Luku 15 Maxwellin yhtälöt 15.1 iirrosvirta Voidaan osoittaa, että vektorikenttä on yksikäsitteisesti määrätty, jos tunnetaan sen divergenssi, roottori ja reunaehdot. Tämän vuoksi sähkö- ja magneettikenttien kokeellisesti havaitut ominaisuudet on voitu esittää kenttien divergenssien ja roottoreiden avulla. aikki ne ilmiöt, joita tällä kurssilla on tähän mennessä tutkittu, näyttäisivät osoittavan, että sähkö- ja magneettikenttien ominaisuudet hallitaan täydellisesti seuraavien neljän yhtälön avulla: 1. Ampèren laki B = µ 0 j (15.1) 2. Faradayn laki E = B 3. Magneettivuon tiheyden lähteettömyys (15.2) B = 0 (15.3) 4. Gaussin laki E = ρ ε 0. (15.4) Tässähän on nimittäin annettu lausekkeet sekä sähkökentän että magneettivuon tiheyden roottorille ja divergenssille. Ne riippuvat sekä varaustiheydestä että virtatiheydestä. Tilannetta monimutkaistaa se, että Faradayn laki kytkee sähkökentän ja magneettivuon tiheyden toisiinsa. Tästä seuraa, että yleisessä tapauksessa nämä kaksi kenttää riippuvat toisistaan ja muodostavat yhdessä sähkömagneettisen kentän. Tosin löytyy erikoistapauksia, joissa joko sähkökenttä tai magneettivuon tiheys ovat nollia. Tällaiset tilanteet tulevat vastaan sähköstatiikassa ja magnetostatiikassa. c Tuomo Nygrén, 2010 171
172 LUU 15. MAXWELLIN YHTÄLÖT R I C + - 2 + d 1 E - uva 15.1: ondensaattorin purkautuminen vastuksen kautta. Yksinkertaisen esimerkin avulla voidaan osoittaa, että Ampèren laki on virheellinen, joten yhtälöryhmä (15.1) (15.4) ei voi kuvata sähkömagneettista kenttää täydellisesti. uva 15.1 esittää varattua kondensaattoria, joka purkautuu vastuksen kautta. un kondensaattorin ylempi levy on positiivisesti varattu ja virran positiivinen suunta on määritelty kuvassa esitetyllä tavalla, on I = dq dt, (15.5) sillä kondensaattorin purkautuessa on varauksen aikaderivaatta negatiivinen. yntyvän virran vaikutuksesta syntyy magneettivuon tiheys, jonka pitäisi noudattaa Ampèren lakia. ovelletaan lakia käyrään, joka on pinnan 1 rajakäyrä. äyrä kiertää virtajohtimen ympäri joten virtajohdin kulkee pinnan 1 lävitse. Valitaan kiertosuunta sellaiseksi, että pinnan 1 pintavektori osoittaa kuvassa ylöspäin. Virta I kulkee pinnan 1 lävitse pintavektorin suuntaan, ja siksi on voimassa B ds = 1 µ 0 j d = µ 0 I. (15.6) Pinta 2 kulkee kondensaattorin levyjen välistä ja on myös sen rajakäyrä. Pinnan 2 läpi ei kulje sähkövirtaa. un sovelletaan Ampèren lakia pintaan 2 ja sen rajakäyrään, saadaan B ds = 0, (15.7) koska pinnan 2 lävitse kulkeva virta on nolla. ekä yhtälössä (15.6) että (15.7) viivaintegraali on laskettu pitkin samaa käyrää ja silti integraalille on kahdella tavalla laskettuna saaatu kaksi eri tulosta. Tämä osoittaa, että Ampéren laki on jollakin tavalla virheellinen. un kyseessä on levykondensaattori, on sen kapasitanssi Gaussin lain avulla saadaan levyjen väliseksi sähkökentäksi C = ε 0 d. (15.8) E = q ε 0. (15.9)
15.2. MAXWELLIN YHTÄLÖT JA VARAUEN ÄILYMILAI 173 un dq/dt on negatiivinen, on myös de/dt negatiivinen. Yhtälöiden (15.5 ja (15.9) perusteella I = ε 0 de dt = ε 0 d. (15.10) Tässä kaavassa esiintyvä miinusmerkki häviää integraaliesityksessä, sillä de/dt:n ollessa negatiivinen on / kondensaattorilevyjen välissä d:n suuntainen ja näinollen integraali tuottaa positiivisen virran. un tämä sijoitetaan yhtälöön (15.6), saadaan B ds = µ 0 ε 0 d. (15.11) 2 Tämän yhtälön oikealla puolella oleva integraali on laskettu yli pinnan, joka kulkee kondensaattorilevyjen välistä. Tulos paljastaa, millainen puute Ampèren laissa on. Ongelma häviää, jos Ampèren laki onkin muotoa B = µ 0 j + µ 0 ε 0, (15.12) un tätä sovelletaan pintaan 1 ei oikean puolen jälkimmäinen termi tuota mitään kontribuutiota, sillä se on kondensaattorin ulkopuolella nolla (paitsi äärettömän ohuena pidetyssä langassa). Näinollen tulokseksi saadaan yhtälö (15.6). Jos taas lakia sovelletaan pintaan 2, ei oikean puolen ensimmäinen termi tuota mitään kontribuutiota, sillä virtatiheys on kondensaattorin sisällä nolla. Tässä tapauksessa tulokseksi saadaan yhtälö (15.11). Edellä esitetty lasku osoittaa, että näiden yhtälöiden oikeat puolet ovat yhtä suuria. 15.2 Maxwellin yhtälöt ja varauksen säilymislaki Ampèren lakiin lisätystä termistä µ 0 ε 0 / käytetään nimitystä siirrosvirtatermi. un yhtälöitä (15.1) (15.4) täydennetään tällä termillä, saadaan sähkömagneettisen kenttäteorian perusyhtälöt 2 B = µ 0 j + µ 0 ε 0 (15.13) E = B (15.14) B = 0 (15.15) E = ρ ε 0. (15.16) James Clerk Maxwell (1862) huomasi, että hänen aikanaan tunnettu sähkömagnetismin teoria on sisäisesti ristiriitainen, ja korjasi asian siirrosvirtatermin avulla. aikki aiempi sähkömagnetismin teorian kehitys oli perustunut laboratoriokokeisiin. Maxwellin työ oli sikäli mullistava, että sen pohjana oli pelkkä teoreettinen ajattelu. Maxwellin työn merkittävyyden vuoksi kaaavoista (15.13) (15.16) käytetään yleisesti nimitystä Maxwellin yhtälöt.
174 LUU 15. MAXWELLIN YHTÄLÖT! j uva 15.2: Varauksen virtaus suljetun pinnan läpi. Ottamalla Ampèren laista puolittain divergenssi saadaan ( B) = µ 0 j + µ 0 ε 0 ( E) (15.17) un huomataan, että roottorin divergenssi on aina nolla, ja eliminoidaan sähkökenttä Gaussin lain avulla, saadaan tulos + j = 0. (15.18) Tästä kaavasta käytetään nimitystä kontinuiteettiyhtälö ja se sisältää sähkövarauksen säilymislain. ontinuiteettiyhtälön tulkinta voidaan ymmärtää seuraavalla tavalla. uvassa 15.2 on suljettu tilavuus, jonka pinnan läpi kulkee virtatiheys j(r, t) = qn(r, t)v(r, t). (15.19) Yleisessä tapauksessa voi avaruuden joihinkin kohtiin kertyä varausta ja joistakin kohdista poistua varausta. Tästä seuraa, että virtaavien varausten tiheys ja nopeus ovat sekä paikan että ajan funktioita. oska virtatiheyden vuo pinnan kautta ulos tilavuudesta on j:n integraali pinnan yli, on virtatiheyden vuo pinnan läpi tilavuuden V sisään Φ j = j d. (15.20) Jos sähkövaraus säilyy (ts. sitä ei voi syntyä tai se ei voi hävitä), voi tilavuuden sisältämä kokonaisvaraus muuttua ainoastaan siten, että se virtaa pinnan läpi. Tämän vuoksi kokonaisvarauksen muutosnopeus on yhtä suuri kuin virtatiheyden vuo. iis d dt ρ d = d = j d. (15.21)
15.3. MAXWELLIN YHTÄLÖT VÄLIAINEEA 175 un muunnetaan oikealla puolella oleva pintaintegraali Gaussin lain avulla tilavuusintegraaliksi, saadaan d = j d. (15.22) Tuloksen on oltava voimassa kaikilla tilavuuksilla V, ja siksi välttämättä = j, (15.23) mikä johtaa kontinuiteettiyhtälöön (15.18). Olettamalla sähkövarauksen säilyminen voitiin siis johtaa kontinuiteettiyhtälö, joten kontinuiteettiyhtälö on varauksen säilymislain matemaattinen muotoilu. On huomattava, että ilman siirrosvirtatermiä Ampèren laista seuraisi tulos j = 0. ontinuiteettiyhtälön perusteella tämä tarkoittaisi sitä, että / = 0, mikä edelleen tarkoittaisi, että varaustiheys ei voisi muuttua. Näinollen Maxwellin yhtälöt ilman siirrosvirtatermiä edellyttäisivät, että minkäänlaista varaustiheyttä ei voisi syntyä. 15.3 Maxwellin yhtälöt väliaineessa appleessa 8.2 havattiin, että magnetoituvan ja polarisoituvan väliaineen tapauksessa kokonaisvirtatiheys voidaan jakaa kolmeen osaan yhtälön j = j f + j M + j P (15.24) mukaisesti. Tässä j f on vapaa virtatiheys, joka aiheutuu väliaineessa vapaasti liikkumaan pääsevistä varauksista; metallien tapauksessa johde-elektronien liikkeestä. Toinen termin j M = M on magnetoitumavirtatiheys, ja se aiheuttaa atomien magneettimomentit. Polarisaatiovirtatiheys aiheutuu polarisaatiovarausten liikkeestä ja se on nolla sekä sähköstatiikassa että magnetostatiikassa. appaleessa 4.2 havaittiin, että polarisaatiovarauskatteen aiheuttama varaus pinnalla δ on voimassa δq P = σ P δ = P δ. (15.25) Tämä on voimassa sekä eritekappaleen ulkopinnalla että kappaleen sisälle kuvitellun tilavuuden pinnalla. Tämän varauksen muutosnopeus on d(δq P ) dt = P δ. (15.26) oska varauksen säilymislain täytyy olla erikseen voimassa polarisaatiovaraukselle, δq P voi muuttua vain siten, että polarisaatiovaraus kulkee pinnan δ läpi; ts. sitä kuljettaa polarisaatiovirta. iksi yhtälön (15.26) perusteella polarisaatiovirtatiheys on j P = P. (15.27)
176 LUU 15. MAXWELLIN YHTÄLÖT Ottamalla tästä yhtälöstä divergenssi saadaan j P = P = ( P) = P, (15.28) joten yhtälön (15.27) mukainen polarisaatiovirtatiheys todellakin toteuttaa kontinuiteettiyhtälön. un magnetoituma- ja polarisaatiovirtatiheyksien lausekkeet sijoitetaan Ampèren lakiin, saadaan mistä edelleen B = µ 0 j f + µ 0 M + µ 0 P + µ 0ε 0, (15.29) ( ) B M µ 0 = j f + (ε 0E + P). (15.30) Huomataan, että yhtälön vasemmalle puolelle derivaatan sisälle ilmestyi magneettikenttä H = B/µ 0 M ja oikealle puolelle sähkövuon tiheys D = ε 0 E + P. Ottamalla lisäksi huomioon väliaineessa kirjoitettu Gaussin laki saadaan Maxwellin yhtälöt väliaineessa muotoon H = j f + D (15.31) E = B (15.32) B = 0 (15.33) D = ρ f. (15.34) Näiden yhtälöiden ratkaisemiseksi ei siis tarvitse tuntea polarisaatiovaraustiheyttä eikä magnetoituma- ja polarisaatiovirtatiheyttä, vaan riittää kun tunnetaan vapaa varaustiheys ja vapaa virtatiheys sekä suhteellinen permittiivisyys ja permeabiliteetti. Maxwellin yhtälöiden lisäksi joudutaan käyttämään väliaineen ominaisuuksia kuvaavia yhtälöitä D = εε 0 E ja (15.35) B = µµ 0 H. (15.36) Yhtälössä (15.31) esiintyvän termin D/ yksikkö on virtatiheyden yksikkö A/m 2. Tämän vuoksi siitä käytetään nimitystä siirrosvirran tiheys. Edellä esitetyn perusteella siihen vaikuttaa Ampèren laissa (15.13) esiintyvän termin µ 0 ε 0 / lisäksi myös polarisaatiovirtatiheys. Tyhjiössä siirrosvirtatiheyden lauseke on pelkästään µ 0 ε 0 /, eli siihen ei liity mitään varausten liikettä.