Mallivastaukset 9. 2. (a) Dominoiva strategia on tarjota oman arvostuksensa verran, eli tässä e 10 miljoonaa. Tarjoamalla yli oman arvostuksen tekisi vain mahdolliseksi sen, että joutuu maksamaan yli oman arvostuksensa, ilman että lisää voittoja muissa tapauksissa. Tarjoamalla alle oman arvostuksen pienentää mahdollisuuksiaan voittaa, mutta ei vaikuta voittoihin niissä tapauksissa joissa oma tarjous on yhä korkein. Niinpä oma tarjous vaikuttaa vain todennäköisyyteen voittaa, mutta ei siihen kuinka paljon maksaa ehdolla, että oma tarjous on korkein. (b) Mistään lisäinformaatiosta ei olisi hyötyä, koska oma strategia on dominoiva (ks. edellinen kohta). (c) Kyllä. Nyt ei voi saada taloudellisesta voittoa, ellei tarjoa alle oman arvostuksen. Tradeoff on tämä: Mitä vähemmän tarjoaa sitä enemmän tekee voittoa jos oma tarjous on korkein, mutta samalla todennäköisyys sille että oma tarjous on korkein pienenee. Tässä ei siis ole dominoivaa strategiaa. Nyt jos saisi tietää korkeimman muiden tekemän tarjouksen niin kannattaisi tarjota hieman enemmän, jos se on alle oman arvostuksen, tai olla tarjoamatta ollenkaan, jos se on yli oman arvostuksen. (d) Ei vaan alempi. Epävarmassa tapauksessa on riski siitä, että voitto on yliarvioitu. Voit ajatella esimerkiksi tilannetta, jossa voitto on 50% todennäköisyydellä e 5 miljoonaa ja 50% todennäköisyydellä e 15 miljoonaa. Koska kaikkien kilpailuun osallistujien tarjoukset ovat arvioita saman lisenssin arvosta, on todennäköistä että eniten tarjoavat ovat niitä, jotka yliarvioivat kohteen arvoa. Jos tarjoaisi voiton odotusarvon ja voittaisi tarjouskilpailun, niin tekee tappiota jos myös seuraavaksi korkein tarjous perustuu yliarviointiin ja lisenssi realisoituu vähemmän arvokkaaksi. Epävarmuuden johdosta oma arvostus ei tässä ole sama asia kuin oma arvio, vaan oma arvostus täytyy korjata alaspäin ennakoiden tämä ns. voittajan kirous. (e) Kyllä. Koska muutkin tarjoajat yrittävät arvottaa samaa kohdetta, ne sisältävät informaatiota kohteen todellisesta arvosta, jota kannattaa hyödyntää omaa tarjousta suunnitellessa (riippumatta tarjouskilpailun säännöistä). 3. (a) Tulosmatriisissa on rivit ja sarakkeet molempien pelaajien mahdollisille toimenpiteille kunakin vuonna. Row Corporation Column Industries Mainosta Älä mainosta Mainosta 5, 5 9, 4 Älä mainosta 4, 9 8, 8 1
Kertapelin uniikki Nash-tasapaino oli (Mainosta,Mainosta). Kertapelin tulema (Älä mainosta, Älä mainosta) antaisi kuitenkin suuremman kokonaisvoiton (8 > 5). Tarkistetaan, onko tasapaino (Älä mainosta, Älä mainosta) mahdollinen, kun diskonttokorko r = 0.1. Yritykset voisivat tehdä yhteistyötä ja sopia olemaan mainostamatta, mutta tällöin molemmilla olisi kannustin poiketa sovitusta, sillä molemmille yrityksille suurin tulos toteutuu silloin, kun yritys itse mainostaa ja kilpailija ei mainosta. Tarkastellaan onnistuuko synkkä strategia, jossa rangaistuksena mainostamisesta kilpailija valitsee ikuisesti strategian Mainosta, ylläpitämään yhteistyötasapainoa. Tämä strategia on rankin mahdollinen rangaistusstrategia, joten jos yhteistyö ei ole mahdollista synkällä strategialla, se ei ole mahdollista muillakaan. Lasketaan yritysten nykyarvoiset tulokset eri valinnoista. Diskonttotekijä tulevaisuuden tulemille on nyt B = 1/(1 + r). Jos molemmat yritykset valitsevat strategian Älä mainosta, niiden tulos on (käytetään perpetuiteetin kaavaa) πa,b = 8 + 8B + 8B2 +... = 8 + 8/r = 8 + 8/0.1 = 88 Lasketaan seuraavaksi nykyarvoinen tulema, jos yhteistyöstä poiketaan. Toinen firma valitsee siis strategian Mainosta ensimmäisellä periodilla, kun kilpailija jättää mainostamatta. Seuraavalla periodilla kilpailija rankaisee mainostamalla ikuisesti. Tähän kannattaa vastata mainostamalla. Jos yritys poikkeaa, sen tulos on π p i = 9 + 5B + 5B2 +... = 9 + 5/r = 9 + 5/0.1 = 59 (Synkkä, Synkkä) on siis tasapaino, kun r = 0.1. Kumpaan firma ei siis mainosta, kun pelataan synkkää strategiaa. (b) Ratkaistaan alin diskonttokorko r, jolla (Synkkä, Synkkä) on toistetun pelin tasapaino. Edelliskohdassa ratkaistiin voitot yhteistyössä sekä silloin, kun toinen firma poikkeaa: πa,b = 8 + 8B + 8B2 +... = 8 + 8/r π p i = 9 + 5B + 5B2 +... = 9 + 5/r Tasapainossa pitää päteä πa,b πp i, eli 8 + 8/r 9 + 5/r r < 3 Kun diskonttokorko on alle 300% on (Älä mainosta, Älä mainosta) mahdollinen joka periodi toistetun pelin tasapainossa, kun kumpikin pelaaja pelaa synkkää strategiaa, jossa pelaaja valitsee Älä mainosta ja rankaisee kilpailijan pettämisestä mainostamalla ikuisesti. Lisähuomio: Suurin diskonttotekijä, jolla mainostamisesta pidättäytyminen on mahdollista toistetun pelin tasapainossa, on B = 1/4. Tämän voi tulkita riippuvan pääoman vaihtoehtoiskustannuksen r lisäksi myös todennäköisyydelle siitä, että peli päättyy minkä tahansa yhden periodin aikana ρ. Tällöin B = (1 ρ)/(1+r), ja diskonttotekijä B > 0.25 toteutuu esimerkiksi jos r < 0.1 ja ρ < 0.725. 2
Π (nykyarvo) 20 18 16 14 Synkkä Petä 12 10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 B Kuva 1: Voittojen nykyarvo hypoteettiselle synkän strategian noudattajalle ja siitä poikkeavalle yritykselle diskonttotekijän B = 1/(1 + r) funktiona tehtävässä 3b. 4. (a) Yhden kalastusaluksen voitot funktiona lähetettyjen alusten määrässä n ovat π(n) = q(n)p 32 = (160 n/2)8 32 Voitot ovat laskeva funktio lähetettyjen alusten määrästä, koska lisäalukset pienentävät yksittäisen aluksen saaliin määrää. Yksittäinen tuottaja ei voi valita kalastusalusten kokonaismäärää, joten kyseessä ei ole maksimointiongelma. Yksittäinen tuottaja päättää vain sen osallistuako kalastukseen vai ei. Tasapainossa lisäalus ei voisi tehdä positiivista voittoa, mutta olemassa olevat alukset saavat vähintään nollavoiton, eli täytyy päteä π(n ) 0 ja π(n + 1) < 0. Saadaan: (160 n/2)8 32 0 1248 4n 0 n = 312 Tarkistetaan ehdot: π(312) = 0 0 ja π(312 + 1) = 4 < 0. Kun aluksia on 312, voitot ovat ei-negatiivisa kaikille lähetetyille aluksille, mutta 313. lähetetetty alus aiheuttaisi sen, että kaikki kaikki alukset tekisivät tappiota. Aluksia lähetetään siis niin monta, että marginaalisen aluksen tuotto on sama kuin sen kustannus. Tonnikalan kokonaissaalis on tällöin (160 312/2) 312 = 1248 ja saalis alusta kohti on 4. (b) Ulkoisvaikutus mitataan tässä muille aluksille kertyvän kokonaisylijäämän vähenemisenä, joka aiheutuu yhden aluksen lähettämisestä. Kun aluksia on jo n kappaletta, niin n + 1:s aiheuttaa ulkoisvaikutuksen n[π(n) π(n + 1)] = n[8(160 n/2) 32 (8(160 (n + 1)/2) 32)] = 4n Tämä on siis ulkoisvaikutus yhteensä kaikille niille n:lle alukselle, jotka ovat tunturilla. Jos ulkoisvaikutus on suurempi kuin merialueelle lähettäjän saama hyöty, kokonaisylijäämä vähenee uuden tulokkaan myötä. (c) Tehokas määrä aluksia maksimoi kokonaishyödyn. Koska tonnikalan hinta on vakio, 3
Tuotantokustannus 12 10 8 6 4 2 Tehokas määrä 0 50 100 150 200 250 300 n Kuva 2: Tonnikalan ja kanan tuotantokustannukset alusten määrän funktioina. myös kuluttajan ylijäämä on kiinteä. Kokonaishyödyn laskemiseksi riittää, että tarkastellaan aluksen tuottamia voittoja. (Tonnikalan kalastuksen tuoma hyvinvointivaikutus perustuu siihen, että Lintukodon kuluttama valkoinen liha voidaan tuottaa alhaisemmilla kokonaiskustannuksilla, jos siitä osa tuotetaan tonnikalana, kuin jos tuotettaisiin vain kanaa.) Tonnikalan hinta vastaa sen täydellisen substituutin hintaa, eli P = 8. Kokonaisylijäämä on W (n) = nπ(n) = 8n(160 n/2) 32n Maksimoidaan tämä lähetettyjen alusten lukumäärän suhteen: W (n) n = 1248 8n = 0 n = 156 Tehokas alusten lukumäärä on siis 156. Yksittäisen aluksen pyydystämä saalis on 160 156/2 = 82 ja kokonaissaalis on 82 156 = 12792. (d) Lisenssimaksun tulisi olla niin korkea, että vain 156 alusta on kannattavaa lähettää merelle. Kalastajien näkökulmasta lisenssimaksu on kiinteä kustannus. Tehokas ratkaisu saavutetaan, kun lisenssimaksu vastaa voittoja, jotka yksittäinen alus tuottaa tehokkaassa ratkaisussa: Lisenssimaksu f = π(156) = 8 82 32 = 624 Kun maksu on tällä tasolla, vain 156 alusta ostaa lisenssin, alusten voitot ovat nolla ja 4
valtio saa tulon n f = 156 624 = 97344. Huomaa, että jos hallitus (tai taho, joka omistaa meren ja saa myydä lisenssejä) haluaa maksimoida lisenssien myynnistä aiheutuvat voitot, sen kannattaa valita juuri tehokas hinta. (Kaiken lisäksi näin kertyy valtiolle tuloa, jonka kerääminen ei aiheuta hyvinvointitappiota!) Lisähuomio Coasen teoreeman hengessä: Samaan kokonaisylijäämään ja valtion tuloihin päästäisiin, jos Lintukoto pystyisi myymään merialueensa yksityiselle voittoa maksimoivalle yritykselle. Sen voitot, vesistöstä maksamisen jälkeen, olisivat W (n), joten se maksimoisi voittonsa lähettämällä n = 156 alusta merelle. Niinpä Lintukodon merialueesta saama hinta olisi W (n ). Ulkoisvaikutus aiheutuu siitä, että kukaan ei omista aluetta, ei siitä, että harjoitetaan voittoa maksimoivaa toimintaa. 5