Sobolev-avaruudet. Tero Kilpeläinen

Sobolev-avaruudet Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja 5. kesäkuuta 2007

Sisältö 1. Johdattelua 1 1.1. Perusmerkintöjä.............................. 8 2. L p -avaruudet 9 2.1. Yleistä................................... 9 2.2. Silotus................................... 16 3. Heikko derivaatta eli distributiivinen derivaatta 24 3.1. bsoluuttinen jatkuvuus......................... 35 4. Sobolev-avaruudet, osa II 40 5. Perusepäyhtälöt 48 5.1. Sobolevin epäyhtälöt........................... 48 5.2. Poincaré-epäyhtälöt............................ 54 6. Muuttujanvaihto ja ekstensio 64 6.1. Muuttujanvaihto............................. 64 6.2. Laajentaminen.............................. 67 7. Heikko konvergenssi 72 7.1. Erotusosamäärät ja W 1,p......................... 80 8. Kapasiteetti ja Sobolev-funktiot 88 9. Liite: L p -avaruuden duaalista 104 9.1. Heikko konvergenssi............................ 110

1 1. Johdattelua Mikä on derivaatta? Funktion f :]a, b[ R derivaatta pisteessä x on f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h (jos raja-arvo on olemassa). Seuraavassa kolme tapaa yleistää derivaatta:. nalyysin peruslause Jos f C 1 (I), I R, niin f(x) = f(x 0 ) + [x 0,x] f (y) dy Leb. mitta kaikilla x 0, x I Kääntäen, jos on olemassa sellainen v L 1 (I), jolle f(x) = f(x 0 ) + v(y) dy, [x 0,x] niin f on m.k. derivoituva, f (x) = v(x) m.k. x I ja f on absoluuttisesti jatkuva 1 kaikilla [a, b] I. Siten eräs f:n derivaatta-käsitteen yleistys olisi tällainen funktio v. 1 f on absoluuttisesti jatkuva välillä [a, b], jos kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että ehdoista seuraa, että a a 1 < b 1 a 2 < b 2 < b k < b ja k f(b i ) f(a i ) < ε. i=1 k b i a i < δ i=1

2 B. Osittaisintegrointi Jos f, g C 1 (I), niin [a,b] f(x)g (x) dx = [a,b] f (x)g(x) dx + / b a f(x)g(x) kaikilla a, b I, a < b. Erityisesti, jos spt g = {x : g(x) 0} on kompakti, niin I f(x)g (x) dx = I f (x)g(x) dx kaikilla g C 1 0(I). Huomaa: jos f on absoluuttisesti jatkuva, niin I fg dx = I vg dx kaikilla g C 1 0(I), missä v on kuten kohdassa. [HT. Todista käänteinen: v on derivaatta.] Esimerkki. Olkoon f(x) = 1 x, ja g C 1 0(] 1, 1[). Tällöin f(x)g (x) dx = f(x)g (x) dx + f(x)g (x) dx ] 1,1[ os.int. = = ] 1,0[ ] 1,1[ ] 1,0[ 1 g(x) dx + v(x)g(x) dx, / 0 1 ]0,1[ f(x)g(x) ]0,1[ ( 1)g(x) + / 1 0 f(x)g(x) missä v(x) = { 1, jos x < 0 1, jos x 0.

3 C. Täydentymä Pari (Cb 1 (I), ), missä normi on esimerkiksi f = f dx + f dx, I I ei ole täydellinen metrisenä avaruutena. Täydennetään ko. avaruus L 1 (I) L 1 (I):ssä. Sulkeumassa olevat parit (f, v) yleistävät derivoituvuuden, v f. Miksi derivaatan käsitettä halutaan yleistää? Tarkastellaan esimerkkiä: Jos u C 2 (), avoin, on sellainen funktio, jolle u = n jju 2 = 0, j=1 niin 0 = Käyttämällä yhtälöä u(x) ϕ(x) dx ϕ C0 () = os.int. u ϕ dx. y + z 2 = (y + z) (y + z) = y 2 + 2y z + z 2 kaikilla y, z, saadaan tästä u + ϕ 2 dx = u 2 dx + 2 u 2 dx. u ϕ dx } {{ } =0 + ϕ 2 dx Saamme siten, että jos u = 0, niin u 2 dx u + ϕ 2 dx kaikilla ϕ C0 (). Toisin, sanoen funktiolla t u + t ϕ 2 dx on minimi, kun t = 0. Lasketaan tämän funktion derivaatta t:n suhteen, kun t = 0; se on 2 u ϕ dx = 2 u(x) ϕ(x) dx

4 äsken tehdyn osittais integroinnin nojalla. Tästä näemme helposti: Jos u C 2 (), niin u = 0 :ssa täsmälleen silloin, kun u 2 dx u + ϕ 2 dx kaikilla ϕ C 0 (). Huomaa, että u 2 dx on L 2 ()-normin neliö u:lle joten 2. kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälön u = 0 ratkaisemiseksi voidaan tutkia normiavaruutta (X, Y ) L 2 () L 2 (, ), joka on joukon { (ψ, ψ) : (ψ, ψ) C 1 () L 2 () L 2 (; ) } sulkeuma. Tällä tavalla ongelma, joka sisältää toisen kertaluvun derivaattoja voidaan käsitellä pelkästään tutkimalla ensimmäisen kertaluvun derivaattoja. Lisäksi ratkaisukandidaatteja löydetään helpommin suljetusta normiavaruudesta kuin eisuljetusta. Palaamme tähän esimerkkiin myöhemmin. Muista. Funktio f : R, Lebesgue-mitallinen, on mitallinen, jos joukot {x : f(x) > λ} ovat Lebesgue-mitallisia kaikilla λ R ja tällöin f dx = {x : f(x) > t} dt, 0 missä = joukon Lebesgue-mitta. Edelleen, muuttujanvaihdolla näemme, että f p dx = p t p 1 { f(x) > t} dt, kunhan p > 0. 0 Konvekseista funktioista Olkoon I R väli. Funktio f : I R on konveksi, jos f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) kaikilla x, y I ja t [0, 1] Esimerkiksi e x on konveksi.

5 1.1. Lemma. Jos f : I R on derivoituva ja f on kasvava, on f konveksi. Todistus: Olkoon a < z < b. Tällöin väliarvolauseen nojalla on sellaiset η ]a, z[ ja ξ ]z, b[, joille f(z) f(a) =f (η) f (ξ) = z a Merkitsemällä z = ta + (1 t)b saadaan f(z) tf(a) + (1 t)f(b). f(b) f(z) b z. 1.1. Seuraus. Jos f 0, niin f on konveksi. 1.2. Huomautus. a) Konveksi funktio on jatkuva välin I sisäpisteissä. b) Äskeinen todistus näyttää, että f on konveksi, jos ja vain, jos f(z) f(x) z x f(y) f(z) y z kaikilla x < z < y. Merkintä. Jos > 0, merkitsemme funktion f keskiarvoa f dx := 1 f(x) dx. 1.3. Lause. (Jensenin epäyhtälö) Olkoon f : R integroituva,, <. Jos ϕ : I R on konveksi, missä I R on sellainen väli, jolle f() I, niin ( ) ϕ f(x) dx ϕ f(x) dx.

6 Esimerkki. Kun ϕ(t) = t p q, missä 1 q < p <, saadaan Jensenin epäyhtälöstä ( ) ϕ f(x) q dx ϕ( f q ) dx = f p dx eli ( ) 1 f q q dx ( ) 1 f p p dx. Todistus: Koska ϕ on jatkuva, on ϕ f mitallinen. Olkoon t = f(x) dx. Tällöin t I ja on olemassa 2 β = β(t), jolle ϕ(t) ϕ(s) t s β ϕ(u) ϕ(t) u t kaikilla s < t < u. Siten Erityisesti joten ϕ(z) ϕ(t) + β(z t) kaikilla z I. ϕ(f(x)) ϕ(t) + β(f(x) t) kaikilla x, ϕ(f(x)) dx ϕ(t) ϕ( R f(x) dx) +β (f(x) t) dx = R f(x) dx R R f(x) dx=0. 1.4. Lause. (Youngin epäyhtälö) Olkoot a, b 0, p > 1 ja 1 p + 1 q = 1. Tällöin ab 1 p ap + 1 q b2. 2 Esimerkiksi ϕ(t) ϕ(s) β = sup. s<t t s

7 1.5. Seuraus. Kaikilla ε > 0 ja a, b 0 kun p > 1 ja 1 p + 1 q = 1. ab ε ap p + q bq ε p q εap + ε q p b q, Multi-indeksit Olkoon n N. Vektoria α := (α 1, α 2,..., α n ) N n sanotaan multi-indeksiksi. α := α 1 + α 2 + + α n on α:n pituus, normi tms. α! := α 1!α 2! α n!. Jos x (x = (x 1,..., x n )), niin x α = x α 1 1 x α 2 2 x α n n. Erityisesti multiindeksointia käytetään derivoinnin yhteydessä: D α u(x) = α 1 α2 α n x α 1 1 x α 2 2 x α n n u(x) = α 1 x α 1 1 α 2 x α 2 2 α n u(x), x α n n missä ja esim. u(x) x j = lim h 0 u(x + h(j)) u(x) h x j = 2. x j x 2 j Tällä kurssilla klassista osittaisderivointia harrastetaan vain funktioihin, jotka ovat α kertaa jatkuvasti derivoituvia, jolloin derivointijärjestyksellä ei ole väliä. 1.6. Huomautus. Huomaa, että D 0 u = u ja u(x) = (D (1,0,0...0) u, D (0,1,0...0) u,..., D (0,...,0,1) u). Esimerkki. (x 1 + + x n ) m = α =m m! α! xα, m N, α N n, x = (x 1,..., x n ).

8 1.1. Perusmerkintöjä Käytämme seuraavia funktioavaruuksia. 3 C() := {f : R : f jatkuva} C 1 () := {f : R : f jatkuvasti derivoituva} C k+1 () = {f C k () : on olemassa D α f C() kaikilla α N n, α = k + 1} C () = C k (), C = C. k N Jos u : R, niin u:n kantaja on joukon {x : f(x) 0} sulkeuma ( :ssä), merkitään supp f tai spt f, ts. supp f := {x : u(x) 0}. Jos supp u on kompakti :n osajoukko, niin sanotaan, että u on kompaktikantajainen :ssa. C0 k () = {u C k () : spt u kompakti} C0 () = C0 k () k N 1.7. Huomautus. Jos u C k 0 (), niin D α u on rajoitettu :ssa kaikilla α, joille α k. 3 f jatkuvasti derivoituva tarkoittaa, että f:llä on jatkuvat ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat.

9 2. L p -avaruudet 2.1. Yleistä Olkoon mitallinen ja p [1, ]. Tällöin L p () := {f : R : f mitallinen ja f L p () < }, missä ( f L p () = f p := ) 1 f p p dx, kun 1 p < ja f L () = f := ess sup f(x) x := inf{t > 0 : {x : f(x) > t} = 0} Siis f(x) f m.k. x. 2.1. Huomautus. Oikeasti L p ():n alkiot ovat ekvivalenssiluokkia [f], missä ekvivalenssirelaatio määritellään f g f(x) = g(x) m.k. x ja L p -avaruus on L p ()/. 2.2. Huomautus. Puhetapa f L p () tarkoittaa, että edustaja eli funktio on valittu/kiinnitetty. 2.3. Lause. (Hölderin epäyhtälö) Olkoot 4 p, q 1, 1 p + 1 q = 1 sekä f Lp () ja g L q (). Tällöin fg L 1 () ja fg 1 f p g q. 4 1 p + 1 q = 1 eli p = q q 1 eli pq = p + q; huomaa myös: jos p < p, niin q > q.

10 Todistus: Tapaus p = 1, q = ei vaikea, HT. Olkoon siis 1 0 ja g q > 0. Merkitään F = f ja G = g, f p g q jolloin F p = 1 = G q. Edelleen F (x)g(x) dx Young F (x) p dx + p = 1 p 1 + 1 q 1 = 1. G(x) q dx q Koska F (x)g(x) dx = väitteen epäyhtälö on todistettu. 1 f p g q fg dx, 2.4. Lause. (Minkowskin epäyhtälö) Olkoot f, g L p (). Tällöin f + g p f p + g p. Todistus: Tapaukset p = 1 ja p = ovat selviä. Olkoon siis 1 < p <. Tällöin kolmioepäyhtälöstä seuraa, että f + g p ( f + g ) p 1 ( f + g ) = f ( f + g ) p 1 + g ( f + g ) p 1, mistä integroimalla f + g p p = f + g p dx f f + g p 1 dx + g f + g p 1 dx Hölder f p ( = ( f p + g p ) f + g p 1 p. ) p 1 f + g (p 1) p p p 1 dx + g p f + g p 1 p

11 2.5. Lause. (Yleistetty Hölder). Jos p i [1, ] s.e. k i=1 niin k i=1 f i L 1 () ja 1 p i = 1 ja f i L p i (), f 1 f 2 f k dx k f i pi. i=1 Todistus: HT, Hölder ja induktio. Hölderissä oleellista, että 1 p + 1 q = 1, p 1. Muista, että pari (X, ) on normiavaruus, jos X on lineaariavaruus ja : X R on normi eli x 0 x = 0 x = 0 X λx = λ x ja x + y x + y kaikilla x, y X, λ R. Minkowskin epäyhtälöstä seuraa, että L p () on normiavaruus. Banach-avaruus on normi-avaruus (X, ), joka on metrisenä avaruutena täydellinen eli kaikki Cauchy-jonot suppenevat. Jono (x j ) on Cauchy, jos kaikilla ε > 0 on olemassa n N : x j x k < ε kaikilla j, k > n. Jono (x j ) suppenee, jos on olemassa x 0 X s.e. lim x j x 0 = 0. j 2.6. Lause. L p () on Banach-avaruus. Todistus: Olkoon 1 p < ja olkoon (f j ) L p () Cauchy-jono, ts. f j f k p < ε, kun k, j N ε. Riittää osoittaa, että on olemassa osajono, joka suppenee. Siis tarvittaessa valitaan (f j ):n osajono, jolle pätee f j f j+1 p 1. j=1

12 Tällöin Siis ts. sarja ( Fatou k=1 f k f k+1 ) 1 p p dx l lim inf f k f k+1 p l k=1 m.k. x : = lim l l f k f k+1 p k=1 f k f k+1 p 1. k+1 f k (x) f k+1 (x) <, k=1 (f k (x) f k+1 (x)) k=1 suppenee itseisesti m.k. x. Siis f(x) := f 1 (x) + k=1 on m.k. määritelty m.k äärellinen funktio. Edelleen Fatoun lemmasta seuraa f f k p = lim f j f k p j ( = lim inf j ε, Siten f k f L p ():ssa. f k+1 (x) f k (x) = lim j f j (x) lim f j f j (x) k (x) p dx ( kun k iso. ) 1 p ) 1 f j (x) f k (x) p p dx = lim inf j f j f k p Todistus antoi hyödyllisen lisätiedon: 2.7. Lause. Jos f j f L p ():ssa, niin on olemassa f j :n osajono (f jk ), jolle f jk (x) f(x) m.k. x. Lisäksi on olemassa sellainen h L p (), jolle f jk (x) f(x) h(x) m.k. x.

13 2.8. Huomautus. Kun 1 p <, niin osajonoon siirtymistä lauseessa 2.7 ei voida yleensä välttää. f 1,1 = χ [0, 1 ], f 1,2 = χ 2 ] 1 2,1] Induktiivisesti jatketaan ja jaetaan k. vaiheessa väli [0, 1] 2 k yhtäsuureen osaväliin I k,1, I k,2,..., I k,2 k ja f k,j = χ Ik,j. Silloin ( [0,1] ) 1 f k,j (x) p p dx = Ik,j 1 p = 2 k p 0, k ts. jono f 1,1, f 1,2, f 2,1,..., f 2,4 (x), f 3,1 (x),... suppenee kohti 0:aa L p ([0, 1]):ssä, mutta kuitenkaan pisteittäinen jono f 1,1 (x), f 1,2 (x), f 2,1 (x),..., f 2,4 (x), f 3,1 (x),... ei suppene millään x [0, 1]. 2.9. Huomautus. Tapaus p = 2 on erityinen sillä L 2 () on Hilbert-avaruus eli Banach-avaruus, jonka normin määrää sisätulo (f, g) := fg dx. Kun p 2, L p () ei ole Hilbert, mikä seuraa helposti suunnikasyhtälöstä. Jos 1 < p <, niin L p () on kuitenkin siedettävä avaruus ja L 1 () melko siedettävä. Muistetaan, että L p ():t ovat sisäkkäin, jos < : 2.10. Lause. Jos <, niin L p () L s () kun 1 s p ja f s p s sp f p f L s (.) Todistus: Tapaus p =, HT. Kun 1 p <, niin josta ( ) 1 f s s Jensen, t t p s konveksi ( f s 1 s 1 p f p. ) 1 f p p dx,

14 Harjoitustehtävä. Osoita, että L p () L s (), jos p > s ja 0 < <. 2.11. Lause. Olkoon <. Tällöin f p = lim f q. q p q1} f p dx = f p dx. { f 1} { f >1} 2.12. Huomautus. Erityisesti Lause 2.11 antaa: Jos < ja f q M kaikilla q < p, niin f p M. Kuitenkin (HT) L p () L q (). q<p 2.13. Lause. (Interpolointi) Olkoon 1 p q r. Tällöin L r () L p () L q () kaikilla mitallisilla ja f q f λ p f 1 λ r, missä 1 q = λ p + 1 λ. r Todistus: Voidaan olettaa, että p < q < r.

15 Tapaus r =. Tällöin λ = p q. ( f q = f p q f 1 p q q = ( f p q p q f q ) q dx ) 1 q f 1 p q ( f p dx ) 1 q = f 1 λ f λ p. Tapaus r <. f q q = f λ f 1 λ q q = f λq f (1 λ)q dx Hölder ( f p dx ) λq p ( ) p λq f (1 λ) p p p λq dx = f λq p f q(1 λ) r, sillä p p λq > 1 ja λq p 1 = λq p p λq = r q(1 λ). 2.14. Huomautus. Merkitään L p loc () = L p (E) lokaali L p -avaruus. E kompakti 2.15. Lause. (L p -normin jatkuvuus) Jos f L p ( ), 1 p <, niin lim f(x + h) f(x) p dx = 0. h 0 Siis g h (x) := f(x + h) f(x) L p :ssä.

16 Todistus: Helppo todistaa lähtemällä avoimen joukon karakteristisista funktioista ja sitä rataa yksinkertaisille funktioille. Toinen tapa käyttää tietoa C 0 ( ) L p ( ) on tiheä (ks. demot): 1. Olkoon ensin f C 0 ( ). Tällöin asia on selvä, koska f on tasaisesti jatkuva ja integrointi väitteessä koskee vain kompakteja joukkoja. B f(x + h) f(x), kun h 0. <ε 2. Olkoon sitten f L p ( ) mielivaltainen. Valitaan sellainen ϕ C 0 ( ), jolle ϕ f p < ε. Silloin f(x + h) f(x) p f(x + h) ϕ(x + h) p + ϕ(x + h) ϕ(x) p + ϕ(x) f(x) p = 2 f ϕ p + ϕ(x + h) ϕ(x) p < 3ε, <ε 0 missä viimeinen yhtäsuuruus seuraa Lebesguen mitan siirtoinvarianssista. 2.2. Silotus Olkoon η C 0 ( ) ei-negatiivinen funktio, jolle i) η(x) = 0 kaikilla x, joille x 1 ii) η(x) dx = 1. Tällaiseksi funktioksi käy esimerkiksi η(x) = missä c > 0, valitaan s.e. η(x) dx = 1 ts. {e 1 1 x 2 c, kun x < 1 0, kun x 1, 1 c = B(0,1) e 1 1 x 2 dx.

17 Huomaa, että tämä η on symmetrinen origon suhteen, mikä on kivaa. Jatketaan: Kun ε > 0, asetetaan η ε (x) = ε n η( x ε ) Tällöin spt η ε B(0, ε), η ε C0 ( ), η ε 0 ja η ε (x) dx = ε n x η( ε ) dx = ε n ε n η(y) dy = ε n n = 1. Tällaisia funktioita η ja η ε sanotaan silottajaytimiksi. Jos u L 1 loc (Rn ), määritellään konvoluutio u ε (x) := (η ε u)(x) := u(y)η ε (x y) dy. Konvoluutiota u ε sanotaan myös funktion u silotukseksi. 2.16. Huomautus. Kun u L 1 loc (Rn ), on silotus u ε hyvinmääritelty funktio u ε : R: u ε (x) = u(y)η ε (x y) dy = u(y)η ε (x y) dy ε n sup η u dy <. B(x,ε) B(x,ε) 2.17. Huomautus. Konvoluutio on symmetrinen: η ε u(x) = u(y)η ε (x y) dy z=x y y=x z = u(x z)η ε (z)dz = u η ε (x). Edelleen u ε (x) = u(y)η ε (x y) dy B(x,ε) on keskiarvointegraali mitan η ε dx suhteen, jolloin pallon B(x, ε) mitta on 1.

18 2.18. Lause. Olkoon u L 1 loc (Rn ) ja olkoot η ε silottajaytimiä, ε > 0. Tällöin (i) η ε u C ( ) ja D α (η ε u)(x) = (D α η ε ) u(x) kaikilla α N n ja kaikilla x (ii) Jos u L p ( ), niin u ε = η ε u L p ( ) ja u ε p u p. Lisäksi lim u ε u p = 0 jos 1 p <. ε 0 (iii) Jos u C() ( avoin), niin u ε u tasaisesti jokaisella kompaktilla K. (Tässä u nollajatketaan :ään.) Todistus: (i): Induktiolla voidaan olettaa, että α = 1. Olkoon e 1, e 2,... e n tavallinen :n kanta. Tällöin u ε (x + te i ) u ε (x) = Fubini = t 0 ( u(y) ηε (x + tε i y) η ε (x y) ) dy u(y) η ε (x + se i y) dy ds x i } {{ } on jva s:n funktio (kun s 0) Sisempi integraali on jatkuva, kun s 0, sillä R t 0 x i η ε (x+se i y)ds u(y) i η ε (x + se i y) dy u(y) i η ε (x y) dy Ms u(y) i η ε (x + se i y i η ε (x y)) dy M s VL, koska i ηε on rajoitettu u(y) dy s 0 0. B(x,2ε)

19 Näin ollen saamme u ε (x + te i ) u ε (x) t = 1 t jvuus t 0 t 0 u(y) η ε (x + se i y) dy ds x i u(y) η ε (x y) dy = ( η ε u ) (x). x i x i (ii): Jos p > 1 ja 1 p + 1 q = 1, niin u ε (x) = Hölder η ε (x y) ( 1 q ηε (x y) 1 p u(y) dy ) 1 q η ε (x y) dy } {{ } =1 ( ) 1 η ε (x y) u(y) p p dy ja siten u ε (x) p η ε (x y) u(y) p dy = η ε u p (x). Tämä epäyhtälö on tosi myös kun p = 1. Siten kaikilla 1 p < u ε p dx η ε (x y) u(y) p dy dx Fubini = u(y) p η ε (x y) dx dy = u p dx, } {{ } =1 eli (2.1) u ε p u p ; epäyhtälö (2.1) on voimassa myös, kun p = (miksi?).

20 Koska u ε (x) u(x) = u(y)η ε (x y) dy u(x) η ε (x y) dy = (u(y) u(x))η ε (x y) dy, } {{ } =1 η ε saadaan kuten yllä (kun! p < ) u ε (x) u(x) p dx (x y) u (y) u(x) p dy dx ( z x z ) Fubini = η ε (z) u(x z) u(x) p dx 0, kun z 0 eli jos ε 0 dz 0 ε 0 L2.15 (iii): Estimoidaan u ε (x) u(x) η ε (x y) u(y) u(x) dy ε n sup η (sup η) ε n u(y) u(x) dy M δ, <δ tas. K:ssa B(x,ε) kun ε on tarpeeksi pieni, sillä u on tasaisesti jatkuva K:ssa. 2.19. Huomautus. 1. Kohdan (ii) todistuksessa edellä käytettiin L p -normin jatkuvuutta (Lause 2.15). Se voitaisiin ohittaa (HT) käyttämällä kaavaa (2.1), kohtaaa (iii) ja tietoa: C 0 ( ) L p ( ) tiheä. 2. Kohdan (iii) todistuksesta nähdään, että kaikilla u L 1 loc (Rn ) u ε (x) u(x) kun ε 0 jokaisella x, jolle u(y) u(x) dy = 0. lim ε 0 ε n B(x,ε)

21 Tällaista pistettä x sanotaan u:n Lebesgue-pisteeksi. Voidaan osoittaa (reaalianalyysi) että m.k. x ovat u:n Lebesgue-pisteitä js siten u ε (x) u(x) m.k. x. Huomaa, että L 1 -konvergensista (Lause 2.18 (ii)) seuraa, että on osajono u εk, joka suppenee m.k. x kohti u(x):ää. 2.2. Lemma. Jos on avoin ja u L p () on sellainen, että on kompakti K s.e. u(x) = 0 kaikilla x \K, niin η ε u C 0 (), kunhan ε < dist(k, ) ja η ε u u L p ():ssa. Todistus: Jos x, jolle dist(x, K) > ε, niin u(y) = 0 kaikilla B(x, ε) ja siten η ε u(x) = B(x,ε) η ε (x y)u(y) dy = 0. Toisin sanoen, spt(η ε u) {x : dist(x, K) ε}. 2.20. Seuraus. Olkoon avoin ja 1 p <. Tällöin C 0 () on tiheä L p ():n osajoukko, ts. kaikilla f on olemassa jono ϕ j C 0 () s.e. Todistus: HT. lim ϕ j f p = 0. j 0 PYSYVÄISSOPIMUS: Jatkossa on avoin.

22 2.21. Seuraus. Jos K on kompakti, niin on olemassa ϕ C 0 () s.e. 0 ϕ 1 ja ϕ = 1 K:ssa. Lisäksi voidaan valita ϕ s.e. ϕ(x) 7 dist(k, ), jos Rn. Tällaista funktiota ϕ kutsutaan cut-off-funktioksi. Todistus:. [ (dist(x, ) δ u(x) = min δ 2 2 ) + ], 1 missä δ = dist(k, ) > 0. v(x) = 2 min(u(x), 1 2 ). Etsitty funktio on esimerkiksi v:n silotus v ε, kun ε tarpeeksi pieni. (Toinen tapa tehtdä tämä, on yhdistää u:n päälle sopiva sileä funktio.) Loput HT. 2.22. Huomautus. Tapaus p =. Ei päde (miksei?), että u ε u L :ssä, mutta kuitenkin u ε u. 2.3. Lemma. (Variaatiolemma.) Olkoon u L 1 loc () sellainen funktio, jolle uϕ dx = 0 kaikilla ϕ C 0 (). Tällöin u(x) = 0 m.k. x. Todistus: Olkoon K {x : u(x) > 0} kompakti. Valitaan avoimet D 1 D 2 K s.e. D 1 ja D j \K < 1 j. Olkoon ϕ j C 0 (D j ) s.e. 0 ϕ j 1, ϕ j = 1 K:ssa (tällainen on olemassa Seurauksen 2.21 nojalla.) Nyt uϕ j dx = 0. Lisäksi uϕ j u ja uϕ j (x) (uχ K )(x) m.k. x,

23 koten dominoidun konvergenssilauseen nojalla saamme uϕ j dx uχ K dx = u dx. K Niinpä K = 0, koska u > 0 K:ssa, joten {u > 0} = 0.

24 3. Heikko derivaatta eli distributiivinen derivaatta Esimerkki. Olkoon u C 1 () ja ϕ C0 (). Tällöin uϕ C0() 1 (voidaan olettaa, että uϕ C0(R 1 n )). Olkoon x. Tarkastellaan kuvausta t (uϕ)(x+te j ). nollajatko Tällöin voidaan valita t 1, t 2 R, joille ϕ(x + te j ) = 0 kaikilla t t 1 ja t t 2. Siten saamme (yksiulotteisesta) analyysin peruslauseesta: 0 = (uϕ)(x + t 1 e j ) (uϕ)(x + t 2 e j ) = = = t 1 t 2 ( j u)ϕ(x + te j )dt + ( j u)ϕ(x + te j )dt + t 1 t 2 t 1 t 2 u j ϕ(x + te j )dt u( j ϕ)(x + te j )dt. j (uϕ)(x + te j )dt Toisin sanoen, ( j u)ϕ(x + te j )dt = u j ϕ(x + te j )dt. R Integroidaan nyt yli muuttujien dx 1, dx 2,..., R dx j ei integroida tämän suhteen j uϕ(x + te j )dt dx 1... dx j... dx n = u j ϕ(x + te j )dt dx 1... jolloin Fubinin lauseesta seuraa j uϕ(x) dx = u j ϕ(x) dx,..., dx n dx j... dx n,

25 Siis (3.1) j uϕ(x) dx = u j ϕ(x) dx kaikilla ϕ C 0 (). 3.1. Huomautus. Tarkkaan ottaen yo. laskussa käytetään tietoa, että u C 1 ( ). Tämä ei ole oleellista (3.1):n aikaansaamiseksi: kun ϕ C 0 () on kiinnitetty, voidaan u korvata funktiolla (u, ψ), missä ψ C 0 (), 0 ϕ 1 ja ψ = 1 spt ϕ:ssä. Tällöin u:lle ja uψ:lle (3.1):n integraalit ovat samat. Kääntäen, on helppo nähdä, että jos v on sellainen jatkuva funktio, jolle vϕdv = u j ϕ dx kaikilla ϕ C0 (), niin v = j u, mikäli u C 1 (). 3.2. Määritelmä. (Heikko derivaatta) Olkoon u L 1 loc () ja α Nn. Jos on olemassa sellainen v L 1 loc (), jolle pätee osittaisintegrointikaava (3.2) ud α ϕ dx = ( 1) α vϕ dx kaikilla ϕ C0 (), niin v on u:n α. (heikko) derivaatta :ssa (distributiivinen, yleistetty tai Sobolev derivaatta) ja merkitään v = D α u. (Jos α = 1, D (0,...,0,1,0,...,0) u = j u ja u = ( 1 u, 2 u,..., n u).) 3.3. Huomautus. (1) iemmin merkittiin klassisia derivaattoja symbolilla D α u. Tästä ei aiheudu suurta sekaannusta sillä, jos u C α (), niin D α u = D α u m.k., ts. α. heikko derivaatta on m.k. α. (klassinen) derivaatta. (2) Variaatiolemman (Lemma 2.3) nojalla heikko derivaatta on m.k. yksikäsitteinen: Jos v 1, v 2 ovat heikkoja α. derivaattoja, niin (v 1 v 2 )ϕ dx = ( 1) α (ud α ϕ ud α ϕ) dx = 0 kaikilla ϕ C0 ().

26 3.4. Huomautus. Heikko derivaatta D α u on u:n distributiivinen derivaatta, mutta tässä vaaditaan erityisesti, että se on lokaali L 1 -funktio. Monesti jatkossa α = 1 ja silloin usein merkitään D α u = Du. Erityisesti u = (D (1,0,...,0) u, D (0,1,0,...,0) u,..., D (0,...,0,1) u) ja 0. derivaatta on funktio itse, D 0 u = u. 3.5. Huomautus. Jos v on D α u :ssa, niin v on u:n α. derivaatta D:ssä kaikilla D avoin. Esimerkki. a) Olkoon u(x) = { x, jos 0 < x 1 1, jos 1 x. =]0, 2[ u L 1 loc (). Koska heikko derivaatta yhtyy tavalliseen derivaattaan, kun jälkimmäinen on jatkuva, ainoa järkevä yrite derivaataksi on v(x) = { 1, jos 0 < x < 1 0,, jos x > 1. Nyt jos ϕ C 0 (]0, 2[), niin osittaisintegroimalla 1 2 uϕ dx = xϕ (x) dx + ϕ (x) dx ]0,2[ = / 1 0 xϕ(x) 0 1 0 ϕ(x) dx + = ϕ(1) + ϕ(2) ϕ(1) =0 ]0,2[ 1 / 2 1 ϕ(x) v(x)ϕ(x) dx eli v = D 1 u :ssa. b) Olkoon =]0, 2[ ja u(x) = { x, jos 0 < x < 1 2, jos x 1

27 Taas ainoa järkevä yrite derivaataksi on { 1, jos 0 < x < 1 v(x) = 0, jos x > 1. Olkoon ϕ C 0 (), jolloin 1 2 uϕ 1 dx = xϕ 1 (x) dx + 2ϕ 1 (x) dx = ϕ(1) = ]0,2[ 0 1 0 ϕ(x) dx + 2(ϕ(2) ϕ(11)) =0 v(x)ϕ(x) dx ϕ(1), joten valitsemalla sellainen funktio ϕ, jolle ϕ(1) 0, osittaisintegrointikaava ei päde. Siispä u:lla ei ole heikkoa derivaattaa :ssa. (Syy: u ei ole jatkuva pisteessä x = 1, ja kyseessä on 1-ulotteinen tilanne.) 1 Esimerkki. Olkoon, n 2. Jos u on rajoitettu eli u L () ja u:lla on \{x 0 }:ssa 1. kertaluvun heikko derivaatta v = Du L 1 loc (). Tällöin v on u:n heikko derivaatta :ssa: Oletuksen nojalla osittaisintegrointikaava (3.3) ud α ϕ dx = ( 1) α Duϕ dx pätee kaikilla ϕ C0 (\{x 0 }). Osoitetaan, että kaava (3.3) pätee kaikilla ϕ C 0 (). Olkoon ϕ C 0 (). Valitaan cut-off funktio ψ j C 0 (B(x 0, 1 j )) s.e. ψ j(x) = 1, kun x B(x 0, 1 10 101010 j ) ja 0 ψ j 1 sekä ψ j 10 10 j (ks. Lemma 2.21). Tällöin ϕ(1 ψ j ) C 0 (\{x 0 }), joten sitä voidaan käyttää testifunktiona eo. kaavassa. Saamme spt ϕ 1m.k. {}}{ Du(ϕ (1 ψ j )) c Du L 1 dx = ud(ϕ(1 ψ j )) dx. Dominoidun konvergenssilauseen nojalla vasen puoli suppenee kohti integraalia Du ϕ dx

28 ja oikea puoli = udϕ (1 ψ j ) dx + 1 1 c u L 1 udϕ dx + 0, uϕdψ j dx sillä uϕdψ j dx B(x, 1 j ) <M <M j {}}{ u ϕ Dψ j dx cmj ( 1 j ) n = cj 1 n j 0. Näin ollen (3.3) on tosi kaikilla ϕ C 0 () ja siten v on u:n heikko derivaatta koko :ssa. 3.6. Huomautus. Heikko derivaatta (ja sen olemassaolo) on määritelmän mukaan globaali ominaisuus. Se on myös lokaali ominaisuus: u:lla on heikko derivaatta v = D α u :ssa, jos ja vain, jos jokaisella x on ympäristö B(x, r) s.e. u:lla on α. heikko derivaatta v B(x, r):ssä. Vain jos -suunta on triviaali. Jos-suunta seuraa seuraavasta lemmasta ja lauseesta tai käyttämällä ns. ykkösen ositusta (ks. Lause 4.12). 3.4. Lemma. Olkoon u L 1 loc (), jolla on α. heikko derivaatta Dα u L 1 loc (). Olkoon η ε silottajaydin, jolle spt η ε B(0, ε). Tällöin D α (η ε u)(x) = η ε D α u(x) kaikilla x, joilla dist(x, ) > ε Todistus: Koska y η ε (x y) on C 0 -funktio, voidaan osittaisintegroida ja saadaan D α (η ε u)(x) L.2.18 = (D α η ε ) u(x) = D α η ε (x y) y D α η ε (x y) tai = u(y) dy os.int. = ( 1) α η ε (x y)d α u(y) dy = η ε D α u(x). ( 1) α η ε (x y)d α u(y) dy

29 3.7. Lause. Olkoon u, v L 1 loc (). Tällöin v = Dα u jos ja vain jos on olemassa jono ϕ j C () s.e. kaikilla avoimilla D : ϕ j u L 1 (D):ssä ja D α ϕ j v L 1 (D):ssä. Todistus: : harjoitustehtävä. : valitse ϕ j = η 1 u ja katso Lemmaa 3.4 sekä Lausetta 2.18. j 3.8. Huomautus. Jos u:lla ja v:llä on heikot derivaatat, niin D α (λu + µv) = λd α u + µd α v, λ, µ, R, HT. 3.9. Lause. (Tulosääntö) Olkoot u, v L loc () sellaisia, että niillä on 1. kertaluvun yleistetty derivaatta Du L 1 loc () ja Dv L1 loc () (molemmilla samaan suuntaan). Tällöin tulo uv derivoituu heikosti ja D(uv) = udv + (Du)v. Todistus: Valitaan u j C () s.e. u j u ja u j u ja Du j Du L 1 (G):ssä kaikilla avoimilla G. Osoitetaan, että osittaisintegrointikaava pätee: Olkoon ϕ C 0 (). Valitaan G s.e. spt ϕ G. Nyt G = v D(u j ϕ) G =(Du j )ϕ+u j Dϕ dx = G v(du j ϕ + u j Dϕ) dx, Dv(u j ϕ) dx ts. G ( u j Dv +(Du j )v)ϕ dx = c Dv L 1 G vu j Dϕ dx M

30 Osajonoon siirtymällä u j (x) u(x) m.k., joten Dom. konvergenssista vasemmalle puolelle seuraa (udv Duv)ϕ dx = uvdϕ dx, sillä (Du Du j ) vϕ dx M Du Duj 1 0. <M 3.10. Huomautus. Tulosäännön oletus u, v L loc () voidaan korvata oletuksella uv L 1 loc () ja udv + vdu L1 loc (), ks. Lause 3.21. 3.11. Huomautus. Jos α = (α 1,..., α n ), β = (β 1,..., β n ) N n, niin ( ) α = β α! β!(α β)! = α 1! α 2! α n! β 1! β n!(α 1 β 1 )! (α n β n )!, jos α i β i. Sileille funktioille u, v C () on voimassa ns. Leibnitzin kaava D α (u, v)(x) = β α ( ) α D β u(x)d (α β) v(x). β Sama kaava pätee myös heikoille derivaatoille mikäli kaikki esiintyvät termit ovat OK, erityisesti lokaalisti integroituvia (tässäpä harjoitustehtävää). 3.12. Lause. Jos on alue ja funktion u L 1 loc () ensimmäiset heikot derivaatat häviävät :ssa, ts. u = 0 m.k. :ssa, niin on olemassa c R, jolle u(x) = c m.k. x. Todistus: Tyhjennetään : otetaan alueet D 1 D 2, joille = D j. j=1 Kiinnitetään j ja olkoon ε < dist(d j, \ ). Tällöin (η ε u)(x) = η ε u(x) kaikilla x D j

31 (voidaan tehdä koordinaateittain, Lemma 3.4). Koska η ε u C (D j ), seuraa tästä, että on olemassa vakio a ε R, jolle η ε u(x) ε 0 u(x) m.k. = a ε ε 0 c j kaikilla x D j. On siis c j R s.e. u(x) = c j m.k. x D j. Koska D 1 D 2..., niin c j = c k kaikilla k, j ja siten u(x) = c 1 m.k x D j =. j=1 3.13. Lause. (Ketjusääntö) Olkoon f C 1 (R) s.e. f L (R). Jos funktiolla u L 1 loc () on 1. kertaluvun heikko derivaatta Du L1 loc (), niin yhdistetyllä funktiolla f u on 1. kertaluvun heikko derivaatta ja D(f y)(x) = f (u(x))du(x) m.k. x. 3.14. Huomautus. Lauseen 3.13 funktio f on Lipshitz: f(x) f(y) = VL f (ξ)(x y) f x y kaikilla x, y R. Todistus: Huomaa, että f (u)du L 1 loc (). Olkoon u j C () sellaisia, että kaikilla G : u j u, Du j Du L(G):ssä. (Lause 3.7). Tällöin f u j (x) f u(x) dx G = f(u j (x)) f(u(x)) dx G f Lip. f G u j (x) u(x) dx j 0. Siispä f u j f u L 1 (G):ssä ja erityisesti f u L 1 (G). Siten f u L 1 loc ().

32 Osoitetaan lopuksi, että D(f u j ) f (u)du L 1 (G):ssä kaikilla G, jolloin väite seuraa Lausessta 3.7. Voidaan osoittaa, että u j (x) u(x) m.k. x (osajonoon siirtymällä). G = f (u)du D (f u j ) dx = f (u)du f (u j )Du j dx C 1 G f (u)(du Du j ) Du(f (u j ) f (u)) dx G G f (u) Du j Du dx + <M G f Du j Du 1 + 0 G Du f (u j ) f (u) dx 0 m.k. x, koska f jva ja u j (x) u(x) Du f (u j ) f (u) dx j 0. Edellä käytettiin dominoidun konvergenssis lausetta; huomaa, että integrandeilla Du f (u j ) f (u) on majorantti 2 Du f L 1 (G). Merkintä. Funktioiden positiivi- ja negatiiviosat ovat { u + u(x), jos u(x) > 0 (x) := 0, jos u(x 0) { u u(x), jos u(x) < 0 (x) := 0, jos u(x) 0. Näiden avulla saadaan itseisarvo ja maksimi sekä minimi: u = u + + u, u = u + u. max(u, v)(x) = max(u(x), v(x)) = (u v) + (x) + v(x) min(u, v)(x) = min(u(x), v(x)) = v(x) (u v) (x).

33 3.15. Lause. Jos funktiolla u L 1 loc () on 1. kertaluvun heikko derivaatta Du :ssa, niin funktioilla u +, u ja u on myös 1. kertaluvun heikko derivaatta ja { Du + Du(x), jos u(x) > 0 (x) = 0, jos u(x) 0 { Du Du(x), jos u(x) < 0 (x) = 0, jos u(x) 0 Du(x), jos u(x) > 0 D u = Du + (x) + Du (x) = Du(x), jos u(x) < 0 0, jos u(x) = 0 Lisäksi: Du(x) = 0 m.k. x {y : u(y) = 0}. Todistus: Koska u = ( u) +, niin mikäli väite pätee u +, niin loput seuraavat siitä; huomaa, että tällöin Du = D(u + ) D(u ) = 0 0 = 0 m.k. joukossa {x : u(x) = 0}. Siten riittää osoittaa, että on olemassa Du + ja että väitteen kaava on sille voimassa. Olkoon f ε (t) = { t2 + ε 2 ε, jos t > 0 0, jos t 0, jolloin f ε(t) = { t t 2 +ε 2, jos t > 0 0, jos t 0 ja siis f C 1 (R) sekä f(t) 1 kaikilla t R. Ketjusäännön 3.13 nojalla f ε u on heikosti derivoituva ja D(f ε u) =f ε(u(x))du(x) { u(x) Du(x), jos u(x) > 0 = u(x) 2 +ε2 0, jos u(x) 0. Olkoon ϕ C 0 (). Tällöin D(f ε u)ϕ dx = f ε udϕ dx

34 Siis {x:u(x)>0} 1 {}}{ u(x) u2 + ε Du(x)ϕ(x) dx = } 2 {{} Duϕ L 1 {x:u(x)>0} u(x) { }}{ ( u(x)2 + ε 2 ε) dx. u+ε Dϕ L 1 Dϕ(x) Vasemmasta puoliskosta saadaan rajalla dominoidun konvergenssilauseen avulla {u(x)>0} Duϕ dx = Du + ϕ dx (missä Du + viittaa väitteen kaavalla määriteltyyn funktioon) ja oikeasta puoliskosta saadaan u(x)dϕ(x) dx = u + (x)dϕ(x) dx, {u(x)>0} joten Du + ϕ dx = u + (x)dϕ(x) dx. 3.16. Huomautus. = u + Dϕ dx Duϕ dx = udϕ dx u Dϕ dx = Duϕ dx Duϕ dx u + Dϕ dx + Duϕ dx = {u>0} u Dϕ dx + {u<0} ( Du)ϕ dx {u>0} } {{ } =0 {u 0} } {{ } =0

35 3.17. Seuraus. {(Hilaominaisuus)} Jos u, v heikosti 1. kertaa derivoituvia, niin max(u, v) ja min(u, v) ovat myös ja D max(u, v)(x) m.k.x = D min(u, v)(x) = { Du(x), Dv(x), { Dv(x), jos u(x) v(x) jos v(x) u(x) jos u(x) v(x) Du(x), jos u(x) v(x). Erityisesti Du = 0 m.k. joukossa {u(x) = λ} kaikilla λ R. Seurauksen 3.17 antama etuus on se, että voidaan typistellä eli tutkia leikattuja funktioita u max(min(u, k), k). Sen avulla useat väitteet riittää todistaa rajoitetuille funktioilla (ja huolehtia vain, että ominaisuudet eivät menehdy rajankäyntiin). 3.1. bsoluuttinen jatkuvuus Muista, että jos [a, b] R, niin funktio f : [a, b] R on absoluuttisesti jatkuva, jos jokaisella ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että aina, kun poimitaan äärellisen monta pistevierasta välin [a, b] osaväliä, joiden yhteenlaskettu pituus on alle luvun δ, niin funktion f kokonaisheilahtelu po. välien päätepisteissä on alle ε, ts. jos a a 1 < b 1 a 2 < b 2 < a k < b k < b ovat sellaiset, että k (b j a j ) < δ, j=1 niin k f(b j ) f(a j ) < ε. j=1 Muista. (i) bsoluuttisesti jatkuva on jatkuva.

36 (ii) Reaalianalyysin kurssilla todistettanen: 5 f on absoluuttisesti jatkuva, jos ja vain, jos on olemassa (tavallinen derivaatta) f (x) m.k. x [a, b], f L 1 ([a, b]) ja f(y) = f(a) + f (x) dx kaikilla y [a, b]. [a,y] Jos-suunnassa riittää, että eo. integrointikaava on voimassa, kun f korvataan integroituvalla funktiolla g (joka a posteriori on f:n derivaatta m.k.). Heikko derivaatta ja absoluuttinen jatkuvuus, kun n = 1. 3.18. Lause. Olkoon R avoin ja u L 1 loc () heikosti derivoituva (ts. on olemassa Du L 1 loc (). Tällöin on olemassa sellainen v : R, että v [a,b] on absoluuttisesti jatkuva jokaisella osavälillä [a, b] ja v(x) = u(x) m.k. x. Lisäksi Du(x) = Dv(x) m.k. x. Kääntäen, jos f L 1 loc () on sellainen funktio, jolle rajoittumat f [a,b] ovat absoluuttisesti jatkuvia kaikilla [a, b] ja jos f L 1 loc (), niin f on heikosti derivoituva ja Df = f m.k. Todistus: Riittää osoittaa, että f on f:n heikko derivaatta (tehtiin oleellisesti harjoituksissa). Olkoon ϕ C0 (). Tällöin (fϕ) on absoluuttisesti jatkuva kaikilla väleillä [a, b], joten spt fϕ 0 = (fϕ) dx = f ϕ dx + fϕ dx, ts. fϕ dx = ϕf dx kaikilla ϕ C 0 () eli f = Df. Voidaan olettaa, että on yhtenäinen. Otetaan ϕ j C () s.e. ϕ j u ja ϕ Du L 1 loc ():ssa ja ϕ j(x) u(x) m.k. x. Valitaan x 0, jolle ϕ j (x 0 ) u(x 0 ). Väite: Kaikilla x ϕ j (x) u(x 0 ) + [x 0,x] Du(y)dy. 5 katso esim. Bruckner, Bruckner, and Thomson: Real analysis.

37 Todistus: ϕ j dy Du(y) dy ϕ j Du dy 0. [x 0,x] [x 0,x] [x 0,x] Siten ϕ j (x) = ϕ j (x 0 ) + ϕ dy u(x 0 ) + Du(y) dy kaikilla x. [x 0,x] [x 0,x] Väitten nojalla rajafunktio v, v(x) = lim j ϕ j (x) on absoluuttisesti jatkuva välillä [a, b]. Koska ϕ j (x) u(x) m.k. x, on v(x) = u(x) m.k. x. Erityisesti siis heikosti derivoituvalla u L 1 loc (]a, b[) on (absoluuttisesti) jatkuva edustaja. Heikko derivaatta ja absoluuttinen jatkuvuus, kun n 2. Kun n 2, niin heikosti derivoituvalla funktiolla ei yleensä ole jatkuvaa edustajaa (esimerkiksi funktio x 3 2 n on tällainen). 3.19. Määritelmä. Funktio u : R,, on CL :ssa (eli absoluuttisesti jatkuva m.k. suorilla), jos se on absoluuttisesti jatkuva melkein jokaisella koordinaattiakselin suuntaisella suoralla tarkasti: Olkoon L j. koordinaattiakselin suuntainen suora, ts. L = {x L + te j : t R} ja (x 1, x 2,..., x j 1, 0, x j+1,..., x n ), e j j. kantavektori. Jos J L on suljettu jana, ts. J = {x L + te j : t [a, b]}, niin t u(x l + te j ) on absoluuttisesti jatkuva välillä [a, b].

38 Melkein jokaisella suoralla tarkoittaa: m n 1 (P j (E)) = 0 kaikilla j = 1,..., n, missä E = {x L : ominaisuus ei päde suoralla {x L + te j : t R}} ja P j : 1 on j. projektio, ts. P j ((x 1,..., x n )) = (x 1,..., x j 1, x j+1,..., x n ) 3.20. Huomautus. CL-funktio ei välttämättä ole edes mitallinen. Varo: Jotkut sisällyttävät jatkuvuuden CL-funktioiden määritelmään. 3.21. Lause. Olkoon u L 1 loc (), Rn. Tällöin u:lla on heikko derivaatta D i u L 1 loc (), jos ja vain, jos on olemassa sellainen CL-funktio v : R, jolle Tällöin i v = D i u m.k. :ssa. u(x) = v(x) m.k. x ja i v L 1 loc(). Tässä i v on osittaisderivaatta, joka on tavallisessa mielessä olemassa m.k. suorilla L, jolla v on absoluuttisesti jatkuva. Todistus: Kuten edellinen lause + Fubini. Voidaan olettaa, että = ja että u(x) = 0, kun x R. (Helppoa, kun käyttää cut-off -funktioita, palloja ja diagonaaliargumenttia.) Valitaan ϕ j C 0 ( ) (voidaan olettaa, että spt ϕ j B(0, 2R)), jolle ϕ j (x) u(x) m.k. x ja D i ϕ j (x) D i u L 1 ( ):ssä. Merkitään pistettä x symbolilla ( x, x i ), missä x 1. ( D i ϕ j ( x, x i ) D i u( x, x i ) dx i ) d x j 0. 1 R Osajonoon siirtymällä voidaan olettaa, että m.k. x 1 R D i ϕ j ( x, x i ) D i u( x, j x i ) dx i 0 x i 0 on Cauchy L 1 :ssä

39 Siispä m.k. x 1 : R D i ϕ j ( x, x i ) D i ϕ k ( x, j,k x i ) dx i 0. Cauchy Nyt kaikilla x B(0, 2R) pätee ϕ j ( x, x i ) ϕ k ( x, x i ) = x i D i ϕ j ( x, t) D i ϕ k ( x, x i )dt 2R alarajoilla sij =0 D i ϕ j ( x, t) D i ϕ k ( x, t) dt 0. R Näin ollen, jono x i ϕ j ( x, x i ) on tasaisesti Cauchy-jono R:ssä, joten se suppenee tasaisesti kohti jotain jatkuvaa funktiota x i v( x, x i ). Toisaalta x i D i ϕ j ( x, t)dt x i D i u( x, t)dt, joten 2R =ϕ j ( x,x i ) x i v( x, x i ) = 2R 2R D i u( x, t)dt. Toisin sanoen, x i v( x, x i ) on absoluuttisesti jatkuva välillä [ 2R, 2R]. Toisaalta ϕ j ( x, x i ) u( x, x i ) m.k. x, joten v on etsitty edustaja. Derivaatta saadaan suoraan integraalista. 3.22. Huomautus. Lokaalisti Lipschitz-funktio u : R on absoluuttisesti jatkuva kaikilla suorilla ja sen osittaisderivaatta on lokaalisti rajoitettu, joten u on heikosti derivoituva. Muista, että u on lokaalisti Lipschitz-funktio, jos kaikilla palloilla B(x 0, r) on vakio M B s.e. u(x) u(y) Mu B (x, y) kaikilla x, y B(x 0, r).

40 4. Sobolev-avaruudet, osa II 4.1. Määritelmä. Olkoon avoin ja k N ja 1 p. Sobolev-avaruus W k,p () koostuu kaikista funktioista u L p (), joilla on heikot derivaatat D α u :ssa kaikilla α N n, α k, ja D α u L p (). (k =kertaluku) Siinä käytetään normina 6 Vastaava lokaali avaruus on Huomaa, että samastuksella u k,p := u W k,p () = α N n α k D α u L p () W k,p loc () := {u : u W k,p (D) kaikilla D }. u (u, D (1,0,... ) u, D (0,1,0... ),... ) W k,p () voidaan tulkita tuloavaruuden L p () L p () L p () aliavaruudeksi. Muita käytettäviä ekvivalentteja normeja W k,p ():ssa on mm. ( u := α k ) 1 D α u p p dx (1 p < ) ; ekvivalenttius tarkoittaa sitä, että on olemassa sellainen vakio c R, jolle 1 c u k,p u c u k,p kaikilla u W k,p (). 4.2. Huomautus. Jos p = 2, niin avaruuteen W k,2 () tulee normi sisätulosta (u v) := D α ud α v dx α k ja (u u) = u 2, joka on siis ekvivalentti normin k,2 kanssa; tätä normia käytetään yleensä W k,2 ():ssa, koska tästä tulee tällöin Hilbert-avaruus. 6 Huomaa, että D 0 u eli u on summassa mukana.

41 4.3. Lause. (W k,p (), k,p ) on Banach-avaruus. Todistus: Demot. 4.4. Huomautus. Jatkossa ei yleensä ole väliä, mitä ekvivalenteista normeista W k,p ():ssa käytetään; ekvivalenttiusvakio on yleensä c = c(k, p, n). Lauseesta 3.21 saadaan 4.5. Lause. Olkoon u L p (). Tällöin u W 1,p () jos ja vain jos on olemassa sellainen CL-funktio v L p (), jolle j v L p () kaikilla j = 1,..., n ja v = u m.k. :ssa. 4.6. Huomautus. Monet ilmiöt W k,p ():ssa voidaan induktiivisella päättelyllä helposti palauttaa W 1,p ():aa koskeviksi ilmiöiksi. Tästä syystä jatkossa useimmiten rajoitumme tarkastelemaan avaruuksia W 1,p (). Selvästi C0 () C0 k () W k,p (); joukon C0 (): sulkeumaa W k,p ():ssa merkitään symbolilla W k,p 0 (). (Sanotaan, että u W k,p 0 () häviää :lla Sobolevmielessä.) Siis u W k,p 0 () jos ja vain jos on olemassa jono ϕ j C0 () s.e. lim u ϕ j k,p = 0. j Tällöin (W k,p 0 (), k,p ) on Banach-avaruuden suljettuna aliavaruutena itsekin Banach-avaruus. 4.7. Huomautus. W k,p 0 () W k,p (). Yleensä W k,p 0 () W k,p (), esimerkiksi kun rajoitettu. Intuitiivisesti W k,p 0 ():n funktiot häviävät :lla (ei ole tarkkaan ottaen totta, katso Lause 8.24). Jos u W k,p 0 (), niin (HT) v W k,p v(x) = 0 ( ) W k,p ( ), missä { u(x), jos x 0, jos x /. Käänteinen puoli ei ole selllaisenaan edes mielekäs kysymys (miksei?), vaan tarvitsee lisäpohdintaa (katso Lause 8.24).

42 4.8. Määritelmä. Olkoon, 1 p <, k N. Sobolev-avaruus H k,p () on joukon C () W k,p () sulkeuma W k,p ():ssa, ts. u H k,p () jos ja vain jos u L p (), D α u L p () kaikilla α : α k ja on olemassa jono ϕ j C (), jolle u ϕ j k,p 0, kun j. 4.9. Huomautus. (H k,p (), k,p ) on Banach-avaruus. u H k,p () jos ja vain jos u L p () ja on olemassa funktiot v α L p () kaikilla α N n, α k, ja ϕ j C () s.e. ϕ j u L p () : ssa ja D α ϕ j v α L p () kaikilla α N n, α k. Tällöin v α =: D α u. (Lause 3.7.) 4.10. Huomautus. Jatkossa joskus merkitään vastaavasti H k,p 0 () := W k,p 0 (). 4.11. Huomautus. Kun p = 2, usein kirjallisuudessa merkitään H k,2 () = H k () ja H k,2 0 () = H k 0 (). HVINTO: Inkluusio H k,p () W k,p () tulee suoraan määritelmästä. Edelleen, H k,p ( ) = W k,p ( ). Syy: Jos u W k,p ( ), niin silotetaan ϕ j = η 1/j u, jolloin ϕ j L p ( ) ja ϕ j u L p ( ):ssa (Lause 2.5) ja D α ϕ j = D α (η 1 j u) Lemma 3.4 = η 1 D α u D α u j L p ( ) : ssä. Itse asiassa näin on kaikilla : H k,p () = W k,p ().

43 Eo. päättely osoittaa, että 7 W k,p () H k,p loc (). Yhtäsuuruuden H k,p () = W k,p () todistamiseksi tarvitsemme ns. ykkösen ositusta : 4.12. Lause. (Ykkösen ositus) Jos E ja G kokoelma avoimia joukkoja U, joille E U G U. Tällöin on olemassa sellainen kokoelma Ψ C 0 ( ), että kaikilla ψ Ψ: 0 ψ(x) 1 kaikilla x, ψ C 0 ( ) ja i) kaikilla ψ Ψ on olemassa U G s.e. spt ψ U, ts. ψ C 0 (U) ii) jos K E kompakti, niin #{ψ Ψ : spt ψ K } < iii) ψ(x) = 1 kaikilla x E. ψ Ψ (Kokoelma Ψ on joukon E peitteeseen G liittyvä ykkösen ositus.) Todistus:. E kompakti: Tällöin on olemassa U 1, U 2,..., U k G s.e. E k ja on olemassa kompaktit E j U j s.e. E = k E k. j=1 U j j=1 (Esimerkiksi E j = {x E : dist(x, U j ) c pienellä c}.) Olkoon ϕ j C 0 (U j ), 0 ϕ j 1, ϕ j = 1 E j :ssä (Seuraus 2.21) ja olkoon ϕ = k ϕ j. j=1 7 H k,p loc () = {v Hk,p (D) : D }.

44 Tällöin Merkitään ϕ C0 () ja E {x : ϕ(x) 1}. on kompakti E := {x : ϕ(x) 1} {x : ϕ(x) > 1 2 } =: V, jolloin V on avoin. Valitaan h C ( ) s.e. h(x) > 0 kaikilla x ja h(x) = ϕ(x) kaikilla x E. (Tällainen h on olemassa: olkoon g C 0 (V ), 0 g 1 s.e. g = 1 E:ssa, jolloin esimerkiksi h = 1 + ϕ g käy.) Määritellään Ψ = { ϕ j h : j = 1, 2,..., k} C 0 ( ). Ehdot (i) ja (ii) ok tälle perheelle Ψ.. Jos x E, k j=1 joten (iii) on ok; tämä on siis etsitty perhe. B. E avoin: Valitaan ϕ j (x) h(x) = 1 ϕj (x) = 1, h(x) =ϕ(x) E i := B(0, i) {x E : dist(x, E) 1 }, i = 1, 2,... i Tällöin joukot E i ovat kompakteja ja Merkitään E 0 := =: E 1. Kun E i = E. i=1 U j := {U (inte j+1 )\E j 2 : U G}, j = 1, 2,..., on U j E j \inte }{{ j 1 :n avoin peite. } kompakti

45 Kohdan nojalla jokaisella j on olemassa sellainen Ψ j C 0 ( ), että #Ψ j < ja Ψ j on E j \inte j 1 :n peitteeseen U j liittyvä ykkösen ositus. Olkoon nyt 8 s(x) = j=1 ψ Ψ j ψ(x) Tällöin s(x) > 0 kaikilla x E ja s C ( ). Määritellään Ψ = j=1ψ Ψ j { f : missä f(x) = Tällöin Ψ C 0 ( ) on etsitty funktioperhe. C. E mielivaltainen: Tällöin { ψ(x) s(x) G = U U G }, jos x E,. f(x) = 0, jos x / E on avoin joukko ja sen peitteeseen G liittyvä ykkösen ositus on myös joukon E G peitteeseen G liittyvä ykkösen ositus. 4.13. Lause. (H = W, sileillä approksimointi) Kun 1 p <, niin H k,p () = W k,p (), ts. jokaisella u W k,p () on olemassa jono ϕ j C () W k,p () s.e. ϕ j u L p ():ssa ja D α ϕ j D α u L p ():ssa kaikilla α : α k. Todistus: Valitaan = 0 1 2 3 s.e. = j. j=1 Olkoon Ψ :n peitteeseen { j+1 \ j 1 : j = 1, 2,... } liittyvä ykkösen ositus. Olkoon Ψ j = {ψ Ψ : spt ψ j+1 \ j 1 } 8 Huomaa, että summassa vain äärellisen monta nollasta eroavaa termiä kerrallaan annetulla kompaktilla joukolla.

46 Tällöin #Ψ j < ja ψ j C 0 ( j+1 \ j 1 ), missä ψ j = ψ Ψ j ψ. Lisäksi ψ j (x) = j=1 ψ(x) = ψ(x) = 1 kaikilla x. ψ Ψ j j=1 ψ Ψ Olkoon ε > 0, (ε < dist( j+1 \ j 1, ( j+2 \ j 2 ))). Nyt ε 0 η ε (ψ j u) ψ j u L p ():ssa. C0 ( j+2\ j 2 ) Edelleen D α (η ε (ψ j u)) :ssa = η ε D α (ψ j u) D α (ψ j u) L p ():ssa kaikilla α, joille α k. Olkoon δ > 0. On olemassa ϕ j C 0 ( j+2 \ j 2 ) s.e. Olkoon ϕ = j=1 ϕ j C () ja ϕ u k,p = ψ j u ψ j k,p < δ 2 j. ϕ j ( ) ψ j u k,p j=1 ϕ j ψ j u }{{ k,p < δ. } < δ 2 j j=1 j=1 4.14. Huomautus. Lauseessa 4.13 ei väitetä, että funktiota u W k,p () voitaisiin approksimoida funktioilla ϕ j C (). Tällaista approksimointia ei voida saavuttaa kuin poikkeustapauksissa. (HT) Yleensä W k,p 0 () W k,p (), mutta jos = avaruudet ovat samat:

47 4.15. Lause. Jos 1 p <, niin W k,p ( ) = W k,p 0 ( ). Todistus: Todistetaan yksinkertaisuuden vuoksi vain tapaus k = 1. Olkoon u W 1,p ( ) ja ε > 0. Pitää löytää ϕ C0 ( ) s.e. u ϕ 1,p < ε. Koska W 1,p 0 () on Banach, riittää löytää v W 1,p 0 () s.e. v u 1,p < ε. Valitaan r > 0 s.e. ( B(0,r) ) 1 u p p n dx + j=1 ( B(0,r) ) 1 D j u p p ε dx < n + 1. Valitaan (cut-off) ψ C 0 ( ) s.e. 0 ψ 1, ψ B(0,r) 1 ja ψ(x) 1 kaikilla x. Tällöin v = uψ W 1,p 0 ( ) (ks. Harj.) Lasketaan: koska ψ = 1 pallossa B(0, r) n u v 1,p = } u {{ v } p + D j u D j v p =(1 ψ)u j=1 =D j (1 ψ)u=(1 ψ)d j u ud j ψ = ( (1 ψ)u p dx ) n 1 p ( + (1 ψ)d j u p dx ) 1 p B(0,r) 1 j=1 B(0,r) 1 n ( + ud j ψ p dx ) 1 p j=1 (n + 1) ( B(0,r) B(0,r) ε (n + 1) n + 1 = ε. u p dx ) 1 p + n ( j=1 B(0,r) D j u p dx ) 1 p

48 5. Perusepäyhtälöt 5.1. Sobolevin epäyhtälöt 5.1. Lause. (Sobolevin epäyhtälö, kun p = k = 1) Olkoon avoin, n 2. Tällöin on olemassa vakio c = c(n) > 0 s.e. Huomaa, että n > 1. n 1 u n n 1 c u 1 kaikilla u C 1 0(). 5.2. Määritelmä. Olkoon 1 p < n. Tällöin p:n Sobolev-konjugaatti on luku Huomaa: p = np n p. p = np n p n n 1 p > p ja 1 p = 1 p 1 n sekä ( pn n + p ) = p. 5.3. Lause. (Sobolevin epäyhtälö/ Sobolevin upotuslause) Kun 1 0 s.e. missä on avoin. u p c u p kaikilla u W 1,p 0 (), Lauseen 5.1 todistus: Voidaan olettaa, että u C 0 (). Koska spt u on kompakti, voidaan olettaa, että =. Nyt u(x) = x i i u(x 1, x 2,..., x i 1, t, x i+1,..., x n )dt x i u(x 1, x 2,..., x i 1, t, x i+1,..., x n ) dt

49 kaikilla i = 1, 2,..., n, joten u(x) n ( x 1 )( x2 u dy 1 ) ( x n u dy 2... u dy n ). Nyt integroimalla ja käyttämällä yleistettyä Hölderin epäyhtälöä eksponeneteilla n 1 saadaan u(x) n n 1 dx1 = ( n i=1 ( ( u dy i ) 1 n 1 dx 1 u dy 1 ) n n 1 u dy 1 ) 1 n 1 ( n i=2 ( n i=2 u dy i ) 1 n 1 dx 1 u dy i dx 1 ) 1 n 1.

50 Toistamalla tämä n 1 kertaa u(x) n n 1 dx1 dx 2... dx n = } {{ } n 1 kpl } {{ } n 2 kpl ( [( [( u dy 1 ) 1 n 1 u dx 1 ) 1 n 1 n i=2 ( u dy 2 dx 1 ) 1 n 1 n i=3 ( u dy i dx 1 ) 1 n 1 ] dx 2... dx n u dy i dx i ) 1 n 1 dx2 ( ) 1 Q n 1 n R R i=1 u dx 2 dx i... n i=3 (... ( ) 1 ( n 1 u dx 1 dx i u dx 1... dx n ) n n 1 = ( u dx ] dx 3... dx n u dx 1 dx 2 ) 2 n 1 dx3... dx n ) n n 1. Siispä saatiin haluttu epäyhtälö u n n 1 u 1. 5.4. Huomautus. Hieman huolellisemmalla arvioinnilla saisimme Lauseen 5.1 epäyhtälöön hieman paremman vakion 9 u n n 1 1 n u 1. Lauseen 5.3 vakio sen sijaan riippuu p:sta. (Ei ole totta, että voitaisiin antaa p n ja saada epäyhtälö ei tosi u c u n, 9 Ks. esim Gilbarg & Trudinger, Theorem 7.10.

51 sillä on olemassa u W 1,n 0 (B)\L (B) (HT).) 5.5. Huomautus. Lauseen 5.3 nojalla W 1,p loc () Lp loc (), kun p < n (ja lisäksi upotus on jatkuva). Lauseen 5.3 todistus: Riittää osoittaa epäyhtälö, kun u C 1 0(). (Jos ϕ j uw 1,p ():n ϕ j C 0 (), niin sovelletaan epäyhtälöä funktioihin ϕ j ϕ k, jolloin siis ϕ j ϕ k p c (ϕ j ϕ k ) = c ϕ j ϕ k. Siis ϕ j on Cauchy-jono, joten se suppenee L p ():ssa. Niinpä u L p ja ϕ j ul p ():ssa ja siten u p = lim ϕ j p lim c ϕ j p = u p.) Väite C 1 0():n funktioille, kun p = 1, todistettiin edellisessä lauseessa, joten voidaan olettaa, että 1 0. Olkoon v(x) = u(x) γ W 1,1 0 ( ) (voidaan olettaa, että = ). Sobolev epäyhtälö, kun p = 1 antaa Siis ( Hölder ) n 1 u γ n n n 1 dx ( γ v n n 1 v 1. ) p 1 (γ 1)p p u p 1 dx u γ dx = γ ( ) 1 u p p dx u dx p p p 1 u γ 1. } {{ } = u p Valitaan γ siten, että γn = n 1 p, jolloin (γ 1)p = p, ja siis edellinen epäyhtälö saa p 1 muodon ( ) n 1 ( ) p 1 n p(n 1) p =1 1 p u p dx u p dx u p. n p Siis ( = 1 p {}}{ ) 1 1 u p dx n (1 1 p ) p(n 1) n p u p.

52 5.6. Seuraus. Kun 1 p < n, niin W 1,p 0 () L p () ja upotus on jatkuva. Erityisesti W 1,p ( ) L p ( ). Funktioiden C 1 0():n sulkeuma gradientin L p -normin suhteen antaa avaruuden uppoaa L p ():n aliavaruudeksi. 5.7. Seuraus. Olkoon, < ja u W 1,p 0 (). Tällöin ( ) 1 u q q 1 dx c n ( ) 1 u p p dx, missä { 1 q np n p p, jos 1 p < n 1 q <, jos p n ja c = c(n, p, q.) > 0. Todistus: Helppo, ks. demot. 5.8. Seuraus. Jos on rajoitettu ja u W 1,p 0 (), 1 p <, niin u p dx c diam() p u p dx, missä c = c(n, p) > 0. Todistus: Olkoon x 0 ja r = diam(). Tällöin B(x 0, r), joten soveltamalla Seurausta 5.7 kun B(x 0, r) ja q = p, saadaan u p dx u:n nollajako = B(x 0,r) u:n nollajako = c diam() p u p dx c B(x 0, r) p n r n p n u p dx. B(x 0,r) u p dx

53 5.9. Seuraus. Jos < ja p n, niin W 1,p 0 () L q () kaikilla q [1, [. 5.10. Lause. (Sobolevin epäyhtälö korkeammille kertaluvuille) Olkoon k N ja 1 pk < n. Jos u W k,p 0 (), niin u L np n kp () ja u np n kp c D α u p, α =k missä c = c(n, p, k) > 0. Todistus: Sovelletaan Sobolevin epäyhtälöä k kertaa. Voidaan olettaa, että u C 0 (). Nyt u q c u q, missä q = np n (k 1)p eli q = np n kp Siis 1 q = 1 q 1 n = np n (k 1)p p np = n kp, np u np n kp c D α u α =1 np n (k 1)p c D β u np... n (k 2)p β =2 Sovelletaan Sobolev epäyhtälöä funktioon D α u ja eksponenttiin voidaan tehdä, pitää olla np n (k 2)p < n. Näin on, kun (k 1)p < n, joten saamme edelleen np ; jotta niin n (k 2)p u np n kp c D γ u γ =k np n (k k)p = c D γ u p. γ =k

54 5.2. Poincaré-epäyhtälöt loitamme lemmalla: 5.1. Lemma. Olkoon 1 p < ja B(x 0, r) pallo. Tällöin on olemassa vakio c = c(n, p) > 0, jolle B(x 0,r) u(x) u(y) p dy cr n+p 1 kaikilla x B(x 0, r) ja u C 1 (B(x 0, r)). B(x 0,r) Todistus: Merkitään B = B(x 0, r). Jos x, y B, niin 1 u(x) u(y) = 1 0 0 u p dy x y n 1 u(x + t(y x)) (y x)dt u(x + t(y x)) y x dt. Integroimalla epäyhtälöön molemmat puolet yli pallon saadaan Hölderin epäyhtälöstä 1 u(x) u(y) p dy u(x + t(y x)) p y x p dt dy B = B 0 1 0 B u(x + t(y x) ) p y x p dydt =:z Muuttujanvaihdolla z := x + t(y x), J z = t n, z 0 := x + t(x 0 x) = tx 0 + (1 t)x, x y = 1 z x, joten t u(x) u(y) p dy = 1 u(z) p t (n+p) z x p dzdt B 0 B(z 0,t r) Huomaa, että B(z 0, t r ) B(x, 2r), sillä jos w B(z 0, tr), niin w x w z 0 + z 0 x tr + t x x 0 < 2rt.

55 B u(x) u(y) p dy = (2r) p 1 0 u(z) p B B(x,2rt) z x 2rt t z x 2r u(z) p t (n+p) z x p dzdt 2rt t n dtdz cr p 1+n B B(x,r2t) B z x 2r z x 1 n = 1 n 1 ( (2r 1 n ) u(z) p z x 1 n dz. 1) } {{ } z x 1 n (2r) 1 n 5.11. Lause. (Poincarén epäyhtälö pallossa) Olkoon 1 p < ja B = B(x 0, r). Tällöin on olemassa vakio c = c(n, p) > 0 s.e. B u u B p dx cr p B u p dx kaikilla u W 1,p (B); tässä u B := u dx. B

56 Todistus: Voidaan olettaa, että (miksi?) u C 1 (B). Lasketaan: u u B p = u(x) u(y) dy p dx B B = R B B u(x) dy = u(x) u(y) dy p dx B B Jensen B B L.5.1 cr p 1 = cr p 1 c 2 r p B B u(x) u(y) p dy dx u(y) p dy dx x y n 1 B B u(y) p 1 1 dx r x y n 1 B u(y) p dy. 1 R r B(y,2r) x y 1 n dx= c R 2r r 0 t1 n t n 1 dt= c2r r = c (n) dy 5.12. Huomautus. Ei pidä luulla, että Poincarén epäyhtälössä pallon voisi korvata mielivaltaisella rajoitetulla joukolla. 5.13. Lause. (Sobolev-Poincaré -epäyhtälö) Olkoon 1 p < n. On olemassa vakio c = c(n, p) > 0 s.e. ( B r u u B p ) 1 p ( ) 1 cr u p p dx B r kaikilla palloilla B r = B(x 0, r) ja kaikilla u W 1,p (B r ). Todistus: Todistetaan ensin apuväite: 5.2. Lemma. On olemassa c = c(n, p) > 0: ( B r v p kaikilla v W 1,p (B r ). ) 1 p dx ) 1 c (r p v p dx + v p p dx B r B r

57 Lemman todistus: Voidaan olettaa, että x 0 = 0. Skaalaamalla (v(y) korvataan funktiolla 1 v(ry)) voidaan olettaa, että r = 1. Myöhemmin todistamme, että on r olemassa sellainen w W 1,p ( ), jolle w B1 = v ja w W 1,p ( ) c v W 1,p (B 1 ), missä c = c(n, p) > 0. Siis ( v p ) 1 ( p dx = w p ) 1 p dx ( w p ) 1 p dx B 1 Sob.ey ( c w p dx B 1 ) 1 p ( c w 1,p c v p dx + B 1 B 1 ) 1 v p p dx (HT: a j 0 ja p > 0 ( k j=1 a j) p k p k j=1 ap j.) Varsinaisen väitteen todistus: Sovelletaan Lemmaa funktioon v = u u Br ( u u Br p B r c (r p ) 1 ( p dx = v p dx + B r B r = u p c (r p u p dx B r ) 1 p. W 1,p (B r ), siis B r v p v p dx = u u B r }{{ p } cr R p Poincaré Br u p ) 1 p dx ) 1 p Tapaus p = n ( konformi-invariantti tapaus ) Ei ole totta, että W 1,n 0 () L (). [Esim. log(( log( x )) + )] Kuitenkin jokainen u W 1,n ( ) on BMO-funktio: (rajoitettu keskiheilahtelu, Bounded Mean Oscillation). 5.14. Määritelmä. f L 1 loc (Rn ) on BMO-funktio, jos on olemassa c > 0 s.e. f f B dx c kaikilla palloilla B. B

58 5.15. Lause. Jos u W 1,n ( ), niin u BMO. Todistus: Olkoon B pallo. B u u B dx Jensen Poincaré c B 1 n ( B ( B u n dx ) 1 u u B n n dx ) 1 n ( B 1 n = c B 1 n B ) 1 u n n dx c u 1,n. 5.16. Lause. (Trudingerin epäyhtälö) Olkoon rajoitettu. Tällöin on olemassa vakiot c 1 = c 1 (n), c 2 = c 2 (n) s.e. kaikilla u W 1,n 0 (). (n 2) ( ) ( u ) n n 1 exp dx c 2 c 1 u n Todistus: (Idea) Voidaan olettaa, että u n = 1. = exp ( u n n 1 ) dx = k=0 u kn n 1 k! k k=0 1 k! Sob.ey+Jensen dx ( u n n 1 k=0 ) k dx 1 k! c k k u kn n 1 n Käytetään Rieszin potentiaalia ja osoitetaan, että c k voidaan valita s.e. sarja suppenee. =1 5.17. Lause. (Morreyn epäyhtälö) Olkoon 1 < n 0 s.e. m.k. x, y B r ja kaikilla u W 1,p (B r ). ( ) 1 u(x) u(y) cr u p p dx B r