Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2"

Krista Toivonen
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = , b = Tason kiertokuvauksen kiertokulma on 60 positiiviseen suuntaan ja kierron keskipiste,3. Esitä kiertokuvaus muodossa x = Ax + b, so. määritä matriisi A ja pystyvektori b. Laske sen neliön kuva, jonka kärkinä ovat 0,0, 1,0, 1,1 ja 0,1. A = , b = Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax paraabelille y = bx. 34. Yhtälö x = Ax + b, missä A = , b = 5 1 esittää tason euklidista kuvausta. Tutki, millainen kuvaus on kyseessä. Peilaus suorassa x 1 x + 1 = Kuvaus x y = x y kuvaa xy-tason pisteet xy-tason pisteiksi. Osoita, että kyseessä on peilauskuvaus ja määritä sen akseli. Laske kolmion ABC kuva, kun A = 0,0, B = 5,1 ja C = 0,. Piirrä kuvio Kolmiulotteisen avaruuden kierron akseli kulkee origon kautta ja sen suuntavektori on i + j + 3k; kiertokulma on π/6 radiaania. Laske numeerisesti kiertokuvauksen matriisi ,

2 350. Yksikkösärmäisen kuution yksi kärki on origossa ja tästä lähtevät särmät positiivisilla koordinaattiakseleilla. Kuutiota kierretään toistuvasti edellisen tehtävän kierrolla. Muodosta kiertomatriisi ja laske kierrettyjen kuutioiden kärjet. Piirrä kierretyt kuutiot projisioituina xy-tasoon. Piirtäminen helpottuu, jos alkuperäisen kuution kärkien koordinaatit asetetaan 3 n-kokoisen matriisin pystyvektoreiksi sellaiseen järjestykseen, että kärjet yhdistämällä saadaan piirretyksi koko kuutio; tällöin joudutaan eräissä kärjissä käymään useampaan kertaan, jolloin matriisissa on useampia pystyvektoreita kuin kuutiossa on kärkiä. Kierrettyjen kuutioiden kärkipisteille saadaan tämän jälkeen vastaavanlaiset koordinaattimatriisit matriisitulon avulla Kolmiulotteisen avaruuden kierron akseli kulkee origon kautta ja sen suuntavektori on i j + 4k; kiertokulma on 0.1 radiaania. Laske kiertokuvauksen matriisi. Kierrä tämän avulla toistuvasti pistettä 1, 0, 0 ja piirrä täten syntyvien pisteiden xy-tasoon otetut ortogonaaliprojektiot. Millaisella käyrällä projektiopisteet sijaitsevat? 35. Skaalaa edellisen tehtävän kierron suuntavektori siten, että sen pituus on sama kuin kiertokulman suuruus. Muodosta täten skaalattua vektoria vastaava ristitulomatriisi N ja laske numeerisesti e N jollakin tietokoneohjelmalla. Mitä kiertoon liittyvää saat? Kyseessä on matriisieksponenttifunktio, jonka argumentin tulee olla neliömatriisi. Tarkempi käsittely esitetään matriisilaskun oppikirjoissa Olkoot T a ja T b kaksi translaatiota. Osoita, että nämä kommutoivat, ts. T a T b = T b T a Olkoot U ϕ ja U ψ tason E kiertokuvauksia, joiden keskuksena on origo. Osoita, että nämä kommutoivat, ts. U ϕ U ψ = U ψ U ϕ. Päteekö sama kahdelle avaruuden E 3 kiertokuvaukselle, joiden keskuksena on origo? 355. Olkoon T a tason translaatio ja U ϕ tason kiertokuvaus keskuksena origo. Osoita esimerkillä, että välttämättä ei ole T a U ϕ = U ϕ T a. Millä ehdolla yhtälö on voimassa? a = o tai ϕ = nπ, n Z Esitä analyyttisesti se tason E euklidinen kuvaus, joka kuvaa kolmion ABC kolmiolle A B C, kun A =, 1, B = 6, 1, C = 6, 3, A = 1,1, B = 1,, C = 3,. Minne kuvautuu piste P = 1,1? x = y, y = 8 x; P = 1,. 35. Olkoot P 1 = x 1,y 1 ja P = x,y tason E pisteitä, d näiden etäisyys. Esitä analyyttisesti tason euklidinen liike, joka kuvaa janan P 1 P janalle {x,0 0 x d}. Onko tulos yksikäsitteinen?

3 Esimerkiksi x = 1 d [x x 1 x x 1 +y y 1 y y 1 ], y = 1 d [ y y 1 x x 1 +x x 1 y y 1 ]. 8.. Yhdensuuntaisprojektio 358. Yhdensuuntaisprojektion matriisi on P = Määritä kuvatason yhtälö ja projektiosäteen suuntavektori. Onko kyseessä ortogonaaliprojektio? 359. Matriisi P = esittää yhdensuuntaisprojektiota. Määritä matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Määritä yhdensuuntaisprojektion kuvataso ja projektiosäteen suunta. Miten nämä saadaan ominaisvektoreiden avulla? 360. Taso E projisioidaan vektorin i + j suuntaan suoralle x = 3x 1. Esitä kuvaus muodossa x = Px, ts. määritä matriisi P. Onko tällä ominaisuus P = P? Mitkä pisteet kuvautuvat pisteelle 1,3? P = 1 1 ; on; suoran r = i + 3j + τ i + j pisteet Dimetrinen ortogonaaliprojektio on yhdensuuntaisprojektio, jonka kuvataso on x + y + z = 0. Johda kaavat yhdensuuntaisprojektiokuvan laskemista varten. 36. Laske ja piirrä edellisen tehtävän kaavoja käyttäen ruuviviivan rt = cost i + sint j + at k kuva dimetrisessä ortogonaaliprojektiossa. Valitse ruuviviivan nousuksi a = Kokeile erilaisia ruuviviivan nousuja edellisen tehtävän ortogonaaliprojektiokuvassa. Miten nousu on valittava, jotta projektiokäyrällä olisi kärkiä? Miten tämä nousu voidaan laskea?.

4 8.3. Affiniteetti 364. Suorakulmion kärjet ovat 1, 1, 3, 1, 3,, 1,. Laske suorakulmion affiininen kuva, kun affiniteetin esityksessä on 1 5 A =, b = Laske suorakulmion ja sen kuvan pinta-alojen suhde. Miten tämä suhtautuu matriisin A determinanttiin? Piirrä kuvio Olkoon A = 1 1, b = 1, 3 jolloin yhtälö x = Ax + b määrittää tason E affiinin kuvauksen itseensä. Määritä sen käyrän yhtälö, joksi yksikköympyrä x1 + x = 1 kuvautuu tässä kuvauksessa. Piirrä kuvakäyrä Olkoon x = Ax + b affiininen kuvaus tasosta E tasoon E tai avaruudesta E 3 avaruuteen E 3 ; olkoon matriisi A säännöllinen ts. käänteismatriisi on olemassa. Osoita, että kuvaus kuvaa suoran suoraksi. Missä kohden tarvitaan oletusta, että matriisi A on säännöllinen? 8.4. Keskusprojektio 36. Keskusprojektion kuvataso on yz-taso ja projektiokeskus sijaitsee pisteessä 5, 0, 0. Muodosta kaavat keskusprojektiokuvan laskemista varten. Laske ja piirrä sen kuution perspektiivikuva keskusprojektiokuva, jonka pisteille pätee 3 x 0, 1 y, 0 z 3. y = 5y/x 5, z = 5z/x Pisteestä 0, 0, 5 katsellaan vektorin i + j suuntaan. Johda kaavat syntyvän perspektiivikuvan keskusprojektiokuvan laskemiseksi Projektiviteetti 369. Tutki, miten projektiviteetti x 1 = 3x 1 x x 1 + x + 5, x = 4x 1 + 9x x 1 + x + 5

5 kuvaa tasoalueen {x 1,x x 1 0, x 0}. Piirrä kuva. 30. Tutki, millaisiksi käyriksi ympyrät kuvautuvat tason kuvauksessa x 1 = x + 1 x 1 + x, x = x x 1 + x. Tutki erityisesti ympyröitä, joiden keskipisteet ja säteet ovat seuraavat: a,3, r = ; b,0, r = 1; c 1,1, r = ; d 0,0, r =. Millaisia käyriä näiden kuvat ovat? Muodosta ensin kuvattavalle ympyrälle tavanomainen ympyrän parametriesitys x 1 = a + r cosϕ, x = b + r sinϕ, ja laske tämän avulla kuvakäyrän parametriesitys.

Samankaltaiset tiedostot

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia

10. Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa 10.1. Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 446. Minkä käyrän muodostavat ne tason E 2 pisteet, joista pisteitä ( a,0) ja (a,0) yhdistävä jana (a > 0) näkyy 45