Markkinoilla kaupattavia sijoituskohteita (1/2)

Markkinoilla kaupattavia sijoituskohteita (1/2) Sovelletun matematiikan jatko-opintoseminaari Johdannaissopimushinnoittelun matemaattinen mallinnus ja laskennalliset menetelmät Johdanto TkT Juho Kanniainen Tampereen teknillinen yliopisto, Teollisuustalous Raha- ja osakemarkkinoilla kaupattavien arvopapereiden tuotot voivat olla varmoja tai epävarmoja. Varman tuoton tarjoavia arvopapereita kutsutaan riskittömiksi. Täysin riskittömiä kohteita ei ole, mutta kiinteätuottoiset arvopaperitovatlähes riskittömiä (käsitellään riskittömän kohteen määritelmä myöhemmin). Seuraavassa listassa esitetään tyypillisiä arvopapereita: Rahamarkkinainstrumentit: Treasure bills London Interbank Offered Rate (LIBOR) Eurodollars 1 2 Markkinoilla kaupattavia sijoituskohteita (2/2) Pääomamarkkinainstrumentit: Kiinteätuottoiset arvopaperit (fixed income securities) Valtion velkasitoumukset (treasure notes) Yritysten liikkelle laskemat joukkolainat (corporate bonds) Etuoikeusosakkeet (preferred stocks) Tavalliset osakkeet (common stocks) Johdannaisinstrumentit Optiot (options) Futuurit (futures) Termiinisopimukset (forward contracts) Warrantit (warrants) Epäsuorat investoinnit Sijoitusrahastot (mutual funds) Keskeisiä käsitteitä (1/2) Vertailtavuus: Sijoituksen hintaa arvioidaan muiden saatavilla olevien sijoitusten valossa. Arbitraasi: Markkinat oletetaan arbitraasivapaiksi. A -tyypin arbitraasi: Sijoittaja saa positiivisen rahamäärän ilman maksusitoumuksia nyt tai myöhemmin. Joku antaa rahaa. B -tyypin arbitraasi: Sijoittaja saa vastikkeetta (myöhempään ajanhetkeen liitettävän) satunnaisen tuoton, joka ei voi olla negatiivinen. Joku antaa arpalipun. Markkinoiden tasapaino: Tasapainotilassaarvopapereiden tarjonta ja kysyntä kohtaavat toisensa. Markkinoiden oletetaan olevan koko ajan tasapainotilassa (hakeutuvan tasapainotilaan äärettömän nopeasti). 3 4

Keskeisiä käsitteitä (2/2) Riski: Määritellään yleeensä tuoton varianssin avulla. Riskin kaihtaminen: Sijoittajat oletetaan riskiä kaihtaviksi.tällainen sijoittaja preferoi odotusarvoltaan samansuuruisista palkkioista sen, johon liittyvä riski on pienempi. Dynamiikka: Markkinoilla kaupattavat sijoituskohteet ovat lähes jatkuvan kaupankäynnin alaisena, ja niiden niiden hintaprosessit voidaan olettaa jatkuva-aikaisiksi. Rahoituksen keskeiset ongelmat Hinnoittelu: Minkä hintainen sijoituskohteen tulisi olla, jotta arbitraasiehto täyttyisi? Investointiteoria tarkastelee markkinoiden tasapainohintoja. Suojaus: Suojauksella päätöksentekijä voi rajoittaa sijoituksiin tai liiketoimintaan liittyviäriskejä. Esimerkiksi myyntioptioilla voidaan suojautua osakkeen kurssilaskua vastaan. Suojausta käsitellään kurssin loppupuolella johdannaisteorian yhteydessä. Sijoittaminen: Kuinka resurssit tulisi allokoida sijoituskohteiden kesken? Mikä olisi optimaalinen sijoitusportfolio? Näitä kysymyksiä tarkastellaan kurssin keskivaiheilla Markowitzin portfolioteorian avulla. 5 6 Korko Yksinkertainen korko lisätään pääomaan kunkin periodin päättyessä alkuperäisen pääoman perusteella. Jos alkuperäinen pääoma (eng. principal) on A ja yksinkertainen vuotuinen korko r, niin sijoituksen arvo n:n vuoden päästä on V =(1+rn)A. Tämä koronmaksutapa on kuitenkin harvinainen, eikä sitä esiinny rahoitusmaailmassa. Miksi? Korkoa korolle periaatteen mukaan sijoituksen arvo vuoden n päästä on V =(1+r) n A, mikäli korko lisätään sen maksun yhteydessäpääomaan. Koronmaksuperiodi Peukalosääntö (the seven-ten rule): 7 %:n vuotuisella korolla pääoma kaksinkertaistaa arvonsa kymmenessä vuodessa ja 10%:n vuotuisella korolla pääoma kaksinkertaistaa arvonsa 7 vuodessa. (Laske tarkat arvot) Korko voidaan maksaa kuinka tiheästi tahansa. Oletetaan, että sijoitus on yhden euron, korko maksetaan m kertaa vuodessa ja r on vuotuinen korko. Tällöin (1/m) vuoden välein maksetaan r/m euroa korkoa. Sijoituksen arvo vuoden kuluttua on Korkoa (1 + (r/m)) m > 1+r. r =(1+(r/m)) m 1 nimitetään efektiiviseksi ja korkoa r nominaaliseksi. Ts., efektiivinen korko vastaa sellaista korkoa, joka olisi maksettu vain vuoden päättyessä. 7 8

Jatkuvasti maksettava korko Mitä jos korkoa maksetaan jatkuvasti? Otetaan avuksi exponenttifunktion määritelmä: lim (1 + n (x/n))n = e x, jonka avulla havaitaan, että lim (1 + m (r/m))m = e r, missä m on periodien lukumäärä vuodessa ja r nominaalinen korko. Siten yhden euron sijoituksen arvo t vuoden kuluttua on exp(r) t = e rt euroa. Jatkuvasti maksettavalle korolle on lukuisia nimityksiä Instantaneous interest rate Continuously compounded interest Continuous interest rate Nykyarvo (1/3) Käsitellään seuraavia tapauksia: 1. Saat 110 EUR vuoden päästä. 2. Saat 100 EUR nyt ja sijoitat ne 10 %:n efektiivisellä korolla. Vuoden kuluttua molemmissa tapauksissa sinulla on 110 EUR rahaa. Voidaan myös sanoa, että vuoden päästä saatavan 110 EUR nykyarvo on 100 EUR. Esimerkki konkretisoi sen, että huomenna saatava euro ei vastaa tänään saatavaa euroa, sillä rahalla on aika-arvo! Ajan t kuluttua olevan kassavirran diskonttokerroin on 1 d t = (1 + (r/m)), t jossa korko r lisätään pääomaan ajanhetken1/m välein. Mikäli korko r lisätään pääoman jatkuvasti, diskonttokerroin on d t =exp( rt). 9 10 Nykyarvo (2/3) Ideaalipankkioletus: Ideaalipankki soveltaa samaa korkoa anto- ja ottolainauksessa ilman transaktiokustannuksia, ja lainan määrä voi olla mikä tahansa. Oletetaan, että tulemme saamaan varman rahamäärän x ti hetkellä t i, i =0..n, jaettäsijoitamme saamamme rahan välittömästi ideaalipankkiin hetkellisellä riskittömällä korolla r. Tällöin kassavirran {x t0,x t1,x t2,...,x tn } tuleva arvo (future value) hetkelle t n on Nykyarvo (3/3) Oletetaan nyt tulevat rahamäärät satunnaisiksi. Oletetaan, että riskiä kaihtavat sijoittajat vaativat sijoitukselleen korkoa µ>r,missä r>0 on riskitön korko, jolloin tasapainotilassa kaikille t<τ X t = E t [X τ ] e µ(τ t). Satunnaisen kassavirran {x t0,x t1,x t2,...,x tn } hetken t 0 nykyarvo on siten x t0 +E t0 [x t1 ] e µ(t1 t0) + +E t0 [x tn ] e µ(tn t0) X tn = x t0 e r(tn t0) + x t1 e r(tn t1) + + x tn. Mikä on ajanhetkellä t n saatavan rahamäärän X tn nykyarvo kun nykyhetki on t 0?Tällöin diskonttokerroin on exp( r(t n t 0 )), joten kassavirran {x t0,x t1,x t2,...,x tn } hetken t 0 nykyarvo X tn e r(tn t0) = x t0 +x t1 e r(t1 t0) + +x tn e r(tn t0) 11 12

Johdannaiset Johdannaishinnoitteluteoria on hyvin geneerinen. Hinnoittelumalleja on sovellettu esim. seuraaviin kohteisiin Osakejohdannaiset Johdannaiset kiinteätuottoisiin velkakirjoihin Valuuttajohdannaiset Korkojohdannaiset Johdon optiot Reaalioptiot (lykkäysoptio, luopumisoptio, strategiset optiot, seisautusoptio) Tuotekehitysprojektit Patentit Oman pääoman arvottaminen Venture Capital Voit tutustua johdannaishinnoittelun kenttää osoitteesta http://lfe.mit.edu/dsp/tree.html Johdannaiset Johdannaisen määritelmä: Johdannainen sellainen kohde, jonka arvo on riippuu yhden tai useamman muun kohteen hinnasta. Riippuvuussuhteen määrittelee johdannaissopimus. Käsittelemme pääasiassa sellaisia johdannaisia, jotka ovat julkisesti kaupan. Lähdemme siitä, että johdannaisen perustana on osake. Laajasti ajateltuna johdannaisen perustana voi olla melkein mitä vain, kuten toinen johdannainen, korko tai vaikkapa ulkolämpötila. Kun kohde-etuutena on osake, niin tyypillisiä johdannaisia ovat Optiot Warrantit Futuurit Termiinit Swapit Keskitymme pääasiassa optioihin. 13 14 Johdannaisten terminologiaa Kohde-etuus (underlying asset) on johdannaisen perustana oleva kohde. Kohde-etuuden hinta hetkellä t on S(t). Lunastushinta (exercice price, strike price) on se hinta, jolla option haltija on oikeutettu ostamaan tai myymään kohde-etuuden. Lunastushinta on K. Maturiteettihetki (Maturity date) on hetki, jolloin tai johon mennessä option voi lunastaa. Maturiteettihetki on T. Tasaoptio (at-the-money option): S(t) =K Plusoptio (in-the-money option): S(t) >K Miinusoptio (out-the-money option): S(t) < K Optiotyypit Osto-optio (call) antaa oikeuden ostaa kohdeetuuden täsmennettävin ehdoin. Myyntioptio (put) antaa oikeuden myydä kohdeetuuden. Eurooppalainen optio voidaan lunastaa (eli ostaa tai myydä kohde-etuus) ainoastaan sen maturiteettipäivänä. Eurooppalaisen osto-option hinta hetkellä t on c(t) ja myyntioption hinta p(t). Tyypillisen eurooppalaisen osto-option hinta maturiteettihetkellä onc(t )=max(s(t ) K, 0). Tyypillisen eurooppalaisen myynti-option hinta maturiteettihetkelläonp(t )=max(k S(T ), 0). Amerikkalainen optio voidaan lunastaa milloin tahansa ennen maturiteettipävää. Jos sijoittajalla ostaa option, hänellä onpitkä optio (long call tai long put), ja jos sijoittaja asettaa option, hänellä on lyhyt optio (short call tai short put). Preemio on optiosta maksettava hinta. 15 16

Optioiden tuotot Optioiden tuotot Option tuotto on optiosta saatavan maksun (payoff) ja option maksettavan nykyhinnan, eli preemion, välinen erotus. 17 18 Taululla... Hinnoittelun perusteet Käydään läpi optioiden perusominaisuuksia. Kohde-etuuden hinta hetkellä t on S(t), Eurooppalaisen osto-option hinta c(t), Eurooppalaisen myyntioption hinta p(t), lunastushinta on K, maturiteettihetki T ja riskitön välitön korko r. Oletamme, että optiot ovat tyypillisiä, s.e. osto-option maksufunktio on max[s(t) K, 0] ja myyntioption maksufunktio max[k S(t), 0]. Oletamme lisäksi, että perustana oleva osake ei maksa osinkoja hetkeen T mennessä. Esitämme vain ilmeisimmät väitteet, ja niiden todistukset perustuvat arbitraasiehtoon oletamme, että markkinoilla ei ole arbitraasimahdollisuuksia. Kattavampi analyysi löytyy esim. seuraavista lähteistä: Merton, R. C., 1973, Theory of Rational Option Pricing, Bell Journal of Economics and Management Science, 4, 141-183; Cox, J. C. & Rubinstein M., 1985, Options Markets. 19 20

Hintojen alarajat Hintojen ylärajat Lause 1: a) c(t) max[s(t) Ke r(t t), 0]. b) p(t) max[ke r(t t) S(t), 0]. Todistus: Lause 2: a) S(t) c(t). b) K p(t). Todistus: 21 22 Lause 3: Lunastushinnan vaikutus a) Olkoon c 1 (t) option hinta lunastushinnalla K 1 ja c 2 (t) lunastushinnalla K 2, K 2 >K 1. Molemmat optiot perustuvat samaan kohteeseen. Tällöin c 1 (t) c 2 (t). b) Olkoon p 1 (t) option hinta lunastushinnalla K 1 ja p 2 (t) lunastushinnalla K 2, K 2 >K 1. Molemmat optiot perustuvat samaan kohteeseen. Tällöin p 2 (t) p 1 (t). Todistus: Oletetaan, että samalle osakkeelle c 2 > c 1. Osta c 1 ja aseta c 2, jolloin saat positiivisen määrän rahaa. Lunastushetkellä τ joko S(τ) K, K 1 < S(τ) < K 2 tai K 2 S(τ). Selvästi kaikissa tapauksissa saatava rahamäärä oneinegatiivinen. Lause 4: Lunastushinnan vaikutus a) Olkoon c 1 eurooppalaisen osto-option hinta lunastushinnalla K 1 ja c 2 osto-option hinta lunastushinnalla K 2, K 2 > K 1. Molemmat optiot perustuvat samaan kohteeseen. Tällöin K 2 K 1 c 2 c 1. b) Olkoon p 1 eurooppalaisen myynti-option hinta lunastushinnalla K 1 ja p 2 myyntioption hinta lunastushinnalla K 2, K 2 >K 1.Molemmat optiot perustuvat samaan kohteeseen. Tällöin K 2 K 1 p 2 p 1. Todistus: 23 24

Maturiteettihetken vaikutus Lause 5: a) Olkoon c 1 (t) option hinta maturiteettihetkellä t 1 ja c 2 maturiteettihetkellä t 2, t 2 >t 1. Tällöin c 2 c 1. b) Olkoon p 1 (t) option hinta maturiteettihetkellä t 1 ja p 2 maturiteettihetkellä t 2, t 2 >t 1. Tällöin p 2 p 1. Todistus: Oletetaan, että c 1 (t) >c 2 (t). Osta c 2 ja aseta c 1, jolloin saat positiivisen rahamäärän heti. Hetkellä t 1 positiosi arvo on c 2 (t 1 ) max[s(t 1 ) K, 0]. Lauseen 1 nojalla se on positiivinen, joten myydessäsi option c 2 ja maksaessasi max[s(t 1 ) K, 0] saat positiivisen määrän rahaa myös hetkellä t 1. Amerikkalainen osto-optio Lause 6: Oletetaan, että kohde-etuus ei maksa osinkoja hetkeen T mennessä. Tällöin Amerikkalaista osto-optiota ei ole optimaalista lunastaa kuin vasta hetkellä T. Todistus: Olkoon C(t) amerikkalaisen osto-option hinta. Koska eurooppalainen osto-optio voidaan nähdä amerikkalaisen osto-option erikoistapauksena, niin C(t) c(t). Lauseen 1 nojalla C(t) > S(t) K kaikille t<t.tästä seuraa, että amerikkalaista osto-optiota ei kannata lunastaa ennen maturiteettihetkeä t. Tämän vuoksi C(t) = c(t) kaikille t T. Amerikkalainen osto-optio saattaisi kannattaa lunastaa ennen maturiteettihetkeä mikäli perustana oleva osake maksaisi osinkoja ennen hetkeä T.Tällöin mahdollisesti C(t) >c(t) jollekin t<t. 25 26 Put-Call Parity Lause 7: (put-call parity) c(t) +Ke r(t t) = p(t)+s(t). Todistus: Muodostat portfolion A yhdestäostooptiosta c(t)jariskittömästä sijoituksesta Ke r(t t). Tämän portfolion arvo hetkellä T on max[s(t ),K]. Muodostat lisäksi portfolion B yhdestä myyntioptiosta p(t) ja kohde-etuudesta S(t). Tämänkin portfolion arvo hetkellä T on max[s(t ),K]. Siten c(t)+ke r(t t) = p + S(t). 27