Kompaktissa joukossa jatkuva funktio K on rajoitettu, joten M =sup{ K(s, t) (s, t) [0, 1] 2 } <. Siksi jokaisella Af Hja t [0, 1] pätee

18. YHTÄJATKUVAT JA PREKOMPAKTIT KUVAUSPERHEET 151 Kompaktissa joukossa jatkuva fuktio K o rajoitettu, jote M =sup{ K(s, t) (s, t) [0, 1] 2 } <. Siksi jokaisella Af Hja t [0, 1] pätee Af(t) 1 0 K(s, t) f(s) ds M f M. Perhe H o siis pisteittäi rajoitettu. Perhee H yhtäjatkuvuude todistamiseksi valitaa luku ε>0jakäytetää tietoa, että kompaktissa joukossa jatkuva fuktio K o tasaisesti jatkuva, ts. o olemassa δ>0, jolla K(s, t) K(s 0,t 0 ) <ε, kuha s s 0 + t t 0 <δ. Siis Af(t) Af(t 0 ) 1 ku t t 0 δ ja f B C[0,1] (0, 1). 0 K(s, t) K(s, t 0 ) f(s) ds ε f ε, Edellä tarkastelemamme itegraalioperaattori A o kompakti myös fuktioide stadardisisätuloo liittyvässä metrikassa: Seuraus 18.9. Jos itegraaliydi K :[0, 1] 2 R o jatkuva, ii itegraalioperaattori A : C[0, 1] C[0, 1] Af(t) = 1 0 K(s, t)f(s) ds o kompakti operaattori myös Hilbert-avaruuksie teoria mielessä, imittäi silloi, ku kumpiki C[0, 1] o varustettu L 2 -ormilla 2. Väite tarkoittaa, että ormilla 2 varustetu avaruude C[0, 1] yksikköpallo B C,2 kuva H = A(B C,2 )={Af f 2 1}. o 2 -prekompakti joukko. Perustelu. Merkitää lyhyesti C =(C[0, 1], )jac 2 =(C[0, 1], 2 ). Idettie kuvaus C C 2 o tietysti jatkuva, oha 2. Riittää siis todistaa, että A : C 2 C o kompakti operaattori, sillä lukija voi helposti todeta, että kompakti ja jatkuva operaattori yhdistetty kuvaus o kompakti operaattori. Koska C o täydellie, voimme toisaalta käyttää tähä Ascoli lausetta samaa tapaa kui edellä. Soveltamalla Cauchy Schwarzi ja Bujakowski epäyhtälöä fuktioo f B C2 ja vakiofuktioo M saadaa imittäi Af(t) 1 0 K(s, t) f(s) ds 1 0 M f(s) ds M 2 f 2 M, ku f B C[0,1] (0, 1), eli Af H. Samaa tapaa saadaa yhtäjatkuvuus: Af(t) Af(t 0 ) 1 ku t t 0 δ ja f 2 1. 0 K(s, t) K(s, t 0 ) f(s) ds ε f 2 (1 0) ε,

f ( ) 152 19.1. Baire lause. 19. Baire kategorialause Määritelmä 19.1. Olkoo X topologie, seuraavassa yleesä metrie avaruus. (1) Osajoukko M X o tiheä avaruudessa X, jos M = X. (2) Joukko M X o harva, eliei missää tiheä avaruudessa X, jos se sulkeuma o sisäpisteetö, eli jos se sulkeuma komplemetti X M o tiheä: X M = X. Erityisesti suljettu joukko o harva avaruudessa X tasa ollessaa sisäpisteetö. (3) Joukko M X kuuluu avaruudessa X Baire esimmäisee kategoriaa, 98 eli o laiha, jos se o yhdiste umeroituva moesta avaruudessa X harvasta joukosta. (4) Joukko M X kuuluu avaruudessa X Baire toisee kategoriaa, jos se ei kuulu esimmäisee. Huomautus 19.2. Ratioaalilukuje joukko Q o avaruude R laiha eli esimmäise kategoria joukko, sillä Q o yhdiste umeroituva moesta yksipisteisestä joukosta, jollaie varmasti o avaruudessa R harva. Baire kategorialauseesta, joka seuraavassa todistamme, seuraa mm., että R itse o avaruudessa R toise kategoria joukko. Itse asiassa mikää täydellie metrie avaruus, erityisesti mikää Baachi avaruus ei ole itsesä laiha osajoukko. Tällä helposti todistettavalla periaatteella o yllättävä suuri merkitys. Valmistelemme todistusta kirjoittamalla Georg Catori mukava määritelmä täydellisyydelle. Lemma 19.3 (Cator). Metrie avaruus (X,d) o täydellie aia ja vai, ku sillä os. sisäkkäiste suljettuje joukkoje omiaisuus: Jos sisäkkäiset epätyhjät joukot X S 1 S 2... ovat suljettuja ja diam(s ) 0, ii silloi S. N Tässä diam(s) o jouko S halkaisija, so. diam(s) = sup{d(x, y) x, y S}. Todistus. Olkoo aluksi X täydellie ja suljetut joukot oletukse mukaisia. Valitsemalla kulleki N alkio x S saadaa Cauchy-joo, joka raja-arvo o joukkoje S leikkauksessa. Olkoo sitte lausee ehto voimassa. Todistetaa, että avaruude X mielivaltaie Cauchy-joo (x ) suppeee. Valitsemalla S = {x m m } saa Catori lemma ehdot voimaa ja huomaa, että leikkaukse alkio o joo raja-arvo. 98 Saalla kategoria o muitaki merkityksiä, joskaa eitässä yhteydessä. Reé-Louis Baire 1874 1932, Raska.

19. BAIREN KATEGORIALAUSE 153 Esimerkki 19.4. Halkaisijoita koskeva ehto o tarpeellie, mikä huomaa täydellisessä avaruudessa R valitsemalla S =[, ). Baire kategorialause o helpoita todistaa komplemetarisessa muodossa eli seuraava lemma hahmossa. Lemma 19.5. Olkoo X täydellie metrie avaruus ja A joo se avoimia ja tiheitä osajoukkoja. Tällöi leikkaus A = N A o tiheä, erityisesti epätyhjä. Todistus. Olkoo B(x, r) X: joki avoi pallo. O osoitettava, että B(x, r) A. Koska A 1 o tiheä jab(x, r) avoi, ii leikkaus A 1 B(x, r) oepätyhjä sitä paitsi kahde avoime jouko leikkauksea avoiki. O siis olemassa pallo B(x 1,r 1 ), joka sulkeuma S 1 sisältyy joukkoo A 1 B(x, r). Koska myös A 2 o tiheä jab(x 1,r 1 ) avoi, ii leikkaus A 1 B(x 1,r 1 )oepätyhjä sitä paitsi kahde avoime jouko leikkauksea avoiki. O siis olemassa pallo B(x 2,r 2 ), joka sulkeuma S 2 sisältyy joukkoo A 2 B(x 1,r 1 ). Näi jatketaa. Saadaa joo sisäkkäisiä suljettuja palloja S. Mikää ei estä valitsemasta säteitä r site, että r 0. Catori täydellisyyslemma 19.3. takaa yt, että S. Tästä väite seuraa. N Lause 19.6 (Baire kategorialause). Täydellie metrie avaruus X ei voi olla laiha, vaa o toista kategoriaa. Todistus. Lause o toie muoto lemmalle 19.5. Tehdää atiteesi: Olkoo X sitteki laiha, eli umeroituva yhdiste harvoista joukoista X = M = M, ts. N N = X X = N(X M ). Joukot X M ovat avoimia ja tiheitä. epätyhjä. Atiteesi o väärä. Lemma saoo, että iide leikkaus o 19.2. Tasaise rajoitukse periaate. Baire kategorialauseesee perustuva tasaise rajoitukse periaate o eri muodoissaa väitteesä puolesta sukua Ascoli lauseelle, päätelläähä tässäki fuktioperhee rajoittueisuusomiaisuuksia se pisteittäisestä rajoittueisuudesta ja se jatkuvuusomiaisuuksista. Esitämme periaatteesta sekä epälieaarise että

f ( ) 154 lieaarikuvauksii liittyvä versio. Jälkimmäisestä johdetaa sittemmi mm. Baachi kuuluisa tulos, joka mukaa Baachi avaruuksie välie jatkuva lieaarie bijektio o aia homeomorfismi. Sovelluksia saadaa tietoa jooavaruuksie duaaleista. Myös myöhemmi käsiteltävä lause, joka mukaa ormi mielessä rajoitetut ja heikosti rajoitetut joukot ovat samoja, perustuu osittai tasaise rajoitukse periaatteesee. Lause 19.7 (Tasaise rajoitukse periaate). Olkoo X täydellie metrie avaruus ja H joukko, usei joo, jatkuvia fuktioita X K. Oletamme, että H o pisteittäi rajoitettu, siis että kaikilla x X o sup f(x) = M x <. f H Tällöi o olemassa pallo B = B(x 0,r) X, jossah o sup-metriika mielessä rajoitettu joukko eli tasaisesti rajoitettu fuktioperhe: sup f(x) =sup f B = M B <. f H,x B f H Todistus. Joukko S f, = f 1 ([0,]) = {x X f(x) } o kaikilla N ja f Hfuktio f jatkuvuude perusteella suljettu. Tällaiste joukkoje leikkaus S = S f, = {x X Mx } f H o siis seki suljettu kaikilla N. Koska H o pisteittäi rajoitettu, o X = N S. Baire kategorialause takaa, että täydellie metrie avaruus X kuuluu Baire toisee kategoriaa, jote suljetut joukot S eivät voi kaikki olla harvoja, vaa jollaki joukolla S o sisäpiste: B = B(x 0,r) S. Nyt M B <. Tasaise rajoitukse periaattee lieaariversio tuetaa myös Baachi ja Steihausi yleiseä periaatteea ja saoo, että Baachi avaruudessa määritelty pisteittäi rajoitettu perhe jatkuvia lieaarikuvauksia o yhtäjatkuva. Ee lausee muotoilua kokoamme yhtee muutamia ilmeisiä lieaarikuvausperhee yhtäjatkuvuude kassa yhtäpitäviä ehtoja.

19. BAIREN KATEGORIALAUSE 155 Huomautus 19.8. Olkoo H perhe ormiavaruuksie E ja F välisiä lieaarikuvauksia. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (1) H o yhtäjatkuva. (2) H o rajoitettu operaattoriormi mielessä sup T = M B(0,1) <. T H (3) H o tasaisesti rajoitettu avaruude E yksikköpallossa B(0, 1) sup Tx = M B(0,1) <. T H,x B(0,1) (4) H o tasaisesti rajoitettu avaruude E jossaki pallossa B(x, r). (5) H o tasaisesti rajoitettu avaruude E jokaisessa pallossa B(x, r). Perustelu. Ehdot (2) ja (3) ovat sama asia. Muilta osi lause todistetaa samalla tavalla kui vastaava jatkuvia lieaarikuvauksia koskeva lause 5.1. Lause 19.9 (Tasaise rajoitukse periaattee lieaariversio). Olkoo E Baachi avaruus, G ormiavaruus ja H pisteittäi rajoitettu joukko jatkuvia lieaarikuvauksia E G. Tällöi Ho yhtäjatkuva. Todistus. Perhe H o pisteittäi tai tasaisesti rajoitettu täsmällee silloi, ku jatkuvie reaaliarvoiste fuktioide perhe {f : x Tx T H} o sitä. Voimme siis soveltaa tasaise rajoitukse periaatetta 19.8. ja se mukaa o olemassa joki pallo B = B(x, r) E, jossa H o tasaisesti rajoitettu. Klassie Baachi ja Steihausi lause saoo, että jatkuvie lieaarikuvauste avaruus o suljettu jooje pisteittäise kovergessi suhtee. Se o seuraus tasaise rajoitukse periaatteesta: Lause 19.10 (Baach ja Steihaus. 1927). Olkoo E Baachi avaruus ja F ormiavaruus sekä H =(T ) N pisteittäi suppeeva joo jatkuvia lieaarikuvauksia E F.Tällöi rajakuvaus T : E F, Tx = lim T x o jatkuva lieaarikuvaus, erityisesti se ormi o äärellie: T = sup Tx <. x B(0,1) Todistus. H o pisteittäi rajoitettu, ts. kaikilla x E o sup N T x <, sillä joo T x suppeee. Lause 19.7. takaa yt, että perhe H o rajoitettu operaattoriormi mielessä: sup T = M<. N

f ( ) 156 Olkoo yt x B(0, 1). Saamme halutu ormiarvio: Tx = lim T x = lim T x sup T x N sup T = M. N Huomautus 19.11. Huomaa, että edellä ei saatu eikäväitetty, että olisi T T operaattoriormi mielessä. 19.3. Avoime kuvaukse lause. Äärellisulotteise avaruude kaikki ormit ovat keskeää ekvivaletteja. Avoime kuvaukse lause o yleistys tai pikemmiki korvike tälle periaatteelle ääretöulotteiste Baachi avaruuksie tapauksessa. Se ei setää julista kaikkia sama avaruude täydelliseksi tekeviä ormeja ekvivaleteiksi, mutta saoo kuiteki, että jos tällaiste ormie välillä vallitsee edes toie ormie ekvivalessi määritelmä epäyhtälöistä, ii vallitsee toieki. Sama voi saoa äiki: Jos avaruudessa o kaksi Baach-ormia, joita voi verrata keskeää, ii e ovat ekvivaletit. Itse asiassa lause saoo eemmäki: Baachi avaruuksie välie jatkuva lieaarie surjektio o aia avoi kuvaus. Huomautus 19.12. Avoi kuvaus o määritelmä 1.2 mukaa fuktio, joka kuvaa jokaise avoime jouko avoimeksi joukoksi. Luvussa 13 o harjoitustehtävää osoitettu, että ormiavaruuksie välie lieaarikuvaus T : E F o avoi, kuha se kuvaa yksikköpallo joukoksi, joka sisältää origokeskise pallo. Tälle riittää selvästiki, että T kuvaa joki pallo sisäpisteelliseksi joukoksi. Riittää siis, että se kuvaa joki sisäpisteellise jouko sisäpisteelliseksi joukoksi. Esimerkki 19.13. (1) Äärellisulotteiste avaruuksie välie lieaarie surjektio o avoi kuvaus. (2) Normiavaruude E projektio P : E E o avoi kuvaus kuvajoukollee eli ormialiavaruudelle P (E) E. Projektio ei se sijaa aia ole jatkuva edes siiä tapauksessa, että kuvajoukko o yksiulotteie. Erityisesti projektioita ja siis avoimia kuvauksia ovat ( ) ormiavaruuksie tuloo E F liittyvä projektiokuvaus π : E F E :(x, y) x. ( ) Suoraa summaa liittyvä projektio E F E. (3) Tekijäormiavaruutee liittyvä kaoie surjektio o jatkuva ja avoi lieaarikuvaus. (Ks. 17.10.) (4) O olemassa ei-avoimiaki lieaarikuvauksia. Sellaisia ovat tietysti kaikki ei-surjektiiviset lieaarikuvaukset, koska iide kuvajoukko ei sisällä yhtää maaliavaruude palloa. Mutta o muitaki, jopa bijektioita. Sellaie o esimerkiksi idettie kuvaus (C([0, 1]), ) (C([0, 1]), 1 ),

19. BAIREN KATEGORIALAUSE 157 joka toisaalta kyllä o jatkuva. Se kääteiskuvaus o siis esimerkki lieaarikuvauksesta, joka o avoi olematta jatkuva. Perusteluja. (1) Valitaa lähtöpuolelta E vektorit x 1,...,x site, että Tx 1,...,Tx o maalipuole F kata. Nyt T o lieaarie bijektio avaruudelta x 1,...,x avaruudelle F. Se kääteiskuvaus o lieaarie äärellisulotteiste avaruuksie välillä, siis jatkuva, jote avaruude x 1,...,x yksikköpallo kuvalla o sisäpiste. Mutta tuo yksikköpallo sisältyy tieteki E: yksikköpalloo. (2) Projektio P : E P (E) kuvaa tietysti P (E): yksikköpallo, joka o E: yksikköpallo ja aliavaruude P (E) leikkaus, itsellee. Avaruude E koko yksikköpallo se siis kuvaa aliavaruude P (E) yksikköpalloa suuremmaksi joukoksi. Seuraavaa todistettava avoime kuvaukse lause perustuu Baire kategorialauseesee ja koskee siis imeomaa täydellisiä avaruuksia. Lause 19.14 (Avoime kuvaukse lause). Olkoo T : E F jatkuva lieaarie surjektio Baachi avaruudelta toiselle. Tällöi T o avoi kuvaus. Erityisesti jatkuva bijektio Baachi avaruudelta toiselle o homeomorfismi. Todistus. Riittää äyttää, että F : origo 0 o E: yksikköpallo kuva T (B E ) sisäpiste. Käytämme tähä Baire kategorialausetta: Koska ii surjektiivisuude ojalla E = N B E, F = T (E) = N T (B E ). Baire kategorialausee ojalla Baachi avaruus F ei ole laiha, jote jollaki sulkeumista T (B E ) o sisäpiste. Koska :llä jakamie o F :ssä homeomorfismi, o siis myös yksikköpallo kuva sulkeumalla T (B E )sisäpiste; olkoo B F (x, r) T (B E ). Toteamme, että sisäpisteeksi kelpaa origo äyttämällä, että B F (0,r) T (B E ). Olkoo a B F (0,r). y y 1 2 -x+a -x 1/2 (x +y ) a 0 x1 x 2 x+a x Kuva 39. Origo o yksikköpallo kuva sisäpiste. Koska B F (x, r) T (B E ), ii symmetriasyistä myös B F ( x, r) T (B E ). Koska a < r, ii x + a ja x + a kuuluvat siis sulkeumaa T (B E ). Valitaa joot (x )ja(y ) B E site, että Tx x + a ja Ty x + a. Tällöi T ( x +y 2 ) a ja tieteki x +y 2 x + y 2 < 1. Siis a T (B(0,r)).

f ( ) 158 Olemme todistaeet, että origo o jouko T (B E )sisäpiste. O vielä päästävä eroo sulkeumasta. Valitaa ρ>0 site, että Kaikilla N o yt ρb F = B F (0,ρ) T (B E ). ( ) ρ 2 B F 1 2 T (B E)= 1 2 T (B E). Osoitetaa, että ρ 2 B F T (B E ). Olkoo y ρ 2 B F. Ehdosta ( ) seuraa, että y 1 2 T (B E), jolloi o olemassa y 1 1 2 T (B E) site, että y y 1 < ρ 4. Koska (y y 1 ) ρ 4 B F 1 4 T (B E), ii o olemassa y 2 1 4 T (B E) site, että (y y 1 ) y 2 < ρ 8. Näi jatkae kostruoidaa joo (y k ) k N, y k 1 2 k T (B E ), jolle ja siis y y 1 y < y = y k. k=1 ρ 2 +1, Toisaalta jokaie y k o asiaomaisessa kuvajoukossa T ( 1 B 2 k E ), eli muotoa y k = Tx k, missä x k E ja x k < 1, jolloi sarja 2 k x = x k B E k=1 suppeee itseisesti ja siis suppeee Baachi avaruudessa E. Ny t y = y k = T ( x k )=Tx T (B E ). k=1 k=1 19.4. Suljetu kuvaaja lause. Kute tasaise rajoitukse periaate ja eräissä tapauksissa avoime kuvaukse lause o myös suljetu kuvaaja lause usei käyttökelpoie todistettaessa Baachi avaruuksie välise lieaarikuvaukse jatkuvuutta. Kertaamme aluksi, mikä o fuktio kuvaaja.

19. BAIREN KATEGORIALAUSE 159 Määritelmä 19.15. Olkoot X ja Y joukkoja. Joukkoje X ja Y välie relaatio o tulojouko X Y osajoukko ja fuktio eli kuvaus X Y o sellaie X: ja Y : välie relaatio f X Y,että (a) x X y Y site, että (x, y) f (b) jos (x, y) f ja (x, z) f ii y = z. Fuktio f : X Y kuvaaja eli graafi o em. mielessä fuktio f itse. Tämä aika tautologise määritelmä voi ilmaista myös kirjoittamalla Gr(f) ={(x, y) X Y y = f(x)}. F f E xf E Kuva 40. Fuktio f : E F kuvaaja. Pieeä lieaarialgebra harjoitustehtävää voi todeta, että vektoriavaruuksie välie kuvaus o lieaarie aia ja vai, ku se kuvaaja o tuloavaruude lieaarie aliavaruus. Seuraava piei lause 19.16 saoo, että metriste avaruuksie välise jatkuva kuvaukse kuvaaja o tuloavaruude suljettu joukko. Voisi luulla, ettätämä ehtomyös riittää takaamaa jatkuvuude. Näi ei kuitekaa yleisesti ole edes ormiavaruuksie lieaarikuvaukselle. Esimerkkiä epäjatkuvasta fuktiosta, jolla kuiteki o suljettu kuvaaja, o mikä tahasa jatkuva bijektio, paitsi homeomorfismi, kääteiskuvaus. Suljetu kuvaaja lause 19.17 ataa riittävät ehdot sille, että johtopäätös kuiteki olisi oikea. Lause 19.16. Jos X ja Y ovat metrisiä avaruuksia 99, ii jatkuva fuktio f : X Y kuvaaja o tuloavaruude X Y suljettu osajoukko. Todistus. Lause o mukava todistaa jooja käyttämällä, mutta suoraa avoimii joukkoihi perustuva todistamieki o mahdollista, vaikkapa seuraavasti: Olkoo f jatkuva. Osoitetaa, että kuvaaja komplemetti o avoi. Olkoo (x, y) X Y Gr(f). Tällöi y f(x), jote pisteillä y ja f(x) o erilliset, avoimet ympäristöt V y y ja V f(x). 99 Riittää: topologisia Hausdorff-avaruuksia

f ( ) 160 f(x) y V V y f x U Kuva 41. Jatkuva fuktio kuvaaja o suljettu. Koska f o jatkuva, o olemassa sellaie x: avoi ympäristö U X, että f(u) V Y V y, jolloi Gr(f) (U V y )=. Lisäksi (x, y) U V y ja U V y o avoi, jote (x, y) o kuvaaja komplemeti sisäpiste. Lause 19.17 (Suljetu kuvaaja lause). Lieaarikuvaus T Baachi avaruudelta E Baachi avaruudelle F o jatkuva aia ja vai, ku se kuvaaja o suljettu. Todistus. Jatkuva kuvaukse kuvaaja todettii yllä suljetuksi, olipa kuvaus lieaarie tai ei. Lausee varsiaie väite o site toie puoli. Olkoo Gr(T ) E F suljettu. Koska E F o kahde Baachi avaruude tulo, o se lausee 17.4 mukaa itseki täydellie, samoi siis se suljettu aliavaruus Gr(T ). Kuvaus p 1 : Gr(T ) E :(x, y) =(x, T x) x o tuloavaruude projektio rajoittumaa tieteki jatkuva ja lieaarie, se lisäksi selvästi bijektio. Avoime kuvaukse lausee ojalla se kääteiskuvaus E Gr(T ): x (x, T x) o myös jatkuva. Mutta T o yhdistetty kuvaus tästä ja projektiosta p 2 : E F F :(x, y) y, siis jatkuva. Todistus oli lyhyt ja helppo, koska käytettävissä oli syvällie tulos, avoime kuvaukse lause.

19. BAIREN KATEGORIALAUSE 161 Lause 19.18 (Helligeri ja Toeplitzi lause). 100 Hermiittisyyde määrittelevä kaava (Ax y) =(x Ay) toteuttava lieaarikuvaus A : H H o jatkuva ja siis todella hermiittie, ku H o Hilbert-avaruus. Todistus. Suljetu kuvaaja lausee perusteella riittää selvästiki (!) äyttää, että josx 0jaAx x, iix =0. Tämäpä oki helppoa: x 2 = ( lim Ax x ) = lim (Ax x) = lim (x Ax) =(lim x Ax) =0. 19.5. l 1 : duaali. Todistamme yt tasaise rajoitukse periattee avulla, että l 1 : duaali o l. Joo y =(y ) N l o tässä samastettava lieaarimuotoo l 1 K :(x ) =1 =1 x y, eli y(x) = x y = =1 x y. Lemma 19.19. Olkoo (y ) N sellaie lukujoo, että sarja y x N suppeee kaikilla (x ) N l 1.Tällöi (y ) N l. Perustelu. Olkoo (y ) N vaaditulaie joo. avulla määriteltykuvaus l 1 K : Kuki äärellise summa x =(x ) N m y x =1 o varmasti lieaarie ja se lisäksi jatkuva, oha m y x =1 m ( sup =1 1 m y ) x =( sup y ) (x ) N 1. 1 m Koska sarja kovergoi, o Baachi ja Steihausi lausee raja-arvoehto voimassa ja siis rajafuktioki o jatkuva eli rajoitettu lieaarikuvaus: o olemassa M>0 site, että kaikille (x ) N l 1 m y x M x 1. =1 Erityisesti valitsemalla x = e k =(0, 0,...,1,...), missä ykköe o k:ella paikalla, havaitsee, että y k M kaikilla k N. Nyt tiedämme, että (y ) N M. 100 Erst David Helliger 1883 1950 Saksa-USA, Otto Toeplitz 1881 1940 Saksa-Israel(?). Lause o vuodelta 1922. Todistus ei eää ole vaikea, ku käytössä o syvällie tulos, suljetu kuvaaja lause.

f ( ) 162 Lause 19.20. l 1 : duaali o l Perustelu. Hölderi epäyhtälö helpo erikoistapaukse mukaa aiaki jokaie y l tuottaa jatkuva lieaarikuvaukse f y : x =1 y x,javieläpä f y (x) x 1 y. Osoitetaa, että operaattoriormi f y todella o y : Valitaa ε>0jai N site, että y i > y ε. Olkoo e i = (0,...,1, 0,...). Nyt e i 1 = 1 ja e i y = y i > y ε. Tässä mielessä siis l l 1. Olkoo seuraavaksi f l 1. Muodostetaa joo x = f(e ), missä e = (0,...,1,...) l 1. Selvästi tämä o aioa mahdollie ehdokas etsityksi jooksi. Ja se kelpaaki: Koska f o jatkuva ja lieaarie, o kaikilla y l 1 voimassa f(y) =f ( ) y i e i = y i f(e i )= i=1 i=1 y i x i K, i=1 jote lemma 19.19 ehto toteutuu ja todella x l. Harjoitustehtäviä ja huomautuksia lukuu V Harjoitustehtäviä lukuu V. 18.1. Osoita, että äärellisulotteise avaruude R osajoukolle rajoittueisuus, prekompaktius ja relatiivikompaktius ovat yhtäpitäviä ehtoja. 18.2. Osoita, että metrise avaruude osajoukko o prekompakti tasa silloi, ku se sulkeuma o prekompakti. 18.3. (jatkoa) Metrise avaruude osajoukolle kompaktius ja jookompaktius ovat tuetusti yhtäpitäviä ehtoja. Huomautuksessa 18.3 väitetää, että täydellise metrise avaruude osajoukolle prekompaktius ja relatiivikompaktius ovat yhtäpitäviä ehtoja. Oko äi? Selvitä esi, että em. omiaisuudet periytyvät osajoukoille. 18.4. Kuvaako jatkuva lieaarikuvaus relatiivikompakti jouko relatiivikompaktiksi joukoksi? 18.5. Todista Ascoli ja Arzelá lemma 18.6. 18.6. Täydetele 18.9 perusteluja tutkimalla, miksi jatkuvasta ja kompaktista operaattorista yhdistämällä saadaa kompakti operaattori. 19.1. Olkoo X metrie avaruus ja A X. OkoA avoi / suljettu / täydellie / tiheä / separoituva / harva eli ei missää tiheä, ku (1) X = K 5 ja A = {(x k ) 5 1 x 1 = x 2 = x 3 } (2) X = l 2 ja A = {e k k N} (3) X = l 2 ja A = {(x k ) 1 : 1 x k 2 > 0} 19.2. Aa esimerkki täydellisestä metrisestä avaruudesta (X, d) ja joosta (F ) 1 se suljettuja joukkoja, joilla F 1 : halkaisija diam F 1 < ja F 1 F 2 F 3... ja F =.

HARJOITUSTEHTÄVIÄ JA HUOMAUTUKSIA LUKUUN V 163 19.3. Näytä, että ratioaalilukuje joukkoa Q ei voi esittää muodossa i=1 U i, missä U i :t ovat R: avoimia joukkoja. Opastus: Numeroi Q = {x 1,x 2,...}, tarkastele joukkoja R U i {x i } ja käytä Baire kategorialausetta. 19.4. Olkoo A :t ( N) joo avoimia reaalilukujoukkoja site, että iide yhdiste o koko R. Sisältääkö joku A välttämättä avoime väli? Mite käy, jos oletetaa, että joukot A ovat suljettuja? 19.5. a) Näytä, että ei ole olemassa fuktiota f : R R, joka olisi jatkuva jokaisessa ratioaalipisteessä x Q ja epäjatkuva muissa, siis irratioaalipisteissä. Vihje: Tutki jouko halkaisijaa diam A =sup{d(x, y) x, y A}. Tee atiteesi. Määrittele U = {U R U o avoi ja diam(f(u)) < 1 } sekä U = U U U. Näytä, että U o avoi ja tiheä R:ssä jaettä Q = N U. Numeroi ratioaliluvut jooksi (q 1,q 2,q 3,...). Määrittele V = U {q }. Ristiriita löytyy tarkastelemalla joukkoa N V. Vertailu vuoksi: Pelkissä irratioaalipisteissä jatkuva fuktio o olemassa! 19.6. Voiko Baachi avaruude Hamel-kata olla umeroituvasti ääretö? 19.7. Todista huomautus 19.12, joka mukaa ormiavaruuksie väliselle lieaarikuvaukselle T : E F seuraavat ovat yhtäpitäviä: (1) T o avoi kuvaus. (2) T kuvaa yksikköpallo joukoksi, joka sisältää origokeskise pallo. (3) T kuvaa joki pallo sisäpisteelliseksi joukoksi. Vihje: Samatapaie kui vastaavie jatkuvuutta koskevie lauseide 5.1. ja 6.7. todistus. 19.8. Olkoo T : E F jatkuva lieaarikuvaus ja lisäksi ijektio, missä E ja F ovat Baachi avaruuksia. Jos avoime pallo B = {x E x 1} kuva T (B) o avoi F :ssä, ii oko T välttämättä bijektio? 19.9. Oko jatkuva bijektio kääteiskuvaus aia avoi kuvaus? 19.10. ( ) Keksi esimerkki kahdesta epäekvivaletista Baach-ormista samassa avaruudessa. Vihje: Avoime kuvaukse lausee vuoksi ormie täytyy olla vertailukelvottomat. 19.11. Olkoot E ja F Baachi avaruuksia ja (T ) 1 joo jatkuvia lieaarikuvauksia E F. Jos kaikissa pisteissä x pätee T (x) T (x), missä T o jatkuva lieaarikuvaus, ii päteekö T T avaruudessa B(E,F)? Ohje: koeta i keksiä vastaesimerkki, jossa vaikkapa E = C[0, 1] sup-ormilla varustettua, F = R. T (f) =?? 19.12. Aa esimerkki joosta operaattoreita T B(l 2 ), jolle T ei lähesty ollaa, mutta T x 0 jokaisessa pisteessä x l 2. Vihje: Iteroi kuvausta T : l 2 l 2 :(x 1,x 2,...) (x 2,x 3,...). 19.13. Olkoo (f ) 1 joo jatkuvia fuktioita R R site, että f (x) f(x) jokaisella x R. Näytä, että o olemassa avoi väli ]a, b[ R ja luku M>0site, että f (x) M kaikilla N ja x ]a, b[. Vihje: Tutki suljettuja (!) joukkoja F j = {x R f (x) j N}.

f ( ) 164 19.14. Olkoot E ja F Baachi avaruuksia ja (T ) 1 joo jatkuvia lieaarikuvauksia E F. Oleta, että T 1kaikilla N. Olkoo A E tiheä osajoukko site, että kaikilla x A joo (T x) 1 suppeee avaruudessa F.Näytä, että joo (T x) 1 suppeee kaikilla x E. Opastus: Helppo. 19.15. a) Olkoot E ja F ormiavaruuksia ja T : E F lieaarie kuvaus, joka ei ole surjektio. Näytä, että kuva-avaruus T (E) ei ole avoi F :ssä. b) Aa esimerkki ormiavaruuksista E ja F sekä jatkuvasta lieaarikuvauksesta T : E F, joka o bijektio, mutta joka kääteiskuvaus ei ole jatkuva. Vihje: Helpompi kui luuletkaa. Voit vaikka yrittää valita E = F, mutta eri ormit ja T :ksi idettie kuvaus. 19.16. Totea, että vektoriavaruuksie välie kuvaus o lieaarie aia ja vai, ku se kuvaaja o tuloavaruude lieaarie aliavaruus. 19.17. Olkoot E ja F Baachi avaruuksia ja T B(E,F) site, että KerT = {0} ja o olemassa vektorijoo (x ) N E, joilla x =1ja Tx = 1 x. Voiko T olla surjektio? 19.18. Olkoot E ja F Baachi avaruuksia ja T B(E,F). Osoita, että seuraavat ovat yhtäpitäviä keskeää: (1) O olemassa vakio C 0 site, että Tx C x x E. (2) Ker T = {0} ja Im T o suljettu. 19.19. Olkoot E ja F Baachi avaruuksia ja T L(E,F). Osoita, että seuraavat ovat yhtäpitäviä keskeää: (1) Jos Tx y ja x 0, ii y =0. (2) T : kuvaaja Gr T o suljettu. 19.20. Olkoo (a ) 1 l ja T B(l p ): (x ) 1 (a x ) 1 jollaki 1 p<. Millä jooa (a ) N koskevalla ehdolla kuvaus T o ijektio? Etä, jos T todella o ijektio, ii millä ehdolla kuva T (l p ) o suljettu? Aa tämä avulla esimerkki ijektiivisestä operaattorista S B(E), joka kuva-avaruus S(E) ei ole suljettu. 19.21. Olkoo (a ) 1 l ja T B(l p ): (x ) 1 (a x ) 1 jollaki 1 p<, kute aikaisemmassa tehtävässä. Milloi T o käätyvä? Mikä ot 1? 19.22. Todista avoime kuvaukse lause seurauksea suljetu kuvaaja lauseesta. Vihje: Aloita todistamalla erikoistapaus, joka mukaa Baachi avaruuksie välise jatkuva bijektio kääteiskuavus o jatkuva. Hajota se jälkee tutkittava kuvaus muotoo T = P S, missä P o projektio ja S(x) =(x, T (x)). 19.23. Päteekö avoime kuvaukse lausee väite, ellei oleteta, että maaliavaruus F o täydellie? 19.24. Osoita, että (l p ) ja l q ovat isomorfiset, ku p ja q ovat äärelliset duaaliekspoetit. 19.25. Osoita, että c 0 ja l 1 ovat isomorfiset. 19.26. (jatkoa) Etsi kaikki ormi saavuttavat alkiot f c 0, ts. alkiot α l 1, joilla o olemassa x B c0 site, että x α = α 1 Huomautuksia lukuu V. Hajaatuva Fourier-sarja. l 1 : duaali avulla o helposti kostruoitavissa jaksollie jatkuva fuktio, joka Fourier-sarja hajaatuu aiaki yhdessä pisteessä. 101 Tämä oli aikaaa vaikea juttu. 101 [M].

HARJOITUSTEHTÄVIÄ JA HUOMAUTUKSIA LUKUUN V 165 Historiaa. Bull. AMS kertoo kesä 2004 umerossa, että Baire kategorialauseesee perustuva Baachi ja Steihausi lausee todistus o peräisi S. Saksilta. 102 Alkuperäisempi todistus: Ks. [RN], No 31. Hyvä lukija. Kirjoita tekijälle parausehdotuksia lukuu V. 102 Staislaw Saks 1897 1942, Puola.

f ( ) 166 VI KONVEKSIT JOUKOT JA JATKUVAT LINEAARIMUODOT Fuktioaaliaalyysi keskeisii tuloksii kuuluu Baire kategorialausee mielekiitoiste seurauste lisäksi ee kaikkea Hahi ja Baachi lause 21.4, joka tärkeä seuraus o se, että ormiavaruude (E, ) duaali E o aia epätriviaali, vieläpä iiettä kaikille x E {0} o olemassa jatkuva lieaarimuoto f : E K, jolle f(x) 0. Hilberti avaruudessa tämä väite o ilma muuta tosi, koska siellä jatkuvat lieaarimuodot voidaa tulkita samoiksi kui avaruude vektorit. Yleisessä ormiavaruudessa Hahi ja Baachi lausee todistamie se sijaa edellyttää y llättäe valita-aksiooma käyttöä. Aikomukseamme o ymmärtää Hahi ja Baachi lausee geometrie luoe ja todistaa siitä esi geometrie versio, Baachi erottelulause, joka mukaa kahde avoime, koveksi jouko välii voi sijoittaa suljetu hypertaso, joka erottaa e omii puoliavaruuksiisa. Aloitamme täydetämällä tietojamme vektoriavaruude hypertasoista ja muista kovekseista joukoista. 20. Koveksia lieaarialgebraa 20.1. Lieaarimuodot ja affiiit hypertasot. Olemme jo määritelleet lieaarise hypertaso luvussa 9. Kertaamme määritelmä: Huomautus 20.1. Vektoriavaruude V lieaarie hypertaso o aliavaruus W V, joka toteuttaa seuraavat keskeää yhtäpitävät ehdot: (1) W o joki ollasta eroava lieaarimuodo f : V K ydi. (2) W o V : maksimaalie aito aliavaruus; se ei sisällymihikää muuhu aitoo aliavaruutee kui itseesä. (3) Aliavaruude W jokaie (tai joki) Hamel-kata voidaa laajetaa koko avaruude V Hamel-kaaksi lisäämällä siihe yksi vektori x/ W. Lieaarimuodo muut tasa-arvopiat saadaa ytimestä siirtämällä. Määritelmä 20.2. Vektoriavaruude osajoukko A V o affiii aliavaruus, jos se toteuttaa seuraavat keskeää yhtäpitävät ehdot (1) A o muotoa A = x + W = {x + w w W }, missä W o lieaarie aliavaruus. (2) A A = {x y x A, y A} o vektorialiavaruus. Maksimaalie aito affiii aliavaruus o affiii hypertaso eli hypertaso. Ku W o lieaarie hypertaso, ii x + W o siis affiii hypertaso.

20. KONVEKSIA LINEAARIALGEBRAA 167 0 W x+w x Kuva 42. Affiieja aliavaruuksia ja hypertasoja avaruudessa R 3. Huomautus 20.3. Lieaarikuvaukse L : V W tasa-arvojoukot ovat ekvivalessirelaatio Lx = Ly ekvivalessiluokat. Pistee x kautta kulkeva tasaarvojoukko eli luokka [x] ={y V Lx = Ly} saadaa kuvaukse L ytimestä siirrolla: [x] =x + Ker L = {x + z z Ker L}. Tasa-arvojoukot ovat siis ytime kassa isometrisesti isomorfisia affiieja aliavaruuksia. Erityisesti lieaarimuodo tasa-arvojoukot ovat site lieaarise hypertaso siirrettyjä kopioita, se kassa yhdesuutaisia affiieja hypertasoja. Asiaa o eräässä erikoistapauksessa käsiteltykohdassa 9.35. 20.2. Koveksit joukot vektoriavaruudessa. Seuraavassa V o R kertoimie vektoriavaruus; erityisesti V saa siis olla C vektoriavaruus. Määritelmä 20.4. Joukko A V o koveksi eli kupera, mikäli se sisältää pisteidesä väliset jaat: x, y A = {αx + βy α, β 0,α+ β =1} A, x y x y koveksi epäkoveksi Kuva 43. Koveksi ja epäkoveksi joukko. Esimerkkejä 20.5. Kovekseja joukkoja ovat esimerkiksi vektoriavaruude affiiit aliavaruudet sekä ormiavaruude avoimet ja suljetut pallot. Lisäksi koveksius säilyy lieaarikuvauksissa ja siirroissa mee, tulle.

f ( ) 168 Lause 20.6. (1) Olkoo A V koveksi joukko ja T : V W lieaarie. Silloi kuvajoukko T (A) o koveksi. (2) Olkoo B W koveksi joukko ja T : V W lieaarie. Silloi alkukuvajoukko T 1 (B) o koveksi. (3) Olkoo A V koveksi joukko a V ja T : V V traslaatio x x + a. Silloi kuvajoukko T (A) o koveksi. Todistus. Helppo harjoitustehtävä. Koveksius säilyy leikkauksessa, mutta ei tietekää yhdisteessä: Lause 20.7. Olkoo A i V koveksi joukko kaikilla i I. i I A i o koveksi. Silloi leikkaus Kuva 44. Koveksie joukkoje leikkaus. Aiva erityisesti koveksi jouko A ja aliavaruude W V leikkaus o W : koveksi osajoukko. A W A W U Kuva 45. Koveksi jouko A ja aliavaruude W leikkaus. Todistus. Ilmiselvää tämäki. Määritelmä 20.8. Jouko A V koveksi verho o suppei jouko A sisältävistä kovekseista joukoista, imittäi leikkaus co (A) = {B A B,B o koveksi}

20. KONVEKSIA LINEAARIALGEBRAA 169 A Jouko A koveksi verho co (A) Äärellise jouko koveksi verho o koveksi moitahokas Kuva 46. Kaksi koveksia verhoa. Huomautus 20.9. Jouko A koveksi verho alkiot ovat samat kui A: alkioide koveksit kombiaatiot: x = λ k x k, k=1 missä x 1,...x A, λ 1,...,λ 0ja k=1 λ k =1. Erityisesti co (A) A. Perustelu. A: alkioista muodostettuje koveksie kombiaatioide joukko o selvästi itseki koveksi joukko ja sisältää A:, jote se sisältää myös co (A):. Toisesuutaise ikluusio osoittamiseksi riittää todistaa, että koveksi joukko, tässä tapauksessa co (A), sisältää alkioidesa koveksit kombiaatiot x = k=1 λ kx k. Tämä voi tehdä iduktiopäättelyllä : suhtee: Tapaukset = 1ja = 2ovat triviaaleja, jote jää tehtäväksi iduktioaskel. Oletamme siis, että co(a) sisältää 1 : alkio koveksit kombiaatiot. Tehtävää o äyttää, että co(a) sisältää alkio N x k co (A) x = λ k x k, missä λ k=1 k R + k=1 λ k =1. Iduktio-oletukse vuoksi voimme olettaa, että mikää kertoimista λ k ei ole olla. Voimme siis kirjoittaa x = ( 1 k=1 )( 1 λ k m=1 λ m ) 1 j=1 λ x m + λ x, missä j N x k A λ k 1 k=1 λ k 1 j=1 R + ja λ R + λ j 1 k=1 λ k =1. Siiäpä se!

f ( ) 170 Seuraus 20.10. Vektoriavaruude V kahde koveksi osajouko A ja B yhdistee koveksi verho co (A B) muodostuu kaikista A: ja B: pisteide välisistä jaoista: x co (A B) x = αa + βb, missä { a A, b B, α, β 0,α+ β =1. Kuva 47. Kahde koveksi jouko yhdistee koveksi verho. Huomautus 20.11. Mielivaltaise moe mahdollisesti eri avaruuksissa oleva koveksi jouko C i E i tulojoukko i I C i o tuloavaruude i I E i koveksi osajoukko. Perustelu. Yleesä tarvitsemme vai tapausta, jossa tulossa o vai äärellise mota tekijää, ja se palautuu iduktiolla kahde jouko tulo tutkimisee, missä puolestaa ei ole vaikeuksia. C 2 C 1 x C 2 E 2 E 1 C 1 Kuva 48. Kahde koveksi jouko tulojoukko. Yleisessä tapauksessa o aettava tai tiedettävä tarpeelliset määritelmät. Yleie tulojoukko o määritelmä mukaa V i = { f : I } V i kaikilla i I : f(i) V i. i I i I Koveksiutta koskeva väite saadaa siitä, että vektoriavaruude rakee määritellää vektoriavaruuksie tuloo luoollisella tavalla pisteittäi. Toisi kui edelliset, o seuraava 103 lieaarialgebra lause epätriviaali. Se o kute myöhemmi tulemme huomaamaa Baachi erottelulausee ja site myös Hahi ja Baachi lausee lieaarialgebrallie vastie. 103 Harvoi esitetty. Merkityksetökö? Joka tapauksessa hauska.

20. KONVEKSIA LINEAARIALGEBRAA 171 Lause 20.12 ( ) (Stoe erottelulause 1937). Vektoriavaruude V kaksi erillistä koveksia osajoukkoa A ja B voi aia erottaa omii kovekseihi puoliavaruuksiisa seuraavassa mielessä: O olemassa koveksi joukko C V site, että (1) myös komplemetti C = V C o koveksi (2) A C ja B C. Todistus. Kostruoidaa aluksi C luoollisella tavalla käyttäe Zori lemmaa. Tarkastelemme kaikkie sopivie C ehdokkaide perhettä C = {A: sisältävät, B:tä leikkaamattomat koveksit joukot}. Ikluusio o perhee C järjestysrelaatio, ja se toteuttaa Zori lemma ehdo: jokaisella perhee C täysi järjestetyllä osajoukolla o joukkoo C kuuluva yläraja, imittäi alkioidesa yhdiste. Zori lemma mukaa o siis olemassa maksimaalie C: alkio, eli maksimaalie A: sisältävä, B:tä leikkaamato koveksi joukko. Sellaise valitsemme joukoksi C. Riittää äyttää, että myös jouko C komplemetti C o koveksi. Oletetaa, että C ei ole koveksi, jolloi o olemassa pisteet x C,z C ja iide välise jaa piste y co {x, z} site, että y C. x u B p C C B A y q z v B Kuva 49. Stoe erottelulausee todistus. Koska x/ C, ii koveksi verho co ({x} C) o aidosti laajempi kui C ja leikkaa siis C: maksimaalisuude vuoksi joukkoa B. Siksi o olemassa C:he kuuluva piste p, joka yhdysjaa x:ää leikkaa B:tä vaikkapa pisteessä u. Vastaava pätee pisteelle z, ja saadaa pisteet q C ja v B ]q, z[. Tarkastelemalla pisteide x, z, q ja p koveksia verhoaa virittämää tavallista tetraedria, x u y z p v q Kuva 50. Mahdoto tilae.

f ( ) 172 joka särmillä sijaitsevat pisteet u, v ja y huomaa, että kolmio co {p, q, y} jakaa se kahtee osaa, joista toisessa o piste u, toisessa v. Jaa ]u, v[ lävistää tämä kolmio. Tämä o mahdotota, sillä urkkiesa tavoi kolmiomme sisältyy koveksii joukkoo C, mutta päätepisteidesä tavoi jaa sisältyy koveksii joukkoo B, joka ei leikkaa C:tä. Huomautus 20.13 (Ihmeellie vastaesimerkki). Hyvi lievi lisäoletuksi Stoe erottelulausee joukot C ja C ovat reaalise vektoriavaruude puoliavaruuksia siiä mielessä, että o olemassa lieaarimuoto eli lieaarikuvaus f : V R, jolla f(a) ], c] ja f(b) [c, [. Esimerkiksi äärellisulotteisessa avaruudessa käyaia juuri äi. Se sijaa ääretöulotteisesta vektoriavaruudesta V voidaa aia valita komplemetaariset koveksit epätyhjät joukot C ja C site, että C {x V y C :]x, y[ C }, ja käätäe myös C {x V y C :]x, y[ C}. Tämä saa aikaa valitsemalla V :lle Hamel-kaa ja järjestämällä se hyvi. 104 Jokaie vektori x V o katavektorie yksikäsitteie äärellie lieaarikombiaatio. Valitaa C:ksi iide vektorie joukko, joide koordiaattiesityksessä viimeie ollasta eroava koordiaatti o positiivie. 21. Koveksit joukot ormiavaruudessa 21.1. Jatkuvat lieaarimuodot ja suljetut affiiit hypertasot. Voisimme jatkaa koveksie joukkoje lieaarialgebra tutkimista pitkälleki, mutta fuktioaaliaalyysi ottaa huomioo myös topologisia omiaisuuksia. Tarkastelussa tarvitaa tällöi apua suljettuja hypertasoja. Muistamme, että Hilbertavaruude lieaarimuoto o jatkuva tasa silloi, ku se ydi o suljettu hypertaso. Tämä väittee todistuksessa käytimme Fréchet ja Rieszi esityslausetta. Vaikka esityslauseella ei ole vastietta yleise ormiavaruude tapauksessa, ii lieaarimuodo yditä koskeva väite o silti ytki tosi. Lause 21.1 (Suljetut hypertasot ormiavaruudessa). (1) Normiavaruudessa E määritelty ollasta eroava lieaarimuoto o jatkuva aia ja vai, ku se ydi o suljettu. (2) Epäjatkuva lieaarimuodo ydi o tiheä koko avaruudessa E. (3) Vastaavat väitteet pätevät ytime lisäksi lieaarimuodo muilleki tasa-arvojoukoille eli affiieille hypertasoille. Todistus. Lieaarimuodo jatkuvuus takaa tieteki, että se ydi o suljettu, koska yksipisteie joukko {0} K o suljettu ja ydi o se alkukuva. Kääteie puoli vaatii laskutoimitukse: Olkoo ydi Ker(f) E suljettu. Koska ollakuvaus o jatkuva, voimme olettaa, että f ei ole olla, vaa o olemassa h E site, että f(h) = 1. Koska Ker(f) o suljettu, voidaa valita h keskie avoi pallo B(h, r), joka ei leikkaa yditä Ker(f). Osoitamme, että f o rajoitettu r-säteisessä origokeskisessä pallossa. Teemme atiteesi, että äi ei ole, vaa o olemassa 104 Liite.

21. KONVEKSIT JOUKOT NORMIAVARUUDESSA 173 sellaie x E, että x <rja f(x) = c > 1. y = x / c <rja f(y) = f(x) /c= 1, jote Olkoo y = x/c, jolloi B(h,r) y 0 r x h y+h r f=0 f=1 Kuva 51. Suljettu ydi. f(y + h) =f(y)+f(h) = 1+1=0, ja siis y + h B(h, r) Ker(f) =, mikä o ristiriita, joka osoittaa, että f o rajoitettu r-säteisessä origokeskisessä pallossa. Hypertaso eli maksimaalie aito aliavaruus H E o joko suljettu tai tiheä siitä syystä, että se sulkeuma o sitä itseää isompi aliavaruus, siis maksimaalisuude ojalla joko E tai H. Yditä koskevat väitteet koskevat yhtä lailla muitaki tasa-arvopitoja, koska e saadaa ytimestä siirrolla, joka o homeomorfismi. Huomautus 21.2. Ääretöulotteiste ormiavaruuksie välie lieaarikuvaus ei yleesä ole jatkuva, vaikka se ydi olisi suljettu. Vastaesimerki tarjoaa idettie kuvaus, ku avaruudessa o kaksi epäekvivalettia ormia. 105 Ryhdymme yt tarkastelemaa ormiavaruude muitaki kovekseja joukkoja kui affiieja aliavaruuksia. 21.2. Koveksi jouko sulkeuma ja sisus. Lause 21.3. Normiavaruudessa koveksi joukko C o aia polkuyhteäie, siis myös yhteäie. Todistus. Koveksi jouko kaksi pistettä voi yhdistää suorastaa jaalla. Lause 21.4. Normiavaruudessa E koveksi jouko C sulkeuma C o koveksi. Todistus. Olkoo c co C, jolloi c voidaa lausua koveksia kombiaatioa c = λ i c i, i=1 missä c i C, i=1 λ i =1jaλ i [0, 1]. Valitaa joukosta C joot c ij c i ja huomataa, että C λ i c ij λ i c i = c. i=1 i=1 105 Derivoitioperaattori avaruudelta (C ([0, 1], R), ) itsellee o epäjatkuva, vaikka se ydi o yksiulotteie.

f ( ) 174 Huomautus 21.5. Osajouko A E koveksi verho sulkeuma o edellise lausee mukaa koveksi. Se o siis suppei koveksi ja suljettu joukko, joka sisältää A:. Saomme sitä A: koveksiksi suljetuksi verhoksi co (A). Koska co (A) o A :ta laajempi suljettu joukko, ii se sisältää sulkeuma A ja siis koveksia joukkoa myös se koveksi verho: co (A) co (A) Esimerkillä, vaikkapa joukolla A = {(x, 1 1+x 2 ) x R} avaruudessa R 2 voi todeta, että ikluusio saattaa olla aito. A Kuva 52. co (A) co (A). Koveksi jouko sisuski o koveksi, mutta tämä asia ei ole aiva y htä välittömästi ilmeie kui sulkeuma koveksius. Todistamme seuraavassa sama tie vähä voimakkaamma tulokse: Lemma 21.6. Olkoo C ormiavaruude E koveksi joukko, x it C ja y C. Tällöi avoi jaa ]x, y[ ={λx + µy λ, µ > 0, λ+ µ =1} sisältyy C: sisuksee it C. Todistus. Koska x o jouko C E sisäpiste, o olemassa avoi joukko U E, jolle x U C. Olkoo a ]x, y[. Riittää äyttää, että [x, a[ it C. Yleisyydestä tikimättä voimme merkitöje yksikertaistamiseksi olettaa, että a o origo. Osoitetaa esi, että a =0 C. Jos äi ei olisi, ii koveksius estäisi mitää jouko K = λ<0 λu alkiota kuulumasta joukkoo C. Avoi joukko K sisältyisi siis C: komplemeti sisuksee, mutta tietysti y K, jote yt y olisi C: komplemeti sisäpiste vastoi oletusta y C. K y a C A U x Kuva 53. Koveksi sisus. Niipä origo a kuuluu koveksii joukkoo C. Koveksius takaa yt, että avoi joukko A = 0<λ<1 λu sisältyy C:he, mutta tutkittava jaa ]a, x] sisältyy joukkoo A, mikä todistaa väittee.

21. KONVEKSIT JOUKOT NORMIAVARUUDESSA 175 Seuraus 21.7. Normiavaruudessa koveksi jouko C E sisus o koveksi. Seuraavaksi todistamme muutamia viime kädessähyvisyvällisiä lauseita, joide yksikertasiselta äyttävä saoma o, että ormiavaruude aito koveksi osajoukko sisältyy johoki suljettuu puoliavaruutee. Aloitamme vaatimattoma äköisellä lemmalla, joka todistamie kuiteki vaatii juuri todistamamme lemma lisäksi ajattelua. Lemma 21.8. Olkoot E vähitää kaksiulotteie ormiavaruus ja A E koveksi avoi joukko, joho origo ei kuulu. Tällöi o olemassa yksiulotteie aliavaruus eli origo kautta kulkeva suora S E, joka ei leikkaa joukkoa A. S 0 A Kuva 54. Koveksi jouko väistämie. Todistus. Voimme olettaa, että A ei ole tyhjä. Joukko K = λ>0 λa o epätyhjä, avoi ja koveksi eikä sisällä origoa eikä siis myöskää alkioidesa vastavektoreita. x S -x 0 K A Kuva 55. Apukartio. Koska avaruus E o vähitää kaksiulotteie, o origo komplemetti E {0} tieteki yhteäie joukko. Se aito, epätyhjä osajoukko K o avoi, jote se ei voi olla suljettu yhteäisesä metrisessä avaruudessa M = E {0}, vaa jouko K sulkeumaa avaruudessa M kuuluu joki piste x / K. Olemme huolehtieet siitä, että x 0. Osoitamme, että x virittää halutulaise suora S. Esiäki K: määritelmä takaa, että positiivisilla λ ei λx kuulu joukkoo K. Toisaalta myöskää λx ei ole K:ssa, sillä muute olisi λx K =itk, jolloi edellise lemma ojalla origo olisi K: sisäpiste. 21.3. Mazuri laajeuslause ja Baachi erottelulause. Seuraavassa o keskeisessä asemassa Mazuri laajeuslause. Jo se äärellisulotteisilla versioilla o oma merkityksesä mm. optimoititeoriassa, mutta meidä kaaltamme oleellisi o ääretöulotteie versio.

f ( ) 176 Lause 21.9 (Mazuri laajeuslause) 106. Olkoo A koveksi, avoi, epätyhjä joukko reaalisessa ormiavaruudessa E ja olkoo M E affiii aliavaruus site, että M A =. Tällöi o olemassa hypertaso H E site, että M H ja H A =. Tällaie H o suljettu. H A M Kuva 56. Mazuri laajeuslause. Todistus. Voimme olettaa, että 0 M, jolloi M o lieaarie aliavaruus ja 0 / A. Oletamme aluksi vielä, että K = R. Hypertasoehdokkaaksi H valitaa maksimaalie alkio ikluusiorelaatiolla järjestetystä perheestä A = {N E N o lieaarie aliavaruus, M N, N A = }. Jos E o äärellisulotteie, ii tällaie maksimaalie aliavaruus voidaa kostruoida laajetamalla aliavaruutta M vaiheitai dimesio kerrallaa, kues laajetamie ei eää oistu leikkaamatta joukkoa A, mikä välttämättä tapahtuu eekui aliavaruude dimesio saavuttaa koko avaruude E = R dimesio. Jos E ei ole äärellisulotteie, ii maksimaalise alkio olemassaolo voidaa äärellisulotteisuutee vetoamatta perustella Zori lemmalla, sillä aliavaruusperhee A jokaisella ikluusio mielessä täysi järjestetyllä osaperheellä o y läraja perheessä A, imittäi alkioidesa yhdiste. Maksimaalie aliavaruus H toteuttaa selvästiki lausee ehdot, kuha äemme, että se o hypertaso. Tarkastelemme aluksi äärellisulotteista tilaetta. Valitaa H:lle joki kata (x 1,...,x m )jatäydeetää se koko avaruude E = R kaaksi (x 1,...,x ). Osoitetaa, että uusie katavektorie (x m+1,...,x )virittämä aliavaruus F = x m+1,...,x o yksiulotteie. Projektio ϕ : E F : α i x α i x i i=1 i=m+1 o avoi kuvaus (19.12-13) ja kuvaa siis A: avoimeksi, koveksiksi, origoa sisältämättömäksi joukoksi avaruutee F. Jos F olisi vähitää kaksiulotteie, ii olisi edellise lemma ojalla olemassa F : yksiulotteie aliavaruus S, joka ei leikkaisi A: kuvajoukkoa ϕ(a). Silloi olisi 106 Staislaw Mazur 1905 1981, Puola. M H = ϕ 1 ({0}) ϕ 1 (S)

21. KONVEKSIT JOUKOT NORMIAVARUUDESSA 177 ja ϕ 1 (S) A = jote aliavaruus ϕ 1 (S) rikkoisi H: maksimaalisuutta. Kaa avulla kostruoimamme aliavaruus F o siis yksiulotteie ja H o hypertaso aiaki siiä tapauksessa, että E = R. Ääretöulotteisessa tapauksessa käytämme samaa todistusmeetelmää, mutta kataa o yt Hameli kata: Valitaa aliavaruudelle H E joki Hamel-kata K, ja laajeetaa se koko E: kaaksi L K. Kaa avulla määriteltyprojektio aliavaruudelle ϕ : E F = L K : α x x x L x L K o esimerki 19.13 mukaa ytki avoi kuvaus. Löydetty hypertaso H ei ole tiheä, koska se ei leikkaa avoita joukkoa A. Siksi se o lausee 21.1 ojalla suljettu. Näi o reaalie versio todistettu. Kompleksie versio palautuu reaalisee, sillä kompleksikertoimie ormiavaruus o luoollisesti samalla reaalikertoimie. Näi o olemassa reaalisessa mielessä hypertaso H M, joka ei leikkaa A:ta. Nyt H ih o kompleksisessa mielessä aliavaruus ja selvästi maksimaalie sellaie eli kompleksie hypertaso. Sekää ei tietekää leikkaa A:ta ja seki o suljettu. Seuraus 21.10. (Baachi erottelulausee reaalie muoto). Olkoo E reaalikertoimie ormiavaruus ja A ja B E kaksi erillistä koveksia joukkoa, joista aiaki toie olkoo se A avoi. Tällöi o olemassa jatkuva lieaarikuvaus f : E R, joka erottaa joukot A ja B. Tällä tarkoitamme, että f(a) f(b) =. α x x H A B Kuva 57. Baachi erottelulause. Todistus. Voimme olettaa, että joukotovatepätyhjiä. Erotuste joukko C = A B = {a b a A, b B} = (A b) b B

f ( ) 178 o avoi, koveksi eikä sisällä origoa. Sovellamme Mazuri lausetta siihe ja aliavaruutee M = {0}. Saamme origo kautta kulkeva suljetu hypertaso H, joka ei leikkaa C:tä. O olemassa joki lieaarimuoto olkoo se f joka ydi o H. Tämä toteuttaa lausee ehdo, sillä f o jatkuva ja jos a A ja b B site, että f(a) =f(b), ii (a b) (A B) Ker(f) =(A B) H =. Vaikka koveksius o reaalie käsite, o Baachi erottelulauseesta olemassa seuraava äeäisesti kompleksie muoto. Seuraus 21.11. (Baachi erottelulausee kompleksie muoto). Olkoot E kompleksie ormiavaruus ja A ja B E kaksi erillistä koveksia joukkoa, joista aiaki toie olkoo se A avoi. Tällöi o olemassa jatkuva lieaarimuoto eli kompleksilieaarikuvaus f : E C, joka erottaa joukot A ja B siiä mielessä, että o olemassa reaaliluku α, jolle Re f(x) <α x A ja Re f(x) α x B. Perustelu. Lause palautuu reaalisee tilateesee, ku huomaa, että jokaie kompleksikertoimie vektoriavaruus E, o samalla reaalikertoimie vektoriavaruus. Pieellä laskulla voi tarkastaa, että jos f : E C o kompleksilieaarie, ii se reaaliosa g : E R : g(x) =Ref(x) = 1 2 (f(x)+f(x)) o reaalilieaarie yleesä ei tietekää kompleksilieaarie. Toisaalta jokaie kompleksisessa vektoriavaruudessa määriteltyreaalilieaarimuoto g : E R o siitä muodostetu kompleksilieaarise kuvaukse f : E C : x g(x) ig(ix) reaaliosa. E: reaali- ja kompleksilieaarimuotoje joukot ovat siis tässä mielessä samat. Myös o selvää, että f ja g ovat yhtä aikaa jatkuvat. 21.4. Hahi ja Baachi lause. Näytämme yt, että Baachi erottelulause ja Mazuri laajeuslause ovat oleaisesti yhtäpitäviä Hahi ja Baachi kuuluisa lausee kassa, josta e yleesä o tapaa johtaa fuktioaaliaalyysi oppikirjoissa. Teemme se todistamalla Hahi ja Baachi lausee Mazuri laajeuslausee avulla. Lause 21.12 (Hah ja Baach 1927-29.) 107. Olkoo F E ormiavaruude aliavaruus ja f : F K lieaarimuoto, jolla f(x) x x F. Tällöi o olemassa lieaarimuoto g : E K, jolle 107 Has Hah 1879 1934, Itävalta. g(x) =f(x) x F ja g(x) x x E.

21. KONVEKSIT JOUKOT NORMIAVARUUDESSA 179 Todistus. Voidaa olettaa, että f 0. Käytetää Mazuri laajeuslausetta. Valitaa koveksiksi, avoimeksi joukoksi E: avoi yksikköpallo A = B E ja affiiiksi aliavaruudeksi avaruude F hypertaso M = {x F f(x) =1}. F A=B E H M f=1 Kuva 58. Hahi ja Baachi lausee todistus. Mazuri lause ataa avaruude E suljetu hypertaso H M, joka ei leikkaa yksikköpalloa B E. Koska H F sisältää F : hypertaso M, mutta ei yhdy koko F :ää (joka E : aliavaruutea tieteki leikkaa se yksikköpalloa), ii H F = M. Määritellää g siksi E: lieaarimuodoksi, joka saa H:ssa arvo 1. Se täyttää vaatimukset. Lausee oletus merkitsee, että f : F K o aliavaruudessa F jatkuva ja se ormi f =sup x 1 f(x) o eitää 1. Hahi ja Baachi lause saoo, että tällaisella f o olemassa laajeus koko avaruude lieaarimuodoksi g, jolla myös o eitää ormi 1. Erityisesti g o jatkuva. Huomautus 21.14. (Yleistyksistä). Hahi ja Baachi lauseesta seuraa yksikertaisella skaalauksella, että jokaisella aliavaruude jatkuvalla lieaarimuodolla o olemassa laajeus koko avaruude jatkuvaksi lieaarimuodoksi, jolla o sama ormi. Hahi ja Baachi lauseessa maaliavaruutea o K. Tieteki se tilalla voi olla mikä tahasa yksiulotteie avaruus. Tarkastelemalla koordiaatteja eriksee huomaa, että jatkuva lieaarikuvaukse voi jatkaa aliavaruudesta koko avaruutee, kuha maalipuolella o äärellisulotteie ormiavaruus. Lause ei päde edes tässä lievemmässä muodossa, jos maalipuolella o yleie ormiavaruus. Hahi ja Baachi lause pätee samalla tavalla semiormiavaruudessa E, siis olettae, että o muute kute ormi, mutta sallitaa x =0myös ku x 0. Edellä esitettytodistus toimii tällöiki. Reaalikertoimisessa tapauksessa riittää olettaa, että ormi roolissa o pelkkä positiivie sublieaarikuvaus eli sublieaarie fuktioaali, toisi saoe muute semiormi, mutta vaaditaa homogeeisuus λx = λ x aioastaa positiivisille λ. Tämä muoto Hahi ja Baachi lauseesta o tuetui ja se o paras todistaa suoraa Zori lemma avulla, esi reaalisea versioa kute useimmissa kirjoissa tehdääki. Mazuri laajeuslause, Baachi erottelulause ja Hahi ja Baachi lause yleistyvät todistuksiee myös s. lokaalikovekseihi topologisii vektoriavaruuk-

f ( ) 180 sii. Yleisissä topologisessa vektoriavaruudessa se sijaa ei käyäi, vaa esimerkkiä voi maiita, että topologise vektoriavaruude jatkuvie lieaarimuotoje joukko, eli se topologie duaali, saattaa olla pelkkä {0}. 22. Duaaliavaruuksie teoriaa 22.1. Duaali ja traspoosi. Kertaus 22.1. Jos E o ormiavaruus tai edes topologie vektoriavaruus, merkitsemme se algebrallista ja topologista duaaliavaruutta E = {f : E K f o lieaarie} E = {f : E K f o lieaarie ja jatkuva} Olemme jo huomaeet, että moe klassise avaruude duaali o joki toie tuettu avaruus. Toisaalta duaali muodostamie o yleisesti kostruktio, jolla sytyy uusia avaruuksia. Tässä luvussa takastelemme iitä yleiseltä kaalta. Lause 22.2. Jos E o ormiavaruus, F se aliavaruus ja x E F, eli jos etäisyys d = d(x, F )=if{ x y y F } o suurempi kui 0, ii o olemassa jatkuva lieaarimuoto f E site, että ja F Ker(f), f =1 f(x) =d. Todistus. Tarkastellaa aliavaruuksie summaa G = F + x. Koska x / F,ii x F = {0}, eli x + F o suora summa x F, jolloi jokaisella vektorilla z G o vai yksi esitys muodossa z = a + b = a + λx, missä a F ja b = λx x = Kx. Ideaa o huomata, että g : G K : z = a + λx λd z x g=d d g=0 F a 0 G=F+ x Kuva 59. Lause 22.2.

22. DUAALIAVARUUKSIEN TEORIAA 181 o halutulaie lieaarimuoto E: aliavaruudessa G ja käyttää Hahi ja Baachi lausetta se laajetamisee koko avaruutee E. Loppu o tarkastusta: (1) g(x) =d. (2) g G ja Ker(g) =F. (3) g = 1, erityisesti g G, sillä { } g(z) g =sup z G {0} z { } λd =sup a F, λ K, a+ λx 0 a + λx { } d =sup a λ + x a F, λ K, λ 0 { } d =sup y F y + x d = if{ x y y F } = d d =1. (4) O siis Hahi ja Baachi lausee mukaa olemassa vaaditulaie laajeus. Huomautus 22.3. Etäisyysehto d > 0ovälttämätö, voisiha F muute olla vaikka tiheä aliavaruus, jolloi siiä häviävää lieaarimuotoa 0 ei voisi laajetaa muuksi jatkuvaksi lieaarimuodoksi kui ollaksi. Seuraus 22.4. Jos E o ormiavaruus ja F se sellaie suljettu aliavaruus, että mikää ollasta eroava jatkuva lieaarimuoto f E ei häviä F :ssä, ii F o koko E. Seuraus 22.5. Jos E o ormiavaruus ja x E {0}, ii o olemassa f E site, että f =1ja f(x) = x. Todistus. Käytetää lausetta 22.2 valite F = {0}. Seuraus 22.6. Jos E o ormiavaruus ja x E, ii x = sup f B E f(x). Erityisesti, jos f(x) =0kaikilla f E, ii x =0. Huomautus 22.7. Seuraukse 22.6 väite ei ole triviaali, vaa tärkeä tulos, joka todistamiseksi o tarvittu Hahi ja Baachi lause, siis viime kädessä Zori lemma. Väite merkitsee, että luoollie kuvaus E E : x [f f(x)] o isometrie lieaarikuvaus, eli upotus. E voidaa siis samastaa ormiavaruutea erääsee biduaalisa E aliavaruutee: E E.