766349A AALTOLIIKE JA OPTIIKKA kl 017, viikko 3 Harjoitus 1 Viimeinen näyttöpäivä ke 1.. 1. Mitkä funktioista a) y( x, t) ( x t) b) y( z, t) 5sin [4 ( t z)] ja c) y( x, t) 1/( x t) etenevät muotonsa säilyttäen vakionopeudella, kun aika t kasvaa tasaisesti? Tutki asiaa sijoittamatta funktiota aaltoyhtälöön. Anna lisäksi etenemissuunta ja vauhti, kun funktiot ovat SI-yksiköissä.. Jännitetyssä köydessä etenevää pulssia kuvaa SI-yksiköissä yhtälö y( x, t) 3. ( x t) 1 Hahmottele (karkeasti) funktion kuvaaja ajan hetkillä t 0, t 0,5 ja t 1,0 ja laske paikassa x 1,0 olevan köyden osasen poikittainen (y-suuntainen) nopeus kyseisillä ajan hetkillä. Liikkuko kyseinen köyden osanen ylöspäin vai alaspäin kyseisillä ajan hetkillä. 3. Osoita, että funktiot a) y Asin( kx t 0) ja b) y f ( x v t) toteuttavat aaltoyhtälön. 4. Viereisessä kuvassa on esitetty ympyräsymmetrisen aaltoliikkeen vakiovaiheen aaltorintamia.mikä on vaihe-ero pisteiden a) A ja B, b) C ja D ja c) E ja F välillä? 5. Harmonisen aallon amplitudi on 0,0 m, jaksonaika 1 s ja vauhti 10 m/s. Aalto etenee negatiivisen x-akselin suuntaan ja ajanhetkellä t = 0 poikkeama origossa on 0,01 m siten, että se on laskevassa vaiheessa kohti tasapainosemaa. Kirjoita aaltoa esittävä funktio. 6. Kaivoskuilussa riippuu köysi (ks. kuva), jonka pituus on 80,0 m ja massa,00 kg. Köyden päässä riippuu lisämassa 0,0 kg, jota heilauttamalla lähetetään signaali (pulssi) kohti yläpäätä. Laske a) signaalin nopeus alhaalla, keskellä ja ylhäällä sekä b) pulssin nousuaika. Käytä maan vetovoiman kiihtyvyydelle arvoa g 9,8 m/s.
766349A AALTOLIIKE JA OPTIIKKA kl 017, viikko 5 Harjoitus Viimeinen näyttöpäivä ke 15.. i 1. Tarkastellaan harmonisen aallon kompleksiesitystä y Ae, missä kx t 0. a) Osoita, että y säilyy muuttumattomana, jos vaihetta kasvatetaan :llä. b) Osoita, että aallon kertominen imaginaariyksikköllä i vastaa /:n vaihesiirtoa ja että kertominen -1:llä vastaa :n vaihesiirtoa.. Kaksi harmonista aaltoa y1 4Asin( ) ja y 5Asin( 0), missä kx t, yhdistetään. a) Osoita, että summa-aallon amplitudi on 41 40cos( 0) A b) Minkä rajojen välissä amplitudi vaihtelee aaltojen välisen vaihe-eron 0 vaihdellessa? c) Mikä on amplitudi, kun vaihe-ero /3? 3. Väliaineessa havaitaan seisova aalto y( x, t) 3sin xcos 50 t, 10 missä x ja y ovat senttimetreinä ja t sekunteina. a) Laske solmupisteiden välimatka ja väliaineen osasen poikkeama, nopeus ja kiihtyvyys pisteessä x 5,0 cm ajanhetkellä t 0, s. b) Osoita, että aalto ei kuljeta energiaa. Ohje: Funktion sin( t) cos( t) aikakeskiarvo on nolla. 4. Kitaran kielen pituus on 63,5 cm ja sen perusvärähdys on viritetty taajuudelle 45 Hz. a) Laske kielessä edestakaisin etenevän poikittaisen aallon nopeus. b) Laske kieltä ympäröivään ilmaan syntyvän ääniaallon taajuus ja aallonpituus. Oleta äänen nopeudeksi ilmassa 344 m/s. 5. Rock-konsertissa 3,4 m:n etäisyydellä kaiuttimesta rekisteröidään 130 db:n intensiteettitaso. a) Mikä on kaiuttimesta lähtevä ääniteho, kun ääni leviää tasaisesti kaikkiin suuntiin? b) Kuinka kaukana kaiuttimesta äänen intensiteettitaso on 90 db? c) Kuinka kauas ääni kuuluu? d) Oletetaan seuraavaksi, että äänen absorptio ilmaan on 0 db/km. Kuuluuko ääni 3,5 km:n etäisyydellä? 6. Urkupillin perustaajuus ilmassa on 6 Hz. Mikä olisi perustaajuus, jos pilli täytettäisiin samanlämpöisellä heliumilla, jonka moolimassa on 4,00 g/mol ja ominaislämpökapasiteettien suhde 1, 67? (ilmalla vastaavat arvot ovat 8,8 g/mol ja 1,40).
766349A AALTOLIIKE JA OPTIIKKA kl 017, viikko 7 Harjoitus 3 Viimeinen näyttöpäivä ke 1.3. 1. Kaksi ääntä, joiden taajuudet ovat 0 Hz ja 1000 Hz, etenee samassa väliaineessa ja niillä on sama intensiteetti. Miten äänten poikkeama-amplitudit suhtautuvat toisiinsa? Entä paineamplitudit?. Ihmisen korvakäytävän pituus on noin,5 cm. a) Selitä, miksi korva on erityisen herkkä taajuuksilla, jotka ovat lähellä 3500 Hz:iä. b) Onko korva herkkä myös taajuuksilla 7000 Hz ja 10500 Hz? Miksi tai miksi ei? Oleta äänen nopeudeksi 344 m/s. 3. Kaksi identtistä viulun kieltä on viritetty samaan jännitykseen, jolloin niiden perustaajuus on 440,0 Hz. Toisen kielen jännitysvoimaa säädetään. Säädön jälkeen kuullaan 8,5 huojumista sekunnissa, kun molempien kielten lähettämää ääntä kuunnellaan yhtä aikaa. a) Laske säädetyn kielen perusvärähdystaajuus, kun jännitystä kasvatettiin ja toisaalta kun sitä pienennettiin. b) Kuinka paljon kielen suhteellista jännitystä muutettiin, kun jännitystä kasvatettiin ja toisaalta kun sitä pienennettiin? 4. Juna liikkuu nopeudella 30 m/s kohti kallioseinää. Veturin pilli lähettää äänimerkin, jonka taajuus on 400 Hz. Minkä taajuisena veturin kuljettaja kuulee seinästä heijastuneen äänen? 5. Autot A ja B ajavat samaa tietä pitkin kohti toisiaan ja lähestyvät havaitsijaa C, joka on paikoillaan tien reunassa. Autojen äänimerkkilaitteet lähettävät ääntä samalla taajuudella 400 Hz. Auton A nopeus on 100 km/h. Havaitsija C kuulee 10 huojahdusta sekunnissa kuunnellessaan autojen äänimerkkilaitteita. a) Mikä on auton B nopeus? b) Minkä taajuisena auton A kuljettaja kuulee auton B merkkiäänen? Käytä äänen nopeutena 340 m/s. 6. Ääntä nopeammin lentävä lentokone lentää vakiokorkeudella h nopeudella v S. Ajan T kuluttua siitä, kun kone ylittää havaitsijan, havaitsija kuulee shokkiaallon pamauksen. Osoita, että koneen nopeus saadaan kaavasta hv vs, h v T missä v on äänen nopeus ilmassa.
766349A AALTOLIIKE JA OPTIIKKA kl 017, viikko 9 Harjoitus 4 HUOM! Viimeinen näyttöpäivä pe 3.3. 1. Tyhjiössä etenevän sähkömagneettisen aallon sähkökenttävektorin E komponentit 6 14 E 400sin (310 z 9 10 t), E 0 ja E 0. SI-yksiköissä ovat x a) Määritä aallon aallonpituus, taajuus, sähkökentän amplitudi, polarisaation suunta, etenemissuunta ja etenemisvauhti. Minkä väristä valoa aalto edustaa? b) Kirjoita aallon magneettikenttävektorin (magneettivuon tiheyden) B komponentit. c) Laske aallon irradianssi.. Tehtävän 1 aalto valaisee kohtisuorasti ympyränmuotoista levyä, jonka säde on 30 cm. Tulevan aallon irradianssista 60% absorboituu levyyn ja 40% heijastuu takaisin. Laske levyn viidessä minuutissa saama liikemäärä. 3. Sähkömagneettisen aallon taajuus on 600 10 1 Hz (vihreä valo) ja se etenee tyhjiössä positiivisen x-akselin suuntaan sähkökentän amplitudilla 60 V/m. Aallon sähkökentän värähtelysuunta muodostaa 30 o :een kulman positiivisesta z-akselista mitattuna (ks. kuva). Kirjoita lausekkeet E- ja B-kenttävektoreiden komponenteille. 4. Erään laserin emittoiman sähkömagneettisen aallon sähkökentän voimakkuus on V m 3 7 1 15 1 E,0 10 sin 1,3 10 m x 3,69 10 s t a) Laske laserin irradianssi. b) Laske laserin säteilyvirta (teho), kun oletetaan, että laservalo etenee 1 mm:n halkaisijaltaan olevana tasapaksuna lasersäteenä. c) Laske laserin valovirta. 5. Isotrooppinen lamppu on 3 m:n korkeudella lattiasta. Lampun antama valaistusvoimakkuus lattialla suoraan sen alapuolella on 100 lm/m. a) Laske lampun valovoima. b) Mikä on valaistusvoimakkuus lattialla 1 m:n päässä edellisestä tarkastelukohdasta. 6. a) HeCd-laserin aallonpituus on 441,6 nm ja teho 50 mw. HeNe-laserilla vastaavat arvot ovat 63,8 nm ja 4,0 mw. Lasereiden säteiden halkaisijat ovat samat ja säteet osuvat vierekkäin valkoiselle varjostimelle. Arvioi silmän herkkyyskäyrän (kääntöpuolella) avulla täplien suhteellista kirkkautta. b) Minkä tehoinen argon-laser (488,0 nm) tuottaa yhtä kirkkaan (saman kokoisen) täplän kuin vihreä (543,3 nm) HeNe-laser, jonka teho on 0,5 mw? Vihje: Täplän kirkkaus määräytyy pintaan kohdistuvasta valaistusvoimakkuudesta. y z.
766349A AALTOLIIKE JA OPTIIKKA kl 017, viikko 11 Harjoitus 5 Viimeinen näyttöpäivä ke 9.3. 1. Johda Stefan-Boltzmannin laki lähtien mustan kappaleen säteilylaista. 3 4 hc x Vihjeitä: Käytä sijoitusta x. Integraali x kt dx e 1 15 0. a) Veden taitekerroin on 1,33 ja kruunulasin 1,54. Mikä on kruunulasin ja veden rajapinnan kriittisen kulman arvo? b) Uima-altaan pohjalla 100 cm:n syvyydessä on pieni valoa kaikkiin suuntiin emittoiva kappale. Pinnan yläpuolelta katsottuna veden pinnalle muodostuu valoisa ympyrä, kun valonsäteet taittuvat ilmaan Määritä valoisan ympyrän säde. 3. Johda taittumislaki Fermat'n periaatteesta. Ohje: Laske viereisestä kuvasta valon käyttämä aika pisteestä A pisteen O kautta pisteeseen B. Esitä aika muuttujan x avulla ja minimoi aika. 4. Optisen kuidun ydin on valmistettu lasista, jonka taitekerroin on n1 = 1,66. Ydintä suojaa ns. vaippa, jonka taitekerroin on n = 1,5. Ydin-vaippa-rajapinta on siis kokonaisheijastava. a) Millä tulokulman arvoilla kuituun ilmasta saapuva säde etenee kuidussa? b) Ytimen halkaisija on D ja säde tulee kuituun akselin suuntaisena aivan ytimen reunaan (ks. kuva). Kuitu taivutetaan siten, että kaarevuussäde on R. Millä suhteen R/D arvoilla säde etenee pitkin kuitua kokonaisheijastuen? 5. Kahden peräkkäisen toistensa suhteen ristikkäin (transmissioakselit 90 asteen kulmassa toistensa suhteen) olevan lineaarisen polarisaattorin läpi valo ei pääse. Osoita, että jos polarisaattoreiden väliin asetetaan N kappaletta lisäpolarisaattoreita tasaisin transmissioakselin kulmavälein siten, että kokonaiskiertymäksi tulee 90 o, niin läpi mennyt irradianssi on I 90 N 1 I1 cos missä I1 on ensimmäisen polarisaattorin läpi mennyt irradianssi. Laske tapaukset N = 1,, 5 ja. Mitä merkillistä havaitset? 6. Kuperan peilin kaarevuussäde on 80 cm. Pieni esine on asetettu peilin eteen 60 cm:n päähän. Missä kuva sijaitsee? Onko kuva todellinen vai valekuva, onko se oikeinpäin vai kääntynyt ja mikä on sen koko suhteessa esineeseen? Hahmottele kuvan syntyminen myös graafisesti. N 1,
766349A AALTOLIIKE JA OPTIIKKA kl 017, viikko 13 Harjoitus 6 Viimeinen näyttöpäivä ke 5.4. 1. Astiassa on vettä ja veden pinnalle voidaan asettaa tasapaksu lasikansi (katso kuva). Osoita, että ilmasta kulmassa tulevan säteen taitekulma veteen on sama riippumatta siitä onko lasikansi paikoillaan tai ei.. Kuperan (positiivisen) ohuen linssin taitekerroin on 1,50 ja sen polttoväli ilmassa on 30,0 cm. Linssi upotetaan läpinäkyvään nesteeseen, jolloin siitä tulee negatiivinen linssi, jonka polttoväli on 188 cm. Laske nesteen taitekerroin. 3. Säteen kulun käänteisyydestä seuraa, että jos todellinen esinepiste O kuvataan positiivisella linssillä (polttoväli f ) todelliseksi kuvapisteeksi I, niin myös kuvapiste I kuvautuu esinepisteeksi O. Pisteet O ja I ovat ns. konjugoituja pisteitä. a) Jos konjugoidut pisteet ovat etäisyydellä L 4 f toisistaan, niin niiden välissä on kaksi paikkaa (1) ja () etäisyydellä d toisistaan, joihin sijoitettu linssi kuvaa pisteet toisikseen (katso kuva). Osoita, että linssin polttoväli saadaan laskemalla L d f. 4L b) Miksi tämä linssin polttovälin määritysmenetelmä ei toimi, jos L 4 f? Entäpä jos L 4 f? 4. Lasisen ( n 1, 50 ) puolipallon ( R 7,5 cm) kaareva pinta on hopeoitu heijastavaksi peiliksi. Puolipallon sisällä keskiakselilla 5 cm:n syvyydellä tasopinnasta sijaitsee pieni ilmakupla. Kun kuplaa katsotaan tasopinnan suunnasta, nähdään kaksi kuvaa. Miten ne syntyvät ja missä kohtaa ne näyttävät olevan? 5. Koveran peilin kaarevuussäde R on 0 cm ja myös sen halkaisija d on 0 cm (ks. kuva). Esinepiste O sijaitsee optisella akselilla 30 cm:n etäisyydellä peilistä. Kuvapiste I on tarkasti ottaen kuvaviiva pitkin optista akselia, koska eri korkeuksilta (h) heijastuvat säteet muodostavat kuvapisteen hieman eri paikkaan. a) Laske paraksiaalisen approksimaation mukainen kuvapisteen paikka. 6. b) Osoita, että kulmat kuvassa toteuttavat yhtälön '. c) Laske kulmien avulla kuvaviivan pituus. Miten viiva sijoittuu optiselle akselille suhteessa paraksiaalisen approksimaation mukaisen kuvapisteeseen paikkaan?
766349A AALTOLIIKE JA OPTIIKKA kl 017, viikko 14 Harjoitus 7 Viimeinen näyttöpäivä ke 1.4. 1. a) Osoita matriisilaskulla, että koveraan pallopeiliin optisen akselin suuntaisena saapuva säde ( 0 0 ) heijastuttuaan leikkaa optisen akselin ( y 0) etäisyydellä R / peilistä. b) Valonsäde saapuu lähes kohtisuoraan ( 0 hyvin pieni) ilmasta tasapaksuun lasilevyyn, jonka taitekerroin on n ja paksuus t. Säde taittuu ensimmäisessä pinnassa, siirtyy matkan t levyn sisällä ja lopuksi taittuu jälkimmäisessä pinnassa. Osoita matriisilaskulla, että säde kokee yhdensuuntaissiirtymän ja edelleen että yhdensuuntaissiirtymän suuruus on 1 1 0 t n.. a) Muodosta lasisen puolipallon ( R 5,0 cm ja n 1,5 ) systeemimatriisi, kun valo saapuu ensin tasopintaan. b) Mihin suuntaan akselin suhteen taittuu sellainen säde, joka osuu kohtisuorasti tasopintaan 1,0 cm akselin yläpuolella? 3. Jatka tehtävän systeemiä etäisyydelle x puolipallon taakse ja muodosta systeemin matriisi x:n funktiona. Laske tämän matriisin avulla missä b)-kohdan säde leikkaa optisen akselin (siis y f 0). 4. Osoita, että kuvapuolella peruspisteiden etäisyydet ovat (ks. luento) A 1 A 1 q, s ja f C C C 5. Hajottavan ohuen linssin ja koveran pallopeilin polttovälin pituus on sama f ( f ). Esine asetetaan 3 f / :n etäisyydelle linssistä ja peili 3 f :n etäisyydelle linssin toiselle puolelle. Kuva muodostuu (taittuminen linssissä, heijastuminen peilistä, taittuminen jälleen linssissä) etäisyydelle x linssistä. Osoita ensin, että systeemimatriisi on 5 8 x / f 1 f / 17x 8/ f 17 ja määritä sen avulla systeemin antaman kuvan paikka ja suurennus. Vihje: tapaus B=0. 6. Linssisysteemi muodostuu kahdesta ohuesta linssistä, joiden välimatka on 10 mm. Ensimmäisen linssin polttoväli on -60,0 mm ja toisen +10 mm. a) Laske systeemin efektiivinen polttoväli ja päätasojen sijainnit. b) Laske kuvan paikka ja koko, kun 3 mm korkea esine sijaitsee 180 mm systeemin edessä. c) Piirrä kuva mittakaavaan
766349A AALTOLIIKE JA OPTIIKKA kl 017, viikko 15 Harjoitus 8 Viimeinen näyttöpäivä pe 1.4. 1. Optinen systeemi muodostuu seuraavista komponenteista (vasemmalta lukien): 1. Esinetaso. Ohut linssi L1 ( f 1 40/3 cm, halkaisija cm), joka on 40 cm:n päässä esinetasosta 3. Ympyränmuotoinen aukko A (halkaisija 1/ cm), joka on 0 cm:n päässä L1:stä 4. Ohut linssi L ( f 0/3 cm, halkaisija cm), joka on 10 cm:n päässä A:sta 5. Kuvataso a) hahmottele systeemi b) määritä kuvatason paikka c) määritä aukkokaihtimen ja pupillien paikat ja koot d) määritä kenttäkaihtimen ja ikkunoiden paikat ja koot e) määritä esinepuolen ja kuvapuolen näkökulmat ja '. Lasiprismaan, jonka taittava kulma on 60, osuu yhdensuuntainen sädekimppu valkoista valoa sellaisessa tulokulmassa, että punaisen valon ( n 1,55 ) deviaatiolla on minimi. Minkä kulman punainen ja violetti ( n 1,535 ) säde muodostavat keskenään kuljettuaan prisman läpi? 3. Tasasivuisen kruunulasiprisman taitekerroin aallonpituudella 656,3 nm on 1,63461 ja aallonpituudella 486,1 nm se on 1,64611. a) Määritä Cauchy'n vakiot A ja B. b) Määritä natriumin keltaisen viivan (aallonpituus 589,3 nm) minimideviaatiokulma. c) Määritä prisman dispersio ja dispersiokyky. Oleta tässä, että kaikki säteet F, D ja C ovat "lähes" minimideviaatiossa ja käytä tarkkaa kaavaa. 4. a) Kameran linssin polttoväli on 15,0 cm. Kuinka korkea kuva muodostuu filmille 30,0 m:n etäisyydellä olevasta 1,80 m korkeasta henkilöstä. b) Kameran linssi korvataan kauko-objektiivilla, joka koostuu positiivisesta linssistä (polttoväli 1 cm) ja sen takana 8 cm:n etäisyydellä olevasta negatiivisesta linssistä. Negatiivinen linssi sijaitsee kameran alkuperäisen linssin kohdalla. Mikä on oltava negatiivisen linssin polttoväli, jotta henkilön kuva muodostuu terävänä filmille? Kuinka paljon suurempi kuva on verrattuna kohdan a) kuvaan? 5. Henkilön molemmat silmät ovat likinäköisiä ja näköä korjataan piilolinsseillä. Vasemman linssin diopteriluku on -7 ja oikean -5. Molempien silmien korjattu lähipiste saadaan etäisyydelle 15 cm ja kaukopiste äärettömyyteen. Laske lähi- ja kaukopisteen paikka ilman piilolinssejä molemmille silmille. 6. Huygensin okulaari muodostuu kahdesta samasta materiaalista (sama taitekerroin) valmistetusta linssistä, joiden välimatka on linssien polttovälien keskiarvo. Osoita, että tällainen rakenne poistaa linssisysteemistä värivirheet eli kromaattisen aberraation. Ohje: Värivirheet aiheutuvat dispersiosta n n( ), josta seuraa, että yleisessä tapauksessa efektiivinen polttoväli riippuu aallonpituudesta. Värivirheet korjautuvat, kun etsitään ehto sille, että efektiivinen polttoväli ei riipukaan taitekertoimesta, ts. d(1/ f) 0. dn
766399A AALTOLIIKE JA OPTIIKKA kl 017, viikko 16 Harjoitus 9 Huom! Tehtävien 1-3 viimeinen näyttöpäivä on pe 1.4. Tehtävien 4-6 viimeinen näyttöpäivä on ke 6.4. 1. Maasta katsottuna Auringon halkaisija muodostaa kulman 0,5 ja maan pintaan (kohtisuoraan) kohdistuva irradianssi on noin 1000 W/m. Aurinko kuvataan positiivisella linssillä (polttolasilla), jonka halkaisija on 5 cm ja polttoväli 50 cm. Laske irradianssi kuvan kohdalla (siis polttopisteessä).. Mikroskoopin objektiivin polttoväli on 16,0 mm ja okulaarin 5,0 mm. Kummatkin ovat ohuita linssejä ja niiden välimatka on 1 mm. Mikroskooppia käytetään siten, että lopullinen kuva muodostuu äärettömyyteen (kaukopisteeseen). a) Laske mikroskoopin optinen pituus ja suurennus. b) Kuinka kaukana objektiivista tutkittava kohde sijaitsee? c) Mikroskoopin kuvaa tulee katsomaan likinäköinen henkilö, jonka kaukopiste on 50 cm:n etäisyydellä. Miten paljon hän joutuu siirtämään esinettä nähdäkseen kuvan tarkasti omassa kaukopisteessään. Mikä on tällöin mikroskoopin suurennus, jos oletetaan, että likinäköisen henkilön lähipiste on normaalilla etäisyydellä 5 cm? 3. Pienen kaukoputken objektiivin polttoväli on 60 cm ja halkaisija 3,0 cm. Kaukoputken lähtöpupilli on,0 mm halkaisijaltaan. Laske kaukoputken suurennus. 4. Kaksi aaltoa E1 E01 sin( 1 t) ja E E0 sin( t) yhtyvät tarkastelupisteessä P. Laske aaltojen superpositio, kun aaltojen a) vaihe-ero on nolla ja b) vaihe-ero on. Oletetaan, että aalloilla on sama polarisaation suunta. 5. Laske aaltojen E1 7sin( / 3 t) ja E 1cos( / 4 t) superpositio. 6. Harmoninen tasoaalto E E0 sin( kr t) etenee a) positiivisen z-akselin suuntaan, b) suoran y x, z 0 suuntaan, c) tasoja x y z vakio vastaan kohtisuorassa suunnassa. Kehitä kr vastaamaan näitä suuntia ja kirjoita tasoaalto sellaiseen muotoon, että siitä näkyy aallon aallonpituus ja etenemisnopeus v.
766349A AALTOLIIKE JA OPTIIKKA kl 017, viikko 17 Harjoitus 10 Viimeinen näyttöpäivä ke 3.5. 1. Näkyvän valon ( 500 nm) nopeutta mitattiin ilmassa. Tiettyyn matkaan kuluneen ajan perusteella laskettiin tulos 9971,6 km/s. Ilman taitekerroin aallonpituuden 4 funktiona on esitettävissä Cauchy'n yhtälöllä n A B /, missä A 1,76 10 18 ja B 1,540 10 m. Mikä on kokeen perusteella valon tyhjiönopeus? Vihje: Mittaustulos on ryhmänopeus.. Kaksi lineaarisesti polarisoitunutta harmonista tasoaaltoa E1 E01 sin( 1 t) ja E E0 sin( t) interferoi varjostimella pisteessä P. Aaltojen sähkökenttävektorit värähtelevät kulmassa toistensa suhteen. Osoita, että pisteessä P havaittava irradianssi on Vihje: Laske summa-aallon aikakeskiarvoa I I I I I cos cos( ). 1 1 1 E. Monisteesta sivut 75, 76 ja 14. 3. Laske edellisen tehtävän varjostimella pisteen P läheisyydessä havaittava kontrasti tapauksissa 0, 90 ja 30. Oletetaan, että aaltojen amplitudit ovat samat. 4. Radioasema, joka toimii taajuudella 1,50 MHz, käyttää kahta identtistä antennia (A1 ja A kuvassa) suunnatakseen lähetystehon haluttuun suuntaan. Antennien välimatkaksi on säädetty 400 m. Missä suunnissa antennien yhdysjanan keskinormaaliin nähden kaukana asemalta säteilykentän irradianssi on suurin, kun antennit lähettävät radioaaltoja a) samassa vaiheessa toistensa suhteen ( 0 01 ) ja b) antennien välille on säädetty vaihe-ero 0 01 /. Ohje: Irradianssi on suurin, kun antenneista lähtevien aaltojen vaihe-ero k( r r ) ( ) on :n monikerta. 1 0 01 5. Youngin kokeessa käytetään valoa, joka koostuu kahdesta aallonpituudesta. Toinen on 436 nm ja toinen tuntematon. Varjostimella 436 nm:n valon synnyttämän kuvion neljäs minimi sattuu samaan kohtaan kuin tuntemattoman aallonpituuden kolmas sivumaksimi. Laske tuntematon aallonpituus. 6. Youngin interferenssikokeessa rakojen välimatka on 0,50 mm ja valon aallonpituus 600 nm. a) Interferenssijuovien välimatka varjostimella on 1,00 mm. Laske varjostimen etäisyys raoista. b) Toisen raon eteen asetetaan 100 μm paksu lasilevy, jonka taitekerroin on 1,50. Kuinka paljon ja mihin suuntaan interferenssijuovakuvio siirtyy varjostimella?
766349A AALTOLIIKE JA OPTIIKKA kl 017, viikko 18 Harjoitus 11 Viimeinen näyttöpäivä pe 1.5. 1. Viereisessä kuvassa on esitetty kaksi aaltoa A ja B, jotka molemmat etenevät matkan 100 cm. Molempien aallonpituus tyhjiössä on 500 nm ja lähdössä (start-viivalla) ne ovat samassa vaiheessa. Aalto B etenee koko matkan tyhjiössä, mutta aalto A läpäisee lasiseinäisen (n = 1,5) vedellä (n = 1,33) täytetyn säiliön. Säiliön mitat on annettu kuvassa. a) Laske aaltojen optinen matkaero ja vastaava vaihe-ero. b) Montako aallonpituutta sisältyy aallon B matkaan ja montako aallon A matkaan?. Michelsonin interferometriä käytetään kaasun taitekertoimen määrittämiseen. Pituudeltaan L oleva kaasusäiliö, jonka molemmissa päissä on ikkunat, on asetettu toisen säteen reitille. Alkutilanteessa säiliössä on tyhjiö ja kokeessa käytetään aallonpituutta. a) Kun kaasun paine säiliössä kasvaa tyhjiöstä ilmanpaineeseen, havaitaan interferenssikuviossa N:n renkaan muutos. Laske taitekerroin n lausuttuna N:n, :n ja L:n avulla. b) Monenko renkaan muutos havaitaan, kun kaasuna on hiilidioksidi (n = 1,00045) 10 cm pitkässä kaasusäiliössä ja valona käytetään natriumin valoa 589 nm? 3. Interferenssisuodin muodostuu sopivan paksuisesta MgF ( n 1,38 ) kerroksesta, jonka molemmille pinnoille on höyrystetty hopeakerrokset (heijastuskerroin r 0,90 ). Mikä on ohuin MgF-kerrospaksuus, jolla suotimen transmissiomaksimi sattuu elohopean spektriviivan 435,8 nm kohdalle? Mihin arvoon transmissio laskee (prosentteina maksimitransmissiosta), kun siirrytään aallonpituuden 404,7 nm kohdalle? Valo tulee suotimeen kohtisuorasti. 4. Fabry-Perot-interferometrillä tutkitaan valoa, joka sisältää kahta aallonpituutta 1 ja. Peilien välimatka (cavity length) on 5 cm ja kun välimatkaa kasvatetaan hieman, havaitaan kaksi peräkkäistä transmissiomaksimia kääntöpuolella esitetyn kuvan mukaisesti. Kuvassa oikealla toinen transmissiomaksimeista on esitetty yksityiskohtaisesti. a) Määritä käytetyn valon keskimääräinen aallonpituus. b) Arvioi erotus 1, kun oletetaan, että lähes päällekkäin olevilla maksimeilla (kuva oikealla) on sama kertaluku, ts. m1 m m. 5. Kapean raon Fraunhoferin diffraktiokokeessa käytetään HeNe-laseria (λ = 63,8 nm). Diffraktiokuviossa m:n etäisyydellä olevalla varjostimella havaitaan päämaksimin kahta puolta olevien kolmansien minimien välimatkaksi 5,65 cm. a) Laske raon leveys. b) Mikä on kulmaan 1,00 astetta taipuvan valon suhteellinen irradianssi (I/I0)? 6. Kääntöpuolella on taulukoitu Besselin funktion J1( x ) arvoja. Etsi taulukon avulla funktion J1( x) / x ensimmäinen ( x 0) ääriarvo ja laske sen avulla pyöreän aukon diffraktiokuvion ensimmäisen keskimaksimia ympäröivän kirkkaan renkaan a) irradianssin suhde keskimaksimin irradianssiin sekä b) johda kaava ensimmäiseen kirkkaaseen renkaaseen osoittavalle suuntakulmalle. (vrt. kaava (1..) Dsin 1,, joka osoittaa ensimmäiseen tummaan renkaaseen)
x J1(x) x J1(x) x J1(x) 0,0 0,0000 3,0 0,3391 6,0-0,767 0,1 0,0499 3,1 0,3009 6,1-0,559 0, 0,0995 3, 0,613 6, -0,39 0,3 0,1483 3,3 0,07 6,3-0,081 0,4 0,1960 3,4 0,179 6,4-0,1816 0,5 0,43 3,5 0,1374 6,5-0,1538 0,6 0,867 3,6 0,0955 6,6-0,150 0,7 0,390 3,7 0,0538 6,7-0,0953 0,8 0,3688 3,8 0,018 6,8-0,065 0,9 0,4059 3,9-0,07 6,9-0,0349 1,0 0,4401 4,0-0,0660 7,0-0,0047 1,1 0,4709 4,1-0,1033 7,1 0,05 1, 0,4983 4, -0,1386 7, 0,0543 1,3 0,50 4,3-0,1719 7,3 0,086 1,4 0,5419 4,4-0,08 7,4 0,1096 1,5 0,5579 4,5-0,311 7,5 0,135 1,6 0,5699 4,6-0,566 7,6 0,159 1,7 0,5778 4,7-0,791 7,7 0,1813 1,8 0,5815 4,8-0,985 7,8 0,014 1,9 0,581 4,9-0,3147 7,9 0,19,0 0,5767 5,0-0,376 8,0 0,346,1 0,5683 5,1-0,3371 8,1 0,476, 0,5560 5, -0,343 8, 0,580,3 0,5399 5,3-0,3460 8,3 0,657,4 0,50 5,4-0,3453 8,4 0,708,5 0,4971 5,5-0,3414 8,5 0,731,6 0,4708 5,6-0,3343 8,6 0,77,7 0,4416 5,7-0,341 8,7 0,697,8 0,4097 5,8-0,3110 8,8 0,641,9 0,3754 5,9-0,951 8,9 0,559