Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Transkriptio

1 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 7 ja 19. Laske kolmion hypotenuusan pituus, sekä terävien kulmien suuruudet. b) Asunnon pohjapiirroksessa keittiön koko on. Mikä on keittiön oikea pinta-ala, jos pohjapiirroksen mittakaava on 1:00? 3. Määritä oheisesta kuviosta kolmion ABC kulmat ja sivujen pituudet. Tiedetään, että suorat L1 ja L ovat keskenään yhdensuuntaiset ja L3 ja L4 ovat keskenään yhdensuuntaiset. Lisäksi tiedetään janat PQ = 4 cm, BQ = 3 cm ja QC = 5 cm. 4. a) Oheisen kuvion päädyssä on puoliympyrän kaari. Määritä kuvion ympärysmitta ja pintaala. b) Kolmion sivut ovat 6 cm, 8 cm ja 1 cm. Määritä kolmion kaikki kulmat. KÄÄNNÄ PAPERI!

2 Jussi Tyni 5. GPS-paikannussatelliitti kiertää maata kiertoradalla, joka on km maanpinnan yläpuolella. a) Kuinka suuren pinta-alan maapallosta satelliitti kattaa kerralla? b) Kuinka paljon tämä on prosentuaalisesti maapallon pinta-alasta? Maapallon säde on 6370 km. Kuva tehtävään 5! 6. Kuinka korkealle Lontoon yläpuolelle pitäisi kiivetä, jotta näkisi Helsinkiin? Lontoon ja Helsingin etäisyys on 1900 km. Maapallon ympärysmitta on km ja säde on 6370km 7. Lentokone B lentää 4,3 km korkeudella ja se näkyy lennonjohtotornista A katsottuna 7 kulmassa maanpinnan yläpuolella. Toinen lentokone C lentää 5, km korkeudella ja näkyy lennonjohtotornista A katsottuna 47kulmassa maanpinnan yläpuolella. Lisäksi lennonjohdon tutka näyttää, että lennonjohdosta katsottuna koneiden välinen kulma ilmassa on 3. Kuinka etäällä koneet ovat toisistaan? 8. Ympyrän sisään on piirretty mahdollisimman iso neliö ja jokaiseen neliön ulkopuolelle jäävään ympyrän segmenttiin on piirretty mahdollisimman suuri ympyrä. a) Mikä on segmenttiin piirretyn ympyrän säde, jos koko ympyrän säde on r? b) Mikä on näiden neljän segmentteihin piirrettyjen ympyröiden yhteenlasketun pintaalan suhde koko ympyrän pinta-alaan? Anna vastaukseksi suhteen tarkka arvo, sekä likiarvo prosentin kymmenesosan tarkkuudella. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxbonus: +3p Laske paistinpannun tilavuus, jos se on malliltaan pyöreä ja pohja on 0 cm halkaisijaltaan ja yläreuna on 8 cm halkaisijaltaan. Paistinpannu on 6 cm korkea. OTA TÄMÄ KYSYMYSPAPERI MUKAAN POISTUESSASI JA VAIKKA MERKKAA SIIHEN OMAT VASTAUKSESI. OIKEAT VASTAUKSET NÄKEE n. KLO 1:00 OSOITTEESTA:

3 Ratkaisut: 1. a) Kehäkulma ja keskikulma Jussi Tyni Kehäkulma on aina puolet keskukskulmasta b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut. Ylös muodostuu kolmion kulmista alfa, beetta ja gamma oikokulma = 180 astetta.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 7 ja 19. Laske kolmion hypotenuusan pituus, sekä terävien kulmien suuruudet. c 19 7 c 410 c 410 0, 5 c hypotenuusa on siis noin 0,3 pituusyksikköä. b) Asunnon pohjapiirroksessa keittiön koko on. Mikä on keittiön oikea pinta-ala, jos pohjapiirroksen mittakaava on 1:00? 1 5,5 1 5,5 A 5, cm 00 A A A m 3. Merkitään suorien L3 ja L leikkauspistettä vaikka R:llä. Jana AR=4, koska APQR on suunnikas. Merkitään janan RB pituutta x:llä. Sivu CB on yhteensä 8.

4 Jussi Tyni Nyt kolmiot ABC ja PQC ovat yhdenmuotoiset, koska kk (Kulma C sama molemmissa ja kulmat B ja Q ovat yhtäsuuret, koska ne ovat samankohtaiset). Voidaan käyttää yhdenmuotoisten kuvioiden perusteella verrantoa: (4 x) 3 0 5x 1 5x, 4 x 4 x 8 Koska 35 asteen kulma voidaan ristikulman avulla määrittää myös kolmion ABC, sisälel, tiedetään: Tästä sinilauseella:` 8 6,4 6,4sin 35 8sin 6, 4sin 35 sin sin sin 35 sin 8 7,3 ja ,3 117,7 Taas sinilause: y 8 8sin117, 7 8sin117, 7 ysin 35 y 1,35 1, 4 sin117, 7 sin 35 sin 35 Joten kulmat: 35; 7,3 ja 117,7 astetta. Sivut: 6,4; 8 ja 1,4 4. a) Puoliympyrän halkaisija on 6 cm, joten sen säde r=3 cm. Tällöin sen kaari b on 3 b 3. Tällöin ympärysmitta s on: s 1cm 1cm 6cm 3cm 30cm 3cm 39, 4cm Pinta-ala on suorakulmion pinta-ala puoliympyrän ala: 3 9 A 6cm 1cm 7cm cm 57,9cm 5. Satelliitti kattaa kerralla kalotin, jota voidaan mallintaa kolmiulotteisesti näin: 1

5 Jussi Tyni Helpompi on kuitenkin tarkastella tilannetta sivukuvasta, josta saadaan laskettua kalotin korkeus: Lasketaan x suorakulmaisesta kolmiosta pythagoraan lauseella: x x x x km Ratkaistaan samasta kolmiosta myös huippukulma alfa: 6370 sin sin Nyt jos myös alussa mietittyä satelliitin kattamaa kalottia mietitään sivukuvana ja yhdistetään siihen meidän jo selvittämät asiat, niin se näyttää tältä: Mistä voidaan laskea kalotin korkeus h kosinin avulla: 0000 h cos cos h h cos km Kalotin pinta-ala on A rh 6370km 4830km km A 4 r km Maapallo A km Suhde : 0,38 38% A km Maapallo Joten satelliitti kattaa kerralla noin 38% maapallon pinta-alasta.

6 Jussi Tyni R=6370 km maapallon säde ja h on se Lontoon yläpuolelle nouseva korkeus, mitä haetaan. Huomioi, että Helsingin ja Lontoon välinen etäisyys 1900 km on maata pitkin, eli ympyrän kaaren pätkä. Lasketaan tätä kehän pätkää vastaavan kulman alfa suuruus: Koko kehä = r Nyt 1900km , Tarkastellaan syntyvää kolmiota: cos53, 69 x 10757,34km x cos53, 69 Kun tästä vähennetään maapallon säde 6370 km pois, saadaan korkeus h jota haettiin. h=10757,34km km=4387,34km=4400km. Pitäisi siis nousta 4400 km korkeuteen! 7. Mallikuva:

7 Jussi Tyni Muodostetaan kuvan lentokoneille omat sivukuvat ja lasketaan Lentokoneiden etäisyydet AB ja AC lennonjohdosta: 4,3 4,3 sin 7 AB 9,47km AB sin 7 Vastaavasti lentokone C:n kanssa: 5, 5, sin 47 AC 7,11km AC sin 47 Nyt ilmaan muodostuu kolmio, josta tiedetään avaruuskulma 3 ja sen viereiset sivut: Kosinilauseella: x 4,3 5, 4,3 5, cos3 sin 7 sin 47 sin 7 sin 47 4,3 5, 4,3 5, x cos3 sin 7 sin 47 sin 7 sin 47 x,4km 8. Mallikuva: Selvitetään ensin suorakulmaisesta kolmiosta säteen r ja neliön sivun x suhde:

8 r x x r x r r x x r x Jos pikkuympyröiden halkaisijaksi on merkitty d, niin nythän täytyy olla: r r x d d r x r r r r r 1 d r a) Ja puolet halkaisijasta, eli pikkuympyrän säde: r pikku r r b) Yhden pikkuympyrän ala: Apikku r r r r Pikkuympyröitä on neljä kpl: 3 3 4Apikku 4 r r 8 Ison ympyrän ala: Suhde: Aiso r 3 4A r pikku 3 0,086 8,6% A r iso Jussi Tyni Bonus:,7 litraa