IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 1 INTEGROINNIN SOVELLUKSIA TIEDONSIIRTOTEKNIIKASSA Taustaa IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 2 Jukka Talvitie, Toni Levanen & Mikko Valkama TTY / Tietoliikennetekniikka jukka.talvitie@tut.fi, toni.levanen@tut.fi, mikko.e.valkama@tut.fi Tässä oleva esitys pohjautuu mm. ao. kurssien sisältöön: TLT-5400 Digitaalinen siirtotekniikka TLT-5906 Digitaalisen siirtotekniikan jatkokurssi Tarkoituksena on antaa esimerkkejä integraalifunktioiden merkityksestä modernissa tietoliikennetekniikassa. Integraalilaskennan merkitys tietoliikennetekniikalle on merkittävä. Vaikka modernit tietoliikennejärjestelmät tukeutuvatkin pääosin diskreettiä informaatiota kuljettavaan digitaalitekniikkaan, itse tiedonsiirtoon käytetyt signaalit ovat yhä jatkuva-aikaisia. Langattomassa tietoliikenteessä tällaiset tiedonsiirtosignaalit ovat tunnetusti sähkömagneettisia (radio)aaltoja. Huomaa, että puhtaasti diskreetin signaalin luominen on fysiikan lakien mukaan mahdotonta, sillä se vaatii äärettömän nopeita muutoksia signaalin vasteessa. Tämän vuoksi digitaalisessa siirtotekniikassa pyritäänkin vain muokkaamaan/painottamaan tiettyä jatkuva-aikaista aaltomuotoa etukäteen määritetyillä, siirrettävistä biteistä johdetuilla, diskreeteillä arvoilla (symboli). Jatkuva-aikaisuudesta johtuen tiedonsiirtojärjestelmää joudutaan mallintamaan integraalien avulla. Eräitä yleisiä tietoliikennetekniikassa esiintyviä integraalifunktioita ovat konvoluutio, Fourier-muunnos ja korrelaatio. Näistä konvoluutio toimii perustana kaikkien lineaaristen järjestelmien vasteanalyysissä, Fourier-muunnos mahdollistaa signaalin tarkastelun taajuustasossa ja korrelaatio mittaa kahden vertailtavan signaalien samankaltaisuutta. Yleisesti ottaen saattaa vaikuttaa, että näiden integraalien merkitys jää pelkästään teorian tasolle. Tämä intuitio on kuitenkin kauttaaltaan väärä. Kaikki mainitut integraalifunktiot toimivat tärkeässä osassa moderneissa tietoliikennejärjestelmissä ja luovat perustan niiden toiminnalle ja analyysille. Esimerkiksi korrelaatio on erittäin olennaisessa osassa GPS-paikannuksessa, 3-3.5Gmatkapuhelinverkoissa sekä erilaisissa militäärisovelluksissa (kts. kurssi Spread Spectrum Techniques TLT-5606). Fourier-muunnosta taas voi käyttää puhtaan taajuustason analyysin sijasta myös esimerkiksi vähentämään tarvittavien laskutoimitusten määrää. Monessa tapauksessa laskutoimituksen tekeminen taajuustasossa voi olla merkittävästi yksinkertaisempaa kuin aikatasossa.
Fourier-muunnos IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 3 1800-luvun alussa ranskalainen matemaatikko ja fyysikko Joseph Fourier (1768-1830) tutki niin kutsuttua lämmönsiirtymisilmiötä. Tutkimuksen keskipisteenä oli kappaleen lämpöjakaumaa kuvaava lämpöyhtälö. Tähän osittaisdifferentiaaliyhtälöön ei ennen Fourierin panosta ollut löydetty yleistä ratkaisua. Erikoisratkaisuja oli kyllä esitetty mutta vain tapauksille, joissa lämmönlähde toimi tietyllä tavalla tuottaen tarkalleen sinimuotoista aaltoa. Fourierin ydinideana oli tällöin jakaa lämmönlähteen monimutkainen malli (funktio) yksinkertaisten sini- ja kosinifunktioiden summaksi. Näin ollen myös yhtälön yleinen ratkaisu saataisiin näiden sinifunktioiden tuottamien erikoisratkaisujen summana. Kyseinen Fourierin kehittämä sinifunktioiden summa tunnetaan nykyään yleisesti nimellä Fourier-sarja. Vaikka Fourierin julkaisu ( Théorie analytique de la chaleur, v. 1822, kts. esim. Google books) ei alun perin ollutkaan täysin matemaattisesti täsmällinen, sen merkitys tiedeyhteisölle oli mullistava. Ratkoessaan kyseistä lämmönsiirtymisongelmaa, Fourier avasi ovet lukemattomien eri tieteenhaarojen uudenlaiseen analyysin. Tuskin hän osasi itsekään ennustaa, että tämä kyseinen lämpöyhtälön ratkaisu olisi hyödynnettynä miltei 200 vuotta myöhemmin lähes kaikessa modernissa 2000-luvun kulutuselektroniikassa. Fourier-analyysin laajaalainen suosio perustuukin sen sisältämään taajuustason käsitteeseen, joka on merkittävä työkalu mm. äänen- ja kuvankäsittelyssä, sekä erityisesti tietoliikenteessä, jossa taajuustaso ilmenee myös tärkeänä tiedonsiirtoresurssina. Hyödyntäen Fourier-sarjaa ja tuttua Eulerin kaavaa (e jθ =cos(θ)+jsin(θ)), määritellään Fourier-muunnos (spektri) V(f) funktiolle v(t) seuraavasti: IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 4 taajuuden f funktiona. On myös syytä huomata, että Fourier-muunnos (spektri) on kompleksinen funktio, jossa V(f) on amplitudispektri ja arg(v(f)) on vaihespektri. Usein puhuttaessa pelkästä spektristä, viitataan nimenomaan amplitudispektriin, sillä se ilmaisee tietyllä taajuusalueella sijaitsevan energian määrän. Vaihespektri ei useinkaan ole kovin kiinnostava niillä taajuusalueilla, joilla signaalienergiaa ei esiinny. Jos signaalin spektri V(f) on tiedossa ja halutaan selvittää vastaava aikatason signaali v(t), voidaan käyttää käänteistä Fourier-muunnosta: -1 2 v( t) [ V( f) ] V( f) e j p = F = ft df - Tästä voidaan suoraan päätellä Fourier-muunnoksen yksikäsitteisyys eli, että tietyllä funktiolla v(t) on yksikäsitteinen spektri V(f) ja päinvastoin. Otetaan seuraavaksi tarkasteluun yksinkertainen esimerkkitapaus ja lasketaan suorakaidepulssin v(t) Fourier-muunnos. Pulssi v(t) on määritelty seuraavasti (ks. seuraavat kuvat): ì A t < t /2 vt () = ï í ï 0 t > t /2 ïî Sijoitetaan nyt v(t) suoraan Fourier-muunnoksen määritelmään, jolloin integroimalla saadaan spektri V(f): () F é ë () ù û () -j2pft - V f vt vte dt Vaikka kyseinen muunnoskaava saattaakin vaikuttaa ensikertalaiselle hatusta vedetyltä, sille löytyy varsin intuitiivinen selitys esimerkiksi korrelaation käsitteestä (kts. s.11). Olennaista on kuitenkin ymmärtää, että muunnos V(f) esittää funktion v(t) spektriä (taajuussisältöä)
V( f) = vte () IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 5 -j2pft dt - t /2 t /2 -j2pft é 1 -j2pft ù Ae dt A e ê j2pf -t /2 ë úû- t /2 = = - 1 ( -jpft jpft =-A e -e ) j2pf 1 ( -jpft jpft =-A e -e ) j2pf jz - A At e - e = sin pft = sin pft sin z = pf pft 2j sin() z = Atsinc ft sinc( z) = z Funktio v(t) ja sen periaatteellinen amplitudispektri V(f) on esitetty alla olevassa kuvassa. jz Korrelaatio IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 6 Korrelaation käsitteen avulla voidaan yksinkertaisesti vertailla kahden eri funktion/signaalin samankaltaisuutta. MOT Kielitoimiston sanakirja 2.0:n käännös sanalle korrelaatio: vastaavuus(suhde); mat. kahden suureen välinen riippuvuus Korrelaation käsitettä käytetään lukuisissa eri tietoliikennesovelluksissa, kuten esimerkiksi 3-3.5G-matkapuhelinverkoissa (UMTS+HSPDA). Toisin kuin vanhemmissa 1-2G matkapuhelinstandardeissa (NMT, GSM, kts. esim. aiempi Sitikka-materiaali Lineaarialgebra ja moniantennitekniikat ), joissa eri käyttäjien radiosignaalit lähetetään eri aikaan eri taajuuksilla, 3-3.5G- standardit toimivat asynkronisesti samalla taajuudella. Tämä tarkoittaa periaatteessa sitä, että yksi käyttäjä havaitsee kaikkien käyttäjien signaalit päällekkäin omassa vastaanottimessaan. Jotta eri käyttäjät ja tukiasemat voitaisiin tässä tapauksessa erotella toisistaan, käytetään tietynlaisia ennalta valittuja signaaliin sisällytettyjä käyttäjä- ja tukiasemakohtaisia koodirakenteita. Toisin sanoen, jos esimerkiksi halutaan vastaanottaa dataa jostain tietystä lähteestä, yritetään löytää vastaanotetusta signaalista samankaltaisuutta kyseisen lähteen käyttämän koodirakenteen kanssa (eli koodin korrelaatio vastaanotetun signaalin kanssa). Jos haettu rakenne löytyy, signaali voidaan monen välivaiheen jälkeen lopulta purkaa alkuperäiseksi lähetetyksi dataksi. Korrelaation merkitys on lisäksi erityisen merkittävää GPSpaikannuksessa, sillä satelliitista lähetetyn signaalin ns. korrelaatioominaisuudet määräävät pitkälti järjestelmän paikannustarkkuuden ja - nopeuden. Tähän aiheeseen liittyen annetaan esimerkki hieman myöhemmin, kunhan korrelaation määritelmä on ensin tullut tutuksi. Kuten luvun alussa ollut sanakirjakäännös jo hieman vihjaakin, korrelaatiota käytetään samankaltaisuuden ilmaisemisen lisäksi myös tilastollisen riippuvuuden ilmaisuun. Korrelaatiota riippuvuuden mittarina käytetään esimerkiksi tilastollisissa tutkimuksissa etsimään riippuvuuksia eri muuttujien välille (huom. eri asia kuin syy-seuraus suhde). Tässä esityksessä nojaudutaan kuitenkin tietoliikennetekniikan sovelluksiin, jossa korrelaatiota hyödynnetään enemmän nimenomaan
IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 7 samankaltaisuuden mittarina. Toisaalta, koska korrelaatio on selvästikin mitta-arvo jollain mitta-asteikolla, herää kysymys: Miten tällaista samankaltaisuutta/korrelaatiota voidaan mitata? Millainen on se asteikko, jonka avulla perustellaan kahden signaalin olevan samankaltaisia? Intuitiivinen lähestymistapa yksikäsitteisen korrelaation mitta-asteikon muodostamiseksi liittyy vahvasti signaalin energian käsitteeseen. Signaalin z(t) energia E z voidaan kätevästi määritellä aikaintegraalina (jälleen yksi integraali ), jossa signaalin amplitudin neliö integroidaan koko signaalin ajallisen keston yli: 2 * E z = zt () dt= ztz () () tdt - - Tässä yläindeksi * viittaa kompleksikonjugaattiin. Pyritään seuraavaksi määrittelemään korrelaation käsite tarkastelemalla mielivaltaisia kompleksitason signaaleita v(t) ja w(t). Jos oletetaan, että kyseiset signaalit samankaltaisia, niin silloinhan niiden välisen erotuksen z(t)=v(t)-w(t), tai oikeastaan erotuksen energian, tulisi olla pieni. Käytetään nyt energian määritelmää ja tutkitaan mikä on kyseisen erotussignaalin energian suuruus: energian määritelmä * * * Ez = z( t) z ( tdt ) = év( t) w( t) ùév ( t) w ( t) ù ë - ûë - ûdt - - * * * * = vtv () () t -vtw () () t - wtv () () t + wtw () () tdt - * * * = vtv () () t - v() t w () t - w() t v () t dt + w() t w () t dt - - - E v * é ù = Ev + Ew -2Re v( t) w* ( tdt ) êë- úû E w IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 8 Yhtälön viimeinen rivi pohjautuu tutulle kompleksilukujen laskusäännölle: z+z*=2re[z]. Yhtälöstä nähdään suoraan, että jos viimeisen rivin integraalin arvo on suuri, niin signaaleiden erotuksen energia on pieni ja signaalit ovat täten samankaltaisia (ainakin tässä mielessä). Huomaa myös, että signaalien energioiden arvoilla E v ja E w ei ole samankaltaisuuden osalta merkitystä, sillä ne riippuvat vain signaaleista itsestään. Yritetään nyt siis käyttää kyseistä integraalia samankaltaisuuden mittana ja määritellään (risti)korrelaatio signaalien v(t) ja w(t) välille seuraavasti: Rvw( t) = v( t) w ( t -t) dt - * Huomaa, että korrelaation määritelmä on funktio viiveparametrin τ suhteen. Toisin sanoen, korrelaatio mittaa samankaltaisuutta signaalin v(t) ja signaalin w(t) viivästettyjen versioiden välillä. Tämä on erityisen olennaista monessa tietoliikennesovelluksessa, sillä lähetetyn signaalin vaihetta/viivettä ei aina vastaanottimessa tunneta (viivehän riippuu mm. lähettimen ja vastaanottimen välisestä etäisyydestä). Mikäli korrelaatio lasketaan signaalin itsensä kanssa, puhutaan autokorrelaatiosta. Tämä määritellään täsmälleen samalla tavalla kuin ristikorrelaatio mutta siten, että korreloitavat signaalit ovat samat: R () t = R () t = v() t v ( t -t) dt v vv - * Erityisesti autokorrelaation määritelmässä viiveen τ merkitys on perusteltua. Muutenhan, pelkästään määrittelemällä τ=0, laskettaisiin yksinkertaisesti vain signaalin energiaa. Kuten jo aiemmin mainittiin, GPS-paikannuksessa korrelaatio on olennaisessa osassa järjestelmän suorituskyvyn kannalta. Satelliittipaikannus perustuu signaalin saapumisajan mittaamiseen (Time-of-Arrival). Jos tiedetään satelliitin sijainti, signaalin lähetysaika, signaalin etenemisnopeus ja signaalin vastaanottoaika, satelliitin ja
IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 9 GPS-vastaanottimen välinen etäisyys saadaan laskettua. Edelleen jos tiedetään etäisyys useampaan satelliittiin, saadaan määritettyä paikkakoordinaatit pituus-, leveys- ja korkeussuunnassa. Täydellisesti synkronisen järjestelmän tapauksessa (kaikki satelliittien ja GPSvastaanottimien kellot täsmälleen samassa ajassa) paikannusongelman ratkaisu olisi melko suoraviivainen. Tämänkaltaisen synkronisuuden saavuttaminen on kuitenkin käytännöllisesti katsoen mahdotonta. Huomaa, että jo yhden mikrosekunnin virhe kellossa aiheuttaa noin 300m:n etäisyysvirheen (mikrosekunti kertaa valonnopeus). Edellä mainittujen seikkojen vuoksi jokaisen satelliitin signaalin on sisällytetty ajalliselta kestoltaan 1ms pituinen satelliittikohtainen 1023 merkkiä pitkä binäärinen koodi. Tämä koodi rakennetaan ns. chipeistä (1μs/chip), jotka saavat arvoja -1 ja 1. Kun GPS-paikannin kytketään päälle, se alkaa korreloida (etsiä) järjestelmän radiotaajuuksilta signaaleita, joista löytyy vastaavaa rakennetta tunnettujen satelliittien koodien kanssa. Koska lähetetyn signaalin vaihetta ei tunneta, etsintä täytyy suorittaa koodin eri vaiheiden kanssa, aivan kuten korrelaation määritelmässä oleva viivetermi τ osoittaa. Mikäli korrelaation arvo vastaanotetun signaalin ja jonkin satelliitin viivästetyn koodin välillä kasvaa tarpeeksi suureksi, satelliitti ja sen lähettämän signaalin viive voidaan olettaa löydetyksi. Tässä vaiheessa viive löydetään vain suhteessa millisekuntiin (koodin pituus 1ms). Vielä ei kuitenkaan tiedetä mikä millisekunti on kyseessä. Satelliittien koodit on suunniteltu siten, että niiden autokorrelaatiofunktiot ovat impulssimaisia (piikki nollaviiveellä mutta muuten lähellä nollaa). Lisäksi, jotta eri satelliittien signaalit eivät häiritsisi toisiaan, koodien (risti)korrelaatio saa suhteellisen pieniä arvoja kaikilla viiveillä. Seuraavissa kuvissa on esitelty oikeiden GPSsatelliittien koodien välisiä korrelaatiofunktioita (huom. viive [chip] on käytännössä sama kuin korrelaatiokaavoissa esiintyvä τ). IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 10 Satelliitin #1 autokorrelaatiofunktio (vas.) ja korrelaatiofunktio saman signaalin ja sen viivästyneen (155 chippiä) version välillä (oik.) Normalisoitu autokorrelaatiofunktion arvo 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-1000 -800-600 -400-200 0 200 400 600 800 1000 viive [chip] Normalisoitu ristikorrelaatiofunktion arvo 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-1000 -800-600 -400-200 0 200 400 600 800 1000 viive [chip] Ristikorrelaatio satelliittien #1 ja #2 koodien välillä Normalisoitu ristikorrelaatiofunktion arvo 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-1000 -800-600 -400-200 0 200 400 600 800 1000 viive [chip] Kuten moni GPS-järjestelmää käyttänyt on varmastikin huomannut, satelliittien haku laitteen käynnistyessä saattaa joskus viedä turhauttavan kauan aikaa. Tämä johtuu juuri siitä, että satelliittien signaaleita joudutaan etsimään kaikilla eri koodeilla ja niiden eri vaiheilla (n. 30 satelliittia saman verran eri koodeja). Tämän lisäksi, johtuen taajuusvirheistä, signaaleita joudutaan etsimään myös eri taajuuksilta. Käynnistysvaihetta helpottamaan onkin luotu ns. avustava GPS (A-GPS), jossa vastaanotin hakee etukäteen mobiiliverkon kautta lähellä olevalta tukiasemalta tietoja satelliittien sijainneista ja muista parametreista. Tämä taas on intuitiivisesti järkevää, sillä tukiaseman ja vastaanottimen havaitsevat signaalit ole läheisestä sijainnista (verraten valonnopeuteen ja etäisyyteen) johtuen melko samanlaisia - korreloivia.
IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 11 Paluu Fourier-muunnokseen korrelaatiotulkinta Palataan vielä taaksepäin ja tarkastellaan uudestaan Fouriermuunnoksen määritelmää: () F é ë () ù û () -j2 p ft - V f vt vte dt Verrataan tätä nyt korrelaation määritelmään: Rvw( t) = v( t) w ( t -t) dt - * Huomataan, että Fourier-muunnos voidaan tulkita taajuudella f värähtelevän eksponenttivärähtelijän (viive nolla) ja muunnettavan signaalin väliseksi korrelaatioksi. Näin ollen voidaankin ajatella, että signaalin spektri lasketaan etsimällä signaalista vastaavanlaisuuksia jokaiselle taajuusakselilla sijaitsevalle värähtelijälle. Toisin sanoen, taajuudella f värähtelevä eksponenttifunktio poimii signaalista kyseisellä taajuudella olevan energian. R vg (0) = vte () IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 12 2p -j t t dt - t /2 2p 2pt t /2 -j t é t -j ù Ae t dt A e t ê j2p ú -t /2 ë û-t /2 2pt 2pt t -j j 2t 2t = = - =-A ( e - e ) = j2p t -jp jp t =-A ( e - e ) =-A (-1-(-1)) j2p j2p = 0 Arvoksi tulee nolla, joten suorakaidepulssi ei korreloi (ei ole lainkaan samankaltainen) tällaisen taajuudella värähtelevän eksponenttifunktion kanssa. Nyt on hyvä palata katsomaan jo aiemmin määritettyä suorakaidepulssin spektriä (s.5). Mikä onkaan spektrin arvo taajuudella 1/τ? Entä mitä tapahtuu jos korreloit suorakaidepulssia nollataajuisella eksponenttivärähtelijällä? Mikä on tällöin korrelaation arvo (helppo laskea: integroidaan vain vakiota) ja miten se näkyy spektrissä? Lasketaan esimerkin vuoksi taajuudella f c =1/τ värähtelevän eksponenttifunktion (kuva yllä) korrelaatio tutun suorakaidepulssin kanssa (kts. s. 5). Suoraan määritelmän mukaan korrelaatioksi nollaviiveellä saadaan:
Konvoluutio IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 13 IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 14 Konvoluutio on tärkeä työkalu kaikenlaisten lineaaristen järjestelmien vasteanalyysissä, eli toisin sanoen tutkittaessa järjestelmän sisäänmenon ja ulostulon suhdetta. Tietoliikennetekniikassa lineaarisia järjestelmämalleja voidaan käyttää mm. kuvaamaan tietoliikennekanavan vastetta. Esimerkiksi langattomassa ympäristössä kanava muuttuu toistuvasti ajan funktiona aiheuttaen lähetetylle signaalille sekä amplitudi- että vaihevääristymää. Tämän huomioiminen vastaanottimessa, tavalla tai toisella, on tietysti olennaisen tärkeää ja se vaatiikin tarkkaa vasteanalyysia. sisäänmeno x(t) Lineaarinen järjestelmä ulostulo y(t) Vasteanalyysi perustuu ns. impulssivasteen h(t) käsitteeseen, joka kuvaa järjestelmän ulostulon, kun sisäänmenoksi asetetaan impulssi (ajan hetkellä nolla impulssi saa arvon yksi, muuten nolla). Tällöin ulostulo y(t) mielivaltaiselle signaalille x(t) voidaan määrittää impulssivasteen h(t) avulla konvoluutiona seuraavasti: yt () = ht ()* xt () = h( l)( xt-l) dl - Konvoluution voi kätevästi visualisoida kiinnittämällä jommankumman funktion paikoilleen ja sitten liu uttamalla toisen funktion tämän ylitse. Seuraavassa kuvassa tämä on havainnollistettu tutulle suorakaidepulssille (s.5), jolle lasketaan konvoluutio itsensä kanssa. Huomaa, että konvoluution arvo tietyllä ajan hetkellä saadaan suoraan laskemalla kertolaskun tuottaman funktion pinta-ala (kuvassa oranssi). Yksinkertaista lukiomatematiikkaa Tarkastellaan seuraavaksi käytännön esimerkkiä konvoluution hyödyntämisestä: käytännöllinen ja yksinkertainen sarjaankytketty RCpiiriä (vastus ja kondensaattori):
IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 15 Piirianalyysin periaatteiden avulla järjestelmän impulssivasteeksi saadaan: IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 16 1 ìï 1 t ³ 0 -t/ RC ht () = e ut (), missä ut () = ï í RC ï0 t < 0 ïî Käytetään jälleen kerran hyväksi tuttua suorakaide pulssia (s.5) ja syötetään se sisäänmenojännitteeksi tarkasteltavaan piiriin. Ulostulo y(t) saadaan nyt määritettyä konvoluution avulla: yt () = ht ()* xt () = h( l) x( t -l) dl - (osaatko laskea itse...) ìï 0 t < 0 -t/ RC = ï í A(1 - e ) 0 < t < t ï -t/ RC -( t-t)/ RC A(1 - e ) e t > t ïî Seuraavissa kuvissa on havainnollistettu sisäänmenon ja ulostulon suhdetta kolmessa eri tapauksessa. Tässä sisäänmenopulssin kestoa muutetaan suhteessa piirin ns. aikavakioon RC. Kuvista nähdään, että piiri käyttäytyy pulssin keston τ mukaan aivan kuten ulostulon paloiteltu funktio antaa ymmärtää. Nyt on selvää, että impulssivasteen avulla voidaan tutkia järjestelmän aikakäyttäytymistä. Kun impulssivasteesta otetaankin Fourier-muunnos, tuloksena syntyy järjestelmän ns. taajuusvaste, josta nähdään suoraan miten järjestelmä vaikuttaa eri sisäänmenon taajuuksiin: () = () -j2pft - H f h t e dt Konvoluutioteoreeman avulla saadaan nyt johdettua merkittävä tulos sisäänmenon ja ulostulon väliselle yhteydelle myös taajuustasossa. Jos merkitään sisäänmenon Fourier-muunnosta X(f) ja taajuusvastetta H(f), ulostulon Fourier-muunnos saadaan suoraan kertolaskulla: Y() f = H() f X() f
IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 17 Tämän yhtälön vuoksi taajuusvastetta H(f) kutsutaan usein myös siirtofunktioksi. Koska kyseessä on yksinkertainen kertolasku, sisäänmenon spektri painottuu pisteittäin taajuusvasteen mukaan. Esimerkin vuoksi hahmotellaan edellisen RC-piirin taajuusvaste: Kuvasta nähdään, että matalat taajuudet säilyvät vähemmän vaimennettuina kuin korkeat. Tällaista järjestelmää kutsutaankin alipäästösuodattimeksi (jos esim. halutaan nostaa bassotaajuuksien voimakkuutta audiolaitteissa, tarvitaan jokin tämänkaltaisen taajuusvasteen omaava systeemi). Tietoliikennetekniikassa suodattimia käytetään erityisesti kohinan vaimentamisessa ja muokkauksessa, tietoliikennekanavan mallintamisessa sekä sen vaikutusten kompensoimisessa (ekvalisointi). Lisäksi suodattimilla erotellaan (taajuuskaistalla) toisistaan eri järjestelmät, käyttäjät, kanavat jne. Periaatteessa siis kaikki edellä mainittu saavutetaan juuri integraalilaskennan avulla. IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 18 Sigma-delta(ΣΔ)-analogia-digitaalimuunnin Kustannustehokkuus on nykypäivän trendi lähes kaikilla talouden ja tekniikan aloilla. Langattomassa tietoliikenteessä kustannustehokkuutta saavutetaan erityisesti joustavilla radiolähetin-vastaanotinrakenteilla. Tällä tarkoitetaan karkeasti laitteen kykyä toimia erilaisissa järjestelmissä ja radiorajapinnoissa. Lisäksi erityisesti kannettavissa laitteissa myös virrankulutuksen sekä fyysisen koon minimointi ovat tärkeissä rooleissa. Näiden tavoitteiden saavuttamisessa yhdeksi merkittäväksi tekijäksi on viime aikoina noussut digitaaliset signaalinkäsittelymenetelmät, jotka mahdollistavat erittäin joustavien ja kustannustehokkaiden päätelaitteiden toteuttamisen. Käytännön tasolla moderneissa päätelaitteissa pyritäänkin usein vähentämään laitteiston analogisten komponenttien määrää ja korvaamaan näiden toimintaa nimenomaan digitaalisin menetelmin. Yksi merkittävimpiä rajoittavia tekijöitä tässä lähestymistavassa on kuitenkin kustannustehokkaan analogia-digitaalimuuntimen (AD-muunnin) toteuttaminen. 111 110 101 100 011 010 001 000 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 1 Sisäänmeno: analoginen jännitesignaali Yllä olevassa kuvassa on esitetty 3-bittisen AD-muuntimen sisäänmenon ja ulostulon välinen funktio (sisäänmeno normalisoitu välille [0,1]). Johtuen rajallisesta näyteresoluutiosta, eli lukujoukosta, johon näytteet pyöristetään, AD-muuntimessa syntyy aina ns. kvantisointikohinaa. Jos kvantisointikohinan tehon annetaan kasvaa liian suureksi, digitaalisista signaalinkäsittelymenetelmistä saatava hyöty menetetään. Tällaisessa tapauksessa voidaan ajatella, että
IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 19 analogisesta signaalista näytteistetty (digitaalinen) lukujono ei enää yksikäsitteisesti vastaakaan alkuperäistä signaalia. Tästä syystä ADmuuntimien suunnittelussa onkin perinteisesti päädytty jonkinlaiseen kompromissiin kustannustehokkaan ja laadukkaan muuntimen välillä. IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 20 Eräs kirjallisuudessa ehdotettu ratkaisu edellä mainittuun ongelmaan on sigma-delta(σδ)-analogia-digitaalimuunnin, jonka periaatteellinen lohkokaavio on esitetty alla (tässä f s on näitteistystaajuus ja K on vakio). Analoginen sisäänmeno 1-bit DAmuunnin Näytteistyskello K*f s Digitaalinen suodatin Digitaalinen ulostulo Amplitudispektri Analoginen signaali Digitaalinen signaali ΣΔ-muuntimessa oleellista osaa esittää myötähaaran integraattori, joka on tässä nimenomaan osa rakenteen toiminnallisuutta, ei pelkkä analysointityökalu. ΣΔ-muuntimen takaisinkytkentähaara on pelkkä yksinkertainen 1-bitin digitaali-analogiamuunnin, jonka resoluutio riittää ainoastaan ilmaisemaan ylinäytteistetyn signaalin etumerkin. ΣΔmuuntimesta saatava hyöty perustuu sisäänmenon ja takaisinkytkentähaaran erotussignaalin integrointiin, minkä avulla kvantisointikohinan spektriä voidaan muokata toteutuksen kannalta edullisempaan suuntaan. Yllä olevan kuvan ΣΔ-muunnin on ns. alipäästötyyppiä, jossa kohinateho vaimenee siirryttäessä kohti nollataajuutta. ΣΔ-muunnin voidaan kuitenkin suunnitella muokkaamaan kohinaspektriä myös muilla tavoilla. Tämä on melko suoraviivaista, sillä järjestelmän kokonaissiirtofunktio voidaan jakaa erikseen hyötysignaalin ja kohinan siirtofunktioihin. Tällä tavoin vaikuttamalla kohinan siirtofunktion nollakohtiin, saadaan kohinaspektrin muoto halutunlaiseksi. Esimerkiksi yllä olevan kuvan ΣΔ-muuntimen kohinan siirtofunktiolla on nollakohta taajuudella f=0. Ns. näytteistysteoreeman mukaan myös pelkästään ylinäytteistetyllä AD-muuntimella saadaan parempia tuloksia. Tämä johtuu siitä, että kvantisointikohina jakautuu eri taajuuksille tasaisesti. Tällöin, käyttämällä AD-muuntimessa datasignaaliin verrattuna K-kertaista näytetaajuutta, voidaan datasignaalin ulkopuolinen kohina poistaa jälkeenpäin perinteisellä digitaalisella suodattimella. Ero pelkän ylinäytteistetyn AD-muuntimen ja varsinaisen ΣΔ-muuntimen ja välillä on se, että kohinateho saadaan ΣΔ-muuntimessa painottumaan hyötykaistan ulkopuolelle. Ilmiötä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.