x 2 + y 2 = 2z y 2 + z 2 = 2x z 2 + x 2 = 2y a + n 1 n a a + 1 a +. On myös helppo tarkastaa, että ratkaisut toteuttavat yhtälön.
|
|
- Hannu-Pekka Kinnunen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kotitehtävät joulukuu 20 Helpopi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhä x 2 + y 2 = 2z y 2 + z 2 = 2x z 2 + x 2 = 2y reaaliluvuilla x y ja z. Ratkaisu. Jokainen luvuista on puolet kahden neliön suasta ja siten välttäättä ei-negatiivinen. Vähennetään toinen yhtälö ensiäisestä: 2z x = x 2 z 2 = x zx + z. Koska x + z 2 on oltava x = z. Vastaavasti päätellään x = y ja ratkaistavaksi jää yhtälö x 2 = x jonka ratkaisut ovat 0 ja 1. Siis ratkaisut ovat x = y = z = 0 ja x = y = z = Olkoon a reaaliluku ja n positiivinen kokonaisluku. Todista että a a + 1 a + n 1 a = n n n Tässä x tarkoittaa suurinta kokonaislukua joka on pienepi tai yhtäsuuri kuin x. Ratkaisu. kohdalla. Vasean puolen lauseke on askelfunktio fa jonka arvo nousee yhdellä jokaisen kokonaisluvun a Oikean puolen lauseke on sua askelfunktioista f k a = a+k n k = n 1 joista kunkin arvo nousee yhdellä joka n:nnen kokonaisluvun a kohdalla niittäin silloin kun a + k 0 od n. Koska jokaisella kokonaisluvulle a on täsälleen yksi k = n 1 jolla ehto toteutuu kupikin puoli kasvaa yhdellä silloin kun lukua a kasvatetaan yhdellä. Koska kupikin puoli on nolla silloin kun a = 0 yhtälö on tosi. 3. Etsi kaikki positiivisten rationaalilukujen parit a b joille a + b = Ratkaisu. Korotetaan yhtälö puolittain neliöön: a + b + 2 ab = Koska 3 ei ole rationaaliluku täytyy olla a+b = 2 ja 4ab = 3. Kun ratkaistaan b jälkiäisestä yhtälöstä ja sijoitetaan edelliseen saadaan a+ 3 4a 2 = 0 eli a 2 2a = 0. Tästä saadaan helposti ratkaisut a = 3 2 b = 1 2 ja a = 1 2 b = 3 2. On yös helppo tarkastaa että ratkaisut toteuttavat yhtälön. 4. Koodilukossa on kyenen näppäintä Se avataan näppäileällä nelinueroinen koodi jonka nueroissa voi olla toistoja. Lukko aukeaa heti kun oikea lukujono on syötetty peräkkäisillä näppäilyillä siitä riippuatta itä näppäiiä on painettu aiein. Jos koodi sattuisi oleaan 20 lukko aukeaisi esierkiksi näppäilysarjalla utta ei sarjalla 200. Mikä on lyhyin lukujono jonka näppäileinen avaa lukon varasti on sen koodi ikä hyvänsä? Ratkaisu. Tarkoitus oli kysyä kuinka pitkä lukujonon on vähintään oltava. Miniaalisen pituisia ehdon täyttäviä lukujonoja on toki onta. Lukujonon pituuden on selvästi oltava vähintään Muodostetaan kolinueroisista lukujonoista suunnattu verkko jossa lukujonoa ABC vastaavasta solusta on kaari jokaista lukujonoa BCD vastaavaan soluun. Saatu verkko on yhtenäinen eli jokaisesta solusta on reitti jokaiseen toiseen soluun reittiä voi seurata näppäileällä jälkiäisen solun lukujonon. Jokaisen solun tuloaste eli siihen tulevien kaarten lukuäärä on 10 saoin jokaisen solun lähtöaste eli siitä lähtevien kaarten lukuäärä.
2 Siten verkossa on suunnattu Eulerin kehä eli sellainen reitti kaaria pitkin että jokainen kaari tulee käydyksi tasan kerran ja lopuksi päädytään aloitussoluun. Kun näppäillään aluksi aloitussolun nuerot ja sitten tällaisen kehän kaaria vastaavat nuerot tullaan näppäilleeksi jokainen ahdollinen nelinueroinen koodi. Koska kaaria on näppäilyjä tarvitaan Eulerin kehän oleassaolon voi todistaa esi. seuraavasti. Aloitetaan ensin etsiällä verkosta jonkinlainen kehä esi Poistetaan tään kehän kulkeat kaaret verkosta jolloin solujen tuloja lähtöasteet pienenevät utta jokaisen solun tulo- ja lähtöaste ovat edelleen yhtäsuuret. Sitten toistetaan seuraavaa operaatiota: valitaan kehältä jokin solu jonka lähtö- ja siten yös tulo- aste on nollaa suurepi. Etsitään jäljellä olevasta verkosta kehä joka kulkee tään solun kautta; tää on ahdollista koska kun seurataan valitusta solusta lähtien kaaria ja erkitään niitä käytetyiksi jokaisen kuljetun solun tulo- ja lähtöaste pienenevät oleat yhdellä eli upikujaan ei voida joutua ennen kuin palataan aloitussoluun. Lopulta ollaan tilanteessa jossa kehän jokaisen solun lähtöaste on nolla. Tällöin alkuperäisen verkon jokaisen kaaren on oltava osana kehää koska yhtenäisyyden takia jokaiseen kaareen on reitti aloitussolusta. 5. Olkoot a b c suorakulaisen kolion sivut. Todista että a > 2c b. Ratkaisu. Pythagoraan lauseen ukaan a 2 = c 2 b 2. Koska b a ja c > a tasasivuinen kolio ei ole suorakulainen on a 2 = c + bc b > 2ac b eli a > 2c b. 6. Olkoon ABC tasakylkinen kolio jossa A = 90. Olkoon M sivun AB keskipiste. Pisteen A kautta suoraa CM vastaan kohtisuoraan piirretty suora leikkaa sivun BC pisteessä P. Osoita että AMC = BMP. Ratkaisu. Täydennetään kolio neliöksi ABKC. Olkoon suoran AP ja sivun BK leikkauspiste N. Koliot AMC ja BN A ovat yhdenuotoiset koska niiden vastinsivut ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja yhtenevät koska AC = BA. Siten BM = AM = BN ja AMC = BNA. Koliot BP M ja BP N ovat yhtenevät sks joten BMP = BNP = BNA = AMC. 7. Olkoot x y ja z positiivisia kokonaislukuja joille 1 x 1 y = 1 z. Olkoon h lukujen suurin yhteinen tekijä. Todista että hxyz on kokonaisluvun neliö. Ratkaisu. Olkoon x = ha y = hb ja z = hc. Silloin syta b c = 1 ja tehtävän yhtälöstä seuraa cb a = ab. Silloin hxyz = h 4 abc = h 4 c 2 b a joten riittää todistaa että b a on neliöluku. Riittää todistaa että luvun b a tekijöihinjaossa jokaisen alkuluvun eksponentti on parillinen. Olkoon p b a. Koska cb a = ab on p ab joten joko p a tai p b. Koska p b a kuassakin tapauksessa p jakaa oleat luvut a ja b. Koska syta b c = 1 p c. Riittää todistaa että alkuluvun p eksponentti luvun ab tekijöihinjaossa on parillinen. Osoitetaan että p:n eksponentit lukujen a ja b tekijöihinjaoissa ovat yhtäsuuret. Olkoon a = sp t b = up v issä p s p u. Jos esierkiksi v > t 1 olisi b a = p t up v t s issä p up v t s. Siten suurin p:n potenssi joka jakaa luvun cb a olisi p t ikä on ristiriidassa sen kanssa että luvun ab = cb a jakaa p v+t. Tapaus t > v 1 on syetrinen. Siis t = v. 8. Olkoon n positiivinen kokonaisluku ja s = a 1 a 2... a 2 n jono ei-negatiivisia kokonaislukuja. Asetetaan fs = a 1 a 2 a 2 a 3... a 2 n a 1. Merkitään f k :lla funktiota f sovellettuna k kertaa siis f 1 s = fs ja f k+1 s = ff k s kun k = Osoita että näillä oletuksilla f k s = jollain k utta vastaava tulos ei välttäättä päde jos jonon s pituus ei ole kahden potenssi. Ratkaisu. Todistetaan että jonossa f 2 ns jokainen luku on parillinen jonossa f 2 n+1s jokainen luku on neljällä jaollinen jne. Koska jonon fs suurin alkio on aina enintään yhtä suuri kuin jonon s suurin alkio tästä seuraa että jono nollautuu lopulta. Toinen väittää on helppo todeta tarkastelealla iten f kuvaa jonon 0 1 1:
3 Todistetaan luvattu väittää. Tarkastellaan jonoja odulo 2 ja ääritellään niille yhteenlasku alkioittain: kun s = a 1... a 2 n ja t = b 1... b 2 n jono s + t on a 1 + b 1... a 2 n + b 2 n. Silloin fs + t fs + ft od 2 kun kongruenssi tulkitaan saoin alkioittain. Koska jokaisen jonon s voi esittää odulo 2 suana joukosta jonoja joista kussakin on yksi 1 ja uuten nollia ja koska f on kierron suhteen syetrinen riittää osoittaa että f 2 n = Mutta f = f = f f = f = f f jne. Induktiolla voidaan osoittaa että f 2 k issä loppunollien lukuäärä on 2 k 1. Siten f 2 n Mille positiivisille kokonaisluvuille a ja b on alkuluvun potenssi? a 3 + b 3 Ratkaisu. Oletetaan että a3 + b 3 on alkuluvun p potenssi. Oletetaan ensin että a ja b ovat suhteelliset alkuluvut ja kirjoitetaan a 3 + b 3 = a + b a + b 2 3ab. Koska a ja b ovat suhteelliset alkuluvut syt a + b a + b 2 3ab = syta + b 3ab { 1 3 }. 1 Siten on täsälleen yhden luvuista a + b ja a + b 2 3ab tekijä. Siten ei voi olla kuankaan luvuista a ja b tekijä koska uuten se olisi olepien tekijä. Siis a 10 b 10 1 od. Koska a 3 + b 3 eli a 3 b 3 od on yös a 9 b 9 ja edellisen nojalla a 10 a 9 b 10 b 9 eli a b od ; jakolasku on ahdollinen koska syta = sytb = 1. Siis jakaa luvun a + b eikä jaa lukua a + b 2 3ab. Tarkastellaan tapausta jossa 3 a + b jolloin p = 3 ja a + b { } = { 3 u u = } ja a + b 2 3ab = 3 t t = Jos a + b = 33 saadaan 3ab = a + b 2 3 t eli ab = t 1. Yhtälöparilla { a + b = 33 ab = t 1 ei ole ratkaisua: tapaukset t = on tarkastettava erikseen ja suureilla t:n arvoilla ab olisi negatiivinen. Jos a + b { } ehdon 1 takia on oltava a + b 2 3ab 3 utta a + b 2 3ab = a b 2 + ab ab eikä voi olla ab 3 jos 33 a + b. Siten 3 a + b ja syt a + b a + b 2 3ab = 1. Koska a + b 2 3ab = a b 2 + ab ab > 1 on oltava a + b = ja a + b 2 3ab = p t. Tutkialla kaikki tapaukset löydetään ratkaisut joille p = a b { } Jos ei oleteta että syta b = 1 luvulla syta b on silti oltava enintään yksi alkutekijä joten syta b = p k jollain kokonaisluvulla k. Olkoon a = a p k ja b = b p k jolloin saadaan a 3 + b 3 = p 3k a 3 + b 3.
4 Taas on luvun a 3 + b 3 oltava alkuluvun potenssi joten tää tapaus palautuu jo käsiteltyyn. Ratkaisut ovat siis a b { 2 67 k 9 67 k 3 7 k 8 7 k 4 37 k 7 37 k 5 31 k 6 31 k 6 31 k 5 31 k 7 37 k 4 37 k 8 7 k 3 7 k 9 67 k 2 67 k } issä k = Etsi kaikki kokonaisluvut n > 1 joilla on seuraava oinaisuus: luvun n 6 1 jokainen alkutekijä jakaa luvun n 2 1 tai n 3 1. Ratkaisu. Luku 2 on selvästi tällainen: luvun = 63 alkutekijät ovat 3 = ja 7 = Osoitetaan että uita ratkaisuja ei ole. Tehdään oletus että n toteuttaa tehtävän ehdon. Käytetään tekijöihinjakoa n 6 1 = n 2 n + 1n + 1n 3 1. Luvulla n 2 n + 1 = nn on selvästi pariton alkutekijä p. Silloin p n 2 n + 1n + 1 = n joten p n 3 1. On siis oltava p n 2 1. Siten p n n 2 1 = n 2 n + 1. Koska p n on oltava p n + 1. Myös p n 2 1 n 2 n + 1 = n 2 joten on oltava p = 3. Siis n 2 n + 1 = 3 r koska jokainen sen alkutekijä on 3 joten toisen asteen yhtälön n 2 n r diskriinantti r = 4 3 r 3 = 34 3 r 1 1 on neliöluku. Kun r > 1 diskriinantti on jaollinen kolella vain yhden kerran joten on oltava r = 1 ja siis n = 2.
5 Kotitehtävät joulukuu 20 Vaikeapi sarja 1. Helpopi sarja t Paroni von Münchhausen väittää keksineensä likiääräisen kaavan neliöjuurten laskeiseen. Kaavassa on joitakin vakioita ja yksi uuttuja juurrettava utta erikoisinta on että vakioille ja uuttujalle tehdään vain kaksi laskutoiitusta: yksi yhteenlasku ja yksi kertolasku. Jokaiselle reaaliluvulle välillä [ ] kaavani virhe on alle 1/2 ylpeilee von Münchhausen. Voitko osoittaa että paroni valehtelee? Ratkaisu. Paroni ei jää kiinni valheesta. Kaava voi olla esierkiksi fx = x = 1 76 x Tään funktion kuvaaja on suora jota on siirretty hiean ylöspäin sekantista joka leikkaa neliöjuurifunktion kuvaajan pisteissä ja Virhe ainitun välin päätepisteissä on sallituissa rajoissa f961 = f31 2 = ja f2025 = f452 = joten jos pystytään osoittaaan että aksiaalinen virhe välin sisällä on tarpeeksi pieni kaava on osoitettu riittäväksi. Etsitään piste jossa neliöjuurifunktion tangentti on suoran y = fx suuntainen. Tangentin kulakerroin on x = 1 2 x joten on ratkaistava 1 2 x = 1 76 istä saadaan x = 38 2 = Kaava antaa tässä pisteessä tuloksen jonka virhe on alle 1/2. f1444 = Todista epäyhtälö reaaliluvuille x y. sin 4 x y + cos 4 x + y 1 + sin 2 2x sin 2 2y Ratkaisu. Käyttäällä trigonoetrisia identiteettejä saadaan epäyhtälön vasen puoli uotoon sin 2 1 cos2x 2y x y = 2 cos cos2x + 2y x + y = 2 cos2x ± 2y = cos 2x cos 2y sin 2x sin 2y sin 4 x y + cos 4 x + y = cos2x 2y cos2 2x 2y cos2x + 2y cos2 2x + 2y On siis todistettava = 1 2 sin 2x sin 2y cos2 2x cos 2 2y + sin 2 2x sin 2 2y. 1 2 sin 2x sin 2y cos2 2x cos 2 2y + sin 2 2x sin 2 2y 1 + sin 2 2x sin 2 2y
6 istä terejä järjestäällä ja kahdella kertoalla saadaan eli cos 2 2x cos 2 2y sin 2x sin 2y + sin 2 2x sin 2 2y cos 2x cos 2y sin 2x sin 2y 2. Kirjoitetaan tää lausekkeiden neliöjuurien vertailuksi: 1 sin 2x sin 2y cos 2x cos 2y 1 + sin 2x sin 2y. Tää saadaan tehtävän alkupuolella käytetyllä identiteetillä uotoiltua epäyhtälöiksi 1 cos2x 2y 1 cos2x + 2y jotka seuraavat kosinin ääritelästä. 4. Etsi kaikki funktiot f : R R joille kaikilla x y R. fx + y = fxfy fx + 1fy 1 Ratkaisu. Olkoon a = f0 ja b = f1. Sijoittaalla x = y = 0 saadaan a = 2ab 1 istä seuraa a 0 ja b 1/2. Sijoittaalla x = y = 1 saadaan f2 = 2bf2 1 istä seuraa f2 = 1/2b 1 = a. Sijoittaalla x = 0 ja y = 2 saadaan af3 = 1 + a ab = ab istä seuraa f3 = b. Sijoittaalla y = 2 saadaan fx + 2 = f3fx + f2fx = f1fx + f0fx = fx. Sijoittaalla y = x saadaan f2x = 2fxfx ja sijoittaalla y = x + 1 saadaan f2x + 1 = fx 2 + fx joista seuraa f2x + 1 f2x = fx fx kaikilla reaalisilla x. Siten fx = fx + 2 = f 2 x fx + 1 = f 2 x fx joten fx = fx + 1 kaikilla reaalisilla x. Erityisesti a = b jolloin a = 2a 2 1 eli a = 1 tai a = 1/2. Sijoittaalla y = 0 saadaan fx = 2afx 1 istä seuraa että fx = 1/2a 1 = a on vakio. Siis ratkaisut ovat fx 1 ja fx 1/2. 5. Helpopi sarja t Koliossa ABC on B C. Kolion sisään piirretyn ypyrän keskipiste on I ja kulan A vastaisen sivuypyrän 1 keskipiste J. Piste O on kulan A sisäisen puolittajan ja sivun BC keskinoraalin leikkauspiste ja piste P on suoran BO leikkauspiste pisteen C kautta piirretyn suoran BC noraalin kanssa. Todista että IP BJ. Ratkaisu. Ensinnäkin OB = OP koska pisteiden projektioilla suoralle BC on saa oinaisuus. Kulan sisäinen ja ulkoinen puolittaja ovat toisiinsa nähden suorassa kulassa joten kulat JBI ja ICJ ovat suoria. Siten BJCI on jännenelikulio ja IJ tään ypäri piirretyn ypyrän halkaisija. Myös jänteen BC keskinoraali on halkaisija joten pisteen O on oltava ypyrän keskipiste. Siis OP = OB = OJ = OI joten BJP I on suunnikas ja itse asiassa suorakulio joten IP BJ. 1 J on siis kulan A sisäisen puolittajan ja kulien B ja C ulkoisten puolittajien leikkauspiste. Nää ulkoiset puolittajat puolittavat ne kulat jotka sivu BC uodostaa sivujen AB ja AC jatkeiden kanssa.
7 A A I B O C Q P J P B K D C 7. Kolion ABC sivuilla BC CA ja AB on tässä järjestyksessä pisteet D E ja F. Janat AD BE ja CF leikkaavat pisteessä P. Todista että AP P D BP P E CP AP P F P D + BP P E + CP = 2. P F Ratkaisu. Olkoon AK kolion korkeusjana ja Q sellainen piste tällä janalla että QP BC. Silloin P D AD = QK AK = S P BC S ABC issä S XY Z tarkoittaa kolion XY Z alaa. Vastaava pätee syetrisesti uillekin pisteille joten Merkitään Silloin ja syetrisesti uille suhteille. Siis istä seuraa tehtävän väite P D P E + AD BE + P F CF = S P BC + S P CA + S P AB = S ABC = 1. S ABC S ABC S ABC S ABC x = AP P D y = BP P E z = CP P F. P D AD = P D AP + P D = 1 AP P D + 1 = 1 x x y z + 1 = 1 xyz x + y + z = Helpopi sarja t Helpopi kirje t Todista että lukujono on jaksollinen odulo 2002 ja selvitä sen jakson pituus
8 Ratkaisu. jonon Koska 2002 = riittää selvittää jakso odulo kukin näistä alkuluvuista. Todistetaan että jakso on p log p +1 kun n. n Käytetään Lucas n lausetta 2 jonka ukaan n + 1 n k j=0 n + 2 j kun p on alkuluku ja lukujen ja n p-kantaiset esitykset ovat n j... od p od p = k p k + k 1 p k 1 + k 2 p k n = n k p k + n k 1 p k 1 + n k 2 p k n 0. Kun luku esitetään kannassa p suurin p:n potenssi on log p ; erkitään J = log p + 1. Olkoot N 1 N 2 sellaiset luvut että N 1 N 2 od p J jolloin niillä on p-kantaiset esitykset N 1 = n 1 J+k pj+k + + n 1 J+1 pj+1 + n 1 J pj + n J 1 p J n 0 N 2 = n 2 J+k pj+k + + n 2 J+1 pj+1 + n 2 J pj + n J 1 p J n 0 joissa ataliat J jakojäännöstä ovat siis saat. Silloin N1 n J+k n J+1 n J nj 1 n0 od p J N2 n J+k n J+1 n J nj n0 od p J 1 0 N1 N2 Siten od p joten lukujonolla on jaksollinen ainakin jaksolla p J. Lukujonon jakso eli lyhyiän jakson pituus on siten p J :n tekijä. Oletetaan että jakso on p K issä K < J. Välttäättä p K p J 1. Olkoot Selvästi N 3 N 4 on jaollinen p J 1 :llä joten N 3 = p J + J 1 p J 1 + J 2 p J p = p J + N 4 = p J + + J 2 p J p N3 1 0 N J 1 J 1 J 1 ikä on ristiriita joten jakson on oltava p J. N3 J 2 J 2 J 2 J 2 N4 od p. Toisaalta Lucas n lauseesta seuraa od p od p Koska 2 10 = < 2048 = 2 12 log = 10 joten jakson pituus kun lukujonoa tarkastellaan odulo 2 on 2. Saaan tapaan saadaan 2002:n uita alkutekijöitä vastaavien jaksojen pituuksiksi ja Siis kysytty jakson pituus on Esi. _theore
Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008
Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotLukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotLUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että
LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,
Lisätiedotjoissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.
ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ô ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Kauppias on ostanut
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
LisätiedotKertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
LisätiedotMatematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat
Matematiikan olympiavalmennus 05 helmikuun helpommat tehtävät Ratkaisuja. Määritä kolmiot, joiden kulmille α, β, γ pätee cos α cos β +sinαsin β sin γ =. Ratkaisu. Koska 0 < sin γ, täytyy olla cos(α β)
LisätiedotTehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
Lisätiedot33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen
LisätiedotMatematiikan olympiavalmennus
Matematiikan olympiavalmennus Toukokuun 2012 helpommat valmennustehtävät ratkaisuja 1 Määritä sellaisen kolmion ala, jonka kaksi kulmaa ovat 60 ja 45 ja jonka pisimmän sivun pituus on 1 Ratkaisu Olkoon
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
LisätiedotJuuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)
Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori
LisätiedotBaltian Tie 2005 ratkaisuja
Baltian Tie 2005 ratkaisuja. Osoitetaan, että jonossa on aina kaksi samaa lukua. Olkoon k pienin positiivinen kokonaisluku, jolle on voimassa (k +) 9 2005 < 0 k. (Tällainen luku on olemassa, koska epäyhtälön
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotPythagoraan polku 16.4.2011
Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 4 / vko 40
Diskreetin ateatiikan perusteet Laskuharjoitus 4 / vko 40 Tuntitehtävät 31-32 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 35-36 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 33-34 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
LisätiedotKansainväliset matematiikkaolympialaiset 2012
Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 01 Tehtävien ratkaisuja 1. Olkoot kolmion kulmat α, β ja γ ja olkoon ω ympyrä, jonka halkaisija on AJ. Koska kulmat JKA ja JLA ovat suoria, niin K ja L ovat tällä
Lisätiedota b c d + + + + + + + + +
28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista
LisätiedotParaabeli suuntaisia suoria.
15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki
LisätiedotJuuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,
Lisätiedotx+3 = n(y 3) y +n = 3(x n). Kun ylemmästä yhtälöstä ratkaistaan x = n(y 3) 3 ja sijoitetaan alempaan, saadaan
19.1. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ ÐÓÔÔÙ ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 2018 1. Eevalla ja Martilla on kokonaislukumäärä euroja. Martti sanoi Eevalle: Jos annat minulle kolme euroa, niin minulla on n-kertainen määrä rahaa sinuun
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5
Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotHarjoitustehtävät, syyskuu Helpommat
Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
LisätiedotLaudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut 5 / vko 12
Diskreetin ateatiikan perusteet Esierkkiratkaisut 5 / vko 1 Tuntitehtävät 51-5 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 55-56 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 53-54 tarkastetaan loppuviikon
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
Lisätiedot1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo
1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman
LisätiedotMatematiikan olympiavalmennus
Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 2014 vaativammat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Onko olemassa ehdot a + b + c = d ja 1 ab + 1 ac + 1 bc = 1 ad + 1 bd + 1 cd toteuttavia reaalilukuja a, b, c, d?
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
Lisätiedotc) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a,
Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Lukion A ja lukion B oppilasmäärien suhde oli a/b vuoden 2017 lopussa. Vuoden 2017 aikana
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
Lisätiedota b c d
1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
LisätiedotYmpyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora
Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
Lisätiedot3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
Lisätiedot27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.
ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella
LisätiedotMatematiikan mestariluokka, syksy 2009 7
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty
LisätiedotMatematiikan olympiavalmennus 2015 syyskuun tehtävät
Matematiikan olympiavalmennus 2015 syyskuun tehtävät Ratkaisuja 1. Kaksi ympyrää sivuaa toisiaan sisäpuolisesti pisteessä T. Ulomman ympyrän sekantti AB on sisemmän ympyrän tangentti pisteessä P. Osoita,
Lisätiedot2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt
. Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri
LisätiedotHelsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13
Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
LisätiedotMatematiikan olympiavalmennus
Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 014 helpommat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Kuinka monen 014-numeroisen positiivisen kokonaisluvun numeroiden summa on parillinen? Ratkaisu. 014-numeroisen luvun
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
Lisätiedot0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan
Lisätiedot2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
LisätiedotMatematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
Lisätiedotx 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua
Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö
Lisätiedot1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
LisätiedotTestaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo
Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja
LisätiedotMAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste
MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste Tason ja avaruuden vektorit 1. Olkoon A(, -, 4) ja B(5, -1, -3). a) Muodosta pisteen A paikkavektori. b) Muodosta vektori AB. c) Laske vektorin AB pituus.
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
Lisätiedot3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen
Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille
Lisätiedot0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden
LisätiedotGeometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio
Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.
Lisätiedot1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus.
Matematiikan kurssikoe, Maa4 Vektorit RATKAISUT Sievin lukio Keskiviikko 12.4.2017 VASTAA YHTEENSÄ VIITEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL JA LASKIN/LAS- KINOHJELMAT OVAT SALLITTUJA! 1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................
LisätiedotReaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista
säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,
Lisätiedot= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
LisätiedotKenguru 2019 Student Ratkaisut
sivu 0 / 22 3 pistettä TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 VASTAUS C B D C B E C A 4 pistettä TEHTÄVÄ 9 10 11 12 13 14 15 16 VASTAUS B B E D A E A A 5 pistettä TEHTÄVÄ 17 18 19 20 21 22 23 24 VASTAUS E E D D C C B
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotA-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko
LisätiedotPERUSASIOITA ALGEBRASTA
PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Lisätiedot{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +
9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +
Lisätiedot1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
LisätiedotValitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.
MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi
LisätiedotKenguru 2019 Student lukio
sivu 0 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Koodi (ope täyttää): Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
LisätiedotLukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
Lisätiedot