1 SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA txt-5 2017, Kimmo Silvonen Osa V, 16.10.2017 Otan mielelläni esim. sähköpostilla vastaan pieniäkin korjauksia (kuten painovirheet), tekstisisältötoiveita ja muita parannusehdotuksia. Tämä siis koskee kaikkia tekstejäni. Mikä kohta on hanakala ymmärtää? 1 Kolmivaihejärjestelmä 1.1 Yksivaihe- ja kolmivaihejärjestelmät Tavallista vaihtovirtaa sanotaan yksivaiheiseksi. Kolmivaihejärjestelmä koostuu kolmesta yhteen liitetystä 1-vaihejärjestelmästä, jotka ovat 120 vaihesiirrossa toisiinsa nähden. Kuvassa 1 on kolme käämiä tasavälein yhden kierroksen matkalla. Systeemi pyörii vakionopeudella esimerkiksi kuvan vaakasuorassa olevassa magneettikentässä: Sähköenergian tuotanto ja siirto perustuvat yleensä kolmivaihejärjestelmään, koska siinä siirtohäviöt ovat vain kuudesosa verrattuna yhtä suureen siirrettävään tehoon yksivaihejärjestelmässä. Kotitalouksiin tuleva sähkö on yleensä 3-vaiheista (3 230 V, kuva 2); kuormittavat laitteet jaetaan eri vaiheiden kesken suunnilleen tasan. Eri vaiheet tuodaan esimerkiksi eri huoneisiin. Suuritehoiset laitteet, kuten sähkökiuas ja -liesi, kytketään kaikkiin kolmeen vaiheeseen. Joskus kolmivaiheiset laitteet kytketään vain kahteen vaiheeseen sopivan lämmitystehon tuottamiseksi (esim. lämminvesivaraaja).
2 1.1 Yksivaihe- ja kolmivaihejärjestelmät pyörimisakseli B B Kuva 1. Kolmivaihesähkön syntyminen generaattorissa, jossa on kolme käämiä 120 asteen päässä toisistaan. Vektori B (vuontiheys) osoittaa magneettikentän suuntaan. mittauskeskus, ryhmäkeskus ja sulakkeet L1 L2 35 A L3 35 A 35 A 0 pääsulakkeet PE, KEVI N maadoituskupari, 2 x 20 m Kuva 2. Yksinkertaistettu kuva asuinrakennuksen sähköliittymästä ja maadoitettujen shuko-pistorasioiden kytkentä. Sähkölaitokselta tulee mittauskeskukseen paksu nelijohtiminen maakaapeli, jonka yläpuolelle maahan on asetettu keltainen muovinen varoitusnauha. Pääsulakkeiden koko voi olla esim. 35 A; ne ovat yleensä perinteisiä posliinikuorisia tulppasulakkeita. Mittauskeskuksen jälkeen on usein vielä ryhmäkeskus, jossa olevat automaattisulakkeet (johdonsuojakytkimet) ovat pienempiä, esim. 10 A. Sulaketta kutsutaan myös varokkeeksi. Sähköenergian siirrossa ollaan hiljalleen siirtymässä tasavirtaan, joka ei aiheuta pyörrevirtahäviöitä. Viimeaikaisten myrskyjen takia on yhä enemmän alettu vaatia maakaapelointia sähkövoiman siirrossa. Tässä suhteessa LVI-ala on ollut edelläkävijä: vain pieni osa vesijohdoista ja viemäreistä kulkee ilmajohtona. Kaasuputket kulkevat myös monin paikoin maanpäällisinä.
1.2 Kolmiokytkentä ja tähtikytkentä 3 1.2 Kolmiokytkentä ja tähtikytkentä Yksivaiheista sähköä kehitetään generaattorilla, jossa on vain yksi käämi. Kolmivaiheisessa generaattorissa samalla pyörimisakselilla on kolme käämiä, jotka ovat 120 kulmissa toisiinsa nähden. Käämien jännitteet on tapana kytkeä joko tähteen (Y) tai kolmioon ( ). Y + E R + E S + E T R (L1) S (L2) T (L3) tähtipiste E TR + E RS E ST + + R (L1) S (L2) T (L3) Kuva 3. Jännitelähteiden tähtikytkentä ja kolmiokytkentä. Kolmiokytkentä on mahdollinen vain silloin, kun jännitelähteiden lukuarvot toteuttavat Kirchhoffin jännitelain; kolmivaihejärjestelmässä onneksi näin onkin! Myös impedanssit kytketään tähteen tai kolmioon. Ylinnä tähti- ja kolmiokytkennän yleisimmät esiintymismuodot kaavakuvana. Kuva 4. Tähteen tai kolmioon kytketty kolmivaiheinen kuorma. Tähtikytkennässä komponenteilla on yleensä yhteinen tähtipiste, johon kaikki kolme komponenttia on kytketty. Myös vaihejohtimien kanssa sarjassa olevat "vaakasuorat" komponentit ovat tavallaan tähtikytkennässä, vaikkei niillä olekaan yhteistä tähtipistettä. Kolmiokytkennässä jokaiseen kolmesta liitoskohdasta on kytketty kaksi samantyyppistä komponenttia; kolmiokytkentää ei yhdistetä piirin tähtipisteisiin (kuva 3) lainkaan. Sa-
4 1.3 Vaihe- ja pääjännite moin kuormittava laite ja muut komponentit kytketään käytännössä tähteen tai kolmioon (kuva 4); muita kytkentöjä esiintyy lähinnä vain vikatilanteissa. Kolmiokytkennän ja tähtikytkennän "kulmista" lähtee kolme vaihejohdinta, joita merkitään kirjaimilla R, S ja T eli L1, L2 ja L3 (englanniksi R, Y, B red, yellow, blue). Käytännön kolmivaihejärjestelmässä on yleensä viisi johdinta: vaihejohdinten lisäksi nollajohdin (N) ja erillinen suojajohdin (PE, Potential Earth), jossa ei kulje normaalisti virtaa, mutta joka on samassa potentiaalissa kuin nollajohdin. Suojajohdin on tavallisesti kelta-vihreäraitainen (KEVI), nollajohdin vaaleansininen. Sähköturvallisuusmääräysten mukaan nollajohdin saa olla muunkin värinen, jos vaaleansininen johdin puuttuu; johtimen päät on tällöin merkittävä vaaleansinisellä eristysnauhalla tai muulla merkillä. Nollajohdin kytketään tähtipisteisiin. 1.3 Vaihe- ja pääjännite Vaihejohtimien ja tähtipisteiden välistä jännitettä kutsutaan vaihejännitteeksi ja vaiheiden välisiä jännitteitä pääjännitteiksi. Kuluttajalle tulevan kolmivaihesähkön pääjännite on noin 400 V (voimavirta) ja vaihejännite neliöjuurikolmasosa siitä eli siis noin 230 V (kuva 5, ks. perustelu myöhemmin). Jännitteen tarkka arvo vaihtelee mm. kuormituksen ja sijainnin mukaan, mutta 50 Hz:n taajuus on keskimäärin niin tarkka, että siihen voi synkronoida esimerkiksi seinäkellon. Järjestelmästä on tapana ilmoittaa yhtä aikaa sekä pääjännite että vaihejännite: esim. 415/240, 400/230 tai 380/220 V. Koska eri vaiheet tuodaan yleensä eri huoneisiin, voi pistorasioiden välillä vaikuttaa tehollisarvoltaan jopa 400 voltin jännite (huippuarvo noin 570 V!) Tavalliseen yksivaiheiseen pistorasiaan on kytketty nollajohdin ja yksi vaihejohtimista, maadoitettuun (shuko-, Schutzkontakten ) pistorasiaan lisäksi suojajohdin. Pistorasian suoja- tai nollajohtimesta ei saa sähköiskua ("kiltti reikä"), mutta vaihejohtimeen koskeminen on vaarallista ("tuhma reikä"). Suomalaismittojen mukainen shuko-pistoke on Euroopan maista käytössä mm. Saksassa, Itävallassa, Hollannissa, Irlannissa, Ruotsissa ja Espanjassa. Ranskan ja Belgian (myös Espanjan) mallissa on ylimääräinen reikä pistorasiassa olevaa kolmatta tappia varten.
1.4 Symmetrinen kolmivaihejärjestelmä 5 600.00 Kolmivaihejannitteet, Ueff=230 V APLAC 8.40 User: Helsinki University of TechnologyThu Oct 30 2008 300.00 0.00-300.00-600.00 0.000 5.000m 10.000m 15.000m 20.000m t/s ER ET ES ERS Kuva 5. Sähköverkon vaihejännitteet ja yksi pääjännitteistä. Jaksonaika 50 Hz:n taajuudella on 20 ms. 1.4 Symmetrinen kolmivaihejärjestelmä Symmetrisessä kolmivaihejärjestelmässä lähdejännitteet ovat itseisarvoltaan yhtä suuret, mutta erivaiheiset. Vaihekulmat sijaitsevat tasavälein ympyrän kaarella; täten niiden välimatkaksi tulee 120, mutta kulmien arvot sinänsä riippuvat aika-akselin nollakohdan valinnasta: e R (t) = êsin(ωt) E R = E 0 (1) e S (t) = êsin(ωt 120 ) E S = E 120 (2) e T (t) = êsin(ωt 240 ) E T = E 240 = E + 120 (3) Muut vaihejännitteet ovat samalla tavalla itseisarvoltaan yhtä suuret ja 120 vaihesiirrossa toisiinsa nähden. Vastaavasti vaihevirtojen I R,I S ja I T itseisarvot ovat samat ja niiden vaiheet 120 päässä toisistaan. Käytännössä kolmivaihejärjestelmä pyritään aina tekemään symmetriseksi. Symmetrisen järjestelmän nollajohtimessa ei kulje lainkaan virtaa (kuva 6): I 0 = I R + I S + I T = I 0 + I 120 + I }{{ 240 } = 0 (4) I(1+0j 0,5 0,866j 0,5+0,866j)
6 1.5 Kolmivaihejännitteet ja osoitindiagrammi I R I S I T Z 0 I 0 Kuva 6. Nollajohtimen virta on tähtivirtojen eli vaihejohtimien virtojen summa. Symmetrian takia virta on teoriassa nolla ja käytännössäkin yleensä pieni. Joskus nollajohdin jätetään kokonaan kytkemättä. Useimmiten kuitenkin nollajohdin on mukana mahdollisen epäsymmetrian varalta; periaatteessa se voitaisiin tehdä ohuemmasta johtimesta kuin vaihejohtimet, mutta tämäkään ei ole yleinen käytäntö. 1.5 Kolmivaihejännitteet ja osoitindiagrammi Vaihe- ja pääjännitteiden välillä on voimassa kuvan 7 osoitindiagrammi. Jännitteiden väliset yhtälöt voidaan kirjoittaa joko vektorilaskennan sääntöjen mukaan tai suoraan alaindeksejä tarkastelemalla (E TR = E T E R ). Seuraavat yhtälöt on kirjoitettu niin, että kaikki jännitteet ovat positiivisina; yhtälöiden vertaaminen kuvaan on nyt suoraviivaista: E T E ST E S E TR E RS E R E R + E TR = E T (5) E S + E RS = E R (6) E T + E ST = E S (7) E RS 3 30 2 E R Kuva 7. Vaihe- ja pääjännitteiden suuruusluokka- ja vaihe-erot. 3 2 30 30 1 Kuviosta havaitaan, että pääjännite on vaihejännitteeseen nähden 3- kertainen ja 30 = π 6 rad tätä edellä: E R = E RS 3 30 E RS = 3E R 30 (8) 1
1.6 Vaihe- ja kolmiovirrat 7 E S = E ST 3 30 E ST = 3E S 30 (9) E T = E TR 3 30 E TR = 3E T 30 (10) Yllä olevat muunnoskaavat pätevät symmetrian takia lähdejännitteiden lisäksi myös kuorma- ym. jännitteille. 1.6 Vaihe- ja kolmiovirrat Vastaavasti kuin kolmio- eli pääjännitteet määritellään kolmiovirrat (kuva 8): I R + I TR = I RS (11) I S + I RS = I ST (12) I T + I ST = I TR (13) I RS = I R 3 30 = 1 3 (I R I S ) I R = 3I RS 30 (14) I ST = I S 3 30 = 1 3 (I S I T ) I S = 3I ST 30 (15) I TR = I T 3 30 = 1 3 (I T I R ) I T = 3I TR 30 (16) Tähtikytkennässä ei kolmiovirtoja tietenkään esiinny, vaikka kolmiojännitteet ovatkin vaihejohtimien välillä aina olemassa. I R I RS I TR I R R I T I RS I S I ST R I ST I S I T Kuva 8. Tähti- ja kolmiovirtojen suuruusluokka- ja vaihe-erot. R I TR
8 1.7 Kolmivaihejärjestelmän vakaa tehonsiirto 1.7 Kolmivaihejärjestelmän vakaa tehonsiirto Kolmivaihejärjestelmän teholla tarkoitetaan kaikkien vaiheiden yhteenlaskettua tehoa: S = U R I R +U S I S +U T I T = 3U V I V (17) missä U V on vaihejännite ja I V vaihevirta. Kaikkien vaiheiden kuljettamat näennäistehot ovat kompleksilukuinakin keskenään yhtä suuret. Kompleksisen tehon kulma tarkoittaa jännitteen ja virran välistä vaiheeroa, joka on eri vaiheissa sama (se riippuu vain kuormaimpedanssin kulmasta, kompleksitehon kulma on sama kuin impedanssin kulma ϕ S = ϕ Z ). Kolmivaihejärjestelmässä tehon virtaus on tasaista toisin kuin yksivaihejärjestelmässä; ajasta riippuvat termit kumoavat kokonaan toisensa: p(t) = u R i R + u S i S + u T i T (18) = ûsin(ωt + ϕ)îsin(ωt) (19) +ûsin(ωt + ϕ 120 )îsin(ωt 120 ) +ûsin(ωt + ϕ 240 )îsin(ωt 240 ) (20) = 3 1 2 ûî cosϕ = 3 UI cosϕ (21) Yllä ei esitetty tuloksen johtamista yksityiskohtaisesti trigonometrian kaavojen avulla, mutta voit itse tarkistaa sen joko sinien tulon kaavalla tai sijoittamalla ajan funktiona muuttuvan kulman ωt + ϕ paikalle eri arvoja. Tehon hetkellisarvo p(t) on siis ajasta riippumaton vakio. Tämä on yksi kolmivaihejärjestelmän eduista: esim. moottori vääntää vakaasti, eikä syki sadan hertsin taajuudella, kuten yksivaihejärjestelmässä. 1.8 Yksivaiheinen sijaiskytkentä Symmetrisen kolmivaihejärjestelmän matemaattinen käsittely on helpointa yksivaiheisen sijaiskytkennän pohjalta. Ennen sijaiskytkennän muodostamista kaikki kolmioon ( ) kytketyt osat muunnetaan tähtikytkentäisiksi (Y): Z Y = 1 3 Z R Y = 1 3 R L Y = 1 3 L C Y = 3C (22) Kolmioimpedanssit siis jaetaan kolmella; tulos seuraa suoraan kolmio tähti-muunnoksen kaavasta (kuva 9).
1.8 Yksivaiheinen sijaiskytkentä 9 I R I S Z Z Z I R Y I S Z/3 Z/3 I T I T Z/3 Kuva 9. Impedanssien muuntaminen kolmiokytkennästä tähtikytkentään niin, että muun piirin virrat ja jännitteet säilyvät muuttumattomina. Muunnos ei vaikuta piirin toimintaan mitenkään. Piirin jännitteet ja virrat muunnettavan alueen ulkopuolella pysyvät samoina. Komponenttien ottamat tehotkaan eivät muunnoksessa muutu, koska impedanssin muutos kompensoituu jännitteen muuttumisella: pienempää impedanssia (Z /3) vastaa pienempi jännite (U / 3). Toisaalta teho on verrannollinen jännitteen itseisarvon neliöön. Jännitelähteiden kolmio tähti-muunnoskaavat on esitetty aiemmin; jännite jaetaan neliöjuurikolmella ja kulmasta vähennetään 30. Yksivaiheiseen sijaiskytkentään otetaan jokaisesta tähteen kytketystä komponenttiryhmästä yksi edustaja (esimerkiksi R-vaiheesta) ja näiden lisäksi kaikille vaiheille yhteinen nollajohdin. Vaikka nollajohdinta ei olisikaan, se tulee aina yksivaiheiseen sijaiskytkentään mukaan. Nollajohdin voidaan liittää piiriin myös käytännössä, koska tähtipisteet ovat symmetrian takia samassa potentiaalissa. Nollajohtimessa mahdollisesti olevaa sarjaimpedanssia (Z 0 ) ei oteta mukaan, koska sen läpi kulkee virtaa vain vikatilanteessa, jolloin piiri on epäsymmetrinen. R-vaiheesta lasketut tulokset voidaan tarvittaessa soveltaa S- ja T-vaiheisiin vähentämällä vaihekulmista joko 120 tai 240. Viime mainittu vastaa 120 lisäämistä kulmaan. R-vaiheen tuloksen perusteella on mahdollista ratkaista myös kolmiovirrat ja kolmiojännitteet. Yleensä vain vikatilanteissa kolmivaihejärjestelmä on merkittävästi epäsymmetrinen. Epäsymmetrisen järjestelmän analyysi lienee helpointa tehdä kaikille vaiheille samalla kertaa esimerkiksi silmukkamenetelmällä. Jos epäsymmetriaa on vain lähteissä, käytetään joskus ns. kolmivaihejärjestelmän symmetrisiä komponentteja.
10 1.8 Yksivaiheinen sijaiskytkentä Lasketaan kuvan 10 kuormavastusten ottama teho yksivaiheisen sijaiskytkennän avulla E RS = 3 230 60 V, ωl = 10 Ω, R = 3 30 Ω. Muunnetaan ensin kolmiokytkentäiset jännitelähteet ja vastukset tähtikytkentään (kelat ovat valmiiksi tähtikytkennässä). Yhdistetään näin syntyvät tähtipisteet nollajohtimella. Otetaan lopuksi yksivaihesijaiskytkentään R-vaiheen kolme komponenttia ja edellä mainittu nollajohdin. E TR + E RS E ST + + I R L L L R R R + E R + E S + E T L L L I R R/3 R/3 R/3 E R + + I R + E T E S + E R L R/3 I R Kuva 10. Piiri muunnetaan ensin tähtikytkentäiseksi (ylh. oik.), minkä jälkeen yksivaiheinen sijaiskytkentä on helposti erotettavissa (alh. oik.). Nollajohtimen lisäämisen jälkeen jokainen kolmesta vaiheesta muodostaa oman toisista riippumattoman virtapiirinsä (vrt. kolmiapilan lehdykät). Piirit on yhdistetty toisiinsa vain tähtipisteidensä kautta (alh. vas.). E R = E RS 3 30 = 230 30 (23) I R = E R R 3 + jωl = 115( 3 + j1) 10( 3 + j1) = 11,5 0 0 (24) P = 3 R 3 I R 2 = 6872 W (25)
2 Muuntajat 11 2.1 Sovelluskohteita Muuntajien käyttösovelluksia esitellään kuvassa 11. 23 : 1 1000 : 1 100A 230 V 10 V 400 kv V 1 : 100 A 1A verkkomuuntaja jännitemuntaja virtamuuntaja 1 : 10 n : 1 + R 100 R impedanssimuuntaja + erotusmuntaja el symmetrointimuuntaja Kuva 11. Tyypillisiä muuntajien käyttökohteita: verkkomuuntaja, mittamuuntajat jännitteen ja virran mittaamiseen, impedanssimuuntaja (R n 2 ), suojaerotusmuuntaja ("sähkömies" ei saa kuvan piiristä sähköiskua, ellei koske molempiin johtimiin yhtä aikaa), symmetrointimuuntaja (vrt. instrumentointivahvistin). Verkkomuuntaja muuntaa verkkojännitteen sopivan suuruiseksi yleensä pienemmäksi. Jännitemuuntaja pienentää korkean mitattavan jännitteen mittarille sopivaksi ja mittaajalle turvallisemmaksi; mittarin sisäinen vastus kasvaa. Virtamuuntaja pienentää suuren mitattavan virran mittarille sopivaksi sekä pienentää mittarin sisäistä vastusta, mikä on tässä eduksi. Impedanssimuuntaja sovittaa lähde- tai kuormaresistanssin viereiseen piiriin tai muuttaa impedanssitasoa muuten (vrt. jännite- ja virtamuuntaja). Erotusmuuntaja estää "kuuman" verkkojohtimen ja maan välisen vaarallisen verkkojännitteen pääsyn toisiopiiriin (esim. lämpöpatteri, tiskipöytä tai kostea lattia ovat sähköisesti yhteydessä verkon maahan).
12 2.2 Käämien induktanssi ja keskinäisinduktanssi Kuuma johdin tarkoittaa tässä ja yleensäkin sitä, että kyseinen johdin ei ole maa- eli nollapotentiaalissa. Symmetrointimuuntaja muuttaa kuuman johtimen ja maan välillä olevan signaalin kahden kuuman johtimen välille. Symmetrointimuuntajia käytetään joskus häiriösuojaukseen esimerkiksi mikrofonin ja vahvistimen tuloliitännän välissä. Jännite-, virta- ja impedanssimuuntajilla ei ole rakenteessa periaatteellista eroa. Erot ovat lähinnä käyttötavoissa ja mitoituksessa. Todellisuudessa muuntajat ovat kaikkia kolmea tyyppiä yhtä aikaa. Käytännössä muuntajia pyritään yleensä välttämään, koska ne ovat kookkaita, raskaita ja kalliita. Valitettavasti muuntajat ovat pitkälti korvaamattomia. Yksi tapa kutistaa muuntajan kokoa mm. hakkuriteholähteissä on taajuuden kasvattaminen. "Muuntaja toimii vain vaihtovirralla". Näin väitetään, mutta paikkaansahan kyseinen väite ei tietenkään pidä! Nykyisin muuntajia käytetään yhä useammin katkotulla (pulssimaisella) tasavirralla. Ensiö- eli primäärikäämiksi nimitetään yleensä sitä käämiä, johon jännitelähde on kytketty. Kuormanpuoleista käämiä nimitetään toisio- eli sekundäärikäämiksi. Käämejä on joskus useampiakin. 2.2 Käämien induktanssi ja keskinäisinduktanssi Muuntajan toiminta perustuu Faradayn induktiolakiin. Jos kaksi kelaa tuodaan lähelle toisiaan niin, että toisen käämin aiheuttama magneettivuo menee myös toisen käämin läpi, syntyy käämien välille magneettinen kytkentä (kuva 12). Induktanssit L 1 ja L 2 sekä käämien välinen keskinäisinduktanssi M määritellään käämivuon ja virran suhteena. Käämivuo on magneettivuon ja kierrosmäärän tulo, jos kaikkien käämikierrosten läpi menee suunnilleen sama magneettivuo, kuten tavallista. L 1 = ψ 11 i 1 = N 1ϕ 11 i 1 M = ψ 12 i 2 = N 1ϕ 12 i 2 = M 12 (26) M 21 = M = ψ 21 i 1 = N 2ϕ 21 i 1 L 2 = ψ 22 i 2 = N 2ϕ 22 i 2 (27) missä N 1 ja N 2 ovat käämien johdinkierrosmäärät. Merkintä ϕ 11 tarkoittaa virran i 1 aiheuttamaa magneettivuota käämin 1 läpi ja ϕ 21 sitä osaa tästä vuosta, joka menee myös käämin 2 läpi. Vastaavasti ϕ 12 on käämin 2 läpi kulkevasta i 2 :n aiheuttamasta vuosta ϕ 22 se osa, joka menee käämin 1 läpi. Osittain kelasydämen ohi ilmassa kulkevaa vuota ϕ h sanotaan hajavuoksi.
2.3 Muuntajayhtälöt yleisessä tapauksessa 13 Muuntaja on resiprookkinen komponentti: keskinäisinduktanssi on yhtä suuri molempiin suuntiin (M 12 = M 21 = M). Fysiikan lakeihin perustuva keskinäisinduktanssi on usein tarkempi malli käytännön muuntajalle kuin muuntosuhde. Keskinäisinduktanssin ja muuntosuhteen välistä (ei täysin yksikäsitteistä) yhteyttä tarkastellaan alaluvussa 2.8. i1 0 i 2 ϕ 11 ϕ h ϕ21 0 ϕ12 ϕ h ϕ22 Kuva 12. Induktanssin ja keskinäisinduktanssin määritteleminen käämivuon (vrt. magneettivuo) ja virran suhteena. Vasemmalla virta tuodaan käämiin yksi ja oikealla käämiin kaksi. 2.3 Muuntajayhtälöt yleisessä tapauksessa Sähkövirran aiheuttama magneettivuo vaihtelee virran tahdissa. Muuttuva vuo taas indusoi toiseen käämiin jännitteen. Indusoituva jännite aiheuttaa Lenzin lain mukaan virran, joka pyrkii vastustamaan vuon muutosta. Yleisessä tapauksessa muuntajaa kuvaavat yhtälöt: u 1 = dψ 11 dt + dψ 12 dt u 2 = dψ 21 dt + dψ 22 dt (28) ja yleensä siis myös (ψ = Nϕ): dϕ u 1 = N 11 dϕ 1 dt + N 12 di 1 dt = L 1 1 dt + M di 2 dt dϕ u 2 = N 21 dϕ 2 dt + N 22 2 dt = M di 1 di dt + L 2 2 dt (29) Koska yhtälöt (29) perustuvat fysiikan peruslakeihin, ovat ne tarkempia kuin pelkkä muuntosuhde. Sinimuotoisessa tapauksessa muuntajayhtälöt ovat melko yksinkertaiset, koska derivointia ei tarvita (ks. seuraava alaluku). Koska yhtälöissä ei esiinny resistanssia, ei muuntajassa teoriassa kulu tehoa. Jos M = 0, supistuvat muuntajan yhtälöt kahden erillisen kelan jänniteyhtälöiksi. Pisteet kuvaavat käämimissuuntaa. Kun molemmat virrat
14 2.4 Kytkentäkerroin tulevat samanlaisista päistä (joko pisteellisistä tai pisteettömistä) käämeihin, aiheuttavat ne muuntajan sydämeen samaan suuntaan kiertävät magneettivuot (ϕ). Voiden sanotaan tällöin vahvistavan toisiaan. Ensimmäisen pisteen voi muuntajassa luonnollisesti sijoittaa kumpaan tahansa käämin päistä. Muiden käämien pisteiden paikat määräytyvät magneettivuon kiertosuunnan mukaan. Oikean käden peukalon osoittaessa virran suuntaan muut sormet osoittavat magneettivuon kiertosuuntaan. Peukalo voidaan myös asettaa vuon suuntaan ja muut sormet virran suuntaan; tämä sopii hyvin lieriökäämien tarkasteluun. Jos toisen käämin kiertosuunta sydämen ympärillä käännetään, täytyy yhtälöissä M korvata M:llä tai vaihtoehtoisesti muuttaa kyseisen käämin virran ja jännitteen suuntanuolet. Keskinäisinduktanssi voi siis olla negatiivinenkin reaaliluku. Vakiotasavirralla muuntaja ei toimi, koska sähkömagneettista induktiota ei tapahdu: derivaattatermit menevät nolliksi (29). Muuntajaa käytetään yleensä sinimuotoisella vaihtovirralla, mutta usein myös pulssimaisella kanttiaallolla (hakkuriteholähteet). 2.4 Kytkentäkerroin Keskinäisinduktanssi määrää, kuinka suuri magneettinen kytkentä vaikuttaa käämien välillä. Tätä kuvaava kytkentäkerroin k määritellään suhdelukuna: k = M (30) L1 L 2 Kytkentäkerroin kertoo, kuinka suuri osa toisen käämin vuosta menee toisen käämin läpi. Kytkentäkerroin on aina itseisarvoltaan pienempi kuin yksi, mikä määrää keskinäisinduktanssin suurimman mahdollisen arvon. Jos M 2 L 1 L 2, sanotaan muuntajan olevan tiukasti kytketty. Muutoin muuntaja on löyhästi kytketty. Löyhästi kytketyn muuntajan hajavuo on suuri; merkittävä osa vuosta kulkee toisen käämin ohi ja vain osa sen läpi. Huomaa, että kytkentäkerroin ei ole sama kuin muuntosuhde tähän asiaan palataan myöhemmin. 2.5 Muuntajan sydän ja häviöt Jotta hajavuo olisi pieni, käämitään muuntajan käämit yleensä päällekkäin rengasmaiselle tai suorakulmaisen kahdeksikon muotoiselle rautasydämelle. Viime mainitussa H-sydämessä käämit ovat keskipalkissa. Kuvassa 13
2.5 Muuntajan sydän ja häviöt 15 on suorakulmainen rengassydän yleensä rengassydän on pyöreä. Rautasydän johtaa hyvin magneettivuota, koska sen permeabiliteetti on suuri. Varsinaisessa rengassydänmuuntajassa käämit on lisäksi asetettu renkaan muotoon (toroidi) koko sydämen matkalle häiriökentän ja hajavuon pienentämiseksi. ϕ 11 ϕ ϕ 21 h i 1 i 2 u 1 i 1 M L 1 L 2 i2 u 2 Kuva 13. Muuntajan periaatekuva. Suurin osa toisen käämin magneettivuosta kulkee rautasydämessä myös toisen käämin läpi. Ohi menevää osaa ϕ h kutsutaan hajavuoksi. Muuntajan maksimitehoa rajoittaa käämilangan paksuus ja rautasydämen kyllästyminen. Nyrkkisäännön mukaan rautasydämen poikkipintaalan (cm 2 ) tulee olla vähintään näennäistehon (VA) neliöjuuri, jotta magneettivuo ei kyllästyisi. Käytännön muuntajissa käämiresistanssit aiheuttavat kuparihäviöitä ja pyörrevirrat ja hystereesi sydämessä rautahäviöitä. Näitä voidaan mallintaa käämien kanssa sarjassa olevilla pienillä ja käämien rinnalla olevilla suurilla vastuksilla. }{{} Fe }{{} paperi Kuva 14. Muuntajan rautasydämeen indusoituu rengasmaisia pyörrevirtoja, jotka kuluttavat tehoa lämmittämällä sydäntä. Pyörrevirtahäviöt ovat verrannollisia taajuuden toiseen potenssiin, kun taas hystereesihäviöt ovat suoraan verrannollisia taajuuteen (ks. esim. Voipio, Sähkö- ja megneettikentät). Häviöitä voidaan vähentää tekemällä sydän eristeestä, joka kuitenkin johtaa hyvin magneettivuota (ferriitti). Kuvan paperieristetty rautalevypakka vaimentaa myös pyörrevirtoja; magneettivuo menee kuvan rautasydämeen sisäänpäin ( ). Tyypillinen rautalevyn (Fe) paksuus on noin 0,3 mm, paperikerros on paljon ohuempi (k t > 0,95).
16 2.6 Muuntaja sinimuotoisessa tapauksessa Pyörrevirtahäviöiden vähentämiseksi rautasydämet kootaan yleensä levypakasta, jossa ohuiden päällekkäisten rautalevyjen välissä on eristeenä paperi (kuva 14). Se estää virran kulun sydämessä poikittaissuunnassa, jolloin pyörrevirrat rajoittuvat vain kunkin rautalevyn (Fe) paksuiselle alueelle. Rengassydänmuuntajan sydän voi koostua eristetyistä renkaan muotoon taivutetuista puikoista tai ferriitistä, joka on jo itsessään hyvä eriste. Rautapakan täytekerroin määritellään vastaavien poikkipinta-alojen mukaan: k t = A Fe A Fe + A paperi < 1 (31) Käämien kierrosmäärät voidaan mitoittaa seuraavalla likiarvokaavalla: N i = 45 Ui A (32) missä A on rautasydämen poikkipinta-ala (cm 2 ) ja U i kyseisen käämin jännite. 2.6 Muuntaja sinimuotoisessa tapauksessa Muuntajaa käytetään tyypillisesti sinimuotoisella virralla. Tällöin muuntajayhtälöt yksinkertaistuvat kompleksilukumuotoon. Nämä yhtälöt pätevät mm. kuvan 15 tapauksissa (erikoistapauksia ei kannata opetella ulkoa; ne voi päätellä perustapauksen nojalla muutenkin). Vasemmalla kaksi käämiä, oikealla kolme tai enemmän:
2.6 Muuntaja sinimuotoisessa tapauksessa 17 { U1 = jωl 1 I 1 + jωmi 2 U 2 = jωmi 1 + jωl 2 I 2 M i j = M ji U 1 = jωl 1 I 1 + jωm 12 I 2 + jωm 13 I 3 +... U 2 = jωm 21 I 1 + jωl 2 I 2 + jωm 23 I 3 +... U 3 = jωm 31 I 1 + jωm 32 I 2 + jωl 3 I 3 +... (33) U 1 L 1 L 2 U 2 I 1 M I 2 U 1 I 1 M L 1 L 2 I 2 U 2 U 1 I 1 I 2 M I 1 I 2 M U 1 L 1 L 2 U 2 L 1 L 2 U 2 Kuva 15. Muuntajayhtälöt pätevät perusmuodossaan etumerkkejä muuttamatta oheisilla virran ja jännitteen suuntavalinnoilla. Kiinnitä huomiota siihen, tulevatko virrat pisteellisestä vai pisteettömästä päästä käämeihin. Yllä jännite- ja virtanuoli osoittavat aina samaan suuntaan. Näillä oletuksilla kaikki muuntajayhtälöiden termit ovat plusmerkkisiä. Huomaa, että jännite ja virta ovat jokaisessa käämissä keskenään sopusoinnussa. Jännitenuolen kääntäminen muuttaa tietysti U:n merkkiä yhtälössä (kuva 16): { U1 = jωl 1 I 1 + jωmi 2 U 2 = jωmi 1 + jωl 2 I 2 (34) I 1 I 2 M U 1 L 1 L 2 U 2 Kuva 16. Jos jännite- ja virtanuoli osoittavat eri suuntiin, tulee yhtälöön ylimääräinen miinusmerkki. M:n eteen tulee yhtälöissä miinusmerkki mm. seuraavissa tapauksissa (kuva 17): { U1 = jωl 1 I 1 jωmi 2 U 2 = jωmi 1 + jωl 2 I 2 (35)
18 2.7 Muuntajan T-sijaiskytkentä I 2 I 1 M I 1 M U 1 L 1 L 2 U 2 U 1 L 1 L 2 U 2 Kuva 17. Pisteen paikan siirtäminen käämin toiseen päähän tai toisen virran ja jännitteen kääntäminen muuttavat M:n etumerkin. Kaikki suuntien yhdistelmät voidaan palauttaa perustapaukseen muuttamalla esimerkiksi virran etumerkkiä. Jos esimerkiksi I 1 tulee käämiin pisteettömästä päästä, tulee I 1 pisteellisestä päästä (kuva 18): I 2 I 1 I 2 M U 1 L 1 L 2 U 2 I 1 I 2 M U 1 L 1 L 2 U 2 tai I 1 I 2 M U 1 L 1 L 2 U 2 Kuva 18. Erikoistapauksen palauttaminen perustapaukseen vaihtamalla virran (ja tarvittaessa jännitteen) suuntaa tai M:n etumerkkiä. { U1 = jωl 1 ( I 1 ) + jωmi 2 U 2 = jωm( I 1 ) + jωl 2 I 2 tai { U1 = jωl 1 I 1 + jω( M)I 2 U 2 = jω( M)I 1 + jωl 2 I 2 (36) Useampikäämiset muuntajat voidaan käsitellä samojen sääntöjen pohjalta. Tällöin keskinäisinduktanssi on yleensä eri suuri eri käämiparien välillä. Jos esimerkiksi toisiokäämejä on kaksi, on myös näiden välillä keskinäisinduktanssia. Koska yhtälöt ovat luonnostaan Kirchhoffin jännitelakia vastaavat (jännitteiden summa), soveltuvat jännitelaki ja silmukkamenetelmä paremmin muuntajapiirien analysointiin kuin Kirchhoffin virtalaki tai solmumenetelmä. 2.7 Muuntajan T-sijaiskytkentä Muuntaja, jonka ensiö- ja toisiokäämi on kytketty toisesta päästään yhteen, voidaan korvata kolmen tavallisen kelan muodostamalla T- sijaiskytkennällä (kuva 19).
2.8 Ideaalimuuntaja ja muuntosuhde 19 M L 1 L 2? M L 1 L 2 L 1 M M L 2 M M L 1 L 2? M L 1 L 2 L 1 + M M L 2 + M Kuva 19. Muuntajan korvaaminen T-sijaiskytkennällä on mahdollista vain, jos käämien toiset päät on liitetty yhteen. Ne voidaan laskuja varten ajatella yhdistetyksi, jos yksikään virtapiiri ei sulkeudu tätä kautta. Ylemmässä tapauksessa molemmat pisteet voisivat myös olla käämien alareunassa, jälkimmäisessä ei ole merkitystä kumpi pisteistä on alhaalla, kun toinen piste on ylhäällä. Jos käämeistä on yhdistetty erimerkkiset päät, muuttuvat M:n etumerkit. Monissa käytännön piireissä voidaan käämien toiset päät yhdistää ainakin laskuissa, jolloin T-sijaiskytkentää päästään käyttämään. Ensiö- ja toisiopuolen välillä ei tällöin saa olla muita komponentteja, jottei käämien yhdistäminen sulkisi mitään virtapiiriä. Jos ensiö- ja toisiovirtapiirit ovat erilliset, ei ole toiminnallista eroa sillä, onko käämien toiset päät yhdistetty, vai ei. Verkkomuuntajissa syntyy kuitenkin vaaratilanne, jos käämien päät yhdistetään käytännössä, koska sähköverkon "kuuma" johdin saattaa kytkeytyä kyseisen yhdysjohtimen kautta toisiopuolelle (riippuen siitä, miten päin töpseli on seinässä); virtapiiri sulkeutuu tällöin sähköverkon maan kautta. 2.8 Ideaalimuuntaja ja muuntosuhde Monet käytännön muuntajat toimivat niin ideaalisesti, että pelkkään muuntosuhteeseen perustuva piirimalli antaa riittävän tarkkoja tuloksia. Ideaalimuuntajassa (kuva 20) jännitteiden muuntosuhde (n) oletetaan tunnetuksi. Muuntosuhde virroille on jännitteen muuntosuhteen käänteisluku. Käämin jännite on Faradayn induktiolain perusteella suoraan verrannollinen johdinkierrosmäärään N i : n = N 1 N 2 = U 1 U 2 = I 2 I 1 (37)
20 2.8 Ideaalimuuntaja ja muuntosuhde Huomaa, että muuntosuhdetta käytettäessä virran I 2 suunta on vastakkainen keskinäisinduktanssimalliin nähden. Kompleksiset tehot molemmilla puolilla ideaalimuuntajaa ovat yhtä suuret: U 1 I1 = U 2I2. Tämä ei päde kovin hyvin käytännön muuntajissa, eikä sen teoreettisesti ajatellen edes tarvitse päteä. I 1 I n 2 : 1 U 1 U 2 Kuva 20. Ideaalimuuntajan piirimalli. Muuntosuhde n on nimenomaan jännitteiden muuntosuhde. Muuntosuhdetta merkitään joskus myös isolla N:llä, µ:llä tai k:lla; viime mainittu k tai K on tässä tietysti eri asia kuin kytkentäkerroin. Käytännön muuntajassa jännitteiden suhde ja virtojen suhde eivät olekaan tarkasti toistensa käänteislukuja, vaan riippuvat kuormaimpedanssista Z L. Muuntajayhtälöiden (kuva 21) perusteella voidaan melko helposti johtaa (kotitehtävä!) todelliset muuntosuhteet: U 2 U 1 = M L 1 1 + jω L 1L 2 M 2 L 1 Z L }{{} 0 M L 1 L 2 M (38) I 1 I 2 = L 2 M + Z L jωm L 2 M M L 1 (39) + I 1 U 1 M L 1 L 2 I 2 U 2 Z L Kuva 21. Keskinäisinduktanssin ja muuntosuhteen välinen yhteys. Huomaa virran I 2 suunta tässä alaluvussa. Tiukasti kytketyssä muuntajassa Z L ei vaikuta jännitemuuntosuhteeseen, koska L 1 L 2 = M 2. Ideaalimuuntajan induktanssit ovat äärettömät ja häviöt nollia. Tällöin myöskään virtojen muuntosuhde ei riipu Z L :stä, koska ωm >> Z L.
2.9 Muuntajan sijaiskytkentä suurilla tehoilla 21 2.9 Muuntajan sijaiskytkentä suurilla tehoilla Erityisesti suurilla tehoilla käytetään sijaiskytkentää, joka koostuu ideaalimuuntajasta ja kahdesta impedanssista (kuva 22). Muuntajan epäideaalisuudet otetaan huomioon oikosulku- ja tyhjäkäynti-impedansseilla Z k ja Z 0. Ne sisältävät rauta- ja kuparihäviöiden, sekä magnetoimisinduktanssin vaikutukset. Tämän mallin etuna on yksinkertainen tehohäviöiden mallinnus sekä hieman helpompi matemaattinen käsittely (tikapuuverkko). Miksi muuntajilla on erilaisia sijaiskytkentöjä? Piirimallit ovat yksinkertaistuksia ja mm. siksi toinen malli voi olla tiettyyn käyttötarpeeseen toista tarkempi tai helppokäyttöisempi. Mikään malli ei ole täydellinen. Tyhjäkäynti-impedanssin merkitys tuntuu helposti esimerkiksi kytkemällä muuntaja verkkoon; se lämpenee hieman, vaikka mitään ei olisi kytkettynä toisiopuolelle. Oikosulkuimpedanssin käytännön merkitystä ei kannata kokeilla lainkaan! Kun tehot ovat suuret, on häviöiden merkitys huomattava. Z kz0 n : 1 Kuva 22. Erityisesti suuritehoisissa muuntajissa käytetty sijaiskytkentä, jossa ideaalimuuntajan lisäksi on oikosulkuimpedanssi Z k ja tyhjäkäynti-impedanssi Z 0. Z k = R k + jx k (40) Z 0 = R 0 + jx 0 (41) Impedanssit voidaan mitata käytännön muuntajasta kumpikin erikseen. Oikosulkukokeessa mitataan oikosulkuimpedanssi Z k. Tyhjäkäyntikoe antaa mittaustuloksena impedanssien summan, mutta koska Z k << Z 0, sanotaan Z 0 :aa tyhjäkäynti-impedanssiksi. Myös muuntosuhde n mitataan tyhjäkäyntikokeessa. 3 Vaihtovirtamoottorit Moottori toimii usein generaattorina, tosin ei aina; tästä syystä puhutaan usein yleisemmin tasa- tai vaihtovirtakoneista. Vaihtovirtamoottorit
22 3.1 Pyörimisnopeus n ovat rakenteellisesti yksinkertaisempia kuin tasavirtamoottorit. Tasavirtakoneissa tarvitaan pyörimisliikkeen takia kommutointi eli napaisuuden vaihto. Virta pyörivään roottoriin kytketään hiiliharjojen kautta. Koska harjat liukuvat kuparielektrodeja vasten, ne eivät kestä ikuisesti. Harjattomat DC-moottorit ovat todellisuudessa vaihtovirtamoottoreita, jotka on varustettu tasavirtaa käyttävällä ohjauselektroniikalla. Vaihtovirralla napaisuuden vaihto hoituu virran suunnanvaihdosten mukana. Vaihtovirtakoneen toiminta on usein verrattavissa muuntajaan. Staattori indusoi roottoriin virran, joka muodostaa magneettikentän; magneettikentän voimavaikutus saa moottorin akselin pyörimään. Sähkökentän avulla ei käytännössä ole mahdollista saada aikaan yhtä suuria voimia. Tahtikoneen roottori pyörii samalla nopeudella kuin magneettikenttä. Tätä nopeutta kutsutaan synkroniseksi nopeudeksi n s. Epätahtikoneessa roottori pyörii pienemmällä nopeudella kuin magneettikenttä, jolloin syntyy jättämä. Yleisin epätahtikone on oikosulkumoottori. Se on saanut nimensä häkkikäämityksestä: urissa on sauvat ja niiden päissä sauvoja yhdistävät oikosulkurenkaat. 3.1 Pyörimisnopeus n Kolmivaihemoottorissa on vähintään kuusi napaa. Tällöin napapariluku p = 1 ja napaluku 2p = 2. Napajako kertoo, miten navat sijoittuvat tasavälein ympyrän kaarelle τ = 180 /p. Tahtinopeus n s = f p on sama kuin magneettikentän pyörimisnopeus. Pyörimisnopeuden n säätö on aina mahdollista taajuusmuuttajalla. Myös napaparien määrän muuttaminen muuttaa pyörimisnopeutta. Epätahtimoottorissa roottorin pyörimisnopeus on pienempi kuin magneettikentän pyörimisnopeus siihenhän nimikin viittaa. Jättämä määritellään suhteena s = n s n n s = n n s (42) Jättämä ilmoitetaan usein prosentteina. Moottorin kuormitus vaikuttaa jättämään ja siten pyörimisnopeuteen. Tyhjäkäynnissä eli ilman mekaanista kuormaa s = 0 eli n n s. Mekaaninen kulmanopeus on verrannollinen jättämään (1 s)ω W = (ω = 2π f ) (43) p
3.1 Pyörimisnopeus n 23 Epätahtimoottorin käynnistysvirta on moninkertainen verrattuna jatkuvan tilan virtaan. Tähti kolmio -käynnistin pienentää kolmivaiheisen moottorin käynnistysvirtaa kertoimella 1 3 0,577, koska tähtikytkennän jännite on suhteessa 3 pienempi. Moottorin hyötysuhde η on akselitehon suhde sähkötehoon. Moottorin momentti on voima kertaa säde (eli kohtisuora etäisyys akselin keskikohdasta) kuten yleensäkin. Seuraavassa taulukossa on moottorin pyörimisnopeus eri napapariluvuilla ja kahdella eri jättämän s arvolla: 0 ja 0,15. [ ] p n s rpm = 1 60 s n = (1 s)n s, kun s = 0,15 1 3000 2550 2 1500 1275 3 1000 850 4 750 637,5 5 600 510 6 500 425