DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien analyysissä

Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet Osoitin eli kompleksiluku: Trigonometrinen muoto ja polaarimuoto Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset Sinimuotoiset suureet kompleksitasossa ja komponenttien impedanssit Piirien kytkeytyminen keskinäisinduktanssin kautta Viimeksi todettiin, että vaihtosähköpiirien analyysistä tulee hankalaa hetkellisarvoilla. Esitellään nyt työkaluja, joilla vaihtosähköpiirejä voi analysoida helpommin ja katsotaan miten näitä hyödynnetään passiivisten piirikomponenttien virtajänniteyhtälöä tarkasteltaessa. Tarkastellaan myös piirien kytkeytymistä keskinäisinduktanssin kautta.

Vaihtosähköpiirien analyysi Oletus: Tasasähköpiirien analyysi on jossain määrin hallussa 1. Sinimuotoiset suureet 2. Tehollisarvo 3. Passivikomponenttien virta-jänniteyhtälöt sinimuotoiselle sähkölle 4. Osoitettiin, että hetkellisarvoilla laskeminen on toivotonta. 5. Tehdään sinimuotoisesta tehollisarvosta osoitin. 6. Kompleksilukulaskennan peruslaskutoimitukset. 7. Impedanssin osoitinmuodossa ja yleistetty Ohmin laki. 8. Käytetään tasasähköpiirien analyysissä opettuja menetelmiä vaihtosähköpiirien analysointiin. 9. Piirien magneettinen kytkeytyminen: keskinäisinduktanssi. 10. Vaihtosähkön teho.

Miksi kompleksilukuja? Piirilaskennasta tulee ikävän monimutkaista, jos analyysiin käytetään sinimuotoisten vaihtosähkösuureiden hetkellisarvoja. Kompleksiluvuilla luodaan työkalu vaihtosähköpiirien analyysille osoitinlaskenta. Osoitinlaskennan avulla tasasähköpiireistä tuttuja laskentamentelmiä voidaan käyttää kätevästi myös vaihtosähköpiirien analysoinnissa.

Hetkellisarvosta tehollisarvon osoittimeksi Osoittimen pituus on sinimuotoisen suureen tehollisarvo. Osoittimen kulma positiivisesta reaaliakselista on sinimuotoisen suureen nollavaihekulma. I(t) Î Im Î 2 ϕ = x jy ϕ Î 2 ϕ Re Huomaa, että osoitin ei sisällä tietoa sinisuureen taajuudesta. Siksi osoittimia voidaan käyttää vain silloin, kun tarkasteltavat sinisuureet ovat samantaajuisia.

Esimerkki 1. Tee aikatason vaihtovirrasta I(t) = 5sin ( 200πt π 6) A osoitin. Muunna sitten osoitin polaarimuodosta trigonometriseen muotoon. 2. Muunna trigonometrisessä muodossa oleva jännite U = 150 j20 V polaarimuotoon ja edelleen aikatason vaihtojännitteeksi, kun f = 50 Hz. 3. Muunna jännite U = 150 j20 V polaarimuotoon.

Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset Kompleksiluvun z = x jy reaalilukupari (x,y) esittää kompleksitason pistettä. Vaaka-akselia kutsutaan reaaliakseliksi ja pystyakselia imaginääriakseliksi. Kompleksiluvun z reaaliosa on x ja imaginääriosa on y Kerroin j on imaginääriyksikkö, jolle pätee j 2 = 1. Yhteenlasku: reaali- ja imaginääriosat summataan keskenään c = ajb,f = d je c f = ad j(b e) Kertolaskussa kompleksilukuja kerrotaan kuten polynomeja, kunhan vaan pitää mielsessä kokoajan sen, että j 2 = 1 pätee. Kompeksilukujen osamäärän laskemiseen tarvitaan kompleksikongujaattia z.

Osoittimien tulos polaarimuodossa Tarkastellaan kahden osoittimen A α and B β, tuloa: A α B β = (AcosαjAsinα)(Bcosβ jb sinβ) = ABcosαcosβ jabcosαsinβ jabsinαcosβ j 2 ABsinαsinβ = AB(cosαcosβ sinαsinβ)jab(cosαsinβ sinαcosβ) Vähän trigonometriaa cos(αβ) = cosαcosβ sinαsinβ sin(αβ) = cosαsinβ sinαcosβ Eli saadaan A α B β = AB (αβ)

Osoittimien tulos polaarimuodossa Osoittimien tulo: pituudet kerrotaan keskenään ja kulmat lasketaan yhteen

Osoittimien tulos polaarimuodossa Vastaavasti voidaan osoittaa osamäärälle: Osoittimien osamäärä: pituudet jaetaan keskenään ja kulmat vähennetään toisistaan A α B β = A B α β

Esimerkkejä Sievennä 1. 5 30 8 j4 2. (1j)(3 2j) 2 90 3. 5 30 2 90 3 j2

Impedanssit kompleksitasossa Edellisellä luennolla määriteltiin impedanssit vastukselle (eli sama kuin resistanssi), kondensaattorille ja käämillä. Kondensaattorin ja käämin tapauksessa ne olivat aikariippuvia. Entä kompleksitasossa, missä aika ei ole muuttujana?

Impedanssit kompleksitasossa Edellisellä luennolla määriteltiin impedanssit vastukselle (eli sama kuin resistanssi), kondensaattorille ja käämillä. Kondensaattorin ja käämin tapauksessa ne olivat aikariippuvia. Entä kompleksitasossa, missä aika ei ole muuttujana? Jos käämin virta on I(t) = Î sin(ωt), niin jännite on U(t) = Lîωsin ( ωt π 2). Eli kompleksitasossa: I = Î 2 0 U = LÎω 2 π 2

Impedanssit kompleksitasossa Edellisellä luennolla määriteltiin impedanssit vastukselle (eli sama kuin resistanssi), kondensaattorille ja käämillä. Kondensaattorin ja käämin tapauksessa ne olivat aikariippuvia. Entä kompleksitasossa, missä aika ei ole muuttujana? Jos käämin virta on I(t) = Î sin(ωt), niin jännite on U(t) = Lîωsin ( ωt π 2). Eli kompleksitasossa: I = Î 2 0 U = LÎω 2 π 2 Tällön käämin impedanssiksi saadaan: z L = U I = LÎω 2 π 2 Î 2 0 = Lω π 2 1 0 = jωl

Impedanssit kompleksitasossa Eli käämin impedanssi kompleksitasossa on vain yksi kompleksiluku, joka voidaan laskea, kun tiedetään taajuus ja induktanssi. Vastaavasti saadaan kondensaattorin impedanssi (kunhan nyt muistetaan, että virta on jännitteen aikaderivaatta kertaa kapasitanssi): z C = 1 jωc = j jjωc = j 1 ωc

Impedansseilla laskeminen Yleistetty Ohmin laki: U = ZI Impedansseilla voidaan laskea kompleksitasossa tehtäviä ja sitten siirtyä taas takaisin aikatason esitykseen. Tällöin voidaan ratkaista algebrallisia yhtälöitä differentiaaliyhtälöiden asemasta - kunhan vaan taajuus on sama kaikkialla. Lineaarisissa piireissä eritaajuisia lähteitä voidaan käsitellä kerrostamismenetelmällä! Impedanssin imaginääri osaa kutsutaan reaktanssiksi, reaaliosaa resistanssiksi. Impedanssi on koostuu siis resistanssista ja reaktanssista.

Esimerkki Määritä käämin yli oleva jännite, kun U(t) = 20sin(ωt π/2) V ja taajuus on 50 Hz. 2 mh 3 mf U(t) 2Ω

Keskinäisinduktanssi Aikaisemmin piirien komponenttien ominaisuudet on esitetty (itse)induktanssin, kapasitanssin ja resistanssin avulla. Piirikomponentit ovat olleet toisiinsa kytkeytyneitä vain virtajohtimien kautta. Käämi on kuitenkin komponentti, jonka magneettikenttä leviää ympäristöön. Täten lähekkäin olevat käämit voivat kytkeytyä toisiinsa. Tausta on tässä se, että magneettikentän energiatiheys on verrannollinen magneettikentän voimakkuudeen toiseen potenssiin. Täten kaksi samanlaista käämiä lähekkäin on oleellisesti erilainen tilanne, kuin kaksi käämiä kaukana toisistaan. Nyt on tarkoitus opetella mitä kytkeytyminen tarkoittaa ja miten sitä mallinnetaan piiriteoriassa.

Keskinäisinduktanssi Käämien kytkeytymistä käytetään hyväkseen mm. Muuntajissa: vaihtosähköä on edullista siirtää matalalla virralla ja korkealla jännitteellä. Muuntajalla voidaan muuttaa jännite matalaksi siellä missä matalaa jännitettä tarvitaan. Langattomassa latauksessa: energiaa voidaan siirtää käämistä toiseen ilman galvaanista kytkeytymistä (esim. kännykän tai sähköhammasharjan langaton lataus).

Keskinäisinduktanssi

Keskinäisinduktanssi käämissä Käämi voi olla kytketty joko niin päin, että keskinäisinduktanssi vahvistaa toisen käämin yliolevaa jännitettä (eli yhteistä magneettikenttää) tai heikentää sitä: pistepäät (jos oletetaan, että käämien virrat menevät molemmat pistepäähään pistepäähän). U 1 I 1 I 2 M L 1 L 2 U 2 U 1 I 1 I 2 M L 1 L 2 U 2 Toistensa magneettikenttää vahvistavat käämit Toistensa magneettikenttää heikentävät käämit

Keskinäisinduktanssi piiriyhtälöissä U 1 I 1 I 2 M L 1 L 2 U 2 U 1 I 1 I 2 M L 1 L 2 U 2 Toistensa magneettikenttää vahvistavat käämit Toistensa magneettikenttää heikentävät käämit Käämien magneettikentät vahvistavat toisiaan (molemmat virrat sisään pistepäistä) di 1 U 1 = L 1 dt MdI 2 dt di 2 U 2 = L 2 dt MdI 1 dt

Keskinäisinduktanssi piiriyhtälöissä U 1 I 1 I 2 M L 1 L 2 U 2 U 1 I 1 I 2 M L 1 L 2 U 2 Toistensa magneettikenttää vahvistavat käämit Toistensa magneettikenttää heikentävät käämit Käämien magneettikentät vahvistavat toisiaan (molemmat virrat sisään pistepäistä) U 1 = jωl 1 I 1 jωmi 2 U 2 = jωl 2 I 2 jωmi 1

Keskinäisinduktanssi piiriyhtälöissä U 1 I 1 I 2 M L 1 L 2 U 2 U 1 I 1 I 2 M L 1 L 2 U 2 Toistensa magneettikenttää vahvistavat käämit Toistensa magneettikenttää heikentävät käämit Käämien magneettikentät heikentävät toisiaan (toinen virta sisään pistepäästä, toinen ei) di 1 U 1 = L 1 dt MdI 2 dt di 2 U 2 = L 2 dt MdI 1 dt

Keskinäisinduktanssi piiriyhtälöissä U 1 I 1 I 2 M L 1 L 2 U 2 U 1 I 1 I 2 M L 1 L 2 U 2 Toistensa magneettikenttää vahvistavat käämit Toistensa magneettikenttää heikentävät käämit Käämien magneettikentät heikentävät toisiaan (toinen virta sisään pistepäästä, toinen ei) U 1 = jωl 1 I 1 jωmi 2 U 2 = jωl 2 I 2 jωmi 1

Keskinäisinduktanssi piiriyhtälöissä U 1 I 1 I 2 M L 1 L 2 U 2 U 1 I 1 I 2 M L 1 L 2 U 2 Toistensa magneettikenttää vahvistavat käämit Toistensa magneettikenttää heikentävät käämit Jos molemmat virrat joko lähtevät tai tulevat pistepäähän on M:n kerroin 1. Jos toinen virta lähtee ja toinen saapuu pistepäähän on M:n kerroin -1.

Esimerkki: muuntajan analyysi 20j5Ω 160 Ω 50 Ω M U 6 H 3 H 4000Ω Lineaarinen muuntaja Ratkaise kuorman keskimääräinen teho, kun jännitelähteen syöttö on U(t) = 325 sin(100πt) ja siirtolinjan impedanssi on juuri tälle taajuudelle laskettu. Muuntajan kytkentäkerroin k=0.9.

Yhteenveto Komponenttien impedanssit z R = R z L = jωl z C = j 1 ωc Aikatason suureen esitys kompleksitasossa I(t) = Î sin(ωt ϕ) I = Î 2 ϕ Trigonometrinen muoto ja polaarimuoto kompleksiluvulle. z = x jy = x 2 y 2 tan 1( y) x Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset trigonometriselle muodolle ja polaarimuodolle. Keskinäisinduktanssi ja pistepäät