Mtemtiikklehti 2/2000 2001 http://wwwmthhelsinkifi/solmu/
2 Solmu Solmu 2/2000 2001 Mtemtiikn litos PL 4 (Yliopistonktu 5) 00014 Helsingin yliopisto http://wwwmthhelsinkifi/solmu/ Päätoimittj Pekk Alestlo Toimitussihteerit Jouni Seppänen j Mik Koskenoj Sähköposti pekklestlo@helsinkifi jouniseppnen@ikifi Toimituskunt: Heikki Apiol Mtti Lehtinen Kullervo Nieminen Mrjtt Näätänen Grfinen vustj Mrjn Beddrd Seurvn lehteen trkoitetut kirjoitukset pyydämme lähettämään tmmikuun 2001 loppuun mennessä Kiitämme tloudellisest tuest Opetusministeriötä j Wihurin rhsto Huom! Solmun pperiversio postitetn nykyisin vin niihin kouluihin, jotk ovt sitä erikseen pyytäneet Solmun Internet-sivuilt stv pperiversio on mhdollist tulost omll kirjoittimell Toivomme, että lehti ei jää vin opettjien luettvksi, vn sitä kopioidn kikille hlukkille Täydellisen kokoelmn Solmun jo ilmestyneitä pperikopioit voi pyytää esim koulun kirjstoon niin kun kuin niitä riittää Ilmoittk postiosoitteenne j mitkä numerot hlutte joko yllä minittuun Solmun postiosoitteeseen ti sähköpostill osoitteeseen solmu@wwwmthhelsinkifi
Solmu 3 Sisällys Pääkirjoitus 4 Toimitussihteerin plst 5 Tngrm 6 Geometrikulm 11: Miten piirrän oikeoppisesti vruuskuvioit? 12 Unkrilist mtemtiikk englnniksi verkoss 15 Vikutteit opetukseen Unkrist 16 Mtemtiikkolympiliset Koress 18 Tehtäviä 21 Rtkisut geometrisiin tehtäviin 22 Tehtävien rtkisut 24
4 Solmu Pääkirjoitus Mitä on mtemttinen lhjkkuus j miten se syntyy? Tämä lienee yhtä vike ongelm kuin minkä thns muun lhjkkuuden lkuperän selvittäminen Yksi tp mitt mtemttist lhjkkuutt perustuu mtemtiikkkilpiluihin, joihin Suomesskin osllistuu vuosittin moni lukiolisi j os myös vlmentutuu niitä vrten Kilpiluiss menestyminen edellyttää lskutitojen lisäksi myös nope oivltmist j hyvää keskittymiskykyä, j kärjen svuttneit voitneen epäilemättä kutsu huippulhjkkiksi Toislt lienee selvää, että mtemttiseen lhjkkuuteen liittyy myös seikkoj, joit kilpilutilnteess voi oll vike sd esille Ain silloin tällöin kuulee myös kritiikkiä tiedekilpiluj kohtn: kouluopetuksess pitäisi keskittyä yleisen osmistson prntmiseen eikä huippujen ihnnointiin, eikä huippulhjkkiden esillenostminen ole hyväksi keskitson oppiliden motivtiolle Mitä tvlliseen kouluopetukseen tulee, tämä on tietysti tott, mutt rehellisesti snottun en muist hvinneeni mitään erityistä ihnnointi ti plvont mtemtiikk- ti muiss luonnontieteiden kilpiluiss menestyneitä oppilit kohtn, vikk kilpiluj silloin tällöin lehdistössä käsitelläänkin Pikemminkin luulisi kritiikin kohdistuvn musiikiss ti urheiluss nuorille järjestettäviin koitoksiin, joist leikki näyttää joskus olevn kukn Jok tpuksess kikille oppilille olisi syytä järjestää mhdollisuus kunkin om tso vstvn opetukseen Toki tiedekilpilut voivt iheutt myös tuskstumist, mutt kun kerrn hyville urheilijoille sllitn menestyksen muknn tuom ilo, suotkoon sm myös mtemttisesti ti muill tvoin lhjkkille oppilille Osllistuin ikoinn itsekin lukioss joihinkin knsllisiin mtemtiikkkilpiluihin, mutten sijoittunut niissä kärkipäähän Sikäli kuin pystyn si nlysoimn, ei näistä kokemuksist ole jäänyt muistiini mitään erikoisen trumttist, j olen jop vlinnut mtemtiikn mmtikseni Tässä Solmun numeross on kertomus huippujen kohtmisest knsinvälisellä tsoll, j lisäksi myös joitkin vikeit tehtäviä: jääköön niihin tutustuminen vin kikkein uhkrohkeimmille Helpompi tehtäviä löytyy muult Solmun sivustoilt j tietysti niitä ovt koulukirjt pullolln! Pekk Alestlo
Solmu 5 Toimitussihteerin plst Tämä syksy j tulev tlvi ovt Solmuss uudistumisen ik Aikisemmin Solmun kunkin numeron kikki rtikkelit on julkistu verkkosivuill smnikisesti Tästä syksystä lähtien rtikkelit ilmestyvät yksitellen heti kun ne on stu julkisuvlmiiksi Kun rtikkeleit on ilmestynyt trpeeksi (viidestä khdeksn), kootn näistä uusin numero, jost tehdään edelleen myös pinettu lehti lähetettäväksi tiljille Uusi julkisutp nopeutt rtikkeleiden ilmestymistä sekä vähentää toimituksen kiirettä lehden ilmestymispäivän lähestyessä Toinen uudistus koskee lehden numerointi Tähän mennessä Solmu on numeroitu lukuvuosien mukn kuten vielä tämäkin numero 2/2000 2001 Uuden vuosituhnnen lkess numerointi muuttuu klenterivuosien mukiseksi Vuoden 2001 ensimmäisen Solmun numero on siis 1/2001 Verkkosivujen ulkosun uudistminen on merkittävin Solmuss syksyn j tlven ikn toteutettvist muutoksist Tvoitteen on uudenikist j selkeyttää verkkosivujen jo hiemn vnhhtv ulkosu j huonosti orgnisoitu rkennett Sivujen uusi ilme vlmistunee vuodenvihteeseen mennessä täysin toimiviksi sivut sdn kevään 2001 ikn Toimivuuden testus jää käyttäjille; näin ollen plute toimitukseen onkin ensirvoisen tärkeää Solmun verkkosivuill ilmestyy nyt ensimmäisen kerrn mtemtiikkn liittyviä pelejä Torus j Kleinin pullo pelit 1 ovt kikille inkin kokeilumielessä sopivi Eniten ne kiinnostnevt peruskouluikäisiä lpsi, jotk muutenkin hrrstvt tietokonepelejä kotitietokoneilln Täydellisen kokoelmn Solmun jo ilmestyneitä pperikopioit voi pyytää esim koulun kirjstoon niin kun kuin niitä riittää Ilmoittk postiosoitteenne j mitkä numerot hlutte joko Solmun postiosoitteeseen Mtemtiikklehti Solmu Mtemtiikn litos PL 4 (Yliopistonktu 5) 00014 Helsingin yliopisto ti sähköpostill osoitteeseen solmu@wwwmthhelsinkifi Mik Koskenoj mikkoskenoj@helsinkifi 1 http://wwwmthhelsinkifi/solmu/pelit/toruspelit/torusgmeshtml
6 Solmu Tngrm TUTUSTUTAAN TANGRAMIIN Ensikohtminen Tngrm on kiinlinen plpeliä muistuttv ongelmkimppu Siinä neliö on jettu erimuotoisiin j -kokoisiin ploihin, joit kääntelemällä j siirtelemällä on trkoitus rkent erilisi mielenkiintoisi kuvioit Siinä missä euroopplisen plpelin plojen muodot j määrät vihtelevt vikeustson mukn, tngrmiss plt ovt neliöstä in smll tvll leiktut seitsemän pl Vikeustso muutelln rkennettvi kuvioit muutellen Tngrm soveltuu kikille, kuvioiden vikeustso vihtelee hyvin helpoist todell vikeisiin Tekeminen ei myöskään lopu kesken, uusi kuvioit voi kehitellä lähes loputtomiin Synty Kiinss Tngrmin synnystä on lukuisi erilisi trinoit, kikki yhtä viihdyttäviä j mielenkiintoisi Yhteistä trinoiss on vin pelin pitkä ikä Mitään trin ei ole onnistuttu todistmn muit todenperäisemmäksi Yksi legend kertoo tngrmin syntyneen, kun kiinlinen mies yritti koot hjonnutt levyä Neliön sijn ploist syntyi erilisi eläimiä, ihmisiä j rkennuksi Toisen trinn mukn vnh kiinlinen jumln plvottu kirjilij kirjoitti seitsemän kirj Mn kehityksestä j kuvitti ne tngrm-kuvill Itse pelin historin lisäksi myös nimen histori on tuntemton Se sttisi tull vnhst kiinlisest Tndynstist j kreikn snst grmm, kirjoitettu Toinen vihtoehto on tngrmin muodostuminen kirjoitusvirheiden kutt vnhst englnninkielisestä snst trngm, koru ti lelu Pinotuotteet tngrmist Ensimmäiset tngrm-kirjt pinettiin 1700- j 1800- lukujen vihteess, vnhin säilynyt kiinlinen kirj on vuodelt 1813 Ensimmäisen kirjn jälkeen julkistiin useit muit kirjoj Kiinlisiss kirjoiss tngrmtehtäviin on liitetty selittäviä kirjoitusmerkkejä Os kuvioist on itsessään jo kirjoitusmerkkejä
Solmu 7 Mihinnousu länsimihin Eurooppn tngrm levisi 1800-luvun luss melko pikisesti Eurooppliset j merikkliset julkisut muistuttivt pljon kiinlisi, joskus kokonisi sivuj oli kopioitu toisist kirjoist Euroopss suhtutuminen kuvioihin erosi kiinlisest Siinä missä kiinlisill kuvioill oli merkitys, eurooppliset vin yrittivät rkent erilisi kuvioit, joit kirjoihin kuvttiin Kirjoist hävisivät selittävät kirjoitukset, joit kiinlisiss kirjoiss oli Amerikklinen Sm Loyd kirjoitti omiss kirjoissn, että kiinlinen Li Hung Chng todisti Pythgorn luseen tngrmin vull jo tuhnsi vuosi sitten Eli tngrmiin sisältyy myös mtemttinen puoli Siitä seurvksi MATEMAATIKKO TUTKII TANGRAMIA Kupert monikulmiot Ongelmi? Neljällä peruskolmioll syntyy kuusi kuper monikulmiot: Ensin trkstelemme mhdollisuutt rkent tngrmin ploist kuperi monikulmioit Kuperss monikulmioss khden kärjen yhdysjn kulkee koko jn monikulmion sisällä, riippumtt siitä, mitkä kksi kärkipistettä vlitn Kuink mont erilist monikulmiot on mhdollisuus rkent? Kuink mont kulm monikulmioss voi oll? Aloitmme jkmll tngrmin kuutentoist smnkokoiseen, tskylkiseen suorkulmiseen kolmioon, kutsumme näitä kolmioit peruskolmioiksi Kikiss edellä esitetyissä kuperiss monikulmioiss lyhyt sivu on in toist lyhyttä sivu vsten j pitkät sivut ovt toisi pitkiä sivuj vsten Jos jokin monikulmion sivuist olisi rkentunut sekä peruskolmion lyhyistä että pitkistä sivuist, vikutt siltä, ettei monikulmiot tällöin sd kuperksi Tämä ei kuitenkn estä sitä, että monikulmion ulkoreunn ost olisivt eri tvoin rkentuneit, kuten seurv esimerkki osoitt Khdest peruskolmiost voidn rkent kuper monikulmio kolmell eri tvll: Kolmest peruskolmiost sdn kksi kuper monikulmiot: Kuperi monikulmioit rkennettess kolmioiden lyhyet sivut ovt in toisi lyhyitä sivuj j pitkät sivut toisi pitkiä sivuj vsten Lisäksi monikulmion ulkoreunt koostuvt joko lyhyistä ti pitkistä kolmioiden sivuist Todistus sivuutetn
8 Solmu Kulmien lukumäärä Peruskolmioist rkennetun monikulmion kulm (kuviss kulm ABC) on suor kulm, 90, jos vierekkäiset sivut ovt smnliset (molemmt lyhyistä ti pitkistä sivuist koostuvi) Jos sivut ovt erilisi, kulm on 45 ti 135 45 o C B C A Jokinen peruskolmiost rkennettu kuper monikulmio voidn siis peruskolmioit lisäämällä täydentää suorkulmioksi Suorkulmion sivujen pituudet ovt kolmion lyhyen sivun pituuden moninkertoj Monikulmioiden sivut, jotk koostuvt kolmioiden lyhyistä sivuist, sivuvt suorkulmion sivuj P A B Q C 45 o A B A C B 135 o Monikulmio jtkuu G/H C D y B A Monikulmion kulmien summ on (n 2) 180, missä n on kulmien lukumäärä Merkitään :ll monikulmion 45 kulmien lukumäärää, :llä 90 kulmien lukumäärää j :llä 135 kulmien lukumäärää Monikulmion kulmien summ on siis 45 + 90 + 135 = (n 2) 180 Lisäksi + + = n Jälkimmäisestä yhtälöstä = n ( + ); sijoitetn se ensimmäiseen yhtälöön: S d F x Suorkulmion kulmt: P, Q, R, S Monikulmion kulmt: A, B, C, D, E, F, G, H Kikki sivut kolmion lyhyistä sivuist: E R 45 + 90 + 135(n ) = (n 2) 180 : 45 + 2 + 3n 3 3 = 4n 8 2 = n 8 2 + = 8 n Kosk 0 j 0, niin 8 n 0 j n 8 Monikulmion kulmien lukumäärä voi siis oll kolmest khdeksn Tätä lskettess ei oll tehty minkäänlisi olettmuksi peruskolmioiden määrästä Tulos on siis voimss in, myös silloin kun peruskolmioit on kuusitoist Kuudelltoist peruskolmioll kulmi ei kuitenkn ole kuin korkeintn kuusi, trkempi perustelu pljstuu seurvss luvuss Olemme rtkisseet toisen ongelmistmme Nyt voimme tutki mhdollisten kuperien monikulmioiden määrää Kikki sivut kolmion pitkistä sivuist: Kuperien monikulmioiden lukumäärä Kolmion pitkää sivu vsten voidn litt toisen kolmion pitkä sivu Tästä muodostuu neliö, jonk sivut ovt kolmioiden lyhyiden sivujen pituisi Suorkulmion vksuor sivu koostuu x:stä neliön sivust j pystysuor y:stä neliön sivust Neliön sivun pituus on peruskolmion lyhyen sivun pituinen (täydentämisen seuruksen) Suorkulmion sivujen pituudet ovt x j y kert kolmion lyhyen sivun pituus
Solmu 9 Jokinen neliö koostuu khdest peruskolmiost j suorkulmio koostuu xy:stä neliöstä Suorkulmion l on 2xy peruskolmiot Kolmiot PAH, BQC, DRE j GFS ovt suorkulmisi tskylkisiä kolmioit, niiden lt ovt 2, 2, 2 j d 2 peruskolmion l (,,, j d ovt peruskolmion lyhyen sivun moninkertoj) Kun suorkulmion sisälle rkennettu monikulmio koostuu kuudesttoist peruskolmiost, j on siis mhdollisesti tngrm, on monikulmion ulkopuolelle jäävä lue (suorkulmion sisällä) 2 + 2 + 2 +d 2 = 2xy 16 Lisäksi + x, + d x, + y, + d y Mhdollisi kuperi monikulmioit on kksikymmentä kpplett Kolmetoist näistä voidn rkent tngrm-plikoill Se on osoitettviss tulukoimll kikki epäyhtälöryhmän rtkisut j piirtämällä rtkisuj vstvt monikulmiot (ktso liitteet 1 & 2) Tulukko j kuvt osoittvt myös jo ikisemmin todetun sin, kuudesttoist peruskolmiost rkennetuss kuperss monikulmioss on korkeintn kuusi kulm Tulukointi voidn loitt tutkimll suorkulmioiden sivujen tulo, xy:tä Kosk suorkulmion l on 2xy peruskolmion l j peruskolmioit on käytettävissä 16, niin xy = 8, kun koko suorkulmio on täytetty peruskolmioill Tämä on lrj xy:lle Kun peruskolmioist rkennetn suorkulmion lävistäjä, s xy suurimmn rvons, 8 9 = 72: :n, :n, :n j d:n neliöiden summ, jost selvitetään :n, :n, :n j d:n eri mhdollisuudet Lopuksi krsitn ehdoill + x, + d x, + y j + d y mhdottomt neliköt suhteess x:n j y:n muodostmiin preihin Lisää ongelmi? Tngrm täydentyy monikulmioksi Trkstelemme tngrm-kuvioit, joiden kärkipisteet sdn setettu säännöllisen ruudukon suorien leikkuspisteisiin Tälliset tngrmit voidn täydentää kuperiksi monikulmioiksi jo tutuiksi tulleiden peruskolmioiden vull 9 8 Jos tngrmille setetn vielä ehdoksi, että se on yksiosinen, on mhdollist miettiä, löytyykö ylärj trvittvien plikoiden lukumäärälle Uteliimmille voidn pljst, että tällinen ylärj on olemss, yksiosisen tngrmin täydentämiseen trvitn korkeintn 56 peruskolmiot (Elffers 1981, s 174) Näiden rjojen löydyttyä tutkitn jokist tällä välillä olev kokonisluku Jetn tutkittv luku mhdollisiin x:n j y:n rvoihin, esimerkiksi kun xy = 12, prej voivt oll 1 j 12, 2 j 6 ti 3 j 4 Sitten tutkitn mhdollisi :n, :n, :n j d:n rvoj Kosk 2xy 16 on prillinen, myös lusekkeen 2 + 2 + 2 +d 2 tulee oll prillinen, esimerkiksi = 1, = 1, = 1, d = 0 ti = 3, = 1, = 1, d = 0 eivät siis kelp Vlitun xy:n vull sdn lusekkeest 2xy 16 = 2 + 2 + 2 + d 2 Jolliset tngrmit On myös olemss tngrmeit, jotk on mhdollist jk khteen smnliseen osn, jollisi tngrmeit Näitä on 65 erilist (Elffers 1981, s 175) Prej voi yhdistellä useill eri tvoill yhtenäisiksi jollisiksi tngrmeiksi, jotk on peruskulmioill mhdollist täydentää kuperiksi monikulmioiksi Ongelmnrtkonnst pitäville voidn esittää ivonystyröitä työllistävä ongelm: mikä on täydentämiseen trvittvien peruskolmioiden ylärj näiden jollisten peruskolmioiden kohdll?
10 Solmu HYVÄSTIT TANGRAMILLE Kuten trkkvinen j kärsivällinen lukij on huomnnut, tngrm voi viihdyttää monell eri tvll Tngrmin milmn voi sukelt puhtsti tieteellisesti tutkien Sen geometrisistä ominisuuksist löytyy pljon mielenkiintoist Mutt tämä ei ole ino vihtoehto Tngrmist voi nutti ivn miniosti ilmn minkäänlist mtemtiikk, työklun inostn mielikuvitus Voi etsiä tehtäviä, joit yrittää rtkist Voi itse yrittää kehitellä kuvioit, eläimiä, ihmisiä toimissn, rkennuksi Nuttik elämästä tngrmin seurss! Teemu Mehtiö Munuln yhteiskoulu j Helsingin mtemtiikklukio Lähdeluettelo Elffers, Joost (1981) Tngrm, Bokförlget Prism, Tukholm Liite 1: Mhdolliset kupert monikulmiot kuudelltoist peruskolmioll Numero xy x y 2xy 16 ( 2 + 2 + 2 + d 2 ) d Tngrm mhdollinen 1 8 8 1 0 0 0 0 0 0 Ei 2 8 4 2 0 0 0 0 0 0 Kyllä 3 9 9 1 2 2 1 1 0 0 Ei 4 9 9 1 2 2 1 0 1 0 Ei 5 9 3 3 2 2 1 1 0 0 Kyllä 6 9 3 3 2 2 1 0 1 0 Kyllä 7 10 5 2 4 4 1 1 1 1 Kyllä 8 10 5 2 4 4 2 0 0 0 Kyllä 9 12 6 2 8 8 2 2 0 0 Kyllä 10 12 6 2 8 8 2 0 2 0 Kyllä 11 12 4 3 8 8 2 2 0 0 Kyllä 12 12 4 3 8 8 2 0 2 0 Kyllä 13 15 5 3 14 14 3 1 2 0 Kyllä 14 15 5 3 14 14 3 2 1 0 Kyllä 15 16 4 4 16 16 2 2 2 2 Kyllä 16 16 4 4 16 16 4 0 0 0 Kyllä 17 24 6 4 32 32 4 0 4 0 Ei 18 25 5 5 34 34 4 1 4 1 Ei 19 25 5 5 34 34 5 0 3 0 Ei 20 72 9 8 128 128 8 0 8 0 Ei y Ehdot: d x 1 2xy 16 = 2 + 2 + 2 + d 2 2 + x + d x + y + d y
Solmu 11 Liite 2: Kuperien monikulmioiden kuvt Tngrmit vstvien monikulmioiden vieressä 1 11 2 12 3 13 4 14 5 15 d 6 16 7 d 17 8 18 d 9 19 10 20
12 Solmu Geometrikulm 11: Miten piirrän oikeoppisesti vruuskuvioit? Khdekss 2 j kymmenes 3 geometrikulm sisältävät kuvi kolmiulotteisen vruuden käyristä j pinnoist Nykyiset tietokoneohjelmistot piirtävät tällisi helposti, mutt miten kuvt oikein lsketn j millisi niiden on oltv, jott ne olisivt geometrisesti oikein? Peritteess kyseessä on kksiulotteisen kuvn muodostminen kolmiulotteisest kohteest Tällöin trvitn jonkinlinen funktio eli kuvus kolmiulotteisest vruudest kksiulotteiseen tsoon, joss peritteess jokisen vruuden pisteen kuvksi setetn jokin tson, ns kuvtson piste Tämän funktion tulee vrmsti oll inkin jtkuv: Jos kksi pistettä on vruudess lähellä toisin, niiden kuvpisteidenkin tulee oll lähellä toisin Tätähän jtkuvuus vrsinisesti on; lukij älköön heti jtelko lusekkeit snn jtkuvuus kuullessn Jtkuvuus ei kuitenkn ole riittävä vtimus, vn kuvuksell tulee oll enemmän säännöllisyyttä Mikäli muut ei vdit kuin jtkuvuus, kyseeseen voisivt tull vikkp selliset kuvukset, joit voi nähdä eräissä hollntilisen titeilijn M C Esherin töissä Näitä löytyy verkostkin; hyvä lähtökoht on The Offiil M C Esher Wesite 4 Erinomisi esimerkkijä ovt vikkp Kuvglleri 5 ti Prveke 6 Esher itse ei kylläkään pitänyt kuvin mtemttisin, vn hänen näkemyksensä perustui muunliseen jtteluun Esherin kuvt eivät kuitenkn ole sitä, mitä tvlliselt hvinnolliselt kuvlt odotetn Luontevmp onkin käyttää kuvuksen jotkin projektiot Tärkeimmät j yleisimmin käytetyt vihtoehdot ovt yhdensuuntisprojektio j keskusprojektio Edellisellä muodostettuj kuvi snotn ksonometrisiksi kuviksi, jälkimmäisellä syntyy persektiivikuvi Yhdensuuntisprojektio sdn määritellyksi, kun kiinnitetään jokin vruuden tso kuvtsoksi j vlitn kiinteä suunt, projektiosäteiden suunt Tämä ei s oll kuvtson suuntinen Avruuspisteen P kuvksi setetn tällöin se piste P, joss P:n kutt kulkev projektiosäde leikk kuvtson 2 http://wwwmthhelsinkifi/solmu/solmu12/kivel/ 3 http://wwwmthhelsinkifi/solmu/solmu14/kivel/ 4 http://wwwmesherom/ 5 http://wwwesherfreeserveouk/esher/print GALLERYjpg 6 http://wwwnggov/olletion/gllery/ggesher/ggesher-539400html
Solmu 13 P Q K Q P Q Q P P Yhdensuuntisprojektio Keskusprojektio Jos projektiosäteiden suunt on kohtisuorss kuvtso vstn, snotn, että yhdensuuntisprojektio on ortogonliprojektio Jos näin ei ole, kyseessä on vino projektio Keskusprojektioss kiinteä suunt korvtn kiinteällä pisteellä, projektiokeskuksell K Tämä ei s sijit kuvtsoss Pisteen P kuv P on suorn KP projektiosäteen j kuvtson leikkuspiste Yhdensuuntisprojektioll voidn kuvt projisioid koko vruus kuvtsoon, keskusprojektioll sen sijn ei Jos nimittäin piste P sijitsee siten, että projektiosäde KP on kuvtson suuntinen, ei kuvpistettä ole Projisioimtt siis jää projektiokeskuksen kutt kulkev kuvtson suuntinen tso (joll on nimi ktomistso, kosk sen pisteiden kuvt ktovt kuvtsost) Keskusprojektion luonnollisuus perustuu siihen, että ihmissilmä j kmer muodostvt kuvi keskusprojektion peritteell Projektiokeskus sijitsee tällöin silmän ti kmern linssin optisess keskipisteessä Jostkin kohteest muodostettu keskusprojektiokuv on siten smnlinen kuin silmän verkkoklvolle kohteest syntyvä kuv Aivn trkoin näin ei ole: Verkkoklvo ei ole tso, vn hiemn krev Keskeisellä trkn näkemisen lueell se ei tsost kuitenkn pljon poikke Jos projektiokeskus etääntyy äärettömän kuksi kuvtsost kohteen pysyessä piklln, projisioinniss trvittvt projektiosäteet muuttuvt yhdensuuntisiksi, ts keskusprojektiost tulee yhdensuuntisprojektio Luontev on, että kuv ktsotn kohtisuorsti kuvtso vstn Tällöin myös kuvn synnyttävässä projektiokuvuksess tulisi projektiosäteiden oll kohtisuorss kuvtso vstn, ts yhdensuuntisprojektion tulisi oll ortogonlinen j keskusprojektioss kuvtso vstn kohtisuorn projektiosäteen, ns päänäkösäteen tulisi kulke kohteen keskiosn kutt Jos näitä vtimuksi ei otet huomioon, voivt sekä ksonometriset että perspektiivikuvt näyttää sngen kummllisilt Seurvt kuvt esittävät kikki sm ktkistust krtiost j sen päällä olevst lieriöstä muodostuv kpplett Kolme ensimmäistä on ortogonlisi yhdensuuntisprojektioit, kolme seurv vinoj yhdensuuntisprojektioit j kolme viimeistä keskusprojektioit, ts perspektiivikuvi Kuviss näkyvät myös koordinttikselien yksikköpisteet, so pisteiden (1,0,0), (0,1,0) j (0,0,1) kuvt Kikiss kuviss on piirretty näkyviin sekä näkyvissä olevt viivt että kppleen tkse näkymättömiin jäävät
14 Solmu Isometrinen projektio Dimetrinen projektio Trimetrinen projektio Kvljeeriprojektio Sotilsprojektio Eräs vino projektio Erilisi keskusprojekioit (perspektiivikuvi)
Solmu 15 Lukij kiinnittäköön huomiot vinojen projektioiden tietynliseen venähtäneisyyteen Nekin näyttävät luonnollisemmilt, jos niitä ktsotn riittävän vinosti projetiosäteiden suunnst Oike suunt ei vin ole ihn helppo päätellä kuvst! Kikki ksonometriset kuvt voidn mieltää khdell tvll: kpplett ktsotn joko yläviistost ti lviistost Eri tpuksiss eri viivt ovt kppleen tkse j siis näkymättömiin jääviä Aksonometrisiss kuviss kppleess olevt yhdensuuntiset suort näkyvät yhdensuuntisin; esimerkkinä lieriön sivuviivt Perspektiivikuviss ei näin välttämättä ole Krtio- j lieriöosn pohjympyrät näkyvät kikiss kuviss ellipseinä Aksonometrisiss kuviss nämä ovt kusskin kuvss keskenään yhdenmuotoisi, perspektiivikuviss sen sijn eivät Yhdensuuntis- j keskusprojektion määritelmien perusteell voidn joht kuvien piirtämisessä perinteisesti käytetyt linlisuudet Näitä tutkiv geometrin os-lue tunnetn nimellä deskriptiivinen geometri Lähempi trkstelu on kuitenkin toisen trinn ihe Simo K Kivelä Unkrilist mtemtiikk englnniksi verkoss Unkrist Englntiin sovitettu mtemtiikn lkuopetusmterili (Sndor Hjdun oppikirjojen pohjlt) on verkoss ei-kuplliseen kokeilukäyttöön stvn osoitteess wwwintermeporg Työn on tehnyt prof Dvid Burghesin ryhmä Exeteristä yhdessä unkrilisten knss Tulokset ovt hyviä, mutt niiden svuttminen vtii pljon työtä Tätä kokeilu seur j mhdollisuuksien mukn tuo Suomeen prof George Mlty Joensuun yliopistost, georgemlty@joensuufi Mrjtt Näätänen mtemtiikn litos Helsingin yliopisto
16 Solmu Vikutteit opetukseen Unkrist Virikkeitä mtemtiikn opetukseen on etsitty Unkrist, sillä Unkri on niukoist resursseistn huolimtt menestynyt erittäin hyvin knsinvälisissä vertiluiss mtemtiikn koulutson oppimistulosten suhteen, kun ts Suomen sijoittuminen ei ole kehuttv Tutkijtsoll noin kymmenen miljoonn sukkn Unkrill on ehkä milmnennätys lskettess ensi luokn mtemtikkojen lukumäärää suhteutettun väkilukuun j yli kymmenen Noelin plkinto loill, jotk vtivt hyvää mtemttist pohj Kielisukulisuuden tki unkriliset ovt hyvin sydämellisesti vlmiit yhteistyöhön suomlisten knss Noin kksi vuott sitten loin selvittää mhdollisuutt yhteistyöhön Unkrin knss Tekijänoikeusongelmien selvittyä oli ensimmäinen konkreettinen tulos se, että Helsingin yliopistoss unkrin kielen opiskelijt käänsivät kielitieteilijän j sin hrrstuksest unkri Helsingin yliopistoss opiskelleen mtemtikon, tri Tneli Huuskosen opstuksell mtemtiikn tehtäviä, jotk sijoitettiin Solmun yhteyteen suomlisi koululisi vrten Käännöskurssi tuki AKO (Ammttikielten j kääntämisen opintokokonisuus) Myös Wihurin rhsto on tukenut Unkri-yhteistyötä Käytännön koulukokeilu loitettiin tänä syksynä lsteelt, kosk mtemtiikk rkennetn perustst lken kuin tlo Pitsi peruskäsitteiden omksumiseen, lkuopetus vikutt voimkksti myös senteisiin Suomess tuntuu olevn jop joidenkin päättäjienkin tsoll käsitys, ettei mtemtiikk enää nykyisenä koneiden ikn trvit Ei tiedetä, ettei mtemtiikk ole koneell korvttv meknist lskemist, vn moderni, nopesti kehittyvä tiede, jok on trpeellinen yhä usemmill, myös ns pehmeillä loill, j korken teknologin perust Koulumtemtiikn liminlyönnillä typistetään kohtlokksti myöhempiä opiskelumhdollisuuksi j suljetn pois mielenkiintoisi urvlintoj Teollisuudelle on Suomess tullut yhä vkvmmksi pullonkulksi kyllin hyvin mtemttis-luonnontieteellisesti koulutetun työvoimn sminen Esimerkiksi Noki on jo huomttv työllistäjä Unkriss tutkimus- j kehitystyönsä suhteen Aloitteestni pidettiin Jyväskylässä j Polvijärvellä viime elokuuss suomlisille luoknopettjille khden viikon pituinen mtemtiikn lkuopetuksen tehokurssi, opettjin Márt Orvez j Ágnes Kivovis Budpestist Tulkin vull toteutettu kurssi pidettiin äärimmäisen mielenkiintoisen, oppisisällön ljuus j monipuolisuus yllätti suomliset opettjt, jotk kertoivt sneens pljon h-elämyksiä Opetushllitus j Kuko Sorjosen säätiö tekivät kurssit tloudellisesti mhdollisiksi Jyväskylässä ovt tehneet vltvn työn prof Eir Korpinen j tri Tuul Mtikinen, molemmt ksvtustieteilijöitä Tutkiv opettj -verkoston puitteiss loitetn tutkimust unkrilisest menetelmästä Ensi kesänä on trkoitus jtk Toimint stt levitä muiden toimest myös pääkupunkiseudulle Millist sitten on suhtutuminen mtemtiikkn Unkriss? Suomlinen snee oiken mielikuvn sist omn, erinomisi tuloksi tuottvn musiikkiksvtuksemme vull Unkriss tiedetään, ettei mtemtiikkn ole kuninkn tietä Pitkät perinteet, työ j mtemttis-luonnontieteellisten lojen rvos-
Solmu 17 tus ovt nostneet Unkrin mtemtiikn menestykseen Jo st vuott sitten loitettiin mtemtiikklehti KöML, jok trjosi mtemttisi ongelmi j lisämterili toisen steen kouluille, sekä mtemtiikkkilpilut Nämä yhdessä mhdollistivt mtemttisten kykyjen löytämisen j kehittämisen tspuolisesti koko mss Miten voisi kuvill lyhyesti unkrilist mtemtiikn lkuopetust Vrg-tyylillä? Yleisenä huomion voisi sno, että se on hyvin monipuolisesti lst kehittävää j ktivoiv Äidinkielen hrjoitus on hyvin keskeistä, lpset kertovt pljon, miten he jttelevt j päättelevät sekä perustelevt vstuksin Äidinkielen käyttö j selkeä päättely kulkevt käsi kädessä Myöhemmin vstn tulevi mtemtiikn käsitteitä (esim yhtälö, epäyhtälö, lukusuor, jollisuus) pohjustetn lkuopetuksess konkreettisill puvälineillä j huskoill tehtävillä Näin käsitteet svt tuekseen konkreettisen mielikuvn j ehtivät kypsyä Pyrkimys on kehittää pienten oppiliden luontist uteliisuutt j tiedonhlu Lpsen omkohtiset kokemukset ovt ensirvoisen tärkeitä Menetelmä vtii pljon opettjlt, kosk tehtävien pohjlt titv opettj pystyy ohjmn mtemtiikn rkenteen j käsitteiden omksumist Oppiliden edetessä tehtävät tulevt strktimmiksi, mutt lkuviheess käytetään oppiln om kokemuspiiriä, istej j käsiä pun Opettjn tulee ost erott oppiliden oikensuuntiset mutt epätrkt idet vääristä Hänen on oivllettv nopesti, onko etenemissuunt oike j pystyttävä innostmn eritsoisi oppilit Pystyäkseen kikkeen tähän on opettjll oltv vhv pohjkoulutus j hänen on hllittv pljon ljemmt mtemtiikn misemt kuin mihin hänen oppilns vielä pystyvät Mtemtiikn opetus etenee hyväksi hvituss järjestyksessä, pohjn on omkohtisen kokemuksen hnkkiminen, sitten strktion viheittinen eteneminen Apuvälineitä käytetään pljon, niillä pohjustetn mtemttisi ideoit Ikään liittyvät erityispiirteet huomioidn, virheet ovt tärkeä j luonnollinen os oppimisprosessi Työskentelyssä on vhvsti mukn koko luokn yhteishenki j yhteinen työ Opettj seur trksti jokisen oppiln työtä Esimerkiksi päässälskun tuloksen trkistus tphtuu nopesti näyttämällä lukukorttej, joist opettj voi yhdellä silmäyksellä nähdä tilnteen Lukukäsitettä pohjustetn huolell pienillä luvuill Tällöin sdn myös esille yleisesti päteviä lukujen ominisuuksi, esim yhteenlskun vihdnnisuus Lskutoimitusten ymmärtämistä pohjustetn konkreettisten toimintojen j pienten trinoiden vull, nppuloill pelmisell, kuvin esitetyillä kertomuksill, vst sitten on vuoross lusekkeiden kirjoittminen numeroin Konkreettisi tehtäviä j yksinkertisi pelejä käytetään, smoin kuvst lskemist, hvinnollistmist sekä snllisi tehtäviä j lukujonojen jtkmist Geometrist tehdään 2-ulotteisi j 3-ulotteisi rkennelmi, tutustutn monikulmioihin, tehdään peilileikkejä Mtemttisi iheit kuten joukot j logiikk, funktiot, todennäköisyys, komintoriikk käytetään opetuksess Nopeushrjoituksi, lukujen luettelemist peräkkäin, tkperin, yhden, khden ti usemmn välein j erilisi ryhmittelyhrjoituksi käytetään Yhtäsuurten lukujen summ, luvun puolikkn vähentäminen, yhdellä suuremmn j yhdellä pienemmän luvun lisääminen j vähentäminen, yhteenj vähennyslskun yhteys, usen yhteenlskettvn järjestyksen vihtminen tulevt myös ensimmäisenä vuonn opetettvksi Unkriss Yhteenveton voisi sno, että Vrg-menetelmässä tärkeää on jttelutp j oppiln ktivointi Hän suoritt itse tehtävää, hänen päähänsä jää kuv, johon pltn yrittäen seurvss viheess rkent lun konkreettiselle pohjlle strktimp j täsmällisempää käsitettä Kyseessä on hyvin suunniteltu, kehitetty j tuloksiltn hyväksi hvittu menetelmä Neljän ensimmäisen vuoden (Unkrin l-ste) Nemenyi Orvez-oppikirjoiss on Vrgn lennokkt idet sovitettu käytännön tsolle Suomen ongelmist unkriliset olivt sitä mieltä, ettei mtemtiikk opit kirjoittmll lukuj tunnist toiseen Oppikirjoist he totesivt kohtelisti, että ne ovt kuniit j värikkäitä Sisältö on kuitenkin vin luvuill toimint, jolloin myös pyritään liin pin suuriin lukuihin ilmn, että ymmärretään lukujen ominisuuksi Ongelmnrtkisu käytetään Unkriss opetusmenetelmänä, mutt se on vin yksi os hyvin hllittu menetelmää, joll yritetään kehittää oppiln kykyjä tspinoisesti Unkriliset opettjnkouluttjt kertoivt, etteivät he hlu päätyä tilnteeseen, joss kulutetn pljon ik eikä ole vrmuutt siitä, kuk keksii, milloin j mitä Jyväskylän j Polvijärven kurssien luentomuistiinpnot julkistn mtemtiikklehti Solmuss kikkien käyttöön sitä muk, kun työtä ennätetään tehdä Unkrin mtemtiiknopetuksess ei tietenkään kikki ole erinomist eikä Suomeen sovellettviss, mutt uskon, että pljon hyvää voidn sd ikn yhteistyöllä j oikeill vlinnoill Mrjtt Näätänen dos, Helsingin yliopisto
18 Solmu Mtemtiikkolympiliset Koress Koululisten 41 knsinväliset mtemtiikkolympiliset, IMO 2000, pidettiin Koren Tejoniss, noin 200 km etelään Soulist, 13 25 heinäkuut 2000 Tvn mukn kolmen ensimmäisenä päivänä pikll oli vin tehtävät ltiv joukkueiden johtjist koostuv knsinvälinen tuomristo Joukkueet spuivt 16 heinäkuut j vrsiniset kilpilut pidettiin 19 j 20 heinäkuut Kilpilupikkn smoin kuin kilpilijoiden mjpikkn oli KAISTin, Kore Advned Institute of Siene nd Tehnologyn kmpus Tejonin liepeillä Joukkueiden j kilpilijoiden määrä oli jälleen ennätyksellinen, vikk IMO:n ksvuvuhti tuntuukin hidstuneen Joukkueens oli lähettänyt 82 mt (joukoss oli kyllä ei vrsinisesti itsenäisiä lueit kuten Hongkong, Mo j Puerto Rio) Kilpilijoit oli 461 Kilpilun kikin puolin onnistuneist järjestelyistä vstsi Koren Tiede- j tekniikkministeriön j Koren Opetusministeriön tukemn Koren Mtemttinen yhdistys; järjestelytoimikunnn puheenjohtjn päävstuut kntoi professori Sung Je Cho Tuomriston tehtävänldintkokoukset pidettiin Chonniss, Soulin j Tejonin puolivälissä Kokouspikkn oli Koren postilitoksen moderni koulutuskeskus, jok sopi trkoitukseen erinomisesti Tehtäväehdotuksi oli eri osllistujmist stu kikkin 142, j näistä 18-henkinen, puollisell Mrin Kuzmll j ulgrilisell Svetoslv Svhevill vhvistettu korelinen esivlinttoimikunt oli poiminut 27 ehdokst tuomriston käsittelyyn Perusteellisen pohdinnn jälkeen tejonilisen professori Gyo Tek Jinin johtm tuomristo päätyi vlitsemn srjn, jonk ensimmäinen j viimeinen tehtävä edustivt klssist tsogeometri, viides oli puhdspiirteinen lukuteorin tehtävä, johon oli lähes perinteeksi muodostuneen tvn mukn myös upotettu kilpilun vuosiluku, toinen etukäteen liinkin helpoksi rvioitu epäyhtälö, neljäs komintorist päättelyä edellyttänyt j kolms lähinnä mtemttiseksi nlyysiksi luokiteltv Vlinnn jälkeen ilmeni, että tehtävistä peräti kolme (1, 5 j 6) oli Venäjän ehdottmi, muut Yhdysvlloist (2), Vlko-Venäjältä (3) j Unkrist (4) Kirjoittj ei muist, että näin suuri osuus tehtävistä olisi koskn ollut yhdestä mst lähtöisin Kilpilujen vjiset pidettiin 187 Tejoniss Avjisi kunniotti läsnäololln j puheelln kilpilujen suojelij, Koren pääministeri Hn Dong Lee, jok spui vjispiklle helikopterilln Kilpilut pidettiin 197 j 207, j tulokset stiin vlmiiksi Knsllisess Chugnm-yliopistoss pidettyihin päättäjäisiin 247 Kilpilijt tekivät retkiä Koren Folk Villge -museoon Soulin lähelle j Kyungjuun Koren itärnnikolle Alkuperäisestä ohjelmst poiketen kilpilijt kävivät myös Souliss Koren presidentin erikoisvierin KAISTin kmpuksell pidetty loppuillllinen huipentui loistvn ilotulitukseen Tuomriston työ ei juuri ntnut mhdollisuuksi turismiin Kilpilun tehtävät osoittutuivt vikeiksi Mksimipisteet 42 nnettiin kuitenkin neljälle kilpilijlle, Kiinn Zhiwei Yunille, Vlkovenäjän Alexndr Usnihille j Venäjän Aleksei Poirkoville j Alexnder Gifoullinelle Kultmitliin oikeuttvn prhn 1/12-osn muodostivt inkin 30 pistettä sneet, seurv kuu-
Solmu 19 dennes eli hopemitlill plkittvien osuus muodostui inkin 21 pistettä sneist, j jo 11 pisteen suoritus merkitsi prempn puolikkseen eli pronssimitliktegorin pääsyä Viime vuonn vstvt pisterjt olivt 28, 19 j 12 Pistekeskirvoill mitten helpoin tehtävä oli numero 1 (keskirvo 4,1), sitten 4 (3,2), 2 (2,8), 5 (1,6), 6 (1,0) j 3 (0,7) Kilpilun menestyjien, kultmitlin sjien, vstv järjestys on 1 (7, kikill siis täydet pisteet!), 5 (6,6), 2 (6,5), 4 (6,2), 6 (4,6) j 3 (3,5) Luvuist voi päätellä vlmennuksen merkitystä: helppo geometrin tehtävä 1 on hrjoitelleelle rutiini, smoin melko stndrdi lukuteoreettinen tehtävä j epäyhtälö, mutt olennisesti vin oivllust vtinut tehtävä 4 on menestyjien listll sijoitukseltn lempn kuin kikill osllistujill Miden premmuutt ei mtemtiikkolympilisiss virllisesti mitt, epävirllisesti sitäkin innokkmmin Prhn yhteispistemäärän kokosi Kiin, seurvin Venäjä, Yhdysvllt, Kore, Vietnm, Bulgri, Vlko-Venäjä, Tiwn, Unkri j Irn Suomen joukkue oli vlittu perinteisin kuvioin Vlinnst j vlmennuksest vstsi Suomen mtemttisen yhdistyksen vlmennusjoston työryhmä Mtti Lehtinen, Kerkko Luosto, Jri Lpplinen j Jouni Seppänen Toimint Päivölässä koordinoivt lisäksi Kullervo Nieminen j Merikki Lppi MAOLin lukiokilpilun kksi kierrost j 14 Pohjoisminen mtemtiikkkilpilu huhtikuuss yhdessä vlmennusvstusten j Päivölän Opiston mtemtiikkviikonloppujen knss olivt pohjn, kun toukokuiselle vlint- j vlmennusleirille Päivölän Opistoon Vlkekoskelle koottiin kymmenkunt osllistujkndidtti Neljä vlintkoett muun informtion lisäksi johtivt lopult yksiselitteiseen vlintn: Suome edustivt Anne- Mri Ernvll Turust, Mikko Hrju Kirkkonummelt, Riikk Korte Helsingistä, Teemu Murtol Joensuust (Päivölästä), Jrkko Pyy Hlikost j Johnn Tiknoj Pyhäjärveltä (Päivölästä) Joukkueen johtjn j smll knsinvälisen tuomriston jäsenenä toimi Mtti Lehtinen, j joukkueen vrjohtjn oli Jri Lpplinen Joukkueen suoritus oli vrsin tyydyttävä Edellisen vuoden yksi hopemitli vihtui nyt kolmeksi pronssimitliksi, jotk sivt Riikk Korte, Mikko Hrju j Anne-Mri Ernvll Teemu Murtol plkittiin lisäksi kunnimininnll Kyseessä oli ensimmäinen kert Suomen mtemtiikkolympilisosllistumisen historiss, kun tyttöoppils si mitlin Joukkueen yhteispistemäärä 52 oikeutti sijn 52 Todettkoon, että Ruotsin sijoitus oli 31, Norjn 56, Viron 57, Islnnin 60 j Tnskn 61 Suomlisten phimmksi kompstuskiveksi muodostui ts kerrn geometri Vikempi tehtävä 6 tuotti Suomelle 2 pistettä, helpompi ensimmäinen tehtävä 11 Eniten pisteitä Suomi si komintorisest tehtävästä 4 On entistä ilmeisempää, että geometrin kunnollisen koulupohjn puuttuess ino tie mtemtiikkolympilisten tuloslistn lkupäähän voisi kulke todell intensiivisen j pitkäkestoisen geometrin tehovlmennuksen kutt Myös lukuteorin rutiini tulisi luod hrjoituksell Vin päättelyä edellyttävissä tehtävissä ero kärkeen ei ole drmttinen Seurvt mtemtiikkolympiliset pidetään Wshingtoniss Yhdysvlloiss 1 14 heinäkuut 2001 Sen jälkeen mtemtiikkolympiliset järjestää ennkkotiedoist poiketen Iso-Britnni Jpni on vuoross vuonn 2003 j Kreikk vuonn 2004 Mtti Lehtinen 41 knsinväliset mtemtiikkolympiliset Joukkueiden yhteispisteet Sulkeiss olev luku mn nimen jälkeen osoitt, että joukkueess oli vähemmän kuin 6 kilpilij 1 Kiin 218 2 Venäjä 215 3 Yhdysvllt 184 4 Kore 172 5 Bulgri 169 Vietnm 169 7 Vlko-Venäjä 165 8 Tiwn 164 9 Unkri 156 10 Irn 155 11 Isrel 139 Romni 139 13 Ukrin 135 14 Inti 132 15 Jpni 125 16 Austrli 122 17 Knd 112 18 Turkki 111 Slovki 111 20 Armeni 108 Sks 108 22 Iso-Britnni 96 23 Jugoslvi 93 24 Kzkstn 91 25 Argentiin 88 26 Moldov (5) 84 27 Etelä-Afrikk 81
20 Solmu 28 Hongkong 80 29 Bosni 78 Thim 78 31 Ruotsi 77 32 Puol 75 Meksiko 75 34 Kroti 73 Sloveni 73 36 Georgi 72 37 Singpore 71 38 Uzekistn 70 39 Itävlt 68 40 Sveitsi (4) 67 Mongoli 67 42 Tšekinm 65 43 Mkedoni 63 44 Kolumi 61 Kuu 61 46 Hollnti 60 Ltvi 60 48 Rnsk 58 Brsili 58 50 Itli 57 51 Indonesi 54 52 Suomi 52 53 Belgi 51 Luxemurg (4) 51 55 Mrokko 48 56 Kreikk 46 57 Norj 45 58 Viro 42 59 Trinidd 40 60 Islnti 37 61 Tnsk 36 62 Uusi-Seelnti 34 Liettu 34 64 Azeridžn 32 Kypros 32 Peru (4) 32 Mlesi (3) 32 68 Espnj 29 69 Irlnti 28 70 Uruguy (3) 23 Filippiinit (4) 23 72 Sri Lnk (3) 21 Portugli 21 74 Equdor 19 75 Alni 17 76 Kirgisi (4) 16 Mo 16 78 Kuwit (4) 12 79 Guteml 11 Venezuel (2) 11 81 Brunei (2) 8 Puerto Rio 8 41 knsinvälisten mtemtiikkolympilisten tehtävät 1 Ympyrät Γ 1 j Γ 2 leikkvt toisens pisteissä M j N Olkoon l se Γ 1 :n j Γ 2 :n yhteinen tngentti, jok on lähempänä M:ää kuin N:ää Suor l sivu Γ 1 :tä pisteessä A j Γ 2 :t pisteessä B Pisteen M kutt kulkev l:n suuntinen suor leikk ympyrän Γ 1 myös pisteessä C j ympyrän Γ 2 myös pisteessä D Suort CA j DB leikkvt pisteessä E; suort AN j CD leikkvt pisteessä P; suort BN j CD leikkvt pisteessä Q Osoit, että EP = EQ 2 Olkoot, j positiivisi relilukuj j olkoon = 1 Todist, että ( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) 1 3 Olkoon n 2 positiivinen kokonisluku Vksuorll suorll on n kirppu, jotk eivät kikki ole smss pisteessä Olkoon λ positiivinen reliluku Määritellään siirtymä seurvsti: vlitn jotkin kksi kirppu, jotk ovt pisteissä A j B, A B:n vsemmll puolell; nnetn A:ss olevn kirpun hypätä siihen B:n oikell puolell olevn suorn pisteeseen C, jolle BC/AB = λ Määritä kikki selliset λ:n rvot, joill kikki kirput voivt siirtyä mistä hyvänsä lkusemst minkä hyvänsä pisteen M oikelle puolelle äärellisen monen siirtymän vull 4 Tikurill on st kortti, jotk on numeroitu 1:stä 100:n Tikuri sijoitt kortit kolmeen rsin, puniseen, vlkoiseen j siniseen, niin että jok rsiss on inkin yksi kortti Eräs ktsojist vlitsee rsioist kksi, ott kummstkin rsist yhden kortin j kertoo vlituiss korteiss olevien numeroiden summn Kuultun summn tikuri ilmoitt, mistä rsist ei ole otettu korttej Monellko tvll kortit voidn sijoitt rsioihin niin, että kuvttu temppu in onnistuu? (Kht sijoittelu pidetään eri sijoitteluin, jos niissä inkin yksi kortti on eri rsiss) 5 Selvitä, onko olemss positiivist kokonisluku n, jolle n on jollinen tsn 2000:ll eri lkuluvull j 2 n +1 on jollinen n:llä 6 Olkoot AH 1, BH 2 j CH 3 teräväkulmisen kolmion ABC korkeusjnt Kolmion ABC sisään piirretty ympyrä sivu sivuj BC, CA j AB pisteissä T 1, T 2 j T 3, tässä järjestyksessä Olkoot suort l 1, l 2 j l 3 suorien H 2 H 3, H 3 H 1 j H 1 H 2 peilikuvt suorien T 2 T 3, T 3 T 1 j T 1 T 2 yli suoritetuiss peiluksiss (tässä järjestyksessä) Todist, että l 1, l 2 j l 3 määrittävät kolmion, jonk kärjet ovt kolmion ABC sisään piirretyn ympyrän kehällä
Solmu 21 Tehtäviä 1 Osoit, että ) 1 1 2 2 n n ) 4 4 5 5 n n 33 n 99 n ovt neliöitä (jonkin positiivisen kokonisluvun toisi potenssej) 2 Osoit, että j ) 1 1 11 2 2 1 1, n n n n ) 1 1 44 1 1 j n n n ) 1 1 99 6 6 1 1 n ovt neliöitä n n n 3 Luku 0, missä, = 0,1,2,,9 j 0, on jollinen 12:ll j jos sen jk luvull 11, on jkojäännös 10 Rtkise 0 4 Sievennä 111 (1 0 0 1 0 0 1) (100 100 1) 2 2 8 8 (100 100 1) 3 n 1 3 n 1 5 Rtkise kikki kksinumeroiset luvut, jotk ovt jollisi numeroidens neliöiden summll (Esimerkki: 10 on jollinen luvull 1 2 + 0 2 = 1) Vihjeeksi seurviin tehtäviin: Kummsskin käytetään kongruenssej sekä Fermt n j Eulerin tulost, jonk mukn ϕ(n) 1(mod n) in kun lukujen j n suurin yhteinen tekijä on 1 Tässä ϕ on Eulerin ϕ-funktio, jonk rvo ϕ(n) on niiden lukujen m {1,, n lukumäärä, joille syt (n, m) = 1 Entisessä Neuvostoliitoss tämäntyyppisiä tehtäviä rtkistiin Koululisten olympilisiss 6 Osoit, että luku 2000 0 1998 on jollinen luvull 1997 1999 7 Rtkise luvun 4 545 kolme viimeistä numero Tehtävien rtkisut ovt sivuill 24 25 Djemil Mmedjrov
22 Solmu Rtkisut geometrisiin tehtäviin Solmun numeross 3/1999 2000 7 esitin kksi geometrist tehtävää; seurvss niiden rtkisut Kosk geometrin snllinen selittäminen vie til, jää perustelujen trkempi nlysointi lukijn tehtäväksi Molempien ongelmien käsittely perustuu siihen hvintoon, että leikkmll pinnt sopivi särmiä pitkin uki sdn kpple, jok voidn tivutt tsoon ilmn, että ltikon pint pitkin mittut etäisyydet vääristyvät Oletetn ensimmäisen tehtävät kohdll, että pesä sijitsee yläthkoll Geometrisesti on silloin selvää, että suurin etäisyys pesälle sdn joisskin lthkon pisteissä Kyseessä ei kuitenkn ole lthkon keskipiste! Jos tilnnett ktsotn lthkolt käsin j tivutetn sopivsti ukileikttu ltikko tsoon, sdn ll olevn kuvn mukinen tilnne; siinä yläthkost on otettu kksi identtistä kopiot (vsemmnpuoleinen j ylin suorkulmio), sillä lthkolt päästään yläthkon keskipisteeseen neljään eri suuntn kulkemll; symmetrin vuoksi riittää trkstell vin kht suunt ylempi thko D 2 A P B C ylempi thko lthko 4 1 7 http://wwwmthhelsinkifi/solmu/solmu13/lestlo/
Solmu 23 Etäisyyksiä voidn nyt tutki tvlliseen tpn tsoss Symmetrin perusteell hvitn, että toinen etsityistä pisteistä (kuvioss B) sijitsee jnll P C, j etäisyyksien = AB sekä = BD täytyy oll smt Jos merkitään x = BC, niin = 5 x j Pythgorn luseen nojll (suorkulmisest kolmiost BCD) on 2 = x 2 + 3 2 = x 2 + 9 Merkitsemällä = j korottmll tämä yhtälö puolittin toiseen potenssiin, sdn rtkistu x = 8/5 = 1,6 Löysimme siis kysytyn pisteen; toinen smnlinen on pisteen B peilikuv pisteen C suhteen Toist ongelm voidn käsitellä smn tpn, mutt tällä kert olennisesti erilisi kulkusuunti on kolme Rtkisun knnlt tärkeä hvinto on se, että eri reittejä kuljettess oikell thkoll olev mli sijitseen tsoon levitettynä eri semiss Yläkutt kuljettess sdn mtkn pituudeksi = 1 + 30 + 11 = 42, jok on siis hämähäkin reitti menomtkll Kulkemll ylä- j sivuthkon kutt sdn etäisyydeksi Pythgorn luseen vull ll olevst kuviost = (1 + 30 + 6) 2 + (6 + 11) 2 = 1658 40,72 Jos vihdoin kuljetn sekä ylä-, sivuettä lthkon kutt, sdn mtkn pituudeksi = (1 + 30 + 1)2 + (6 + 12 + 6) 2 = 40 Alin reitti vst siis hämähäkin pluumtk, j se on lyhyin mhdollinen Lopuksi knntt vielä yrittää hvinnollist eri vihtoehdot lkuperäisen särmiön pinnll vsen ylempi thko oike oike sivuthko lthko oike 30 12 Pekk Alestlo
24 Solmu Tehtävien rtkisut 1 Merkitään, missä, j ovt kokonislukuj Tällöin k k k = 10k 1 9 k k 10 k + 10k 1 9 = ( 10 k + ) 10k 1 9 = = 10k + 3 = ( 33 3 + + 3 ) 33 3 = (33 3) 2 + ( + ) 11 1, k k k eli jos = 1, = 4 ti = 9 j = + 9, niin k k Esimerkiksi 4 4 3 3 k k 77 on neliö k 2 ) 1 1 2 2 1 1 11 = 1 1 2 (10 n + 1) 2, n n n n n ) 1 1 44 1 1 = 1 1 2 (2 10 n + 1) 2, j n n n n ) 1 1 99 6 6 1 1 = 1 1 2 (3 10 n + 1) 2 n n n n n on neliö k 33 3 k 3 Luku on 4:llä jollinen, joten inot mhdollisuudet ovt = 0, 4 ti 8 Jos = 0, niin 3:ll jettess sdn 000 3, joten = 3 ti 9 Jos = 4, niin vstvll tvll sdn = 1, 4 ti 7, j jos = 8, niin = 2, 5 ti 8 Jettess 11:llä jkojäännös on 10, joten jäljelle jää vin yksi mhdollisuus 1044 4 Kv ( 1)( 2 + + 1) = 3 1 käyttäen smme esimerkiksi ( 2 + + 1)( 6 + 3 + 1)( 18 + 9 + 1)( 54 + 27 + 1) = 34 1 1 = 1 + 2 + + 80, jok on 11 1 silloin kun = 10 Yleisessä tpuksess smme vstukseksi 11 1 80 3 n 1 5 Yhtälöksi sdn ( 2 + 2 )m = 10 +, missä, j m ovt kokonislukuj Tästä seur, että 2 m 10 + 2 m = 0
Solmu 25 j siis = 10 ± 100 4( 2 m 2 m) 2m Merkitään k = m, jolloin k on kokonisluku Lusekkeen 100 4k(k 1) täytyy oll kokonisluku, joten kokeilemll k:n rvoj 0, 1, 2, 3, 4 j 5 nähdään, että ino mhdollisuus on k = m = 0 Näin ollen = 0, sillä m 0 Sijoittmll smme = 10 + 10 2m = 10 m joten kysytty ominisuus on vin kolmell luvull 10, 20 j 50: j siten = 1, 2, ti 5, 10 1 2 + 0 2 = 10, 20 2 2 + 0 2 = 5 j 50 5 2 + 0 2 = 2 6 Kosk 2000 0 1998 = 2000 10 1998 + 1998 j 1999 on lkuluku, jolle ϕ(1999) = 1998, smme Fermt n 1997 lusett käyttäen tulokseksi 1 1 1 0(mod 1999) 7 Tutkitn luku Vihjeen mukn 1 2 ϕ(125) (mod 125), missä m m 3 4 5m 1000 = 45 22 5 8 125 = 125 ϕ(125) = 125 25 = 100, sillä luvuist 1,2,,125 inostn luvuille m = 5,10,15,,120,125 on syt (m,125) > 1, j näitä on 25 kpplett Tästä seur, että 2 100 1(mod 125), j toislt 5 m 25(mod 100), kun m 2 Tätä tieto käyttäen smme 2 2 5m 3 2 2 25 3 (mod 125) 2 47 (mod 125) (2 7 ) 6 2 5 (mod 125) (128) 6 2 5 (mod 125) (125 + 3) 6 2 5 (mod 125) 3 6 2 5 (mod 125) 729 32(mod 125) 78(mod 125) Näin ollen luvun 4 5m, m 2, kolme viimeistä numero ovt 78 8 = 624, kosk 125 8 = 1000 j 624 < 1000 Djemil Mmedjrov