wxmaxima opas 1 Mikä wxmaxima on 2 wxmaximan käyttö Petri Sallasmaa 13. toukokuuta 2014

Transkriptio

1 wxmaxima opas Petri Sallasmaa 13. toukokuuta Mikä wxmaxima on wxmaxima on yksinkertainen graanen käyttöliittynä Maxima CAS(computer algebra system)-järjestelmälle, joka on luotu wxwidgets nimisen käyttöliittymäkirjaston avulla. wxmaximassa voidaan Maximan komennot syöttää valikkojen tai dialogien avulla, jolloin ei ainakaan alkuun ole välttämätöntä opetella kaikkea komentorivillä käytettävän Maximan komentoja. Perustoimintoja ja muitakin komentoja voi ja kannataa kuitenkin kirjoittaa suoraan dokumentin kirjoitusalueelle. wxmaximan käyttöliittymä on seuraavanlainen: Käyttöliittymän ylälaidassa on tuttu valikko, josta voidaan valita komentoja, jotka sitten suoritetaan dokumentin kirjoitustilassa. wxmaximassa tuotetaan tavallaan tekstidokumenttia johon Maxima tuottaa haluttuja laskennallisia tuloksia. Dokumentti ja näin myös kirjoitusalue on jaettu pienempiin osiin soluihin. Perussoluja ovat syöteet, tulosteen ja erilaiset tekstityyppiset solut. Kirjoitusalueella syötesolut merkitään tunnisteella (%i#), missä # on syötteen järjestysnumero, ja tulosteet (%o#), missä taas # on tulosteen järjestysnumero. Tekstityyppisellä soluilla ei ole numeroituja tunnisteita. Kirjoitusalueella on myös ruudun poikki kulkeva musta viiva, joka on kirjoitusalueen kohdistin (kursori), siis kohta johon ollaan seuraavaksi lisäämässä jotain. 2 wxmaximan käyttö Koska itse Maxima on suhteellisen laaja ohjelma, jolla voidaan laskea vaikeitakin mateemaattisia laskuja, tässä oppaassa keskitytään perustoimintojen suorittamiseen ja lähinnä käyttäen wxmaximan käyttöliittymää. Ihan vertailun vuoksi Maksiman version 5.30, joka tässäkin wxmaximassa on taustalla, virallisessa oppaassa on 1048 sivua. Eli Tässä oppaassa Maximan käytöstä käydään läpi vain murto-osa. 1

2 2.1 Syöttäminen ja peruslaskutoimitukset Söytesolu saadaa kirjoitusalueelle kohdistimen osoittamaan paikkaan valitsemalla valikosta jokin toimenpide tai yksinkertaisesti alkamalla kirjoittaa jotain. Cell-valikossa on myös valittavissa Insert Input Cell, mutta tämä vastaa sitä kun aloittaa kirjoittamaan vain näppäimistöltä tekstiä. Harjoitus 1. Kirjoita syötteeksi 1+1. Nyt Kirjoitusalueella on syöte > 1+1. Tätä syötettä ei ole vielä annettu Maximan prosessoitavaksi ja se tehdään painamalla shift+enter. Pelkkä enter näppäimen painaminen tekee syötteeseen rivinvaihdon, koska syöte saa olla myös monella eri rivilllä. Harjoitus 2. Paina shift+enter, jolloin syöte syötetään Maximalle suoritettavaksi. Nyt kirjoitusalueelle tulee ensimmäinen syöte-tuloste solupari Tässä ensimmäinen syöte on on tunnisteella (%i1) ja sitä vastaava tuloste (%o1). Huomaa että syötteen perään tulee puolipiste(;). Jokainen komento päätetään aina puolipisteeseen tai dollari($)-merkkiin. Nyt kun kirjoitettiin syötteeksi perus laskutoimitus tulosteeksi tulee suoraan sen laskun tulos. Harjoitus 3. Kirjoita syötteeksi 1+1$ ja suorita se (painamalla shift+enter) Nyt kirjoitusalueelle tulee toinen syöte %i2, mutta jos komennon päättää puolipisteen sijaan dollarimerkkiin tuloste ei tule näkyviin. Jossain tilanteessa, esimerkiksi kun määritellään kerralla paljon omia muuttujia tai ketjutettaessa syötteitä ja tulosteita, ei haluta tulostusta tai välitulosta näkyviin ruudulle, niin silloin sen voi tehdä lisäämällä komentojen perään dollarimerkin. Perus laskutoimitukset syötetään niitä vastaavilla operaatioilla. Taulukossa on tyypillisimmät operaatiot ja niitä vastaavat merkit lueteltuna Toiminto Merkki yhteenlasku + vähennyslasku - kertolasku * jakolasku / potenssi ^ sulkeet ( ja ) nelijuuri x sqrt( x ) kertoma! Harjoitus 4. Syötä lasku 1/3+4/7 Huomaa, että laskettaessa kokonaisluvuilla tulosteet ovat rationaalilukuja siis tarkkoja arvoja. Harjoitus 5. Syötä laskut 1/3 ja 1/3.0. Tee se samaa syötteeseen kirjoittamalla laskujen väliin puolipiste siis 1/3;1/3.0; (Huomaa että Maximassa on desimaalipilkun tilalla käytössä desimaalipiste) Nyt tulostelohkossa on kaksi tulostetta %o4 ja %o5. Koska jälkimmäisessä laskussa käytettiin desimaalilukua kokonaisluvun sijaan, vastauskin annettiin kokonaislukuna. Toinen tapa saada vastaus desimaalilukuna on käyttää komentoa oat. Harjoitus 6. Syötä lasku 1/3. Kun saat tuloksen 1 3 valitse valikosta numeric komento To Float. (Saman lopputuloksen saat jos kirjoitat suoraan syötteksi oat(1/3) ) 2

3 Kun valikosta valittiin To Float komento se kohdistettiin edelliseen tulosteeseen. Tämän merkkinä syötteessä %i7 on oat komennon parametri %. Siis aina jos halutaan viitata edelliseen tulokseen sen voi tehdä kirjoittamalla lausekkeeseen tai komentoon yksinkertaisesti %-merkin. Laskuissa ja lausekkeissa voidaan viitata myös mihin tahansa syöteeseen tai tulosteseen käyttämällä niiden nimiä %i# tai #o#, missä # on syötteen tai tulosteen järjestysnumero. Numeerisen laskennan lisäksi perulaskutoimisuksia voidaan tehdä muuttujille. Harjoitus 7. Syötä lasku x+x. Tulokseksi saadaan Harjoitus 8. Syötä lasku 3x+4x. Nyt tulostukseen tulee seuraavanlainen virheilmoitus Maxima, kuten ei yleisesti muutkaan CAS-järjestelmät, ymmärrä impisiittistä kertomerkkiä siis 3x pitää aina kirjoittaa muodossa 3*x. Samoin pitää toimia sulkeiden kanssa siis (x-1)(x+1) pitää kirjoittaa muodoss (x- 1)*(x+1). Muuttuja ovat kirjainkokoherkkiä siis a ja A ovat ei muuttujia. Muuttujat voivat olla myös merkkijonoja siis useamman kirjaimen mittasia. Harjoitus 9. Syötä lasku 3*Petri+4*Petri. Kun kertomerkin ovat paikallaan ja muuttuja on Petri niin tulokseksi tulee 2.2 Vakiot ja omat muuttujat Kuten edellä muuttujia voidaan käyttää niitä sen paremmin määrittelemättä. Mutta kun muuttujalle halutaan määrätä jokin arvo tai lauseke, se tehdään määrittelymerkin : (kaksoispiste) avulla esimerkiksi a : 5 jolloin sijoitetaan muuttujaan a arvo 5 Harjoitus 10. Määrittele muuttuja a siten että sen arvo on 5. Määrittele myös että x on b+c. Siis kirjoitamme syötteeksi a : 5; d : b+c;. Syöttenä on määrittelyt ja kahtena eri tulosteena niiden arvot Tällöin siis seuraavaksi kun lausekkeessa on a niin se korvautuu luvulla 5 ja d lausekkeella b+c. Tieto siitä mitä muuttujia on määritelty saadaan Maxima-valikosta komennolla Show Variables. Niiden arvot saadaan yksinkertaisesti syöttämällä muuttuja niin tulosteena on sen arvo. 3

4 Maximassa on sisäänrakennettuna vakiota ja niitä voi myös käyttää laskuissa ja lausekkeissa. Tärkeimpiä vakiota seuraavassa taulukossa Vakio Maximassa π %pi Eulerin vakio e %e ääretön( ) inf - ääretön( ) minf tosi true epätosi false imaginääriyksikkö i %i Harjoitus 11. Tarkastele vakion π desimaaliarvoa. (Syötä %pi ja muuta se desimaaliesitykseen) 2.3 Funktiot ja funktion määritteleminen Maximassa on paljon sisäänrakennettuja funktiota, siis trigonometrisiä funktiota, itseisravo, minimiä, maksimia, tilastollisiafunktioita ym... Perusfunktiota ja niiden käyttöohjeita löytyy enemmän valikosta Help ja sieltä Maxima Help (tai painamalla F1) valikosta otsikolla Mathematical functions. Funktiota käytetään kuten normaalistikin kirjoittaessa esim sin(x), log(4), abs(-3) (asb on itseisarvo). Harjoitus 12. Kirjoita syötteeksi sin( %pi ) + log( %e); Oman funktion voi määritellä vähän kuten muuttujankin nyt vaan funktiolla pitää olla nimi, muuttujat sulkeissa pilkulla eroteltuna, määrittelymerkkinä kaksoispiste ja yhtäsuuruus ( : = ) ja sitten itse funktion lauseke. Siis f(x) : = 2*x + 1 ja nyt funktion f on määritelty. Harjoitus 13. Määrittele funktio f (x) = 2x 5. Kokeile määrittelemääsi funktiota kysymällä sen arvoja esim f ( -1 ) ja f ( 5 ). Funtioon tai tulosteeseen voi tehdä myös sijoituksen arvon saamiseksi. Sijoituskomento löytyy Simplify valikosta Substitute... Harjoitus 14. Kirjoita syötteeksi x^2. Tämän jälkeen valitse Simplify valikosta Substitute... Nyt Dialogi kysyy mistä lausekkeesta (tai funktiosta), mitä korvataan ja millä korvataan. Korvaa edelisen tulosteen % muuttuja x muttujalla y Näin tulosteessa kaikki muuttujan x esiintymät korvattiin muuttujalla y. Harjoitus 15. Valitse Simplify valikosta uudelleen Substitute... Kijoita nyt dialogiin lausekkeeksi %o18 (eli 18 tuloste joka on tuo x 2 ), muuttuja x korvatan jälleen, mutta nyt luvulla 5. 4

5 Näin lausekkeen x 2 muuttujan paikalle sijoitettiin luku 5 ja sen arvo laskettiin samalla 2.4 Factor, Expand ja simplify Jatketaan tutustumalla Simplify valikon komentoihin Factor Expression ja Expand Expression. Niillä voidaan lausekkeita tai lukuja jakaa tekijöihin tai laajentaa esimerkiksi polymoniksi. Harjoitus 16. Kirjoita syötteeksi 30!. Tulosteeseen tulee kertoman arvo. Tämän jälkeen valitse Simplify valikosta Factor Expression. Näin edellinen tuloste eli 30! saadaan alkulukuhajoitelmana. Tekijöihinjako toimii myös polynomeilla. Harjoitus 17. Kirjoita syötteeksi x^4+2*x^3-x^2-2*x. Tämän jälkeen valitse Simplify valikosta Factor Expression. Näin edellinen tuloste eli neljännenasteen polynomi jakautuu tekijöihin. Toisaalta välillä pitää saada polynimit kerrottua auki. Tämä onnistuu valitsemalla Simplify valikon komennon Expand Expression. Harjoitus 18. Kirjoita syötteeksi (x+3)^4. Tämän jälkeen valitse Simplify valikosta Expand Expression. Näin edellinen tuloste kerrotaan auki summamuotoon Simplify valikossa myös komento lausekkeen sieventämiselle Simlify Expression. Tällä komennolla voidaan sieventää esimerkiksi rationaalilausekkeita. Harjoitus 19. Kirjoita syötteeksi (x^2-4) / (x+2). Tämän jälkeen valitse Simplify valikosta Simplify Expression. Näin edellinen tuloste eli rationaalilauseke sievennetään Huomaa, että sievennys ei ota huomioon määrittelyehtoja siis tässä tapauksessa x 2! 5

6 Edelliset komennot eivät toimi trigonometrisillä funktioilla, mutta niitä varten on Simplify valikossa oma työkalukokoelma Triconometric Simplication jossa on vastaavat komennot trigonometrisille funktioille Harjoitus 20. Kirjoita syötteeksi cos(x)^2 + sin(x)^2; Tämän jäkeen Simplify valikon Trigonometric Simpli- cation valikosta Simplify Trigonometric Harjoitus 21. Kirjoita syötteeksi sin(2*x); Tämän jäkeen Simplify valikon Trigonometric Simplication valikosta Expand Trigonometric 2.5 Yhtälöt ja yhtälöparit Yhtälön ratkaisemiseksi avataan dialogi valikosta Equations ja sieltä komento Solve... Dialogin Equation(s) kenttään syötetään yhtälö. Jos kenttään ei syötetä yhtäruusuusmerkkiä ohjelma tulkitsee että silloin lauseke on nolla siis 2*x+3 syöte vastaa syötettä 2*x+3=0. Variable(s) kenttään syötetään minkä muuttujan suhteen yhtälö ratkaistaan. Harjoitus 22. Avaa yhtälön ratkaisu Equations ja Solve.. ja syötä lauseke x^4+2*x^3-x^2-2*x ja ratkaise se muuttujan x suhteen. (Huomaaa että lauseke on sama joka oli harjoituksessa 17 joten voit myös viitata siihen harjoituksessa olevan syötekentän tunnisteella tässä %i23) Näin saatiin yhtälön ratkaisut 6

7 Jos joku ratkaisuista pitää poimia ratkaisujoikosta se ommistuu kirjoittamalla tulosteen tunnisteen ja hakasulkeisiin ([ ]) halutun ratkaisun järjestysnumero Harjoitus 23. Poimi edellisestä tuloksesta negatiivinen ratkaisu eli toinen ratkaisuista. (Voit nyt viitata tulokseen pelkällä %-merkillä koska se viimeinen tuloste, mutta aina varmenpaa on käyttää oikeea tunnistetta eli tässä %o34 ) Näin esimerkiksi voidaan käyttää yhtä ratkaisua sijoituksessa toiseen lausekkeeseen tai jatkaa laskua siitä ratkaisusta eteenpäin. Yhtälöpari tai yleisemmin yhtälöryhmän ratkaiseminen on yhtä vaivatonta. Nyt vaan Solve... dialogin Equation(s) kenttään syötetään useampi yhtälö pilkulla (, ) eroteltuna. Variable(s) kenttään syötetään ne muuttujat jotka halutaan ratkaista. Harjoitus 24. Avaa yhtälön ratkaisu Equations ja Solve.. ja syötä yhtälöryhmän yhtälot x+y+z=3, -x+y+2*z=3, 3*x+y-2*z=-5 ja ratkaise yhtälöryhmän muuttujat x, y ja z. 2.6 Derivointi ja integrointi Komennot derivointiin ja integrointiin löytyvät Calculus valikosta. Funktion tai lausekkeen derivaatan voi laskea kun valitsee Calculus valikosta Dierentiate... komennon. Derivoitava funktio tai lauseke kirjoitetaan Expression kenttään, Variable(s) kenttään syötetään minkä muuttujan suhteen derivoidaan ja Times kenttää monesko derivaatta lasketaan. Harjoitus 25. Määritä funktio f(x) := x^3 + 5*x^2-2*x + 7. Avaa sitten Calculus valikon Dierentiate.. komento ja derivoi funktio f muuttujan x suhteen kerran. Avaa dialogi uudelleen ja laske funktion f toinen derivaatta muuttujan x suhteen. Integrointi tapahtuu samaisen Calculus valikon komennolla Integrate... Inegroitava funktio tai lauseke kirjoitetaan Expression kenttään, Variable kenttään syötetään minkä muuttujan suhteen integroidaan. Saman dialogin avulla voidaan laskea määrätty integraali. Tällöin valitaan Denite integration valinta ja syötetään integroinille alaja ylärajat. Special napin takaa löytyy rajojen arvoksi erikoisarvoja kuten ääretöntä, pi, ym.. Harjoitus 26. Avaa sitten Calculus valikon Integrate.. komento ja integroi funktio f muuttujan x suhteen. Avaa dialogi uudelleen ja laske funktion f määrätty integraali välillä [0,5]. 7

8 2.7 Kuvaajat Maxima ei itsessään osaa piirtää kuvaajia, mutta ohjelman mukana on ohjelmia, joita Maxima kutsuu kuvaajien piirtämiseksi. Kuvaajat voivat olla kaksi tai kolmeulotteisia. Kaksi ulotteisen kuvaajan piitrtämiseksi valitaan Plot valikosta Plot 2d... Avautuvaan dialogiin Expression(s) kenttään kirjoitetaan funktio tai lauseke, jonka kuvaaja piirretää. Niitä voi taas olla useampia ja ne erotetaan toisistaan pilkulla. Seuraavaksi määrätään piirtoalueen muuttujat Variable vaaka ja pystysuuntaan, sekä niille arvoalueet. Ticks kertoo kuvan piirtotarkkuudesta. Format kertoo piirretäänkö kuva maximadokumentiin (inline) vai tulostetaanko se apuohjelmaan (gnuplot, open math). Options valikolla voidaan säätää esimerkiksi näytetäänko koordinaattiakseleita ja sen sellaista. File kentän avulla kuvan voi tulostaa tiedostoon jos kuvaajan haluaa liittää johonkin muuhun dokumenttiin. Harjoitus 27. Avaa Plot valikosta Plot 2d.. ja syötä lausekkeet -3*x^2+4*x ja -5*x+3 Expression(s) kenttään valitse muuttujiksi x ja y, sekä niille rajoiksi muuttujalle x [-10,10], sekä muuttujalle y [-30,10]. Piirrä kuvaaja. 8

9 Kolmeulotteisten kuvaajan piitrtämiseksi valitaan Plot valikosta Plot 3d... Avautuvaan dialogiin Expression(s) kenttään kirjoitetaan funktio tai lauseke, jonka kuvaaja piirretää. Niitä voi taas olla useampia ja ne erotetaan toisistaan pilkulla. Seuraavaksi määrätään piirtoalueen muuttujat Variable vaaka ja pystysuuntaan, sekä niille arvoalueet. Grid kertoo kuvan kolmiulotteisen ruudukon suuruuden. Format kertoo piirretäänkö kuva maximadokumentiin (inline) vai tulostetaanko se apuohjelmaan (gnuplot, open math). Options valikolla voidaan säätää lisäasetuksia. Plot to le kentän avulla kuvan voi tulostaa tiedostoon jos kuvaajan haluaa liittää johonkin muuhun dokumenttiin. Harjoitus 28. Avaa Plot valikosta Plot 3d.. ja syötä lauseke 2^(-x^2-y^2) Expression kenttään valitse muuttujiksi x ja y, sekä niille rajoiksi -2 ja 2. Piirrä kuvaaja. Harjoitus 29. Avaa Plot valikosta Plot 3d.. ja syötä uudelleen lauseke 2^(-x^2-y^2) Expression kenttään valitse muuttujiksi x ja y, sekä niille rajoiksi -2 ja 2. Valitse Format valikosta gnuplot. Piirrä kuvaaja. Nyt kuvaaja avautuu gnuplot ohjelmaan ja siellä sitä voi esimerkiksi pöyritellä ja zoomailla 2.8 Tekstikentät Cell valikossa on Text, Title, Section ja Subsection tyyppisiä teksti kenttiä joita voi laittaa Maxima-dokumenttiin syötteiden väliin. Näiden avulla voi kirjoitta itselleen tai muille sanallista informaatiota siitä, mitä dokumentissa ollaan laskemassa. Harjoitus 30. Liisää erilaisia teksisyötteitä dokumenttiin 9

10 2.9 Apupanelit Maxima valikosta löytyy valikko Panels. Sieltä esimerkiksi General Math paneelin voi avata näkyviin. Tässä paneelissa on perusmatematiikka komennot kootusti eli tällöin niitä ei tarvitse valikoista hakea. Jos ohjelmaa kuitenkin käytää enemmän alkaa komennot oppia ulkoa ja ne on paljon helpompi kirjoittaa syötteeseen kuin kayttää valikoita. 10