S-4.46, YSIIKKA IV (Sf Kvät 005, LHSf5. Rataisut LHSf5- (a Litiufluoridilla, Li, on NaCl-rann. Lähinaapuritäisyys on 0,04 n. Las Li:n ohsionrgia olttan, ttä rpulsiosponntti on n = 9. (b Li:n ohsionrgian ollinn arvo on 4 cal/ol. Käyttän (a-ohdan titoja las rpulsiosponntti n. Rataisu: NaCl id on asiatoissta antalustrista oostuva CC hila, s. ohinn uva. Kuvassa loorija natriuionita yhdistävän janan pituus on lähinaapuritäisyys R 0. Kantalustrilla taroittaan sitä atoiryhää, joa toistuu itssä idhilan, tässä tahosinn uutiollinn hila (CC, uaissti. (a R 0 = 0,04 n, n = 9, α =,747565 Kohsionrgia on (s. siri 7. Nα Utot ( R0 = ε or0 n. Sijoittaalla arvot saadaan ioniparia ohti Ep = Utot ( E0 / N,V. N Aα (b N AEp ( R0 = 4 cal = 0 J=. ε 0R0 n Rataisalla sponntin n saa ε 0R0 N AEp ( R0 =. n α Sijoittaalla suuridn nuroarvot saa 0,597 n n 6,6. LHSf5- Tarastllaan asiulottista nliöhilaa. Osoita, ttä tight binding - approsiaatiossa E ( = E0 E ( cos xa + cos ya on isotrooppinn ts. riippuaton aaltovtorin suunnasta. Rataisu: Tight binding -aaltofuntio irjoittaan nyt uodossa : ψ ( = φ ( n,. Osoita yös, ttä ftiivinn assa i r n r r r n, (
issä rn = ( n ai + ( aj ja = xi + y j. Sua lastaan yli aiin asiulottisn hilan hilapaiojn. Enrgia liiäärä yhtälön johtainn tapahtuu taralln saoin uin yhdssäin ulottuvaisuudssa. Vaadi, ttä tight binding - aaltofuntio totuttaa ajasta riippuattoan Scrödingrin yhtälön: i r H ( n φ r rn = E ( ψ ( r ( n, Krrotaan ( puolittain funtiolla ( ψ r ja intgroidaan yli hilan. Olttan, ttä ri hilapaioihin liittyvät aaltofuntiot ovat liiain ortogonaalisia ja lisäsi noritttuja ts. jos n = n ja = drφ ( r rn φ ( r r n = ( 0 uutn saa yhtälön ( oialta puollta ( ψ ( ψ ( = ( E dr r r NE, (4 issä N on hilapaiojn luuäärä. Ota nyt äyttöön uudn indsointiin liittyvän apunuvon ja rits luuparia n, yhdllä irjailla α. Oloon vastaavasti luuparin n syboli β. Sua yli α :n taroittaa siis its asiassa asoissuaa n,. Tää rintätapa vain t yhtälöistä vähän risuisn näöisiä. Yhtälön ( vasalta puollta saadaan nyt i ( α β i ( ( ( α β r r drφ β Hφ α = H βα r r r r r r (5 α, β α, β Olta nyt, ttä atriisialiot H βα ovat nollasta poiavia vain jos olat indsit viittaavat joo saaan hilapaiaan, tai sn lähinaapurissa olvaan hilapaiaan. Jos α = β, rits Hαα = drφ ( r rn Hφ ( r r n = E0 (6 Jos taas indsit viittaavat viräisiin hilapaioihin, illä on suraavat vaihtohdot α = n, β = n ±, β = n, ± ts. nljä lähinaapuripaiaa. Kullin näistä atriisialio saa sytria syistä saan arvon: Hαβ = drφ ( r rn Hφ ( r r n± ± = E (7 Lähinaapurill saavat yhtälössä (5 siintyvät sponnttifuntion arvot ( α rβ i r ± ixa = ; un n = n ±, =. i ( rα rβ ± i ya = ; un = ±, n = n Sijoittaalla nää yhtälöön (5 saa (palaaalla jälln asoisindsiin ja uistaalla, ttä hilassa on N hilapaiaa ixa ixa i ya i ya E0 E ( ( + + + = n. (8 ( x y NE 0 E cos a + cos a
Yhdistäällä tulost (4 ja (8 saa nrgian laussi ( = 0 ( cos x + cos y E E E a a. (9 Eftiivisn assan äärääissi hitä nyt yhtälön (9 sarjasi avaruudn origon ypäristössä (pinillä x:n arvoilla cos x x / : ( xa ya E = E E = vaio + issä =. Ea, (0 Huoaa, ttä ltronin nrgia voidaan vyön runan lähisyydssä sittää lassisssa uodossa lii-nrgiana, johon liittyvä assa riippuu aaltovtorin itsisarvosta, utta i vtorin suunnasta. Esirisi III-V yhdistpuolijohtidn johtovyön assa on isotrooppinn. LHSf5- Tarastllaan asiulottista suoraaidhilaa, jossa hilavaiot ovat a ja b x- ja y- E = E E cos a E cos b ja ttä suunnissa vastaavasti. Osoita, ttä ( x x y y ftiivinn assa on nyt anisotrooppinn, ts. ltronin ftiivinn assa riippuu sn liisuunnasta. Rataisu: Tarastlu sujuu yhdnuaissti dllisn thtävän anssa lopputrill: Yhtälössä (dllisn thtävän (5 siintyvä sponnttifuntio saa nyt arvot ( α rβ i r ± ixa = ; un n = n ±, =. ( i ( rα rβ ± i yb = ; un = ±, n = n Pittointgraalit ovat nyt ri idsuunnissa Hαβ = drφ ( r rn Hφ ( r r n± = Ex Hαβ = drφ ( r rn Hφ ( r r n± = E y Sijoittaalla nää yhtälöön (dllisn thtävän (5 saa (palaaalla jälln asoisindsiin, huoaa ttä hilassa on N hilapaiaa ixa ixa i yb i yb E 0 Ex ( E y ( + + + = n. ( ( x x y y NE 0 E cos a + E cos b Yhdistäällä tulost (dllisn thtävän (4 ja ( saa nrgian laussi ( = 0 ( x cos x + y cos y E E E a E b. ( Eftiivisn assan äärääissi hitä nyt yhtälön ( sarjasi avaruudn origon ypäristössä (pinillä x:n arvoilla cos x x / :
issä ( 0 x a yb y E E E vaio x x E = + y = + + (9 x y x = ; y = Exa Eyb. Tällä rtaa i lii-nrgiaa voitu sittää lassisssa uodossa olttaalla vain ysi suunnasta riippuaton ftiivinn assa. Tää johtuu siitä, ttä rilaisista hilavaioista johtun hilapotntiaalin vaiutus ltronin liisn on rilainn ri idsuunnissa. Eftiivistä assaa sanotaan tällöin anisotrooppissi sirisi valnssivyön ftiivinn assa III-V puolijohtissa on anisotrooppinn. LHSf5-4 Sovlla yhtälöä E( = E0 E cos a bntsnin π ltronin prustilan ja nsiäisn virittyn tilan nrgian lasisn. Ensiäinn ja toinn virittty tila ovat,8 V ja 4,9 V prustilan yläpuollla. Osoita näidn nrgioidn arvojn avulla, ttä paratrin E siarvo on E =,75 V. Mitä voidaan sanoa bntsnin värillisyydstä? Rataisu: ntsniolyyli on rnaan uotoinn. Rnaassa on N = 6 olyyliä, itsisarvoltaan aliat 6 aaltovtorin arvoa ovat = 0, ± π / a, ± π / a, ± π / a. Sovlltaan nyt annttua tight binding -approsiaation nrgian laustta. n a E E cos a 0 0 E E ± π / E E ± π / E + E ± π E0 + E Kutain aaltovtorin arvoa ohdn saadaan asi spin tilaa. ntsnin π ltronja on ysi joaista uutta hiiliatoia ohdn, jotn täyttäällä tilat ( aliasta luin saa allaolvan tauluon. Toissi aliall nrgiatasoll n nljä ltronia, osa siihn liittyy asi ri aaltovtorin arvoa (s yhtälö. Enrgiatilojn oonaisnrgiat ovat ysittäistn ltronin nrgioidn sua. Koonaisnrgiat ovat E E + 4 E E = 6E 8E prustila ( ( ( ( ( ( ( ( E E + E E + E + E = 6E 6E.virittty tila E E + E E + E + E = 6E 5E.virittty tila (
. virittty tila on siis E vrran prustilan yläpuollla ja. virittty tila E prustilan yläpuollla. Vrtaaalla näitä tulosia annttuihin ollisiin arvoihin,8 V ja 4,9 V las suraavasi vaion E arvon.. Virittyn tilan avulla saa E =,9V ja toisn virittyn tilan avulla E,6V ja siis siarvosi E,75V. Jos tight binding - approsiaatio olisi tara, saisi titnin olissa tapausissa saan E arvon. Kosa tulost ovat ohtalaisn lähllä toisiaan, voi pitää approsiaatiota uitnin järvänä alian rtaluvun arviona. Prustilan ja viritttyjn tilojn välistn transitioidn aallonpituudt λ = hc / E ovat n ja 50 n ivätä siis näyvän valon aallonpituudlla (80-780n. LHSf5-5 Johda trionisll issiovirrall Richardson-Dushan yhtälö: C = q π. (Vihj: Käytä ltronin nopusjaauaa issä ( J / T = CT φ, d v dn =, approsioi ri-dirac -jaauaa Maxwll-oltzann - ( v ε / T + jaaualla ja intgroi nopudn oponnttin yli. Kun pinnan noraali on x-aslin suuntainn, tyhjöön pääsvät ittoituaan n ltronit joill vx ε + φ, issä φ on irrotustyö. Rataisu: Trionislla issiolla taroittaan ltronivirtausta tallista tyhjöön. (Tää sähövirran syntytapa siintyy ltroniputissa, jota aianaan olivat täritä ltroniian oponnttja. Eltronit pääsvät ulaan tallista tyhjöön, iäli niillä on riittävän iso nrgia, vähintään frinrgian ja irrotustyön sua. (Katso viristä uvaa, huoioi, ttä uvan x-oordinaatti i vastaa lasun x-oordinaattia. Eltronin inttisll nrgiall saadaan siis hto v ε + φ, joa antaa intgroiisalun alarajan. Tää nrgia on paljon x suurpi, uin trinn nrgia T, jotn ri-dirac -jauaaa voidaan approsioida
Maxwll-oltzann jaaualla ( ( /( /( ( = v ε T. v ε T v ε /( T + Virrantihys saadaan rtoalla ltronitihydn nopusjaaua varauslla q = ja nopudlla v x sä intgroialla uin nopudn oponntti risn: q vx J = ( v ε ( ε + φ / + / T q ( ε + φ / ( v ε / T q vy / T v / v / z T x T = y z x x ( ε + φ / = q / T φ = π issä äytttiin intgraalja dv dv dv x y z v dv dv dv x x y z dv dv v dv q π T π T T v 0 φ / T v / y T vz / T y = z = dv dv v T T vx dvx = x / v 0 / T π T + ε / T