Magnetoituvat materiaalit

Luku 8 Magnetoituvat materiaalit 8.1 Magnetoitumavirta Kappaleessa 7.8 esitetyn määritelmän perusteella virtasilmukan magneettimomentti voidaan esittää muodossa m = IS, (8.1) missä I on silmukassa kiertävä virta ja S pinta, jonka rajana virtasilmukka on. Pinnan ja siis myös magneettimomentin suunta määritellään siten, että katsottaessa tähän suuntaan virta kiertää oikeakätisesti (kuva 8.1 a). a) S m b) m I I v r -e Kuva 8.1: Magneettimomentti. Ydintä kiertävää elektronia voidaan klassillisesti mallintaa pienellä virtasilmukalla, joten elektronilla on rataliikkeeseen liittyvä magneettimomentti (kuva 8.1 b). Atomin kokonaismagneettimomentti on kaikkien elektronien rataliikkeestä aiheutuvien magneettimomenttien summa (tarkemmin sanottuna atomin magneettimomenttiin vaikuttavat myös elektronien ja ytimen sisäiset magneettimomentit). Koska atomissa on yleensä useita elektroneja, kaikkien näiden rataliikkeeseen liittyy magneettimomentti. Nämä magneettimomentit voivat tarkalleen kumota toisensa. Silloin atomilla ei ole pysyvää magneettimomenttia ja ainetta sanotaan diamagneettiseksi. Jos elektronien aiheuttamat magneettimomentit eivät kumoa toisiaan, atomilla on pysyvä magneettimomentti ja ainetta sanotaan paramagneettic Tuomo Nygrén, 2010 97

98 LUKU 8. MAGNETOITUVAT MATERIAALIT seksi. Samantapainen tilanne havaittiin aineen dipolimomenteille; toisten aineiden molekyyleillä on pysyvä dipolimomentti, toisten aineiden molekyyleillä ei. Kun atomit on ulkoisessa magneettikentässä, paramagneettisen atomin magneettimomenttiin kohdistuu kappaleessa 7.8 esitetyn perusteella voiman momentti T = m. (8.2) Tämä pyrkii kääntämään magneettimomentin kentän suuntaiseksi. Lämpöliike häiritsee magneettimomentin suuntautumista, mutta tilanne on samanlainen kuin pysyvillä dipolimomenteilla; magneettimomentin keskimääräinen komponentti kentän suunnalla on kentän suuntainen eikä sille vastakkainen. Kun atomi on magneettikentässä, radallaan liikkuviin elektroneihin kohdistuva Lorentz-voima vaikuttaa niiden rataliikkeisiin siten, että atomeille syntyy magneettimomentti, jonka suunta on magneettikentän suunnalle vastakkainen. Tämä efekti toimii sekä para- että diamagneettisissa aineissa, mutta se on heikompi kuin paramagneettinen efekti. Näinollen paramagneettisissa aineissa magneettimomentti on kentän suuntainen, diamagneettisilla aineilla kentän suunnalle vastakkainen. Tässä suhteessa aineen magneettiset ominaisuudet poikkeavat polarisoituvuudesta. Sähkökentän vaikutuksesta syntyvät dipolimomentithan ovat kentän suuntaisia eivätkä sille vastakkaisia. Kuva 8.2 esittää kuution muotoista magnetoitunutta kappaletta, jossa atomien aiheuttamat magneettimomentit on esitetty virtasilmukoina. Näiden aiheuttamat magneettimomentit ovat samansuuntaisia. Jos virtasilmukoita on yhtä tiheässä ja kaikissa kulkee sama virta, vierekkäisten silmukoiden virrat kumoavat toisensa, jolloin kappaleen sisällä ei kulje virtaa. Pinnalla tilanne on toinen. Siellä jokaisen silmukan pinnalla oleva osa kuljettaa virtaa, eikä mikään muu virta kumoa sitä. Näinollen syntyy yllättävä tilanne: magnetoituneen kappaleen pinnalla kulkee sähkövirta, jota nimitetään magnetoitumavirraksi. Tosin magnetoitumavirtaa kuljettavat elektronit eivät vaella kappaleen ympäri vaan ainoastaan oman ytimensä ympäristössä, mutta silti yhteisvaikutus on, että virta kulkee. Tilanne on samanlainen kuin viestijuoksussa, jossa kukin juoksija kulkee vain tietyn matkan, mutta viestikapula vaeltaa kentän ympäri. L I M I M Kuva 8.2: Magnetoitumavirta.

8.1. MAGNETOITUMAVIRTA 99 Kun yksi magneettimomentti kuljettaa virran I M pinta-alan δs ympäri, on magneettimomentin suuruus δm = I M δs. (8.3) Yksittäisellä magneettimomentilla on jokin tilavuus. Oletetaan, että se on kuutio, jonka särmän pituus on a. Tällöin δs = a 2, joten J M = I M a = δm a 3. (8.4) Koska I M on se virta, joka kiertää magneettimomentin varaamaa tilavuutta alueella, jonka leveys on a, on J M magnetoitumavirran suuruus pituusyksikköä kohti. Tällaisesta suureesta käytetään nimitystä virtakate (pintavirran tiheys). Sen yksikkö on A/m. Kuvan 8.2 tapauksessa kuutiota kiertävän magnetoitumavirran suuruus saadaan kertomalla magnetoitumavirtakate kuution särmän pituudella, siis I M = J M L. Magnetoitumavektori määritellään samalla tavalla kuin polarisoituma. Jos yksittäisen atomin magneettimomentti on keskimäärin m ja atomien lukumäärätiheys on N, on magnetoituma M = Nm. (8.5) Magnetoituman yksikkö on [M] = [N] [m] = 1 m 3 Am2 = A m. (8.6) Koska yksittäisen magneettimomentin δm tilavuus on a 3, on myös voimassa M = δm/a 3, joten J M = M. Kun magnetoituma on pinnan suuntainen, kuten kuution sivuilla kuvassa 8.2, se on kohtisuorassa magnetoitumavirtaa ja pinnan normaalia vastaan. Tällöin yhtälö (8.4) voidaan esittää vektorimuodossa J M = M n, (8.7) missä n on ulospäin osoittava pinnan normaalivektori. Kuution päissä M ja n ovat yhdensuuntaisia, joten M n = 0. Koska näillä pinnoilla ei myöskään kulje magnetoitumavirtaa, yhtälö (8.7) on voimassa myös kuution päissä. Yhtälö (8.7) on analoginen kaavan σ P = P n kanssa. Magnetoituma ei välttämättä ole homogeeninen, kuten kuvassa 8.2 oletettiin. Elektroneihin vaikuttava Lorentz-voima on verrannollinen magneettivuon tiheyteen, ja sen vuoksi atomien keskimääräinen magneettimomentti riippuu magneettivuon tiheydestä. Näinollen aine magnetoituu epähomogeenisesti epähomogeenisessa kentässä. Aine voi myös magnetoitua eri paikoista eri tavoilla sen vuoksi, että aine itse on epähomogeenista. Epähomogeenisesti magnetoituneessa aineessa magnetoituma voi olla erilaista eri paikoissa pintaa ja sen vuoksi myöskään magnetoitumavirtakate ei välttämättä ole sama kaikkialla pinnalla. Tästä seuraa, että pinnalla kulkevan magnetoitumavirran täytyy kytkeytyä kappaleen sisäosiin. Näinollen myös kappaleen sisäosissa voi kulkea magnetoitumavirtaa.

100 LUKU 8. MAGNETOITUVAT MATERIAALIT R!" z R!r z R!z!r Kuva 8.3: Magnetoitumavirtatiheyden synty. Tarkastellaan epähomogeenisesti magnetoituneessa aineessa ohuen sylinterin muotoista tilavuutta, jonka säde on R ja paksuus δz. Jaetaan tämä kuvassa 8.3 esitetyllä tavalla sylinterikoordinaatiston avulla määriteltyihin tilavuuselementteihin δτ = rdrδϕδz. Elementin magneettimomentti on δm = Mδτ. Jokaista magneettimomenttia edustaa virtasilmukka. Kun elementti on R-säteisen ympyrän sisäpuolella, virta kulkee kumpaankin suuntaan ympyrän sisään jäävän tasopinnan S lävitse, joten tällaisen elementin aiheuttama kokonaisvirta pinnan S läpi on nollan suuruinen. Ympyrän reunalla tilanne on toinen. Jaetaan siellä olevan elementin magneettimomentti radiaaliseen, atsimutaaliseen ja z-akselin suuntaiseen komponenttiin. Kutakin näistä voidaan esittää virtasilmukalla. Näistä z-akselin suuntaiseen magneettimomenttiin liittyvä virtasilmukka on pinnan S tasossa, joten sen aiheuttama nettovirta pinnan läpi on nolla. Myös radiaaliseen komponenttiin liittyvä nettovirta on nolla, sillä se kulkee kumpankin suuntaan pinnan S lävitse. Sen sijaan atsimuuttikomponenttiin liittyvä virtasilmukka sulkee sisäänsä R-säteisen ympyrän, ja siksi tämä virta kulkee vain yhteen suuntaan pinnan S lävitse. Ympyrän reunalla olevan tilavuuselementin magneettimomentin atsimuttikomponentti voidaan esittää toisaalta magnetoituman atsimuuttikomponentin M ϕ avulla ja toisaalta elementtiin liityvän magnetoitumavirran δi M ja elementin poikkipinnan avulla. Siis δm ϕ = M ϕ δτ = M ϕ Rδϕδrδz = δi M δrδz. (8.8) Tästä ratkaistuna δi M = M ϕ Rδϕ, (8.9) joten R-säteisen ympyrän C lävitse kulkeva kokonaisvirta on I M = M ϕ Rdϕ. (8.10) C Toisaalta magnetoitumavektorin integraali käyrän C ympäri on M ds = M ϕ Rdϕ = I M. (8.11) C C

8.2. MAGNEETTIKENTTÄ MAGNETOITUVASSA AINEESSA 101 Stokesin lauseen avulla tämä saadaan muotoon M ds = I M. (8.12) S Tämä on voimassa kaikille ympyrän säteille R. Kun annetaan R:n lähetä nollaa, voidaan vektoria M pitää vakiona ympyrän alueella. Tällöin yhtälö (8.12) tarkoittaa sitä, että ympyrän läpi kulkeva kokonaismagnetoitumavirta on vektorin M vuo ympyrän sisään jäävän pinnan lävitse. Ilmeisesti siis epähomogeeninen magnetoituma aiheuttaa magnetoitumavirtatiheyden j M = M. (8.13) Tämä vastaa sähkökenttien teoriassa esiintyvää polarisaatiovaraustiheyden kaavaa ρ P = P. 8.2 Magneettikenttä magnetoituvassa aineessa Magnetoitumavirta aiheuttaa magneettivuon tiheyden laskemiseen samanlaisen ongelman kuin polarisaatiovaraus sähkökentän laskemiseen. Magnetoituma ja sen myötä myös magnetoitumavirta riippuu magneettivuon tiheydestä, mutta virta myös vaikuttaa magneettivuon tiheyteen. Jotta magneettivuon tiheys voitaisiin laskea, pitäisi magnetoitumavirta tuntea, mutta se taas edellyttäisi magneettivuon tiheyden tuntemista. Ratkaisu ongelmaan on samantapainen kuin sähkökentän laskemisessa. Ampèren laissa (7.11) esiintyvä virtatiheys sisältää kaikki varausten liikkeistä aiheutuvat virrat. Johtavassa aineessa on vapaasti liikkuvia varauksenkuljettajia, jotka synnyttävät virtoja sähkökentän vaikutuksesta. Näitä virtoja sanotaan vapaiksi virroiksi. Magnetoituneessa aineessa kulkee myös yhtälön (8.13) mukaisia magnetoitumavirtoja. Lisäksi ajasta riippuvassa tilanteessa ajasta riippuvat kentät liikuttavat polarisaatiovarauksia, ja tähän varausten liikkeeseen liittyy virta, jota sanotaan polarisaatiovirraksi. Kokonaisvirtatiheys voidaan siis esittää kolmen termin summana muodossa j = j f + j M + j P, (8.14) missä j f on vapaa virtatiheys ja j P polarisaatiovirtatiheys. Ajasta riipumattomassa tilanteessa polarisaatiovaraukset ovat paikoillaan ja silloin polarisaatiovirtatiheys on nolla. Kun kokonaisvirtatiheys esitetään vapaan virtatiheyden ja magnetoitumavirtatiheyden summana, Ampèren laki voidaan esittää muodossa = µ 0 j f + µ 0 M. (8.15) Jaetaan tämä yhtälö µ 0 :lla ja viedään magnetoitumavirtatermi vasemmalle puolelle. Tällöin ( ) M = j f. (8.16) µ 0

102 LUKU 8. MAGNETOITUVAT MATERIAALIT Kun määritellään magneettikentän voimakkuus H kaavalla saadaan Ampèren laki muotoon H = µ 0 M, (8.17) H = j f. (8.18) Tästä nähdään, että magneettikentän voimakkuus ei riipu ollenkaan magnetoitumavirrasta vaan ainoastaan vapaasta virrasta ja sähkövuon tiheydestä, joka puolestaan riippuu vain vapaista varauksista. Määritelmän (8.17) perusteella magneettikentän H yksikkö on [H] = [M] = A m. (8.19) Kun magneettikentän voimakkuus tunnetaan, voidaan magneettivuon tiheys laskea (paitsi ferromagneettisisa aineissa). Tutkimalla atomien elektroniverhojen käyttäytymistä magneettikentässä voidaan nimittäin osoittaa, että para- ja diamagneettisissa aineissa magnetoituma on verrannollinen magneettivuon tiheyteen. Historiallisista syistä tämä esitetään tavallisesti siten, että magnetoituma on verrannollinen magneettikenttään eli M = χ M H, (8.20) missä χ M on magneettinen suskeptiivisuus. Sijoittamalla tämä yhtälöön (8.17) ja ratkaisemalla sadaan missä = (1 + χ M )µ 0 H = µµ 0 H, (8.21) µ = 1 + χ M (8.22) on suhteellinen permeabiilisuus. Joskus määritellään magneettinen suskeptiivisuus χ kaavalla M = χ /µ 0. Tällöin µ = 1/(1 χ ). Magneettivuon tiheys saadaan siis selville ratkaisemalla ensin magneettikentän voimakkuus, joka riippuu vapaista virroista. Kun väliaineen magneettiset omainaisuudet tunnetaan, magneettivuon tiheys saadaan kaavasta (8.21). Menetelmä on samanlainen kuin sähkökentällä; ensin lasketaan sähkövuon tiheys, joka riippuu vain vapaista varauksista, ja sen jälkeen saadaan sähkökenttä, kun aineen polarisoituvuus tunnetaan. 8.3 Magneettikenttä rajapinnoilla Kuten kappaleessa 8.1 havaittiin, väliaine voi olla magnetoituva, mikä tarkoittaa sitä, että magneettikenttä, joka on alunperin vapaiden virtojen aiheuttamaa, synnyttää magnetoitumavirtoja, jotka muuttavat magneettikenttää. Magneettikentän

8.3. MAGNEETTIKENTTÄ RAJAPINNOILLA 103 a) b) z!s 1!S " 1 x H 2!l 2 " 2!S 2 µ 2 1 " 2 µ 1!S 2 µ 2 z 2!l1!S 1 " 1 H 1 µ 1 Kuva 8.4: Magneettikentän taittuminen kahden väliaineen välisellä rajapinnalla. muutos on erilainen eri aineissa, ja sen vuoksi kenttä käyttäytyy kahden aineen välisellä rajapinnalla samantapaisesti kuin sähkökenttä kahden eristeen välisellä rajapinnalla. Kuvassa 8.4 a on asetettu z akseli siten, että se leikkaa aineiden välisen rajapinnan kohtisuoraan tarkastelupisteessä. Valitaan suoran sylinterin muotoinen pinta siten, että sylinterin pohjat ovat kohtisuorassa z-akselia vastaan ja sylinteri leikkaa pinnan δs aineiden välisestä rajapinnasta. Tällöin sylinterin pohjat ovat δs 1 = δsu z ja δs 2 = δsu z. Koska magneettivuon tiheys on lähteetön, on magneettivuo sylinterin pinnan lävitse nolla. Jos annetaan δs 1 :n ja δs 2 :n lähestyä kummaltakin puolelta aineiden välistä rajapintaa, lähenee sylinterin vaipan pinta-ala nollaa, ja :n vuo koostuu pelkästään sylinterin pohjien läpi kulkevista voista. Siis josta 1 δs 1 + 2 δs 2 = 1z δs + 2z δs = 0, (8.23) 1z = 2z. (8.24) Näinollen magneettivuon tiheyden normaalikomponentti on jatkuva kahden aineen välisellä rajapinnalla. Toinen magneettikentän käyttäytymistä koskeva ehto saadaan Ampèren laista. Ampèren lain integraalimuodon perusteella magneettikentän integraali pitkin suljettua tietä on nolla, mikäli tien lävitse ei kulje vapaata virtaa. Kuvassa 8.4 b on valittu integroimistieksi suorakaide, jontka sivut δl 1 ja δl 2 ovat aineiden välisen rajapinnan suuntaisia ja toiset kaksi sivua pintaa vastaan kohtisuoria. Kun annetaan δl 1 :n ja δl 2 :n lähestyä pintaa kummaltakin puolelta, muiden sivujen pituudet lähestyvät nollaa, joten myös niistä tuleva osuus magneettikentän viivaintegraaliin lähestyy nollaa. Ilmeisesti kuvan 9.4 b merkinnöillä δl 1 = δlu x ja δl 2 = δlu x. Näinollen H ds = H 1 δl 1 + H 2 δl 2 = H 1x δl + H 2x δl = 0, (8.25) C

104 LUKU 8. MAGNETOITUVAT MATERIAALIT josta H 1x = H 2x. (8.26) Siis magneettikentän tangentiaalikomponetti on jatkuva kahden aineen välisellä rajapinnalla. Tulokset (8.24) ja (8.26) tarkoitavat sitä, että magneettikentän kenttäviiva taittuu kahden aineen välisessä rajapinnassa. Ilmeisesti yhtälö (8.24) voidaan kirjoittaa muotoon 1 cos θ 1 = 2 cos θ 2. (8.27) Koska 1 = µ 1 µ 0 H 1 ja 2 = µ 2 µ 0 H 2, yhtälön (8.26) perusteella 1 µ 1 sin θ 1 = 2 µ 2 sin θ 2. (8.28) Jakamalla nämä puolittain saadaan kenttäviivan taittumista kuvaava yhtälö 8.4 Ferromagneettiset aineet tan θ 1 tan θ 2 = µ 1 µ 2. (8.29) Ferromagneettiset aineet (esimerkiksi rauta, koboltti ja nikkeli) käyttäytyvät muuten paramagneettisen aineen tavoin, mutta magnetoituminen on tavattoman paljon voimakkaampaa. Ferromagnetismi aiheutuu johteissa olevien johde-elektronien käyttäytymisestä (paramagnetismi aiheutuu atomien elektroniverhoista) ja sen selittäminen kuuluu kiinteän aineen fysiikan alaan. Ferromagneettiset aineet ovat epälineaarisia; ts. magneettivuon tiheyden ja magneettikentän välinen riippuvuus ei ole lineaarinen. Tästä huolimatta usein käytetään yhtälöä = µµ 0 H, jonka oletetaan a r b c 0 e H H k d Kuva 8.5: Hysteresisilmiö.

8.4. FERROMAGNEETTISET AINEET 105 olevan karkeasti voimassa joillakin :n ja H:n arvoalueilla. Tämän yhtälön mukainen suhteellinen permeabiilisuus voi ferromagneettisella aineella olla suuruusluokkaa 1000, kun se paramagneettisella aineella on vain hiukan yli yksi. Epälineaarisuuden lisäksi ferromagneettisella aineella on toinenkin ominaisuus: se muistaa osittain magneettisen menneisyytensä. Tämä tarkoittaa sitä, että :n ja H:n välinen relaatio riippuu siitä, missä magneettisessa tilassa aine on aiemmin ollut. Ilmiön nimi on hysteresis, ja se on esitetty kuvassa 8.5. Jos esimerkiksi ferromagneettista sauvaa magnetoidaan siten, että sen ympäri kiedotaan käämi, johon johdetaan sähkövirta, voidaan virtaa muuttamalla säädellä aineessa vaikuttavaa magneettikenttää. Mikäli aine on alunperin magnetoitumaton (M = 0), vastaa alkutilaa kuvan 8.5 H-koordinaatiston origo. Kun käämin virtaa kasvatetaan, kasvaa myös H ja sen myötä, mutta muutos on epälineaarinen. Koko ajan on voimassa yhtälö = µ 0 (H + M), mutta riippuvuus magnetoituman ja magneettikentän välillä ei ole lineaarinen. Lopulta päädytään pisteeseen a, missä magnetoituma saavuttaa maksimiarvonsa, jolloin sanotaan, että aine on saturoitunut. Jos magneettikenttää edelleen kasvatetaan, myös magneettivuon tiheys kasvaa mutta heikommin (muutosten välillä on riippuvuus δ = µ 0 δh). Jos H:n annetaan pienetä nollaan, pienenee myös, mutta ei pitkin samaa käyrää vaan pitkin käyrää a b. Pisteessä b siis H = 0, joten r = µ 0 M, eli aine on magnetoituneessa tilassa. Tässä tilassa vakuttavaa vuon tiheyttä r nimitetään remanenssiksi. Jotta saataisiin nollaksi, on H:n suntaa muutettava. Muuttamalla H:n arvoa saadaan H-arvopareja vastaavat pisteet kiertämään ympäri kuvan 8.5 mukaista silmukkaa, jota sanotaan hysteresiskäyräksi. Magneettikentän arvoa H k, jolla magneettivuon tiheys saadaan nollaksi, nimitetään koersitiivivoimaksi. Ferromagnetismi aiheutuu siitä, että tietyn lämpötilan (Curie-lämpötila, Curiepiste) alapuolella aine on jakautunut suuruusluokkaa 10 10 10 12 m 3 oleviin alueisiin, joita nimitetään Weissin alueiksi. Kussakin Weissin alueessa johde-elektronien spinit ja siis myös magneettimomentit ovat samansuuntaisia. Suuntautuminen johtuu johde-elektronien ja sidottujen elektronien vuorovaikutuksesta ja syntyy vain tietyissä aineissa. Magnetoitumattomassa ferromagneettisessa aineessa alueiden kokonaismagneettimomentit ovat satunnaisesti suuntautuneita ja eri alueet ovat suunnilleen samankokoisia. Heikossa magneettikentässä pieni enemmistö alueista on kentän suuntaisia, mutta silti ferromagneettinen vaikutus voi olla varsin suuri. Kun magneettikenttää Kuva 8.6: Weissin alueiden laajeneminen magneettikentässä.

106 LUKU 8. MAGNETOITUVAT MATERIAALIT kasvatetaan, laajenevat ne alueet, joiden magneettiset momentit ovat kentän suuntaisia, ja muut pienenevät. Näin saadaan entistä voimakkaampi keskimääräinen magnetoituma. Kun kenttä kasvaa riittävän suureksi, kentän suuntaan magnetoituneet Weissin alueet laajenevat niin, että kaikki muut alueet katoavat. Tämän jälkeen magnetoituma ei voi enää kasvaa, jolloin saavutetaan saturaatio. Curiepisteen yläpuolella ferromagneettinen aine muuttuu paramagneettiseksi. On myös aineita, jotka ovat erittäin vähän magnetoituvia ja joita sen vuoksi kutsutaan antiferromagneettisiksi. Niissä on atomitasolla voimakas magneettinen vuorovaikutus, mutta vierekkäisten atomien magneettimomentit ovat vastakkaissuuntaiset. Tällainen rakenne vastustaa tehokkaasti ulkoisen magneettikentän magnetoivaa vaikutusta. Ferrimagneetit ovat epätäydellisiä antiferromagneetteja. Niilläkin on vastakkaissuuntaisia magneettimomentteja, jotka eivät kuitenkaan ole aivan samansuuruisia eivätkä siis täysin kumoa toisiaan. 8.4.1 Sauvanmuotoinen sähkömagneetti Kuva 8.7 esittää sauvanmuotoisen ferromagneettisen sydämen ympäri kiedottua käämiä, jonka kierrosluku pituusyksikköä kohti on N. Kun käämin läpi johdetaan sähkövirta I, käämi synnyttää magneettikentän, jonka vaikutuksesta sydän magnetoituu. Magneettikentän laskemiseksi käytetään samaa menetelmää, jota sovellettiin pitkään suoraan solenoidiin kappaleessa 7.7.4. Erona, on, että käytetään magneettikentälle kirjoitettua Ampèren lakia (8.18). Kun tätä sovelletaan kuvassa 8.7 esitettyyn integrointitiehen, saadaan H s L = NLI, (8.30) mistä ratkaistuna sydämessä vaikuttava magneettikenttä on H s = NI. (8.31) Jos sydämen suhteellinen permeabiilisuus on µ, on sydämessä vaikuttava magneettivuon tiheys s = µµ 0 H s = µµ 0 NI. (8.32) H A L D C Kuva 8.7: Sauvanmuotoinen sähkömagneetti.

8.4. FERROMAGNEETTISET AINEET 107 a) b) I r r a b I L r a b H Kuva 8.8: Toroidin muotoinen magneetti. Koska magneettivuon tiheys on lähteetön, käyttäytyvät -kentän voimaviivat kuvassa 8.7 esitetyllä tavalla; ts. voimaviivat ovat suljettuja käyriä. Sydämen ulkopuolella on voimassa yhtälö i = µ 0 H i. Tästä seuraa, että sauvan päissä H-kenttä on voimakkaampi sydämen ulkopuolella kuin sydämen sisällä. H-kentän voimaviivat eivät siis ole jatkuvia (H-kenttä ei ole lähteetön). 8.4.2 Toroidi Toroidin muotoinen magneetti koostuu kuvan 8.8 a mukaisesta ferromagneettisesta sydämestä, jonka ympäri on kiedottu käämi. Käämin kierrosten lukumäärä on N t ja sinä kulkee virta I. Oletetaan lisäksi, että toroidi on ohut eli a b b. Käämissä kulkeva virta on vapaata virtaa. Lisäksi tietysti sydämessä kulkee magnetoitumavirtaa, mutta sen tunteminen ei ole tarpeellista, kun käytetään apuna magneettikenttää H. Magneettikenttä on ilmeisesti sylinterisymmetrinen ja toroidaalinen, eli kentällä on ainoastaan sylinterikoordinaatiston atsimuuttikomponentti, mikä on jokaisella ympyrän kehällä vakio. Tämän vuoksi kenttä voidaan laskea Ampèren lain integraalimuodon avulla. Jos valitaan integrointitieksi kuvaan 8.8 a piirretty r -säteinen ympyrä, havaitaan, että sama virta kulkee yhtä monta kertaa kumpaankin suuntaan ympyrän sisään jäävän pinnan lävitse, joten H ds = 0 H = 0. (8.33) Jos taas valitaan integroimistieksi ympyrä, jonka säde on pienempi kuin b, ei virta kulje ollenkaan sen lävitse, joten tässäkin tapauksessa on voimassa yhtälö (8.33) ja magneettikentäksi saadaan nolla. Toroidin ulkopuolella ei siis ole ollenkaan magneettikenttää. Näin tosin olisi asian laita, vaikka käämi ei olisikaan symmetrinen. Aiemminhan nimittäin todettiin, että ferromagneettinen sydän pyrkii vangitsemaan kentän sisälleen. Jos valitaan integroimistieksi r-säteinen ympyrä ja b < r < a, kulkee virta I integroimistien lävitse samaan suuntaan N t kertaa. Tällöin Ampèren laki

108 LUKU 8. MAGNETOITUVAT MATERIAALIT on muotoa H ds = N t I H = N ti 2πr. (8.34) Ilmeisesti kenttä riippuu integrointitien säteestä, mutta ohuen toroidin tapauksessa voidaan säteenä käyttää esimerkiksi a:n ja b:n keskiarvoa. Magneettivuon tiheydeksi saadaan nyt = µµ 0N t I, (8.35) 2πr missä µ on ytimen suhteellinen permeabiilisuus. Kuvassa 8.8 b toroidiin on tehty ohut ilmarako, jonka leveys on L. Kun ilmarako on ohut, kenttä ei sen alueella pääse pullistumaan paljon ulkopuoliseen avaruuteen. Kenttäviivoja voidaan siis approksimoida ympyröillä, jotka ovat kohtisuorassa ilmaraon leikkauspintoja vastaan. Koska magneettivuon tiheyden normaalikomponentti on jatkuva rajapinnalla, täytyy siis magneettivuon tiheyden arvon olla sama ilmaraossa ja sydämessä. Tästä seuraa, että magneettikenttä saa ilmaraossa eri arvon kuin sydämessä. Ilmaraossa H i = /µ 0 ja sydämessä H s = /(µµ 0 ). Ampèren laki saa nyt muodon H ds = H i L + H s (2πr L) = N t I L (2πr L) + = N t I. (8.36) µ 0 µµ 0 Tästä ratkaistuna = µµ 0 N t I 2πr + (µ 1)L. (8.37) Koska ferromagneettisella aineella µ 1, on melko suurella tarkkuudella voimassa Magneettikentän arvoiksi saadaan ilmaraossa ja = H i = µ 0 = H s = µµ 0N t I 2πr + µl. (8.38) µµ 0 = µn ti 2πr + µl N t I 2πr + µl (8.39) (8.40) sydämessä. Näinollen ilmaraossa magneettikenttä on µ-kertainen sydämen magneettikenttään verrattuna. Jos toroidin sisällä ei olisi ollenkaan ferromagneettista sydäntä, olisi µ = 1 ja magneettivuon tiheys saisi arvon i = µ 0N t I 2πr. (8.41) Magneettivuon tiheyksien suhde on i = µ2πr 2πr + µl = µ 1 + µl/(2πr) µ. (8.42)

8.4. FERROMAGNEETTISET AINEET 109 = (H s ) µ 0 N t I/L kulmakerroin:!µ 0 (2"r -L)/L H s Kuva 8.9: Ilmaraolla varustetun toroidin magneettivuon tiheyden määrittämien. Tässä viimeinen approksimaatio on voimassa, mikäli ilmarako on niin ohut, että µl 2πr. Näin siis ferromagneettinen sydän voi kasvattaa magneettivuon tiheyden µ-kertaiseksi. Tämä on sähkömagneetin periaate; rautasydämen avulla saadaan saman magnetoivan virran tuottamana syntymään paljon voimakkaampia magneettikenttiä kuin ilman rautasydäntä. Tässä johdossa ei ole kiinnitetty huomiota ferromagneettisen aineen epälineaarisuuteen. Todellisuudessa ainoastaan ilmaraossa on magneettivuon tiheyden ja magneettikentän välillä lineaarinen riippuvuus ( = µ 0 H i ). Sydämessä riippuvuus on epälineaarinen ( = (H s )) ja se määräytyy kokeellisesta hysteresiskäyrästä. Näinollen Ampèren laki saa muodon H i L + H s (2πr L) = N t I. (8.43) Magneettivuon tiheyden normaalikomponentin jatkuvuusehdon vuoksi magneettivuon tiheys on saman suuruinen sydämessä ja ilmaraossa. Ilmaraossa on voimassa = µ 0 H i ja sen avulla yhtälöstä (9.42) saadaan ratkaistuksi = µ 0(2πr L) H s + µ 0N t I L L. (8.44) Tämä ei yksin riitä magneettivuon tiheyden määrittämiseen, sillä tuntemattomia on kaksi, ja H s. Käyttämällä lisäksi kokeellista hysteresiskäyrää = (H s ) (8.45) saadaan yhtälöpari, jonka avulla ja H s voidaan graafisesti määrittää. Tämä on esitetty kuvassa 8.9, missä hysteresiskäyrän kanssa samaan koordinaatistoon on piirretty suora, jonka kulmakerroin on µ 0 (2πr L)/L ja joka leikkaa -akselin kohdassa µ 0 N t I/L. Magneettivuon tiheys ja sydämessä vaikuttava magneettikenttä saadaan kuvaajien leikkauspisteestä, missä sekä yhtälö (8.44) että (8.45) toteutuvat. 8.4.3 Kestomagneetit Ferromagneettinen aine voidaan magnetoida esimerkiksi siten, että se asetetaan käämin sisälle, ja käämiin kytketään virta, joka sitten katkaistaan. Hysteresisilmiön vuoksi aine jää magneettiseksi, ja näin syntyy kestomagneetti. Remanenssin eli jäännösmagnetismin suuruus vaihtelee eri aineilla; meltoraudalla se on pieni,

110 LUKU 8. MAGNETOITUVAT MATERIAALIT H Kuva 8.10: - ja H-kenttien kenttäviivat kestomagneetissa. teräksellä suuri. Kestomagneetin magnetoituma M ei aiheudu ulkoisesta kentästä, vaan magnetoituma itse aiheuttaa magneettivuon tiheyden. Kenttien, H ja M välillä on tässäkin tapauksessa voimassa riippuvuus = µ 0 (H + M). (8.46) Tarkastellaan kuvan 8.10 esittämää sauvan muotoista kestomagneettia. Koska aina = 0, ovat -kentän voimaviivat jatkuvia, ne kulkevat sauvan lävitse ja sulkeutuvat sauvan ulkopuolella. Sauvan ulkopuolella H = /µ 0, joten H:n ja :n kenttäviivat ovat siellä samanmuotoiset ja samansuuntaiset. Koska kestomagneetissa ei ole vapaata virtaa, on jokaista magneetin läpi kulkevaa suljettua tietä pitkin voimassa H dl = 0. (8.47) Tämä voi toteutua vain, jos H:n suunnta on kestomagneetin sisällä :n suunnalle vastakkainen, eli H vaihtaa suuntaansa sauvan päissä. Näinollen H:n kenttäviivat ovat epäjatkuvia magneetin rajapinnalla. Näinhän oli myös sauvanmuotoisen sähkömagneetin tapauksessa, mutta toisin kuin kestomagneetissa, sähkömagneetissa - ja H-kentät ovat samansuuntaisia sydämen sisällä. Jos toroidin muotoiseen d:n mittaiseen kestomagneettiin on kuvan 8.11 a mukaisesti tehty ohut ilmarako, jonka paksuus on L, on :llä sen normaalikomponentin a) b) H = -L/(µ 0 d) L d H i H m H m H Kuva 8.11: a) Toroidin mutoinen kestomagneetti. b) Kestomagneetin magneettivuon tiheyden määrittäminen hysteresiskäyrän avulla.

8.4. FERROMAGNEETTISET AINEET 111 jatkuvuuden vuoksi sama arvo magneetissa ja ilmaraossa. Silloin H:n arvo ilmaraossa on Ampèren lain perusteella lisäksi missä H m on H:n arvo magneetissa. Tästä seuraa, että H i = µ 0. (8.48) H m d + H i L = 0, (8.49) H m = L d H i = L µ 0 d, (8.50) joten H i ja H m ovat vastakkaissuuntaiset. Tämä yhtälö ei yksin riitä määrittämään H- ja -kenttien arvoja, vaan ne riippuvat aineen magneettisesta tilasta. -kentän suurin mahdollinen arvo edellyttää, että tila sijaitsee päähysteresiskäyrällä. Tämä tila sijaitsee 2. tai 4. neljänneksessä, missä ja H m ovat vastakkaissuuntaisia. :n ja H m :n arvot saadaan kuvaajien leikkauspisteistä graafisesti, kun piirretään hysteresiskäyrä ja yhtälö (8.50) samaan koordinaatistoon. :n arvoa voidaan vaihdella säätelemällä suhdetta L/d. Käytännössä voimakkaimmat kentät, joita voidaan saada aikaan ferromageneettisilla aineilla, ovat suuruusluokkaa 1 T.