f x dx y dy t dt f x y t dx dy dt O , (4b) . (4c) f f x = ja x (4d)

Samankaltaiset tiedostot
x v1 y v2, missä x ja y ovat kokonaislukuja.

W dt dt t J.

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset

b) Ei ole. Todistus samaan tyyliin kuin edellinen. Olkoon C > 0 ja valitaan x = 2C sekä y = 0. Tällöin pätee f(x) f(y)

Dynaaminen optimointi ja ehdollisten vaateiden menetelmä

( ) ( ) x t. 2. Esitä kuvassa annetun signaalin x(t) yhtälö aikaalueessa. Laske signaalin Fourier-muunnos ja hahmottele amplitudispektri.

5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

Ratkaisu. Virittäviä puita on kahdeksan erilaista, kun solmut pidetään nimettyinä. Esitetään aluksi verkko kaaviona:

S Signaalit ja järjestelmät Tentti

2. Matemaattinen malli ja funktio 179. a) f (-2) = -2 (-2) = = -6 b) f (-2) = 2 (-2) 2 - (-2) = (-8) + 7 = = 23

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista

Huomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s).

Luento 4. Fourier-muunnos

2. Suoraviivainen liike

Tasaantumisilmiöt eli transientit

TKK Tietoliikennelaboratorio Seppo Saastamoinen Sivu 1/5 Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta

Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta Sivu 1/5

MAT Fourier n menetelmät. Merja Laaksonen, TTY 2014

Diskreetillä puolella impulssi oli yksinkertainen lukujono:

Tuotannon suhdannekuvaajan menetelmäkuvaus

( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän:

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

2. Taloudessa käytettyjä yksinkertaisia ennustemalleja. ja tarkasteltavaa muuttujan arvoa hetkellä t kirjaimella y t

1 Excel-sovelluksen ohje

Luento 2. Järjestelmät aika-alueessa Konvoluutio-integraali. tietoverkkotekniikan laitos

A-osio. Ei laskinta! Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä vain kaksi joihin vastaat!

Monisilmukkainen vaihtovirtapiiri

Suunnitteluharjoitus s-2016 (...k-2017)

Tietoliikennesignaalit

Rakennusosien rakennusfysikaalinen toiminta Ralf Lindberg Professori, Tampereen teknillinen yliopisto

9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A.

SATE1050 Piirianalyysi II syksy 2016 kevät / 6 Laskuharjoitus 10 / Kaksiporttien ABCD-parametrit ja siirtojohdot aikatasossa

Toistoleuanvedon kilpailusäännöt

1. Todista/Prove (b) Lause 2.4. käyttäen Lausetta 2.3./by using Theorem b 1 ; 1 b + 1 ; 1 b 1 1

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia

Juuri 13 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. K1. A: III, B: I, C: II ja IV.

Ene , Kuivatus- ja haihdutusprosessit teollisuudessa, Laskuharjoitus 5, syksy 2015

OH CHOOH (2) 5. H2O. OH säiliö. reaktori 2 erotus HCOOCH 3 11.

joka on separoituva yhtälö, jolla ei ole reaalisia triviaaliratkaisuja. Ratkaistaan: z z(x) dx =

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009

Systeemimallit: sisältö

Puolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 2, Kevät 2017

PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS. KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Community Ltd

ETERAN TyEL:n MUKAISEN VAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 3, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

VATT-KESKUSTELUALOITTEITA VATT DISCUSSION PAPERS. JULKISEN TALOUDEN PITKÄN AIKAVÄLIN LASKENTAMALLIT Katsaus kirjallisuuteen

( ) 5 t. ( ) 20 dt ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) / ( ) du ( t ) dt

ẍ(t) q(t)x(t) = f(t) 0 1 z(t) +.

Tiedonhakumenetelmät Tiedonhakumenetelmät Helsingin yliopisto / TKTL. H.Laine 1. Todennäköisyyspohjainen rankkaus

KOMISSION KERTOMUS. Suomi. Perussopimuksen 126 artiklan 3 kohdan nojalla laadittu kertomus

Silloin voidaan suoraan kirjoittaa spektrin yhtälö käyttämällä hyväksi suorakulmaisen pulssin Fouriermuunnosta sekä viiveen vaikutusta: ( ) (

Tehtävä I. Vaihtoehtotehtävät.

Laskelmia verotuksen painopisteen muuttamisen vaikutuksista dynaamisessa yleisen tasapainon mallissa

12. ARKISIA SOVELLUKSIA

Luento 9. Epälineaarisuus

7.1. Suurimman uskottavuuden estimointimenetelmä: Johdanto

Mittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009

EDE Introduction to Finite Element Method

Sopimuksenteon dynamiikka: johdanto ja haitallinen valikoituminen

Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.

3 SIGNAALIN SUODATUS 3.1 SYSTEEMIN VASTE AIKATASOSSA

Lisäpainoleuanvedon kilpailusäännöt

Kokonaishedelmällisyyden sekä hedelmällisyyden keski-iän vaihtelu Suomessa vuosina

Tässä harjoituksessa käsitellään Laplace-muunnosta ja sen hyödyntämistä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa.

KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN SPEKTRIN LASKEMINEN

338 LASKELMIA YRITYS- JA PÄÄOMAVERO- UUDISTUKSESTA

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille

6.4 Variaatiolaskennan oletusten rajoitukset. 6.5 Eulerin yhtälön ratkaisuiden erikoistapauksia

Ratkaisut FYS02: Lämpö

Suomen kalamarkkinoiden analyysi yhteisintegraatiomenetelmällä

LÄMPÖOPPIA: lämpöenergia, lämpömäärä (= lämpö Q) Aineen lämpötila t aineen saaman lämpömäärän Q funktiona; t = t(q)

a. Varsinainen prosessi on tuttua tilaesitysmuotoa:

Ilmavirransäädin. Mitat

OSINKOJEN JA PÄÄOMAVOITTOJEN VEROTUKSEN VAIKUTUKSET OSAKKEEN ARVOON

XII RADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA

2. Systeemi- ja signaalimallit

Luento 9. Epälineaarisuus

Asuntojen huomiointi varallisuusportfolion valinnassa ja hinnoittelussa

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 12: Yhden vapausasteen vaimenematon pakkovärähtely, harmoninen

Lyhyiden ja pitkien korkojen tilastollinen vaihtelu

Seinämien risteyskohdat

KYNNYSILMIÖ JA SILTÄ VÄLTTYMINEN KYNNYKSEN SIIRTOA (LAAJENNUSTA) HYVÄKSI KÄYTTÄEN

Seinämien risteyskohdat

ELEC-E8419 Sähkönsiirtojärjestelmät 1: Kulmastabiilius, taajuusstabiilius, roottorin nopeusstabiilius

Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty. Laitos/Institution Department. Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Tekijä/Författare Author

Lasin karkaisun laatuongelmat

ÅLANDSBANKEN DEBENTUURILAINA 2/2010 LOPULLISET EHDOT

SUOMEN PANKIN KANSANTALOUSOSASTON TYÖPAPEREITA

STOKASTISIA MALLEJA SÄHKÖN HINNOITTELUUN. Sanni Sieviläinen

PALLON PUTOAMINEN VÄLIAINEISSA

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 168. h = 16,5 cm = 1,65 dm 1 = = :100. 2,5dm 1, dm. Vastaus 30 cm. = 2,

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Taloustieteiden tiedekunta TARJONTA SUOMEN ASUNTOMARKKINOILLA

Yhdessä yhteistyöllä. -toimintamalli

Taustaa KOMPLEKSILUVUT, VÄRÄHTELIJÄT JA RADIOSIGNAALIT. Jukka Talvitie, Toni Levanen & Mikko Valkama TTY / Tietoliikennetekniikka

JÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINEMATIIKKA

Tekes tänään (ja huomenna?) Pekka Kahri Palvelujohtaja, Tekes Fortune seminaari

Kuntaeläkkeiden rahoitus ja kunnalliset palvelut

MÄNTTÄ-VILPPULAN KAUPUNKI. Mustalahden asemakaava Liikenneselvitys. Työ: E Tampere

Transkriptio:

Tehävä 1. Oleeaan, eä on käössä jakuva kuva, jossa (,, ) keroo harmaasävn arvon paikassa (, ) ajanhekenä. Dnaaminen kuva voidaan esiää Talor sarjana: d d d d d d O ( +, +, + ) = (,, ) + + + + ( ). (4a) Kun apahuu pieni siirros (d,d) pienellä aikavälillä d, voidaan oleaa korkeampien poenssien ermin O ( ) häviävän. Saadaan hälö (pise siirn, sama arvo) ( + d, + d, + d) = (,, ), (4b) kun on samanaikaisesi voimassa seuraava eho d d = +. (4c) d d Yllä on käe merkinöjä =, = ja =. d d Tavoie on laskea nopeus (opinen viraus) c =, = ( u, v). ja voidaan d d laskea kuvasa (,, ) ja kuvaparisa (,, ) ja (,, +1) seuraavasi (, ) = ( + 1,, ) (, ) = (, + 1, ) (, ) = (,, + 1) (,, ), (,, ) ja (,, ). (4d) Opinen viraus voidaan esimoida osiain hälösä = u + v = grad( ) c (piseulo), (4e) missä grad() on kaksidimensioinen harmaasävgradieni. Ylläolevasa hälösä saamme ainoasaan nopeusvekorin c = (u,v) komponenin harmaasävgradienin suunaan. Nopeusvekori c = (u,v) voidaan rakaisa ieraiivisesi minimoimalla neliövirhehälö ( ) ( u + v + ) + ( u + u + v v ) E, + = λ, (4)

missä λ Lagrange-kerroin ja u on u:n paikkaderivaaa :n suheen jne.... Jälkimmäinen osa on opisen virran sileskrieeri (smoohing crierion), jonka mukaanoo mahdollisaa nopeusvekorin c = (u,v) rakaisemisen. Sileskrieerin sisälö on se, eä nopeusvekorikenä muuuu hiaasi anneussa naapurusossa. Nopeusvekorin komponeni saadaan rakaisuksi diereniaalihälörhmasä ( λ + ) u + v = λ u u + ( λ + ) v = λ v, (4g) missä u, v ova nopeuden keskiarvoja - ja -suunaan iessä naapurusossa (,). Nopeusvekori c = (u,v) voidaan n rakaisa ieraiivisesi kaikille pikseleille (i, seuraavisa hälöisä u v k k k 1 = u k 1 = v (, P D i, P i, j D i, j ( ) ( ) (4h) (4i) missä P = u + v + λ +. (4, D = + Harmaasävgradienin vaikuus häviää, kun se on kohisuorassa nopeuden keskiarvon suheen P = c = 0. Muussa apauksessa lisäään ie osuus harmaasävgradienisa nopeuden keskiarvoon. Jos naapurusoa ei oea huomioon, niin opinen viraus on aina samansuunainen paikallisen harmaasävgradienin kanssa. Yllä oleva meneelmä (Horn, Schunck) on kombinaaio keskimääräisesä nopeudesa iessä naapurusossa ja lokaalin harmaasävgradienin osasa. (kaso kuva).

Sisärajan jäljismeneelmä kahdeksalla naapurilla (inner boundar racing algorihm wih 8-connecivi) knnsen kuvaan on seuraava: 1. Esiään lävasemmala lähien rajapise P 0. P 0 :lla on pienin sarakearvo niisä piseisä joilla on pienin riviarvo. Määriellään lisäksi muuuja dir, joka keroo edellisen siirron suunnan. Alkuarvo on dir = 7. (numeroidu suunna). Esiään nkisen kuvapiseen (pielin) 3 3 naapurusosa uusi rajapise alkaen kuvapiseesä, jonka suuna (paikka) saadaan alla olevalla säännöllä (dir+7) mod 8 jos dir on parillinen (dir+6) mod 8 jos dir on parion. Kulkusuuna on päinvasainen kellonkulkusuuna. Merkiään uua rajapiseä P n :llä ja päivieään dir. 3. Jos uusin rajapise P n on sama kuin P 1 ja rajapise P n 1 on sama kuin P 0, niin, lopeeaan esiminen, muussa apauksessa oiseaan vaihe. 4. Havaiu sisäraja koosuu pieleisä P 0 KP n. Algorimi löää sisärajan jos alue suurempi kuin ksi pieli. Alueen sisällä olevia reikiä meneelmä ei lödä. Tehävän. rakaisu vaiheiain: 1. Aloiuspieli P 0 = 0 lö lävasemmala. Määriellään dir = 7.. Aloieaan esinä 3 3 naapurusosa kulkusuunana päinvasainen kellonsuuna. Aloiussuuna dir(7+6) mod (jakojäänös) 8 = 5. Rajapise löi suunnasa 6. Merkiään piseä P 1 = 1 ja päivieään dir dir = 6. 3. Aloieaan esinä suunnasa dir(6+7) mod 8 = 5. P =, dir = 7. 4. Aloieaan esinä suunnasa dir(7+6) mod 8 = 5. P 3 = 3, dir = 5. 5. Aloieaan esinä suunnasa dir(5+6) mod 8 = 3. P 4 =, dir = 1.

6. Aloieaan esinä suunnasa dir(1+6) mod 8 = 7. P 5 = 4, dir = 7. 7. Aloieaan esinä suunnasa dir(7+6) mod 8 = 5. P 6 = 5, dir =. 8. Aloieaan esinä suunnasa dir(+7) mod 8 = 1. P 7 = 6, dir =. 9. Aloieaan esinä suunnasa dir(+7) mod 8 = 1. P 8 = 7, dir =. 10. Aloieaan esinä suunnasa dir(+7) mod 8 = 1. P 9 = 8, dir = 5. 11. Aloieaan esinä suunnasa dir(5+6) mod 8 = 3. P 10 = 0, dir = 3. 1. Aloieaan esinä suunnasa dir(3+6) mod 8 = 1. P 11 = 1, dir = 6. 13. Lopeeaan esiminen, koska P n on sama kuin P 1 ja P n 1 on sama kuin P 0, Havaiu sisäraja koosuu pieleisä: P0 = 0, P1 = 1, P =, P3 = 3, P4 =, P = 4, P = 5, P = 6, P = 7, P = 8 (kaso kuva). 5 6 7 8 9

Tehävä 3. Ymprän hälö, joia esiään kuvasa on ( ) ( ), a + b = r missä (a,b) on mprän keskuspise ja r mprän on säde. Paramerejä on kolme, joen parameriavaruus on kolmiuloeinen ( visuaalisesi särmiö). Kuuio on särmiön erikoisapaus, jossa kaikki sivu saman suuruisia. Houghin muunnoksessa siirrään -avaruudesa (ämä apaus) parameriavaruueen (a,b,r), jossa jokainen parameriakseli jaeaan pienempiin osiin haluulla avalla. Näin sn aliavaruuksien joukko (esim. jos kaikki parameriakseli jaeaan kmmeneen osaan, niin sn uha aliavaruua("pikku särmiöä"). Alkuperäinen kuva suodaeaan ja knnseään sien, eä vain reuna (harmaasävn muuos suuri) näkvä. Jokainen reunapise suodaeusa ja knnsesä (reuna = 1, muu = 0) kuvasa piirreään kaikilla eri paramerien diskreeeillä arvoilla diskreeiin kolmiuloeiseen parameriavaruueen. Näin saau kärä kulkee monen "pikku särmiön" kaua parameriavaruudessa. Nämä kauakulu laskeaan. Kun kaikki suodaeun kuvan reunapisee on piirre parameriavaruueen, niin kasoaan missä "pikku särmiöissä" on lokaalisi enien kauakulkuja. Näiden "pikku särmiöiden" paramerien arvo vasaava mpröiä alkuperäisessä kuvassa.