuja ääretön määrä!) d) Ratkaise numeerisesti yhtälö lukuarvoa x0 0,. e) Määritä numeerisesti yhtälön 3 x ja käytä alkuarvauksena sinx 3 x x e positiivinen juuri.
5 Tehtävä Tehtävä Tehtävä Ratkaise numeerisesti a) yhtälö x( x1)( x1) 0 ilman laskinta päässälaskuna (!) b) yhtälö x( x1)( x1) 0 ja käytä alkuarvauksena lukuarvoa x0 0, 486 c) yhtälö x( x1)( x1) 0 ja käytä alkuarvauksena lukuarvoa x0 0, 487 d) yhtälö x( x1)( x1) 0 Newtonin menetelmällä ja 1 käytä alkuarvauksena lukuarvoa x0. 5 Ratkaise epäyhtälö a) 6( x1) 4 3(7 x 1) [S-009-a)] b) Olkoon funktio x x 0 3 x x 3x f : f( x) x sin x. a) Derivoi funktio f. b) Integroi funktio f. c) Piirrä samaan kuvaajaan funktiot f ja f. [S-009-8] Tehtävä Laske funktion sin x f( x) derivaatta pisteessä cos x x. [K-008-3a)] Tehtävä Satunnaismuuttuja X saa arvoja väliltä 0,1, ja sen tiheysfunktio on muotoa x a f( x). Määritä vakio a. Millä todennäköisyydellä X on välillä a 0, 1? [K-007-8] Tehtävä Olkoon 1x f( x) arctan xarctan 1 x. Laske funktion derivaatta. Laske likiarvot funktion arvoille f ( ) ja f (). Piirrä funktion kuvaaja. Tehtävä Määritä funktion k( x) xln x integraalifunktio. Derivoi funktio K( x ). Mitä huomaat? [K ] Tehtävä Tehtävä a) Laske paraabelien y x 3 ja y x x 1 leikkauspisteiden koordinaatit. b) Laske sen rajoitetun alueen pinta-ala, joka jää paraabelien väliin. [K-008-7] x 4 a) Laske raja-arvo lim. [S-011-6] x x
6 b) Määritä lim x0 x 1 1. x Tehtävä Funktion f( x) 1 kuvaaja pyörähtää välillä [1, h] x-akselin ympäri. x a) Määritä syntyvän kappaleen tilavuus. b) Mikä on tilavuuden raja-arvo, kun h kasvaa rajatta? Tehtävä a) Jaa polynomi x 4 x 3 x x 1 mahdollisimman matalaa astetta oleviin tekijöihin. [K ] b) Tutki, onko luku jaollinen viidellä. [K-011-1] Tehtävä Olkoon f ( x) xe x ja g( x) e x. a) Ratkaise yhtälö f( x) g( x). b) Laske f (1). c) Laske integraali 1 f ( x) dx. [K-011-3] 0 Tehtävä (fmin, fmax, ) a) Määritä polynomin x( x3)(5 x) suurin ja pienin arvo välillä [ 1,5]. Huom. f1( x) : x( x3)(5 x) ja fmax( f1( x), x, 1,5) ja jne. b) Määritä funktion c) Määritä funktion Piirrä kuvaaja. [K-011-5] suurin ja pienin arvo. [S-006-6] f( x) cos x sin x f ( x) x 9 x, 3 x 3, suurin ja pienin arvo. [K-008-9] Tehtävä Käyrän y ln( x 1), 0 xe 1, pyörähtäessä y -akselin ympäri syntyy suppilomainen astia. Laske sen tilavuus. Ilmoita tarkka arvo ja kaksidesimaalinen likiarvo. [K-006-9] Tehtävä Määritä kaikki positiiviset kokonaisluvut n, joille on myös positiivinen kokonaisluku. 9n 117n34 3n5 [K ] x Tehtävä Millä vakion a arvoilla funktio f( x) e ax 1 on kaikkialla kasvava? [K ]
7 B Piirrä kuvaaja Avaa päävalikosta alusta kuvaajien piirtoa varten (B Piirrä kuvaaja). Funktion lauseke kirjoitetaan syöteriville f 1 ( x ) ja kirjoittaminen lopetetaan komennolla Enter. Uuden funktion voi määritellä Tab-näppäintä käyttäen 1) Piirrä samaan koordinaatistoon käyrät 3 y x x ja y x 3. Kuvaajien värin vaihto onnistuu seuraavasti: Vie kohdistin valitsemasi käyrän päälle Paina hiiren kaksoispainiketta ts. Ctrl+Menu Valitse 9:Väri 1:Viivan väri kulje valikossa ja paina Enter ) Janan piirto koordinaatistoon doc (=uusi asiakirja), Lisää Kuvaajat sovellus, Menu, 8: Geometria 1: Pisteet ja suorat 1:Piste Vasen sulku ( ja lukuarvo sekä Enter, Oikea sulku ) ja lukuarvo sekä Enter Menu, 8: Geometria 1: Pisteet ja suorat 5:Jana ja valitaan tai määritetään janan päätepisteet sin x Tehtävä a) Määrittele funktiot f1( x): x ja f( x):. x b) Piirrä funktioiden f1( x ) ja f ( x ) kuvaajat. c) Määritä raja-arvo sin x lim x x0 ja piirrä pelkästään funktion f ( x ) kuvaaja. Tehtävä a) Määritä parametrin k arvoksi 3 ja määrittele uusi funktio f 3( x) : kx. b) Piirrä funktion f 3( x): kx kuvaaja. c) Anna parametrille k eri arvoja ja tutki funktion f3( x ) kuvaajan kulkua. Huom! Tehtävä Määriteltyjä eli käyttöön otettuja funktioita f1( x ), f ( x ), sekä kirjainvakioita a, b, voidaan poistaa joko Var-Menu-Toiminnot-Poista_muuttuja menettelyllä määrittäen Var-listalta poistettava funktio tai kirjainvakio tai suoraan komento DelVar, jolloin Var-listasta poimitaan poistettava muuttuja Tehtävä Parametrit a, b, c, voidaan kerralla poistaa kaikki komennolla Var-Menu-Toiminnot-Tyhjennä a-z Huom! Sisäisen akun ( paristot) latauksen voi tarkistaa esim. komentosarjalla (Alkunäyttö) 5 Asetukset 4:Tila Tällöin voi nähdä myös käytettävissä olevan vapaan muistin määrän, jolla tulee olemaan merkitystä, kun ryhdytään laatimaan asiakirjoja.
8 II. Asiakirjat Aluksi tarkastellaan varsinaista asiakirjan laadintaa, sivurakennetta, tallennusta ja kovalevyn tiedostojen siirtoa tietokoneelta kämmenlaitteelle ja päinvastoin sekä lisäksi mm. tarkemmin kuvan liittämistä asiakirjaan ja kuvan tutkimista sekä ns. tutkimustehtävien tekemistä tukeutuen symboliseen laskimeen. Asiakirjat tarkoittavat ensisijaisesti erillisistä sivuista koostuvaa asiakokonaisuutta, joka voidaan tallentaa tiedostoksi. Erityisesti opettajalle ja opetukselle tarjoutuu mahdollisuus hyödyntää tietokonetta mm. erilaisten valmiiden ongelmien ja asiakokonaisuuksien muotoilemista tiedostoiksi, jotka ovat esimerkiksi siirrettävissä tietokoneelta sekä itse kämmenlaitteelle että sitä myöten opetuksessa aina SmartBoard-käyttöön asti. Aiemmasta käytöstä voidaan olettaa tunnetuksi, että laskinta osataan käyttää ns. graafisena peruslaskimena ts. että luonnossivulla osataan sekä laskea että piirtää kuvaajia. Lisäksi on ymmärrettävä, että päänäyttö eli alkuvalikko mahdollistaa kaksi peruskäyttötapaa: Luonnossivu ja Asiakirjat. Huom. Laskimen tarjoamiin pikapainikkeiden takana oleviin lisätoimintoihin Laskin Kuvaajat Geometria Listat&Taulukot Data&Tilastot Muistiinpanot Vernier DataQuest Kysymys ei kiinnitetä vielä erityistä huomiota. Toisaalta näihin toimintoihin on kohtuullisen helppo perehtyä itsenäisesti.
9 II.1. Keskeisimmät asiakirjatoiminnot Seuraavassa esitetään hyvin lyhyesti keskeisimmät asiakirjojen hallintaa ja käsittelyyn liittyvät käskyt ja toiminnot. 1) Uusi asiakirja Päävalikko 1:Uusi Enter tai Painike =doc luo uuden asiakirjan luonnossivutilassa. a) Asiakirjan sivut Sivujen lisääminen asiakirjaan Ctrl+doc tai doc 4:Lisää :Sivu Enter tai Ctrl+I Sivujen poistaminen asiakirjasta doc 5:Sivun asettelu 6:Poista sivu Enter Asiakirjan sivujen välillä liikutaan komennoilla Ctrl+Nuoli(oikealla/vasemmalle) b) Asiakirjan tallentaminen doc 1:Tiedosto 5:Tallenna nimellä(4:tallenna) (Tab-painikkeella kulkeminen!) Tallenna c) Asiakirjan sulkeminen doc 1:Tiedosto 3:Sulje Enter ) Valmiin asiakirjan avaaminen Päävalikko :Omat asiakirjat Enter Tiedosto Enter tai doc 1:Tiedosto :Avaa asiakirja Enter Tiedosto Enter tai Päävalikko 3:Viimeisimmät Enter (voi valita viimeisimmän työn alla olleen asiakirjan) 3) Valmiin asiakirjan poistaminen Päävalikko :Omat asiakirja Tiedosto del Kyllä Enter
10 Asiakirjojen kanssa työskentelyssä on hyödyllistä muistaa myös, että 1) Sisäisen akun ( paristot) latauksen voi tarkistaa esim. komentosarjalla Päävalikko 5 Asetukset 4:Tila Tällöin voi nähdä myös käytettävissä olevan vapaan muistin määrän, jolla on merkitys, kun tehdään päätös kulloinkin käytettävissä olevista asiakirjoista. ) 3) Menu avaa valikon toiminnoista, joita kussakin sovelluksessa tai kullakin sivulla on mahdollista tehdä. Ctrl-Menu Vastaa hiiren. painiketta Touchpad-kosketuslevyllä ohjataan valintoja ja mm. kursoria ja esim. tarttumista. Ctrl-Nuolet Ohjaavat siirtymisiä esim. asiakirjoissa. II.. Asiakirja ja tietokoneen käyttö Asiakirja voi olla laadittu tietokoneella tai kämmenlaitteella voi olla tallennettuna joko tietokoneelle tai kämmenlaitteelle voidaan hakea joko tietokoneelta tai kämmenlaitteelta voidaan avata joko tietokoneessa tai kämmenlaitteessa. Tavanomaista on, että laajahkot ja runsaasti työskentelyä vaativat asiakirjat kannattaa laatia tietokoneella, josta ne voidaan hakea kämmenlaitteelle. Edelleen on huomattava, että koulukäytössä (opettajalle palautettava raportti, luokassa esitettävä kotitehtävä, jne.) tiedostojenhallinta on syytä opiskella mahdollisimman varhain, jotta aikaa jää itse matematiikan työstämiseen. Itse asiakirjaan voidaan kohdistaa kaikki tyypillisimmät tiedostoihin kohdistettavissa olevat resurssienhallintakomennot. On luonnollisesti tärkeätä osata hakea ja avata asiakirja tietokoneelta ja työstää sitä edelleen kämmenlaitteella ja lopuksi osata tallentaa asiakirja uudessa muodossa sekä kämmenlaitteelle että tietokoneelle. Tiedostotyyppi on aina *.tns (=TexasNSpire).
11 Valmiit asiakirjat löytyvät tarkastelemalla Sisältö-valikossa joko tietokoneen tai kämmenlaitteen kansioita. Tavoiteltava asiakirja valitaan työskentelyn ja tarkastelujen kohteeksi Asiakirjat-valikon kansioista.
12 II.3. Laaditaan asiakirja, jossa ratkaistaan annettu tehtävä Tehtävä Tutki paraabelin 3 kulkua parametrin b eri arvoilla. Esitä arvio siitä, miten y x bx ensimmäisen asteen termin kerroin vaikuttaa paraabelin kulkuun. Aluksi uudella sivulla menu :Lisää Kuvaajat sovellus ja tämän jälkeen komentojonolla Menu 1:Toiminnot A:Lisää liukusäädin saadaan tulos Hiiren oikealla painikkeella päästään vaihtamaan liukusäätimen asetuksia ja samalla myös sen sijainti sivulla voidaan valita paremmin. Määritetään seuraavaksi funktio f 1( x) x bx 3. Tämän jälkeen liukusäädintä käyttäen tehdään kokeita ja arvioita parametrin b vaikutuksesta paraabelin kuvaajaan.
13 Vastaus Paraabelin kuvaaja kulkee aina pisteen (0, 3) kautta. Ensimmäisen asteen termin b muuttuessa negatiivisesti positiiviseen paraabeli siirtyy oikealta vasemmalle. Paraabelin huippu näyttäisi piirtävän alaspäin aukeavan paraabelin. Jatkotutkimus Lienee syytä seuraavaksi tutkia onko siirtymäpäätelmä oikea yleisesti ja esim. alaspäin aukeaville paraabeleille. Lisäksi on syytä tutki lähemmin paraabelin huipun piirtämää käyrää. Määritetään samaan kuvaajaan lisää liukusäätimiä esim. parametreille a ja c. Hiiren oikean painikkeen kohdistaminen liukusäätimeen voidaan esittää animaatio valitun parametrin merkityksestä paraabelin kuvaajaan.
14 TEHTÄVÄ Ratkaise yhtälöryhmä x7y3z x3yz 3x7y9z RATKAISU (Ei käytetä linsolve-komentoa) Muodostetaan yhtälöryhmästä kokonaismatriisi A. Enter-painalluksen jälkeen saadaan varsinainen yhtälöryhmän matriisimuotoinen esitys. Komennolla rref ( a ) muodostetaan matriisista redusoitu riviporrasmuoto, josta voidaan lukea yhtälöryhmän ratkaisu. Vastaus Yhtälöryhmän ratkaisu on x 1 y 3. z 4
15 TEHTÄVÄ Ratkaise yhtälöryhmä xyz x5yz 7x17y5z 1. 1 RATKAISU (Ei käytetä linsolve-komentoa) Muodostetaan yhtälöryhmästä kokonaismatriisi b. Enter-painalluksen jälkeen saadaan varsinainen yhtälöryhmän matriisimuotoinen esitys. Komennolla rref ( b ) muodostetaan matriisista redusoitu riviporrasmuoto, josta voidaan lukea yhtälöryhmän ratkaisu. Vastaus Yhtälöryhmän ratkaisu on x 9t1 y 4t 5, missä t. z t
16 Reaalimaailman valokuvan tutkiminen TI Nspire CAS teknologialla Tutkittaessa reaalimaailman valokuvaa täytyy kuva siirtää tietokoneelta asiakirjan sivulle. KUVAN TUTKIMINEN ja ASIAKIRJA 1. Luodaan uusi TI-Nspire-asiakirja - Asiakirjan laadinta kannattaa aloittaa tietokoneella. Lisää Kuvaajat-sovellus. 3. Valitse alasvetovalikosta Lisää:Kuva ja hae haluamasi kuva tietokoneelta! 4. Sijoita kuva haluamallasi tavalla koordinaatistoon. menu 4:ikkuna 1:ikkunan asetukset 5. Lisää kuvaan yksi piste menu 7:Pisteet ja suorat 1:Piste hiiren vasemmalla painikkeella. 6. Siirrä kohdistin pisteen päälle ja valitse hiiren.-painikkeella avautuvasta valikosta 7:Koordinaatit ja yhtälöt Siirry pisteen x-koordinaatin päälle, valitse se niin, että väri muuttuu harmaaksi. Valitse.-painikkeella avautuvasta valikosta Tallenna ja anna muuttujan nimeksi x1 ja enter. Suorita samat toiminnot y-koordinaatille ja anna muuttujan nimeksi y1. 7. Lisää asiakirjaan uusi sivu alkuvalikosta Listat&Taulukot-sovellus 8. Anna A-sarakkeelle nimi x_koord ja b-sarakkeelle y_koord. Siirry A-sarakkeen harmaan solun päälle ja valitse hiiren.-painikkeell avautuvasta valikosta 8:Datan kaappaus ja :Manuaalinen Paina ylärivin var-painiketta ja valitse x1. Toista tämä kaikki y_koord sarakkeelle, kerää manuaalisesti y-koordinaattien arvot valitsemalla kerättäväksi muuttujaksi y1. 9. Siirry takaisin kuvaaja sivulle.
17 10. Siirrä piste kohtaan, jonka koordinaatit haluat kerätä talteen. 11. Piste tallennetaan pitämällä ctrl-painike pohjassa ja painamalla numero näppäinten pistettä.. Siirrä piste uuteen kohtaan ja paina jälleen ctrl ja piste jne. jne. Jos haluat sovittaa valitsemiisi pisteisiin paraabelin, niin pisteitä tulee valita vähintään kolme (Pisteitä aina vähintään yksi enemmän, kuin on polynomin asteluku tietenkin!). 1. Jos haluat, että valitut pisteet jäävät näkyviin, niin vaihda kuvaajan tyypiksi sirontakuvaaja. 13. Aseta x<-x_koord ja y<-y_koord. Huom. muuttujat löytyvät myös var-painikkeen takaa. 14. Siirry asiakirjassa Listat & Taulukot sivulle ja laske kerättyihin pisteisiin regressioparaabeli. 15. Valitse menu 4:Tilastot 1:Tilastolliset Laskut 6:. asteen regressio ja täydennä valikkokenttiin Lista X: x_koord ja Lista Y: y_koord 16. Siirry takaisin kuvaajaan ja valitse kuvaajan tyypiksi menu 3:Kuvaajan tyyppi 1:Funktio ja mene syöttöriville tab ja paina nuolta kerran ylöspäin. Näin voit nähdä funktion f1(x). 17. Painamalla nyt enter-painiketta voit piirtää funktion kuvaajan alkuperäisen kuvaajan päälle. 18. Kuvan voi haluttaessa vaihtaa toiseksi poistamalla aiempi kuva klikkaamalla hiiren.-painiketta kuvan päällä ja valitsemalla avautuvasta valikosta 3:Valitse :Kuva ja painamalla del-painiketta.
18 Kokeen laadinta ja kysymyskenttien lisääminen Laadi asiakirjapohja käyttäen asiakirjan sivuille tarjolla olevia valmiita kysymyspohjia Tallenna tiedosto ja pyydä palautus haluamallasi tavalla esim.
19 Pohdittava ongelma asiakirjaksi ja tiedostoksi Matematiikan opetuksessa tarjotaan arkinen ongelma pohdittavaksi ja ratkaistavaksi. Tehtävänäsi on miettiä erilaisia ratkaisukeinoja. Pääsääntöisesti keinovalikoima löytyy meneillään olevasta kurssista. Syytä on suhtautua ongelmaan hyvin avoimesti ja varautua siihen, että matkan varrella tulee vastaan yllätyksiä. Tehtävänäsi on laatia työselostus tai ns. harjoitusaine asetetun ongelman tiimoilta. ASIAKIRJA (työskentely) 1. Hahmottele ongelmalle kokonaisratkaisu mahdollisesti jopa ilman laskinta.. Aloita asiakirjatyöskentely ts. laadi uusi asiakirja. 3. Ensimmäiselle sivulle kirjoitetaan tiedot ongelman otsikko ja tiedot ratkaisijasta tai ratkaisijoista, jos tekijänä on opiskelijaryhmä. Sivuformaattina käytetään Lisää Muistiinpanot sivutyyppiä. 4. Seuraavilla sivuilla on syytä kuvailla itse ongelma ja käyttää edelleen sivuformaattina Lisää Muistiinpanot sivutyyppiä. 5. Selvitä varsinaisella ratkaisusivustolla kaikki kokonaisratkaisuun liittyvä asiakirjamateriaali ts. laskenta, kuvaajat, taulukot jne. Siis kaikki toiminnot ja selvitykset, joiden perusteella voidaan todentaa ratkaisun oikeellisuus ja joiden avulla voidaan jälkikäteen tarkistaa laadittu ratkaisu. 6. Lataa mahdolliset kuvat sivuformaattiin Lisää Kuvaajat-sovellus. 7. Raportoi huolellisesti ja laajasti!!! 8. Tallenna asiakirja yksilöllisellä nimellä. 9. Siirrä asiakirja kämmenlaitteeltasi tiedostoksi tietokoneellesi. 10. Lähetä asiakirja tiedostona opettajallesi tai siirrä asiakirja kämmenlaitteeltasi opettajan tietokoneelle. TIEDOSTO (opettajalle) Kysy neuvoja toimintatavoista edellä oleva ohjeistus ei ole tyhjentävä!
20 Laskin kurssikokeessa ja YO-kokeessa 1) Laskimen muisti voidaan lukita kurssikokeessa tai ylioppilaskokeessa kokeen ajaksi Press-totest-toiminnon avulla. Tällöin muistissa oleviin asiakirjoihin ei päästä käsiksi, mutta tiedostot kuitenkin säilyvät ja ovat kokeen jälkeen käytettävissä [Toisin kuin esimerkiksi, jos muisti ainoastaan tyhjennettäisiin nopeasti komennoilla Valitse perusnäytöltä :Omat asiakirjat ja Valitse Menu-valikosta 1:Toiminnot 6: Poista kaikki]. ) Lukitus suoritetaan käynnistämällä laskin ESC-näppäintä pohjassa pitäen. KAIKKI laskimen toimintoja rajoittavat rastit voidaan ottaa pois YO-kokeessa. 3) Lukitus puretaan toisen laskimen kanssa liittämällä kaksi TI-nSpire-kämmenlaitetta toisiinsa pienemmällä USB-kaapelilla. Lukitus puretaan valitsemalla lukitussa laskimessa : Omat asiakirjat (Avaa jokin asiakirja tai luonnossivu) Valitse Doc-valikosta 9:Press-to-test Valitse 1:Poistu Press-to-test-tilasta HUOM! Jos molemmat laskimet ovat lukittuina, niin ne molemmat avautuvat, kun edellä oleva toimenpide suoritetaan toisessa laskimessa. Näin lukion opiskelijat voivat keskenään purkaa laskimista lukituksen esim. kurssikokeen jälkeen! Hyödyllisiä www-sivustoja 1) Opiskele CAS-laskimen käyttöä verkossa videoiden avulla ) Opiskele pitkää matematiikkaa ja paljon muuta sivustolta 3) Maahantuoja 4) Texas Instrumentsin sivusto education.ti.com/suomi
4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen
4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 1 2 TI-Nspire CX CAS kämmenlaite kevään 2013 pitkän matematiikan kokeessa Tehtävä 1. Käytetään komentoa
Lisätiedotcos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys
LisätiedotHannu Mäkiö. kertolasku * jakolasku / potenssiin korotus ^ Syöte Geogebran vastaus
Perusohjeita, symbolista laskentaa Geogebralla Kielen vaihtaminen. Jos Geogebrasi kieli on vielä englanti, niin muuta se Options välilehdestä kohdasta Language suomeksi (finnish). Esittelen tässä muutaman
LisätiedotJohdantoa. Jokaisen matemaatikon olisi syytä osata edes alkeet jostakin perusohjelmistosta, Java MAPLE. Pascal MathCad
Johdantoa ALGORITMIT MATEMA- TIIKASSA, MAA Vanhan vitsin mukaan matemaatikko tietää, kuinka matemaattinen ongelma ratkaistaan, mutta ei osaa tehdä niin. Vitsi on ajalta, jolloin käytännön laskut eli ongelman
LisätiedotMATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA
EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa
LisätiedotSolmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:
Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 26.3.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
Lisätiedot6. Harjoitusjakso II. Vinkkejä ja ohjeita
6. Harjoitusjakso II Seuraavaksi harjoitellaan algebrallisten syötteiden, komentojen ja funktioiden käyttöä GeoGebrassa. Tarjolla on ensimmäisen harjoittelujakson tapaan kahden tasoisia harjoituksia: perustaso
LisätiedotMukavia kokeiluja ClassPad 330 -laskimella
Mukavia kokeiluja ClassPad 330 -laskimella Tervetuloa tutustumaan Casio ClassPad laskimeen! Jos laskin ei ole yksin omassa käytössäsi, on hyvä tyhjentää aluksi muistit ja näytöt valikosta Edit->Clear All
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotLisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
LisätiedotSyksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
LisätiedotMATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009
EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 3 tuntia (180 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa
LisätiedotAki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI
Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen
Lisätiedot, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1. Tietokoneharjoitus: ratkaisut
Johdanto Kokeile tavallista numeroilla laskemista: yhteen-, kerto- ja jakolaskuja sekä potenssiinkorotusta. 5 (3.1) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Tietokoneharjoitus: ratkaisut Kurssin 1. alkuviikon
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Lisätiedot3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.
Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman
Lisätiedot1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
Lisätiedotjakokulmassa x 4 x 8 x 3x
Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
LisätiedotFx-CP400 -laskimella voit ratkaista yhtälöitä ja yhtälöryhmiä eri tavoin.
3. Yhtälöt Fx-CP400 -laskimella voit ratkaista yhtälöitä ja yhtälöryhmiä eri tavoin. 3.1 Ensimmäisen asteen yhtälöt Ratkaise yhtälö. 3 x ( x 3) 4x 5 Kirjoita tehtävä sellaisenaan, maalaa se ja käytä Interactive
LisätiedotMuistitikun liittäminen tietokoneeseen
Muistitikun käyttäminen 1 Muistitikun liittäminen tietokoneeseen Muistitikku liitetään tietokoneen USB-porttiin. Koneessa voi olla useita USB-portteja ja tikun voi liittää mihin tahansa niistä. USB-portti
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Lisätiedotb) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)
Matematiikan TESTI, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
LisätiedotMateriaalia, ohjeita, videoita sekä lisätietoja opettajille tarjottavasta koulutuksesta osoitteessa:
Kevään Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Nämä ratkaisut tehty alusta loppuun TI-Nspire CX CAS -ohjelmistolla ja tallennettu lopuksi PDF -muotoon. Tarkoituksena on havainnollistaa,
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
YLIOPPILSTUTKINTO- LUTKUNT..7 MTEMTIIKN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ -osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan ruudukkoon.
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa
LisätiedotUutiskirjesovelluksen käyttöohje
Uutiskirjesovelluksen käyttöohje Käyttäjätuki: Suomen Golfpiste Oy Esterinportti 1 00240 HELSINKI Puhelin: (09) 1566 8800 Fax: (09) 1566 8801 E-mail: gp@golfpiste.com 2 Sisällys Johdanto... 1 Päänavigointi...
Lisätiedot1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo
1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
Lisätiedot1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
LisätiedotMatematiikka vuosiluokat 7 9
Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa
LisätiedotEpäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
LisätiedotDifferentiaalilaskennan tehtäviä
Differentiaalilaskennan tehtäviä DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona 2. Derivoimiskaavat 2.1
LisätiedotLaske Laudatur ClassPadilla
Enemmän aikaa matematiikan opiskeluun, vähemmän aikaa laskimen opetteluun. Laske Laudatur ClassPadilla Lyhyt matematiikka, syksy 2015 Casio Scandinavia Keilaranta 4 02150 Espoo info@casio.fi Hyvä Opettaja
LisätiedotGeoGebra Quickstart. Lyhyt GeoGebra 2.7 -ohje suomeksi
GeoGebra Quickstart Lyhyt GeoGebra 2.7 -ohje suomeksi Algebraikkuna GeoGebra on ilmainen matematiikan opetusohjelma. Siinä on työvälineitä dynaamiseen geometriaan, algebraan ja analyysiin. Voit piirtää
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotMATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA
EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,
LisätiedotA-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
LisätiedotLuvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7
Luvuilla laskeminen TI-84 Plus käyttää laskujen suorittamiseen ns. yhtälönkäsittelyjärjestelmää (EOS TM, Equation Operating System), jonka avulla lausekkeiden syöttö tapahtuu matemaattisessa kirjoitusjärjestyksessä.
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotValitse ruudun yläosassa oleva painike Download Scilab.
Luku 1 Ohjeita ohjelmiston Scilab käyttöön 1.1 Ohjelmiston lataaminen Ohjeet ohjelmiston lataamiseen Windows-koneelle. Mene verkko-osoitteeseen www.scilab.org. Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download
Lisätiedotph-titrauskuvaajan piirto LoggerProlla, Tl-Nspirellä,Class Padillä, GeoGebralla ja LibreOfficella
marika suovanen ph-titrauskuvaajan piirto LoggerProlla, Tl-Nspirellä,Class Padillä, GeoGebralla ja LibreOfficella Abittissa: Jos kokeessa arvot ovat liitetiedostossa muodossa mittaustulokset.csv, niin
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys
LisätiedotTALLENNETAAN MUISTITIKULLE JA MUISTIKORTILLE
TALLENNETAAN MUISTITIKULLE JA MUISTIKORTILLE HERVANNAN KIRJASTON TIETOTORI Insinöörinkatu 38 33720 Tampere 040 800 7805 tietotori.hervanta@tampere.fi TALLENNETAAN MUISTIKULLE JA MUISTIKORTILLE 1 Muistitikun
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
LisätiedotSymbolinen laskin perinteisissa pitka n matematiikan ylioppilaskirjoituksissa
Symbolinen laskin perinteisissa pitka n matematiikan ylioppilaskirjoituksissa Meri Vainio Valkeakosken Tietotien lukio / Päivölän Kansanopisto Tieteenala: Matematiikka Tiivistelmä Symbolinen laskin sallitaan
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
Lisätiedot6.1 Tekstialueiden valinta eli maalaaminen (tulee tehdä ennen jokaista muokkausta ym.)
6. Tekstin muokkaaminen 6.1 Tekstialueiden valinta eli maalaaminen (tulee tehdä ennen jokaista muokkausta ym.) Tekstin maalaaminen onnistuu vetämällä hiirellä haluamansa tekstialueen yli (eli osoita hiiren
Lisätiedot10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?
YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä
Lisätiedota) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1.10.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotMATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009
EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa
LisätiedotMatriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9.
Python linkit: Python tutoriaali: http://docs.python.org/2/tutorial/ Numpy&Scipy ohjeet: http://docs.scipy.org/doc/ Matlabin alkeet (Pääasiassa Deni Seitzin tekstiä) Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä.
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotGeogebra -koulutus. Ohjelmistojen pedagoginen hyödyntäminen
Geogebra -koulutus Ohjelmistojen pedagoginen hyödyntäminen Geogebra Ilmainen dynaaminen matematiikkaohjelmisto osoitteessa http://www.geogebra.org Geogebra-sovellusversion voi asentaa tietokoneilla ja
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotAnna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
Lisätiedotx = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
LisätiedotCasion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna
Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Grafiikkalaskin on oivallinen apuväline ongelmien ratkaisun tukena. Sen avulla voi piirtää kuvaajat, ratkaista yhtälöt ja yhtälöryhmät, suorittaa funktioanalyysin
LisätiedotNspire CAS - koulutus Ohjelmiston käytön alkeet Pekka Vienonen
Nspire CAS - koulutus Ohjelmiston käytön alkeet 3.12.2014 Pekka Vienonen Ohjelman käynnistys ja käyttöympäristö Käynnistyksen yhteydessä Tervetuloa-ikkunassa on mahdollisuus valita suoraan uudessa asiakirjassa
Lisätiedothttp://www.microsoft.com/expression/
Verkkojulkaisuharjoitus1 TAVOITE Harjoituksen tarkoituksena on opiskella käyttämään verkkojulkaisueditoria (Microsoft Expression Web) ja käynnistämään verkkosivu internetissä. VERKKOSIVUEDITORIN KÄYTTÖOHJEITA
LisätiedotMAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
LisätiedotMAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
LisätiedotOhjeet asiakirjan lisäämiseen arkistoon
Ohjeet asiakirjan lisäämiseen arkistoon 1. Jos koneellesi ei vielä ole asennettu Open Office ohjelmaa, voit ladata sen linkistä joka löytyy Arkisto => Asiakirjapohjat sivulta seuran kotisivuilta. Jos ohjelma
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotMatematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to
Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat
Lisätiedot1. HARJOITUS harjoitus3_korjaus.doc
Word - harjoitus 1 1. HARJOITUS harjoitus3_korjaus.doc Kopioi itsellesi harjoitus3_korjaus.doc niminen tiedosto Avaa näyttöön kopioimasi harjoitus. Harjoitus on kirjoitettu WordPerfet 5.1 (DOS) versiolla
LisätiedotTässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.
Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan
LisätiedotOppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8
Oppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8 Piirtoalue ja algebraikkuna Piirtoalueelle piirretään työvälinepalkista löytyvillä työvälineillä
LisätiedotKESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.
VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten
Lisätiedotderivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.
Matematiikka, MAA9. a) Ratkaise yhtälö tan (YOS) Kulma on välillä [, 6]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt: b) sin c) cos (YOs). Kulmalle [9,6 ] on voimassa sin = 8 7. Määritä cos ja tan..
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
Lisätiedot= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 2 x 2 3 2 3 x 1 4, (b) (x + 1)(x 2)
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n
Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta
Lisätiedot