MA-45 LAAJA MAEMAIIKKA 5 amperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 8 Kertaamme Lama :ssa esitettyä omiaisarvoteoriaa, erityisesti - ulotteisissa avaruusissa ulemme tarvitsemaa äitä Lama 5:ssa differetiaaliyhtälöitä rataistaessa Omiaisarvot Diagoalisoiti Joaisee matriisii liittyy jouo sille omiaisia luuja, s omiaisarvoja, joista oostuu matriisi "spetri" ämä vaatii uitei luualuee laajetamista omplesiluuihi Jatossa matriisit ja vetorit voivat olla (ellei toisi maiita) omplesiertoimisia Matriisialgebra säilyy samalaisea ui reaalitapausessai, paitsi että uutea operaatioa tulee muaa omplesiluuje ojugoiti Avaruus oostuu -omplesivetoreista, missä ertoimet i Vetori ojugaatti o (Komplesiluvu a + bi ojugaatti eli liittoluu o z a bi) Sisätulo o yt muotoa y i y y+ + y Silloi vetori pituus eli ormi o + + + +
i + + + 4 + + 7 + i Esim i i ( ) ( ) Salaarit, esimerisi lieaariombiaatioide ertoimet, ovat tapausessa omplesiluuja, ja siitä syystä esimerisi : luoollie ata äy myös : aasi : Pääasiassa tarastelemme tässä urssissa reaalimatriiseja, mutta omplesivetoreihi joudutaa omplesiste omiaisarvoje taia Salaari λ o eliömatriisi A omiaisarvo, jos o olemassa joi sellaie, että A λ Silloi vetori o omiaisarvoa λ vastaava omiaisvetori Eglaiieliset termit ovat eigevalue ja eigevector Omiaisarvo määrittely-yhtälö saadaa siirtämällä aii termit vasemmalle puolelle muotoo A λ eli ( A λi) Kyseessä o siis homogeeie lieaarie yhtälöryhmä, joa erroimatriisi o A λi Kosa yseessä o eliömatriisi, sillä o eitriviaaleja rataisuja ( ei elpaa omiaisvetorisi) täsmällee silloi, u erroimatriisi determiatti Yhtälöä p( λ) det( A λi) saotaa matriisi A arateristisesi yhtälösi ja polyomia p( λ ) se arateristisesi polyomisi Matriisi omiaisarvot ovat siis se arateristise polyomi juuret Näitä o algebra peruslausee ojalla ertaluvut muaa luie appaletta (jota voivat olla omplesisia)
(ässä o syy siihe, että reaalisei matriisi omiaisarvot voivat olla omplesisia, ja sitä autta myös omiaisvetorit) Omiaisarvoja o -matriisilla siis ertaluvut muaa luie appaletta Omiaisarvo λ algebrallie ertaluu o, jos λ o arateristise polyomi -ertaie juuri Algebrallisesta ertaluvusta äytetää meritää alg(λ ) Kuhui omiaisarvoo λ liittyvät omiaisvetorit ja ollavetori muodostavat aliavaruude, omiaisarvo λ omiaisavaruude E λ : E λ { A λ } R N( A λi) Omiaisavaruus todella o aliavaruus, sillä: E λ ja, y Eλ, a, b R A( a+ by) aa + bay aλ + bλy λ( a + by ) a+ by E λ Omiaisavaruude dimesio o omiaisarvo λ geometrie ertaluu geom(λ ) dim E dim N( A λi) λ Voidaa osoittaa (Lay), että geometrie ertaluu o aia oreitaa algebrallise ertaluvu suuruie: geom(λ ) alg(λ ) Matriisi A omiaisarvotehtävä äsittää matriisi aiie omiaisarvoje ja vastaavie omiaisvetorie muodostamista Omiaisvetoreista haetaa silloi joti omiaisavaruude atavetorit Meettely oostuu seuraavista vaiheista:
4 Muodostetaa arateristie polyomi p( λ) det( A λi) Haetaa arateristise polyomi juuret λ,, λ Rataistaa ullei omiaisarvolle λ i homogeeie yhtälöryhmä ( A λ i ), joa rataisusta poimitaa "lieaarisesti riippumattomat omiaisvetorit" eli olla-avaruude N( A λi) atavetorit Esim 6 A det( A λi) 6 λ λ 7λ + λ 4& λ λ ovat omiaisarvot Omiaisarvolle λ 4: / [ A 4 I ] /, t, t t, valitaa esim t/: omiaisvetori v / Vastaavasti omiaisarvolle λ : v Kummai omiaisarvo algebrallie ja geometrie ertaluu ovat Esim A 7 6 5 6 7 λ 6 5 λ (5 λ)(( 7 λ)( λ) 6) 6 λ
5 λ 5, λ, Omiaisvetorit omiaisarvolle λ, 5 : 6 ½ [ A 5 I ] ½, 6 ½ ½, t s, t, t+ s, omi vetorit esim (valit t,s; t, s): v, v Vastaavasti omiaisarvolle λ -: v alg(5) geom(5), alg(-)geom(-) Esim 4 4 5 A 5 4 Omiaisarvot: 4 λ 5 (4 λ)( 4 λ) + 5 λ + 9 λ, ± i 5 4 λ Omiaisvetorit omiaisarvolle λ i : 4 i 4 i 5 4 5 i 5 4 i +, 5 4+ i t 5 5, valitaa esim t 4 i: v 4 i t 5 Omiaisarvo λ i λomiaisvetori o v v 4+ i Kummai omiaisarvo algebrallie ja geometrie ertaluu ovat
6 Esim 5 5 4 A 5 Omiaisarvot: 5 λ 4 λ λ λ λ λ λ λ λ (5 )( (5 ) 4) ( 4)(5 ) (5 )( 5 ) 5 λ λ 5, λ, Omiaisvetorit omiaisarvolle λ, 5 : 4 5 5 +,, t t t, valitaa esim t: v Omiaisarvo λ omiaisvetorisi saadaa vastaavasti Nyt alg(5), geom(5), alg()geom() 4 u 5 Kute esimerissä 4 ähtii, reaaliselle matriisille omplesiset omiaisvetorit esiityvät ojugaattipareia: Jos reaalisella matriisilla A o omplesie omiaisarvo λ ja vastaava omiaisvetori v, ii λ o myös omiaisarvo ja v o sitä vastaava omiaisvetori: Av λv Av Av ( Av) ( λv) λv
7 Kosa matriisi omiaisarvo λ o arateristise polyomi p( λ) det( A λi) juuri, sille ähdää seuraavat omiaisuudet: Matriisi A o äätyvä, jos ja vai jos ei ole se omiaisarvo Jos λ o äätyvä matriisi A omiaisarvo, ii λ o ääteismatriisi A omiaisarvo Kolmiomatriisi omiaisarvot ovat se lävistäjäaliot Matriisi determiatti o yhtä ui se omiaisarvoje tulo: det A λ λ λ Matriisi A ( a ij ) lävistäjäalioide summa eli jäli o yhtä ui se omiaisarvoje summa: a + a + + a λ + λ + λ (odistuset lueolla) a b a Esim 6 A, a, b a a Yläolmiomatriisi, jote omiaisarvot ovat λ λ λ λ4 a eli a o aioa omiaisarvo, alg(a)4
8 b, joa vastaa yhtälöä [ A ai ] Siis muut muuttujat saavat olla vapaasti mitä tahasa, jote 4 r s t eli r + s + t, r, s, t R Omiaisvetoreita löytyy siis olme lieaarisesti riippumatota, eli v, v, v Nyt siis geometrie ertaluu geom(a) Osoitetaa seuraavasi hyödyllie omiaisuus eri omiaisavaruusie esiäisestä suhteesta: Erisuuria omiaisarvoja vastaavat omiaisvetorit ovat lieaarisesti riippumattomia odistus: Oloot λ,, λr matriisi A erisuuria omiaisarvoja ja v,, vr iihi vastaavasti liittyviä omiaisvetoreita Osoitetaa, että jos v,,, v < r ovat lieaarisesti riippumattomia, ii äi ovat myös v,, v, v+ Ellei olisi, ii v + olisi muide lieaariombiaatio: v c v + i i i ässä aii ertoimet c i eivät voi olla, osa v + Silloi ertomalla matriisilla A puolittai: A v Ac v λ v cλ v + i i + + i i i i i
9 oisaalta ertomalla v+ civ i luvulla λ + saadaa myös esitys λ v λ c v + + + i i i i Vähetämällä ämä toisistaa saadaa ci( λi λ + ) v i, josta vetorie v,, v i lieaarise riippumattomuude taia ci( λi λ + ), i Kosa omiaisarvot ovat erisuuria, ovat c i aiilla i, miä o ristiriita Nyt siis aloittamalla vetorista v, joa ollasta eroavaa o ysiää lieaarisesti riippumato, ähdää että v, v ovat lieaarisesti riippumattomia, je Matriisit A ja B ovat similaariset, jos o olemassa sellaie äätyvä matriisi S, että S AS B Similaarisilla matriiseilla o imesä muaisesti jotai yhteistä: Similaariste matriisie A ja B arateristiset polyomit ovat samat, ja iillä o siis samat omiaisarvot ämä ähdää suoralla lasulla: p B I S AS I S AS S IS B ( λ) det( λ ) det( λ ) det( λ ) det( S ( AS λis)) det( S ( A λi) S) det( S ( A λi) S) det( S ) det( A λi) det S det( A λi) det( S ) det S det( A λi) det( S S) det( A λi) p A ( λ) Matriisi A o diagoalisoituva, jos se o similaarie joi lävistäjämatriisi D assa Diagoalisoituvuus meritsee siis sitä, että löytyy äätyvä matriisi S, joa diagoalisoi matriisi A: S AS D
Lävistäjämatriisi D lävistäjäaliot ovat silloi A: omiaisarvot Kooa oleva matriisi o diagoalisoituva täsmällee silloi, u A:lla o täysi määrä eli appaletta lieaarisesti riippumattomia omiaisvetoreita Silloi diagoalisoiva matriisi S pystyrivit ovat tällaiset A: lieaarisesti riippumattomat omiaisvetorit Vetorit v, v ovat A: lieaarisesti riippumattomia omiaisvetoreita, jos ja vai jos iistä raeettu matriisi S [ v,, v ] o äätyvä (ras) ja Av λ v, i,, Siis A o diagoalisoituva lävistäjämatriisisi i i i D λ λ diag(,, ) D S AS SD AS λ λ v,, v A v,, v Av,, Av λ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] λ v,, λ v Av,, Av Av λv, i,, i i i Ehto lieaarisesti riippumattomie omiaisvetorie täydelle määrälle o ertaluuje avulla ilmaistua: Joaisella omiaisarvolla o oltava algebrallie ertaluu yhtä ui geometrie ertaluu: alg(λ)geom(λ) Erityisesti matriisi o silloi diagoalisoituva, u se aii omiaisarvoa ovat erisuuria
Ku A o diagoalisoituva, ii yhtälö S AS D tulee pääasiassa äyttöö muodossa A SDS Silloi esimerisi A ( SDS )( SDS ) SDDS SD S ja yleisemmi A SD S Lävistäjämatriisi potessit ovat helppoja muodostaa: D λ λ λ Potessie autta päästää aylori sarjoihi, ja äi voidaa diagoalisoituville matriiseille määritellä aalyyttiste futioide f() vastieet matriisifutioia: f ( λ ) f ( ) f ( A) Sf( D) S S λ S f ( λ ) Esim 7 A 7 6 5 6 Aiaisemmi äsitelly esimeri : muaa omiaisarvot ovat λ, 5, λ Omiaisvetorit omiaisarvolle λ, 5 : v, v
Vastaavasti omiaisarvolle λ -: v Lieaarisesti riippumattomia omiaisvetoreita o yt täysi appaletta Siis saamme esityse A SDS 5 5 5 /5 /5 5 /5 /5 Symmetrise reaalise matriisi tapaus o aiei selei omiaisarvoje ja diagoalisoii aalta Symmetrise reaalimatriisi A omiaisarvot ovat reaaliset ja vastaavat omiaisvetorit voidaa valita reaalisisi Jos o symmetrise reaalimatriisi A omiaisarvoa λ vastaava ysiövetorisi ormeerattu omiaisvetori, ii λ A λ λ λ λ A, josta saadaa ojugoimalla ( ) λ λ A A A λ, jote λ o reaalie Silloi reaalisella yhtälöllä ( A λi) o reaalisia ei-triviaaleja rataisuja, eli omiaisvetoriti voidaa valita reaalisisi Symmetrise reaalimatriisi erisuuria omiaisarvoja vastaavat omiaisvetorit ovat ortogoaaliset, ii Jos A λ & A λ, λ λ λ A A λ A λ λ, jote ( λ λ ) ja siis
Neliömatriisi Q o ortogoaalie, jos se saraeet muodostavat ortoormaali jouo Silloi se o äätyvä, ja ääteismatriisi o lasettavissa ysiertaisesti traspooimalla:, i j Q [ q,, q], qi q j δij, i j q QQ [ q,, q ] [ q,, q ] [ q,, q ] q q q q q I q q q q Q Q Ortogoaalise eliömatriisi omiaisuudet ovat siis Q ortogoaalie Q : saraeet ortoormaaleja QQ QQ I Q Q Esim 8 / / / Q / / / / / / o ortogoaalie, ute taristamalla miä hyväsä yllä olevista yhtäpitävistä ehdoista osoittaa Jos matriisi A o symmetrie ja se omiaisarvot ovat aii erisuuria, o silloi edellise ojalla se omiaisvetoreista muodostettavissa ortogoaalie matriisi ällöi matriisi diagoalisoituu siis ortogoaalisella matriisilla ämä pätee myös yleisesti symmetriselle reaalimatriisille (tulos o syvällie):
4 Symmetrie reaalimatriisi A voidaa aia diagoalisoida ortogoaalisella matriisilla Q: A QDQ Matriisi Q oostuu A: ortogoaalisista omiaisvetoreista Esim 9 A 7 6 5 6 Esimerissä 7 tämä diagoalisoitii Omiaisvetorit olivat omiaisarvolle λ, 5 : v, v ja omiaisarvolle λ -: v Nyt vetorit v ja v sattuvat olemaa / 5 v ortogoaaliset, jote riittää ormeerata e: q, q v v / 5 Omiaisarvoo λ liittyvä omiaisvetori tuleei olla ortogoaalie äide assa, jote ormeeraamalla se saadaa olmas tarvittava omiaisvetori q v / 5 / 5 v Silloi diagoalisoiva matriisi o Q / 5 / 5 [ q, q, q ] ja A: "spetraaliesitys" o / 5 / 5 / 5 / 5 5 / 5 / 5 A QDQ 5 / 5 / 5 / 5 / 5