wxmaxima opas 1 Mikä wxmaxima on 2 wxmaximan käyttö Petri Sallasmaa 13. toukokuuta 2014

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "wxmaxima opas 1 Mikä wxmaxima on 2 wxmaximan käyttö Petri Sallasmaa 13. toukokuuta 2014"

Transkriptio

1 wxmaxima opas Petri Sallasmaa 13. toukokuuta Mikä wxmaxima on wxmaxima on yksinkertainen graanen käyttöliittynä Maxima CAS(computer algebra system)-järjestelmälle, joka on luotu wxwidgets nimisen käyttöliittymäkirjaston avulla. wxmaximassa voidaan Maximan komennot syöttää valikkojen tai dialogien avulla, jolloin ei ainakaan alkuun ole välttämätöntä opetella kaikkea komentorivillä käytettävän Maximan komentoja. Perustoimintoja ja muitakin komentoja voi ja kannataa kuitenkin kirjoittaa suoraan dokumentin kirjoitusalueelle. wxmaximan käyttöliittymä on seuraavanlainen: Käyttöliittymän ylälaidassa on tuttu valikko, josta voidaan valita komentoja, jotka sitten suoritetaan dokumentin kirjoitustilassa. wxmaximassa tuotetaan tavallaan tekstidokumenttia johon Maxima tuottaa haluttuja laskennallisia tuloksia. Dokumentti ja näin myös kirjoitusalue on jaettu pienempiin osiin soluihin. Perussoluja ovat syöteet, tulosteen ja erilaiset tekstityyppiset solut. Kirjoitusalueella syötesolut merkitään tunnisteella (%i#), missä # on syötteen järjestysnumero, ja tulosteet (%o#), missä taas # on tulosteen järjestysnumero. Tekstityyppisellä soluilla ei ole numeroituja tunnisteita. Kirjoitusalueella on myös ruudun poikki kulkeva musta viiva, joka on kirjoitusalueen kohdistin (kursori), siis kohta johon ollaan seuraavaksi lisäämässä jotain. 2 wxmaximan käyttö Koska itse Maxima on suhteellisen laaja ohjelma, jolla voidaan laskea vaikeitakin mateemaattisia laskuja, tässä oppaassa keskitytään perustoimintojen suorittamiseen ja lähinnä käyttäen wxmaximan käyttöliittymää. Ihan vertailun vuoksi Maksiman version 5.30, joka tässäkin wxmaximassa on taustalla, virallisessa oppaassa on 1048 sivua. Eli Tässä oppaassa Maximan käytöstä käydään läpi vain murto-osa. 1

2 2.1 Syöttäminen ja peruslaskutoimitukset Söytesolu saadaa kirjoitusalueelle kohdistimen osoittamaan paikkaan valitsemalla valikosta jokin toimenpide tai yksinkertaisesti alkamalla kirjoittaa jotain. Cell-valikossa on myös valittavissa Insert Input Cell, mutta tämä vastaa sitä kun aloittaa kirjoittamaan vain näppäimistöltä tekstiä. Harjoitus 1. Kirjoita syötteeksi 1+1. Nyt Kirjoitusalueella on syöte > 1+1. Tätä syötettä ei ole vielä annettu Maximan prosessoitavaksi ja se tehdään painamalla shift+enter. Pelkkä enter näppäimen painaminen tekee syötteeseen rivinvaihdon, koska syöte saa olla myös monella eri rivilllä. Harjoitus 2. Paina shift+enter, jolloin syöte syötetään Maximalle suoritettavaksi. Nyt kirjoitusalueelle tulee ensimmäinen syöte-tuloste solupari Tässä ensimmäinen syöte on on tunnisteella (%i1) ja sitä vastaava tuloste (%o1). Huomaa että syötteen perään tulee puolipiste(;). Jokainen komento päätetään aina puolipisteeseen tai dollari($)-merkkiin. Nyt kun kirjoitettiin syötteeksi perus laskutoimitus tulosteeksi tulee suoraan sen laskun tulos. Harjoitus 3. Kirjoita syötteeksi 1+1$ ja suorita se (painamalla shift+enter) Nyt kirjoitusalueelle tulee toinen syöte %i2, mutta jos komennon päättää puolipisteen sijaan dollarimerkkiin tuloste ei tule näkyviin. Jossain tilanteessa, esimerkiksi kun määritellään kerralla paljon omia muuttujia tai ketjutettaessa syötteitä ja tulosteita, ei haluta tulostusta tai välitulosta näkyviin ruudulle, niin silloin sen voi tehdä lisäämällä komentojen perään dollarimerkin. Perus laskutoimitukset syötetään niitä vastaavilla operaatioilla. Taulukossa on tyypillisimmät operaatiot ja niitä vastaavat merkit lueteltuna Toiminto Merkki yhteenlasku + vähennyslasku - kertolasku * jakolasku / potenssi ^ sulkeet ( ja ) nelijuuri x sqrt( x ) kertoma! Harjoitus 4. Syötä lasku 1/3+4/7 Huomaa, että laskettaessa kokonaisluvuilla tulosteet ovat rationaalilukuja siis tarkkoja arvoja. Harjoitus 5. Syötä laskut 1/3 ja 1/3.0. Tee se samaa syötteeseen kirjoittamalla laskujen väliin puolipiste siis 1/3;1/3.0; (Huomaa että Maximassa on desimaalipilkun tilalla käytössä desimaalipiste) Nyt tulostelohkossa on kaksi tulostetta %o4 ja %o5. Koska jälkimmäisessä laskussa käytettiin desimaalilukua kokonaisluvun sijaan, vastauskin annettiin kokonaislukuna. Toinen tapa saada vastaus desimaalilukuna on käyttää komentoa oat. Harjoitus 6. Syötä lasku 1/3. Kun saat tuloksen 1 3 valitse valikosta numeric komento To Float. (Saman lopputuloksen saat jos kirjoitat suoraan syötteksi oat(1/3) ) 2

3 Kun valikosta valittiin To Float komento se kohdistettiin edelliseen tulosteeseen. Tämän merkkinä syötteessä %i7 on oat komennon parametri %. Siis aina jos halutaan viitata edelliseen tulokseen sen voi tehdä kirjoittamalla lausekkeeseen tai komentoon yksinkertaisesti %-merkin. Laskuissa ja lausekkeissa voidaan viitata myös mihin tahansa syöteeseen tai tulosteseen käyttämällä niiden nimiä %i# tai #o#, missä # on syötteen tai tulosteen järjestysnumero. Numeerisen laskennan lisäksi perulaskutoimisuksia voidaan tehdä muuttujille. Harjoitus 7. Syötä lasku x+x. Tulokseksi saadaan Harjoitus 8. Syötä lasku 3x+4x. Nyt tulostukseen tulee seuraavanlainen virheilmoitus Maxima, kuten ei yleisesti muutkaan CAS-järjestelmät, ymmärrä impisiittistä kertomerkkiä siis 3x pitää aina kirjoittaa muodossa 3*x. Samoin pitää toimia sulkeiden kanssa siis (x-1)(x+1) pitää kirjoittaa muodoss (x- 1)*(x+1). Muuttuja ovat kirjainkokoherkkiä siis a ja A ovat ei muuttujia. Muuttujat voivat olla myös merkkijonoja siis useamman kirjaimen mittasia. Harjoitus 9. Syötä lasku 3*Petri+4*Petri. Kun kertomerkin ovat paikallaan ja muuttuja on Petri niin tulokseksi tulee 2.2 Vakiot ja omat muuttujat Kuten edellä muuttujia voidaan käyttää niitä sen paremmin määrittelemättä. Mutta kun muuttujalle halutaan määrätä jokin arvo tai lauseke, se tehdään määrittelymerkin : (kaksoispiste) avulla esimerkiksi a : 5 jolloin sijoitetaan muuttujaan a arvo 5 Harjoitus 10. Määrittele muuttuja a siten että sen arvo on 5. Määrittele myös että x on b+c. Siis kirjoitamme syötteeksi a : 5; d : b+c;. Syöttenä on määrittelyt ja kahtena eri tulosteena niiden arvot Tällöin siis seuraavaksi kun lausekkeessa on a niin se korvautuu luvulla 5 ja d lausekkeella b+c. Tieto siitä mitä muuttujia on määritelty saadaan Maxima-valikosta komennolla Show Variables. Niiden arvot saadaan yksinkertaisesti syöttämällä muuttuja niin tulosteena on sen arvo. 3

4 Maximassa on sisäänrakennettuna vakiota ja niitä voi myös käyttää laskuissa ja lausekkeissa. Tärkeimpiä vakiota seuraavassa taulukossa Vakio Maximassa π %pi Eulerin vakio e %e ääretön( ) inf - ääretön( ) minf tosi true epätosi false imaginääriyksikkö i %i Harjoitus 11. Tarkastele vakion π desimaaliarvoa. (Syötä %pi ja muuta se desimaaliesitykseen) 2.3 Funktiot ja funktion määritteleminen Maximassa on paljon sisäänrakennettuja funktiota, siis trigonometrisiä funktiota, itseisravo, minimiä, maksimia, tilastollisiafunktioita ym... Perusfunktiota ja niiden käyttöohjeita löytyy enemmän valikosta Help ja sieltä Maxima Help (tai painamalla F1) valikosta otsikolla Mathematical functions. Funktiota käytetään kuten normaalistikin kirjoittaessa esim sin(x), log(4), abs(-3) (asb on itseisarvo). Harjoitus 12. Kirjoita syötteeksi sin( %pi ) + log( %e); Oman funktion voi määritellä vähän kuten muuttujankin nyt vaan funktiolla pitää olla nimi, muuttujat sulkeissa pilkulla eroteltuna, määrittelymerkkinä kaksoispiste ja yhtäsuuruus ( : = ) ja sitten itse funktion lauseke. Siis f(x) : = 2*x + 1 ja nyt funktion f on määritelty. Harjoitus 13. Määrittele funktio f (x) = 2x 5. Kokeile määrittelemääsi funktiota kysymällä sen arvoja esim f ( -1 ) ja f ( 5 ). Funtioon tai tulosteeseen voi tehdä myös sijoituksen arvon saamiseksi. Sijoituskomento löytyy Simplify valikosta Substitute... Harjoitus 14. Kirjoita syötteeksi x^2. Tämän jälkeen valitse Simplify valikosta Substitute... Nyt Dialogi kysyy mistä lausekkeesta (tai funktiosta), mitä korvataan ja millä korvataan. Korvaa edelisen tulosteen % muuttuja x muttujalla y Näin tulosteessa kaikki muuttujan x esiintymät korvattiin muuttujalla y. Harjoitus 15. Valitse Simplify valikosta uudelleen Substitute... Kijoita nyt dialogiin lausekkeeksi %o18 (eli 18 tuloste joka on tuo x 2 ), muuttuja x korvatan jälleen, mutta nyt luvulla 5. 4

5 Näin lausekkeen x 2 muuttujan paikalle sijoitettiin luku 5 ja sen arvo laskettiin samalla 2.4 Factor, Expand ja simplify Jatketaan tutustumalla Simplify valikon komentoihin Factor Expression ja Expand Expression. Niillä voidaan lausekkeita tai lukuja jakaa tekijöihin tai laajentaa esimerkiksi polymoniksi. Harjoitus 16. Kirjoita syötteeksi 30!. Tulosteeseen tulee kertoman arvo. Tämän jälkeen valitse Simplify valikosta Factor Expression. Näin edellinen tuloste eli 30! saadaan alkulukuhajoitelmana. Tekijöihinjako toimii myös polynomeilla. Harjoitus 17. Kirjoita syötteeksi x^4+2*x^3-x^2-2*x. Tämän jälkeen valitse Simplify valikosta Factor Expression. Näin edellinen tuloste eli neljännenasteen polynomi jakautuu tekijöihin. Toisaalta välillä pitää saada polynimit kerrottua auki. Tämä onnistuu valitsemalla Simplify valikon komennon Expand Expression. Harjoitus 18. Kirjoita syötteeksi (x+3)^4. Tämän jälkeen valitse Simplify valikosta Expand Expression. Näin edellinen tuloste kerrotaan auki summamuotoon Simplify valikossa myös komento lausekkeen sieventämiselle Simlify Expression. Tällä komennolla voidaan sieventää esimerkiksi rationaalilausekkeita. Harjoitus 19. Kirjoita syötteeksi (x^2-4) / (x+2). Tämän jälkeen valitse Simplify valikosta Simplify Expression. Näin edellinen tuloste eli rationaalilauseke sievennetään Huomaa, että sievennys ei ota huomioon määrittelyehtoja siis tässä tapauksessa x 2! 5

6 Edelliset komennot eivät toimi trigonometrisillä funktioilla, mutta niitä varten on Simplify valikossa oma työkalukokoelma Triconometric Simplication jossa on vastaavat komennot trigonometrisille funktioille Harjoitus 20. Kirjoita syötteeksi cos(x)^2 + sin(x)^2; Tämän jäkeen Simplify valikon Trigonometric Simpli- cation valikosta Simplify Trigonometric Harjoitus 21. Kirjoita syötteeksi sin(2*x); Tämän jäkeen Simplify valikon Trigonometric Simplication valikosta Expand Trigonometric 2.5 Yhtälöt ja yhtälöparit Yhtälön ratkaisemiseksi avataan dialogi valikosta Equations ja sieltä komento Solve... Dialogin Equation(s) kenttään syötetään yhtälö. Jos kenttään ei syötetä yhtäruusuusmerkkiä ohjelma tulkitsee että silloin lauseke on nolla siis 2*x+3 syöte vastaa syötettä 2*x+3=0. Variable(s) kenttään syötetään minkä muuttujan suhteen yhtälö ratkaistaan. Harjoitus 22. Avaa yhtälön ratkaisu Equations ja Solve.. ja syötä lauseke x^4+2*x^3-x^2-2*x ja ratkaise se muuttujan x suhteen. (Huomaaa että lauseke on sama joka oli harjoituksessa 17 joten voit myös viitata siihen harjoituksessa olevan syötekentän tunnisteella tässä %i23) Näin saatiin yhtälön ratkaisut 6

7 Jos joku ratkaisuista pitää poimia ratkaisujoikosta se ommistuu kirjoittamalla tulosteen tunnisteen ja hakasulkeisiin ([ ]) halutun ratkaisun järjestysnumero Harjoitus 23. Poimi edellisestä tuloksesta negatiivinen ratkaisu eli toinen ratkaisuista. (Voit nyt viitata tulokseen pelkällä %-merkillä koska se viimeinen tuloste, mutta aina varmenpaa on käyttää oikeea tunnistetta eli tässä %o34 ) Näin esimerkiksi voidaan käyttää yhtä ratkaisua sijoituksessa toiseen lausekkeeseen tai jatkaa laskua siitä ratkaisusta eteenpäin. Yhtälöpari tai yleisemmin yhtälöryhmän ratkaiseminen on yhtä vaivatonta. Nyt vaan Solve... dialogin Equation(s) kenttään syötetään useampi yhtälö pilkulla (, ) eroteltuna. Variable(s) kenttään syötetään ne muuttujat jotka halutaan ratkaista. Harjoitus 24. Avaa yhtälön ratkaisu Equations ja Solve.. ja syötä yhtälöryhmän yhtälot x+y+z=3, -x+y+2*z=3, 3*x+y-2*z=-5 ja ratkaise yhtälöryhmän muuttujat x, y ja z. 2.6 Derivointi ja integrointi Komennot derivointiin ja integrointiin löytyvät Calculus valikosta. Funktion tai lausekkeen derivaatan voi laskea kun valitsee Calculus valikosta Dierentiate... komennon. Derivoitava funktio tai lauseke kirjoitetaan Expression kenttään, Variable(s) kenttään syötetään minkä muuttujan suhteen derivoidaan ja Times kenttää monesko derivaatta lasketaan. Harjoitus 25. Määritä funktio f(x) := x^3 + 5*x^2-2*x + 7. Avaa sitten Calculus valikon Dierentiate.. komento ja derivoi funktio f muuttujan x suhteen kerran. Avaa dialogi uudelleen ja laske funktion f toinen derivaatta muuttujan x suhteen. Integrointi tapahtuu samaisen Calculus valikon komennolla Integrate... Inegroitava funktio tai lauseke kirjoitetaan Expression kenttään, Variable kenttään syötetään minkä muuttujan suhteen integroidaan. Saman dialogin avulla voidaan laskea määrätty integraali. Tällöin valitaan Denite integration valinta ja syötetään integroinille alaja ylärajat. Special napin takaa löytyy rajojen arvoksi erikoisarvoja kuten ääretöntä, pi, ym.. Harjoitus 26. Avaa sitten Calculus valikon Integrate.. komento ja integroi funktio f muuttujan x suhteen. Avaa dialogi uudelleen ja laske funktion f määrätty integraali välillä [0,5]. 7

8 2.7 Kuvaajat Maxima ei itsessään osaa piirtää kuvaajia, mutta ohjelman mukana on ohjelmia, joita Maxima kutsuu kuvaajien piirtämiseksi. Kuvaajat voivat olla kaksi tai kolmeulotteisia. Kaksi ulotteisen kuvaajan piitrtämiseksi valitaan Plot valikosta Plot 2d... Avautuvaan dialogiin Expression(s) kenttään kirjoitetaan funktio tai lauseke, jonka kuvaaja piirretää. Niitä voi taas olla useampia ja ne erotetaan toisistaan pilkulla. Seuraavaksi määrätään piirtoalueen muuttujat Variable vaaka ja pystysuuntaan, sekä niille arvoalueet. Ticks kertoo kuvan piirtotarkkuudesta. Format kertoo piirretäänkö kuva maximadokumentiin (inline) vai tulostetaanko se apuohjelmaan (gnuplot, open math). Options valikolla voidaan säätää esimerkiksi näytetäänko koordinaattiakseleita ja sen sellaista. File kentän avulla kuvan voi tulostaa tiedostoon jos kuvaajan haluaa liittää johonkin muuhun dokumenttiin. Harjoitus 27. Avaa Plot valikosta Plot 2d.. ja syötä lausekkeet -3*x^2+4*x ja -5*x+3 Expression(s) kenttään valitse muuttujiksi x ja y, sekä niille rajoiksi muuttujalle x [-10,10], sekä muuttujalle y [-30,10]. Piirrä kuvaaja. 8

9 Kolmeulotteisten kuvaajan piitrtämiseksi valitaan Plot valikosta Plot 3d... Avautuvaan dialogiin Expression(s) kenttään kirjoitetaan funktio tai lauseke, jonka kuvaaja piirretää. Niitä voi taas olla useampia ja ne erotetaan toisistaan pilkulla. Seuraavaksi määrätään piirtoalueen muuttujat Variable vaaka ja pystysuuntaan, sekä niille arvoalueet. Grid kertoo kuvan kolmiulotteisen ruudukon suuruuden. Format kertoo piirretäänkö kuva maximadokumentiin (inline) vai tulostetaanko se apuohjelmaan (gnuplot, open math). Options valikolla voidaan säätää lisäasetuksia. Plot to le kentän avulla kuvan voi tulostaa tiedostoon jos kuvaajan haluaa liittää johonkin muuhun dokumenttiin. Harjoitus 28. Avaa Plot valikosta Plot 3d.. ja syötä lauseke 2^(-x^2-y^2) Expression kenttään valitse muuttujiksi x ja y, sekä niille rajoiksi -2 ja 2. Piirrä kuvaaja. Harjoitus 29. Avaa Plot valikosta Plot 3d.. ja syötä uudelleen lauseke 2^(-x^2-y^2) Expression kenttään valitse muuttujiksi x ja y, sekä niille rajoiksi -2 ja 2. Valitse Format valikosta gnuplot. Piirrä kuvaaja. Nyt kuvaaja avautuu gnuplot ohjelmaan ja siellä sitä voi esimerkiksi pöyritellä ja zoomailla 2.8 Tekstikentät Cell valikossa on Text, Title, Section ja Subsection tyyppisiä teksti kenttiä joita voi laittaa Maxima-dokumenttiin syötteiden väliin. Näiden avulla voi kirjoitta itselleen tai muille sanallista informaatiota siitä, mitä dokumentissa ollaan laskemassa. Harjoitus 30. Liisää erilaisia teksisyötteitä dokumenttiin 9

10 2.9 Apupanelit Maxima valikosta löytyy valikko Panels. Sieltä esimerkiksi General Math paneelin voi avata näkyviin. Tässä paneelissa on perusmatematiikka komennot kootusti eli tällöin niitä ei tarvitse valikoista hakea. Jos ohjelmaa kuitenkin käytää enemmän alkaa komennot oppia ulkoa ja ne on paljon helpompi kirjoittaa syötteeseen kuin kayttää valikoita. 10

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10) [] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä

Lisätiedot

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9.

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9. Python linkit: Python tutoriaali: http://docs.python.org/2/tutorial/ Numpy&Scipy ohjeet: http://docs.scipy.org/doc/ Matlabin alkeet (Pääasiassa Deni Seitzin tekstiä) Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä.

Lisätiedot

KAAVAT. Sisällysluettelo

KAAVAT. Sisällysluettelo Excel 2013 Kaavat Sisällysluettelo KAAVAT KAAVAT... 1 Kaavan tekeminen... 2 Kaavan tekeminen osoittamalla... 2 Kaavan kopioiminen... 3 Kaavan kirjoittaminen... 3 Summa-funktion lisääminen... 4 Suorat eli

Lisätiedot

Harjoitus 1: Matlab. Harjoitus 1: Matlab. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1. Syksy 2006

Harjoitus 1: Matlab. Harjoitus 1: Matlab. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1. Syksy 2006 Harjoitus 1: Matlab Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen Matlab-ohjelmistoon Laskutoimitusten

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

GeoGebra-harjoituksia malu-opettajille

GeoGebra-harjoituksia malu-opettajille GeoGebra-harjoituksia malu-opettajille 1. Ohjelman kielen vaihtaminen Mikäli ohjelma ei syystä tai toisesta avaudu toivomallasi kielellä, voit vaihtaa ohjelman käyttöliittymän kielen seuraavasti: 2. Fonttikoon

Lisätiedot

Harjoitus 1 -- Ratkaisut

Harjoitus 1 -- Ratkaisut Kun teet harjoitustyöselostuksia Mathematicalla, voit luoda selkkariin otsikon (ja mahdollisia alaotsikoita...) määräämällä soluille erilaisia tyylejä. Uuden solun tyyli määrätään painamalla ALT ja jokin

Lisätiedot

Excel syventävät harjoitukset 31.8.2015

Excel syventävät harjoitukset 31.8.2015 Yleistä Excel on taulukkolaskentaohjelma. Tämä tarkoittaa sitä että sillä voi laskea laajoja, paljon laskentatehoa vaativia asioita, esimerkiksi fysiikan laboratoriotöiden koetuloksia. Excel-ohjelmalla

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Tietokoneharjoitus: ratkaisut

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Tietokoneharjoitus: ratkaisut Johdanto Kokeile tavallista numeroilla laskemista: yhteen-, kerto- ja jakolaskuja sekä potenssiinkorotusta. 5 (3.1) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Tietokoneharjoitus: ratkaisut Kurssin 1. alkuviikon

Lisätiedot

Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download Scilab.

Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download Scilab. Luku 1 Ohjeita ohjelmiston Scilab käyttöön 1.1 Ohjelmiston lataaminen Ohjeet ohjelmiston lataamiseen Windows-koneelle. Mene verkko-osoitteeseen www.scilab.org. Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download

Lisätiedot

Luento 5. Timo Savola. 28. huhtikuuta 2006

Luento 5. Timo Savola. 28. huhtikuuta 2006 UNIX-käyttöjärjestelmä Luento 5 Timo Savola 28. huhtikuuta 2006 Osa I Shell-ohjelmointi Ehtolause Lausekkeet suoritetaan jos ehtolausekkeen paluuarvo on 0 if ehtolauseke then lauseke

Lisätiedot

Maxima ja Maple. millaan lailla sukua muuttujille a ja b. 1 Ohjelmat eivät yleensä pahastu turhista välilyönneistä, joten niitä

Maxima ja Maple. millaan lailla sukua muuttujille a ja b. 1 Ohjelmat eivät yleensä pahastu turhista välilyönneistä, joten niitä Maxima ja Maple Maple on symbolisen matematiikan laskentaohjelma jota käytetään esim. Joensuun yliopistossa; siihen on törmätty mestariluokan laskuharjoituksissa. Koska Maple on kaupallinen ohjelma ja

Lisätiedot

Javan perusteet. Ohjelman tehtävät: tietojen syöttö, lukeminen prosessointi, halutun informaation tulostaminen tulostus tiedon varastointi

Javan perusteet. Ohjelman tehtävät: tietojen syöttö, lukeminen prosessointi, halutun informaation tulostaminen tulostus tiedon varastointi 1 Javan perusteet Ohjelmointi IPO-malli Java lähdekoodista suoritettavaksi ohjelmaksi Vakio Muuttuja Miten Javalla näytetään tietoa käyttäjälle, miten Javalla luetaan käyttäjän antama syöte Miten Javalla

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

2. Lisää Java-ohjelmoinnin alkeita. Muuttuja ja viittausmuuttuja (1/4) Muuttuja ja viittausmuuttuja (2/4)

2. Lisää Java-ohjelmoinnin alkeita. Muuttuja ja viittausmuuttuja (1/4) Muuttuja ja viittausmuuttuja (2/4) 2. Lisää Java-ohjelmoinnin alkeita Muuttuja ja viittausmuuttuja Vakio ja literaalivakio Sijoituslause Syötteen lukeminen ja Scanner-luokka 1 Muuttuja ja viittausmuuttuja (1/4) Edellä mainittiin, että String-tietotyyppi

Lisätiedot

Luvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7

Luvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7 Luvuilla laskeminen TI-84 Plus käyttää laskujen suorittamiseen ns. yhtälönkäsittelyjärjestelmää (EOS TM, Equation Operating System), jonka avulla lausekkeiden syöttö tapahtuu matemaattisessa kirjoitusjärjestyksessä.

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Harjoitus 5: Symbolinen laskenta I (Mathematica)

Harjoitus 5: Symbolinen laskenta I (Mathematica) Harjoitus 5: Symbolinen laskenta I (Mathematica) SCI-C0200 Fysiikan ja matematiikan menetelmien studio SCI-C0200 Fysiikan ja matematiikan menetelmien studio 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen Mathematica-ohjelmistoon

Lisätiedot

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo? Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Symbolinen laskenta (MAT180,1ov)

Symbolinen laskenta (MAT180,1ov) Symbolinen laskenta (MAT180,1ov) Kurssin tavoite ja sisältö Symbolisen laskennan kurssilla opitaan tietokoneen käyttämistä apuvälineenä matemaattisessa ongelmanratkaisussa. Kurssin tavoitteena on antaa

Lisätiedot

Fx-CP400 -laskimella voit ratkaista yhtälöitä ja yhtälöryhmiä eri tavoin.

Fx-CP400 -laskimella voit ratkaista yhtälöitä ja yhtälöryhmiä eri tavoin. 3. Yhtälöt Fx-CP400 -laskimella voit ratkaista yhtälöitä ja yhtälöryhmiä eri tavoin. 3.1 Ensimmäisen asteen yhtälöt Ratkaise yhtälö. 3 x ( x 3) 4x 5 Kirjoita tehtävä sellaisenaan, maalaa se ja käytä Interactive

Lisätiedot

Johdatus Ohjelmointiin

Johdatus Ohjelmointiin Johdatus Ohjelmointiin Syksy 2006 Viikko 2 13.9. - 14.9. Tällä viikolla käsiteltävät asiat Peruskäsitteitä Kiintoarvot Tiedon tulostus Yksinkertaiset laskutoimitukset Muuttujat Tiedon syöttäminen Hyvin

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 27.1.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 27.1.2010 1 / 37 If-käsky toistokäskyn sisällä def main(): HELLERAJA = 25.0 print "Anna lampotiloja, lopeta -300:lla."

Lisätiedot

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Ohjelmassa henkilön etunimi ja sukunimi luetaan kahteen muuttujaan seuraavasti:

Ohjelmassa henkilön etunimi ja sukunimi luetaan kahteen muuttujaan seuraavasti: 1 (7) Tiedon lukeminen näppäimistöltä Scanner-luokan avulla Miten ohjelma saa käyttöönsä käyttäjän kirjoittamaa tekstiä? Järjestelmässä on olemassa ns. syöttöpuskuri näppäimistöä varten. Syöttöpuskuri

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 1.4.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 1.4.2009 1 / 56 Tentti Ensimmäinen tenttimahdollisuus on pe 8.5. klo 13:00 17:00 päärakennuksessa. Tämän jälkeen

Lisätiedot

Seuraavassa on esitetty seuraavien laskutoimitusten suoritukset eri laskinmalleilla

Seuraavassa on esitetty seuraavien laskutoimitusten suoritukset eri laskinmalleilla Seuraavassa on esitetty seuraavien laskutoimitusten suoritukset eri laskinmalleilla Muuttuja Frekvenssi 7 12 8 16 9 11 10 8 Tilastomoodin valinta. Tilastomuistin tyhjennys. Keskiarvon ja keskihajonnan

Lisätiedot

Muuttujien määrittely

Muuttujien määrittely Tarja Heikkilä Muuttujien määrittely Määrittele muuttujat SPSS-ohjelmaan lomakkeen kysymyksistä. Harjoitusta varten lomakkeeseen on muokattu kysymyksiä kahdesta opiskelijoiden tekemästä Joupiskan rinneravintolaa

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

Funktiot. 3.1 Itse määritellyn funktion lauseke Y = Funktio määritellään Y= -editorissa, jonne päästään näppäilemällä Y =.

Funktiot. 3.1 Itse määritellyn funktion lauseke Y = Funktio määritellään Y= -editorissa, jonne päästään näppäilemällä Y =. 0 Funktiot 3.1 Itse määritellyn funktion lauseke Y = Funktio määritellään Y= -editorissa, jonne päästään näppäilemällä Y =. Esim. 1 a) Kirjoita lauseke Y 1 = + 3 (kuva 1) ja paina ENTER. Muuttuja (suuri

Lisätiedot

4. Algebraa, käskyjä ja funktioita

4. Algebraa, käskyjä ja funktioita 4. Algebraa, käskyjä ja funktioita Vinkkejä ja ohjeita Uusi objekti voidaan nimetä kirjoittamalla nimi = sen algebrallisen esitysmuodon eteen. Esimerkiksi P = (3, 2) luo pisteen P. Kertolasku syötetään

Lisätiedot

ALOITUSOPAS. Versio 0.8

ALOITUSOPAS. Versio 0.8 ALOITUSOPAS Versio 0.8 Matti Lähteenmäki 999 KÄYTTÖLIITTYMÄ Mathcad on tavanomainen Windows-ohjelma ja sen käyttöliittymällä on monia muista Wi n- dows-ohjelmista tuttuja ominaisuuksia. Käyttäjällä on

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 9.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 9.9.2015 1 / 26 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.

Lisätiedot

Java-kielen perusteet

Java-kielen perusteet Java-kielen perusteet Tunnus, varattu sana, kommentti Muuttuja, alkeistietotyyppi, merkkijono, Vakio Tiedon merkkipohjainen tulostaminen Ohjelmointi (ict1tx006) Tunnus (5.3) Javan tunnus Java-kirjain Java-numero

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

GeoGebra Quickstart. Lyhyt GeoGebra 2.7 -ohje suomeksi

GeoGebra Quickstart. Lyhyt GeoGebra 2.7 -ohje suomeksi GeoGebra Quickstart Lyhyt GeoGebra 2.7 -ohje suomeksi Algebraikkuna GeoGebra on ilmainen matematiikan opetusohjelma. Siinä on työvälineitä dynaamiseen geometriaan, algebraan ja analyysiin. Voit piirtää

Lisätiedot

Taulukkolaskennan perusteet

Taulukkolaskennan perusteet Taulukkolaskennan perusteet Yleistä Tämä harjoitus käsittelee taulukkolaskentaohjelman perustoimintoja. Harjoitus sisältää laskentakaavan muodostamisen, suoran ja suhteellisen viittauksen, taulukon muotoilun

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, yhtälöt Aiheet

Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, yhtälöt Aiheet Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, t Toisen Prosentti 1 Jos b on p% luvusta a, eli niin b = p 100 a a = perusarvo (Mihin verrataan?) (Minkä sadasosista on kysymys.) p = prosenttiluku (Miten monta

Lisätiedot

Vektorit. Vektorin luominen... 192 Vektorin tuominen näyttöön... 195 Vektorin koon ja alkioiden muokkaaminen... 195 Vektorin poistaminen...

Vektorit. Vektorin luominen... 192 Vektorin tuominen näyttöön... 195 Vektorin koon ja alkioiden muokkaaminen... 195 Vektorin poistaminen... 12 Vektorit Vektorin luominen... 192 Vektorin tuominen näyttöön... 195 Vektorin koon ja alkioiden muokkaaminen... 195 Vektorin poistaminen... 196 TI -86 M1 M2 M3 M4 M5 F1 F2 F3 F4 F5 192 Luku 12: Vektorit

Lisätiedot

Kappale 3: Symbolinen manipulointi

Kappale 3: Symbolinen manipulointi Kappale 3: Symbolinen manipulointi 3 Johdanto: Symbolinen manipulointi... 46 Määrittämättömien ja määritettyjen muuttujien käyttö... 47 Exact-, Approximate- ja Auto-tilojen käyttö... 49 Automaattinen sievennys...

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Matematiikkaa laskimella TI-nspire CX CAS. Timo Mäkelä

Matematiikkaa laskimella TI-nspire CX CAS. Timo Mäkelä Matematiikkaa laskimella TI-nspire CX CAS Timo Mäkelä 2 Sisällysluettelo 0. ESIPUHE...5. PERUSASIOITA LASKIMESTA...6 2. LASKIMEN KÄYTTÄMINEN...7 2. LASKUTEKNIIKKAA...7 2.2 YKSIKÖIDEN JA VAKIOIDEN KÄYTTÖ...8

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 19.1.2011 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 19.1.2011 1 / 39 Haluatko antaa palautetta luennoista? Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti Vast

Lisätiedot

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 16.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 16.9.2015 1 / 26 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.

Lisätiedot

http://www.microsoft.com/expression/

http://www.microsoft.com/expression/ Verkkojulkaisuharjoitus1 TAVOITE Harjoituksen tarkoituksena on opiskella käyttämään verkkojulkaisueditoria (Microsoft Expression Web) ja käynnistämään verkkosivu internetissä. VERKKOSIVUEDITORIN KÄYTTÖOHJEITA

Lisätiedot

Zeon PDF Driver Trial

Zeon PDF Driver Trial Matlab-harjoitus 2: Kuvaajien piirto, skriptit ja funktiot. Matlabohjelmoinnin perusteita Numeerinen integrointi trapezoidaalimenetelmällä voidaan tehdä komennolla trapz. Esimerkki: Vaimenevan eksponentiaalin

Lisätiedot

Juha Haataja 4.10.2011

Juha Haataja 4.10.2011 METROPOLIA Taulukkolaskenta Perusteita Juha Haataja 4.10.2011 Lisätty SUMMA.JOS funktion käyttö (lopussa). Tavoite ja sisältö Tavoite Taulukkolaskennan peruskäytön hallinta Sisältö Työtila Omat kaavat,

Lisätiedot

Opiskelun ja työelämän tietotekniikka (DTEK1043)

Opiskelun ja työelämän tietotekniikka (DTEK1043) Opiskelun ja työelämän tietotekniikka (DTEK1043) pääaine- ja sivuaineopiskelijat Taulukkolaskennan perusteet Yleistä Tämä harjoitus käsittelee taulukkolaskentaohjelman perustoimintoja. Harjoituksissa opetellaan

Lisätiedot

Ohjelmointitaito (ict1td002, 12 op) Kevät 2008. 1. Java-ohjelmoinnin alkeita. Tietokoneohjelma. Raine Kauppinen raine.kauppinen@haaga-helia.

Ohjelmointitaito (ict1td002, 12 op) Kevät 2008. 1. Java-ohjelmoinnin alkeita. Tietokoneohjelma. Raine Kauppinen raine.kauppinen@haaga-helia. Ohjelmointitaito (ict1td002, 12 op) Kevät 2008 Raine Kauppinen raine.kauppinen@haaga-helia.fi 1. Java-ohjelmoinnin alkeita Tietokoneohjelma Java-kieli ja Eclipse-ympäristö Java-ohjelma ja ohjelmaluokka

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Octave-opas. Mikä on Octave ja miksi? Asennus

Octave-opas. Mikä on Octave ja miksi? Asennus Octave-opas Mikä on Octave ja miksi? Asennus Käynnistys ja käyttöliittymä Komennot tiedostojen hallintaan SciTE-editor.m-tiedostot Ohjeita muualla Mikä on Octave ja miksi? Octave on numeeriseen laskentaan

Lisätiedot

LUMA Suomi kehittämisohjelma 8.10.2015 14:53 Joustava yhtälönratkaisu Matemaattinen Ohjelmointi ja Yhtälönratkaisu

LUMA Suomi kehittämisohjelma 8.10.2015 14:53 Joustava yhtälönratkaisu Matemaattinen Ohjelmointi ja Yhtälönratkaisu (MOJYR) Sisällysluettelo (MOJYR)... 1 1. Taustaa... 1 2. MOJYR-ohjelma... 2 2.1 Ohjelman asentaminen... 2 2.2 Käyttöliittymä... 2 3. Puumalli... 3 4. MOJYR-ohjelman ominaisuudet... 5 4.1 Yhtälön muodostaminen...

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 26.1.2011 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 26.1.2011 1 / 34 Luentopalaute kännykällä käynnissä! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti Vast

Lisätiedot

Laskuharjoitus 9, tehtävä 6

Laskuharjoitus 9, tehtävä 6 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Jouni Pousi Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.4129 Systeemien identifiointi Laskuharjoitus 9, tehtävä 6 Tämä ohje sisältää vaihtoehtoisen tavan laskuharjoituksen

Lisätiedot

Kerta 2. Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5. 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma:

Kerta 2. Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5. 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma: Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5 Kerta 2 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma: 2. Tulosta Pythonilla seuraavat luvut allekkain a. 0 10 (eli, näyttää tältä: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b. 0 100 c. 50 100 3.

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 3.2.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 3.2.2010 1 / 36 Esimerkki: asunnon välityspalkkio Kirjoitetaan ohjelma, joka laskee kiinteistönvälittäjän asunnon

Lisätiedot

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan

Lisätiedot

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin

Lisätiedot

Java-kielen perusteita

Java-kielen perusteita Java-kielen perusteita Käyttäjän kanssa keskusteleva ohjelma 1 Kirjoittaminen konsolinäkymään //Java ohjelma, joka tulostaa konsoli-ikkunaan public class HeiMaailma { public void aja() { // kirjoitus ja

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

H6: Tehtävänanto. Taulukkolaskennan perusharjoitus. Harjoituksen tavoitteet

H6: Tehtävänanto. Taulukkolaskennan perusharjoitus. Harjoituksen tavoitteet H6: Tehtävänanto Taulukkolaskennan perusharjoitus Ennen kuin aloitat harjoituksen teon, lue siihen liittyvä taustamateriaali. Se kannattaa käydä läpi kokeilemalla samalla siinä annetut esimerkit käyttämässäsi

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksiluvut Kompleksitaso . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen

Lisätiedot

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 1 2 TI-Nspire CX CAS kämmenlaite kevään 2013 pitkän matematiikan kokeessa Tehtävä 1. Käytetään komentoa

Lisätiedot

Pythonin Kertaus. Cse-a1130. Tietotekniikka Sovelluksissa. Versio 0.01b

Pythonin Kertaus. Cse-a1130. Tietotekniikka Sovelluksissa. Versio 0.01b Pythonin Kertaus Cse-a1130 Tietotekniikka Sovelluksissa Versio 0.01b Listat 1/2 esimerkkejä listan peruskäytöstä. > lista=['kala','kukko','kissa','koira'] ['kala','kukko','kissa','koira'] >lista.append('kana')

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Aloitusohje versiolle 4.0

Aloitusohje versiolle 4.0 Mikä on Geogebra? Aloitusohje versiolle 4.0 dynaamisen matematiiikan työvälineohjelma helppokäyttöisessä paketissa oppimisen ja opetuksen avuksi kaikille koulutustasoille vuorovaikutteiset geometria, algebra,

Lisätiedot

6. Harjoitusjakso II. Vinkkejä ja ohjeita

6. Harjoitusjakso II. Vinkkejä ja ohjeita 6. Harjoitusjakso II Seuraavaksi harjoitellaan algebrallisten syötteiden, komentojen ja funktioiden käyttöä GeoGebrassa. Tarjolla on ensimmäisen harjoittelujakson tapaan kahden tasoisia harjoituksia: perustaso

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

Oppimisalusta eassarin TTK-91-tehtävien käyttöohje

Oppimisalusta eassarin TTK-91-tehtävien käyttöohje Oppimisalusta eassarin TTK-91-tehtävien käyttöohje Koskelo Helsinki 15.12.2004 Ohjelmistotuotantoprojekti HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Kurssi 581260 Ohjelmistotuotantoprojekti (6

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt Ensimmäisen ja toisen t nimittäjien poistaminen sieventäminen ensimmäisen identtinen yhtälö yhtälö verranto toisen asteen yhtälö korkeamman ristiin kertominen suhde täydellinen toisen ratkaisukaava vaillinainen

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 2.2.2011 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 2.2.2011 1 / 37 Kännykkäpalautetteen antajia kaivataan edelleen! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti

Lisätiedot

5. OSITTAISINTEGROINTI

5. OSITTAISINTEGROINTI 5 OSITTAISINTEGROINTI Kahden funktion f ja g tulo derivoidaan kuten muistetaan seuraavasti: D (fg) f g + f Kun tämä yhtälö integroidaan puolittain, niin saadaan fg f ()g()d + f ()()d Yhtälö saattaa erota

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 28.2.2011 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 28.2.2011 1 / 46 Ohjelmointiprojektin vaiheet 1. Määrittely 2. Ohjelman suunnittelu (ohjelman rakenne ja ohjelman

Lisätiedot

Tilastolliset ohjelmistot 805340A. Pinja Pikkuhookana

Tilastolliset ohjelmistot 805340A. Pinja Pikkuhookana Tilastolliset ohjelmistot 805340A Pinja Pikkuhookana Sisältö 1 SPSS 1.1 Yleistä 1.2 Aineiston syöttäminen 1.3 Aineistoon tutustuminen 1.4 Kuvien piirtäminen 1.5 Kuvien muokkaaminen 1.6 Aineistojen muokkaaminen

Lisätiedot

BaseMidlet. KÄYTTÖOHJE v. 1.00

BaseMidlet. KÄYTTÖOHJE v. 1.00 KÄYTTÖOHJE v. 1.00 KUVAUS BaseMidlet on matkapuhelimessa toimiva sovellus jolla voi etäkäyttää Tiimi 7000 sarjan säätimiä. Copyright Team-Control Oy, oikeudet muutoksiin pidätetään. TiiMi on Team-Control

Lisätiedot

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CS-A1111 14.9.2016 CS-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 14.9.2016 1 / 19 Oppimistavoitteet: tämän luennon jälkeen osaat kirjoittaa Python-ohjelman, joka pyytää käyttäjältä lukuja,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja

Lisätiedot

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Grafiikkalaskin on oivallinen apuväline ongelmien ratkaisun tukena. Sen avulla voi piirtää kuvaajat, ratkaista yhtälöt ja yhtälöryhmät, suorittaa funktioanalyysin

Lisätiedot

Ohjelmointitaito (ict1td002, 12 op) Kevät Java-ohjelmoinnin alkeita. Tietokoneohjelma. Raine Kauppinen

Ohjelmointitaito (ict1td002, 12 op) Kevät Java-ohjelmoinnin alkeita. Tietokoneohjelma. Raine Kauppinen Ohjelmointitaito (ict1td002, 12 op) Kevät 2009 Raine Kauppinen raine.kauppinen@haaga-helia.fi 1. Java-ohjelmoinnin alkeita Tietokoneohjelma Java-kieli ja Eclipse-kehitysympäristö Java-ohjelma ja luokka

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Funktiot ja yhtälöt. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Funktiot ja yhtälöt. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Funktiot ja yhtälöt Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Funktiot ja yhtälöt (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Pikatesti

Lisätiedot

Salasanojen turvallinen tallentaminen KeePass ohjelmalla

Salasanojen turvallinen tallentaminen KeePass ohjelmalla Salasanojen turvallinen tallentaminen KeePass ohjelmalla KeePass on vapaasti saatavilla oleva, avoimen lähdekoodin ohjelma, jonka tarkoituksena on auttaa salasanojen hallinnassa. Tämä KeePass ohje on päivitetty

Lisätiedot

Ensin klikkaa käynnistä-valikkoa ja sieltä Kaikki ohjelmat valikosta kaikki ohjelmat

Ensin klikkaa käynnistä-valikkoa ja sieltä Kaikki ohjelmat valikosta kaikki ohjelmat Microsoft Office 2010 löytyy tietokoneen käynnistä-valikosta aivan kuin kaikki muutkin tietokoneelle asennetut ohjelmat. Microsoft kansion sisältä löytyy toimisto-ohjelmistopakettiin kuuluvat eri ohjelmat,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta) MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi

Lisätiedot