Informaatioteoria. Lasse Holmström Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto. Kevät f f. f f

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Informaatioteoria. Lasse Holmström Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto. Kevät 2012. 1 f f. f 1 1 1 f"

Transkriptio

1 Informaatioteoria Lasse Holmström Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät f f 0 X Y f f

2 Sisältö Johdanto. Historiaa Informaatioteorian synty Informaatioteorian vaiheita vuodesta Peruskysymyksiä Binäärinen symmetrinen kanava (BSK) Toistokoodit Virheenpaljastavat ja -korjaavat koodit Informaatio ja sen mittaaminen Tapahtuman sisältämä informaatio Satunnaismuuttujat ja informaatio Keskinäisinformaatio i

3 2.4 Fanon epäyhtälö Tyypillisyys AEP Koodaus kompressiossa Yleisemmät informaatiolähteet Häiriöttömän lähteen koodaus, kompressio Koodeja Kraftin epäyhtälö Shannonin ensimmäinen lause Optimaalinen koodaus Koodaus tiedonsiirrossa Kapasiteetti Esimerkkejä kanavista Häviötön kanava Deterministinen kanava Häiriötön kanava Hyödytön kanava ii

4 5.2.5 Symmetrinen kanava Kapasiteetin laskeminen Muistiton diskreetti kanava Koodaus ja dekoodaus Yhteistyypillisyys Shannonin toinen lause Jatkuvat satunnaismuuttujat ja informaatio Differentiaalientropia AEP Multinormaalijakauma Diskreettiaikainen Gaussin kanava Kanavamalli Koodaus ja dekoodaus Shannonin toinen lause diskreettiaikaiselle Gaussin kanavalle Jatkuva-aikainen Gaussin kanava Hilbertin avaruuksista Karhusen-Loèven kehitelmä iii

5 8.3 Shannonin toinen lause jatkuva-aikaiselle Gaussin kanavalle.. 85 iv

6 Luku Johdanto. Historiaa.. Informaatioteorian synty Nykymuotoisen informaatioteorian perustaja on Claude Shannon (96-200). Shannon oli Yhdysvaltalainen matemaatikko, sähköinsinööri ja keksijä. Shannonin informaatioteorian perusteita käsittelevä raportti A Mathematical Theory of Communication ilmestyi vuonna 948 Bell Systems Technical Journalissa. Tämän raportin tuloksiin perustuva Shannonin ja Warren Weaverin kirja ilmestyi vuonna 949 ja siitä on saatavissa vuonna 998 julkaistu uusintapainos [6]. Shannonia pidetään ns. digitaalisen vallankumuoksen aloittajana. Shannon ymmärsi, että kaikkea informaatiota voidaan kommunikoida bitteinä ja hän johti tiedonsiirron tehokkuuden rajat. Shannonin läpimurtotyö käynnisti myös koodausteorian kehittelyn. Tehokkaat koodausmenetelmät ovat nykyisin keskeisen tärkeitä mm. mobiililaitteissa, CD- ja DVD-soittmimissa, erilaisissa

7 Kuva.: Claude Elwood Shannon (96-200). muistilaitteissa, internetin toiminnassa jne. Informaation olemusta oli ennen Shannonia tutkittu myös tilastollisen fysiikan piirissä (mm. Ludwig Boltzmann ja John von Neumann). Leo Szilard lanseerasi bitin käsitteen informaation mittauksessa. Termi bit tosin on peräisin matemaatikko John Tukeyltä (mm. Tukeyn lemma, Explorative Data Analysis (EDA),...). Shannonin tutkimussaralla oli edeltäjiä myös itse Bellin tutkimuslaboratoriossa, mm. Harry Nyquist ja Ralph (Vynton Leon) Hartley. Bellin tutkimuslaboratoriot ovat informaatioteorian lisäksi monen keskeisen keksinnön koti: laboratorioilla lasketaan olevan yli patenttia ja keksintöä mm. stereofoninen ääni, äänielokuva, telefax, UNIX käyttöjärjestelmä, sellaiset ohjelmointikielet kuin C ja C++ jne. Puhelimen keksijän Abraham Bellin mukaan nimetty tutkimuslaboratorio perustettiin vuonna 925 ja nykyään Bellin laboratorioissa työskentelee yli 9000 henkilöä useissa maissa. 2

8 Laboratorion työntekijöiden joukossa on ollut mm. nobelistia. Shannon itse toimi 5 vuotta Bellillä. Vuonna 956 hänestä tuli MIT:n (Massachusetts Institute of Technology) professori. MIT oli ensimmäisiä yliopistoja, jossa informaatioteoriaa alettiin säännöllisesti opettaa. Toisen maailmansodan aikaisilla sotaponnisteluilla oli tärkeä merkitys informaatioteorian ja sen sovellusten siivittäjänä. Sotilastutkimusta tukemaan koottiin poikkitieteellinen ryhmä eri alojen huippututkijoita ratkomaan informaatioon ja sen käsittelyyn liittyviä peruskysymyksiä (koneet, biologia). Tähän ryhmään kuuluivat mm. Claude Shannon, Norbert Wiener, Warren McCulloch, Walter Pitts, Alan Turing ja John von Neumann. Myös elektroniikan ja viestintätekniikan voimakas kehitys sodan aikana ja luotettavan ja turvallisen kommunikaation tarve suuntasi kiinnostusta informaatioteoreettisiin kysymyksiin...2 Informaatioteorian vaiheita vuodesta 948 Shannonin informaatioteorian läpimurtojulkaisua (948) seurasi Norbert Wienerin esittämä teoria vuonna 949. Seuraavaa vuosikymmentä luonnehti voimakas kiinnostuksen kasvu informaatioteoriaa kohtaan: Järjestettiin lukuisia yliopistoseminaareja, kursseja ja konferensseja. IRE (Institute of Radio Engineers) ryhtyi julkaisemaan IRE Transactions on Information Theory lehteä vuonna 955. Vuonna 963 IRE:stä tuli tunnettu ja monella tutkimusalueella nykyisin toimiva IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers). Informaatioteorian keskeiseksi yhteistyöverkostoksi perustettiin PGIT (Professional Group on Information Theory), joka toimi alan tärkeänä koordinoivana sisäpiirinä. 3

9 Keskeisiä nimiä olivat mm. Peter Elias, Norbert Wiener, Robert Fano, David Huffman, Richard Hamming ja Edgar Gilbert (kummatkin virheitä korjaavien koodien uranuurtajia). Matemaattista informaatioteoriaa edustivat Aleksandr Khintšin, Amiel Feinstein ja Jacob Wolfowitz (mm. IMF:n pääjohtajana jonkin aikaa toimineen Paul Wolfowitzin isä). Kuten usein käy voimakkaasti kehittyvien alojen kohdalla, niin myös informaatioteorian suosion räjähdysmäinen kasvu johti ylikuumenemiseen ja hypeen. Vuoden 952 informaatioteorian konferenssissa melkein puolet papereista olivat psykologiaa ja neurofysiologiaa ja vuoden 956 konferenssissa edustettuina olevien alojen kirjo oli sitten jo todella suuri: anatomia, antropologia,..., lingvistiikka, matematiikka,..., politiikan teoria, tilastotiede. Syynä informaatioteorian ideoiden ylikäyttöön mitä erilaisimmilla aloilla oli usein se, että informaatioteorian esiintyminen määrärahahakemuksissa arveltiin (ilmeisesti osittain perustellusti) lisäävän hankkeen uskottavuutta ja siten rahoitusmahdollisuuksia. Tässä tilanteessa PGIT katsoi välttämättömäksi informaatioteorian puhdistamisen erilaisista lieveilmiöistä. Tämän operaation käynnisti Shannonin itsensä laatima kirjoitus vuonna 956 ja järjestyksen katsotaan palanneen vuoteen 958 mennessä. 950-luvulla elettiin intensiivistä kylmän sodan aikaa ja rahoitusta informaatioteorian tutkimukseen saatiin erityisesti Yhdysvaltojen asevoimilta. Kolme päätutkimussuuntaa tällöin olivat Hajaspektriteknologia. 980-luvun puoleen väliin asti tämä tutkimus oli sotilaallista ja siten salaista. Nykyinen CDMA-tekniikka on saanut alkunsa tästä tutkimuksesta. Kompressio, informaation pakkaaminen. Tämä oli itseasiassa tutkimuksen alkuvuosein pääasiallinen kiinnostuksen kohde kun tiedon siirtoa ei vielä pidetty niin keskeisenä ongelmana. 4

10 Koodaus tiedon siirtoa varten häiriöisessä kanavassa. Shannonin lause kertoi tällöin mihin tehokkuuteen tiedon siirrossa teoriassa voidaan päästä. Koodausta tiedon siirrossa ei aluksi pidetty kiinnostavana, koska voitiin ajatella aina lisättävän lähetystehoa häiriöiden voittamiseksi. Tilanteen muutti Neuvostoliiton Sputnik vuonna 957: Yhdysvaltojen ja Neuvostoliiton kilpajuoksu avaruuteen alkoi. Lähetystehoa oli kallista tai jopa mahdotonta lisätä avaruudessa, koska jokainen avaruuten lähettävä gramma maksoi todella paljon. Tehokkaasta koodauksesta oli saatavissa ratkaisevaa kustannushyötyä ja Shannonin Gaussin kanavan malli sopi hienosti kuvaamaan satelliitin ja maa-aseman välistä viestintää. 960-luvulla kiinnostus koodaukseen kasvoi nopeasti. Tältä ajalta voidaan mainita esimerkiksi Irving Reed ja Gustave Solomon. Koodausta käytettiin ensimmäistä kertaa virallisesti 969 Yhdysvaltain Mariner VI Mars-luotaimessa. Se lähetti mm. värikuvia Marsin kiertoradalta. Viestinnässä käytettiin jo 954 kehitettyä, virheitä korjaavaa Reed-Müller koodia. Tosin koodausta epävirallisesti käytti avaruudessa itseasiassa ensimmäisenä vuonna 968 Pioneer IX, Yhdysvaltain aurinkoa kiertävä fysikaalisia perusmittauksia tekevä satelliitti. 960-luvun lopussa kasvoi kuitenkin epävarmuus koodausmenetelmien kehittelyn käytännön merkityksestä. Algoritmit olivat kalliita implementoida ja vain avaruustutkimuksella oli siihen varaa. Informaatioteorian tutkimusryhmät alkoivatkin hajota tutkijoiden siirtyessä muihin lupaavimpiin projekteihin. Floridan St. Petersburgissa vuonna 97 pidetty Future Directions konferenssi päätyi hyvin pessimistisiin tunnelmiin koodausteorian tulevaisuuden suhteen. Vallalle oli noussut tunne siitä, että oli parempi itse asiassa lyödä niin sanotusti hanskat naulaan. Siinä missä Sputnik oli aikaisemmin muuttanut kaiken, saman teki kuitenkin kertaheitolla Intelin ensimmäinen mikroprosessori vuonna 97. Nyt uusi halvempi ja tehokkaampi teknologia mahdollisti uusien ja parhaimpien koodausalgoritmien käytön. Kuvaan tuli- 5

11 vat mukaan myös kaupalliset, ei-sotilaalliset ja avaruustekniikkaan suoraan liittymättömät sovellukset, modeemi ja telefax ensimmäisten joukossa. Tänä päivänä kehittyvä teknologia on informaatioteorian kehitystä ja hyödyntämistä ylläpitävä voima. Esimerkiksi Gallagerin 960 väitöskirjassaan esittämä koodi (low-density parity-check codes) on tullut vasta nyt käyttöön! Jatkuvia uusia haasteita ja sovellusmahdollisuuksia tarjoavat mobiili tiedonsiirto, erilaiset muistitekniikat (RAM, kiintolevyt), CD-, DVD-, ja MP3-soittimet, tietokoneverkot, internet jne. Mikä sitten on ollut Shannonin teorian merkitys koodausteknologian kehitykselle? Voidaan sanoa, että se määritti tiedonsiirron tehokkuudelle rajat, joita ei voinut ylittää. Kun rajat olivat tiedossa, syntyi motivaatio pyrkiä niitä kohti ja joka vaiheessa tiedettiin kuinka paljon parantamisen varaa vielä oli. Parhailla nykyisillä koodeilla päästään jo Shannonin rajalle tietyissä kanavissa (Gaussin kanava)..2 Peruskysymyksiä Tarkastellaan tiedonsiirtoa seuraavan yksinkertaisen mallin mukaisesti: informaatiolähde kanava vastaanottaja Konkreettisia esimerkkejä tiedonsiirrosta kanavien läpi on esitetty kuvassa.2. Kanavassa, jonka läpi informaatiota siirretään on useinmiten häiriötä ( kohinaa ). Tällöin keskeinen kysymys on se miten vähentää häiriöiden aiheuttamia virheitä. 6

12 modeemi puhelinlinja modeemi satelliitti radioaallot vastaanottoasema työmuisti levymuisti työmuisti Kuva.2: Eräitä esimerkkejä tiedonsiirrosta kanavien läpi..2. Binäärinen symmetrinen kanava (BSK) Kuvassa.3 on esitetty ns. binäärinen symmetrinen kanava. Syötteinä ja tulosteina ovat bitit 0 ja. 0 0 syöte x tuloste y Kuva.3: Binäärinen symmetrinen kanava Olkoon tiedon siirrossa tapahtuvan virheen todennäköisyys (ns. kohinataso) 0 < f < : virheettömän bitin siirtymisen todennäköisyys on P{y = 0 x = 0} = P{y = x = } = f, ja virheen todennäköisyys on P{y = 0 x = } = P{y = x = 0} = f. Tässä P{y = 0 x = 0} = P{y = 0 ja x = 0} P{x = 0} jne. 7

13 Kuva.4: Binäärinen symmetrinen kanava kohinatasolla f = 0. (esimerkki lähteestä [5]). Kuvassa.4 on esimerkki binäärisestä symmetrisestä kanavasta, jossa syötteenä on digitaalinen kuva. Vasemman puoleisen kuvan pikselit on syötetty yksi kerrallaan toisistaan riippumatta binääriseen symmetriseen kanavaan, jonka kohinataso on f = 0.. Ajatellaan toisena esimerkkinä tietokoneen kiintolevyä, jolle luetaan ja kirjoitetaan GB päivässä 0 vuoden ajan ja ajatellaan BSK-mallin kuvaavan bittien siirtymistä lukemisessa ja kirjoittamisessa. Mikä tällöin on kohtuullinen f? Kohtuullista on selvästikin odottaa kiintolevyltä lähes virheetöntä toimintaa. Luku/kirjoitusoperaatioita on yhteensä = n kappaletta. Olkoon f = 0 5, jolloin P{ virheetön toiminta } ( f) n nf Kysymys kuuluu: miten näin pieneen virhetodennäköisyyteen f päästään? Voidaan ensinnäkin ajatella tehtävän parannuksia itse fyysiseen laitteeseen. Tämä voi kuitenkin johtaa kustannusten jyrkkään nousuun. Vaihtoehtona 8

14 informaatiolähde vastaanottaja lähetetty viesti s ŝ vastaanotettu viesti kooderi dekooderi lähetetty signaali t häiriöinen r vastaanotettu signaali kanava Kuva.5: Tiedonsiirto koodamalla ja dekoodaamalla viesti. on koodata/dekoodata bittejä sopivasti jolloin vain tarvittava laskentatyö lisääntyy (ks. kuva.5). Informaatioteoria kertoo tämän koodaukseen/dekoodaukseen perustuvan tiedonsiirtotavan mahdollisuudet ja rajat. Koodausteoriassa kehitetään käytäntöön sopivia koodereita ja dekoodereita..2.2 Toistokoodit Eräs yksinkertainen koodausmenetelmä on ns. toistokoodi. Toistokoodissa R m kukin bitti toistetaan m kertaa. Esimerkki.. Toistotkoodi R 3. Koodaus tapahtuu siis seuraavan kaavion mukaisesti: 9

15 0 kooderi 000 Olkoon nyt lähetety viesti s = 0000, jolloin kooderi tekee siitä lähetettävän signaalin t = Olkoon edelleen häiriöinen kanava muotoa r = t + n (mod 2), missä n on häiriö. Esimerkiksi t n r Dekooderi tekee enemmistöpäätöksen kolmen ryhmissä, jolloin vastaanotettu viesti on ŝ = virhe virhe korjattu ei korjattu Voidaan osoittaa (harjoitustehtävä), että tämä dekooderi on tietyin edellytyksin optimaalinen. Harjoitustehtävänä osoitetaan myös, että kohinatasolla 0 < f < /2 toimivassa BSK:ssa edellisen esimerkin dekooderin virheen todennäköisyys on 0

16 Kuva.6: Binäärinen symmetrinen kanava kohinatasolla f = 0., kun käytetään toistokoodia R 3. Bittivirheen todennäköisyys on nyt noin 0.03 (esimerkki lähteestä [5]). pienempi kuin f, kun 0 < f < /2. Kuitenkin tiedonsiirtonopeus on vain /3 alkuperäisestä, R = 3 (Rate) (bittiä/kanavan käyttö). Jos esimerkiksi kiintolevyn nopeus on Gbit/s, on se toistokoodin R 3 jälkeen Gbit/s. 3 Tarkastellaan sitten yleistä toistokoodia R m, missä m = 2n + on pariton. Olkoon kanava binäärinen symmetrinen kanava, 0 < f < /2, ja oletetaan, että bitit siirtyvät kanavan läpi toisistaan riippumatta. Kooderi on nyt siis s 0 t kooderi 00 0 } {{ } 2n+

17 Olkoon p b = P{ virhe bitissä } = P{ vähintään n + koodibittiä vaihtuu kanavassa }. Vaihtuvien bittien lukumäärään jakauma on silloin Bin(2n +, f), jolloin siis ( ) 2n + P{ k bittiä vaihtuu } = f k ( f) 2n+ k k ja siten p b = 2n+ k=n+ ( ) 2n + f k ( f) 2n+ k. k Olkoon S 2n+ vaihtuvien bittien lukumäärä. Silloin heikon suurten lukujen lain (ns. Bernoullin lause) mukaan S 2n+ 2n + f stokastisesti, eli kaikilla ε > 0, { } lim P S 2n+ n 2n + f ε = 0. Bernoullin lauseen sisältöhän on se, että toistokokeessa esiintyvän tapahtuman suhteellinen esiintymisfrekvenssi lähenee tapahtuman todennäköisyyttä toistokokeiden määrän kasvaessa. Nyt { S2n+ p b = P {S 2n+ n + } = P 2n + n + } 2n + { S2n+ = P 2n + f + n + } 2n + f. Tässä n + 2n + f n 2 f > 0. Siis: jos 0 < ε < n+ f ja n on niin suuri, että f > ε, pätee heikon 2 2n+ suurten lukujen lain mukaan { } { } S2n+ p b P 2n + f + ε S 2n+ P 2n + f ε 0, 2

18 Kuva.7: Bittivirheen p b riippuvuus tiedonsiirtonopeudesta R eräille toistokoodeille binäärinessä symmetrisessä kanavassa kohinatasolla f = 0.. Oikean puoleisessa paneelissa on logaritminen skaala (kuva lähteestä [5]). kun n. Siten bittivirhe p b saadaan mielivaltaisen pieneksi, kun n eli m toistokoodissa R m. Mutta samalla tiedonsiirtonopeudelle saadaan R = 0, 2n + kun n. Siksi p b 0 vain, jos samalla R 0. Kuvassa.7 on esitetty bittivirheen p b riippuvuus tiedonsiirtonopeudesta R eräille toistokoodeille..2.3 Virheenpaljastavat ja -korjaavat koodit Parempiin koodeihin päästään koodaamalla yksittäisten bittien sijaan kokonaisia bittilohkoja. Yksinkertainen virheenpaljastava koodi saadaan lisäämäl- 3

19 lä lohkoon pariteetin tarkastusbitti. Lohkon s...s n pariteetti on n s i mod 2 eli 0, jos ykkösien lukumäärä on parillinen pariteetti =, jos ykkösien lukumäärä on pariton. Esimerkki.2. Tarkastellaan seuraavia tapauksia: 000 pariteetti (pariton) 0000 pariteetti 0 (parillinen) Koodaus tapahtuu seuraavasti: s t Lopputuloksen pariteetti on aina 0. Nyt pystytään havaitsemaan, jos kanavassa on tapahtunut pariton määrä virheitä. Esimerkki.3. Jos r = 0000, tiedetään, että virhe tai virheitä on tapahtunut, mutta ei tiedetä missä. Hammingin koodi pystyy korjaamaan yhden virheellisen bitin. Hammingin (7, 4)-koodi on: 4

20 Kuva.8: Hammingin (7,4)-koodi. s t(s) r s s 2 s 3 s 4 kooderi t t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 kanava r r 2 r 3 r 4 r 5 r 6 r 7 Tässä t i = s i, kun i =, 2, 3, 4, t 5, t 6, t 7 asetetaan siten, että lohkoilla s s 2 s 3 t 5, s 2 s 3 s 4 t 6 ja s s 3 s 4 t 7 on parillinen pariteetti. Saadaan 2 4 = 6 koodisanaa, joiden pituus on seitsemän. Esimerkiksi Koodi on esitetty kuvassa.8. Tässä koodissa koodisanat eroavat vähintään kolmessa bitissä. Mikä mahtaa olla optimaalinen dekooderi? Tämän selvittämiseksi lasketaan t:n ja r:n Hammingin etäisyys, d H (t,r) = 7 t i r i = {i t i r i }, Missä { } tarkoittaa joukon alkioiden lukumäärää. Kun kyseessä on binäärinen symmetrinen kanava, jolle 0 < f < /2 ja kaikki viestit s {0, } 4 ovat yhtä todennäköisiä, optimaalinen dekooderi on valita sellainen ŝ, että d H (t(ŝ),r) = min s {0,} 4 d H (t(s),r). 5

21 Kuva.9: Hammingin (7,4)-koodin käyttö binäärisessä symmetrisessä kanavassa, jonka kohinataso on f = 0.. Bittivirhe p b on nyt noin 0.07 (esimerkki lähteestä [5]). (Optimaalisuuden todistus on harjoitustehtävänä). Koodisanojen t(s) etäisyydet 3, joten yhden bitin virhe korjaantuu! Käytännössä dekoodausta ei tarvitse tehdä minimoimalla Hammingin etäisyyttä, vaan laskennallisesti tehokkaampikin tapa löytyy (lineaarialgebra kunnassa Z 2 :ssa, koodausteoria,...). Nyt P{ virhe } = P{ŝ s} ja bittivirheen todennäköisyys määritellään kaavalla p b = 4 4 P {ŝ i s i }, missä s = s s 2 s 3 s 4 ja ŝ = ŝ ŝ 2 ŝ 3 ŝ 4. Kuvassa.9 on esimerkki Hammingin (7,4)-koodin käytöstä binäärisessä symmetrisessä kanavassa, jonka kohinataso on f = 0.. On helppo nähdä, että binäärisessä symmetrisessä kanavassa P{ŝ s} = O(f 2 ) eli samaa suuruusluokkaa kuin toistokoodissa R 3 (vrt. harjoitustehtävät). Mutta nopeus on nyt parempi: R = 4 7 > 3. 6

22 Kuva.0: Bittivirheen p b riippuvuus tiedonsiirtonopeudesta R eräille toistokoodeille, Hammingin (7,4)-koodille ja BCH-koodeille (Bose-Chaudhuri- Hocquenhem). Kyseessä on binäärinen symmetrinen kanava kohinatasolla f = 0.. Oikean puoleisessa paneelissa on logaritminen skaala (kuva lähteestä [5]). Kuvasssa.0 on vielä lisää esimerkkejä eri koodien suorituskyvystä. Kuitenkin tiedonsiirron nopeus edelleen näyttää melko huonolta! Voidaankin kysyä, että mitkä (R, p b )-yhdistelmät ovat ylipäänsä (edes periaatteessa) mahdollisia? Ennen vuotta 948 uskottiin tilanteen olevan kuvan. kaltainen, eli virheetön tiedon siirto ei ole mahdollista. Shannon osoitti kuitenkin vuonna 948 tilanteen olevankin itse asiassa kuvan.2 kaltainen. Tässä kuvassa C on kanavan kapasiteetti. Kun R < C, on siis mahdollista saavuttaa mielivaltaisen pieni bittivirhe p b. Tilannetta on vielä havainnollisettu eräiden konkreettisten koodien osalta kuvassa.3. Shannonin keskeinen tulos vuodelta 948 on Informaatioteorian peruslause. Tämä lause kertoo tiedonsiirron mahdollisuudet (R < C) ja rajat (R > C) ja se motivoi seuraavien vuosikymmenien koodausteorian kehitystä. Voidaan väittää, että informaatioteoria itse asiassa rakentuu tämän lauseen ja sen seurausten ympärille. 7

23 p b mahdollista ei mahdollista Kuva.: Käsitys bittivirheen p b ja tiedosiirtonopeuden R riippuvuudesta ennen Shannonin teoriaa. R p b mahdollista ei mahdollista C R Kuva.2: Bittivirheen p b ja tiedonsiirtonopeudenr riippuvuus Shannonin teorian mukaan. Tässä C on kanavan kapasiteetti. 8

24 Kuva.3: Shannonin teorian antama raja bittivirheen ja tiedonsiirtonopeuden mahdollisille yhdistelmille (yhteinäinen käyrä) ja eräiden koodien suorituskyky binääriselle symmetriselle kanavalle kohinatasolla f = 0.. Oikean puoleisessa paneelissa on logaritminen skaala (kuva lähteestä [5]). 9

25 Luku 2 Informaatio ja sen mittaaminen 2. Tapahtuman sisältämä informaatio Perusidea tapahtuman sisältämän informaatioon määrittelemisessä on, että epävarma tai odottamaton tapahtuma on informatiivinen. Tapahtuman epävarmuutta mitataan poistuneella epävarmuudella, kun tapahtuman tiedetään sattuneen. Kun epävarma tapahtuma sattuu, siihen liittynyt suuri epävarmuus poistuu ja näin on saatu paljon informaatiota. Jos taas melko varma tapahtuma sattuu, vain vähän epävarmuutta poistuu ja näin on saatu vain vähän informaatiota. Esimerkki 2.. Tarkastellaan 00 palloa, jotka on numeroitu,2,...,00. Pallot,...,0 ovat valkoisia ja pallot,...,00 ovat mustia. Nostetaan yksi pallo umpimähkään. Olkoon A = valkoinen ja B = musta, jolloin P(A) = 0 ja P(B) = 9 0. Jos tapahtuma A sattuu, tiedetään, että kyseessä on pallo,...,0. Jos taas 20

26 tapahtuma B sattuu, tiedetään, että kyseessä on pallo,...,00. Selvästi tapahtuma A vähentää epävarmuutta enemmän kuin tapahtuma B, eli tapahtuma A on informatiivisempi. Tapahtuman A jälkeen tiedetään siis enemmän kuin tapahtuman B jälkeen. Tapahtuma A on epävarmempi, sillä P(A) < P(B). Miten mitata jonkun tapahtuman epävarmuutta tai informatiivisuutta täsmällisesti? Epävarmuus selvästi liittyy tapahtuman todennäköisyyteen. Olkoon siis A tapahtuma ja P(A) = p > 0. Pyritään määrittelemään sellainen funktio h, että h(p) = tapahtuman A epävarmuus, informaatiosisältö. Olkoon A B (riippumattomat), P(A) = p ja P(B) = p 2. Silloin P{ A ja B } = P(A B) = P(A)P(B) = p p 2, joten leikkauksen A ja B epävarmuus on h(p p 2 ). Luonteva vaatimus tällöin on, että h(p p 2 ) h(p ) = h(p 2 ). Toinen luonteva vaatimus on, että p h(p) on aidosti vähenevä ja jatkuva. Lause 2.. Olkoon h : ]0, ] R ja (i) h(p p 2 ) = h(p ) + h(p 2 ), p, p 2 ]0, ], (ii) h on aidosti vähenevä ja jatkuva. Silloin h(p) = C log b p, missä b > ja C > 0 riippuu vakiosta b. Huomautus. p C log b p selvästi toteuttaa ehdot (i) ja (ii). 2

27 Todistus. Olkoon ( g(n) = h, n N +. n) Ehdon (i) nojalla h ( ) ( = h nm n ) = h m ( ) ( ) + h n m eli g(nm) = g(n) + g(m), n, m N +. (2.) Oletetaan, että n < m. Ehdon (ii) nojalla saadaan g(n) < g(m), n, m N +. Osoitetaan, että g(n) = C log b n, (2.2) jollain C > 0 ja b >. Osoitetaan ensin induktiolla, että g(n k ) = k g(n), n, k N +. (2.3) Väite on selvä, kun k =. Oletetaan, että väite pätee arvolla k. Silloin g(n k+ ) = g(n n k ) (2.) = g(n) + g(n k ) ind.ol = g(n) + kg(n) = (k + )g(n). Edelleen, joten g() = g( ) = g() + g(), g() = 0. (2.4) Olkoon n N, n >, kiinteä ja r N +. Valitaan (ks. kuva 2.) sellainen k = k(r) N, että n k 2 r < n k+. (2.5) 22

28 PSfrag 2 r n n 2 n k n k+ Kuva 2.: Indeksin k valinta lauseen 2. todistuksessa. log b 2 log b n g(2) g(n) k r r k+ r Kuva 2.2: Lauseen 2. todistuksen havainnollistus. Nyt g on aidosti kasvava, joten Tuloksen (2.3) nojalla saadaan eli g(n k ) g(2 r ) < g(n k+ ). kg(n) rg(2) < (k + )g(n), k r g(2) g(n) < k +. (2.6) r Huomaa, että g on aidosti kasvava, joten g(n) > g() = 0. Edelleen b >, joten log b on aidosti kasvava. Kaavasta (2.5) saadaan siten josta edelleen k log b n r log b 2 < (k + ) log b n, k r log b 2 log b n < k +. r Huomioidaan tulos (2.6), jolloin (ks. kuva 2.2) log b 2 log b n g(2) g(n) < r. Luku r on mielivaltainen, joten 23

29 eli log b 2 log b n = g(2) g(n), g(n) = g(2) log b 2 log b n, mikä pätee myös, kun n =. Siten ehdossa (2.2) voidaan ottaa C = g(2) log b 2. Olkoon sitten p = r Q, r, s > 0. Nyt s ( ) ( r h = h s s ) r josta edelleen saadaan ( r h = h s) ( ) h s ( (i) r = h + h s) ( ), r ( ) = g(s) g(r) r = C log b s C log b r = C log b r s. (2.7) Lauseen väite pätee siis rationaalisilla p. Lauseen väite mielevaltaiselle p ]0, ] seuraa nyt funktioiden h ja log b jatkuvuudesta: kun p k p, p k ]0, ] Q, saadaan h(p) = lim h(p k ) (2.7) = lim [ C log b p k ] = C log b p. k k Jatkossa otetaan b = 2 ja merkitään log 2 = log. Tämä valinta vaikuttaa vain vakioon C, koska jos a, b >, niin log a p = log a b log b p. Otamme myös jatkossa C =, mikä vaikuttaa vain mitta-asteikkoon. Kun p =, niin h(p) = C log = C log 2 = C. Näin valinta C = tarkoittaa, 2 2 että symmetrisen lantin heiton antama informaatio on yksikköä. Näin tapahtuman A, P(A) = p > 0, epävarmuus tai informaatiosisältö määritellään kaavalla h(p) = log p. Epävarmuuden tai informaatiosisällön yksikkö on bitti. 24

30 2.2 Satunnaismuuttujat ja informaatio Olkoon (Ω, F, P) todennäköisyysavaruus. Siis, Ω on alkeistapausten joukko eli perusjoukko F on tapahtumien joukko (Ω:n osajoukkojen σ-algebra) P on todennäköisyys eli P on kuvaus F [0, ] Esimerkki 2.2. Tarkastellaan nopan heittoa. Alkeistapausten joukko on nyt Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6} ja tapausten joukkona F on Ω:n kaikki osajoukot. Kun A Ω, määritellään P(A) = A 6, missä A =joukon A alkioiden lukumäärä. Jatkossa käsitellään satunnaismuuttujia (sm), joiden arvojoukko on äärellinen, eli satunnaismuuttujat voivat saada vain äärellisen monta eri arvoa. Tällainen satunnaismuuttuja on kuvaus X : Ω X, missä X on äärellinen joukko ja X:lle pätee {X = x} = {ω Ω X(ω) = x} F kaikilla x X. Merkitään p(x) = P{X = x}, x X, missä p(x):t ovat satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyyksiä. Merkitsemme tavallisesti myös p(x):llä itse pistetodennäköisyysfunktiota (ptnf) p : X [0, ]. Myös merkintää X p(x) käytetään toisinaan. 25

31 Edelleen, jos Y : Ω Y on toinen satunnaismuuttja, merkitään tavallisesti p(y):llä satunnaismuuttujan Y pistetodennäköisyysfunktiota. Tässä hieman huolimattomassa merkintätavassa siis vain argumentin nimi (x tai y) kertoo sen, että kyseessä on yleensä eri funktiot p(x) ja p(y). X voi periaatteessa olla mikä äärellinen joukko hyvänsä: {0, }, {a, b, c, d}, {,, }. Toisaalta, nimeämällä alkiot uudestaan, voitaisiin yhtä hyvin olettaa, että X = {,...,m}, jos X = m. Kuvassa 2.3 on erään Linux-oppaan perusteella laadittu taulukko englannin kielen kirjainten esiintymistodennäköisyyksistä. Nämä ovat siis sellaisen satunnaismuuttujan arvojen todennäköisyydet, joka kuvaa umpimähkään valittua kirjainta kyseisestä oppaasta. Tapahtuman {X = x} epävarmuus tai informaatiosisältö on edellisen luvun mukaan log ( P{X = x} ) = log p(x). Määritelmä 2.2. Satunnaimuuttujan X entropia on H(X) = p(x) log p(x). x X Huomautus. Sovitaan, että 0 log 0 = 0 (koska lim t log t = 0). t 0 + Huomautus. H(X) on itseasiassa odotusarvo H(X) = E log p(x) = E ( log p(x) ). Tässä log p(x) on satunnaismuuttuja ω log p ( X(ω) ) = log ( P{X = X(ω)} ). Siten H(X) on satunnaismuuttujan X arvojen keskimääräinen epävarmuus tai informaatiosisältö. 26

32 Kuva 2.3: Eräs arvio englannin kielen kirjainten esiintymistodennäköisyyksistä. Oikean puoleinen sarake havainnollistaa todennäköisyyksiä vielä graafisesti (esimerkki lähteestä [5]) 27

33 Huomautus. Vain todennäköisyydet p(x) ovat tässä tärkeitä ja satunnaismuuttujan X varsinaiset arvot ovat täysin epäoleellisia. Huomautus. Vaikka funktion h(p) ja sitä kautta entropian H(X) määritelmä pyrittiin perustelemaan intuitiivisesti, on asetettujen määritelmien todellinen motivaatio se, että ne johtavat hyvään ja hyödylliseen tiedonsiirron teoriaan, jota voi menestyksellä soveltaa mm. koodien konstruktioon. Lause 2.3. H(X) 0 ja H(X) = 0 jos ja vain jos X on vakio (todennäköisyydellä ). Todistus. Kaikilla x X on 0 p(x), joten p(x) log p(x) 0. Siten H(X) = p(x) log p(x) 0. x X Edelleen, jos H(X) = 0 on p(x) log p(x) = 0 kaikilla x X, eli p(x) = 0 tai kaikilla x X. Mutta p(x) =, joten tällöin p(x) = täsmälleen yhdellä x X x X, jolle siis pätee p(x) = P{X = x} =. Kääntäen, jos X on vakio (todennäköisyydellä ), on yksi luvuista p(x) arvoltaan ja muut 0, jolloin H(X) = 0. Siis: Satunnaismuuttujassa X ei ole epävarmuutta H(X) = 0 X on vakio. Esimerkki 2.3. Olkoon X = {0, },, todennäköisyydellä p X = 0, todennäköisyydellä p. Silloin H(X) = p log p ( p) log( p) H(p). Kuvassa 2.4 on esitetty tämän funktion kuvaaja. Havaitaan, että kun p = 0 tai p =, ei satunnaismuuttujassa X ole lainkaan epävarmuutta: H(0) = H() = 0. Tällöin X on vakio (todennäköisyydellä 28

34 H(p) p Kuva 2.4: Funktio H(p). ). Suurin epävarmuus saadaan arvolla p = /2, jolloin H(/2) =. Tämä vastaa symmetrisen lantin heittoa. Saatu informaation heiton tuloksesta on bitti. Jos X = m ja p,...,p m ovat arvojen x X todennäköisyydet, merkitään jatkossa joskus myös H(X) = H(p,...,p m ). Entropian voi ajatella liittyvän myös satunnaismuuttujan X arvon määräämiseen binäärisillä ei/kyllä vastauksilla. Esimerkki 2.4. X saa arvot a, b, c, d ja e todennäköisyyksillä 0.3, 0.2, 0.2, 0.5 ja 0.5. Kuvassa 2.5 on X:ää vastaava binääripuu, missä ei = 0 ja kyllä =. 29

35 X = a tai b? 0 X = c? X = a? 0 0 X = d? 0 c b a e d Kuva 2.5: Satunnaismuuttujaa X vastaava binääripuu. Keskimääräinen kysymysten lukumäärä X:n arvo selvittämisesksi on = 2.3. Binääripuusta saadaan koodaus a b 0 c 0 d 00 e 000 Keskimääräinen koodin pituus L = 2.3 bittiä, sama kuin keskimääräinen kysymysten lukumäärä. Toisaalta, H(X) = 0.3 log log log log log

36 Ei ole itse asiassa sattumaa, että L = H(X) + ε, missä ε > 0. Myöhemmin tullaan osoittamaan, että tietyn tyyppisten binääristen koodien joukossa keskimäärin lyhimmälle koodille pätee H(X) L < H(X) +. Edelleen, koodaamalla jonoja (x,..., x n ), x i {a, b, c, d, e} yksittäisten alkioiden sijaan saadaan tietyissä tilanteissa keskimäärin lyhimmälle koodille L, että H(X) L n < H(X) + n, eli optimikoodin keskimääräinen pituus per symboli H(X). Näin olemme saaneet entropialle toisen tulkinnan: H(X) =keskimäärin pienin binääristen kysymysten lukumäärä satunnaismuuttujan X arvon selvittämiseksi. Tarkastellaan sitten satunnaismuuttajaparia (X, Y ). Satunnaismuuttujan X arvojoukko on X ja satunnaismuuttujan Y arvojoukko on Y. Parin (X, Y ) arvojoukko on siten X Y (myös äärellinen). Pistetodennäköisyydet ovat p(x, y) = P{X = x ja Y = y} ja merkitsemme (X, Y ) p(x, y). Kuvassa 2.6 on samasta tekstiaineistosta kuin kuvassa 2.3 lasketut kirjainparien pistetodennäköisyydet graafisesti havainnollistettuna. Määritelmä 2.4. Parin (X, Y ) yhteisentropia on satunnaismuuttujan (X, Y ) entropia, H(X, Y ) = p(x, y) log p(x, y). x X y Y Huomautus. Siis H(X, Y ) = E log p(x, Y ). Määritelmä 2.5. Satunnaismuuttujan Y entropia ehdolla X = x on H(Y X = x) = p(y x) log p(y x). y Y 3

Informaatioteoria. Lasse Holmström Sovelletun matematiikan ja tilastotieteen yksikkö Oulun yliopisto. Kevät 2016. 1 f f. f 1 1 1 f

Informaatioteoria. Lasse Holmström Sovelletun matematiikan ja tilastotieteen yksikkö Oulun yliopisto. Kevät 2016. 1 f f. f 1 1 1 f Informaatioteoria Lasse Holmström Sovelletun matematiikan ja tilastotieteen yksikkö Oulun yliopisto Kevät 206 0 f f 0 X Y f f Sisältö Johdanto. Historiaa................................ Informaatioteorian

Lisätiedot

Shannonin ensimmäinen lause

Shannonin ensimmäinen lause Shannonin ensimmäinen lause Pro gradu Maija-Liisa Metso Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2014 Sisältö Tiivistelmä 2 1 Johdanto informaatioteoriaan 2 1.1 Informaatioteorian historiaa...................

Lisätiedot

Ongelma 1: Onko datassa tai informaatiossa päällekkäisyyttä?

Ongelma 1: Onko datassa tai informaatiossa päällekkäisyyttä? Ongelma 1: Onko datassa tai informaatiossa päällekkäisyyttä? 2012-2013 Lasse Lensu 2 Ongelma 2: Voidaanko dataa tai informaatiota tallettaa tiiviimpään tilaan koodaamalla se uudelleen? 2012-2013 Lasse

Lisätiedot

Viivakoodin viiteopas

Viivakoodin viiteopas Viivakoodin viiteopas Versio 0 FIN 1 Johdanto 1 Yleiskuvaus 1 1 Tämä opas sisältää tietoja viivakooditulostuksesta, joka toimii suoraan Brotherin tulostimeen lähetettyjen komentojen avulla. Yhteensopivat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos... 2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

Luku- ja merkkikoodit. Digitaalitekniikan matematiikka Luku 12 Sivu 1 (15)

Luku- ja merkkikoodit. Digitaalitekniikan matematiikka Luku 12 Sivu 1 (15) Digitaalitekniikan matematiikka Luku 12 Sivu 1 (15) A = a = i i w i Digitaalitekniikan matematiikka Luku 12 Sivu 2 (15) Johdanto Tässä luvussa esitetään kymmenjärjestelmän lukujen eli BCD-lukujen esitystapoja

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain

Lisätiedot

LÄHTEENKOODAUS. Mikä on lähteenkoodauksen perusidea? A Tietoliikennetekniikka II Osa 20 Kari Kärkkäinen Syksy 2015

LÄHTEENKOODAUS. Mikä on lähteenkoodauksen perusidea? A Tietoliikennetekniikka II Osa 20 Kari Kärkkäinen Syksy 2015 1 LÄHTEENKOODAUS Mikä on lähteenkoodauksen perusidea? LÄHTEENKOODAUKSEN IDEA 2 Lähteen symbolien keskimääräinen informaatio (keskimääräinen epävarmuus) määritellään entropian H(X) avulla, ja se on symbolien

Lisätiedot

Digitaalitekniikan matematiikka Luku 13 Sivu 1 (10) Virheen havaitseminen ja korjaus

Digitaalitekniikan matematiikka Luku 13 Sivu 1 (10) Virheen havaitseminen ja korjaus Digitaalitekniikan matematiikka Luku 13 Sivu 1 (10) Digitaalitekniikan matematiikka Luku 13 Sivu 2 (10) Johdanto Tässä luvussa esitetään virheen havaitsevien ja korjaavien koodaustapojen perusteet ja käyttösovelluksia

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Y ja

Y ja 1 Funktiot ja raja-arvot Y100 27.10.2008 ja 29.10.2008 Aki Hagelin aki.hagelin@helsinki.fi Department of Psychology / Cognitive Science University of Helsinki 2 Funktiot (Lue Häsä & Kortesharju sivut 4-9)

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen

Lisätiedot

Todennäköisyys (englanniksi probability)

Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyyslaskenta sai alkunsa 1600-luvulla uhkapeleistä Ranskassa (Pascal, Fermat). Nykyisin todennäköisyyslaskentaa käytetään hyväksi mm. vakuutustoiminnassa,

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

Kvanttimekaniikan tulkinta

Kvanttimekaniikan tulkinta Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q acc, q rej )

M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q acc, q rej ) 6. LASKETTAVUUSTEORIAA Churchin Turingin teesi: Mielivaltainen (riittävän vahva) laskulaite Turingin kone. Laskettavuusteoria: Tarkastellaan mitä Turingin koneilla voi ja erityisesti mitä ei voi laskea.

Lisätiedot

Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.

Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C. Luku 1 Johdatteleva esimerkki Herra K. tarjoaa osto-option Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.

Lisätiedot

Nimittäin, koska s k x a r mod (p 1), saadaan Fermat n pienen lauseen avulla

Nimittäin, koska s k x a r mod (p 1), saadaan Fermat n pienen lauseen avulla 6. Digitaalinen allekirjoitus Digitaalinen allekirjoitus palvelee samaa tarkoitusta kuin perinteinen käsin kirjotettu allekirjoitus, t.s. Liisa allekirjoittaessaan Pentille lähettämän viestin, hän antaa

Lisätiedot

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma 9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma Kahta joukkoa sanotaan erillisiksi, jos niillä ei ole yhtään yhteistä alkiota. Jos pysytellään edelleen korttipakassa, niin voidaan ilman muuta sanoa, että

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1

Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 2 Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1. JOHDANTO 1.1 Määritelmiä

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op)

031021P Tilastomatematiikka (5 op) 031021P Tilastomatematiikka (5 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Yleinen todennäköisyys Kertausmateriaalissa esiteltiin koulusta tuttuja todennäköisyysmalleja. Tällä kurssilla todennäköisyys on

Lisätiedot

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta Tuloperiaate Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta ja 1. vaiheessa valinta voidaan tehdä n 1 tavalla,. vaiheessa valinta voidaan tehdä n tavalla,

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

2. laskuharjoituskierros, vko 5, ratkaisut

2. laskuharjoituskierros, vko 5, ratkaisut 2. laskuharjoituskierros, vko, ratkaisut Aiheet: Klassinen todennäköisyys, kombinatoriikka, kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava D1. Eräässä maassa autojen rekisterikilpien tunnukset ovat muotoa XXXXNN,

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat: Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]

Lisätiedot

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teemassa 6 tutustuttiin todennäköisyyden ja satunnaisuuden käsitteisiin sekä todennäköisyyslaskennan perusteisiin. Seuraavaksi tätä aihepiiriä syvennetään perehtymällä

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2014-2015, Harjoitus 7, ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2014-2015, Harjoitus 7, ratkaisu 832A Tietorakenteet ja algoritmit, 204-205, Harjoitus 7, ratkaisu Hajota ja hallitse-menetelmä: Tehtävä 7.. Muodosta hajota ja hallitse-menetelmää käyttäen algoritmi TULOSTA_PUU_LASKEVA, joka tulostaa

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari Korhonen

Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari 1 1. JOHDANTO 1.1 Määritelmiä 1.2 Tietorakenteen ja algoritmin valinta 1.3 Algoritmit ja tiedon määrä 1.4 Tietorakenteet ja toiminnot 1.5 Esimerkki:

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten Todennäköisyys Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten tietoliikennejärjestelmien ymmärtämisessä

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

Kappale 20: Kantaluvut

Kappale 20: Kantaluvut Kappale 20: Kantaluvut 20 Johdanto: Kantaluvut... 328 Kantalukujen syöttäminen ja muuntaminen... 329 Matemaattiset toiminnot Hex- ja Bin-luvuilla... 330 Bittien vertaileminen ja manipulointi... 331 Huom!

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

Ongelma(t): Miten digitaalista tietoa voidaan toisintaa ja visualisoida? Miten monimutkaista tietoa voidaan toisintaa ja visualisoida?

Ongelma(t): Miten digitaalista tietoa voidaan toisintaa ja visualisoida? Miten monimutkaista tietoa voidaan toisintaa ja visualisoida? Ongelma(t): Miten digitaalista tietoa voidaan toisintaa ja visualisoida? Miten monimutkaista tietoa voidaan toisintaa ja visualisoida? 2 Tieto on koodattu aikaisempaa yleisemmin digitaaliseen muotoon,

Lisätiedot

Littlen tulos. Littlen lause sanoo. N = λ T. Lause on hyvin käyttökelpoinen yleisyytensä vuoksi

Littlen tulos. Littlen lause sanoo. N = λ T. Lause on hyvin käyttökelpoinen yleisyytensä vuoksi J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Littlen tulos 1 Littlen tulos Littlen lause Littlen tuloksena tai Littlen lauseena tunnettu tulos on hyvin yksinkertainen relaatio järjestelmään tulevan asiakasvirran, keskimäärin

Lisätiedot

Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa Linkkikeskukset ja auktoriteetit (hubs and authorities) -algoritmi

Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa Linkkikeskukset ja auktoriteetit (hubs and authorities) -algoritmi Kurssin loppuosa Diskreettejä menetelmiä laajojen 0-1 datajoukkojen analyysiin Kattavat joukot ja niiden etsintä tasoittaisella algoritmilla Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa

Lisätiedot

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita

Lisätiedot

STOKASTISET PROSESSIT Peruskäsitteitä

STOKASTISET PROSESSIT Peruskäsitteitä J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Stokastiset prosessit 1 STOKASTISET PROSESSIT Peruskäsitteitä Usein tarkasteltava järjestelmä kehittyy ajan mukana ja meitä kiinnostaa sen dynaaminen, yleensä satunnaisuutta

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

Calkinin-Wiln jono 1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2... 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3... 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4... 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5...

Calkinin-Wiln jono 1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2... 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3... 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4... 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5... Calkinin-Wiln jono Funktio f : X Y on bijektio, jos sillä on käänteisfunktio f : Y X. Joukko X on äärellinen, jos se on thjä tai jos on olemassa bijektio f : X {,,,..., n}. Joukko X on numeroituva, jos

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

n! k!(n k)! n = Binomikerroin voidaan laskea pelkästään yhteenlaskun avulla käyttäen allaolevia ns. palautuskaavoja.

n! k!(n k)! n = Binomikerroin voidaan laskea pelkästään yhteenlaskun avulla käyttäen allaolevia ns. palautuskaavoja. IsoInt Tietokoneiden muisti koostuu yksittäisistä muistisanoista, jotka nykyaikaisissa koneissa ovat 64 bitin pituisia. Muistisanan koko asettaa teknisen rajoituksen sille, kuinka suuria lukuja tietokone

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Perinnöllinen informaatio ja geneettinen koodi.

Perinnöllinen informaatio ja geneettinen koodi. Tehtävä A1 Kirjoita essee aiheesta: Perinnöllinen informaatio ja geneettinen koodi. Vastaa esseemuotoisesti, älä käytä ranskalaisia viivoja. Piirroksia voi käyttää. Vastauksessa luetaan ansioksi selkeä

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarno Haapaniemi. Youngin taulut

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarno Haapaniemi. Youngin taulut TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jarno Haapaniemi Youngin taulut Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2011 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö HAAPANIEMI, JARNO: Youngin

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot