Yläkoulun geometri Tämä tehtäväkokoelm nt yläkoulun oppillle mhdollisuuden syventää kouluss opittv geometrin oppimäärää. Se on erityisen hyödyllinen niille, jotk ikovt lukioss vlit pitkän mtemtiikn. Kokoelmn osiot knntt suoritt numerojärjestyksessä, sillä ne rkentuvt loogisesti toistens vrn. Kusskin osioss on pieni johdnto, joss perustelln ti nnetn tehtävien rtkisemisess trvittvt tiedot. Tehtävissäkin on teori eteenpäin vieviä todistmisi. Os tehtävistä voi luksi tuntu vikeilt, mutt tee ensin helpoimpi j kysy trvittess neuvo opettjlt. Eräitä vtivmpi tehtäviä on vrustettu tähtimerkinnällä. Niiden suorittmtt jättäminen ei häiritse kokonisuuden ymmärtämistä, mutt ne ovt erityisen hyödyllisiä mtemtiikn oppimisen knnlt. Pidempää pohdiskelu vtivt tehtävät kehittävät mtemtiikn oppimisess vdittv sitkeyttä! Mtemtiikss trvitn lskutidon lisäksi myös päättelytito 1. Alkeisgeometri on oiv väline sen hrjoittelemiseen. Koulumtemtiikss päättelyjen pohjksi kelpvt tietyt näköhvintoon perustuvt sit, jotk todistetn myöhemmin eräistä geometrin perusoletuksist lähtien. Tässä pidetään perustn kikki kouluss opittu suoriin, pisteisiin, kulmiin j kolmioihin liittyvä tieto. On siis selvää, että kulmn j sen vieruskulmn summ on oikokulm, tskylkisen kolmion kntkulmt ovt yhtäsuuret j tämän kolmion knt vstn piirretty korkeusjn puolitt knnn sekä huippukulmn. Näihin sioihin pltn lukion pitkässä mtemtiikss. Joisskin hrjoituksiss käytetään kirjimi lukujen symbolein. Niillä lsketn smoin säännöin kuin luvuill. Näin sdn kvoj, jotk ovt voimss kikill kirjinten tillle sijoitetuill tilnteen knnlt mielekkäillä luvuill. Kirjimill lskemiseen voit perehtyä käymällä läpi Solmun diplomisivult lusekkeit j yhtälöitä sekä osittelulki käsittelevät oheiskirjoitukset. Solmun diplomisivult löytyvät Väisälän Geometri j Algebr ovt erittäin suositeltv oheislukemisto! Tehtävien rtkisemisess trvitn perustiedot potensseist, neliöjuurist, lusekkeiden käsittelystä j ensimmäisen steen yhtälöistä. Myös vihdntlkej + b = b +, b = b, osittelulki (b + c) = b + c, j niihin perustuvi binomikvoj ( ± b) 2 = 2 ± 2b + b 2 j ( + b)( b) = 2 b 2 trvitn muutmiss yhteyksissä. Rkentvt kommentit j prnnusehdotukset ovt tervetulleit. Niitä voi lähettää Solmun toimituksen osoitteell. {050514 } 1 Ks. myös http://solmu.mth.helsinki.fi/2008/diplomi/geomtodhrj.pdf http://solmu.mth.helsinki.fi/
Sisällys Sisällys: 1. Pint-loist 1 2. Kolmion kulmien summ 3 3. Pythgorn luse 5 4. Suorkulminen särmiö 7 5. Yhdenmuotoisuudest 9 6. Ympyröistä 10 7. Kehä- j keskuskulmist 12 8. Mikä on ste? 13 9. Trigonometri 14 10. Avruusgeometri 19 Liite 1: Toiminnllist mtemtiikk 21 Liite 2: Vstuksi j rtkisuohjeit 22 http://solmu.mth.helsinki.fi/
Pint-loist 1. Pint-loist Teori Suorkulmion pint-l on knnn j korkeuden pituuksien tulo. b A = b Lävistäjä puolitt suorkulmion pint-ln, joten suorkulmisen kolmion b A = b 2 pint-l on kteettien pituuksien tulon puoliks. Tämän vull johdetn kolmion pint-l yleisesti (teht.1) khden suorkulmisen kolmion pintln summn ti erotuksen. Kolmion pint-ln vull johdetn edelleen (teht. 2 j 3) suunnikkn j puolisuunnikkn pint-lojen kvt. Teori rkentuu näin muutmist perussioist lähtien. Hrjoituksi 1. Todist, että kolmion pint-l on knnn j korkeuden pituuksien tulon puoliks. Ohje: Käsittele erikseen terävä- j tylppäkulminen kolmio. Merkitse knnn j korkeusjnn pituuksi :ll j h:ll, j tylppäkulmisess kolmioss knnn jtkett c:llä. Merkitse teräväkulmisess kolmioss u:ll j v:llä osi, joihin korkeusjn jk knnn. 2. Johd suunnikkn pint-ln kv. Ohje: Lävistäjä puolitt suunnikkn, siis myös sen pint-ln. http://solmu.mth.helsinki.fi/ 1
Pint-loist 3. Osoit, että puolisuunnikkn pint-l on sen kntojen pituuksien keskirvon j korkeuden pituuden tulo. 4. Neliön sivun pituus on. Neliöstä leiktn pois suorkulmio, jonk h korkeus on h. Lske jäljelle jäävän osn pint-l. 5. Osoit, että jos nelikulmion lävistäjät ovt kohtisuorss toisin vstn, niin sen pint-l on puolet lävistäjien pituuksien tulost. Ohje: Aloit pukuvion piirtäminen lävistäjistä. 6. Muodost luseke kuvss ) n x m b) d c d b y olevn kuvion pint-ln lskemiseksi. 7. Kuink mont prosentti kolmio peittää ruudukon pint-lst? http://solmu.mth.helsinki.fi/ 2
Kolmion kulmien summ 2. Kolmion kulmien summ Teori Kolmion ABC kulmt ovt α, β j γ. Nokkeläin (kuvioss nuoli) lähtee pisteestä C j kiertää kerrn vstpäivään kolmion ABC ympäri plten β β B C γ γ α A α lkusemns. Kärjessä A eläin kääntyy kulmn α, kärjessä B kulmn β j kärjessä C kulmn γ. A: Kuink mont stett eläin kääntyy kikkin, eli kuink suuri on summ α + β + γ? B: Täydennä: α = 180, β = 180, γ = 180. C: Osoit edellisten kohtien vull, että Hrjoituksi α + β + γ = 180. 8. Määritä suorkulmisen kolmion terävien kulmien summ. 9. Osoit, että kolmioss khden kulmn summ on yhtäsuuri kuin kolmnnen kulmn vieruskulm. 10. Kolmioss on kksi yhtäsuurt kulm j kolms kulm on neljäsos yhtäsuurien kulmien summst. Määritä kolmion kulmien steluvut. 11. Todist, että kolmioss on vähintään kksi terävää kulm. Ohje: Osoit, että vstoletus, jonk mukn teräviä kulmi on enintään yksi, joht ristiriitn. http://solmu.mth.helsinki.fi/ 3
Kolmion kulmien summ 12. Monikulmio on kuper, jos sen mitkä thns kksi sisäpistettä yhdistävä jn on kokonn monikulmion sisällä. ) Mikä kulmi koskev ehto on voimss, jos monikulmio on kuper? b) Määritä nokkeläimen vull kupern i) 4-kulmion, ii) 5-kulmion, iii) n-kulmion kulmien summ. c) Miten nokkeläimen vull lsketn ei-kupern monikulmion kulmien summ? 13. Missä monikulmioss kikkien kulmien steluku on 156? 14. Lsitehtll vlmistetn suorkulmion muotoisi lsiruutuj. Toisinn ruudun sisään jää pieniä ilmkupli, jolloin ruutu ei kelp lkuperäiseen trkoitukseen. Villiset ruudut ploitelln toisin leikkmttomin viivoin kolmioiksi siten, että ilmkuplt j ruudun kärjet ovt kolmioiden kärkinä. Kuvss olevst ruudust, joss on kolme ilmkupl, sdn khdeksn kolmiot kuvn leikkustvll. Tee kolmiointi jollkin muull tvll. Huomt, että kolmioiden määrä pysyy smn, vikk leikkustp muutetn. ) Päättele kokeilemll yleinen sääntö kolmioiden lukumäärälle, kun ruuduss on n kupl. b) Todist löytämäsi sääntö oikeksi. 15. Julkisten rkennusten seinille ilmestyy toisinn viisiskrisi tähtiä. Tämän j muun töhrimisen korjminen vie vuosittin yhteiskunnlt pljon verorhoj. Kuvioon ei luonnollisestikn liity mitään mystisiä voimi. Se on kuitenkin sikäli mielenkiintoinen, että vikk se voidn piirtää äärettömän monell eri tvll, niin skrkulmien summ on in sm vkio. Määritä tämä vkio. Ohje: Huom, että kuvion keskelle muodostuu viisikulmio j että kuvioss on kolmioit, joiden kulmin on sekä skrkulmi että viisikulmion kulmi. http://solmu.mth.helsinki.fi/ 4
Pythgorn luse 3. Pythgorn luse Teori Pythgorn luseen mukn suorkulmisen kolmion kteeteille piirrettyjen neliöiden pint-lojen summ on sm kuin kolmion hypotenuuslle piirretyn A c A A b neliön pint-l. Siis A + A b = A c. Tämän luseen tunsivt jo muiniset bbyloniliset yli 4000 vuott sitten, mutt tiettävästi Pythgors oli ensimmäinen, jok pystyi sen todistmn. Nykyisin sille tunnetn yli 360 erilist todistust. Seurvss on eräs yksinkertisimmist. Olkoot suorkulmisen kolmion kteetit j hypotenuus, b j c. Muodostetn neljästä tällisest kolmiost neliö, jonk sivun pituus on + b. Hypotenuusist muodostuu neliön sisään nelikulmio. b c c b b c c b A: Miksi c-sivuinen nelikulmio on neliö? B: Lske ison neliön pint-l sivun pituuden + b vull. C: Lske ison neliön pint-l pienemmän neliön sekä kolmioiden vull. D: Merkitse edellisissä kohdiss lskemsi pint-lt yhtäsuuriksi, j johd näin smstsi yhtälöstä Pythgorn luse. http://solmu.mth.helsinki.fi/ 5
Pythgorn luse Lukion mtemtiikss todistetn myös Pythgorn luseen käänteisluse, jonk mukn kolmio on suorkulminen, jos sen khden sivun neliöiden summ on kolmnnen sivun neliö. Tätä tulost voit jo nyt käyttää kolmion suorkulmisuuden totemiseen. Hrjoituksi 16. Suorkulmisen kolmion hypotenuusn pituus on 13 j toisen kteetin pituus on 12. Lske toisen kteetin pituus. 17. Kolmion sivujen pituudet ovt 11, 2 j 7. Onko kolmio suorkulminen? 18. Piirrä ruutupperille neliö, jonk kärjet ovt ruudukon viivojen leikkuspisteissä j jonk l on ) 4, b) 2, c) 5, d) 10. Vihje: Hyödynnä trvittess Pythgorn lusett. 19. Miksi ruutupperille ei voi edellisen tehtävän tpn piirtää neliötä, jonk l on 3? 20. Tssivuisen kolmion sivun pituus on. Lske kolmion l. Ohje: Korkeusjnn j kolmion sivun leikkuspiste puolitt sivun. 2 21. Suorkulmisen kolmion kteetit ovt ) 2 j 3, b) j b. Lske hypotenuus vstn piirretyn korkeusjnn pituus. 22. ) Jnojen pituudet ovt, b j c. Mitkä kolme pituuksi koskev ehto tulee oll voimss, jott jnoist voidn muodost kolmio? b) Lukion geometrin kurssill osoitetn, että jokisen kolmion sisällä on piste, jok on yhtä etäällä kolmion kikist sivuist. Lske tämä etäisyys, kun kolmion sivujen pituudet ovt 5, 6 j 7. Ohje: Lske luksi kolmion pint-l. 23. Suorkulmion knnn j korkeuden summ on s j lävistäjä on d. Lske suorkulmion pint-l. http://solmu.mth.helsinki.fi/ 6
Suorkulminen särmiö 4. Suorkulminen särmiö Teori Suorkulmisen särmiön sivupintoj kutsutn thkoiksi, thkojen leikkusviivoj särmiksi (kuvioss, b j c) j särmien yhteisiä pisteitä kärjiksi. l c b Vstkkisi kärkiä yhdistävä särmiön sisällä olev jn (kuvioss l) on särmiön vruuslävistäjä. Seurviss hrjoituksiss käsitellään särmiöön j sen osiin liittyviä perussioit. Hrjoituksi 24. Miten särmiön tilvuus V lsketn, kun särmät, b j c tunnetn? Kert trvittess nämä sit ikisemmist diplomeist (diplomi V). 25. Määritä särmiön pint-l A, kun särmät ovt, b j c. 26. Suorkulmisen särmiön särmät ovt, b j c. Lske särmiön vruuslävistäjän l pituus. Ohje: Lske luksi pohjthkon lävistäjän pituuden neliö. 27. Yllä olev särmiötä venytetään (ti kutistetn) kertomll sen kikki särmät positiivisell vkioll k. Lske näin sdun särmiön tilvuus, k kb l kc pint-l j vruuslävistäjä sekä niiden suhteet lkuperäisen särmiön vstviin suureisiin. http://solmu.mth.helsinki.fi/ 7
Suorkulminen särmiö 28. Kuution ) thkon lävistäjän, b) vruuslävistäjän pituus on 6 pituusyksikköä. Lske kuution tilvuus j pint-l. 29. Kuution särmän pituus on. Tästä kuutiost on leikttu pois suorh kulminen särmiö, jonk korkeus on h. Lske jäljelle jääneen osn tilvuus. 30. Suorkulmisen särmiön sivuthkojen lt ovt 2, 3 j 6 pint-lyksikköä. Lske särmiön tilvuus. 31. Suorkulmisen särmiön muotoisen kymmenen metriä pitkän hllin päätyseinät ovt neliöitä, joiden sivun pituus on viisi metriä. Toisen päätyseinän keskikohdss ktonrjss on piste A, j toisen päätyseinän keskikohdss lttinrjss on piste B. Kuink pitkä on muurhisen lyhin reitti A:st B:hen? Vihje: Oike vstus ei ole 15 m. 32. ) Olkoot, b j c ei-negtiivisi relilukuj. Miksi 2 + b 2 + c 2 + b + c? b) Olkoot, b j c ei-negtiivisi relilukuj. Milloin 2 + b 2 + c 2 = + b + c? c) Keksi esimerkki luvuist, b j c, joille 2 + b 2 + c 2 > + b + c 33. Onko olemss suorkulminen särmiö, jonk vruuslävistäjän sekä särmien pituudet ovt kokonislukuj? http://solmu.mth.helsinki.fi/ 8
Yhdenmuotoisuudest 5. Yhdenmuotoisuudest Teori Rkennuksen pohjpiirros on usein tehty mittkvss 1 : 100, mikä trkoitt sitä, että 1 cm piirroksess vst 100 cm eli yhtä metriä rkennuksess. Rkennuksen sivu- j päätyseinät ovt kohtisuorss toisin vstn, j nämä suort kulmt ovt myös piirroksess. Siis piirroksess olevien jnojen pituuksien suhde rkennuksess oleviin vstinpituuksiin on in sm 1 : 100 j näiden jnojen väliset kulmt ovt smt piirroksess j rkennuksess. Piirros j rkennuksen pohj ovt yhdenmuotoiset mittkvss 1 : 100 j niiden pint-lojen suhde on 1 : 10000. Yhdenmuotoisiss kuvioiss j kppleiss siis vstinsivujen pituuksien suhde on vkio j vstinkulmt ovt yhtäsuuret. Jtkoss rjoitutn tpuksiin, joiss yhdenmuotoisuus on ilmeistä. Pllot, vikk niissä ei kulmi olekn, ovt keskenään yhdenmuotoisi, smoin ympyrät, neliöt j kuutiot. Kuvion särmiöt ovt yhdenmuotoisi, b l c k kb l kc sillä niissä vstinpituuksien suhde on k j vstinkulmt ovt smt. Hrjoituksi 34. Kuutioiden särmien pituudet ovt ) 3 m, j 5 m, b) j b. Lske kuutioiden pohjien pint-lojen suhde j kuutioiden tilvuuksien suhde. 35. Kun A4-rkki puolitetn pitempää sivu vstn kohtisuorll leikkuksell, sdn lkuperäisen rkin knss yhdenmuotoinen A5-rkki. Lske A4:n lyhyempi sivu, kun pitemmän sivun pituus on? 36. Kksi A4-rkki liitetään A3-rkiksi, jok on yhdenmuotoinen A4-rkin knss. Kuink pitkiä ovt A3:n sivut, kun A4:n sivut ovt edellisessä tehtävässä nnetut? 37. Osoit, että kikki prbelit y = x 2 ( > 0) ovt yhdenmuotoisi prbelin y = x 2 knss. http://solmu.mth.helsinki.fi/ 9
Ympyröistä 6. Ympyröistä Teori Ympyrät ovt keskenään yhdenmuotoiset. Vstinpituuksi ovt esimerkiksi p r r p r r d = 2r d = 2r hlkisijt d j d sekä kehien pituudet p j p. Jos mittkv on k, niin d d = k j p mistä seur d d = p p, j edelleen p d = p d. p = k, (ks. hrjoitus 1. ll.) Näemme, että kehän pituuden suhde hlkisijn yhdessä ympyrässä on sm kuin kehän pituuden suhde hlkisijn toisess ympyrässä, joten tämä suhde on ympyrän koost riippumton vkio eli se on sm kikiss ympyröissä. Suhde merkitään kreikklisell π-kirjimell (luetn pii ). Smme yhtälön p = π eli p = πd, j kosk d = 2r, on p = 2πr. d Ympyrän kehän pituus eli piiri on siis p = 2πr. Nykyisin tiedetään, että π on irrtionliluku j se on lskettu miljrdien desimlien trkkuudell. Yleisesti käytetty likirvo on π 3,14. Leikkmll ympyrä prilliseksi määräksi sektoreit j kokomll näin stu plpeli kuvsrjn mukisesti, sdn sitä trkemmin suorkulmio, mitä pienempiin sektoreihin ympyrä jetn. Tämän suorkulmion korkeus r πr A = πr 2 r on r j knt on puolet ympyrän kehästä, siis πr. Niinpä ympyrän l on A = r πr = πr 2. Arkhimedes 1 päätteli ympyrän ln tällä tvll noin 2200 vuott sitten! 1 Ks.http://solmu.mth.helsinki.fi/2000/mthist/html/kreikk/index.html# rkhimedes http://solmu.mth.helsinki.fi/ 10
Ympyröistä Hrjoituksi 38. Osoit, että verrnto d d = p p voidn kirjoitt muotoon p d = p d. 39. Piirrä ympyrä. Vlitse kehältä piste j siitä lken säteen mittisi jänteitä vstvi kri. Kuink moneen osn ympyrän kehä jkutuu? 40. ) Osoit kuvioss olevien ympyrän sisään piirretyn säännöllisen kuusir kulmion ympyrän j ympyrän ympäri piirretyn neliön piirejä vertilemll, että 3 < π < 4. b) Osoit, että jos yksikköympyrän (säde on 1) sisään piirretyn säännöllisen n-kulmion sivun pituus on n, niin smn ympyrän sisään piirretyn 2n-kulmion sivun pituus on 2n = n 2 +. 4 2 n Miten tästä sdn menetelmä π:n likirvon määrittämiseksi? 41. Päättele keskuskulm α vstvn r-säteisen sektorin l A s j tätä b α r keskuskulm vstvn kren pituus b. Osoit, että A s = 1 2 br. http://solmu.mth.helsinki.fi/ 11
Kehä- j keskuskulmist 7. Kehä- j keskuskulmist Teori Kuvioss α j β ovt sm krt AB vstvt kehäkulm j keskuskulm, B C O α β A j BC on ympyrän hlkisij. Kren AB steluku on sm kuin krt vstvn keskuskulmn steluku. Tehtäväsi on perustell, miksi kehäkulmn steluku on puolet vstvn keskuskulmn (kren) steluvust. Mieti ensin, A: miksi yllä olevss erikoistpuksess kulm OAC = α, B: j miksi β = 2α? Hrjoituksi 42. Perustele ylläolevn erikoistpuksen vull, miksi β = 2α. α β 43. Miksi β = 2α llolevss kuvioss? Mitä tphtuu kulmlle α B A α β C j sen kyljille, kun piste B liukuu pisteen A päälle? 44. Olkoon AB erään ympyrän hlkisij j P ( A, B) kehäpiste. Osoit, että P A P B. http://solmu.mth.helsinki.fi/ 12
Mikä on ste? 8. Mikä on ste? Teori Edellä on käytetty stett kulmn suuruuden mittn, mutt tätä yksikköä ei ole vielä määritelty. Se määritellään ympyrän kren vull. Kulmn kärki keskipisteenä piirretyn 1-säteisen ympyrän eli yksikköympyrän krest jää os kulmn kylkien väliin. Tämän osn pituus sopii hyvin 1 kulmn mittluvuksi. Historillisist syistä (muininen Bbyloni, joss käytettiin 60-järjestelmää) yksikköympyrä on tpn jk 360:een osn, j yksi tällinen os on ste, jok merkitään 1. Kosk yksikköympyrän kehän pituus on 2π, on siis 360 = 2π, eli 1 = π 180. Kulmn kylkien väliin jäävän yksikköympyrän kren pituutt snotn kulmn rdiniluvuksi, mikä toisinn lyhennetään rd. Hrjoituksi 45. Täydennä tulukko nnettujen kulmien rdiniluvuill. 180 90 45 30 60 120 46. Täydennä tulukko nnettujen kulmien steluvuill. π/8 3π/4 3π/2 π/10 1 0,0625 47. Kuink mont ) stett, b) rdini kellon tuntiosoitin kääntyy seitsemässä minuutiss? http://solmu.mth.helsinki.fi/ 13
Trigonometri 9. Trigonometri Teori Pidetään selvänä, että jos khdess kolmioss vstinkulmt ovt smt, niin kolmiot ovt yhdenmuotoiset. Khden vstinkulmprin yhtäsuuruus tietenkin riittää, sillä kolmnnet kulmt ovt tällöin yhtäsuuret kulmsummluseen perusteell. Tämä tulos on nimeltään kolmioiden yhdenmuotoisuusluse kk. Kuvion suorkulmiset kolmiot ovt yhdenmuotoiset, sillä niillä on suort α c b kulmt j yhteinen terävä kulm α. Kosk sdn verrnnot = b b = c c c b = b b, = c c (= suurennussuhde), j b b = c c, mistä seur = b b, = b j = b c c c c. Siis esimerkiksi kulmn vstisen kteetin suhde viereiseen kteettiin on kolmion koost riippumton. Se riippuu vin kulmn suuruudest. Jos pidetään kulmn viereinen kteetti vkion j vihdelln vstisen kteetin pituutt, niin kulmkin muuttuu. Vstvsti kulmn vstisen kteetin suhde hypotenuusn j kulmn viereisen kteetin suhde hypotenuusn ovt kolmion koost riippumttomi, yksinomn kulmlle ominisi lukuj. Nämä kolmion koost riippumttomt suhteet nimetään seurvsti: sin α = vstinen kteetti, hypotenuus viereinen kteetti cos α =, hypotenuus vstinen kteetti tn α = viereinen kteetti. http://solmu.mth.helsinki.fi/ 14
Trigonometri Kuvion c α b kolmioss siis sin α = c, cos α = b c j tn α = b. Suhteiden nimet ovt suomeksi sini, kosini j tngentti. Niitä snotn kulmn α trigonometrisiksi funktioiksi, j niiden (liki)rvot sdn lskimest. Hrjoituksi 48. Lske tämän kolmion tuntemttomiksi merkityt ost. y x 35 10 49. Kolmion sivujen pituudet ovt 3, 4 j 5. Osoit, että kolmio on suorkulminen j määritä sen terävät kulmt steen trkkuudell. (Tutustu lskimen ohjekirjst trigonometristen funktioiden käänteiseen käyttöön.) 50. Neliön lävistäjä puolitt suorn kulmn j tssivuisen kolmion korkeusjn puolitt kolmion kulmn j sen vstisen sivun. Täydennä tämän perusteell (lskimett) tulukko trkoill rvoill, esim. sin 45 = 1 2. 30 45 60 sin cos tn http://solmu.mth.helsinki.fi/ 15
Trigonometri 51. Olkoot kolmion terävän kulmn α kyljet j b. Osoit, että A = 1 b sin α. 2 52. Piirrä ympyrä. Vlitse sen kehältä piste j piirrä se keskipisteenä ympyrän keskipisteen kutt kulkev kri, jok leikk ympyrän kehää khdess pisteessä. Toist menettely käyttäen nyt keskipisteinä äsken piirtämäsi kren j ympyrän kehän leikkuspisteitä. Jtkmll näin st lopult lkuperäisen ympyrän sisään kuusiterälehtisen kukn. Kuink mont prosentti se peittää ympyrän lst? (Trkk rvo j likirvo.) 53. Suorkulmisen kolmion kteetit ovt j b. Kolmion sisään setetn neliö, jonk kksi sivu yhtyvät kteetteihin j yksi kärki on hypotenuusll. Lske neliön l. 54. Neliön kärjen kutt on piirretty kksi suor, jotk jkvt neliön ln kolmeen yhtäsuureen osn. Lske suorien välinen kulm steen trkkuudell. 55. Olkoot α j γ kolmion terävät kulmt j sekä c niiden vstiset sivut. Osoit, että sin α = c sin γ. 56. Lske lskimell 39 :een kulmn sinin j kosinin neliöiden summ (sin 39 ) 2 + (cos 39 ) 2. 57. Edellisen tehtävän tulos ei ollut sttum, vn yhtälö sin 2 α + cos 2 α = 1 on voimss kikill kulmill α. Todist tämä väite teräville kulmille. Ohje: Sovell Pythgorn lusett. (Trigonometristen funktioiden potenssej merkitään lyhyesti sin 2 α, cos 7 2t, tn n 4z jne....) http://solmu.mth.helsinki.fi/ 16
Trigonometri 58. Lske kulm α steen trkkuudell. α 59. Osoit, että tn α = sin α cos α. 60. Tiedetään, että sin α = 1. Määritä (lskimett) cos α j tn α. 4 61. Tiedetään, että tn α = 7. Määritä (lskimett) sin α j cos α. 62. ) Helsinki sijitsee 60:llä (pohjoisell) leveyspiirillä, eli mpllon keskipisteestä Helsinkiin piirretty jn muodost 60 :een kulmn Päiväntsjn tson knss. Kuink pitkä tämä leveyspiiri on? Mpllon ympärysmitt on 40000 km. N Helsinki 60 Päiväntsj S b) Lentokone lentää erästä pohjoist leveyspiiriä pitkin uringonlsku kohti nopeudell 780 km/h. Millä leveyspiirillä lennetään, kun Aurinko pysyy koko jn horisontiss? http://solmu.mth.helsinki.fi/ 17
Trigonometri 63. Olkoot suorkulmisen kolmion kteetit j hypotenuus, b j c, sekä terävät kulmt α j β kuvion mukisesti. Hypotenuus vstn b β h α α p c q β piirretty korkeusjn h jk kolmion khdeksi lkuperäisen kolmion knss yhdenmuotoiseksi kolmioksi. Korkeusjnn j hypotenuusn yhteinen piste jk hypotenuusn osiin p j q. Täydennä yhtälöketjut ) sin α = c = =, b) cos α = b c = =, c) tn α = b = =, d) sin β = b c = =, e) cos β = c = =, f) tn β = b = =. g) Osoit kohtien f vull, että h = pq. h) Todist kohtien f vull Pythgorn luse. 64. Kulmn α kotngentti cot α on α:n tngentin käänteisluku. Osoit, että tn α + cot α = 1 sin α cos α. http://solmu.mth.helsinki.fi/ 18
Avruusgeometri 10. Avruusgeometri Teori Yläkouluss kppleiden tilvuuksien j osin pint-lojenkin kvt nnetn vlmiin. Niiden mtemttisiin johtmisiin päästään vst lukion integrlilskennn yhteydessä. Niinpä otmme tässä lähtökohdiksi vlmiit tilvuusj pint-lkvt. Merkitään seurvss suorn lieriön j krtion pohjn pint-l A:ll j korkeutt h:ll. Pllon säde olkoon r. Seurvt kvt ovt voimss: V lieriö = Ah, V krtio = 1 3 Ah, V pllo = 4 3 πr3, A pllo = 4πr 2. Suorn lieriön vipp suoristuu tsoon suorkulmioksi, kun se leiktn uki pohj vstn kohtisuor viiv pitkin. Suorn ympyräpohjisen krtion vipp suoristuu tsoon ympyräsektoriksi. Pllon pint ei suoristu tsoon. Vikk siitä leikkisi kuink pienen osn thns, osss säilyy in pllolle omininen kuperuus. Siitä huolimtt pllon pint-l on voitu määrittää. Pint-lkv johdetn jkmll pllon pint äärettömään määrään äärettömän pieniä plsi j lskemll plsten lähes tsomiset pint-lt yhteen. Tämä vikesti ymmärrettävä jtus toteutunee lustvsti lukion integrlilskennss. Se täsmentyy myöhemmin yliopistollisill mtemttisen nlyysin kursseill. Hrjoituksi 65. Osoit, että jos suorn ympyräpohjisen lieriön vipp j pohjt sivuvt pllo, niin lieriön vipn j pllon pint-lt ovt yhtäsuuret. 66. Mpllo voidn projisoid lieriön pinnlle. Näin sdn yksilehtinen krtt koko pllost. Mitkä ost pllost kuvutuvt lähes oikein? Mitkä ost vääristyvät phsti. Miten kuvutuvt nvt, meridinit j leveyspiirit? http://solmu.mth.helsinki.fi/ 19
Avruusgeometri 67. Poistmll pllost nvt j niitä yhdistävä isoympyrän kri sdn yksi-yhteen kuvus pllon pinnlt reunttomlle suorkulmiolle. Yksiyhteen trkoitt sitä, että jokist ukileiktun pllopinnn pistettä vst täsmälleen yksi reunttomn suorkulmion piste j kääntäen, jokist reunttomn suorkulmion pistettä vst täsmälleen yksi ukileiktun pllopinnn piste. Molemmill pinnoill on siis yhtä pljon pisteitä. Voisi kuvitell, että tällinen vstvuus johtuisi siitä, että plloll j sitä ympäröivällä lieriön vipll on sm pint-l. Miksi näin ei kuitenkn ole? Ohje: Tutki kuvion välipohjll vrustettu krtiot. 68. Osoit sopivll geometrisell konstruktioll, että kikiss voimiss relilukuväleissä ]0, r[ on yhtä pljon lukuj. 69. Olkoot n pllo suorss ympyräpohjisess lieriössä, jonk vipp sivu plloj j pohjt päätyplloj. Kuink suuren osuuden pllot täyttävät lieriöstä? 70. Sm kysymys kuin edellisessä tehtävässä, mutt nyt lieriön päät on n pllo pyöristetty päätypllojen pintoj myötäileviksi. Mitä tilvuuksien suhteelle tphtuu, kun n ksv suureksi? http://solmu.mth.helsinki.fi/ 20
Toiminnllist mtemtiikk Liite 1: Toiminnllist mtemtiikk Pllon tilvuus Pllon tilvuus on verrnnollinen säteen kuutioon j kertoimen on myös π smll tvll kuin ympyrän pint-ln kvss. Voimme siis olett, että V pllo = k πr 3, (1) missä k on toistiseksi tuntemton vkio. Sen määrittämiseksi täytyy tehdä mittuksi. Otetn siis trksteltvksi sopivn kokoinen pllo, vikkp isohko kuullkerin kuul. Mittn työntömitll sen hlkisij. Tilvuus määritetään ktsomll pllon mittlsiss syrjäyttämä vesimäärä. Kosk sekä tilvuus että säde nyt tunnetn, sdn k rtkistu yhtälöstä (1). Pllon pint-l Pllon pint-ln määrittäminen kokeellisesti onnistuisi prhiten pingispllon vull, jos olisi stvill smst mterilist tsomist levyä. Mittn luksi pingispllon hlkisij d työntömitll. Leiktn sitten levymäisestä mterilist suorkulmio, jonk sivut ovt d j πd. Jos mittukset on tehty huolell, niin pllo j suorkulmio pinvt yhtä pljon. Niiden pintlt ovt siis smt. Suorkulmion pint-l on πd 2 = 4πr 2, mikä siis on myös pllon pint-l. Peruslgebr Kun pllon tilvuus tunnetn, voidn sen pint-l joht myös peruskoulun lgebr sovelten. Trkstelln smnkeskisiä plloj, joiden säteiden erotus on h. Olkoon isompi pllo r-säteinen jolloin pienemmän pllon säde on r h. Pienemmän pllon pint-l A h lähestyy isommn pllon pint-l A, kun h lähestyy noll. Pllojen tilvuuksien erotus on pllon kuori, jonk pksuus on h. Ajtelln kuori jetuksi moneen hyvin pieneen osn, jotk levitetään tsoon. Kosk ost ovt pieniä, ne ovt lähes tsomisi. Ne ovt h:n korkuisi lieriöitä, joiden tilvuuksien summ on A h h. Toislt tämä tilvuus on myös 4 3 πr3 4 3 π(r h)3. Niinpä A h = 4 3 π r3 (r h) 3 h Selvästi = 4 3 π 3r2 h 3rh 2 + h 3 h A h 4 3 π 3r2 = 4πr 2, kun h 0. = 4 3 π( 3r 2 3rh + h 2). http://solmu.mth.helsinki.fi/ 21
Vstuksi j rtkisuohjeit Liite 2: Vstuksi j rtkisuohjeit 1. Ohjeess nnetuin nimityksin vsemmnpuoleisess tpuksess pintl on 1 2 uh + 1 2 vh = 1 2 (u + v)h = 1 2 h j oikenpuoleisess tpuksess pint-l on 1 ( + c)h 1ch = 1h + 1ch 1ch = 1h. 2 2 2 2 2 2 2. Lävistäjä jk suunnikkn khdeksi kolmioksi, joiden yhteinen korkeus on yhdensuuntisten sivujen välinen etäisyys h. Näiden kolmioiden knnt ovt myös yhtäsuuret, sillä suunnikkn vstkkiset sivut ovt yhtä pitkät. Jos tämä pituus on, niin suunnikkn l A = 2 1 h = h. 2 3. Olkoot puolisuunnikkn yhdensuuntiset sivut j b sekä niiden välinen etäisyys h. Lävistäjä jk puolisuunnikkn khdeksi kolmioksi, joiden lojen summ on kysytty pint-l. Siis A = 1h + 1 +b bh = h. 2 2 2 4. A = 2 h = ( h). 5. Lävistäjien u j v leikkuspiste jk v:n osiin h j v h. Lävistäjä u jk nelikulmion khdeksi kolmioksi, joiden yhteinen knt on u j korkeudet h j v h. Pint-l on siis A = 1 2 uh + 1 2 u(v h) = 1 2 u(h + v h) = 1 2 uv. 6. ) mx + (n m)y, b) b c( 2d). 7. 41 2 %. (Vähennä neliön lst kolmen suorkulmisen kolmion lt.) 3 8. 90. 9. Olkoot kolmion kulmt α, β j γ j γ:n vieruskulm δ. Tällöin δ + γ = 180. Toislt myös (α + β) + γ = 180. Siis α + β = δ. http://solmu.mth.helsinki.fi/ 22
Vstuksi j rtkisuohjeit 10. Kulmt ovt α, α j 1 (α + α). Sdn yhtälö 4 α + α + 1 4 (α + α) = 180, jost α = 72. Kolms kulm on 36. 11. Jos teräviä kulmi on enintään yksi, niin suori ti tylppiä kulmi on vähintään kksi. Niiden summ on vähintään oikokulm, joten sdn ristiriit. Siis kolmioss on vähintään kksi terävää kulm. 12. ) Jokinen kulm on oikokulm pienempi. b) Kupern n-kulmion vieruskulmien summ on 360, mistä seur, että sisäkulmien summ on (n 2) 180. c) Sovitn vstpäivään tphtuvt kierrot positiivisiksi j myötäpäivään tphtuvt negtiivisiksi. Jos monikulmioss on kover kulm α, niin eläimen suorittm kääntö on negtiivinen 180 α. Kiertojen summ on edelleen 360, joten n-kulmion kulmien summksi sdn (n 2) 180 smll tvll kuin kupern kulmion tpuksess. 13. Olkoon kyseessä säännöllinen n-kulmio. Smme yhtälön jonk rtkisu n = 15. (n 2) 180 n = 156, 14. Kikkien kolmioiden kikkien kulmien summ on n 360 + 4 90 = (n + 1) 360 = (2n + 2) 180, joten kolmioit on 2n + 2 kpplett. 15. Skrkulmt ovt vstpäiväisessä kiertojärjestyksessä α k, k = 1, 2, 3, 4, 5, j Σ niiden summ. Kuvion sisään jäävän kupern 5-kulmion kulmt olkoot vstpäiväisessä kiertojärjestyksessä A, B, C, D, j E siten, että kuvioss on kolmio, jonk kulmt ovt α 1, A j α 4. Smme yhtälöryhmän α 1 + A + α 4 = 180 α 2 + B + α 5 = 180 α 3 + C + α 1 = 180 α 4 + D + α 2 = 180 α 5 + E + α 3 = 180, http://solmu.mth.helsinki.fi/ 23
Vstuksi j rtkisuohjeit jonk yhtälöiden summ 2Σ + (A + B + C + D + E) = 5 180. Kosk A + B + C + D + E = 3 180, sdn tästä Σ = 180. 16. Olkoon kysytty kteetti. Pythgorn luseen mukn joten 2 + 12 2 = 13 2, 2 = 13 2 12 2 = (13 + 12) (13 12) = 25 1 = 25. Siis 2 = 25 j = ±5. Kosk > 0, vin = 5 kelp vstukseksi. 17. Sivujen pituudet toteuttvt Pythgorn yhtälön, joten kolmio on suorkulminen. 2 2 + 7 2 = 4 + 7 = 11 = 11 2, 18. Jott neliön pint-l olisi 5 ruutu, olisi sivun pituuden oltv 5. Siirtymällä yhdestä leikkuspisteestä yksi ruutu oikelle j kksi ruutu ylös päädyt toiseen leikkuspisteeseen, j näin stujen pisteiden välinen etäisyys on 5. Vdittu neliö löytyy nyt helposti. Lisäkysymys: Ruutupperille on helppo piirtää viivston leikkuspisteet kärkinä olev neliö, jonk pint-l on 100 ruutu. Miten piirretään neliö, jonk kärjet ovt leikkuspisteitä j pint-l on 101 ruutu? 19. Tiedetään, että 2 < 3 < 2. Piirrä leikkuspiste keskipisteenä ympyrä, jonk säde on 2. Sen sisään ei selvästikään jää yhtään leikkuspistettä, jonk etäisyys keskipisteestä olisi 3. 20. 1 4 2 3. 21. ) 6 13, b) b/ 2 + b 2. 22. ) On oltv + b > c, b + c >, c + > b. http://solmu.mth.helsinki.fi/ 24
Vstuksi j rtkisuohjeit b) Pituudet 5, 6, 7 toteuttvt -kohdn ehdot. Lsketn luksi kolmion pisintä sivu vstvn korkeusjnn pituus soveltmll Pythgorn lusett korkeusjnn lkuperäisestä kolmiost erottmiin oskolmioihin. Kolmion pint-l on 6 6. Kysytty etäisyys r toteutt yhtälön 5r 2 + 6r 2 + 7r 2 = 6 6, joten r = 2 3 6. 23. Olkoot suorkulmion sivujen pituudet u j v, jolloin pint-l A = uv. Tehtävässä nnetujen tietojen mukn u+v = s j u 2 +v 2 = d 2. Niinpä smme s 2 = (u + v) 2 = u 2 + v 2 + 2uv = d 2 + 2A, joten A = 1 2 (s2 d 2 ). 24. V = bc. 25. A = 2(b + bc + c). 26. l = 2 + b 2 + c 2. 27. V : V = k 3, A : A = k 2 j l : l = k. 28. ) Jos sivuthkon lävistäjän pituus on 6, niin särmän pituus on 6/ 2 = 3 2. Pint-l A = 6 (3 2) 2 = 108. Tilvuus V = ( 3 2 ) 3 = 27 2 2 = 54 2. b) Jos vruuslävistäjän pituus on 6, niin särmän pituus on 6/ 3 = 2 3. Pint-l A = 6 (2 3) 2 = 72. Tilvuus V = ( 2 3 ) 3 = 8 3 3 = 24 3. 29. 3 2 h = 2 ( h). http://solmu.mth.helsinki.fi/ 25
Vstuksi j rtkisuohjeit 30. Olkoot särmien pituudet u, v j w. Tällöin V = uvw. Sivuthkojen pint-l uv = 2, vw = 3, wu = 6. Kertomll nämä yhtälöt keskenään sdn jost seur V = 6. 2 3 6 = uv vw wu = (uvw) 2 = V 2, 31. 14,58 m. Ohje: Leikk huone uki j levitä se tsoon. 32. ) Suorkulmisess särmiössä vruuslävistäjän pituus on pienempi kuin särmien pituuksien summ. b) Yhtäsuuruus vllitsee, jos luvuist, b, c enintään yksi on positiivinen. c) Epäyhtälö on voimss, jos + b + c < 0. 33. Jos esimerkiksi särmien pituudet ovt 2, 3 j 6, niin vruuslävistäjän pituus on 7. 34. ) A 3 : A 5 = ( 3 5 )2 j V 3 : V 5 = ( 3 5 )3. 35. / 2. 36. 2. b) A : A b = ( b )2 j V : V b = ( b )3. 37. Kertomll yhtälö y = x 2, ( > 0), :ll sdn y = (x) 2. Merkitsemällä x = x j y = y yhtälö tulee muotoon y = x 2. 38. Tvoite svutetn kertomll verrnto d d = p p nimittäjien tuloll j jkmll näin stu yhtälö hlkisijoiden tuloll. 39. Ympyrän kehä jkntuu kuuteen yhtäsuureen osn. Tämän tunsivt mm. muiniset Bbyloniliset yli 4000 vuott sitten. http://solmu.mth.helsinki.fi/ 26
Vstuksi j rtkisuohjeit 40. ) Kuvion merkinnöillä smme piireistä kksoisepäyhtälön mistä väite seur. 6r < 2πr < 8r, b) Piirrä säde, jok on kohtisuorss n-kulmion sivu n vstn. Leikkuspiste puolitt sivun n sekä tätä sivu vstvn kren. Yhdistä sivun n j säteen päätepisteet jnll. Sen pituus on 2n. Säde jkutuu osiin x j 1 x. Sovell Pythgorn lusett kuvion suorkulmisiin kolmioihin j eliminoi yhtälöistä x. Lähtemällä rvost n = 6 st kvst 12-kulmion sivun pituuden j siitä edelleen 24-, 48- j 96-kulmion sivut. Arkhimedes lski tähän sti, mutt voit jtk lskimell pidemmällekin. π:n likirvoj ovt monikulmioiden piirien puolikkt eli π n 2n. 41. Selvästi A s = α 360 πr2 j b = α 360 2πr. Eliminoimll näistä yhtälöistä α sdn A s = 1br. 2 42. Ohje: Piirrä α:n kärjen kutt ympyrän hlkisij. 43. Ks. edellisen tehtävän ohje. 44. Väite seur edellä johdetust tuloksest: Kehäkulm on puolet vstvst keskuskulmst. Tässä tpuksess keskuskulm on oikokulm, joten kehäkulm on suor. 45. Kosk täysi kulm on sekä 360 että 2π, smme 180 90 45 30 60 120 π π/2 π/4 π/6 π/3 2π/3 46. Kuten edellä smme π/8 3π/4 3π/2 π/10 1 0,0625 22,5 135 270 18 180 /π 11,25 /π 47. ) 3,5, b) 3,5π 180. http://solmu.mth.helsinki.fi/ 27
Vstuksi j rtkisuohjeit 48. x = 10 tn 35 0,7 j y = 10 cos 35 12,2. 49. Luvut 3, 4, 5 toteuttvt Pythgorn yhtälön. Terävien kulmien steluvut ovt noin 36,9 j 53,1. 50. Näitä kolmioit kutsutn muistikolmioiksi. sin cos tn 30 1/2 3/2 1/ 3 45 1/ 2 1/ 2 1 60 3/2 1/2 3 51. Ohje: Piirrä toisen kyljen vstinen korkeusjn. 52. Kukn pint-l on (2π 3 3)r 2 j prosenttiosuus ympyrän lst 2π 3 3 π 100% 34,6%. 53. Neliön l A = ( ) b 2. + b 54. 23. 55. Ohje: Sovell tehtävän 51 tulost. 56. Summ on 1. 57. Pythgorn luseen mukn 2 + b 2 = c 2. Jkmll tämä yhtälö luvull c 2 sdn ( c ) 2 + ( b c ) 2 = 1, mikä on kysytty yhtälö. http://solmu.mth.helsinki.fi/ 28
Vstuksi j rtkisuohjeit 58. α = 45. 59. Jos α:n vstinen kteetti on, viereinen kteetti b j hypotenuus c, niin tn α = b = /c b/c = sin α cos α. 60. cos α = 1 4 15, tn α = 1 15. 61. Kosk tn α = 7, on sin α = 7 cos α. Yhtälöprist seur (sin α > 0, cos α > 0) { sin α = 7 cos α sin 2 α + cos 2 α = 1 cos α = 1 50 = 1 5 2 j sin α = 7 5 2. 62. ) 20000 km, b) 62 pohjoist leveyttä. 63. Lskemll tn α pienistä kolmioist sdn verrnto, jost seur h 2 = pq j edelleen h = pq. Lskemll sin α oikenpuoleisest pikkukolmiost sekä lkuperäisestä sdn verrnto, jost seur 2 = qc. Lskemll cos α vsemmnpuoleisest pikkukolmiost sekä lkuperäisestä sdn verrnto, jost seur b 2 = pc. Niinpä 2 + b 2 = qc + pc = (q + p)c = cc = c 2. 64. tn α + 1 tn α = sin α cos α + cos α sin α = sin 2 α sin α cos α + cos2 α sin α cos α = sin2 α + cos 2 α sin α cos α = 1 sin α cos α. http://solmu.mth.helsinki.fi/ 29
Vstuksi j rtkisuohjeit 65. Lieriön vipn j pllon pint-lt ovt yhtäsuuret: 2πr r A vipp = 2πr 2r = 4πr 2 = A pllo 2r 66. Päiväntsjn seutu kuvutuu lähes oikein, np-lueet litistyvät pystysuunnss j levenevät vksuunnss. Meridinit kuvutuvt ukileiktulle viplle tsvälisiksi pystysuoriksi j leveyspiirit l- j yläreun kohti tiheneviksi vksuoriksi. Nvt kuvutuvt ukileiktun vipn l- j yläreunksi. 67. Krtion huipust piirretyt pohj leikkvt puolisuort määrittelevät yksi-yhteen kuvuksen krtion pohjn j välipohjn välille, vikk näiden pohjien pint-lt ovt selvästi erisuuret. Silti näissä pohjiss on yhtä pljon pisteitä. 68. Osoitetn, että on olemss yksi-yhteen kuvus väliltä ]0,1[ välille ]0,r[ kikill r R +. Jos r = 1, niin si on selvä. Jos r 1, niin pisteiden (0,1) j (1,r) määräämä suor ei ole x-kselin suuntinen vn leikk sen eräässä pisteessä. Tämän pisteen kutt piirretyt y-kselin välin ]0,1[ kohtvt puolisuort määrittelevät vditun kuvuksen. 69. V pllot : V lieriö = 2 : 3. 70. Tässä tpuksess tilvuuksien suhde ei ole n:stä riippumton, vn Supistmll n:llä nähdään, että V pllot = 2n V putki 3n 1. V pllot V putki = 2 3 1 n 2, kun n. 3 http://solmu.mth.helsinki.fi/ 30