Alto-yliopisto, Teknillisen fysiikn litos ipilä/heikinheimo PHY-E0460 Rektoifysiikn peusteet Hjoitus 4, mllivstukset yksy 2016 Tehtävä 1 on tämän hjoituskieoksen tulutehtävä lmistudu esittelemään tkisusi tiistin 510 hjoitustilisuudess, jos hlut pisteet tehtävästä Tehtävän tkisseiden nimet keätään tilisuuden luss j yksi opiskelij votn esittelemään vstuksens tulull Hyväksyttävän tkisun ei tvitse oll täydellisesti oikein Muut hjoituskieoksen tehtävät käydään läpi demotehtävinä ssistentin johdoll eikä niitä vioid inkit tulutehtävään: Aloit luennolt tutust pistelähteen vuost diffusoivss väliineess: e / φ( = (1 4πD Neutonivin st puolestn Fickin list Huom, että neutonivuo on sklisuue, mutt neutonivit on vektoisuue, mikä vikutt niiden summutumiseen Tehtävän johdnnoksi knntt ktso luentoklvoj j/ti mshin sivut 241-243 (Hjoituksen vuoksi voit myös hlutesssi joht nnetun pistelähteen vuon stvt johtotehtävät ovt kussin knnlt oleellisi, vikk johto ei vditkn tässä tehtävässä 1 Kksi isotooppist pistelähdettä, jotk kumpikin emittoivt neutoni/s, sijitsevt ääettömässä modettoiineess ll olevn kuvn mukisesti Määää diffuusioteoin mukinen vuo j neutonivit tspinotilss pisteessä P x P Rtkisu Rtkistn pistelähteen iheuttm neutonivuo ääettömässä modettoiineess tedy-stte -diffuusioyhtälö (msh (518: D 2 φ Σ φ + = 0 (2 Pistelähteellä on kyseessä pllogeometi Kosk lisäksi lähde on isotooppinen, neutonivuoll ei ole kulmiippuvuutt, inostn -iippuvuus plce-opettoi on siis 2 = 1 ( d 2 d = d2 2 d d d + 2 d 2 d (3 1
oveltmll tätä funktioon φ sdn 2 φ = d2 φ d + 2 2 = 1 dφ d = 1 ( d dφ d d + φ d 2 (φ (4 d2 Tämän peusteell tehdään muuttujnvihdos w = φ, jolloin sdn yksinketisempi yhtälö D d 2 w d Σ w 2 + = 0 = w 1 2 w + D D 1 = 0, (5 missä = (D/Σ 1/2 on diffuusiopituus Muull pitsi lähteessä pätee Yhtälön (6 yleinen tkisu on muoto w 1 2 w = 0 0 = w 1 w = 0 (6 2 w( = Ae / + Ce /, (7 kuten mtikn peuskusseilt ehkä muistetnkin uon yleinen tkisu on siis muoto φ( = A e / + C e/ (8 Kosk jälkimmäinen temi menee ääettömäksi kukn lähteestä, täytyy vlit C = 0 (ääetön vuo ei ole fysiklisesti jäkevä kio A sdn lähde-ehdost, jok voidn joht Fickin lin j Gussin luseen vull All esitetty mtemttinen johto ei kuitenkn kuulu kussin oleellisimpiin sioihin, joten hlukkt voivt hypätä suon lopputulokseen (15 J = D φ (Fick (9 J d = Jd (Guss (10 Fickin lki määää neutonivin J j neutonivuon φ välisen yhteyden Kosk φ = φ(, on neutonivit muoto J = J( e Olkoon pint oigokeskinen R-säteinen pllonkuoi (0,R Tällöin yhtälön (10 vsemmst puolest sdn J(d = 4πR 2 J(R (11 (0,R Oikell puolell integoidn tällöin oigokeskisen pllon B(0,R yli: (9 Jd = D 2 φd (2 = (( Σ φ d (12 B(0,R B(0,R 2 B(0,R
Tässä pistelähde ( on deltfunktionli jok on pllokoodinteiss muoto ijoittmll tämä päästään jtkmn: Jd = B(0,R Yhdistämällä yhtälöt (11 j (14 sdn ( = δ( 4π 2 (13 R π 2π 0 0 R = 4πAΣ e / d 0 0 Σ φ 2 sin θddθdφ = + 4πAΣ e R/ ( R + 2 2] (14 4πR 2 J( = + 4πAΣ ( e R/ R + 2 2] lim R 0 = lim 4πR 2 J(R = (15 R 0 Tämä on hettu lähde-ehto Edellä olevn pitkähkön lskelmn jtus on ympäöidä lähde pllonkuoell, jonk sädettä letn pienentää Kun pllonkuoen säde lähestyy noll, täytyy sen läpi tulevn vituksen oll lähteen voimkkuus (yhtään neutoni ei ehdi bsoboitu eikä yksikään neutoni sio tkisin ääettömän pienen pllon lueelle, j pllonkuoen läpi tulee 4πR 2 J( neutoni ikyksikössä Neutonivin suuuus sdn nyt Fickin list deivoimll: J = D d ( 1 d φ = DA + 1 e /, (16 2 joten lähde-ehdost sdn 4π 2 DA = lim 0 kioksi A sdn j vuo on siis ( 1 2 + 1 e / ] A = φ( = ( = lim 4πDA 1 + e / = 4πDA (17 0 4πD 4πD e / (18 (19 Edellä johdettiin yhden pistelähteen iheuttm vuo, käytetään tätä tieto pun Neutonivuo φ on sklisuue uo tietyssä pisteessä määitellään kikist suunnist tulevien neutonivuoiden summn (msh: s 60-61 Neutonivit J on puolestn vektoisuue, jok määää tietyssä pisteessä nettovituksen suuuuden j suunnn (msh: s 233 Oheisest kuvst (kuv 1 voidn suon päätellä, että pisteessä Q neutonivuo on φ Q = 2φ(, j neutonivit smss pisteessä on J Q = 0 Nyt kysyttiin kuitenkin näiden suueiden voj pisteessä P, joten ei päästykään näin helpoll Neutonivuo on edelleen helppo lske: φ P = φ 1 (d + φ 2 (d = 2φ( 2 + x 2 = 3 e 2 +x 2 / 2πD 2 + x (20 2
Q x α P d Kuv 1: Neutonivit on hiukn kinkkisempi Neutonivin suunt voidn määittää symmetipeustein: Kosk neutonilähteet ovt yhtä voimkkt, niiden x-suunt vstn kohtisuot neutonivin komponentit kumovt toisens Näin ollen jäljelle jää vin x-suuntinen komponentti, jonk voidn vielä päätellä osoittvn positiiviseen x-suuntn (eli ls Yhdestä pistelähteestä syntyvä neutonivit on Fickin lin peusteell J( = Dφ ( e = ( 1 4π + 1 e / e 2, (21 missä e on :n suuntinen yksikkövektoi Neutonivin x-komponentti sdn tun- 2 P J 2 J 1x J1 7 e e x 7 α J Kuv 2: netusti pistetuloll J x = J e x, missä e x on x-suunnn yksikkövektoi Nyt kuvn 2 geometiss e e x = cos α, missä kulm α on sm kuin kuvn 1 kulm α Kuvst 1 sdn cos α = x d = x 2 + x (22 2 ymmetisyistä kummnkin neutonivin x-komponentti on yhtä suui, joten sdn ( 1 J Px = 2 4π d + 1 ] e d/ ( e 2 e x e x d = x ( d 2πd 3 + 1 e d/ e x ( 2 +x 2 + 1 2 +x 2 / e x (23 = x 2π ( 2 + x 2 e 3/2 4
2 R-säteisessä plloss on tsisesti jkutunut isotooppinen neutonilähde ske neutonien kkmistodennäköisyys pllost, eli se os lähteen tuottmist neutoneist, jok lopult joutuu pllon ulkopuolelle Käytä yksiyhmädiffuusioteoi Rtkisu Rtkistn ensin diffuusioyhtälö D 2 φ Σ φ + = 0 (24 pllokoodinteiss (ilmn kulmiippuvuutt Aloitetn vstvst homogeeniyhtälöstä: d D 2 2 φ φ Σ φ = D d + 2 ] ] dφ 1 d 2 Σ 2 φ = D d d (φ Σ 2 φ = 0 (25 Käytetään muuttujnvihdost w = φ (vt pistelähdelsku: d 2 w d 1 w = 0 (26 2 2 Tämän yleinen tkisu on (tällä ket hypebolisill funktioill kijoitettun ( ( w( = A cosh + C sinh, (27 j vuo on siis φ( = A cosh ( + C sinh ( (28 Täydellisen yhtälön (24 yksittäistkisu vten vlitn yitteeksi vkio φ = E ijoittmll sdn uon yleinen tkisu on siis φ( = 1 ( A cosh = A cosh ( Σ E + = 0 = E = Σ (29 ( + C sinh ] + C sinh ( + Σ + Σ (30 uon on oltv ääellinen kikkill, eityisesti oigoss Kosk cosh-temi menee oigoss ääettömäksi, on vlittv A = 0 1 kio C sdn määättyä vtimll vuon häviävän ekstpoltioetäisyyden päässä pllon pinnst: φ(r + d = C sinh ( R+d R + d + = 0 C = R + d Σ Σ sinh ( (31 R+d 1 Jos vlitsi esittää tkisun exponentilifunktioiden vull, huom tässä kohdss kummnkin temin yksinään lähestyvän ääetöntä Tästä selviää tkstelemll vuon j-vo oigoss, j vtimll sen olevn ääellinen Tästä sdn ehto keointen välille Jäljelle jää vin yksi tuntemton, jok voidn tkist smoill toimenpiteillä kuin hypebolisille funktioille 5
Neutonivuo plloss on siis φ( = Σ Kkmistodennäköisyys määitellään: P = 1 R + d vuotneet neutonit syntyneet neutonit = sinh ( sinh ( R+d ] (32 J d A (33 dv Kosk vuo pllon pinnll on vkio, myös neutonivit pinnll on vkio j voidn lske ( dφ J d = J( = R A = D 4πR 2 (34 d A ähdetiheys on myös vkio, joten dv = = 4 3 πr3 (35 Kkmistodennäköisyydelle sdn siis P = 3D R missä neutonivuon deivtt pllon pinnll on ( dφ = R + d d =R Σ sinh ( cosh ( R R+d R Kkmistodennäköisyydeksi sdn siis P = 3D R + d R Σ sinh ( R+d = 3(R + d sinh ( R R 2 sinh ( R+d =R ( dφ, (36 d =R cosh ( R R coth + sinh ( R R 2 R 2 ] + sinh ( ] R ( R R (37 ] (38 6
3 Pljn kiittisen kuutioektoin sivu on 1 m, keskimäääinen teminen vuo on 10 5 cm 2 s 1 j diffuusiovkio on 0,1 cm Määää ektoist tphtuv teminen vuoto diffuusioteoin mukisesti (vstus: 3,0 10 7 s 1 inkki: msh tulukko 62 + Gussin luse uon eksplisiittistä muoto ei tvit Rtkisu uoto on neutonivin integli ektoin pinnn yli uoto = J d (msh s 236 (39 A uodon määittämiseksi tvitn Fickin lki j Gussin luse (divegenssiluse, A J = D φ (Fick (40 J d = J d (Guss (41 Näiden vull vuoto tulee muotoon uoto = (D φ d = D 2 φ d (42 Pljlle homogeeniselle ektoille (diffuusioteoin mukisen vuon sptilinen jkum kikiss enegiyhmissä on sm Kiittisessä konfigutioss kokonisvuo, smoin kuin kunkin enegiyhmän vuo toteutt yksiyhmäektoiyhtälön 2 φ + B 2 gφ = 0, (43 missä B g on geometinen kupevuus 2 Geometinen kupevuus iippuu vin ektoin geometist, j pljlle kuutiomiselle ektoille se on (msh, tulukko 62 ( π 2 Bg 2 = 3, (44 missä on kuution sämä Kijoittmll yhtälö (43 temiselle vuolle φ T j sijoittmll tähän kupevuus (44 sdn ( π 2 ( π 2 2 φ T + 3 φt = 0 = 2 φ T = 3 φt (45 Yhtälön (42 mukn temiseksi vuodoksi tulee siis ( π 2 ( π 2 Tem vuoto = 3D T φt d = 3D T φ T d (46 2 Peitteess yhtälö (43 pätee myös ei-kiittisille tpuksille kun B g kovtn mteilisell kupevuudell B m Mteilinen kupevuus on kuitenkin usemmn kuin yhden enegiyhmän knss vähän monimutkisempi juttu, sillä on käytettävä yksiyhmäkupevuutt Yksiyhmäkupevuus sdn (fomlisti esim sopivsti vuopinottmll yksittäisten yhmien diffuusioketoimi j bsoptiovikutusloj uopinotus onnistuu ilmn ylimäääisiä kompliktioit kosk sptilinen jkum kusskin yhmässä on sm Kiittisessä konfigutioss B g = B m 7
uon integli yli ektoin tilvuuden voidn ilmoitt keskimäääisen vuon φ j ektoin tilvuuden vull Eityisesti siis temiselle vuolle φ T d = φ T (47 Yhtälöistä (46 j (47 sdn Tem vuoto = 3D T ( π 2 φ T d = 3D T ( π 2 φt = 3π 2 D T φ T, (48 missä on lopuksi otettu huomioon, että kuution tilvuus on = 3 ijoitetn vielä lukuvot D T = 0,1 cm, = 1 m, φ T = 10 5 cm 2 s 1 : Tem vuoto = 3π 2 0,1 cm 100 cm 10 5 cm 2 s 1 3,0 10 7 s 1 (49 8
4 Ääettömässä väliineess, jonk bsoptiovikutusl on Σ j diffuusiokeoin D, sijitsee ääettömän pitkä R-säteinen sylintein kuoen muotoinen temisten neutonien lähde, jonk voimkkuus pituusyksikköä kohti on Määää temisen vuon jkutum tspinotilss sylintein sisä- j ulkolueess Rtkisu Tilnne on ll olevss kuvss esitetty j tehtävänä on lske vuo sylintein sisällä (1 j ulkopuolell (2 z R 2 1 ähde voidn esittää deltfunktion vull eli kyseessä on singulinen lähde Hlutn lähteen voimkkuus pint-lyksikköä kohti (: ( = δ( R (50 2π Tkistus: ( d = z, kun on säteeltään ääetön z kokuinen sylintei] Tutuksi käynyt diffuusioyhtälö D 2 φ Σ φ + = 0 s sylinteikoodinteiss muodon ( d 2 d + 1 d φ 1 2 d φ = 2 D, (51 sillä tilnteess ei voi oll kulm- eikä z-iippuvuutt Kosk lähde on singulinen, diffuusioyhtälö on homogeeninen sekä sisä- että ulkolueess: (1 < R: φ 1 + 1 φ 1 1 2 φ 1 = 0 (52 (2 > R: φ 2 + 1 φ 2 1 2 φ 2 = 0 (53 Tässä on oletettu, että ulko- j sisäpuolell on sm väliine, jolloin 1 = 2 = Näitä diffeentiliyhtälöitä ei voi tkist lkeisfunktioiden vull 9
Yleisempää muoto 2 d2 olevn yhtälön tkisut ovt d φ n(k + d 2 d φ n(k (k 2 2 + n 2 φ n (k = 0 d2 d φ n(k + 1 d 2 d φ n(k (k 2 + n2 φ 2 n (k = 0 (54 φ n = AI n (k + CK n (k, (55 missä I n j K n ovt n:nnen ketluvun modifioituj Besselin funktioit Näillä funktioill on seuvi mielenkiintoisi ominisuuksi: { In (x = I n (x I n 1 (x + I n+1 (x = 2I n(x = I 0(x = I 1 (x (56 { Kn (x = K n (x K n 1 (x + K n+1 (x = 2K n(x = K 0(x = K 1 (x (57 I 1 (xk 0 (x + I 0 (xk 1 (x = 1 x (58 Funktiot I 0, I 1, K 0 j K 1 käyttäytyvät kuvn 3 mukisesti K 0 K 1 1 0 I 0 I 1 x Kuv 3: Nyt nähdään, että diffuusioyhtälömme ovt yo muoto voill n = 0 j k 2 = 1/ 2 Rtkisumme ovt siis ( ( φ 1 = AI 0 + CK 0 (59 ( ( φ 2 = A I 0 + C K 0 (60 10
Ääellisyysehdoist seu ( lim K 0 = = C = 0 (61 0 ( lim I 0 = = A = 0 (62 Jtkuvuusehdost sdn ( ( R R φ 1 (R = φ 2 (R AI 0 = C K 0 (63 Tvitn vielä lisäehto, jott A j C sdn yksikäsitteisesti määättyä Käytetään lähde-ehto J 2 (R J 1 (R = 2πR, (64 jok voidn joht Gussin luseest käyttämällä integointilueen ohutt sylinteikuot, jonk pksuuden nnetn mennä nolln siten, että säteeksi tulee R Neutonivit sdn määitettyä Fickin list: J i = D dφ i d e, i = 1, 2 (65 Modifioitujen besselin funktioiden ominisuuksist (56 j (57 seu J 1 = DA ( ( R I 1 j J 2 = DC R K 1, (66 eli lähde-ehto on DA I 1 Rtkistn A yhtälöstä (63, ( R + DC K 1 ( R = 2πR (67 A = C K ( R 0 ( I R, (68 0 j sijoitetn se yhtälöön (67: ( DC K R ( R ( 0 I1 ( I R + DC R 0 K 1 = ( R I 0 2πR ( ( ( ( ] = DC R R R R K 0 I 1 + K 1 I 0 = I ( R 0 2πR Besselin funktioiden kolmnnest ominisuudest (yhtälö (58 j yllä olevst yhtäsuuuudest seu nyt DC R = I ( R 0 2πR = C = I ( R 0 2πD = A = K ( R 0 2πD 11
Rtkisu on näin ollen φ 1 ( = φ 2 ( = φ( ( R ( 2πD K 0 I 0 ( R ( 2πD I 0 K 0, < R (69, > R (70 R 12