wxmaxima opas 1 Mikä wxmaxima on 2 wxmaximan käyttö Petri Sallasmaa 13. toukokuuta 2014

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "wxmaxima opas 1 Mikä wxmaxima on 2 wxmaximan käyttö Petri Sallasmaa 13. toukokuuta 2014"

Transkriptio

1 wxmaxima opas Petri Sallasmaa 13. toukokuuta Mikä wxmaxima on wxmaxima on yksinkertainen graanen käyttöliittynä Maxima CAS(computer algebra system)-järjestelmälle, joka on luotu wxwidgets nimisen käyttöliittymäkirjaston avulla. wxmaximassa voidaan Maximan komennot syöttää valikkojen tai dialogien avulla, jolloin ei ainakaan alkuun ole välttämätöntä opetella kaikkea komentorivillä käytettävän Maximan komentoja. Perustoimintoja ja muitakin komentoja voi ja kannataa kuitenkin kirjoittaa suoraan dokumentin kirjoitusalueelle. wxmaximan käyttöliittymä on seuraavanlainen: Käyttöliittymän ylälaidassa on tuttu valikko, josta voidaan valita komentoja, jotka sitten suoritetaan dokumentin kirjoitustilassa. wxmaximassa tuotetaan tavallaan tekstidokumenttia johon Maxima tuottaa haluttuja laskennallisia tuloksia. Dokumentti ja näin myös kirjoitusalue on jaettu pienempiin osiin soluihin. Perussoluja ovat syöteet, tulosteen ja erilaiset tekstityyppiset solut. Kirjoitusalueella syötesolut merkitään tunnisteella (%i#), missä # on syötteen järjestysnumero, ja tulosteet (%o#), missä taas # on tulosteen järjestysnumero. Tekstityyppisellä soluilla ei ole numeroituja tunnisteita. Kirjoitusalueella on myös ruudun poikki kulkeva musta viiva, joka on kirjoitusalueen kohdistin (kursori), siis kohta johon ollaan seuraavaksi lisäämässä jotain. 2 wxmaximan käyttö Koska itse Maxima on suhteellisen laaja ohjelma, jolla voidaan laskea vaikeitakin mateemaattisia laskuja, tässä oppaassa keskitytään perustoimintojen suorittamiseen ja lähinnä käyttäen wxmaximan käyttöliittymää. Ihan vertailun vuoksi Maksiman version 5.30, joka tässäkin wxmaximassa on taustalla, virallisessa oppaassa on 1048 sivua. Eli Tässä oppaassa Maximan käytöstä käydään läpi vain murto-osa. 1

2 2.1 Syöttäminen ja peruslaskutoimitukset Söytesolu saadaa kirjoitusalueelle kohdistimen osoittamaan paikkaan valitsemalla valikosta jokin toimenpide tai yksinkertaisesti alkamalla kirjoittaa jotain. Cell-valikossa on myös valittavissa Insert Input Cell, mutta tämä vastaa sitä kun aloittaa kirjoittamaan vain näppäimistöltä tekstiä. Harjoitus 1. Kirjoita syötteeksi 1+1. Nyt Kirjoitusalueella on syöte > 1+1. Tätä syötettä ei ole vielä annettu Maximan prosessoitavaksi ja se tehdään painamalla shift+enter. Pelkkä enter näppäimen painaminen tekee syötteeseen rivinvaihdon, koska syöte saa olla myös monella eri rivilllä. Harjoitus 2. Paina shift+enter, jolloin syöte syötetään Maximalle suoritettavaksi. Nyt kirjoitusalueelle tulee ensimmäinen syöte-tuloste solupari Tässä ensimmäinen syöte on on tunnisteella (%i1) ja sitä vastaava tuloste (%o1). Huomaa että syötteen perään tulee puolipiste(;). Jokainen komento päätetään aina puolipisteeseen tai dollari($)-merkkiin. Nyt kun kirjoitettiin syötteeksi perus laskutoimitus tulosteeksi tulee suoraan sen laskun tulos. Harjoitus 3. Kirjoita syötteeksi 1+1$ ja suorita se (painamalla shift+enter) Nyt kirjoitusalueelle tulee toinen syöte %i2, mutta jos komennon päättää puolipisteen sijaan dollarimerkkiin tuloste ei tule näkyviin. Jossain tilanteessa, esimerkiksi kun määritellään kerralla paljon omia muuttujia tai ketjutettaessa syötteitä ja tulosteita, ei haluta tulostusta tai välitulosta näkyviin ruudulle, niin silloin sen voi tehdä lisäämällä komentojen perään dollarimerkin. Perus laskutoimitukset syötetään niitä vastaavilla operaatioilla. Taulukossa on tyypillisimmät operaatiot ja niitä vastaavat merkit lueteltuna Toiminto Merkki yhteenlasku + vähennyslasku - kertolasku * jakolasku / potenssi ^ sulkeet ( ja ) nelijuuri x sqrt( x ) kertoma! Harjoitus 4. Syötä lasku 1/3+4/7 Huomaa, että laskettaessa kokonaisluvuilla tulosteet ovat rationaalilukuja siis tarkkoja arvoja. Harjoitus 5. Syötä laskut 1/3 ja 1/3.0. Tee se samaa syötteeseen kirjoittamalla laskujen väliin puolipiste siis 1/3;1/3.0; (Huomaa että Maximassa on desimaalipilkun tilalla käytössä desimaalipiste) Nyt tulostelohkossa on kaksi tulostetta %o4 ja %o5. Koska jälkimmäisessä laskussa käytettiin desimaalilukua kokonaisluvun sijaan, vastauskin annettiin kokonaislukuna. Toinen tapa saada vastaus desimaalilukuna on käyttää komentoa oat. Harjoitus 6. Syötä lasku 1/3. Kun saat tuloksen 1 3 valitse valikosta numeric komento To Float. (Saman lopputuloksen saat jos kirjoitat suoraan syötteksi oat(1/3) ) 2

3 Kun valikosta valittiin To Float komento se kohdistettiin edelliseen tulosteeseen. Tämän merkkinä syötteessä %i7 on oat komennon parametri %. Siis aina jos halutaan viitata edelliseen tulokseen sen voi tehdä kirjoittamalla lausekkeeseen tai komentoon yksinkertaisesti %-merkin. Laskuissa ja lausekkeissa voidaan viitata myös mihin tahansa syöteeseen tai tulosteseen käyttämällä niiden nimiä %i# tai #o#, missä # on syötteen tai tulosteen järjestysnumero. Numeerisen laskennan lisäksi perulaskutoimisuksia voidaan tehdä muuttujille. Harjoitus 7. Syötä lasku x+x. Tulokseksi saadaan Harjoitus 8. Syötä lasku 3x+4x. Nyt tulostukseen tulee seuraavanlainen virheilmoitus Maxima, kuten ei yleisesti muutkaan CAS-järjestelmät, ymmärrä impisiittistä kertomerkkiä siis 3x pitää aina kirjoittaa muodossa 3*x. Samoin pitää toimia sulkeiden kanssa siis (x-1)(x+1) pitää kirjoittaa muodoss (x- 1)*(x+1). Muuttuja ovat kirjainkokoherkkiä siis a ja A ovat ei muuttujia. Muuttujat voivat olla myös merkkijonoja siis useamman kirjaimen mittasia. Harjoitus 9. Syötä lasku 3*Petri+4*Petri. Kun kertomerkin ovat paikallaan ja muuttuja on Petri niin tulokseksi tulee 2.2 Vakiot ja omat muuttujat Kuten edellä muuttujia voidaan käyttää niitä sen paremmin määrittelemättä. Mutta kun muuttujalle halutaan määrätä jokin arvo tai lauseke, se tehdään määrittelymerkin : (kaksoispiste) avulla esimerkiksi a : 5 jolloin sijoitetaan muuttujaan a arvo 5 Harjoitus 10. Määrittele muuttuja a siten että sen arvo on 5. Määrittele myös että x on b+c. Siis kirjoitamme syötteeksi a : 5; d : b+c;. Syöttenä on määrittelyt ja kahtena eri tulosteena niiden arvot Tällöin siis seuraavaksi kun lausekkeessa on a niin se korvautuu luvulla 5 ja d lausekkeella b+c. Tieto siitä mitä muuttujia on määritelty saadaan Maxima-valikosta komennolla Show Variables. Niiden arvot saadaan yksinkertaisesti syöttämällä muuttuja niin tulosteena on sen arvo. 3

4 Maximassa on sisäänrakennettuna vakiota ja niitä voi myös käyttää laskuissa ja lausekkeissa. Tärkeimpiä vakiota seuraavassa taulukossa Vakio Maximassa π %pi Eulerin vakio e %e ääretön( ) inf - ääretön( ) minf tosi true epätosi false imaginääriyksikkö i %i Harjoitus 11. Tarkastele vakion π desimaaliarvoa. (Syötä %pi ja muuta se desimaaliesitykseen) 2.3 Funktiot ja funktion määritteleminen Maximassa on paljon sisäänrakennettuja funktiota, siis trigonometrisiä funktiota, itseisravo, minimiä, maksimia, tilastollisiafunktioita ym... Perusfunktiota ja niiden käyttöohjeita löytyy enemmän valikosta Help ja sieltä Maxima Help (tai painamalla F1) valikosta otsikolla Mathematical functions. Funktiota käytetään kuten normaalistikin kirjoittaessa esim sin(x), log(4), abs(-3) (asb on itseisarvo). Harjoitus 12. Kirjoita syötteeksi sin( %pi ) + log( %e); Oman funktion voi määritellä vähän kuten muuttujankin nyt vaan funktiolla pitää olla nimi, muuttujat sulkeissa pilkulla eroteltuna, määrittelymerkkinä kaksoispiste ja yhtäsuuruus ( : = ) ja sitten itse funktion lauseke. Siis f(x) : = 2*x + 1 ja nyt funktion f on määritelty. Harjoitus 13. Määrittele funktio f (x) = 2x 5. Kokeile määrittelemääsi funktiota kysymällä sen arvoja esim f ( -1 ) ja f ( 5 ). Funtioon tai tulosteeseen voi tehdä myös sijoituksen arvon saamiseksi. Sijoituskomento löytyy Simplify valikosta Substitute... Harjoitus 14. Kirjoita syötteeksi x^2. Tämän jälkeen valitse Simplify valikosta Substitute... Nyt Dialogi kysyy mistä lausekkeesta (tai funktiosta), mitä korvataan ja millä korvataan. Korvaa edelisen tulosteen % muuttuja x muttujalla y Näin tulosteessa kaikki muuttujan x esiintymät korvattiin muuttujalla y. Harjoitus 15. Valitse Simplify valikosta uudelleen Substitute... Kijoita nyt dialogiin lausekkeeksi %o18 (eli 18 tuloste joka on tuo x 2 ), muuttuja x korvatan jälleen, mutta nyt luvulla 5. 4

5 Näin lausekkeen x 2 muuttujan paikalle sijoitettiin luku 5 ja sen arvo laskettiin samalla 2.4 Factor, Expand ja simplify Jatketaan tutustumalla Simplify valikon komentoihin Factor Expression ja Expand Expression. Niillä voidaan lausekkeita tai lukuja jakaa tekijöihin tai laajentaa esimerkiksi polymoniksi. Harjoitus 16. Kirjoita syötteeksi 30!. Tulosteeseen tulee kertoman arvo. Tämän jälkeen valitse Simplify valikosta Factor Expression. Näin edellinen tuloste eli 30! saadaan alkulukuhajoitelmana. Tekijöihinjako toimii myös polynomeilla. Harjoitus 17. Kirjoita syötteeksi x^4+2*x^3-x^2-2*x. Tämän jälkeen valitse Simplify valikosta Factor Expression. Näin edellinen tuloste eli neljännenasteen polynomi jakautuu tekijöihin. Toisaalta välillä pitää saada polynimit kerrottua auki. Tämä onnistuu valitsemalla Simplify valikon komennon Expand Expression. Harjoitus 18. Kirjoita syötteeksi (x+3)^4. Tämän jälkeen valitse Simplify valikosta Expand Expression. Näin edellinen tuloste kerrotaan auki summamuotoon Simplify valikossa myös komento lausekkeen sieventämiselle Simlify Expression. Tällä komennolla voidaan sieventää esimerkiksi rationaalilausekkeita. Harjoitus 19. Kirjoita syötteeksi (x^2-4) / (x+2). Tämän jälkeen valitse Simplify valikosta Simplify Expression. Näin edellinen tuloste eli rationaalilauseke sievennetään Huomaa, että sievennys ei ota huomioon määrittelyehtoja siis tässä tapauksessa x 2! 5

6 Edelliset komennot eivät toimi trigonometrisillä funktioilla, mutta niitä varten on Simplify valikossa oma työkalukokoelma Triconometric Simplication jossa on vastaavat komennot trigonometrisille funktioille Harjoitus 20. Kirjoita syötteeksi cos(x)^2 + sin(x)^2; Tämän jäkeen Simplify valikon Trigonometric Simpli- cation valikosta Simplify Trigonometric Harjoitus 21. Kirjoita syötteeksi sin(2*x); Tämän jäkeen Simplify valikon Trigonometric Simplication valikosta Expand Trigonometric 2.5 Yhtälöt ja yhtälöparit Yhtälön ratkaisemiseksi avataan dialogi valikosta Equations ja sieltä komento Solve... Dialogin Equation(s) kenttään syötetään yhtälö. Jos kenttään ei syötetä yhtäruusuusmerkkiä ohjelma tulkitsee että silloin lauseke on nolla siis 2*x+3 syöte vastaa syötettä 2*x+3=0. Variable(s) kenttään syötetään minkä muuttujan suhteen yhtälö ratkaistaan. Harjoitus 22. Avaa yhtälön ratkaisu Equations ja Solve.. ja syötä lauseke x^4+2*x^3-x^2-2*x ja ratkaise se muuttujan x suhteen. (Huomaaa että lauseke on sama joka oli harjoituksessa 17 joten voit myös viitata siihen harjoituksessa olevan syötekentän tunnisteella tässä %i23) Näin saatiin yhtälön ratkaisut 6

7 Jos joku ratkaisuista pitää poimia ratkaisujoikosta se ommistuu kirjoittamalla tulosteen tunnisteen ja hakasulkeisiin ([ ]) halutun ratkaisun järjestysnumero Harjoitus 23. Poimi edellisestä tuloksesta negatiivinen ratkaisu eli toinen ratkaisuista. (Voit nyt viitata tulokseen pelkällä %-merkillä koska se viimeinen tuloste, mutta aina varmenpaa on käyttää oikeea tunnistetta eli tässä %o34 ) Näin esimerkiksi voidaan käyttää yhtä ratkaisua sijoituksessa toiseen lausekkeeseen tai jatkaa laskua siitä ratkaisusta eteenpäin. Yhtälöpari tai yleisemmin yhtälöryhmän ratkaiseminen on yhtä vaivatonta. Nyt vaan Solve... dialogin Equation(s) kenttään syötetään useampi yhtälö pilkulla (, ) eroteltuna. Variable(s) kenttään syötetään ne muuttujat jotka halutaan ratkaista. Harjoitus 24. Avaa yhtälön ratkaisu Equations ja Solve.. ja syötä yhtälöryhmän yhtälot x+y+z=3, -x+y+2*z=3, 3*x+y-2*z=-5 ja ratkaise yhtälöryhmän muuttujat x, y ja z. 2.6 Derivointi ja integrointi Komennot derivointiin ja integrointiin löytyvät Calculus valikosta. Funktion tai lausekkeen derivaatan voi laskea kun valitsee Calculus valikosta Dierentiate... komennon. Derivoitava funktio tai lauseke kirjoitetaan Expression kenttään, Variable(s) kenttään syötetään minkä muuttujan suhteen derivoidaan ja Times kenttää monesko derivaatta lasketaan. Harjoitus 25. Määritä funktio f(x) := x^3 + 5*x^2-2*x + 7. Avaa sitten Calculus valikon Dierentiate.. komento ja derivoi funktio f muuttujan x suhteen kerran. Avaa dialogi uudelleen ja laske funktion f toinen derivaatta muuttujan x suhteen. Integrointi tapahtuu samaisen Calculus valikon komennolla Integrate... Inegroitava funktio tai lauseke kirjoitetaan Expression kenttään, Variable kenttään syötetään minkä muuttujan suhteen integroidaan. Saman dialogin avulla voidaan laskea määrätty integraali. Tällöin valitaan Denite integration valinta ja syötetään integroinille alaja ylärajat. Special napin takaa löytyy rajojen arvoksi erikoisarvoja kuten ääretöntä, pi, ym.. Harjoitus 26. Avaa sitten Calculus valikon Integrate.. komento ja integroi funktio f muuttujan x suhteen. Avaa dialogi uudelleen ja laske funktion f määrätty integraali välillä [0,5]. 7

8 2.7 Kuvaajat Maxima ei itsessään osaa piirtää kuvaajia, mutta ohjelman mukana on ohjelmia, joita Maxima kutsuu kuvaajien piirtämiseksi. Kuvaajat voivat olla kaksi tai kolmeulotteisia. Kaksi ulotteisen kuvaajan piitrtämiseksi valitaan Plot valikosta Plot 2d... Avautuvaan dialogiin Expression(s) kenttään kirjoitetaan funktio tai lauseke, jonka kuvaaja piirretää. Niitä voi taas olla useampia ja ne erotetaan toisistaan pilkulla. Seuraavaksi määrätään piirtoalueen muuttujat Variable vaaka ja pystysuuntaan, sekä niille arvoalueet. Ticks kertoo kuvan piirtotarkkuudesta. Format kertoo piirretäänkö kuva maximadokumentiin (inline) vai tulostetaanko se apuohjelmaan (gnuplot, open math). Options valikolla voidaan säätää esimerkiksi näytetäänko koordinaattiakseleita ja sen sellaista. File kentän avulla kuvan voi tulostaa tiedostoon jos kuvaajan haluaa liittää johonkin muuhun dokumenttiin. Harjoitus 27. Avaa Plot valikosta Plot 2d.. ja syötä lausekkeet -3*x^2+4*x ja -5*x+3 Expression(s) kenttään valitse muuttujiksi x ja y, sekä niille rajoiksi muuttujalle x [-10,10], sekä muuttujalle y [-30,10]. Piirrä kuvaaja. 8

9 Kolmeulotteisten kuvaajan piitrtämiseksi valitaan Plot valikosta Plot 3d... Avautuvaan dialogiin Expression(s) kenttään kirjoitetaan funktio tai lauseke, jonka kuvaaja piirretää. Niitä voi taas olla useampia ja ne erotetaan toisistaan pilkulla. Seuraavaksi määrätään piirtoalueen muuttujat Variable vaaka ja pystysuuntaan, sekä niille arvoalueet. Grid kertoo kuvan kolmiulotteisen ruudukon suuruuden. Format kertoo piirretäänkö kuva maximadokumentiin (inline) vai tulostetaanko se apuohjelmaan (gnuplot, open math). Options valikolla voidaan säätää lisäasetuksia. Plot to le kentän avulla kuvan voi tulostaa tiedostoon jos kuvaajan haluaa liittää johonkin muuhun dokumenttiin. Harjoitus 28. Avaa Plot valikosta Plot 3d.. ja syötä lauseke 2^(-x^2-y^2) Expression kenttään valitse muuttujiksi x ja y, sekä niille rajoiksi -2 ja 2. Piirrä kuvaaja. Harjoitus 29. Avaa Plot valikosta Plot 3d.. ja syötä uudelleen lauseke 2^(-x^2-y^2) Expression kenttään valitse muuttujiksi x ja y, sekä niille rajoiksi -2 ja 2. Valitse Format valikosta gnuplot. Piirrä kuvaaja. Nyt kuvaaja avautuu gnuplot ohjelmaan ja siellä sitä voi esimerkiksi pöyritellä ja zoomailla 2.8 Tekstikentät Cell valikossa on Text, Title, Section ja Subsection tyyppisiä teksti kenttiä joita voi laittaa Maxima-dokumenttiin syötteiden väliin. Näiden avulla voi kirjoitta itselleen tai muille sanallista informaatiota siitä, mitä dokumentissa ollaan laskemassa. Harjoitus 30. Liisää erilaisia teksisyötteitä dokumenttiin 9

10 2.9 Apupanelit Maxima valikosta löytyy valikko Panels. Sieltä esimerkiksi General Math paneelin voi avata näkyviin. Tässä paneelissa on perusmatematiikka komennot kootusti eli tällöin niitä ei tarvitse valikoista hakea. Jos ohjelmaa kuitenkin käytää enemmän alkaa komennot oppia ulkoa ja ne on paljon helpompi kirjoittaa syötteeseen kuin kayttää valikoita. 10

Harjoitus 10: Mathematica

Harjoitus 10: Mathematica Harjoitus 10: Mathematica Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen Mathematica-ohjelmistoon Mathematican

Lisätiedot

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9.

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9. Python linkit: Python tutoriaali: http://docs.python.org/2/tutorial/ Numpy&Scipy ohjeet: http://docs.scipy.org/doc/ Matlabin alkeet (Pääasiassa Deni Seitzin tekstiä) Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Harjoitus 1: Matlab. Harjoitus 1: Matlab. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1. Syksy 2006

Harjoitus 1: Matlab. Harjoitus 1: Matlab. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1. Syksy 2006 Harjoitus 1: Matlab Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen Matlab-ohjelmistoon Laskutoimitusten

Lisätiedot

Harjoitus 1 -- Ratkaisut

Harjoitus 1 -- Ratkaisut Kun teet harjoitustyöselostuksia Mathematicalla, voit luoda selkkariin otsikon (ja mahdollisia alaotsikoita...) määräämällä soluille erilaisia tyylejä. Uuden solun tyyli määrätään painamalla ALT ja jokin

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Tietokoneharjoitus: ratkaisut

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Tietokoneharjoitus: ratkaisut Johdanto Kokeile tavallista numeroilla laskemista: yhteen-, kerto- ja jakolaskuja sekä potenssiinkorotusta. 5 (3.1) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Tietokoneharjoitus: ratkaisut Kurssin 1. alkuviikon

Lisätiedot

Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download Scilab.

Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download Scilab. Luku 1 Ohjeita ohjelmiston Scilab käyttöön 1.1 Ohjelmiston lataaminen Ohjeet ohjelmiston lataamiseen Windows-koneelle. Mene verkko-osoitteeseen www.scilab.org. Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download

Lisätiedot

Harjoitus 1 -- Ratkaisut

Harjoitus 1 -- Ratkaisut Kun teet harjoitustyöselostuksia Mathematicalla, voit luoda selkkariin otsikon (ja mahdollisia alaotsikoita...) määräämällä soluille erilaisia tyylejä. Uuden solun tyyli määrätään painamalla ALT ja jokin

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Kevään 2011 pitkän matematiikan ylioppilastehtävien ratkaisut Mathematicalla Simo K. Kivelä /

Kevään 2011 pitkän matematiikan ylioppilastehtävien ratkaisut Mathematicalla Simo K. Kivelä / Kevään 0 pitkän matematiikan ylioppilastehtävien ratkaisut Mathematicalla Simo K. Kivelä / 8.7.0 a) b) c) a) Tehtävä Yhtälö ratkaistaan yleensä Solve-funktiolla: Solve x 3 x, x x 4 Joissakin tapauksissa

Lisätiedot

Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (1/5) Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (2/5) Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (3/5)

Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (1/5) Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (2/5) Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (3/5) Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (1/5) Aiemmin olemme jo antaneet muuttujille alkuarvoja, esimerkiksi: int luku = 123; Alkuarvon on oltava muuttujan tietotyypin mukainen, esimerkiksi int-muuttujilla kokonaisluku,

Lisätiedot

Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (1/5) Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (2/5) Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (3/5)

Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (1/5) Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (2/5) Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (3/5) Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (1/5) Aiemmin olemme jo antaneet muuttujille alkuarvoja, esimerkiksi: int luku = 123; Alkuarvon on oltava muuttujan tietotyypin mukainen, esimerkiksi int-muuttujilla kokonaisluku,

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Johdatus Ohjelmointiin

Johdatus Ohjelmointiin Johdatus Ohjelmointiin Syksy 2006 Viikko 2 13.9. - 14.9. Tällä viikolla käsiteltävät asiat Peruskäsitteitä Kiintoarvot Tiedon tulostus Yksinkertaiset laskutoimitukset Muuttujat Tiedon syöttäminen Hyvin

Lisätiedot

PERUSLASKUJA. Kirjoita muuten sama, mutta ota välilyönti 4:n jälkeen 3/4 +5^2 3

PERUSLASKUJA. Kirjoita muuten sama, mutta ota välilyönti 4:n jälkeen 3/4 +5^2 3 PERUSLASKUJA Matemaattisten lausekkeiden syöttäminen: Kirjoita ilman välilyöntejä 3/+^ 3 Kirjoita muuten sama, mutta ota välilyönti :n jälkeen 3/ +^ 3 Liiku matematiikka alueella nuolinäppäimin. Kokeile

Lisätiedot

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 2 vastaukset

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 2 vastaukset 815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 2 vastaukset Harjoituksen aiheena on BNF-merkinnän käyttö ja yhteys rekursiivisesti etenevään jäsentäjään. Tehtävä 1. Mitkä ilmaukset seuraava

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo? Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 1.4.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 1.4.2009 1 / 56 Tentti Ensimmäinen tenttimahdollisuus on pe 8.5. klo 13:00 17:00 päärakennuksessa. Tämän jälkeen

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 2.3.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 2.3.2009 1 / 28 Puhelinluettelo, koodi def lue_puhelinnumerot(): print "Anna lisattavat nimet ja numerot." print

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Ohjeita LINDOn ja LINGOn käyttöön

Ohjeita LINDOn ja LINGOn käyttöön Ohjeita LINDOn ja LINGOn käyttöön LINDOn tärkeimmät komennot ovat com (command), joka tuloaa käytettävissä olevat komennot ruudulle, ja help, jonka avulla saa tietoa eri komennoia. Vaaukset kursiivilla

Lisätiedot

Fx-CP400 -laskimella voit ratkaista yhtälöitä ja yhtälöryhmiä eri tavoin.

Fx-CP400 -laskimella voit ratkaista yhtälöitä ja yhtälöryhmiä eri tavoin. 3. Yhtälöt Fx-CP400 -laskimella voit ratkaista yhtälöitä ja yhtälöryhmiä eri tavoin. 3.1 Ensimmäisen asteen yhtälöt Ratkaise yhtälö. 3 x ( x 3) 4x 5 Kirjoita tehtävä sellaisenaan, maalaa se ja käytä Interactive

Lisätiedot

Funktiot. 3.1 Itse määritellyn funktion lauseke Y = Funktio määritellään Y= -editorissa, jonne päästään näppäilemällä Y =.

Funktiot. 3.1 Itse määritellyn funktion lauseke Y = Funktio määritellään Y= -editorissa, jonne päästään näppäilemällä Y =. 0 Funktiot 3.1 Itse määritellyn funktion lauseke Y = Funktio määritellään Y= -editorissa, jonne päästään näppäilemällä Y =. Esim. 1 a) Kirjoita lauseke Y 1 = + 3 (kuva 1) ja paina ENTER. Muuttuja (suuri

Lisätiedot

Harjoitus 5: Symbolinen laskenta I (Mathematica)

Harjoitus 5: Symbolinen laskenta I (Mathematica) Harjoitus 5: Symbolinen laskenta I (Mathematica) SCI-C0200 Fysiikan ja matematiikan menetelmien studio SCI-C0200 Fysiikan ja matematiikan menetelmien studio 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen Mathematica-ohjelmistoon

Lisätiedot

Java-kielen perusteet

Java-kielen perusteet Java-kielen perusteet Tunnus, varattu sana, kommentti Muuttuja, alkeistietotyyppi, merkkijono, Vakio Tiedon merkkipohjainen tulostaminen Ohjelmointi (ict1tx006) Tunnus (5.3) Javan tunnus Java-kirjain Java-numero

Lisätiedot

Harjoitus 4 -- Ratkaisut

Harjoitus 4 -- Ratkaisut Harjoitus -- Ratkaisut 1 Ei kommenttia. Tutkittava funktio: In[15]:= f x : x 1 x Sin x ; Plot f x, x, 0, 3 Π, PlotRange All Out[159]= Luodaan tasavälinen pisteistö välille 0 x 3 Π. Tehdään se ensin kiinnitetyllä

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 28.1.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 28.1.2009 1 / 28 Esimerkki: murtoluvun sieventäminen Kirjoitetaan ohjelma, joka sieventää käyttäjän antaman murtoluvun.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 9.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 9.9.2015 1 / 26 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 varuusintegraali iemmin laskimme yksiulotteisia integraaleja b a f (x)dx, jossa integrointialue on x-akselin väli [a, b]. Lisäksi laskimme kaksiulotteisia integraaleja

Lisätiedot

Mathematica Sekalaista asiaa

Mathematica Sekalaista asiaa Mathematica Sekalaista asiaa Asetusoperaattorit Mathematicassa voi käyttää omia muuttujasymboleja melko rajattomasti ja niiden nimeämisessä voi käyttää miltei mitä tahansa merkkejä. Käytännössä nimeämisessä

Lisätiedot

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan

Lisätiedot

Matemaattinen optimointi I, demo

Matemaattinen optimointi I, demo Matemaattinen optimointi I, demo 3 29.1.2015 Demo 3 järjestetään Quantumin mikroluokassa normaaleina demoaikoina. Tavoitteena on harjoitella kurssilla tarvittavien optimointiohjelmistojen käyttöä. Demopisteet

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 19.1.2011 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 19.1.2011 1 / 39 Haluatko antaa palautetta luennoista? Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti Vast

Lisätiedot

Moottorin kierrosnopeus Tämän harjoituksen jälkeen:

Moottorin kierrosnopeus Tämän harjoituksen jälkeen: Moottorin kierrosnopeus Tämän harjoituksen jälkeen: osaat määrittää moottorin kierrosnopeuden pulssianturin ja Counter-sisääntulon avulla, osaat siirtää manuaalisesti mittaustiedoston LabVIEW:sta MATLABiin,

Lisätiedot

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin

Lisätiedot

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause 3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 6 Vastaukset

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 6 Vastaukset 815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 6 Vastaukset Harjoituksen aiheena on funktionaalinen ohjelmointi Scheme- ja Haskell-kielillä. Voit suorittaa ohjelmat osoitteessa https://ideone.com/

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

5. OSITTAISINTEGROINTI

5. OSITTAISINTEGROINTI 5 OSITTAISINTEGROINTI Kahden funktion f ja g tulo derivoidaan kuten muistetaan seuraavasti: D (fg) f g + f Kun tämä yhtälö integroidaan puolittain, niin saadaan fg f ()g()d + f ()()d Yhtälö saattaa erota

Lisätiedot

Salasanojen turvallinen tallentaminen KeePass ohjelmalla

Salasanojen turvallinen tallentaminen KeePass ohjelmalla Salasanojen turvallinen tallentaminen KeePass ohjelmalla KeePass on vapaasti saatavilla oleva, avoimen lähdekoodin ohjelma, jonka tarkoituksena on auttaa salasanojen hallinnassa. Tämä KeePass ohje on päivitetty

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Matlab- ja Maple- ohjelmointi

Matlab- ja Maple- ohjelmointi Perusasioita 2. helmikuuta 2005 Matlab- ja Maple- ohjelmointi Yleistä losoaa ja erityisesti Numsym05-kurssin tarpeita palvellee parhaiten, jos esitän asian rinnakkain Maple:n ja Matlab:n kannalta. Ohjelmien

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen

Lisätiedot

LibreOfficen kaavaeditori

LibreOfficen kaavaeditori LibreOfficen kaavaeditori Esim. Koruketjun tiheyden määrittämiseksi ketjun massaksi mitattiin vaa'alla 74 g. Ketjun tilavuudeksi saatiin 24 ml upottamalla ketju mittalasissa olevaan veteen. Laske ketjun

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

6. Harjoitusjakso II. Vinkkejä ja ohjeita

6. Harjoitusjakso II. Vinkkejä ja ohjeita 6. Harjoitusjakso II Seuraavaksi harjoitellaan algebrallisten syötteiden, komentojen ja funktioiden käyttöä GeoGebrassa. Tarjolla on ensimmäisen harjoittelujakson tapaan kahden tasoisia harjoituksia: perustaso

Lisätiedot

Kappale 3: Symbolinen manipulointi

Kappale 3: Symbolinen manipulointi Kappale 3: Symbolinen manipulointi 3 Johdanto: Symbolinen manipulointi... 46 Määrittämättömien ja määritettyjen muuttujien käyttö... 47 Exact-, Approximate- ja Auto-tilojen käyttö... 49 Automaattinen sievennys...

Lisätiedot

Matematiikkaa laskimella TI-nspire CX CAS. Timo Mäkelä

Matematiikkaa laskimella TI-nspire CX CAS. Timo Mäkelä Matematiikkaa laskimella TI-nspire CX CAS Timo Mäkelä 2 Sisällysluettelo 0. ESIPUHE...5. PERUSASIOITA LASKIMESTA...6 2. LASKIMEN KÄYTTÄMINEN...7 2. LASKUTEKNIIKKAA...7 2.2 YKSIKÖIDEN JA VAKIOIDEN KÄYTTÖ...8

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

lnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0

lnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0 BM0A580 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 05. (a) (b) ln = sin(t π ) t π t π = = 0 = = cos(t π = ) = 0 t π (c) e [ = ] = = e e 3 = e = 0 = 0 (d) (e) 3 3 + 6 + 8 + 6 5 + 4 4 + 4

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

Ohjelmointitaito (ict1td002, 12 op) Kevät Java-ohjelmoinnin alkeita. Tietokoneohjelma. Raine Kauppinen

Ohjelmointitaito (ict1td002, 12 op) Kevät Java-ohjelmoinnin alkeita. Tietokoneohjelma. Raine Kauppinen Ohjelmointitaito (ict1td002, 12 op) Kevät 2009 Raine Kauppinen raine.kauppinen@haaga-helia.fi 1. Java-ohjelmoinnin alkeita Tietokoneohjelma Java-kieli ja Eclipse-kehitysympäristö Java-ohjelma ja luokka

Lisätiedot

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e)

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 214 1. Tutki seuraavia jonoja a) (a n )=(3n 1) ( ) 2 b) (a n )= 3 n ( ) 1 c) (a n )= (n + 1)(n +2) 2. Tutki seuraavia sarjoja a) (3k 1)

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

ARVOSANA-HARJOITUKSEN RATKAISU

ARVOSANA-HARJOITUKSEN RATKAISU ARVOSANA-HARJOITUKSEN RATKAISU Tee allaoleva taulukko. Arvosana-sarakkeeseen pitää tehdä sellainen jos-funktio. joka määrittää arvosanaksi Hylätty tai Hyväksyttty. Jos pisteet ovat vähintään 10, arvosanaksi

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit syksy Laskuharjoitus 1

Tietorakenteet ja algoritmit syksy Laskuharjoitus 1 Tietorakenteet ja algoritmit syksy 2012 Laskuharjoitus 1 1. Tietojenkäsittelijä voi ajatella logaritmia usein seuraavasti: a-kantainen logaritmi log a n kertoo, kuinka monta kertaa luku n pitää jakaa a:lla,

Lisätiedot

Projektityö M12. Johdanto

Projektityö M12. Johdanto Projektityö M12 Johdanto Projektityö sisältää kuutta tehtävää, kuitenkin ne kaikki koskevat saman yhtälön ratkaisua. Yhtälö on sin x 2 =e 2x (1.1) Sen ratkaisu voidaan käsitellä tutkimalla funktio y=e

Lisätiedot

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CS-A1111 14.9.2016 CS-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 14.9.2016 1 / 19 Oppimistavoitteet: tämän luennon jälkeen osaat kirjoittaa Python-ohjelman, joka pyytää käyttäjältä lukuja,

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 28 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 a) A + B b) AB BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A ja B = 2 1 6 3 1 2. Laske seuraavat determinantit

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 1. Algoritmeista 1.1 Algoritmin käsite Algoritmi keskeinen laskennassa Määrittelee prosessin, joka suorittaa annetun tehtävän Esimerkiksi Nimien järjestäminen aakkosjärjestykseen

Lisätiedot

Tässä riisinjyvien määrät jokaisessa ruudussa on laskettava yhteen. Tällöin tuloksena on

Tässä riisinjyvien määrät jokaisessa ruudussa on laskettava yhteen. Tällöin tuloksena on 8. Luvut 8.1 Suuret luvut, summa ja kertoma Aloittakaamme shakkipelin keksimiseen liittyvällä tunnetulla tarinalla. Intian hallitsija innostui kovasti shakkipelistä, jonka yksi palatsin viisaista miehistä

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Kirkkopalvelut Office365, Opiskelijan ohje 1 / 17 IT Juha Nalli 22.12.2015

Kirkkopalvelut Office365, Opiskelijan ohje 1 / 17 IT Juha Nalli 22.12.2015 Kirkkopalvelut Office365, Opiskelijan ohje 1 / 17 Oppilaat saavat vuoden 2016 alusta käyttöönsä oppilaitoksen sähköpostin ja muita palveluita Microsoftin Office365:sta. Oppilaiden sähköposti on muotoa

Lisätiedot

mplteht/mpldiffint1, Diff-int 1 Maple

mplteht/mpldiffint1, Diff-int 1 Maple Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos mplteht/mpldiffint1, Diff-int 1 Maple Tässä luvussa on tehtäviä differentiaali- ja integraalilaskentaan Maple- ohjelmalla. (Sopivat yhtä hyvin

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015)

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) 58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Harjoitus 2 (14. 18.9.2015) Huom. Sinun on tehtävä vähintään kaksi tehtävää, jotta voit jatkaa kurssilla. 1. Erään algoritmin suoritus vie 1 ms, kun syötteen

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo.

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Iterointi on menetelmä, missä jollakin likiarvolla voidaan määrittää jokin toinen,

Lisätiedot

Opettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26.

Opettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26. MAB 0: Kertauskurssi Opettaja: Janne.Lemberg @ tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26. Alustava aikataulu: ma 29.8 ke 31.8 ma 5.9 ke 7.9 ma 12.9 ke 14.9 ma 19.9 ke 21.9 ma 26.9 ke 28.9

Lisätiedot

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI MAA0 6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI Murtofunktio tarkoittaa kahden polynomin osamäärää, ja sen yleinen muoto on P() R : R(). Q() Mikäli osoittajapolynomin asteluku on nimittäjäpolynomin astelukua korkeampi

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 4 vastaukset

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 4 vastaukset 815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 4 vastaukset Harjoituksen aiheena ovat imperatiivisten kielten lauseisiin, lausekkeisiin ja aliohjelmiin liittyvät kysymykset. Tehtävä 1. Mitä

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksiluvut Kompleksitaso . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen

Lisätiedot

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Grafiikkalaskin on oivallinen apuväline ongelmien ratkaisun tukena. Sen avulla voi piirtää kuvaajat, ratkaista yhtälöt ja yhtälöryhmät, suorittaa funktioanalyysin

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

tään painetussa ja käsin kirjoitetussa materiaalissa usein pienillä kreikkalaisilla

tään painetussa ja käsin kirjoitetussa materiaalissa usein pienillä kreikkalaisilla 2.5. YDIN-HASKELL 19 tään painetussa ja käsin kirjoitetussa materiaalissa usein pienillä kreikkalaisilla kirjaimilla. Jos Γ ja ovat tyyppilausekkeita, niin Γ on tyyppilauseke. Nuoli kirjoitetaan koneella

Lisätiedot

2 / :03

2 / :03 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / 8 76 3:3 Kysymys Pisteet,, Määritellään positiivisten reaalilukujen joukossa R + = {x R x > } yhteenlasku ja skalaarikertolasku seuraavasti:

Lisätiedot

Derivointiesimerkkejä 2

Derivointiesimerkkejä 2 Derivointiesimerkkejä 2 (2.10.2008 versio 2.0) Parametrimuotoisen funktion erivointi Esimerkki 1 Kappale kulkee pitkin rataa { x(t) = sin 2 t y(t) = cos t. Määritetään raan suuntakulma positiiviseen x-akseliin

Lisätiedot