0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö y = k x + b k 40 4, 30 3 b=0 b) Ympyrän säde r on yhtä suuri kuin pisteen (3,4) etäisyys origost, eli r 3 4 Yhtälö on x y r eli x y c) Origohuippuisen, ylöspäin ukevn prbelin yhtälö on muoto y x Kosk piste (3,4) on käyrällä, niin on voimss: 4 3 4, joten prbelin yhtälö on y 4 x Myös 4 ti pelkkä likirvo kelp c) -/ Vstus + perustelu / koht + 3 ) Jos polun pituus luonnoss on x, niin yhdenmuotoisuuden nojll sdn verrnto 7,, x 0000 () jost x 0000 7, 30000 cm 300 m 3, km Stu suorn kertolskull - 0 b) 3 Jos kuution särmä on s, niin tilvuus on s 7(dm ) Tällöin s 3 7 (dm), jost sivuthkon l 3 7 3 s 4 3,63 (dm ) Vstus: n 3,66 dm 366 cm
0 4 Vektori 3i 4j vstn kohtisuori vektoreit ovt esimerkiksi vektorit n (4i 3 j), joiden pituus pituus on 3, ovt 3 n 4 ( 3) Näiden suuntiset vektorit, joiden Täten AB ( i j) * Vektori OB OA AB Sdn OB i j i j 7 i j ti OB i j i j 7 i j 7 ** Pisteen B koordintit ovt siten, ti 7, + AB xi y j j pistetulost yhtälö pituuden vull yhtälö x jonk rtkisu y * j ** kuten yllä 3 AB ( x ) i ( y ) j pistetulon vull yhtälö pituuden vull yhtälö x jonk rtkisu y ** kuten yllä Alust hylätty toinen rtkisu mx4
0 Jänteen keskipisteen etäisyys origost on Jänteen päätepisteen etäisyys origost = ympyrän säde r 4 Jänne j vektori (,) ovt toisin vstn kohtisuorss () Joten Pythgorn luseen mukn ^ + b^ = r^, missä jänteen pituuden puoliks b 6 Koko jänteen pituus on siten b 6,6 Olkoon P (,) Jnn OP tulee oll kohtisuorss jännettä vstn Kosk jnn OP kulmkerroin on, niin jänteen kulmkertoimen tulee oll Jänne on siten os suor y ( x ) eli y x Leikkuspisteet sdn yhtälöprist jost x y x y y x, x y 6 Jänteen pituus on 4 ( 44 käy) Vstuksen pelkkä likirvo mx 3
0 6 Onnistumisen todennäköisyys po 0,, jolloin epäonnistumiselle ) pe 0, 0, Pelien lukumäärä on n Kyseessä on binomitodennäköisyys binomikerroin 4 yli = 4 0,^*0,^3 4 3 P(neljästä yksi epäonnistuu) 0, 0, 0,6 % Pelkkä vstus 0 b) Binomijkumn odotusrvo EX np o 40, 3,6 + : Lskettu pistetodennäköisyydet, vstus + Pyöristetty rvoon 4 - c) Ehto: n 0, 0 n 0 0, Rtkistu yhtälönä j stu vstus Vstuksen 3 neljän pelin srj mx Käytetty rvo EX = 4 c-kohdss 0 7 Kosk kolmion kylki on, niin kolmion korkeus h (Kuvio 7 ll) Jos huippukolmion korkeus on x, niin sisälle setetun kolmion knt on x korkeus on h x j sen pint-l A(x)=x(h-x) A (x)=h-x A (x)=0 => x, jok on mksimi Perustelu vditn (Tämä rvo nt suurimmn pint-ln) A 8 Käytetty lukurvo = ti vstv - Kuvio 7 4
0 8 Jos louhintthti on tonni/v, niin kivihiilivrt ovt vuoden 0 luss kikkin 0 tonni Jos määriä lisättäisiin, niin vuoden 0 t loppuun mennessä louhitut määrät olisivt yhteensä,0,0,0 t tonni Geometrisen summn kvll (,0^t-)/(,0-) Oletuksen mukn (,0^t-)/(,0-) = 0 lg, t 3,840 lg,0 jolloin 0 t 047,840 Vstus: Kivihiilivrt loppuisivt vuoden 047 ikn Voi tulkit myös, että summ on,0,0,0 t niin t 3,88, jok joht smn tulokseen Käsitelty vin termiä,0^{t-} VM Täydellinen tulukointi mx6 Vstuksen 048 - Käytetty lukurvo = ti vstv -
0 Pois leikttv os koostuu suorst ympyrälieriöstä j khdest identtisestä pllosegmentistä Omenn säde R j lieriön säde r Puolet lieriön korkeudest on x, jolle suorkulmisest kolmiost sdn yhtälö r x R, jost x 6 Lieriön tilvuus Vl r x 4 6 30,78 Pllosegmentin korkeus h x 6 Pllosegmenttien yhteistilvuus V h s h R 3 6 6 3 0,384 Koko poisleiktun os tilvuus on V V 30,78 0,384 3,06 l s Vertilu nt tilvuuden hävikiksi 3,06 4 3 (Kuvio : ylempi rtk b: lempi rtk) 3 0,03, % Integroimisrj + r = R = R r = \sqrt{6} Korkeusfunktio x + y = R y = R x Pyörähdyskppleen tilvuus V = πy πx dx = π(r x ) πr dx = π / ((R r )x 3 x3 ) Vertilu nt tilvuuden hävikiksi = 4 3 π3 = 4 3 π(r r ) 3 3 V (R r) 4 = 0,03,% πr3 R 3 3 Lskettu vin lieriötä käyttäen oike korkeutt mx 3 Lskettu vin lieriötä käyttäen korkeuten omenn hlkisij, väärä 0 mlli Lskettu vin lieriötä käyttäen korkeuten omenn hlkisij, mx pproksimtio Lskettu vin omenn tilvuus 0 r R R x y Kuvio Kuvio b 6
0 0 ) Kosk pituuksien jono on geometrinen, niin jonoss b q j c q Pythgorn mukn b c ( q) q Jkmll puolittin luvull q Etumerkki ei kelp sdn yhtälö 4 q q 0, jost Näin ollen suhdeluku q, joss vin etumerkki + kelp Vstus: q,70 Vstuksen pelkkä likirvo - Käytetty jono (c,b,) mx 3 b) Aritmeettisen jonon differenssi on d Tällöin jono on b d, b, b d j Pythgorn luse nt ( b d) b ( b d) b 4bd 0 b 0b 4d Jono on täten 3 d, 4 d, d, jolloin suhde bc : : 3:4: (ti muut oiket suhdeluvut) Käytetty jono (c,b,) mx 3 Numeroiden summn 4 4n tulee oll jollinen luvull 3 Kosk ) summn ensimmäinen termi jo on sitä, tulee toisenkin oll Kosk kuitenkn tekijä 4 ei sitä ole, niin tekijän n tulee oll Siten n 0,3,6 ti b) Luku on jollinen luvull 6 vin, jos se on jollinen sekä luvull että luvull 3 Näin ollen numeron n tulee kuulu sekä joukkoon 0,,4,6,8 että 0,3,6, Molempiin kuuluvt vin numerot 0 j 6 c) Numeroiden summn 4 4n tulee oll jollinen luvull Kosk summn ensimmäinen termi jo on sitä, tulee toisenkin oll Kohdn ) tpn päätellään, että n 0 ti Täydellinen tulukointi mx 6 Vstukset osoitettu oikeiksi Muut vihtoehdot osoitettu vääriksi p/koht p/koht 7
0 Nollkohti ovt x j x 3 (cx+d)(x-)(x+3) = cx^3 + (d+c) x^ + (d-3c) x 3 cx^3 + (d+c) x^ + (d-3c) x 3 = x^3 + x^ 4x + b c=, d= Kolms nollkoht -/ Nollkohti ovt x j x 3 P() 0 Yhtälöprist, P( 3) 0 sdn b 3 + 3 Sdn yhtälö x x 4x 3 0, Kolms nollkoht -/ 3 ) Esimerkkijonoksi käy n ( ) n ti muodoss,,,,,, Jono on rjoitettu, sillä kikill n,,3, pätee b) Esimerkkijonoksi käy n n eli jono,, 3,, Se ei ole myöskään rjoitettu, sillä lim n c) (Ehdot toteutuu luvuill < p ) Ehto toteutuu esimerkiksi, kun p, sillä i) lim k k x dx x dx lim / x lim k k k k, joten integrli suppenee ii) lim k k x dx x dx lim / ln x lim ln k, joten k k k integrli hjntuu Ehto i) p > ti Ehto ii) p Kohdiss i) j ii) eri rvot luvull p 0 Vin p =, tms, (lskin) 0 n n 8
0 *4 ) Suorn suuntvektori on s i 3 j 7k, jonk pituus on 4 4 6 Suuntkosinit ovt cos si, cos 3 j cos 7 si 6 6 6 Suuntvektori väärin, muuten lskettu oikein Ei rngist myöhemmissä kohdiss b) Neliöiden summ on cos cos cos 44 c) cos 0,40 7,86 7,3 6 cos 3 0,380 67,6043 6 67,6 cos 7 0,880 7,0 6 7,3 d) Suorn suuntvektori on s i b j ck Sen pituuden neliö on s b c, joten cos cos cos b c s s s 6 b c s : p 3: p mx : p 3: p (Suuntkosinien neliöiden summ on siten kikille origon kutt kulkeville suorille vkio ) Suuntkosinit vin likirvoin () j (b)-kohdiss yhteensä -
0 * ) Jos b, niin kolmio on tskylkinen j tällöin myös x y Pythgorn mukn k x xx Kun tässä toinen korvtn b:llä j toinen x korvtn y:llä, niin sdn k b xy, jost väite seur b) Olkoon kulmn puoliks Kosiiniluseest sdn x^ = ^ + k^ k \cos \phi y^ = b^ + k^ bk \cos \phi Rtkistn khdest ensimmäisestä yhtälöstä k cos j merkitään k x b k y tulokset smoiksi: k cos b Kulmnpuolittjluseest sdn x/y = /b Kerrotn puolittin :ll: ( b k y ) k x b Korvtn x j kerrotn puolittin y:llä: b y xb xk xy y yk yx Rtkistn y yx y x xb k x y bx x y by xy Sijoitetn y bx : k x y Ryhmitellään: k : bx by x y xy b( x y) xy( x y) k b xy x y x y jost väite seur Rtkisu edellyttää, että x y 0, mutt ehto on voimss, kosk oletettiin, että b, jolloin myös x y, 0