MS-C140 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta 014 1 / 1
Miksi konvoluution Fourier-muunnos on muunnosten tulo? e iπνt ( integroimisjärjestyksen vaihto g(t uh(u du dt ( e iπν(t u g(t ue iπνu h(u du dt ( e iπν(t u g(t ue iπνu h(u dt du ( e iπν(t u g(t u dt e iπνu h(u du ( t u τ e iπντ g(τ dτ e iπνu h(u du ( ( e iπντ g(τ dτ e iπνu h(u du ĝ(νĥ(ν. Integroimisjärjestyksen vaihto on mahdollinen koska ( e iπν(t u g(t ue iπνu h(u du dt <. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta 014 / 1
F(e πt (ν e πν Merkitään h 0 (t e πt ja g(ν ĥ0(ν. Fourier-muunnoksen derivoimissääntöjen nojalla pätee g (ν F ( ( iπth 0 (t (ν if ( ( πth 0 (t (ν, F(h o(ν iπνf(h 0 (ν iπνg(ν Lisäksi pätee h 0 (t πth 0(t joten g (ν if ( ( πth 0 (t (ν if(h o(ν i πνg(ν πνg(ν. Tästä taas seruraa, että d dν eπν g(ν 0 joten e πν g(ν on vakio ja erityisesti e πν g(ν e π0 g(0 g(0 joten ĥ 0 (ν g(ν g(0e πν g(0h 0 (ν. Koska (olettaen, että käänteiskaava pätee kun s ja ŝ L 1 ( h 0 (t F 1 (g(t F(g( ν(t F(g(ν(t g(0f(h 0 (t g(0g(0h 0 (t, niin saadaan g(0 1 josta seuraa, että g(0 1 koska h 0 (t > 0. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta 014 3 / 1
Miksi eiπνt k( νŝ(ν dν (ˆk s(t? Funktion h(ν e iπνt k( ν Fourier-muunnos on ĥ(ω e iπων e iπνt k( ν dν ν τ Kertolaskukaavan avulla saadaan nyt e iπ(ω tν k( ν dν e iπ(t ωτ k(τ dτ ˆk(t ω. e iπνt k( νŝ(ν dν h(νŝ(ν dν ĥ(ωs(ω dω ˆk(t ωs(ω dω (ˆk s(t. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta 014 4 / 1
Miksi Fourier-muunnoksen käänteiskaava on voimassa? Valitaan kaavassa eiπνt p( νŝ(ν dν (ˆp s(t funktioksi p funktio p ɛ (ν e ɛν jolloin p( ν e ɛν ja p ɛ (ω π ɛ h 0 ( π ɛ ω. Konvoluutioiden approksimaatio-ominaisuuksista seuraa nyt että lim ɛ 0 s(t ( p ɛ s(t dt 0 ja että lim ɛ 0 ( p ɛ s(t s(t jos s on jatkuva pisteessä t. Jos ŝ lisäksi on integroituva niin lim ɛ 0 eiπνt ŝ(νe ɛν dν eiπνt ŝ(ν dν. Huom! Yllä oleva päättely perustui siihen, että tiedetään, että funktion h 0 (t e πt Fourier-muunnos on h 0 mutta oleellista on ainoastaan että löydetään jokin funktio p L 1 ( siten, että ˆp L 1 ( ja p(0 ˆp(ν dν 0 (mikä on eri asia kuin että ˆp(0 p(t dt kunnes käänteiskaava on tullut todistetuksi mutta ei sen jälkeen ja jos π termissä e iπνt vaihdetaan itseisarvoltaan toiseen lukuun tämä ei onnistu! G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta 014 5 / 1
L -funktioiden konvoluutio Jos g ja h L ( niin voidaan osoittaa, että konvoluutio (g h(t on jatkuva ja lim t (g h(t 0 eli g h C 0 ( mutta on mahdollista, että g h / L 1 ( ja g h / L ( joten Fourier-muunnosta ĝ h ei voida vielä määritellä. Mutta koska ĝ ja ĥ L ( niin ĝĥ L 1 ( ja tämän funktion Fourie-muunnos on laskettavissa ja tuloksen pitäisi olla ĝĥ(t (g h( t. Tämän osoittamiseksi valitaan t ja määritellään q(u h( u t. Silloin ˆq(ν e iπνs h( u t du e iπ( τ t h(τ dτ e iπνt ĥ(ν, joten e iπνt ĝ(νĥ(ν dν ĝ(νˆq(ν dν. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta 014 6 / 1
L -funktioiden konvoluutio, jatk. Koska ĝ(νˆq(ν dν g(uq(u du niin ĝĥ(t g(uq(u du g(uh( u t du (g h( t. Huomaa myös, että jos g ja h L 1 ( niin pätee tietenkin F(g h ĝĥ mutta silloin tiedetään ainoastaan, että ĝĥ C 0 ( ja tämänkin funktion Fourier-muunnoksen laskeminen ei onnistu suoraan perusmääritelmällä. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta 014 7 / 1
FFT:n perusideat Diskreetin Fourier-muunnoksen tehokas käyttö perustuu siihen, että on mahdollista laskea se nopeasti ja tehokkaasti, mutta jos lähdetään laskemaan suoraan määritelmästä joudutaan suorittamaan suurin piirtein laskuoperaatiota. Laskun nopeuttamiseksi voidaan käyttää esim. seuraavanlaisia ideoita: Olkoon parillinen luku ja olkoon s -jaksollinen diskreetti signaali. yt F (s(m ŝ(m 1 j0 1 j0 1 k0 e iπmk s(k e iπmj s(j + 1 j0 e iπmj s(j + e iπm e iπm(j+1 s(j + 1 1 j0 e iπmj s(j + 1 F (s(0 : : (m + e iπm F (s(1 : : 1(m. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta 014 8 / 1
FFT:n perusideat, jatkuu Kun lisäksi muistetaan, että F (G on jaksollinen jaksolla e iπm pystyvektoreina niin saadaan e iπ(m+ ja että niin nähdään, että kun kirjoitetaan vektorit [ ] F (s(0 : : F (s B, (s(1 : : 1 F missä B M [ I M I M Ω M Ω M ] ja ([ ] Ω M diag 1 e iπ M e iπ M... e iπ(m 1 M G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta 014 9 / 1
FFT:n perusideat, jatkuu Jos nyt q ja A k I q k B k diag([b k,..., B k ] niin silloin F (s A q A q 1... A 1 P s missä P s on permutaatio vektorista s. Kun lisäksi huomataan, että kun kerrotaan vektoria matriisilla A k niin jokaisen elementin laskemiseksi on kerrottava yksi elementti kompleksiluvulla ja tulokseen lisätään toinen kompleksiluku eli kaiken kaikkiaan kertolaskua ja yhteenlaskua ja kaiken kaikkiaan on siis laskettava q kertolaskua ja q yhteenlaskua. opea Fourier-muunnos on siis todella huomattavasti nopeampi kuin suoraviivainen määritelmän soveltaminen. Vastaavasti nopeita Fourier-muunnosalgoritmeja on myös olemassa tapauksissa kun k. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa 3. I tammikuuta 014 10 / 1
Fourier-sarjan suppeneminen, I Jos s L 1 (/Z ja t 0 on sellainen, että 1 1 1 t s(t + t 0 s(t 0 dt < niin lim e iπkt0ŝ(k s(t 0. Miksi Määritellään,M k M g(t s(t + t 0 s(t 0 e iπt 1 ainakin kun t ei ole kokonaisluku (ja esim. g(t 0 kun t Z. Koska e iπt 1 4 t kun t 1 niin g L1 (/Z ja iemann-lebesguen lemman nojalla pätee lim k ĝ(k 0. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa 3. I tammikuuta 014 11 / 1
Todistus jatkuu Koska s(t + t 0 g(t(e iπt 1 + s(t 0 niin ŝ(ke iπkt 0 1 0 1 0 e iπkt f (t + t 0 e iπk(t t 0 s(t dt + 1 0 1 0 1 t0 t 0 e iπ(k+1t g(t dt e iπkτ f (τ + t 0 dt 1 0 e iπkt g(t dt e iπkt f (t 0 dt ĝ(k + 1 ĝ(k + f (t 0 δ 0,k missä δ 0,k 1 kun k 0 ja 0 muuten koska 1 0 e iπ0 t dt 1 ja 1 0 e iπkt dt / 1 1 0 iπk e iπkt 0 jos k 0. Tästä seuraa, että jos M < 0 ja > 0 niin ŝ(ke iπkt 0 ĝ( + 1 ĝ( M + f (t 0 k M ja väite seuraa koska lim ĝ( + 1 lim M ĝ( M 0. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa 3. I tammikuuta 014 1 / 1