MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 / vko 44

Samankaltaiset tiedostot
Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47

Matemaattiset ohjelmistot A. Osa 2: MATLAB

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Kompleksiluvut Kompleksitaso

mlvektori 1. Muista, että Jacobin matriisi koostuu vektori- tai skalaariarvoisen funktion F ensimmäisistä

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9.

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

Matriisit ja vektorit Matriisin käsite Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, , 1 3 3

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

Äärettömät raja-arvot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA

Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2

plot(f(x), x=-5..5, y= )

mplperusteet 1. Tiedosto: mplp001.tex Ohjelmat: Maple, [Mathematica] Sievennä lauseke x 1 ( mplp002.tex (PA P1 s.2011)

Yleistä vektoreista GeoGebralla

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

Opiskelijan pikaopas STACK-tehtäviin. Lassi Korhonen, Oulun yliopisto

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste

z 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

Insinöörimatematiikka D

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia

Suorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö.

a) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

Matematiikan tukikurssi

2 / :03

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Insinöörimatematiikka D

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2

Matematiikan peruskurssi 2

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

4.3.7 Epäoleellinen integraali

MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

Matlab-perusteet Harjoitustehtävien ratkaisut

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus

Matemaattinen Analyysi, k2012, L1

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

Insinöörimatematiikka D

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Determinantti 1 / 30

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99

KRISTALLOGRAFIASSA TARVITTAVAA MATEMA- TIIKKAA

Matlab-perusteet. Jukka Jauhiainen. OAMK / Tekniikan yksikkö. Hyvinvointiteknologian koulutusohjelma

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Matriiseista. Emmi Koljonen

Matematiikan peruskurssi 2

Transkriptio:

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko Tehtävä (L): Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske myös, 3 sin(π/3), e / ja 783. Ratkaisu: Esimerkki yhteen- ja vähennyslaskusta, kertolaskusta ja jakolaskusta: >> +3-3 >> 3*3 9 >> 3/.5000 Yllä käytettyjä merkkejä "*"ja "/"käytetään Matlabissa matriisien kerto- ja jakolaskuihin, matriisien alkioiden käsittelyyn käytetään komentoja ".*"ja "./". Skalaareilla molemmat muodot toimivat samalla tavalla. >> ^ 638 >> 3*sin(*pi/3).598 >> exp(/).687 >> sqrt(783) 88.5607

Tehtävä (L): Kolmiulotteisen reaaliavaruuden R 3 pisteitä merkitään usein antamalla koordinaatit kolmen alkion pituisena pystyvektorina. Matlab-ohjelmalla tämä tapahtuu syöttämällä esimerkiksi» v=[; ; 3] a) Luo jotkin R 3 :n vektorit u ja v. Laske sitten näiden summa, erotus ja jokin muu lineaarikombinaatio, eli muotoa a*u+b*v oleva lauseke, jossa a ja b ovat valitsemasi vakiokertoimet. b) Pystyvektorista saat vastaavan vaakavektorin komennolla» v Mitä tapahtuu, jos kerrot vektorin itsellään? Entä jos kerrot pystyvektorin jommalta kummalta puolelta vastaavalla vaakavektorilla? Miten saat vektorin, jonka jokainen alkio on korotettu toiseen potenssiin? Ratkaisu: a) >> v=[; ; 3]; >> u=[; ; ]; >> u+v 3 >> v-u 0 >> 8*v-3*u 5 3

b) >> v*v Error using * Inner matrix dimensions must agree. Kuten aikaisemmin mainittu, muotoa A*B oleva lauseke on Matlabissa matriisikertolasku, joka on määritelty vain jos A:ssa on yhtä monta saraketta kuin B:ssä on rivejä. Yllä tämä ehto ei toteudu, joten Matlab antaa virheilmoituksen. Seuraavissa ehto toteutuu: >> v*v >> v *v 3 6 3 6 9 3x- ja x3-matriisien kertolasku tuottaa 3x3-matriisin, x3- ja 3x-matriisien kertominen taas x-matriisin eli skalaarin. Vektorin kaikki alkiot voidaan korottaa toiseen potenssiin kolmella eri tavalla: >> v.*v 9 >> v.^ 9 3

>> power(v,) 9 A.*B-muotoinen lauseke kertoo matriisien A ja B alkiot keskenään, tässä tapauksessa siis vektorin u alkiot itsellään. A.ˆb ja power(a,b) korottavat molemmat A:n kaikki alkiot potenssiin b. Tehtävä 3 (P): Matlab on vektori- ja matriisilaskentaohjelmisto, joten se operoi hyvin pitkälti vektorien ja matriisien (näihin perehdymme ensi viikosta alkaen) avulla. Funktion kuvaajat Matlab piirtää siten, että toisessa vektorissa annetaan laskentapisteet ja toisessa datapisteet. Siis esimerkiksi funktion f(x) = sin(x) kuvaaja välillä [ π, π] saadaan piirrettyä komentamalla >> x = -pi:.:pi; >> y = sin(x); >> plot(x,y) Piirrä nyt funktioiden g(x) = x ja h(x) = x 3 x kuvaajat välillä [, ], sopivalla askelpituudella. Saatko ne piirrettyä samaan kuvaan? Tallenna kuva ja tulosta se tehtäväsi liitteeksi. Ratkaisu: Määritellään ensin laskenta- ja datapisteet: >> x=-:.:; >> g=x.^; >> h=x.^3-x; Kuvaajat piirretään käskyillä plot(x,g) ja plot(x,h). Samaan kuvaan kuvaajat saadaan käskyllä plot(x,g,x,h) tai >> plot(x,g) >> hold on >> plot(x,h)

Tehtävä (P): Luonnollisesti voimme piirtää myös kolmiulotteisia kuvia eli pintoja. Ideana tällöin on, että jokaiseen xy-tason pisteeseen on liitetty yksi arvo, joka määrittelee pinnan korkeuden sillä kohdalla. Nyt tarvitaan xy-tason pisteverkko ja data-arvot, jotka annetaan taulukoina. Esimerkiksi >> [X,Y] = meshgrid(-8:.5:8); >> Z = X.^-*Y.^; >> mesh(x,y,z) luo xy-tason pisteverkon, laskee kussakin näistä pisteistä funktion f(x, y) = x y arvon ja piirtää pinnan. Piirrä nyt jonkin itse valitsemasi kahden muuttujan funktion kuvaaja, eli mahdollisimman hieno pinta! Tallenna kuva ja tulosta se tehtäväsi liitteeksi, merkitse mukaan myös komennot, joilla kuva on piirretty. Lisäapuja voit katsoa Matlabin manuaalista. Ratkaisu: Pisteverkko ja datapisteet määritetään kuten tehtävänannossa, kuvaaja piirretään mesh(x,y,z)- komennolla. Esimerkki: >> [X,Y] = meshgrid(-5:.5:5); >> Z=X.^- *Y.^; >> mesh(x,y,z) Tämä tuottaa seuraavanlaisen kuvaajan: 5

Tehtävä 5 (L): a) Ovatko vektorit u = (,, ) ja v = (,, ) kohtisuorassa toisiaan vastaan? Jos eivät, mikä on niiden välinen kulma? b) Anna napakoordinaatiston pisteet (, π/3) ja (, π/6) karteesisissa koordinaateissa. Tarkista piirtämällä kuva. Ratkaisu: a) Lasketaan pistetulo: u v = ( ( )) + (( ) ) + ( ) = koska u v 0, eivät vektorit ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Niiden välinen kulma saadaan lausekkeesta: u v = u v cos(θ) ( ) ( ) u v θ = arccos = arccos u v 3 6 θ.85 05.8. b) Napakoordinaatiston piste (r, ϕ) karteesisissa koordinaateissa löytyy seuraavilla kaavoilla: x = r cos(ϕ) y = r sin(ϕ) Joten (, π/3) on karteesisissa koordinaateissa x = cos(π/3) = y = sin(π/3) = 6 6

ja (, π/6) on x = cos( π/6) = 3 y = sin( π/6) = Tehtävä 6 (L): Sievennä (cos(t) + i sin(t)) 8 muotoon, jota käyttäen voit ilmoittaa luvut cos(8t) ja sin(8t) lukujen cos(t) ja sin(t) avulla. Ratkaisu: Binomin neliökaavalla saadaan (cos(t) + i sin(t)) 8 = (cos (t) + i sin(t) cos(t) sin (t)), = ((cos (t) sin (t)) + i sin(t) cos(t)(cos (t) sin (t)) sin (t) cos (t)). Kun edellinen lauseke kerrotaan vielä kerran auki, saadaan lopulta (cos(t) + i sin(t)) 8 = cos(t) 8 8 cos(t) 6 sin(t) + 70 cos(t) sin(t) 8 cos(t) sin(t) 6 + sin(t) 8 + i ( 8 cos(t) 7 sin(t) 56 cos(t) 5 sin(t) 3 + 56 cos(t) 3 sin(t) 5 8 cos(t) sin(t) 7). Samaan tulokseen päästään käyttämällä binomikaavaa (a + b) n = n k=0 ( n k) a n k b k tai Pascalin kolmiota. Toisaalta de Moivren kaavan mukaan (cos(t) + i sin(t)) 8 = cos(8t) + i sin(8t), eli Saadaan siis Re ( (cos(t) + i sin(t)) 8) = cos(8t) Im ( (cos(t) + i sin(t)) 8) = sin(8t). cos(t) 8 8 cos(t) 6 sin(t) + 70 cos(t) sin(t) 8 cos(t) sin(t) 6 + sin(t) 8 = cos(8t) 8 cos(t) 7 sin(t) 56 cos(t) 5 sin(t) 3 + 56 cos(t) 3 sin(t) 5 8 cos(t) sin(t) 7 = sin(8t). Tehtävä 7 (P): Olkoot u = (,, ) ja v = (,, ). Laske ristitulo u v sekä vektoreiden u ja v määräämän kolmion pinta-ala. Ratkaisu: i j k u v = = i j + k = ( ( ) )i ( ( ))j + ( ( ))k = 3j + 3k 7

Ristitulovektorin pituus on yhtä suuri kuin vektorien u ja v määräämän suunnikkaan pinta-ala. Vektorien määräämän kolmion ala on puolet tämän suunnikkaan alasta, eli A = u v = 8 3 + 3 = Tehtävä 8 (P): Laske (3 + i)( + 3i) ja päättele tämän avulla, että Ratkaisu: arctan(/3) + arctan(3/) = π/. Merkitään x = 3 + i ja y = + 3i. Nyt arg(x) = arctan( 3) ja arg(y) = arctan( ). Taas 3 toisaalta xy = (3 + i)( + 3i) = 5i. Koska 5i sijaitsee positiivisella imaginaariakselilla, saadaan arg(xy) = π. Kompleksiluvuille x ja y pätee: arg(x)+arg(y) = arg(xy), joten arctan( 3)+ arctan( ) = π. 3 8