sylinterimäinen aaltorintama

Transkriptio

1 4.1 4 AALTOJODOT Tasoaallot ovat Maxwellin yhtälöiden epäfysikaalisia, ateaattisesti yksinkertaisia ratkaisuja, jotka riippuvat vain aallon eteneissuunnasta. Tään suuntakoordinaatin funktiona kentät vaihtelevat siniuotoisesti. äviöllisessä tapauksessa kentät vaientuvat saanaikaisesti eksponentiaalisesti. Poikittaistaso on vakiovaihetaso ja yös vakioaplituditaso. Idealisoitu tasoaalto kuljettaa ääretöntä tehoa, koska tehotiheys on vakio yli koko rajattoan tason. Vaikka tasoaaltoa ei ole siis lainkaan oleassa on se paikallisesti hyvä approksiaatio kentille, joiden lähde on kaukana. Esierkiksi tietoliikennesatelliitin lähettää palloaaltosignaali on aanpinnalla vastaanotettuna suurella tarkkuudella tasoaalto, koska pallon kaarevuussäde on niin suuri. Kuva 4.1 esittää erityyppisiä aaltorintaia. Sylinteriäinen aaltorintaa syntyy esi. rakoantennilla. tasoaaltorintaa sylinteriäinen aaltorintaa palloainen aaltorintaa Kuva 4.1 Aallon eteneistapoja. Tasoaalto on käytännössä esi. palloaallon approksiaatio kaukana säteilylähteestä. Tasoaallon analyysissä on oletettava, että tarkasteltava alue on hoogeeninen. Kerrosrakennekin on paloittain hoogeeninen, joten siinä ratkaisu on ahdollista kehittää tasoaalloiksi erikseen eri alueissa. Ratkaisujen aplitudit ovat sidoksissa toisiinsa rajapintaehtojen kautta. Tässäkin esiintyy tasoaisia suuria rajapintoja. Tarkassa analyysissä äärettöyysoletuksia ei voi tehdä, sillä käytännössä signaalia voidaan joutua siirtäään paikasta toiseen oniutkaisessa ypäristössä. Joskus signaali halutaan ohjata pelkästään vastaanottajalle, jolloin avoin radioaalto ei ole käyttökelpoinen tiedonsiirtokanava. Signaalin ja tehon siirron lisäksi aaltojohdot ovat tärkeitä osia onissa radio- ja ikroaaltotekniikan koponenteissa. Aaltojohdot ovat rakenteita, joiden avulla sähköagneettinen teho kulkee aaltoina tiettyyn suuntaan kuten tasoaalloissakin, utta tätä suuntaa vastaan kohtisuorassa tasossa energia on keskittynyt joko rakenteen sisään tai ainakin sen läheisyyteen. Tasoaallon epäfysikaalisuusongela ei haittaa nyt, sillä aaltojohdon kuljettaa teho on äärellinen. Eteneiskerroin on aaltojohdoilla oniutkaisepi suure kuin tasoaalloilla, ja ipedanssin käsite on ääriteltävä erityisen tarkkaan. Sähköagneettisen energian ja signaalin siirtoon voi valita onenlaisia kanavia. Yksi näkökohta aaltojohdon valintaan on johdon häviöiden suuruus. Koaksiaalijohto on hyvä pienillä taajuuksilla, utta sen häviökerroin kasvaa ikroaaltoalueella suureksi. Suljetut aaltoputket ovat tällöin

2 4. edullisepi valinta, utta tarpeeksi suurilla taajuuksilla nekin vaientavat liiaksi etenevää signaalia. Infrapuna- ja valoalueella täytyy ottaa käyttöön avoiet aaltojohdot, kuten optiset kuidut. Avoiuus tässä tarkoittaa sitä, että periaatteessa kentät ovat nollasta poikkeavia varsinaisen kuidun ulkopuolellakin, vaikka suurin osa tehosta onkin sitoutunut kuidun ytien sisäpuolelle. Toinen avoin aaltojohto on ns. liuskajohto, jota käytetään yleisesti ikroaaltotekniikassa. Sen etuna on käytännöllinen rakenne ja helppo valistustekniikka verrattuna suljettuihin ja koaksiaalisiin johtoihin. Kuva 4. esittelee erilaisia siirto- ja aaltojohtoja. a b a ε, µ koaksiaalijohto D kaksijohtiinen siirtojohto johdetaso ε r eriste liuska ε r eriste johdetaso liuskajohto yhdensuuntaisten levyjen uodostaa johto nelikulainen aaltoputki optinen kuitu Kuva 4. Erilaisia siirtojohtoja Kaikki aaltojohdot eivät ole ihisen rakentaia. Luonnossakin esiintyy aaltojohtoja. Esierkkinä voisi ainita aan ja ionosfäärin rajoittaan kerroksen, joka pienillä taajuuksilla pitää sähköagneettisen säteilyn sisällään, koska sekä aanpinta että ionosfäärin plasa ovat johtavia näillä aallonpituuksilla. Tätä aaltojohtoa käytetään hyväksi lyhytaaltolähetyksissä, kun halutaan lähettää radio-ohjelaa tai pitää radioaatööriyhteyksiä toiselle puolelle aapalloa. Toinen esierkki on kanavoituisiliö troposfäärissä. Troposfääri on neutraalia ilakehää, eikä siinä yhteydessä voi puhua johtavista rakenteista. Erityisissä sääolosuhteissa troposfääriin voi uodostua vertikaalisia uutoksia ilan taitekertoieen. Radioaalto saattaa sitoutua tällaiseen epähoogeenisuuteen ja edetä pitkienkin atkojen päähän. Tärkeä jako aaltojohtojen analyysissä on pitkittäisten ja poikittaisten kenttien erottelu toisistaan. Pitkittäisellä suunnalla tarkoitetaan sitä suuntaa, johon aaltojohto kuljettaa tehoa. Ja poikittaistaso on luonnollisesti kohtisuorassa tätä suuntaa vastaan. Yleensä kiinnitetään koordinaatisto siten, että z-akseli osoittaa pitkittäissuuntaan. Aaltojohdon kentät ovat vektorifunktioita, jotka riippuvat sekä eteneissuuntaisesta z-koordinaatista että yös kahdesta poikittaiskoordinaatista. Täähän on ero tasoaaltoon nähden, jossa poikittaissuunnassa kentät olivat vakioita. Jotta aaltojohto kuljettaisi aaltoa, on kaikkien kenttäfunktioiden z-riippuvuuksien oltava siniuotoisia (tai korkeintaan siniuotoisesti vaienevaa häviöllisen aaltojohdon tapauksessa eli ne voidaan kirjoittaa f ( z = e jβ z (4.1

3 4.3 Tässä on eteneiskertoieksi kirjoitettu edelleen β, vaikka kaikilla aaltojohdoilla eteneiskerroin ei ole saa kuin aaltoluku ω µε. Aaltojohto voi olla rakenteeltaan inkälainen tahansa, utta sitä voidaan allittaa ateaattisesti siirtojohdon avulla. Aaltojohdon kolidiensioinen fysiikka pelkistetään yksidiensioiseksi (zsuunta alliksi. Aaltojohtojen väliset kytkennät ja epäjatkuvuudet aiheuttavat oat piirikoponenttinsa siirtojohtoalliin, jolloin noraalien siirtojohtoteoriakaavojen perusteella voidaan laskea hyvinkin oniutkaisten ikroaaltopiirien käyttäytyistä. Siirtojohto ateaattisena allina ei sisällä tietoa aaltojohdon kenttäfunktioiden paikallisesta käyttäytyisestä yhdessä poikittaistason leikkauksessa. Aaltojohtojen luokittelussa ääräävänä kriteerinä on se, onko johdossa etenevällä aallolla pitkittäissuuntaista sähkökentän tai agneettikentän koponenttia. Jos johdoissa voi edetä erilaisia aaltouotoja, näitä luokitellaan yös sen ukaan, ovatko aaltouodon sähkö- (E tai agneettikenttä (M pelkästään poikittaisia eli transversaalisia (T vai onko niillä yös pitkittäinen koponentti. Poikittainen koponentti on oleilla kentillä oltava, jotta aalto kuljettaisi tehoa. Tään havaitsee helposti Poyntingin vektorin lausekkeesta. TEM-aallolla sekä sähkö- että agneettikenttä ovat poikittaiset. Kuallakaan kentällä ei ole pitkittäistä koponenttia: k E =0, ja k =0 kaikkialla aaltojohdossa, kuva 4.3. Tää oinaisuus on yhteinen tasoaallon kanssa. TEM-johtojen analysointi on yksinkertaisinta. Koaksiaalijohto ja parijohto ovat esierkkejä TEM-aaltojohdoista. Myös ikroaaltotekniikan ikroliuskarakennetta voidaan pitää pienillä taajuuksilla lähes TEM-johtona. E z Kuva 4.3 TEM-aalto. TE-aalto on sellainen, jonka sähkökenttä on poikittainen eli k E =0, kuva 4.4. Magneettikentällä sen sijaan on sekä pitkittäinen että poikittainen koponentti. Metallijohdereunainen aaltoputki käy esierkiksi rakenteesta, jossa voi edetä TE-aaltouotoja.

4 E 4.4 z Kuva 4.4 TE-aalto. Magneettikentällä on sekä pitkittäinen ja poikittainen koponentti. TM-aallon agneettikenttä on kaikkialla poikittainen, utta sähkökentällä on pitkittäinen ja poikittainen koponentti, kuva 4.5. E z Kuva 4.5 TM-aalto. Sähkökentällä on sekä pitkittäinen että poikittainen koponentti. Yleisiässä tapauksessa sekä sähkö- että agneettikentällä on sekä poikittainen että pitkittäinen koponentti. Tällöin puhutaan E-aallosta tai hybridiuodoista. Avoiilla aaltojohdoilla, kuten dielektrisillä sauvoilla ja optisilla kuiduilla, esiintyy hybridiuotoja. E z Kuva 4.6 E-aalto. Sekä sähkö- että agneettikentällä on pitkittäinen ja poikittainen koponentti.

5 4.5 Analysoitaessa aaltojohtoja ja niiden aaltouotoja, erityisen olennaista on korostaa jakoa pitkittäisiin ja poikittaisiin koponentteihin. Jako tehdään kenttävektoreiden lisäksi yös nablaoperaattorille. Lasketaan TEM-aaltojohtojen oinaisuuksia. Kuallekaan kenttävektorille ei sallita pitkittäissuuntaista koponenttia. Olkoon z-suunta aaltojohdon eteneissuunta. Tällöin lähdetään etsiään kentille sellaisia ratkaisuja, jotka vaihtelevat siniuotoisesti z:n funktioina: E jβz ( r = E ( x, y e j βz ( r = ( x, y e, (4.. (4.3 Lausekkeissa oleat vektorit ovat poikittaisia. Lisäksi ne riippuvat vain poikittaiskoordinaateista x ja y. Sijoitetaan lausekkeet Maxwellin rotaatioyhtälöihin. Rotaatioyhtälöä kirjoitettaessa voidaan nablasta erottaa z-koponentti: = T k. (4.4 z T tarkoittaa poikittaista nablaa, jossa on jäljellä derivoinnit esierkiksi x:n ja y:n suhteen. Nyt saadaan sähkökentän roottorille Er = T k E z ( (, jβz xye jβz [ T E( xy, ] e ( k E xy, z jβz [ T E( xy, ] e jβke( xye, = = e jβz jβz (4.5 Tään ensiäinen osa on kahden xy-tason vektorin ristitulo, siis z-suuntainen ja jälkiäinen osa on kohtisuorassa yksikkövektoria k vastaan. Koska lauseke (4.5 on Faradayn lain ukaan aina yhtäsuuri kuin jωµ( r, joka on poikittainen ja yhtälön (4.3 ukainen, voidaan kirjoittaa seuraavat kaksi ehtoa: T E( xy, = 0, (4.6 β = k E( xy,. µω (4.7 jωε ehdot Vastaavasti saadaan äärätyksi Maxwellin toisesta roottoriyhtälöstä r ( = Er ( T ( xy, = 0, (4.8 E β ( xy, = k ( xy,. ωε (4.9 Yhdistäällä yhtälöt (4.7 ja (4.9 saadaan

6 4.6 β β β E k k E E ωε µω ω µε Tässä on käytetty ehtoa k E = ( xy, = ( xy, = ( xy, 0. Eteneiskertoien lauseke on siis. (4.10 β = ω µε. (4.11 Eteneiskerroin riippuu vain eristeateriaalista, josta aaltojohto on tehty, eli aaltojohdon fysikaalinen rakenne ei vaikuta itenkään eteneiskertoieen. TEM-aallon eteneiskerroin aaltojohdolla on saa kuin tasoaallolla kyseisessä ateriaalissa. Yhtälöt (4.7 ja (4.9 kertovat, että sähkö- ja agneettikenttä ovat kohtisuorassa toisiaan ja eteneissuuntaansa vastaan. Niiden aplitudit suhtautuvat seuraavasti E ( x, y ( x, y = β ωε = µ = η. (4.1 ε Kenttien suhde on riippuaton tarkastelupaikasta poikittaistasossa ja on saa joka paikassa. Se on riippuaton siitä inkälainen aaltojohto on kyseessä. Suhde on analoginen tasoaallon aaltoipedanssin kanssa lisäksi se on suuruudelta yhtä suuri kuin tasoaallon aaltoipedanssi saassa eristeateriaalissa. Väliaineen paraetrien on oltava vakioita poikittaistasossa (z:n funktiona ne kyllä voivat uuttua. Eristeateriaaliltaan poikittaisesti epähoogeenisessa aaltojohdossa ei voi esiintyä TEM-aaltoa. Yhtälöiden (4.6 ja (4.8 ukaan oleat kentät ovat poikittaistasossa pyörteettöiä. Siksi niitä voidaan tutkia staattisten kenttien enetelin. Tarkastellaan sähkökenttää. Koska se on poikittaistasossa pyörteetön, se voidaan laskea kahden uuttujan skalaaripotentiaalista φ(x, y E ( xy, = ( xy, T φ. (4.13 Poikittainen gradientti sisältää derivoinnit vain kahden poikittaistason uuttujan suhteen. Sähköstatiikan tapaan potentiaali toteuttaa Laplacen yhtälön φ( xy, = 0. Alueen - issä tään yhtälön on toteuduttava - on siis oltava hoogeeninen. Reunaehdot ovat etallijohtiien vakiopotentiaalit. Potentiaali haronisena funktiona saavuttaa aksiinsa ja iniinsä alueen reunoilla eli johtiien pinnoilla. Jos TEM-johto on avoin, kuten esierkiksi parijohto, on potentiaalin äärettöyydessä lähestyttävä nollaa. Aaltojohto voi olla yös suljettu, kuten vaikkapa koaksiaalijohto, jossa on kaksi johdinta. Suljetussa yksijohtiisessa aaltojohdossa ei voi esiintyä TEM-aaltoa, sillä potentiaali olisi vakio tällä johtiella. Poikittaisesta potentiaalista voi laskea poikittaisen, johtiien välisen jännitteen U. Ero staattisiin kenttiin on se, että tarkasteltaessa pitkittäistä riippuvuutta johtiien välinen jännite vaihtelee siniuotoisesti z:n funktiona, kuten kaikki kenttäsuureetkin. Pitkittäissuunnassa etallijohde ei olekaan vakiopotentiaalissa kuten olisi tilanne staattisen kentän tapauksessa. Aallon eteneisnopeus on siis johdon pituuteen verrattuna pieni, johtielle ahtuu useita aallonpituuksia. Kun tää kuitenkin pidetään ielessä, voidaan poikittaistasossa käyttää sähköstatiikan tuloksia T

7 4.7 hyväksi. Esierkiksi sähköstaattisesta poikittaisprobleeasta voidaan äärätä aaltojohdon kapasitanssi pituusyksikköä kohden C, kun geoetria tunnetaan. Vastaavasti poikittaisen agnetostaattisen probleean ratkaisu auttaa äärittäään aaltojohdon virran Apèren lain integraaliuodon avulla: ( x, y I = dl. (4.14 Integroiistie kiertää johtien pintaa pitkin. Tääkin suure on johtien pituussuunnan paikan funktio. Sen aplitudi vaihtelee siniuotoisesti z:n funktiona. Jännitteen ja virran suhde on aaltojohdon oinaisipedanssi U Z 0 =, (4.15 I jota ei pidä sekoittaa kenttäsuhteeseen eli aaltoipedanssiin η. Siirtojohdon kuljettaa teho on Poyntingin vektorin reaaliosan integraali johtien poikkipinnan yli. P = 1 1 * Re{ E ( x, y ( x, y } da = ( x, y k E da. (4.16 η Siirtojohtoparaetrien avulla teho saadaan yksinkertaisesti 1 U P = UI $$ * =. (4.17 Z 0 Materiaalien ja rakenteiden epäideaalisuudet aiheuttavat häviöitä aaltojohtoihin. Ohjatut aallot vaienevat eksponentiaalisesti. Materiasta aiheutuvat häviöt voidaan jakaa kahteen luokkaan: eristehäviöihin ja johtavuushäviöihin. Eristehäviöiden vaikutuksen arviointi on helppoa, koska eteneiskerroin TEM-aaltojohdoilla on suoraan saa kuin tasoaallolla, joten sen iaginaariosasta voidaan suoraan laskea vaientuisen suuruus pituusyksikköä kohti. Tällöin täytyy tuntea ateriaalin dielektriset häviöt eli perittiivisyyden iaginaariosa. Johdehäviöt aiheutuvat siitä, että aaltojohdon etallipinnat eivät ole ideaalisia. Niiden johtavuus ei ole ääretön. Kenttä tunkeutuu hiukan niiden sisään ja osa energiasta kuluu ohisiin johtavuushäviöihin. Tätä häviötekijää ei tasoaallolla ole, koska itään etallijohdepintojakaan ei tarvita. Johtavuushäviöiden laskeinen edellyttää poikittaisprobleean ratkaisun tunteista ja niiden suuruus riippuu aaltojohdon geoetriasta utta ei eristeateriasta. Määritellään seuraavaksi pintavirta J s, jota voidaan käyttää johdehäviöitä laskettaessa. Pintavirta on yksinkertaisessa yhteydessä agneettikenttään, kuva 4.7 J s = n A/. (4.18 Pintavirran diensio on siis saa kuin agneettikentällä. Magneettikentänvoiakkuuden arvo on otettava siitä kohtaa johtien pintaa, jossa pintavirta halutaan laskea. n on pinnan yksikkönoraalivektori. Koska agneettikenttä on poikittainen, on pintavirta pitkittäinen. Pintavirran viivaintegraali johtien poikkipinnan ypäri antaa johtien kokonaisvirran.

8 4.8 I = J kdl A. (4.19 s I n J s J s Kuva 4.7 Pintavirran suhde agneettikentänvoiakkuuteen. äviöteho aaltojohdon pituusyksikköä kohti saadaan integroialla pintavirran aiheuttaat häviöt johtien poikkipinnan ypäri = 1 (, h Rs x y dl W/ P. (4.0 Lausekkeessa esiintyy pintaresistanssi R s, joka saadaan tunkeutuissyvyyden ja johtavuuden avulla. R s 1 = = σδ ωµ j σ Ω. (4.1 Materiaaliparaetrit µ j ja σ ovat johdinetallin paraetreja. Toinen tapa yärtää johdehäviöt on ajatella, että johteessa pintavirta esiintyy sähkökentän yhteydessä, koska johtavuus on äärellinen. Siis vaikka häviötön tarkastelu edellytti, että sähkökenttä on nollasta poikkeava vain johtiien välisessä alueessa, tuovat johdehäviöt ukanaan johtien suuntaisen sähkökentän koponentin. Ohin lain ukaan tää häviöihin liittyvä sähkökentän koponentti E h on virran I suuntainen, siis pitkittäissuuntainen. Tällöin häviötehon suunta, siis Poyntingin vektorin suunta, on kohtisuorassa sekä agneettikenttää että häviösähkökenttää E h vastaan eli se on poikittainen; kohti johdinateriaalia. äviöteho siis etenee eristeaineesta johtieen. Näinhän tulkitsie jo aiein Poyntingin vektoriin tutustuessae. Edellä saatu pintaresistanssitulos saatiin jo oikeastaan häviöllisen tasoaaltotarkastelun avulla. äviötehoa vie johtiiin E h :n ja :n ristitulo, ja näiden suhde on pintaipedanssi Z s. Kun se tulkitaan noraalin tasoaallon aaltoipedanssina Eh = Z s = µ j, (4. ε j issä µ j ja ε j ovat johteen pereabiliteetti ja perittiviteetti. Koska johteessa perittiivisyyden iaginaariosakoponentti on paljon suurepi kuin sen reaalinen dielektrisyysvakio, voidaan kirjoittaa ε j j σ / ω, jolloin saadaan pintaipedanssiksi ωµ ωµ = ω jσ σ j ( 1 j = Rs j Ls = Rs jx s j Z s =. (4.3

9 4.9 Pintaipedanssin vaihekula agneettisesti kyllästyättöissä tapauksissa on siis π/4. Lausekkeessa havaitaan pintaresistanssin lisäksi yös pintainduktanssi L µ / ωσ. Pintaresistanssi voidaan yksinkertaisesti tulkita siten, että johdepinnalla kaikki virta kulkee tunkeutuissyvyyden δ atkalla. Tällä perusteella voidaan laskea nopeasti johtien vaihtosähköresistanssi. w:n levyisen ja l:n pituisen liuskan vaihtosähköresistanssi on R AC l l = Rs =. (4.4 w σδ w s Tää on ekvivalenttinen tulos, ikä saadaan tasasähköllä pinta-alaltaan A = δw ja pituudeltaan l:n ittaiselle johtielle. Tulos on käytännön kannalta erkittävä. Aaltojohdon vaiennuskerrointa erkitään usein α:lla, jolloin häviöllisen aaltojohdon kenttien eteneissuuntainen riippuvuus on uotoa e αz e jβ z. (4.5 Eri vaiennustekijöistä johtuen vaiennuskerroin α aaltojohdolla eroaa tasoaallon vaiennuskertoiesta β 0i. Vaiennuskertoien voi laskea, kun tuntee häviötehon pituusyksikköä kohti P h ja etenevän tehon lausekkeen P. Tehon vaientuinen on neliöllistä kenttään nähden, eli P(z ~ exp(-αz. Tää vaientuinen on seurausta häviöistä. Nyt saadaan derivoialla d Ph = P = α P, (4.6 dz jolloin vaiennuskerroin on s = j α = P h P. ( Koaksiaalijohto Tavallinen koaksiaalijohto koostuu kahdesta sisäkkäisestä saankeskisestä sylinteristä, jotka toiivat eno- ja paluujohtiina. Sisäjohtien säde on a ja ulkojohtien b. Asetetaan z-akseli yhtyään sylinterien keskiakseliin, kuva 4.8. Johtiien välinen alue on eristetty ateriaalilla, jonka paraetrit ovat ε ja µ. Käytännössä ε eroaa ε 0 :sta, sillä ilaeristeinen koaksiaalijohto olisi ekaanisesti hankala rakenne. a ε, µ b Kuva 4.8 Koaksiaalijohto

10 4.10 Koaksiaalijohdolle sylinterikoordinaatisto on luonnollinen valinta. Poikittaistason potentiaali ratkaistaan Laplacen yhtälöstä Tφρϕ (, = 0, ja napakulasta ϕ riippuaton ratkaisu toteuttaa toisen kertaluvun tavallisen differentiaaliyhtälön jonka ratkaisu on 1 d φ ρ = 0, (4.8 ρ dρ ρ φ ρ A. (4.9 ( ρ = ln( ρ B ln ρ0 Integrointivakiot saadaan johdinpotentiaalien uodostaista reunaehdoista. Integrointivakiot voi logaritifunktion yhteydessä kirjoittaa eri tavoin käyttäen hyväksi saankantaisten logaritien suakaavaa. Potentiaaliero johtiien välillä on U, ja sisäjohdin korkeaassa potentiaalissa: φ(a = U ja φ(b = 0. Potentiaalifunktioksi saadaan φ U a ln b ( ρ = ln ρ. (4.30 b Tää toteuttaa reunaehdot. Kenttä saadaan potentiaalin negatiivisena gradienttina U E ( ρ = φ( ρ = uρ. (4.31 b ρ ln a u ρ on säteen suuntainen yksikkövektori ja kenttä on sen suuntainen, kun sisäjohdin on korkeaassa potentiaalissa kuin ulkojohdin, kuva 4.9. Η Kuva 4.9 Koaksiaalikaapelin kenttäratkaisu, kun virta enee keskijohdinta ja palaa ulkovaippaa pitkin Magneettikenttä voidaan kirjoittaa käyttäällä yhtälöä (4.7. = u ( ρ ϕ U ηρ ln b a Ε. (4.3 Kun agneettikenttä tunnetaan, voidaan laskea lävistyslaista sisäjohtiessa kulkeva virta I

11 4.11 πu I = ( ρ dl = ( a uϕ adϕ =. (4.33 b η ln a Saa virta palaa ulkojohdinta pitkin, utta siellä pintavirta (virta pituusyksikköä kohti on pienepi. Nyt voidaan laskea koaksiaalijohdon oinaisipedanssi Z 0 U η b = = ln. (4.34 I π a Koaksiaalijohdon kapasitanssi pituusyksikköä kohti on πε c =. (4.35 b ln a ja induktanssi pituusyksikköä kohti µ b l = ln. (4.36 π a Nähdään, että oinaisipedanssi voidaan iloittaa kapasitanssin ja induktanssin avulla l Z0 = c. (4.37 Lasketaan häviö koaksiaalijohdossa. Ensin lasketaan pintavirta Js = n, joka on erisuuri ulkoja sisäjohtiella. P h = 1 I R 1 1 R s s 4π a b ( a ( b dl =. (4.38 Koaksiaalijohdon vaiennuskerroin saadaan kaavasta (4.6, jossa etenevä teho on P Rs a b α =. (4.39 Z 0 4πab Kun tähän sijoitetaan ateriaaali- ja geoetriatiedot, saadaan ωµ j ε a b 1 α =. (4.40 σ µ ab b ln a = Z 0 I Nyt on huoattava, että µ j on johdinateriaalietallin ja µ eristeateriaalin pereabiilisuus. σ on etallin johtavuus. Tässähän eriste oletettiin ideaaliseksi ja häviöttöäksi eli sen johtavuus on nolla. /

12 4.1 Saadusta tuloksesta voidaan huoata, että vaiennuskerroin kasvaa taajuuden kasvaessa neliöjuureen verrannollisena. Tästä seuraa se, että käytännössä ei koaksiaalijohtoa voi, häviöiden vuoksi, käyttää TEM-uodolla erittäin suurille taajuuksille asti, kuva α ω Kuva 4.10 Vaiennuskerroin kulataajuuden funktiona. ESIMERKKI. Kaapelitelevisiosignaalin välittäiseen käytetään koaksiaalijohtoa esi. 500Mz:n taajuudella. Kaapeli on tehty kuparista, sen johtiien sisäsäde on a = 0,5 ja ulkosäde b =. Johtiien välisen eristeaineen perittiivisyys on ε = 3ε 0. Kuvasignaali heikkenee kaapelissa edetessään, koska kupari ei ole täydellinen johde. Käytettävissä on vahvistiia, joiden vahvistus on 40 db. Kuinka tiheään niitä pitää johdolle asentaa? Lasketaan kuparin pintavastus R s tällä 500 Mz:n taajuudella. Koska µ j = µ 0 ja σ = 5, S/, saadaan R s 5,9 Ω. Koaksiaalijohdon oinaisipedanssi puolestaan on tällä sädesuhteella (b/a = 4 ja eristeaineella yhtälön (4.34 ukaan Z 0 48 Ω. Vaiennuksen kaavan (4.39 ukaan saadaan nyt α 0, Vaiennus on noin 0.15 desibeliä etriä kohti. 40dB:n vahvistiia tulee sijoittaa noin 185 etrin välein. 4. Muita TEM-aaltojohtoja Esierkki avoiesta TEM-johdosta on syetrinen parijohto, jossa kaksi a-säteistä ypyräpoikkipintaista lankaa sijaitsevat rinnakkain, saansuuntaisesti. Keskiakseleiden välinen etäisyys on D. Toinen johto on eno- ja toinen paluujohdin. Poikkipintatason potentiaaliprobleean ratkaisu voidaan saada sylinterigeoetrian kuvalähdeperiaatteen avulla, kuva Voidaan osoittaa, että kaksi vastakkaiserkkistä viivalähdettä aiheuttavat vakiopotentiaalin ypyräsylinteripinnalle, jonka säde on a, jos lähteiden etäisyydet ko. ypyrän keskipisteestä ovat sellaiset, joiden geoetrinen keskiarvo on a. Tään perusteella voidaan laskea poikittaisen rakenteen kapasitanssi pituusyksikköä kohti:

13 4.13 a D E Kuva 4.11 Lapaatojohdon pääitat ja ortogonaalinen kenttäkuvaaja. πε πε c = =. (4.41 ln [ D / a] ( D / a 1 arccosh[ D / a] Toisin kuin koaksiaalijohdossa, parijohto on usein ilaeristeinen, jolloin perittiivisyys on ε = ε 0. Vastaavasti induktanssille pituusyksikköä kohti voidaan johtaa lauseke µ D l = arccosh. (4.4 π a Oinaisipedanssiksi saadaan Z 0 η D = arccosh. (4.43 π a Näistä kahdesta TEM-aaltojohtoesierkistä voi jo huoata, että piiriparaetrit koostuvat kahden terin tulosta, joista toinen on pelkästään eristeateriaalin oinaisuuksista riippuva ja toinen on poikittaisrakenteen geoetriasta riippuva uotokerroin M. Parijohdolle M 1 D = arccosh. (4.44 π a Piiriparaetrit voi iloittaa sen avulla seuraavasti: c = ε, M (4.45 l = Mµ, (4.46 Z0 = Mη. (4.47

14 4.14 Koaksiaalijohdolle nää ehdot voi helposti todeta huoaaalla uotokertoieksi lausekkeen M 1 b = ln. (4.48 π a Parijohto on hyvin avoin rakenne, ja sen säteilyhäviöt kasvavat voiakkaasti suureille taajuuksille entäessä. Mikroaaltotekniikassa käytetään hyvin yleisesti ikroliuskarakennetta tehon ja signaalin siirtoon. Liuskarakenteita on onenlaisia; yksi on sellainen, jossa johtavan aatason päällä on dielektrinen kerros ja dielektrisen kerroksen päälle on kasvatettu etalliliuska, joka toiii toisena johtiena. Tällainen rakenne on ekaanisesti hyvin tukeva ja soveltuu integroituun valistustekniikkaan, kuva 4.1. liuska ε r johdetaso Kuva 4.1 Liuskajohdon rakenne ja itat. eriste d ε r w Koska poikittaistaso on epähoogeeninen (siinä on osa dielektristä ainetta ja osa ilaa, ei aito TEM-aalto voi edetä rakenteessa. Aaltoa voi kuitenkin approksioida sillä ratkaisulla, joka saadaan ns. tasojohtorakenteella. Tasojohdossa oletetaan sähkökenttä keskittyneeksi liuskojen väliin ja reunojen hajakentät jätetään pois. Levyjen välinen etäisyys - tasojohdon "korkeus" - on d, ja liuskojen leveys w. Idealisoitu tasojohto on sellainen, jossa reunoille ajatellaan pystysuorat agneettijohdetasot. Magneettijohdetasot pakottavat agneettikentän etallilevyjen suuntaiseksi pystyreunoilla, jolloin sähkökenttä on siellä kohtisuorassa reunoja vastaan aivan kuten tasojohdon keskelläkin. Käytännössä liuskajohto vastaa tällaista idealisointia sitä parein, itä leveäpi liuska on korkeuteen nähden (w/d suuri, ja toisaalta itä suurepi eristeaineen taitekerroin on, sillä suuri perittiivisyys sitoo paljon kenttää. Tarkastellaan ideaalistettua tasojohtoa, jossa ei ole hajakenttiä, vaan kentät ovat kuten tasoaallosta leikatut palaset. Sähkökenttä on kuten ideaalisessa tasokondensaattorissa eli vakio E koko alueessa. Silloin agneettikenttäkin on vakio ja kenttien suhde η = µ / ε. Tällöin jännite liuskojen välillä voidaan laskea: U = Ed. (4.49 Koska pintavirta liuskoilla saadaan agneettikentästä, Js = n, on sekin vakio liuskalla, ja virraksi saadaan I = w. (4.50

15 4.15 Tällöin on lasketaan tasojohdon oinaisipedanssi: U d Z 0 = I = w η. (4.51 Siis atala liuskajohto on pieniohinen ja vastaavasti leveyteen nähden korkea johto suurohinen. Mitä suurepi on tasojohdon eristeaineen perittiivisyys, sitä pienepi yös on sen oinaisipedanssi. Tasojohdon uotokerroin on yksinkertainen: M = d. (4.5 w Nää ideaalisen tasojohdon kaavat soveltuvat approksiatiivisesti yös liuskajohdolle, esierkiksi ikroaaltotekniikassa käytettävälle ikroliuskarakenteelle. Jos ikroliuskajohtoa haluaa itoittaa tarkasti käytännön ongelaan, kannattaa kuitenkin tutustua tarkepiin suunnittelukaavoihin. Se, että poikittaistasossa on kaksi erillistä dielektristä aluetta (eriste liuskan ja aatason välissä ja ila liuskan yläpuolella, tekee tarkan TEM-analyysin ahdottoaksi, ja käytännössä tällöin ääritelläänkin ikroliuskajohdolle tehollinen perittiivisyys, joka on pienepi kuin varsinaisen eristeaineen perittiivisyys. Ero on luonnollisesti sitä suurepi, itä korkeapi liuska on leveyteen nähden, koska silloin hajakenttien erkitys on suurepi. Lisäksi tulee oinaisipedanssiin korjausterejä. 4.3 TE- ja TM-aallot TEM-aaltojohtojen käyttöä rajoittavat niiden kasvavat häviöt suurilla taajuuksilla. Tää johtuu siitä, että tarvitaan kaksi etallipintaa ylläpitäään poikittaista potentiaalieroa. Sen seurauksena yös johdinhäviöt ovat erkittäviä. Taajuuden kasvaessa tunkeutuissyvyys pienenee, ikä lisää pintavastusta. Aaltoputket ovat yksijohtiisia suljettuja aaltojohtoja, joilla pystytään toiiaan korkeilla taajuuksilla. Koska poikittaistasossa on vain yksi etallireuna, jonka sisäpuolella kenttiä tarkastellaan, ei aaltoputkessa voi edetä TEM-aaltoa. Aaltoputkissa voi edetä TE- ja TMaaltouotoja. TE-aalloilla (transversal electric sähkökenttävektori on poikittainen, eli sillä ei ole z- koponenttia (eteneissuuntaista koponenttia, utta agneettikentällä on sekä pitkittäinen että poikittainen kenttäkoponentti. Vastaavasti TM-aalto (transversal agnetic tarkoittaa sitä, että agneettikenttä on poikittainen, utta sähkökenttävektorilla on yös pitkittäinen koponentti. TE- ja TM-aaltojen analysointi on vaikeapaa kuin TEM-aalloilla. Kun TEM-aaltojen kenttien ratkaiseisessa pelkistyi ongela Laplacen yhtälön ratkaiseiseen poikittaistasossa, tulee TE- ja TM- aalloilla ratkaistavaksi täysi elholtzin yhtälö. eloltzin yhtälöillä tarkoitetaan aikaharonisia kenttäyhtälöitä, jotka saadaan ottaalla roottori Faradayn ja Apèren laeista E = jωµ (4.53 = jωε E J Eliinoialla ja E vuorotellen saadaan vektoriuotoiset eloltzin yhtälöt

16 ( E ω µεe = jωµ J ( ω µε = J 4.16 (4.54 Myös potentiaalifunktiot voidaan esittää eloltzin yhtälöinä φ A r ( r ω µεφ( r ( r ρ = ε ( ω µεa( r = µ J( r (4.55 Sähkö- ja agneettikentän suhde TE- ja TM-aalloilla ei ole vakio kuten tasoaallossa ja TEMaaltojohdoissa. Eteneiskerroin ei yöskään ole yhtä suoraan ateriaparaetrien ääräää. Eteneinen on dispersiivistä, eli eteneiskerroin riippuu taajuudesta epälineaarisesti. Näillä uusilla aaltotyypeillä on erityinen piirre, ns. katkotaajuudet, toisin sanoen eri aaltouodoilla on oleassa tietty alarajataajuus, jota pieneillä taajuuksilla eteneinen ei ole ahdollista. Katkotaajuuden oleassaolon ja välttäättöyyden voi perustella itselleen seuraavalla kokeella. Kuinka etalliputki päästää lävitseen vaihtelevan taajuista sähköä? Pienillä taajuuksilla, tasavirralla, huoataan, että kun toiseen päähän kytketään jännite, nousee putken toinenkin pää saaan jännitteeseen, utta itään virtaa ei kulje, koska putki on yhtenäinen johdekappale. Siispä tehoakaan ei kulje putkea pitkin. Sen sijaan suurilla taajuuksilla, esierkiksi valoalueella, tilanne on toinen: valaistaan taskulapulla putken päästä, niin valosignaali kyllä kulkee putken läpi. On selvästi oleassa jokin rajataajuus näiden taajuusasteikon ääripäiden välillä, jonka yläpuolella teho etenee putkessa, utta jonka alapuolella se ei pysty kulkeaan. Kannattaa huoata se edellisen ajatuskokeen olennainen piirre, että siinä tarkasteltu putki on yksijohtiinen. Tää ei ole tilanne esierkiksi koaksiaalijohdolla, jolla on sisä- ja ulkojohdin. Näiden välillä potentiaaliero säilyy taajuudesta riippuatta. Siksi TEM-aalloilla ei ole katkotaajuutta, vaan niissä voi siirtää vaikka tasavirtatehoa. Aaltoputkiin luodaan tässä yhteydessä vain lyhyt soveltava katsaus. Aaltoputkien teoriaa ei siis johdeta tässä, utta todetaan, että aaltoputkessa, jossa aalto etenee z- akselin suuntaan voidaan äärittää poikittaiset aaltoluvut β 0x ja β 0y. Näiden kertoiien ja pitkittäisen eteneiskertoien β 0rz välillä vallitsee yhteys β0 x β0 y β0r z = β0 = ω µε. (4.56 β 0rz on reaalinen vain, ikäli poikittaiset aaltoluvut eivät ole liian suuria. Voidaan tulkita, että jokaisella aaltouodolla on rajataajuutensa, jota pieneällä taajuudella eteneistä aaltoputkessa ei tapahdu. Tää rajataajuus saadaan ehdosta β 0rz = 0. Rajataajuudella siis 0x 0y 0 β β = β. (4.57 Aaltouodon, jonka indeksit ovat ja n rajataajuus on 1 f c,n = π µε π a nπ. (4.58 a

17 4.17 Tässä a on suorakulaisen aaltoputken leveys. Putken korkeutta erkitään vastaavasti b:llä, kuva Indeksit ja n [0, 1,, ] Pienet indeksit ja n esittävät aaltouotoja, joiden rajataajuudetkin ovat pieniä. Putkessa saattaa edetä saanaikaisesti useita aaltouotoja, vaikka tää onkin noraalin RF-suunnittelun kannalta usein ahdollisian kehno tapaus. Yleensä aaltouotojen herääinen riippuu. siitä, issä kohdassa häiriösignaali alkujaan kytkeytyy ja onko kytkeytyinen luonteeltaan agneettinen (pieni virtasilukka vai suoraan sähkökenttään (lyhyt johdintappi, katso kuva, π/ E 3π/ π π b a Kuva 4.13 Suorakulainen aaltoputki ja siinä esiintyvän aaltouodon (TE 10 kenttäkuva. z-suunta z-suunta -kytkentä koaksiaalijohto koaksiaalijohto E E-kytkentä Kuva 4.14 RF-tehon kytkeinen koaksiaalikaapelista suorakulaiseen aaltoputkeen. Mikäli toiitaan rajataajuuden alapuolella, ei aalto pääse eteneään, vaan vaienee. Eteneiskerroin β 0rz on iaginaarinen, kun sen neliö on negatiivinen. Aplitudi kertoo tässä tapauksessa vaieneiskertoien.

18 4.18 Tarkastellaan suorakulaista aaltoputkea, jonka leveys on suurepi kuin korkeus a > b. Tällaisen putken perusaaltouoto on TE 10, joka esiintyy kuvassa (4.58 saa pieniän arvonsa, kun = 1 ja n = 0. Kun ääritellään poikittainen aaltoluku β c c 0 0i β = β β, (4.59 voidaan havaita, että se saa pieniän arvonsa yhdistelällä = 1 ja n = 0 π nπ β c =. (4.60 a b TE 10 -aaltouodolle saadaan poikittaiseksi aaltoluvuksi π β c = β0x =. (4.61 a Kentät ovat tässä tapauksessa πx jβ rz E ( r = je0 sin e a (4.6 β0r πx jβ z β x 0r c π jβ rz ( r = i E0 sin e k E0 cos e µω a µω a (4.63 Sähkökenttä on vain y-suuntainen ja riippuu vain x-koordinaatista. Sähkökenttä on nolla pystysuorilla johdeseinillä. Poikittaisella agneettikentällä on saa paikkariippuvuus kuin sähkökentällä, utta negatiivisena. Kenttien suhde on vakio. Pitkittäinen agneettikenttä on 90 :een vaihesiirrossa poikittaisiin kenttiin nähden. Eteneiskerroin saadaan yös rajataajuuden avulla β β0 β0 β c r = c = β0 1 β 0 1 β 0 = f f c. (4.64 Rajataajuus on f βc 1 =. (4.65 π µε a µε c = Tää vastaa aallonpituuden puolikasta, joka on aaltoputken levyinen. Tätä pitepi aalto ei ahdu aaltoputkeen, vaan vaienee. ESIMERKKI Tällä perusteella esierkiksi laitekotelossa oleva pitkä, utta kapea rako päästää tällä aaltouodolla etenevän häiriösignaalin ypäristöön, jos signaalin aallonpituus on pienepi kuin raon leveys. Oletetaan, että laitteen kannen raon pituus on 300, kuva 4.15.

19 4.19 Kuva 4.15 Laitteen kyljessä oleva kapea rako. 1 7 Sijoitetaan tyhjön arvot ε 0 = F/ ja µ 0 = 4π 10 /. Rajataajuudeksi saadaan noin 500 Mz, josta alkaen tällainen aukko on täysin läpinäkyvä. Poikittainen aaltoluku alialle aaltouodolle on π 1 β c = = Tutkitaan 5 Mz:n signaalin vaieneista tällaisessa raossa. Tää taajuus vastaa aaltolukua β 0, joka on π π β = = λ 60 0 = β = β β = j r 0 c Tällainen aaltouoto vaienee siis noin 91. db/. Jos raon syvyys (ateriaalin vahvuus on esierkiksi 1 saadaan vaiennukseksi vain db. Tällainen rako tuhoaa koko laitteen häiriösuojauksen. Tehkääe siis pienepiä rakoja. Kun esierkiksi elektroniikan laitekoteloissa ja suurissa huonetiloissa on välttäätöntä tuuletuksen ja jäähdytyksen vuoksi jättää seiniin aukkoja, voidaan niistä tehdä silti RF-tiiviitä esierkiksi liittäällä kuhunkin aukkoon riittävän pitkä aaltoputki, jonka rajataajuus on itoitettu sopivasti. Edelleen, pelkkä ohut etalliritilä ei välttäättä ole hyvä suoja koko taajuusalueella, utta jos verkko ladotaankin ristikkäisistä johtavista liuskoista, syntyy kokoela rinnakkain aseteltuja aaltoputkia ja suojaustaso paranee. Käytännössä on ikroaaltotaajuuksilla hankala saavuttaa yli 60 db vaiennusta, vaikka aaltoputkea pidennettäisiinkin esi. 10λ saakka. Jos suojaustarkoituksessa tehdyn etallisen aaltoputken läpi pujotetaan nippu johtiia kuvan 4.16 ukaisesti,

20 4.0 johto aukko peltikotelo Kuva 4.16 Läpivientiaukko peltikotelossa tuhoaa helposti vaivalla rakennetun sähköagneettisen suojauksen. turellaan tavallisesti koko ajatus. Johdot toiivat (tosin epäääräisinä antenneina ja häiriösignaalit kulkeutuvat niitä pitkin halukkaasti koteloon tai kotelosta ulos. Jos nähdään häiriösyistä tärkeäksi käyttää etallikoteloa, on saalla varauduttava suojattujen liittiien ja erityisten läpivientikuristiien ja -suodattiien käyttöön. Tyypillisen läpivientikuristien häiriövaiennus 10 Gz taajuudella saattaa olla n. 40 db, siis kuinkin paljon huonopi kuin etallikotelon alkuperäinen. Ilan kuristinta etalliseinään läpi pujotettu yksittäinen johdin aiheuttaa suojaustason roahtaisen n db:n paikkeille. Tarkastellaan pyöreää reikää nyt saoin kuin aiein neliskanttista rakoa. Arvioidaan, että esi 5 :n 1 pitkä reikä käyttäytyy suurinpiirtein saoin kuin 5 :n neliönuotoinen reikä. poikittaistason aaltoluvuksi alialle aaltouodolle TE 10 saadaan nyt analogisesti aiean π 1 esierkin ukaisesti β c = = 68, jolloin aaltoluvusta tulee taas iaginaarinen ja likiäärin β 0r j68 1. Vaiennus on siis noin e 68 /, l. noin 68 lg e db/ 5454 db/. Millietrin atkalla (oletettu ateriaalipaksuus vaiennus on noin 5.4 db, ikä ei yleensä kelpaa. Carl Johnk, Engineering electroagnetic fields and waves, John Wiley & Sons, USA, 655 s. Sihvola-Lindell, Sähköagneettinen kenttäteoria. dynaaiset kentät. OTATIETO Oy. Fawwaz T Ulaby, Applied Electroagnetis, Prentice all