L p -keskiarvoalueista

L p -keskiarvoalueista Jenni Alamehtä Matematiikan pro gradu Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesäkuu 4

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFOS UNIVESITET UNIVESITY OF HELSINKI TiedekuntaOsasto FakultetSektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Jenni Alamehtä Työn nimi Arbetets titel Title Matematiikan ja tilastotieteen laitos L p -keskiarvoalueista Oppiaine Läroämne Subject Matematiikka Työn laji Arbetets art Level Aika Datum Month and year Sivumäärä Sidoantal Number of pages Pro gradu -tutkielma Kesäkuu 4 49 s. Tiivistelmä eferat Abstract Tutkielmassa todistamme, että valitut alueet ovat L p -keskiarvoalueita. Aloitamme esittelemällä kvasihyperbolisen metriikan. Tarvitsemme metriikkaa koko tutkielman ajan. Kvasihyperbolinen metriikka on n-ulotteinen vastine standardille hyperboliselle metriikalle avaruudessa. Todistamme, että kvasihyperbolinen metriikka on todella metriikka ja esitämme lyhyesti erittäin käyttökelpoisen arvion kvasihyperboliselle metriikalle. Toisen luvun lopussa esitämme L p -keskiarvoalueen määritelmän, joka pohjautuu kvasihyperboliseen metriikkaan. Kolmannessa luvussa osoitamme, että pallo avaruudessa n on L p -keskiarvoalue. Pallossa kvasihyperbolinen metriikka on helppo laskea ja saammekin sille tarkan arvion. Kun siirrymme polaarikoordinaatteihin, induktiolla sekä dimension n että luvun p suhteen saamme osoitettua, että pallo on L p -keskiarvoalue. Neljännessä luvussa käsittelemme kolmiota tasossa. Kvasihyperboliselle metriikalle kolmiossa saamme laskettua hyvän arvion. Tutkielmassa laskemme ylärajan kvasihyperbolisen metriikan integraalille kolmiossa, kun potenssi p =, p = ja p = 3. Ennestään tiedämme, että kolmio on L p - keskiarvoalue. Viidennessä luvussa käsittelemme äärellistä piikkialuetta. Piikkiin olemme liittäneet kolmion, mutta se voisi olla mikä tahansa L p -keskiarvoalue, kuten pallo tai kuutio. Kuitenkin koko alueen mitan tulee olla äärellinen. Todistuksen jälkeen osoitamme tärkeän lauseen. Se antaa yhden mahdollisen funktion, jolla voimme muodostaa halutun piikin S. Lopuksi tutkimme äärettömyyteen jatkuvaa piikkiä. Piikki on jälleen rajattu kolmiolla, mutta se voisi olla pallo, kuutio tai kolmio jossain toisessa asennossa. Oleellista on, että koko alueen mitta on äärellinen. Laskut ovat vastaavat kuin rajoitetussa tapauksessa. Avainsanat Nyckelord Keywor L p -avaruus, kvasihyperbolinen metriikka, L p -keskiarvoalue Säilytyspaikka Förvaringsställe Where deposited Kumpulan tiedekirjasto Muita tietoja Övriga uppgifter Additional information

Hippulalle

Sisältö Johdanto 5 Johdatus L p -keskiarvoalueen määritelmään 6 3 Pallo 9 4 Kolmio 8 5 Äärellinen piikkialue 38 6 Äärettömyyteen jatkuva piikkialue 46

JOHDANTO 5 Johdanto Tutkielmassa todistamme, että valitut alueet ovat L p -keskiarvoalueita. Aloitamme esittelemällä kvasihyperbolisen metriikan. Tarvitsemme metriikkaa koko tutkielman ajan. Kvasihyperbolinen metriikka on n-ulotteinen vastine standardille hyperboliselle metriikalle avaruudessa. Todistamme, että kvasihyperbolinen metriikka on todella metriikka ja esitämme lyhyesti erittäin käyttökelpoisen arvion kvasihyperboliselle metriikalle. Toisen luvun lopussa esitämme L p -keskiarvoalueen määritelmän, joka pohjautuu kvasihyperboliseen metriikkaan. Kolmannessa luvussa osoitamme, että pallo avaruudessa n on L p -keskiarvoalue. Pallossa kvasihyperbolinen metriikka on helppo laskea ja saammekin sille tarkan arvion. Kun siirrymme polaarikoordinaatteihin, induktiolla sekä dimension n että luvun p suhteen saamme osoitettua, että pallo on L p - keskiarvoalue. Neljännessä luvussa käsittelemme kolmiota tasossa. Kvasihyperboliselle metriikalle kolmiossa saamme laskettua hyvän arvion. Tutkielmassa laskemme ylärajan kvasihyperbolisen metriikan integraalille kolmiossa, kun potenssi p =, p = ja p = 3. Ennestään tiedämme, että kolmio on L p -keskiarvoalue. Viidennessä luvussa käsittelemme äärellistä piikkialuetta. Piikkiin olemme liittäneet kolmion, mutta se voisi olla mikä tahansa L p -keskiarvoalue, kuten pallo tai kuutio. Kuitenkin koko alueen mitan tulee olla äärellinen. Todistuksen jälkeen osoitamme tärkeän lauseen. Se antaa yhden mahdollisen funktion, jolla voimme muodostaa halutun piikin S. Lopuksi tutkimme äärettömyyteen jatkuvaa piikkiä. Piikki on jälleen rajattu kolmiolla, mutta se voisi olla pallo, kuutio tai kolmio jossain toisessa asennossa. Oleellista on, että koko alueen mitta on äärellinen. Laskut ovat vastaavat kuin rajoitetussa tapauksessa.

JOHDATUS L P -KESKIAVOALUEEN MÄÄITELMÄÄN 6 Johdatus L p -keskiarvoalueen määritelmään Määritelmä.. Olkoon D avaruuden n aito osa-alue, n. Pisteiden x ja x välinen kvasihyperbolinen metriikka alueessa D on k D x, x = inf γ distx, D, missä γ : [, ] D on suoristuva polku alueessa D pisteiden x ja x välillä ja infimum otetaan kaikkien tällaisten polkujen yli. Osoitetaan, että etäisyys k D x, x on metriikka alueessa D. Lause.. Kvasihyperbolinen etäisyys k D x, x määrittelee metriikan alueessa D eli. k D x, x k D x, x 3 + k D x 3, x. k D x, x = k D x, x 3. k D x, x =, jos ja vain jos x = x kaikilla pisteillä x, x, x 3 D. Todistus. Oletetaan, että pisteet x, x, x 3 D. Olkoon γ ij : x i x j suoristuva polku pisteestä x i pisteeseen x j. Tulopolku γ ij γ jk : [, ] D määritellään asettamalla { γij t, kun t [, γ ij γ jk t = ] γ jk t, kun t [, ]. Kaikille pisteet x ja x 3 aluessa D yhdistäville suoristuville poluille γ 3 ja kaikille pisteet x 3 ja x alueessa D yhdistäville suoristuville poluille γ 3 on voimassa Siis k D x, x = inf γ γ distx, D = distx, D + distx, D. γ 3 γ 3 k D x, x = inf γ γ γ distx, D inf γ 3 γ 3 distx, D + inf γ 3 γ 3 = k D x, x 3 + k D x 3, x. γ 3 γ 3 distx, D distx, D

JOHDATUS L P -KESKIAVOALUEEN MÄÄITELMÄÄN 7. Pisteet x ja x yhdistävän suoristuvan polkun γ avulla saamme pisteet x ja x yhdistävän polun γ. Polku γ on polun γ vastapolku eli γ = γ. Tiedetään, että distx, D = distx, D. Näin ollen γ γ k D x, x = k D x, x. 3. Oletetaan, että x = x. Tällöin pisteet x ja x voidaan yhdistää alueessa D suoristuvalla polulla γ, jonka pituus lγ =. Nyt k D x, x = inf γ γ distx, D distx, D =. Siis k D x, x =. Oletetaan, että x x. Kaikilla x γ [, ] on voimassa distx, D x x + distx, D lγ + distx, D. Tästä saamme arvion distx, D = γ γ lγ + distx, D x x x x + distx, D γ lγ + distx, D = γ lγ lγ + distx, D kaikilla pisteiden x ja x välisillä suoristuvilla poluilla γ. Siis k D x, x = inf γ γ distx, D x x x x + distx, D >. Yhdistämällä molemmat tapaukset saamme, että k D x, x =, jos ja vain jos x = x. Lause.3. Jos D on avaruuden n aito osa-alue, niin k D x, x distx, D distx, D kaikilla x, x D.

JOHDATUS L P -KESKIAVOALUEEN MÄÄITELMÄÄN 8 Todistus. Todistus on esitetty kandidaatintutkielmassa [an] Lemmassa 3.. Todistuksen pohjana on käytetty Gehringin ja Palkan [GePa] Lemmaa.. Määritelmä.4. Olkoon p <. Alue D on L p -keskiarvoalue, jos ja vain jos kx, x dx <, jollakin x D. D

3 PALLO 9 3 Pallo Määritetään kvasihyperbolisen etäisyyden lauseke avaruuden n, n, pallossa B = B n x,, missä x on pallon keskipiste ja > säde. Oletetaan koko luvun ajan, että x =. Lasketaan nyt etäisyys pallon keskipisteen ja mielivaltaisen pallon pisteen x B välillä. Suoraan kvasihyperbolisen metriikan määritelmästä saadaan k B, x = k B, x γ disty, B, missä γt = t, t [, x ]. Tällöin distγt, B = t. Nyt k B, x x t. Tehdään muuttujanvaihto t = u ja du =. Tällöin Siis x x x t = du u = u = x + = x = Toisaalta epäyhtälön nojalla k B, x k B, x Yhdistämällä yllä lasketut tulokset saamme x. dist, B distx, B = x. k B, = x. x. Lause 3.. Olkoon p {,,...}, B = B n,, n {, 3,...} ja >. Tällöin k B, x dx = c n + +... + n n n, B missä c n riippuu vain dimensiosta n.

3 PALLO x x Kuva : Pallo B Todistus. Merkitään S n = {x n : x = }. Vaihtamalla polaarikoordinaatteihin saadaan k B, x dx = dx B B x = t n dσϕ S n tϕ = t n dσϕ S n t = σs n t n, t missä σ on pintamitta pallokuorella S n. Jätetään vakio c n = σs n ois koska se ei periaatteessa vaikuta seuraaviin tuloksiin. Osoitetaan, että t n = + t +... + n n n.. Perusaskel: Oletetaan, että p = ja < < sekä n {, 3, 4,...} ovat kiinnitetty. Osoitetaan, että t n = + t +... + n n n. 3 Todistamme väitteen induktiolla dimension n suhteen.

3 PALLO a Perusaskel: Oletetaan, että n = eli osoitetaan että t = + t. Tällöin = b t = lim t b t lim b b t t. t t Ensimmäinen integraali on helppo laskea. Siitä saadaan t = t =. Tehdään toiseen integraaliin muuttujan vaihto t = u ja = du. Tällöin t t = lim b b t t = lim u u du = lim u u du a = lim u du u u du. a a a a a a Jälleen ensimmäinen integraali on helppo ja siitä saadaan u du = lim u du = lim a a a =. u u u Jälkimmäinen integraali saadaan laskettua käyttämällä osittaisintegrointikaavaa b a f tgt = b ftgt a b a a g tft, 4

3 PALLO missä funktiot f ja g ovat derivoituvia sekä derivaatat f ja g ovat iemann-integroituvia välillä [a, b].valitaan f t = u ja gt = u. Nyt u u du = lim u u du a a = lim a u u lim a a u u du a = = 4. Yhdistetään lasketut integraalit, jolloin t = t u du = 4 u 4 = + + 4 = 3 4 = +. b Induktioaskel: Oletetaan, että yhtälö 3ätee dimensiossa n. Tällöin t n = + t +... + n n n. Osoitetaan, että väite on voimassa dimensiossa n +. Lasketaan integraali t n t osittaisintegroimalla käyttäen kaavaa 4. Valitaan gt = t n eli

3 PALLO 3 g t = nt n ja f t =. Lasketaan ft. t ft = t = t = t = t t t t = t + t t t. Sovelletaan osittaisintegrointi kaavaa 4. Tällöin = lim b b = lim b b b t n = lim t n t b t b t n t + t t t nt n t + t t t b n b + b n b b b n b nt n t + t t t Sijoituksen jäljiltä muut raja-arvot ovat helppoja paitsi keskimmäinen. L Hôpitalin sääntöä käyttämällä saadaan Edelleen t n t = n lim lim b b lim b bn b b =. b b nt n nt n t t + lim b b nt n t. Muunnetaan ensimmäinen termi integraalimuotoon ja hajotetaan.

3 PALLO 4 muita integraaleja lisää. Nyt t n t = lim + b b = n n + n nt n n t n nt n t + lim nt n t t n n lim t n + n lim t n n b b t n. b b b b Yhdistetään integraaleja sopivasti, jolloin t n t = n lim b b + n n tn n t n nt n t t n t t n t n lim t n + tn+. b b t n t Toinen integraali on sama kuin mitä yritämme laskea, joten siirretään se toiselle puolelle. n + t n t b = n lim t n + n+ n b t n + n+ = n t n t + n+ n n + n+. Jaetaan puolittain luvulla n + ja käytetään induktio-oletusta.

3 PALLO 5 Tällöin t n t = n + n + +... + n + n+ n n n + n n+ n + n + = + +... + n+ n n + + n + n+ n + n + n n+ n + n + = + +... + n+ n n + + n+ n + n + = + +... + n + n+ n + n +. Väite 3 on osoitettu kaikilla n {, 3, 4,...}. Osoitetaan nyt yhtälö kaikilla p {,, 3,...} kun n on kiinnitetty. Induktion perusaskel eli tapaus p = on laskettu edellä.. Induktioaskel: Oletetaan, että väite pätee vakiolla p eli t n Osoitetaan, että Nyt t n t n = + t +... + n n n. = + t +... + n + n n n. 5 = t n t t. t Integraali saadaan laskettua soveltamalla osittaisintegrointikaavaa 4. Valitaan f t = t n ja gt = t t. Tällöin funktio ft saadaan induktio-oletuksesta ft = +... + t n n n

3 PALLO 6 ja g t voidaan laskea suoraan Nyt g t = t = t. t n b = lim t b [ b = lim +... + t n b n n t b +... + ] p t n t n n [ = lim +... + b n b n n b + n +... + n b t n t t n ]. t Tarkastellaan kiinteää lukua < b <. Jaetaan t n termillä t esimerkiksi jakokulmassa. Tällöin b t n b t t = n + t n +... + n + n t b = n tn + n tn +... + n t + n t = bn n + n bn +... + n b + n b = bn n + n bn +... + n b n + n b.

3 PALLO 7 Siis = lim b + n t n t [ +... + b n n n +... + p b n n n + n + n b ] b n bn +... + n b [ = lim +... + p b b n n n b n b ] + bn n + n bn +... + n b n + n b + +... + = [ b n n + n n n bn +... + n b lim b n + ] + b n n + n b n b = + +... + n + n n = + +... + n + n n n. n + n +... + n Siis yhtälö 5 on todistettu ja näin ollen lause on todistettu.

4 KOLMIO 8 4 Kolmio Oletetaan koko luvun ajan, että n =. Merkinnällä γ x,y tarkoitamme pisteiden x ja y välistä janaa γ. Määritetään aluksi kvasihyperbolisen metriikan lauseke tasakylkisessä kolmiossa K. Olkoon kolmio suorien x =, y = ja x y = rajoittama. Olkoon z = x, y ja z kulmanpuolittajien leikkauspiste. Lause 4.. Kaikilla z K pätee: Kuva : Kolmio K koordinaatistossa. k K z, z 3 distz, K + 3. Todistus. Todistuksessa käytetään lähteenä pro gradua [a]. Lasketaan aluksi etäisyys distz, K. Pythagoraan lauseesta saadaan s = + = =. Kolmio K on tasakylkinen, joten α = π8 ja suorakulmaisen kolmion trigonometriasta saadaan distz, K = s tan α = tan π 8 = +. 6

4 KOLMIO 9 Kuva 3: Kolmio K, johon on merkitty kvasihyperbolisen metriikan laskemisessa tarvittavat pisteet sekä janat. Kiinnitetään piste z K. Olkoon γ pisteiden z ja z välinen jana ja olkoon t piste janalla. Olkoon u K piste, jolle t u = distt, K ja olkoon v K janan γ jatkeella oleva piste. Merkitään symbolilla β janan γ jatkeen ja kolmion sivun välistä kulmaa. Koska z on kulmanpuolittajien leikkauspiste, niin β [π8, π]. Nyt kaikilla t γ distt, K = t u = t v sin β 7 t z sin β t z sin π 8 Oletetaan, että on voimassa epäyhtälö t z. 3 t z distz, K. 8 Nyt käyttämällä kolmioepäyhtälöä, saadaan distz, K z u z t + t u = distt, K + t z.

4 KOLMIO Käyttämällä yllä olevaa epäyhtälöä sekä epäyhtälöä 8, saadaan Osoitetaan, että distt, K distz, K t z 9 distz, K distz, K = distz, K. k K z, z 3 distz, K + 3 kaikilla z K. Todistetaan epäyhtälö kahdessa osassa.. Oletetaan ensin, että on olemassa piste y γ[, ] jolle on voimassa y z = distz, K. Kun piste t on pisteiden y ja z välisellä polulla γ eli t γ y,z, niin t z distz, K. Kvasihyperbolisen metriikan määritelmän nojalla k K z, z γ distt, K = distt, K + distt, K. γ z,y Tutkitaan ensin ensimmäistä integraalia kaavariviltä. Arvion 9 ja oletuksen nojalla γ z,y distt, K γ z,y distz, K = distz, K γ z,y y z distz, K = = distz, K distz, K =. Tutkitaan seuraavaksi jälkimmäistä termiä kaavariviltä. Käytetään arviota 7 ja oletusta sekä aritmin tulokaavaa, jolloin distt, K 3 z z γ y,z t z = 3 dx y z x γ y,z = 3 z z y z γ y,z x = 3 z z y z = 3 z z y z = 3 z z distz, K = 3 distz, K + 3 z z.

4 KOLMIO Etäisyyden lausekkeen 6 ja arvion 7 nojalla jälkimmäisestä termistä saadaan Siis 3 z z 3 6 distz, K 6 = 3 tan π <. 8 γ y,z distt, K 3 distz, K +. Kun yhdistetään erikseen lasketut integraalit, niin k K z, z γ z,y distt, K + γ y,z distt, K + 3 distz, K + = 3 distz, K + 3. Epäyhtälö on voimassa ensimmäisessä tapauksessa.. Oletetaan nyt, että t z < distz, K 3 kaikilla t γ. Nyt arvion 9 nojalla saadaan k K z, z γ distt, K γ distz, K = = z z distz, K distz, K distz, K distz, K Käytetään etäisyyden lauseketta 6, jolloin γ =. Jälleen Olemme siis osoittaneet, että distz, K distz, K = tanπ8 >. k K z, z 3 k K z, z 3 distz, K + 3. distz, K + 3.

4 KOLMIO On varsin helppoa osoittaa, että kolmio on L p -keskiarvoalue, kun p [,. Seuraavaksi laskemme arviot kvasihyperbolisen metriikan potenssille p tapauksissa p =, p = sekä p = 3. Lause 4.. Osoitetaan seuraavat tulokset:. Oletetaan, että p =. Tällöin 5 k K z, z dz 3 4 +.. Oletetaan, että p =. Tällöin K K k K z, z dz 3 5 4 5 + + + 3. Oletetaan, että p = 3. Tällöin k K z, z 3 dz K 3 3 9 8 45 4 + + 5 4 + 3 +. Todistus. Jaetaan kolmio kolmeen osaan kulmanpuolittajien mukaisesti ku-van 4 osoittamalla tavalla. Kulmanpuolittajien leikkauspiste on +, +. Lauseen 4. nojalla 3 I p := k K z, z dz 3 distz, K + 3 dz =: I p + I p + I3. p K j= K j Alueet K ja K ovat symmetriset joten niistä riittää laskea vain toinen. Lasketaan integraali ensin yli alueen K ja sitten yli alueen K 3.. Oletetaan, että p =. Aluessa K etäisyys distz, D = x. Tällöin integraali yli alueen K on I = = 3 = 3 x + x + x + x + x + x 3 x + 3 dy dx x + dy dx x dy dx..

4 KOLMIO 3 Kuva 4: Kolmio K, johon on merkitty integroinnissa käytettävät alueet K,K ja K 3. Integroidaan ensin muuttujan y suhteen. Tällöin I = 3 = 3 = 3 x + x y x dx x + x xdx + x x dx. Kerrotaan lausekkeet keskenään. I + = 3 x + x + + x x dx. 4 Ensimmäiset integraalit ovat helppoja. Lasketaan integraalin viimeinen termi osittaisintegroimalla käyttäen kaavaa 4. Valitaan f x = x eli fx = x ja gx = x eli g x = x.

4 KOLMIO 4 Tällöin = x x dx = x x x x x dx. x x dx Lasketaan nyt kaikki integraalit. I = 3 + x + x + + x x dx = 3 x x x + x + x + 3 + + x x x dx. Yhdistetään termejä ja lasketaan loput integraalit. I = 3 + 3 + = 3 x x x + x x x x x x + 4 x dx x + + x x + x. 4

4 KOLMIO 5 Lajitellaan termejä ja sijoitetaan rajat. + I = 3 x 3 + x + + x x x x 4 = 3 + 3 + 4 + + + 3 + + + + 8 3 = 3 4 + + + + + 3 5 = + 4 +. Lasketaan vielä integraali yli alueen K 3. Siirretään alue K 3 koordinaatistossa samaan paikkaan kuin alue K. Kuva 5: Alkuperäinen alue K 3 integroida. siirrettynä kohtaan, jossa se on helpompi

4 KOLMIO 6 Merkitään laskevaa suoraa symbolilla y x ja alempana sijaitsevaa nousevaa suoraa symbolilla y x. Käytetään lukiosta tuttua pisteiden x, x ja y, y kautta kulkevan suoran kaavaa Tällöin ja y y = y y x x x x. y x = + x y x = + x. Nyt voimme laskea integraalin yli alueen K 3. Siis I 3 = = 3 = 3 + x x + x x + x x 3 x + 3 dy dx x + dy dx x dy dx. Integroidaan muuttujan y suhteen. Tällöin I3 = 3 = 3 = 3 + x x y x dx + x x + x x + x + x dx. dx Otetaan vakio yhteiseksi tekijäksi ja kerrotaan lausekkeet keskenään. I3 = 3 + + x + x dx = 3 x + x + + x x dx.

4 KOLMIO 7 Huomaamme, että alin integraali on vakiota vaille sama kuin integraali 4 tapauksessa I. Yhdistämällä lasketut integraalit, saamme I = I + I + I3 = I + I + I = + I = + 3 5 + 4 + 5 = 3 4 +.. Oletetaan, että p =. Lasketaan ensin taas integraali yli alueen K joka on sama kuin integraali yli alueen K. Lopuksi lasketaan integraali yli alueen K 3. Nyt I = = 3 = 3 x + x x + x x + x 3 x + 3 dy dx x + dy dx x dy dx. Integroidaan ensin muuttujan y suhteen. I = 3 = 3 = 3 = 3 x + x y x dx x x + x x dx + x x dx + x x + x dx. Kerrotaan lausekkeet keskenään, jolloin I = 3 + 3 + x x + + x x dx 5 x + x x dx.

4 KOLMIO 8 Aloitetaan integrointi muuttujan x suhteen. Osa integraaleista on helppo laskea ja osa samanlaisia osittaisintegrointeja joita tehtiin tapauksessa p =. Nyt on kuitenkin laskettavana myös integraalit muotoa sekä x x dx x dx. Lasketaan ylempi integraali käyttämällä osittaisintegrointikaavaa 4 kaksi kertaa. Valitaan nyt että Tällöin f x = x eli fx = x ja gx = x eli g x = x. x x x dx = x x x x dx. Jäljelle jäänyt integraali saadaan laskemalla käyttäen osittaisintegrointikaavaa 4 kuten aiemmin. Lasketaan sitten integraali muotoa x dx. Kirjoitetaan integraali yhtäpitävästi muotoon x dx ja käytetään osittaisintegrointikaavaa 4. Valitaan Nyt f x = eli fx = x ja gx = x eli g x = x. x = x dx = x x dx x x dx x dx. x x dx x

4 KOLMIO 9 Nyt voimme laskea integraalin yli alueen K loppuun. Integroidaan muuttujan x suhteen, jolloin I = 3 + 3 = 3 + + 3 + + 3 + x x + + x x dx x + x x dx x + x x x x + x x x dx 3 + x x x dx x x x x dx. Yhdistellään termejä ja lasketaan integraaleja. I = 3 + 3 + + 3 3 + 3 + x + x x x + x x x 4 x x x x x + x x x x x x dx.

4 KOLMIO 3 Lasketaan sulkuja auki sekä viimeinen integraali. I = 3 + 3 + 3 Lajitellaan termit. I = 3 + 3 + 3 = 3 + 3 x + x x x + x + + x x + x + x x x x + x + x x + + x + x + x + x + x x + x. 4 x + x 4 x x + + x x x x + + x x x x + x x 5x + + + 4 x 3 + x 4x x + 3 Sijoitetaan lopuksi integraalin rajat. 5 I = 3 + 5 4 + + 3 + 4 + + 3 + + = 3 + 5 4 5 + + + + x + x x.. +

4 KOLMIO 3 Lasketaan seuraavaksi integraali yli alueen K 3. I 3 = = 3 + x x + x x 3 x + 3 dydx x dydx. Integroidaan muuttujan y suhteen ja sijoitetaan rajat. I 3 = 3 = 3 = 3 + x x y x dx + x + x + x dx + x + x dx. Voimme ottaa vakion yhteiseksi tekijäksi, jolloin I3 = 3 + + x x dx. Avataan toinen potenssi ja kerrotaan lausekkeet keskenään. Tällöin I3 = 3 = 3 + 3 + x x + x dx x + x + x dx + x x + x x dx. Nyt tämä on vakiota vaille sama integraali kuin tapauksen I kaava 5. Laskemalla integraalit yhteen, saamme I = I + I + I3 = I + I = + I = 3 5 4 5 + + +.

4 KOLMIO 3 3. Lasketaan seuraavaksi tapaus p = 3. Tehdään kuten aiemminkin eli lasketaan ensin integraali yli alueen K ja sen jälkeen yli alueen K 3. Tällöin symmetrian nojalla olemme laskeneet integraalin yli koko kolmion K. Nyt I 3 = = x + x + x + x 3 x + 3 3 dydx 3 3 x 3 dydx. Integroidaan yhtälö ensin muuttujan y suhteen. Tällöin I 3 = 3 3 = 3 3 = 3 3 = 3 3 x + x x + x x 3 dydx y x 3 dx x + x + x 3 dx + x x 3 dx. Avataan kolmas potenssi ja kerrotaan lausekkeiden termit keskenään. I 3 = 3 3 = 3 3 + 3 3 + x 3 x + 3 x x 3 dx 3 x + 3 x x 3 + x dx 6 3 + x x 3 + x x + + x x 3 dx. Suurin osa integraaleista on jälleen tuttuja ja helppo laskea. Lasketaan kuitenkin integraalit sekä x 3 dx x x 3 dx.

4 KOLMIO 33 Lasketaan ensimmäinen integraali käyttäen osittaisintegrointikaavaa 4. Valitaan Tällöin f x = eli fx = x ja gx = x 3 eli g x = 3 x x. = = x 3 dx = x x 3 x x 3 x 3 dx 3 x x x dx 3 x dx. Jäljellä oleva integraali on laskettu jo aiemmin. Käyttämällä sitä, saamme = x x 3 3 x x dx x dx = = Lasketaan sitten alempi integraali x x 3 3x x + 6x x x x x 3 3x x + 6x x 6x. x x 3 dx. Käytetään jälleen osittaisintegraalikaavaa 4. Valitaan f x = x eli fx = x ja gx = x 3 eli g x = 3 x x.

4 KOLMIO 34 Lasketaan = x x 3 dx = x x 3 x x 3 3 x x dx. 3 x x x dx Jälkimmäisen integraalin olemme jo laskeneet, joten käytämme sitä. Tällöin = = = x x 3 3 4 x x + 3 x x dx x x 3 3 4 x x + 3 4 x x x x 3 3 4 x x + 3 4 x x x x 3 3 4 x x + 3 4 x x 3 8 x. Nyt voimme laskea integraalin I 3 loppuun. Nyt I 3 = 3 3 + 3 3 3 x + 3 x x 3 + x dx 3 4 x x dx 3 4 x dx 3 + x x 3 + x x + + x x 3 dx

4 KOLMIO 35 = 3 3 + 3 3 + 3 3 + 3 3 + 3 3 x 3x x + 3x + 3x x 6x x + 6x x x 3 + 3x x 6x x + 6x + x + 3 + 3 + 6 + 8 Yhdistetään termejä. Siis I 3 = 3 3 + 3 3 + 3 3 + 3 3 = 3 3 + 3 3 x x 3 + 4 x x 3 + 4 x x + 6 + 8 6x 9 + x 5x x 8 x 3 + x x x + + x x 3 x x 3 + x. 8 3 + x x + 6 + x x + 6x x 8 3 + x x 6 + x x 8 x x 3 + + x x 3 6x 9 + 8 8 + 8 x 5x x + 3 + x x + 6x x 8 x x x x 3 + + x x 3.

4 KOLMIO 36 Sijoitetaan integraalin rajat. Tällöin 6 I 3 = 3 3 + 9 8 + 5 + + + 3 8 + + + 3 3 6 + + 8 8 + + 3 3 + 3 3 + + + + + = 33 + 6 9 8 5 + + 3 8 + + 6 + + 33 + 8 3 8 + + + 3 + Sievennetään lauseketta lisää, jolloin saamme I 3 = 33 + 9 8 45 4 + + 5 4 + Lasketaan vielä integraali I 3 3. Lasketaan kuten aiemminkin I 3 3 = = 3 3 + x x + x x Integroidaan ensin muuttujan y suhteen. I 3 3 = 3 3 = 3 3 = 3 3 + x x 3 x + 3 3 dydx y x 3 dx x 3 dydx. + x + x + + x x 3 dx x 3 dx + 3.

4 KOLMIO 37 = 3 3 = 3 3 + 3 3 + x 3 x + 3 x x 3 dx 3 x + 3 x x 3 + x dx 3 + x x 3 + x x + + x x 3 dx. Tämä on vakiota vaille sama integraali kuin tapauksen I 3 lauseke 6. Nyt voimme laskea integraalin yli kolmion K loppuun. Siis I 3 = I 3 + I 3 + I3 3 = I 3 + I 3 = + I 3 = 33 + + 9 8 45 4 + + 5 4 + 3 + = 3 3 9 8 45 4 + + 5 4 + 3 +. Lause 4.3. Kolmio on L p -keskiarvoalue kaikilla p <. Todistus. Tulos seuraa Susan Staplesin tuloksista [St].

5 ÄÄELLINEN PIIKKIALUE 38 5 Äärellinen piikkialue Lause 5.. Olkoon D = K S alue, missä K on kolmio ja S on piikki K = {x, y : x < y < x, x < } S = {x, y : y < gx, < x < } ja funktio g C [, ] toteuttaa seuraavat ehdot: A. g =, g = B. < g x M, kun < x, jollakin kiinteällä M C. g x, kun < x. Tällöin D on L p -keskiarvoalue jos ja vain jos gx x gt dx <. 7 Todistus. Aloitetaan todistus käymällä läpi geometriasta saatavat tarvittavat yhtälöt. Merkinnällä γ x,y tarkoitetaan pisteiden x ja y välisen janan pituutta ja merkinnällä γ x,y pisteiden x ja y välistä janaa. Pieni kolmio on kuvassa 8 vihreällä korostettu ja suuri kolmio on koko kolmio. Ehdon C. nojalla voimme valita etäisyyden b niin, että Pienestä kolmiosta saamme ga a b = g a. sin φ = γ c,z b ja suuresta kolmiosta saadaan yhtälö 8 tan φ = ga a. 9 b Käyttämällä Pythagoraan lausetta suuressa kolmiossa saadaan cos φ = b b + ga a = = + ga a b + g a.

5 ÄÄELLINEN PIIKKIALUE 39 y x Kuva 6: Äärellinen piikkialue kokonaisuudessan.

5 ÄÄELLINEN PIIKKIALUE 4 ga ga a gx z z z x Kuva 7: Kvasihyperbolisen metriikan lausekkeen laskemiseen tarvittava kolmio piikkialueen S sisällä. Kuva 8: Tarkka kuva piikkialueen S sisään piirretystä kolmiosta.

5 ÄÄELLINEN PIIKKIALUE 4 Kiinnitetään piste z =,. Arvioidaan etäisyyttä k D z, z, missä z = a, a S. Olkoon z = a, ja lasketaan yläraja etäisyydelle k D z, z käyttämällä leikkauskohtaa x = a piikissä S. Kvasihyperbolisen etäisyyden määritelmän nojalla k D z, z = inf γ γ distz, D γ z,z distz, D. Lasketaan seuraavaksi etäisyys distz, D. Käytetään yllä laskettuja yhtälöitä, ensin yhtälöä 8 ja seuraavaksi yhtälöä 9. Tällöin distz, D γ c,z = b sin φ = ga a tan φ sin φ. Kun käytetään yhtälöä sekä oletusta B., kaikille z S saadaan distz, D ga a + g a ga a. + M Nyt voimme laskea kvasihyperbolisen etäisyyden k D z, z loppuun. Käyttämällä laskettua etäisyyttä distz, D saadaan a + M k D z, z distz, D ga t. γ z,z Tehdään muuttujanvaihto ga t = u. Tällöin du = ja a + M k D z, z ga t ga a + M = du = ga a + M ga u u = + M ga a ga = + M ga ga a = + M ga ga ga a. Siis mille tahansa pisteelle z = x, etäisyys distz, D toteuttaa seuraavat epäyhtälöt gx distz, D gx cos φ, missä tan φ = g x.

5 ÄÄELLINEN PIIKKIALUE 4 Edellisen ja oletuksen B. nojalla gx distz, D g x + gx C gx. Nyt saadaan arviot sekä k D z, z C k D z, z a a gt 3 gt. 4 Tarvitsemme myös seuraavaa arviota. Olkoon c, d. Tällöin c + d maxc, d = p maxc, d p c p + d p. 5 Käytämme seuraavaksi epäyhtälöitä 3, 4 sekä arvioita c+d p c p + d p ja. Tarvitsemme lisäksi kolmioepäyhtälöä k D z, z k D z, z + k D z, z. Yhdistämällä kaikki yllä mainitut, saamme kaikille z S a k D z, z 6 gt p + M ga + C ga r a. gt Oletetaan ensin, että epäyhtälö 7 on voimassa. Integroidaan epäyhtälön 6 oikea puoli piikin S yli. Tällöin S k D z, z dz + M + p gx C dydx. x gt gx gx dydx gx r Viitteessä [St] on osoitettu kappaleen kolme lausetta 3. vastaava lause kaikille n ja p <. Tämän nojalla + M gx C 3 gx dx C 3 md. gx dydx gx r

5 ÄÄELLINEN PIIKKIALUE 43 Tutkitaan sitten jälkimmäistä integraalia. Integroidaan se ensin muuttujan y suhteen. Tällöin gx p C dydx = p gx C dx x gt x gt = C gx dx. gt Oletuksen nojalla integraali x on äärellinen ja k D z, z dx C S gx dx x gt gx x dx + C 3 md <. gt Koska kolmio K ja piikki S ovat L p -keskiarvoalueita, niin k D z, z dz k D z, z dz + k D z, z dz D K S k D z, ω k + k D ω k, z dz + k D z, ω s + k D ω s, z dz K S p k K z, ω k dz + C + p k S z, ω s dz + C <, K S missä ω k K ja ω s S ovat kiinnitettyjä. Siis alue D on L p -keskiarvoalue. Oletetaan nyt että D on L p -keskiarvoalue. Havaitaan, että gx dx 7 x gt gx = dydx = dx. x gt S a gt Koska D on L p -keskiarvoalue, niin k D z, z dz k D z, z dz + S S K k D z, z dz ja k D z, z. Tällöin epäyhtälön 6 ja laskun 7 nojalla gx dx = dx x gt S a gt k D z, z dx <. Siis integraali 7 on äärellinen. S D k D z, z dz <

5 ÄÄELLINEN PIIKKIALUE 44 Edellisestä lauseesta saadaan hyödyllinen seurauslause. Lause 5.. Olkoon D = K S alue, missä K on kolmio ja S on piikki K = {x, y : x < y < x, x < } S = {x, y : y < gx, < x < }. Olkoon funktio gx = x k, k >. Oletetaan, että p >. Tällöin D on L p - keskiarvoalue, jos ja vain jos x k t dx <. 8 k Yllä oleva integraali 8 suppenee, jos ja vain jos x k < p + p. Todistus. Lauseesta 5. seuraa suoraan, että yllä annettu alue on L p -keskiarvoalue, jos ja vain jos integraali kaavarivillä 8 on äärellinen. Yllä olevan lauseen todistamiseksi riittää osoittaa eksponentille asetettu ehto. Osoitetaan lyhyesti että funktio x k toteuttaa lauseen ehdot. A. g = k = g = k = B. < kx k k M, kun < x C. kk x k, kun < x. Osoitetaan, että integraali kaavarivillä 8 on äärellinen, kun k < p+ p. Suoraan laskemalla sekä käyttämällä arviota 5 saadaan x k x = x k = p x k dx = x k t k+ dx t k k + x k x k dx < p x k k k xp k dx p k k xk+p k k dx

5 ÄÄELLINEN PIIKKIALUE 45 Edellä oleva integraali on äärellinen, kun k+p k+ = k p+p+ >. Suoraan laskemalla saadaan k p + p + > k p > p + p + k < p k < p + p. Oletetaan nyt, että 8 on äärellinen ja osoitetaan, että k < p+ p. Nyt = x k x t dx = x k t k dx k k x dx x k x k k k Koska yllä oleva integraali on äärellinen, niin k + p k > ja kp >. Tästä seuraa, että k < p+ p. Siis alue D on L p -keskiarvoalue, jos ja vain jos k < p+ p.

6 ÄÄETTÖMYYTEEN JATKUVA PIIKKIALUE 46 6 Äärettömyyteen jatkuva piikkialue Osoitetaan seuraavaksi, että on olemassa äärettömyyteen jatkuva piikki, joka on L p -keskiarvoalue. Lause 6.. Olkoon D = K S alue, missä K on kolmio ja S on piikki K = {x, y : x >, y < x, y > x, < x } S = {x, y : y < gx, < x < } ja funktio g toteuttaa seuraavat ehdot: A. g =, lim x gx =, g x <, kun x [, B. M g x <, kun < x <, jollakin kiinteällä M C. g x, kun < x <. Tällöin D on L p -keskiarvoalue jos ja vain jos x gx gt dx <. 9 Todistus. Trigonometriset yhtälöt saadaan täysin samalla tavalla kuin äärellisessä piikissä, kolmiot vain on peilattu y-akselin suhteen. Merkinnällä γ x,y tarkoitetaan pisteiden x ja y välisen janan pituutta ja merkinnällä γ x,y tarkoitetaan pisteiden x ja y välistä janaa. Ehdon C. nojalla voimme valita etäisyyden b niin, että ga a = g a. b Nyt pienestä kolmiosta saadaan ja suuresta kolmiosta saadaan yhtälö sin φ = γ c,z b 3 tan φ = ga a. 3 b Pythagoraan lausetta käyttämällä suuresta kolmiosta saadaan cos φ = + g a. 3

6 ÄÄETTÖMYYTEEN JATKUVA PIIKKIALUE 47 y gx x Kuva 9: Äärettömyyteen jatkuva piikkialue. z gx z z x Kuva : Kolmio äärettömyyteen jatkuvassa piikissä.

6 ÄÄETTÖMYYTEEN JATKUVA PIIKKIALUE 48 Kiinnitetään piste z =, ja olkoon z = a, a S mielivaltainen piste piikissä S ja olkoon z = a, iste x-akselilla. Lasketaan nyt yläraja etäisyydelle k D z, z käyttämällä piikissä S olevaa leikkauskohtaa x = a. Kvasihyperbolisen etäisyyden määritelmän nojalla k D z, z = inf γ distz, D distz, D. γ Lasketaan seuraavaksi etäisyys distz, D. Käytetään edellä annettuja yhtälöitä, ensin yhtälöä 3 ja sen jälkeen yhtälöä 3. Tällöin γ z,z distz, D γ c,z = b sin φ = ga a tan φ sin φ. Käytetään yhtälöä 3 sekä oletusta B.. Tällöin kaikille z S saamme distz, D ga a + g a ga a. + M Lasketaan kvasihyperbolinen etäisyys k D z, z loppuun. Käytetään laskettua etäisyyttä, jolloin a + M k D z, z distz, D ga t. γ z,z Tehdään muuttujanvaihto ga t = u. Tällöin du = ja a = + M ga t ga a ga + M du = + M u = + M ga a ga = + M ga ga a = + M ga a ga u ga ga a. 33 Siis mille tahansa pisteelle z = x, etäisyys distz, D toteuttaa seuraavat epäyhtälöt gx distz, D gx cos φ, missä tan φ = g x.

6 ÄÄETTÖMYYTEEN JATKUVA PIIKKIALUE 49 Edellisen ja oletuksen B. nojalla Tästä saamme arviot sekä gx distz, D k D z, z C k D z, z g x + a a gx gt C gx. 34 35 gt. 36 Kolmioepäyhtälön nojalla k D z, z k D z, z + k D z, z. Käyttämällä lisäksi epäyhtälöitä 35, 36 ja 5 sekä arviota 33 saamme kaikille z S a k D z, z 37 gt S p + M ga a + C ga r. gt Oletetaan ensin, että epäyhtälö 9 on voimassa. Integroidaan epäyhtälön 37 oikea puoli piikin S yli. Tällöin k D z, z dz gx gx + M dydx gx r + p gx x C gt dydx. Viitteessä [St] on osoitettu kappaleen kolme lausetta 3. vastaava lause kaikille n ja p <. Tämän nojalla gx gx + M dydx gx r C 3 gx dx C 3 md. Siirrytään sitten toiseen integraaliin. Integroidaan se ensin muuttujan y suhteen. Tällöin gx x p x C dydx = p gx C dx gt gt x = C gx dx. gt

6 ÄÄETTÖMYYTEEN JATKUVA PIIKKIALUE 5 Oletuksen nojalla integraali on äärellinen ja k D z, z dm C S x gx dx gt x gx dx + C 3 md <. gt Koska kolmio K ja piikki S ovat L p -keskiarvoalueita, niin k D z, z dz k D z, z dz + k D z, z dz D K S k D z, ω k + k D ω k, z dz + k D z, ω s + k D ω s, z dz K S p k K z, ω k dz + C + p k S z, ω s dz + C <, K S missä ω k K ja ω s S ovat kiinnitettyjä. Siis alue D on L p -keskiarvoalue. Oletetaan nyt että D on L p -keskiarvoalue. Tällöin x gx dx 38 gt gx x a = dydx = dz. gt S gt Koska D on L p -keskiarvoalue, niin epäyhtälöiden 37 ja 38 nojalla x gx dx = a dz k D z, z dz <. gt S gt S Siis integraali 9 on äärellinen.

VIITTEET 5 Viitteet [GeOs] Gehring, F. W. and B. G. Osgood, Uniform domains and quasihyperbolic metric. J. Analyse Math. 36979, 5-74 [GePa] Gehring, F. W. and B. P. Palka, Quasiconformally homogenous domains. J. Analyse Math. 3976, 7-99. [an] antanen, Paula, Uniformisista alueista. Kandidaatin tutkielma. Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto, 9. [a] antanen, Paula, Uniformiset alueet ja kvasihyperbolinen reunaehto. Pro Gradu. Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto, 9. [St] Staples, Susan, Domains with a local to global norm condition. Dissertation. University of Michigan, 988.