DEE- Lineaariset järjestelmät Luu 2 Disreettiaiaiset järjestelmät - aiataso DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Diseettiaiainen vs jatuva-aiainen Jatuvan signaalin u(t) nätteistäminen disreetisi signaalisi u 2 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Disreettiaiaiset järjestelmät 7 2 3 2 2 5 Lineaaristen, vaioertoimisten differenssihtälöiden suora rataiseminen. Impulssivasteen hödntäminen Tilamuuttujaesitsen muodostaminen 3 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Ysinertainen esimeri Sisäänmeno u =, Aluehto - = Ulostulo =? 4 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Lineaariset, vaioertoimiset differenssihtälöt b b... 2 2 b n n u n:nen ertaluvun vaioertoiminen, lineaarinen differenssihtälö. Jos sisäänmeno u =, htälö on homogeeninen, muutoin epähomogeeninen. Epähomogeenisen htälön rataisu on ahden osarataisun summa (h) ( h) ( p) rite = r arateristinen htälö (KY) 5 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Karateristinen htälö (KY) r n b r... b n n. Ysinertainen reaalijuuri r i i C r i 2. m-ertainen reaalijuuri r i i C 2 ri C2 ri C3 ri... C m m r i 3. Komplesinen juuripari a±jb i C a jb C2 a jb 6 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
REVIEW QUESTION 3 Veroa uvaa. ertaluvun differenssihtälö 2 Miäli 5 = /6, ono vaio A) B) 2 C) 3 D) 4 7 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Esimeri Veroa uvaa. ertaluvun differenssihtälöpari u 7u u 4 Mitä raja-arvoa sisäänmenon ja ulostulon suhde lähenee, un disreetti muuttuja rajatta asvaa, ts. lim u? 8 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Epähomogeenisen htälön sitisrataisu Perustuu viime ädessä ritsen ja erehdsen menetelmään. Usein sitisrataisu samaa muotoa, uin epähomogeeninen termi. Epähomogeeninen osa Yrite, vaio ()= D, vaio, vaio () = D cos ( ), sin ( ) () = D cos ( ) + D 2 sin ( ) :n m:n asteen polnomi P() () = D m + D m- + + D m 9 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Ennaotehtävä Oheisessa piirissä lähdejännite E = E muuttuu seunnin välein htälön 2 E + E = a+ muaisesti. Mitä rajaarvoa vastusen R 4 autta uleva virta lähenee, un disreetti muuttuja rajatta asvaa? R =.4, R 2 =, R 3 = 2, R 4 = 6. Aluarvo E = 2 V. DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Esimeri Oheisessa piirissä lähdevirta J muuttuu seunnin välein htälön J.8 J.8J. 2 muaisesti. Määritä uormavastusen R L virta ajanhetellä 3 s, un R s = ja R L = 2. Lähdevirran aluarvot ovat J = 2 A ja J = A. DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Esimeri Fissioreatiossa neutroni indusoituu 235 U:iin, jolloin snt 236 U, miä hajoaa bariumisi ja rptonisi. Joa :ssa reatiossa menetetään neutronia. Hallitsematon tilanne snt, miäli :nnen reation jäleen neutronien määrä on suurempi uin 4 765. Ono tilanne hallittu? 2 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Case - Fuusio 3 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
5 MW:n fuusioreatori ITER 4 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Superconductivit No resistivit! = T < T c No magnetic B = in sc. induction! material Meissner effect 5 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Kaupalliset suprajohteet LTS B NbTi Nb 3 Sn HTS T Bi-222 Bi-2223 YBCO J MTS Kriittiset suureet MgB 2 6 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26 T c ~ K T c ~ 8 K T c ~ 85 K T c ~ K T c ~ 9 K T c ~ 4 K
NbTi-johtimen poiileiaus 7 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Suprajohtavuuden energiasovellutuset Superconductivit & Energ Applications Enabling Technolog Replacing Technolog Pre - commercial stage SMES Fusion LTS technolog & HTS technolog Current limiter Flwheel Power transmission Transformer Mainl HTS technolog Electric machiner SMES LTS technolog 8 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Suprajohtavuuden magneettisovelluset 9 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Magnetic Resonance Imaging (MRI).5 T Superconducting magnets W at 4 K Non-magnetic regenerators >7 4 K crocoolers since 995 Cumulative number of MRI superconducting magnets sold Tumor 2 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Disreetti siöimpulssi,, Kun järjestelmän sisäänmeno on { saadaan ssteemin ulostulosi ns. impulssivaste {h }. Mitä tahansa sisäänmenoa vastaten, ulostulo on määritettävissä seisen sisäänmenon ja impulssivasteen onvoluutiosummana. 2 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Konvoluutiosumma Veron ulostulo Kun Jolloin siis j j j h u j h j u j j,, j j j h u.... 2 2 2 jne h u h u h u h u h u h u Siis 6.9.26 22 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Konvoluutiosumma - tauluomenetelmä Veron sisäänmeno on luujono {u } = {,, 3, 2} ja impulssivaste luujono {h } = {, 2, 2, 3, }. Määritä veron ulostulo. h / u 2 2 3 3 2 h / u 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 3 6 6 9 3 2 2 4 4 6 2 23 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Konvoluutio - tauluomenetelmä h /u 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 3 6 6 9 3 2 2 4 4 6 2,3, 7,3,4,4,9, 2 24 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Ennaotehtävä 2 Erästä emiallista tuotantoprosessia tarastellaan disreetein aiavälein. Prosessin ehittäjä ilmoittaa, että ssteemi on lineaarinen ja aiainvariantti. Mittauspötäirjasta ilmenee, että prosessin sisäänmeno {, -3, 2} on aiheuttanut ulostulon {, -, -4, 4}. Prosessin analsoija söttää järjestelmään uuden sisäänmenon {a+, b+, }, jossa a ja b ovat opiselijanumerosi toisesi viimeinen ja viimeinen numero. Palauta ennaotehtävän rataisuna edellä mainitusta sisäänmenosta seuraavan ulostuloluujonon {,, 2, 3 } alioiden summa. 25 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
REVIEW QUESTION 4 Lineaarista, aiainvarianttia disreettiaiaista veroa uvaa oheinen lohoaavio. Ono ssteemi esplisiittinen vai implisiittinen? Määritä veron impulssivaste ja sitä ättäen ulostulo, un sisäänmenona on luujono {, 2, 3, 2, 2}. 26 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Impulssivasteen etsiminen Lähtöhtälö b... Yhtälön rataisu on h jos sisäänmeno u =. h b h... Kosa =, un >, impulssivaste h saadaan homogeenisen differenssihtälön rataisusta. b n b n h n n u Siis 2 h C C2... Cn i missä määrät arateristisen htälön juuresta. Kausaaliselle järjestelmälle h =, un <. Aluehdot h h jne. b b h h...... b b n n h h n n n b 27 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Esimeri Määritä oheisen järjestelmän impulssivaste seä ssteemin ulostulo, miäli sisäänmeno on u 2, 28 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Tilamuuttujaesits Veron ns. tilamuuttujien avulla ssteemin on uvattavissa ensimmäisen ertaluvun differenssihtälöillä. Veron stabiilisuussmset ja mahdolliset taaisintennät on hahmotettavissa tilamuuttujaesitsen avulla. 29 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Tilamuuttujaesits (Cont.) x ( ) A x ( ) Bu ( ) ( ) C x ( ) Du ( ) 3 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Esimeri Muodosta tilamuuttujaesits disreettiaiaiselle järjestelmälle, jota uvaa differenssihtälö 3u.25.25 2.5 3 3 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Tilamuuttujaesitsen rataisu x ( ( ) ) A x ( ) B ( ) C x ( ) D u ( ) x ( ) A x () A m Bu ( m) m ( ) C A x () C A m Bu ( m) Du ( ) m 32 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Stabiilisuus Tilamatriisin A ominaisarvot araterisoivat ssteemin stabiilisuutta. Ssteemi on ilman ohjausta stabiili, joss i Harjoitus: Verifioi llä esitett stabiilisuusehto. 33 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26
Esimeri Muodosta oheista lohoaaviota uvaavan disreettiaiaisen järjestelmän tilamuuttujaesits. Ono ssteemi ilman ohjausta stabiili? Mitä raja-arvoa ssteemin ulostulo () lähest, un ja sisäänmeno u() = 3,. 34 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26