ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietoverkkolaboratorio

ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietoverkkolaboratorio 9. Simuloiti lueto09.ppt S-38.45 - Liikeeteoria perusteet - Kevät 2002

Sisältö Johdato Liikeeprosessi reaalisaatioide tuottamie Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Tietoje keruu Tilastollie aalyysi 2

Mitä simuloiti o? Simuloiti o (liikeeteoria kaalta) eräs tilastollie meetelmä tarkasteltava järjestelmä suorituskyvy arvioimiseksi Se sisältää eljä eri vaihetta: Järjestelmä (olemassa oleva tai kuvitteellise) mallius dyaamisea (ajassa kehittyvää) stokastisea prosessia Prosessi reaalisaatioide tuottamie ( todellisuude havaioiti ) tällaista reaalisaatiota kutsutaa usei simuloitiajoksi (simulatio ru) Tietoje keruu ( mittaus ) Kerättyje tietoje tilastollie aalyysi ja johtopäätöste teko 3

Vaihtoehto, mutta mille? Aiemmi olemme jo tutustueet toisee suorituskyvy arvioitimeetelmää, imittäi matemaattisee aalyysíi Sesisältäävaikaksivaihetta Järjestelmä mallius ajassa kehittyvää stokastisea prosessia (tässä kurssissa rajoituimme sytymä-kuolema-prosesseihi) Malli aalyyttie ratkaisu Järjestelmä malliusvaihe o kummalleki yhteie tosi malli tarkkuudella voi olla suuriaki eroja: toisi kui simuloiti, matemaattie aalyysi edellyttää yleesä hyviki rajoittavie oletuste tekoa 4

Liikeeteoreettise järjestelmä suorituskyvy arvioiti Todellie järjestelmä mallius Matemaattie malli (stokastisea prosessia) Suorituskyvy arvioiti malli validioiti Matemaattie aalyysi Simuloiti 5

Aalyysi vs. simuloiti () Matemaattise aalyysi edut: Tuloste tuottamie opeaa Tulokset tarkkoja Ataa äkemystä Optimoiti usei mahdollista (vaikkaki saattaa olla vaikeaa) Matemaattise aalyysi haitat: Asettaa rajoittavia ehtoja malliuksee malli yleesä liia yksikertaie moimutkaiste järjestelmie suorituskyvy arvioiti lähes mahdotota Rajoittavie ehtojeki vallitessa aalyysi itsessää yleesä vaikeaa 6

Aalyysi vs. simuloiti (2) Simuloii edut: Ei rajoittavia ehtoja malliusvaiheessa mahdollistaa moimutkaisteki järjestelmie suorituskyvy arvioii Mallius yleesä hyvi suoraviivaista Simuloii haitat: Tuloste tuottamie yleesä työlästä (simuloitiajot vaativat paljo prosessoriaikaa) Tulokset epätarkkoja (tosi tarketuvia: mitä eemmä ajoja, sitä tarkemmat tulokset) Kokoaisäkemykse saamie vaikeampaa Optimoiti mahdollista vai hyvi rajoitetusti (esim. muutama erilaise parametrikombiaatio tai ohjausperiaattee vertailu) 7

Stokastise prosessi simuloii vaiheet Järjestelmä mallius ajassa kehittyvää stokastisea prosessia tästä o jo puhuttu kurssi aiemmilla lueoilla jatkossa otamme lähtökohdaksi aetu malli (so. stokastise prosessi) lisäksi rajoitamme tarkastelu tällä lueolla yksikertaisii liikeeteoreettisii malleihi (vrt. aiemmat lueot) Prosessi reaalisaatioide tuottamie satuaislukuje geeroiti tapahtumaohjattu simuloiti usei simuloiilla tarkoitetaa pelkästää tätä vaihetta (liikeeteoria kaalta se o kuiteki simuloitia suppeammassa mielessä) Tietoje keruu trasietti vaihe vs. tasapaiotila Tilastollie aalyysi ja johtopäätökset piste-estimaattorit luottamusvälit 8

Simuloii toteutus Simuloitiohjelma sisältää yleesä kaikki edellä maiitut vaiheet malliusta ja johtopäätöksiä lukuuottamatta, ts. järjestelmä malliksi valitu stokastise prosessi reaalisaatioide tuottamise, tietoje keruu sekä kerättyje tietoje tilastollise aalyysi Simuloitiohjelma voidaa toteuttaa kokoaisuudessaa jollaki yleiskäyttöisellä ohjelmoitikielellä esim. C tai C++ joustavaa mutta työlästä ja riskialtista mahdollisille ohjelmoitivirheille käyttäe hyväksi joitaki simuloitii erikoistueita ohjelmakirjastoja esim. CNCL erityisesti simuloiteja varte kehitetyillä simuloitiohjelmistoilla esim. OPNET, BONeS, NS opeaa ja luotettavaa (s/w: laadusta riippue tietysti) mutta jäykkää 9

Muita simuloititapoja Edellä kuvattu: mite simuloidaa tarkasteltavaa järjestelmää kuvaava matemaattise malli (diskreettitilaise stokastise prosessi) kehitystä ajassa tavoittea saada jotai tietoa ko. systeemi käyttäytymisestä kyseessä diskreetti, dyaamie ja stokastie simuloiti jatkossa rajoitumme tällaisee simuloitii Muita simuloititapoja: jatkuvassa simuloiissa tila-avaruus o jatkuva (tilamuuttujie riippuvuudet aetaa yleesä diffretiaaliyhtälösysteemiä), esim. letokoee letorada simuloiti staattisessa simuloiissa (josta käytetää myös imeä Mote-Carlotyyppie simuloiti) aja kulumisella ei ole merkitystä (ei ole olemassa prosessia, jota luoehtisi erilaiset tapahtumat), esim. moiulotteiste itegraalie umeerie itegroiti s. Mote-Carlo-meetelmällä determiistie simuloiti ei taas sisällä ollekaa satuaisia kompoetteja 0

Sisältö Johdato Liikeeprosessi reaalisaatioide tuottamie Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Tietoje keruu Tilastollie aalyysi

Liikeeprosessi reaalisaatioide tuottamie Oletetaa, että olemme mallitaeet tarkasteltava järjestelmä stokastisea prosessia Seuraavaa tehtävää o prosessi reaalisaatioide tuottamie Se koostuu kahdesta osasta: kaikille prosessi kulkuu vaikuttaville satuaismuuttujille o arvottava arvot (yleesä reaaliluku) satuaisesti ko. sm: jakaumasta (sm:ie väliset riippuvuudet tietysti huomioide) äi saaduilla arvoilla kostruoidaa prosessi reaalisaatio ts. se kehittymie ajassa Nämä kaksi osaa eivät suikaa tapahdu peräkkäi eri vaiheissa, vaa imeomaa limittäi Satuaismuuttujie arvoje arvota perustuu s. (pseudo)satuaislukuje geeroitii (radom umber geeratio) Prosessi reaalisaatio kostruoiti tehdää yleesä tapahtumapohjaisesti (discrete evet simulatio) 2

Tapahtumapohjaie simuloiti () Idea: simuloiti eteee tapahtumasta tapahtumaa jos jollaki aikavälillä ei tapahdu mitää, voimme hypätä ko. aikaväli yli Tapahtuma vastaa (yleesä) aia systeemi tila muuttumista esim. yksikertaisessa liikeeteoreettisessa mallissa mahdollisia tapahtumia ovat aiaki asiakkaide saapumiset ja poistumiset systeemistä prosessi reaalisaatio geeroii lopetus o kuiteki oma tapahtumasa samoi tietoje keruu voi aiheuttaa joitaki ylimääräisiä tapahtumia Tapahtuma karakterisoidaa kahdella parametrilla tapahtumahetki (so. milloi tapahtuma käsitellää) ja tapahtuma tyyppi (so. mite tapahtuma käsitellää) 3

Tapahtumapohjaie simuloiti (2) Tapahtumat orgaisoidaa yleesä tapahtumahetke mukaa järjestetyksi tapahtumalistaksi (evet list), joka kärjessä o seuraavaksi sattuva tapahtuma (siis aikaisi tapahtumahetki) Listaa käydää läpi tapahtuma tapahtumalta (geeroide samalla uusia tapahtumia lista loppupäähä). Ku tapahtuma o käsitelty, se poistetaa listalta. Simuloitikello (simulatio clock) kertoo, mikä o käsiteltävää oleva tapahtuma hetki se siis eteee hyppäyksittäi Systeemi tila (system state) kertoo systeemi ykyise tila 4

Tapahtumapohjaie simuloiti (3) Algoritmi yhde simuloitiajo suorittamiseksi tapahtumapohjaisesti: Iitialisoiti aseta simuloitikello ollaksi aseta systeemi tila valittuu alkuarvoosa geeroi kuki tapahtumatyypi seuraava tapahtuma (mikäli mahdollista) ja liitä äi saadut tapahtumat tapahtumalistaa 2 Tapahtuma käsittely aseta simuloitiajaksi (tapahtumalista kärjessä oleva) seuraava tapahtuma tapahtumahetki käsittele tapahtuma (mahdollisesti geeroide samalla uusia tapahtumia ja liittäe e tapahtumalistaa tapahtumahetkesä mukaisee järjestyksee) sekä päivitä systeemi tila poista käsitelty tapahtuma tapahtumalistalta 3 Lopetusehdo testaus jos lopetusehto o voimassa, lopeta prosessi reaalisaatio geeroiti; muutoi palaa kohtaa 2 5

Esimerkki () Tehtävä: Simuloidaa M/M/-joo joopituude kehitystä ajassa hetkestä 0 hetkee T olettae, että systeemi o tyhjä hetkellä 0 Systeemi tila (hetkellä t) = joopituus X t alkuarvo: X 0 = 0 Perustapahtumat: asiakkaa saapumie systeemii asiakkaa poistumie systeemistä Muut tapahtumat: simuloii lopetus hetkellä T Huom. Tietoje keruuta ei ole sisällytetty tähä esimerkkii 6

Esimerkki (2) Iitialisoiti: asetetaa X 0 = 0 arvotaa esimmäise asiakkaa saapumishetki Exp(λ)-jakaumasta Tapahtuma käsittely uude asiakkaa saapuessa (hetkellä t) systeemi tilaa eli joopituutta kasvatetaa yhdellä: X t = X t + jos systeemi oli tyhjä asiakkaa saapuessa, geeroidaa ko. asiakkaa poistumishetki t + S, missä S o arvottu Exp(µ)-jakaumasta geeroidaa seuraava asiakkaa saapumishetki t + I, missä I o arvottu Exp(λ)-jakaumasta Tapahtuma käsittely asiakkaa poistuessa (hetkellä t) systeemi tilaa eli joopituutta väheetää yhdellä: X t = X t jos systeemii jäi asiakkaita, geeroidaa seuraavaksi palveltava asiakkaa poistumishetki t + S, missä S o arvottu Exp(µ)-jakaumasta Lopetusehto: t > T 7

Esimerkki (3) tapahtumie geeroiti 4 3 2 0 asiakkaide saapumis- ja poistumishetket joopituus aika aika 0 T 8

Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Pohjaa s. (pseudo)satuaislukuje geeroiti tavoitteea o tuottaa riippumattomia U(0,)-jakautueita satuaismuuttujia (siis väli (0,) tasajakaumaa oudattavia) Haluttuu jakaumaa päästää U(0,)-jakaumasta esimerkiksi jollaki seuraavista meetelmistä: uudelleeskaalaaus ( U(a,b)) diskretoiti ( Beroulli(p), Bi(,p), Poisso(a), Geom(p)) kertymäfuktio kääös ( Exp(λ)) muut muuokset ( N(0,) N(µ,σ 2 )) hyväksymis-hylkäys-meetelmä (ku kyseessä rajoitetulla välillä määritelty jatkuva jakaumaa, jolla rajoitettu tiheysfuktio) tarvitaa kaksi riippumatota U(0,)-jakaumaa oudattavaa sm:aa 20

Satuaislukuje geeroiti Satuaislukugeeraattorilla (radom umber geerator) tarkoitetaa algoritmia, joka tuottaa sarja (äeäisesti) satuaisia kokoaislukuja Z i jollaki välillä 0,,,m tuotettu sarja o aia jaksollie (tavoitteea mahdollisimma pitkä jakso) geeroidut luvut eivät tiukasti ottae ole ollekaa satuaisia vaa täysi determiistisiä (tästä imitys pseudosatuaie) jos satuaislukugeeraattori o huolellisesti suuiteltu ja toteutettu, ii se tuottamat pseudosatuaiset luvut kuiteki äyttävät ikää kui riippumattomilta ja samoi jakautueilta (IID) oudattae tasaista jakaumaa joukossa {0,,,m } Satuaislukugeeraattori geeroimie satuaislukuje satuaisuus o testattava tilastollisi testei saadu empiirise jakauma tasaisuus joukossa {0,,,m } geeroituje satuaislukuje välie riippumattomuus (käytäössä korreloimattomuus) 2

Satuaislukugeeraattoreita Yksikertaisimpia ovat s. lieaariset kogruetiaaliset geeraattorit (liear cogruetial geerator). Näistä erikoistapauksea saadaa s. multiplikatiiviset kogruetiaaliset geeraattorit (multiplicative cogruetial geerator). Kummassaki tapauksessa uusi satuaisluku määräytyy algoritmisesti välittömästi edellisestä, ts. Z i+ = f(z i ) jakso korkeitaa m Muita meetelmiä: additive cogruetial geerators, shufflig,... 22

Liear cogruetial geerator (LCG) Lieaarie kogruetiaalie satuaislukugeeraattori tuottaa satuaisia kokoaislukuja Z i joukosta {0,,,m } kaavalla: Z i+ = ( azi + c) mod m parametrit a, c ja m ovat ei-egatiivisia kokoaislukuja (a < m, c < m) lisäksi tarvitaa s. siemeluku (seed) Z 0 < m Huom. Parametrit o valittava huolella; muutoi tuloksea kaikkea muuta kui satuaisia lukuja. Tietyi edellytyksi jaksoksi saadaa maksimiarvo m esim. ku m muotoa 2 b, c parito ja a muotoa 4k + 23

Multiplicative cogruetial geerator (MCG) Multiplikatiivie kogruetiaalie satuaislukugeeraattori tuottaa satuaisia kokoaislukuja Z i joukosta {0,,,m } kaavalla: Zi+ = ( az i ) mod m parametrit a ja m ovat ei-egatiivisia kokoaislukuja (a < m) lisäksi tarvitaa siemeluku Z 0 < m Huom. Kyseessä o siis LCG: erikoistapaus valialla c =0. Parametrit o tässäki tapauksessa valittava huolella Mikää parametrikombiaatio ei tuota (maksimaalista) jaksoa m esim. josm muotoa 2 b, ii jakso o korkeitaa 2 b 2 Kuiteki, jos m o alkuluku, jakso m o mahdollie PMMLCG = prime modulus multiplicative LCG esim.m = 2 3 ja a = 6,807 (tai a = 630,360,06) 24

U(0,)-jakautuee sm: geeroiti Olkoo Z joki satuaislukugeeraattori tuottama (pseudo)satuaie kokoaisluku välillä {0,,,m } Tällöi (approksimatiivisesti) U = m Z U(0,) 25

Tasajakaumaa oudattava sm: geeroiti Olkoo U U(0,) Tällöi X = a + ( b a) U U( a, b) Tätä saotaa uudelleeskaalausmeetelmäksi (rescalig method) 26

Diskreeti sm: geeroiti Olkoo U U(0,) Oletetaa lisäksi, että Y o diskreetti sm arvojoukolla S = {0,,,} tai S = {0,,2, } Merkitää F(x) = P{Y x}. Tällöi Tätä saotaa diskretoitimeetelmäksi (discretizatio method) Itse asiassa kyseessä o s. kertymäfuktio kääös -meetelmä eräs muoto Esim. Beroulli(p)-jakauma: X X = mi{ x S F( x) U} Y 0, =, josu josu > p p Beroulli( p) 27

Kertymäfuktio kääös -meetelmä Olkoo U U(0,) Oletetaa, että Y o sellaie jatkuva sm, jolle kertymäfuktio F(x) = P{Y x} o aidosti kasvava Merkitää F (y):llä kertymäfuktio F(x) kääteisfuktiota. Tällöi X = F ( U ) Y Tätä saotaa kertymäfuktio kääös -meetelmäksi (iverse trasform method) Tod. Koska P{U u} = u kaikilla u (0,), pätee P { X x} = P{ F ( U ) x} = P{ U F( x)} = F( x) 28

Ekspoettijakaumaa oudattava sm: geeroiti Olkoo U U(0,) seuraus: U U(0,) Olkoo Y Exp(λ) kff(x) = P{Y x} = e λx o selvästiki aidosti kasvava kf: kääteisfuktio o F (y) = (/λ) log( y) Näi olle ( kertymäfuktio kääös -meetelmä mukaa) X ( λ = F U ) = log( U ) Exp( λ) 29

Normeerattua ormaalijakaumaa oudattava sm: geeroiti Olkoot U ja U 2 riippumattomia ja samoi jakautueita oudattae U(0,)-jakaumaa Tällöi, s. Box-Müller-meetelmä mukaa, alla aetut sm:t X ja X 2 ovat myöski riippumattomia ja samoi jakautueita oudattae N(0,)-jakaumaa: X = 2log( U) si(2πu 2) X 2 = 2log( U) cos(2πu 2) N(0,) N(0,) 30

Normaalijakaumaa oudattava sm: geeroiti Olkoo X N(0,) Uudelleeskaalausmeetelmällä saamme Y = µ + σx N( µ, σ 2 ) 3

Tilastotietoje keruu Johdaossa otettii lähtökohdaksi, että simuloii tavoitteea o tarkasteltava järjestelmä suorituskyvy arvioiti. Simuloimalla siis pyritää arvioimaa joki suorituskykyy liittyvä parametri arvo α. Tämä parametri voi liittyä joko järjestelmä trasiettii käyttäytymisee tai sitte s. tasapaiotilaa (steady state) Esim. k: esimmäise asiakkaa keskimääräie odotusaika M/M/-joossa olettae, että systeemi o aluksi tyhjä keskimääräie odotusaika M/M/-joossa (tasapaiotilateessa) Yksittäie simuloitiajo tuottaa yhde havaio X, joka jollaki lailla kuvaa arvioitavaa parametria Tilastolliste päätelmie tekemiseksi tarvitsemme kuiteki useita havaitoja X,,X (mielellää IID) 33

Trasiettie piirteide simuloiti Esimerkki Tarkastellaa k: esimmäise asiakkaa keskimääräistä odotusaikaa M/M/-joossa olettae, että systeemi o aluksi tyhjä Simuloitia jatketaa, kues viimeieki äistä k asiakkasta o saapuut ja päässyt palveluu Yksittäisestä simuloitiajosta saatava havaito X o tässä tapauksessa äide k asiakkaa odotusaikoje W i keskiarvo ko. simuloitiajossa: k X = W k i i= Riippumattomia ja samoi jakautueita (IID) havaitoja X,,X voidaa tuottaa s. riippumattomie toistoje -meetelmällä (idepedet replicatios) ts. tekemällä useita samalaisia mutta toisistaa riippumattomia simuloitiajoja (toisistaa riippumattomilla satuaisluvuilla) 34

Tasapaiotilaa liittyvie piirteide simuloiti () Tilastotietoje keruu yksittäisestä simuloiista tapahtuu periaatteessa samalla tavalla kui trasietteja piirteitä simuloitaessa. Simuloii alussa o kuiteki tyypillisesti s. lämmittelyvaihe (warm-up phase), ee kui systeemi o likimai tasapaiossa, mikä aiheuttaa overheadia harhaisuutta estimaattii tarpee määritellä, kuika pitkä lämmittelyvaihe tarvitaa Riippumattomie ja samoi jakautueide (IID) havaitoje X,,X tuottamiseksi (aiaki likimai) o kaksi eri tapaa: riippumattomat toistot (idepedet replicatios) ja s. batch meas -meetelmä 35

Tasapaiotilaa liittyvie piirteide simuloiti (2) Riippumattomie toistoje meetelmä: tehdää useita samalaisia mutta toisistaa riippumattomia simuloitiajoja (so. sama systeemi simuloitia samasta lähtötilasta mutta toisistaa riippumattomilla satuaisluvuilla) kussaki ajossa tilastotietoje keruu aloitetaa vasta lämmittelyvaihee jälkee (kute saottu, oma ogelmasa o tämä lämmittelyvaihee pituude määräämie) havaiot IID Batch meas -meetelmä: yksi (erittäi) pitkä simuloitiajo, joka lämmittelyvaihee jälkeiseltä osalta (keiotekoisesti) jaetaa :ää yhtä pitkää jaksoo, joita tietoje keruu kaalta käsitellää omia simuloitiajoiaa tarvitaa vai yksi lämmittelyvaihe, mutta havaiot eivät ole eää täysi riippumattomia (eivätkä tarkkaa ottae täysi samoi jakautueitakaa) mitä pitempi jakso (eli pieempi ), sitä riippumattomammat havaiot 36

Parametrie estimoiti Kute edellisessä kohdassa todettii, simuloiilla pyritää arvioimaa joki suorituskykyy liittyvä parametri arvo α Yksittäie simuloitiajo tuottaa kyseisestä parametrista havaio X i, joka siis o satuaismuuttuja Havaitoa X i saotaa harhattomaksi (ubiased), jos E[X i ] =α Olet. että olemme saaeet simuloimalla kpl riippumattomia ja samoi jakautueita (IID) havaitoja. Tällöi otoskeskiarvo (sample mea) X : = = X o parametri α harhato ja tarketuva estimaattori, sillä E[ X D 2 [ X ] = ] = i= 2 E[ X i= D i [ X ] = α 2 i ] = i σ 2 i 0 (ku ) 38

Esimerkki Pyrimme arvioimaa simuloimalla 25: esimmäise asiakkaa keskimääräistä odotusaikaa M/M/-joossa kuormalla ρ=0.9, ku systeemi hetkellä 0 o tyhjä. Teoreettie arvo: α=2.2 Havaiot X i kymmeestä simuloitiajosta ( = 0):.05, 6.44, 2.65, 0.80,.5, 0.55, 2.28, 2.82, 0.4,.3 Näi olle parametri α piste-estimaatti o X = = X = (.05 + 6.44 + +.3) =.98 i i 0 39

Estimaattori luottamusväli () Määr. Väliä(X y, X + y) saotaa parametri α luottamusväliksi (cofidece iterval) luottamustasolla (cofidece level) β, jos P{ X α y} = β Tulkita: parametri α kuuluu ko. välille t:llä β Oletetaa sitte, että havaiot X i, i =,,, ovat IID tutemattomalla keskiarvolla α mutta tuetulla variassilla σ 2 Keskeise raja-arvolausee mukaa (kts. Lueto 5, kalvo 48), aiaki suurilla : arvoilla pätee Z : = X α σ / N(0,) 40

Estimaattori luottamusväli (2) Merk. z p :llä N(0,)-jakauma p-fraktiilia ts.p{z z p } = p, missä Z N(0,) esim.β=5% eli β = 95% z (β/2) = z 0.975.96 2.0 Väite. Parametri α luottamusväli luottamustasolla β o σ Tod. Määritelmä mukaa pitää osoittaa, että X ± z 2 P{ X α z β σ β 2 } = β 4

42 9. Simuloiti α β = } { y X P y y y y y y y X y y X z y z x x x Z P x P P σ σ β σ σ σ σ σ σ σ α σ σ σ α β β β β β β = = = Φ Φ = Φ = Φ Φ = Φ = Φ Φ = = 2 2 / 2 / / / / / / / / / / ) ( )] ( ) ( [ )) ( ( ) ( }] { ) : ( [ ) ( ) ( } { } {

43 9. Simuloiti Estimaattori luottamusväli (3) Yleesä odotusarvo α lisäksi myös variassi σ 2 o tutemato Tällöi se pitää estimoida otosvariassista (sample variace) Voidaa osoittaa, että IID havaioille otosvariassi o todellise variassi σ 2 harhato ja tarketuva estimaattori: ) ( ) ( : 2 2 2 2 i i i i X X X X S = = = = ) (ku 0 ] [ ] [ 2 2 2 2 = S D S E σ

Estimaattori luottamusväli (4) Oletetaa yt, että havaiot X i, i =,,, ovat IID oudattae N(α,σ 2 )-jakaumaa tutemattomalla keskiarvolla α ja tutemattolla variassilla σ 2. Tällöi voidaa osoittaa, että T : = X α S / Studet( ) Merk. t,p :llä Studet( )-jakauma p-fraktiilia ts.p{t t,p } = p, missä T Studet( ) esim. : = 0 ja β=5% t, (β/2) = t 9,0.975 2.26 2.3 esim. 2: = 00 ja β=5% t, (β/2) = t 99,0.975.98 2.0 Näi olle parametri α luottamusväli luottamustasolla β o X ± t β, 2 S 44

Esimerkki (jatkoa) Pyrimme arvioimaa simuloimalla 25: esimmäise asiakkaa keskimääräistä odotusaikaa M/M/-joossa kuormalla ρ=0.9, ku systeemi hetkellä 0 o tyhjä. X Teoreettie arvo: α=2.2 Havaiot X i kymmeestä simuloitiajosta ( = 0):.05, 6.44, 2.65, 0.80,.5, 0.55, 2.28, 2.82, 0.4,.3 Otoskeskiarvo o.98 ja otoshajota (eli otosvariassi eliöjuuri) o S 2 = ((.05.98) + + (.3.98) ) =.78 9 Näi olle parametri α luottamusväli 95%: luottamustasolla o ± t β, 2 S =.98 ± 2.26.78 0 2 =.98 ±.27 = (0.7,3.25) 45

Havaitoja Simuloitikokee tulos tarketuu (so. piste-estimaati luottamusväli kapeee), ku simuloititoistoje eli riippumattomie havaitoje lukumäärää kasvatetaa, tai yksittäise havaio variassia σ 2 pieeetää (esim. ajamalla pitempiä yksittäisiä simuloitiajoja tai muilla s. variassi reduktio -meetelmillä) Jos aettua o haluttu simuloitituloste suhteellie tarkkuus (so. otoskeskiarvo hajoa ja odotusarvo välie suhde), voidaa dyaamisesti päättää, kuika mota riippumatota simuloititoistoa o tehtävä ko. tavoitteesee pääsemiseksi 46

Kirjallisuutta I. Mitrai (982) Simulatio techiques for discrete evet systems Cambridge Uiversity Press, Cambridge A.M. Law ad W. D. Kelto (982, 99) Simulatio modelig ad aalysis McGraw-Hill, New York Huom. Syksyllä 2002 ko. aiheesta lueoidaa oma kurssi: S-38.48 Tietoverkkoje simuloiti (2 ov) http://keskus.hut.fi/opetus/s3848/ aiemmi ko. kurssi oli imeltää S-38.47 Televerkkoje simuloiti (2 ov) http://keskus.hut.fi/opetus/s3847/ 47

THE END 48