Konvergenssilauseita

LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n <, niin f L 1 () ja f n = Todistus. Tapaus 1: (f n ) L kas. Osoitetaan, että rajafunktio f L kas. Jokaiselle n Z + olkoon (s n,k ) k=1 kasvava porrasfunktiojono, joka määrää funktion f n kuten määritelmässä 3.1: s 1,1 s 1,2... s 1,k s 1,k+1... f 1 s 2,1 s 2,2... s 2,k s 2,k+1... f 2....... s k,1 s k,2... s k,k s k,k+1... f k s k+1,1 s k+1,2... s k+1,k s k+1,k+1... f k+1...... f f. Määritellään porrasfunktiojono (t k ) k=1 asettamalla Tällöin jono (t k ) k=1 on kasvava: t k (x) = max{s 1,k (x), s 2,k (x),..., s k,k (x)}. t k+1 (x) = max{s 1,k+1 (x), s 2,k+1 (x),..., s k,k+1 (x), s k+1,k+1 (x)} max{s 1,k (x), s 2,k (x),..., s k,k (x), s k+1,k (x)} max{s 1,k (x), s 2,k (x),..., s k,k (x)} = t k (x). Lisäksi s n,k (x) f n (x) ja jono (f n ) on kasvava, joten ( ) t k (x) max{f 1 (x), f 2 (x),..., f k (x)} = f k (x). Seurauksen 2.8 nojalla (valitse vakiojono g n = t k ja h n = s k,n ) ( ) t k f k. Oletuksen mukaan jono ( f n) on rajoitettu, joten myös jono ( t k) k=1 on rajoitettu. Lemman 2.6 nojalla jono (t k ) k=1 suppenee melkein kaikkialla. Olkoon tämän jonon rajafunktio f. Määritelmän 3.1 nojalla f = t k. Osoitetaan, että f n f melkein kaikkialla. 1 Viimeksi muutettu 13.9.2007. 16

4. KONVEGENSSILAUSEITA 17 Jonon (t k ) k=1 määritelmän nojalla s n,k t k, kun 1 n k. Kun k, saadaan ( ) f n (x) f(x) melkein kaikkialla. Tämän epäyhtälön nojalla kasvava jono (f n (x)) on ylhäältä rajoitettu melkein kaikille x, joten sen rajafunktiolle f on voimassa f(x) f(x) melkein kaikille x. Epäyhtälön ( ) nojalla t k (x) f k (x). Kun k, saadaan f(x) f(x) melkein kaikille x. Siis f(x) = f n (x) = f(x) m.k. x. Osoitetaan, että f n = f. Kun epäyhtälössä ( ) annetaan k, saadaan f = f f n. Toisaalta, kun epäyhtälö ( ) integroidaan puolittain, saadaan f n f = f. Kun n, saadaan f n f, joten väite on todistettu tässä tapauksessa. Tapaus 2: (f n ) L 1. Väite todistetaan seuraavan (yhtäpitävän) lauseen avulla: Lause 4.2. Olkoon (f n ) jono ei-negatiivisia Lebesgue-integroituvia funktioita. Oletetaan, että sarja f n suppenee. Tällöin sarja f n(x) suppenee melkein kaikille x ja sen summalle f(x) on voimassa f L 1 () ja f n = f. Todistus. Sovelletaan lemmaa 3.18, kun ε = (1/2) n. Jokaiselle n Z + löydetään funktiot g n, h n L kas siten, että f n = g n h n, h n 0 m.k. ja h n < (1/2) n. Viimeisen ehdon perusteella sarja h n suppenee. Koska g n = f n + h n 0 melkein kaikkialla, muodostavat osasummat G k := kasvavan jonon (G k ) k=1 Lkas. Nyt G k = g n = f n + g n h n f n + h n,

4. KONVEGENSSILAUSEITA 18 on jono ( G k) k=1 rajoitettu. Monotonisen konvergenssin lauseen todistuksen tapauk- 1 nojalla jono (G k ) k=1 suppenee melkein kaikkialla kohti funktiota G Lkas, jolle G = sen G k. Mutta G k = g n, joten G = G k = Vastaavalla tavalla osasummat H k := h n g n = muodostavat kasvavan jonon (H k ) k=1 Lkas, joka suppenee melkein kaikkialla kohti funktiota H L kas. Lisäksi H = h n. Siis G H L 1 ja osasummien jono ( k f n) k=1 = ( k (g n h n )) k=1 suppenee melkein kaikkialla kohti funktiota G H. Asetetaan f = G H. Tällöin f L 1 ja f = G H = (g n h n ) = f n. Monotonisen konvergenssin lauseen todistus: tapaus 2. Asetetaan f 1 = f 1 ja f n = f n f n 1, kun n 2. Tällöin f k = f n. Edellistä lausetta voidaan soveltaa jonoon ( f n ) : Koska jono (f n ) on kasvava, on f n 0. Lisäksi oletuksen nojalla f n = f n = f k < Edellistä lauseesta seuraa, että sarjan summa f := f n L 1 ja f n = f. Jonolle (f k ) k=1 tämä tarkoittaa, että jono suppenee melkein kaikkialla kohti funktiota f, ja että f k = f. Todistuksen jälkimmäistä kohtaa kannattaa verrata sarjan a 1 + k=2 (a k a k 1 ) suppenemiseen. Molemmissa käytetään samaa kutistuvan kaukoputken periaatetta (vrt. myös [15,??]). g n.

4. KONVEGENSSILAUSEITA 19 Huomautus 4.3. Monotonisen konvergenssin lauseen tulos pätee myös väheniville jonoille seuraassa muodossa: Olkoon (f n ) vähenevä jono Lebesgue-integroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n >, niin f L 1 () ja f n = Seuraus 4.4. Olkoon f L 1 ei-negatiivinen. Tällöin f = 0, jos ja vain jos f(x) = 0 melkein kaikille x. Todistus. Jos f = 0 melkein kaikkialla, niin huomautuksen 3.11 c) nojalla f = 0 = 0. Kääntäen, olkoon f = 0. Asetetaan f n(x) = n f(x). Tällöin jono (f n ) on kasvava ja f n = 0 kaikille n Z +. Monotonisen konvergenssin lauseen nojalla raja-funktio g := f n on integroituva, joten g(x) < melkein kaikille x. Mutta, jos f(x) > 0, on g(x) =. Väite seuraa tästä. Aiemmasta muistetaan (tai on hyvä kerrata viimeistään nyt), että suppenevalle reaalilukujonolle (a n ) on voimassa ( ) sup k Z + inf n k a n = inf n k a n = a k = f. sup n k a n = inf sup k Z + n k Tässä vasemmalla puolella oleva jono (inf n k a n ) k=1 lähestyy raja-arvoa alhaaltapäin, oikealla puolella oleva jono (sup n k a n ) k=1 puolestaan ylhäältäpäin. Oletetaan nyt vain, että jono (a n ) on rajoitettu. Kurssilta Analyysi 1 [16] palautetaan mieleen Bolzanon ja Weierstrassin lause: ajoitetulla reaalilukujonolla on aina suppeneva osajono. Näistä osajonoista voidaan yhtälön ( ) mallin mukaisesti poimia kaksi erityistä osajonoa: Määritelmä 4.5. Olkoon (a n ) on rajoitettu reaalilukujono. Asetetaan b k := inf{a n n k} ja c k := sup{a n n k}. Tällöin jono (b k ) k=1 on kasvava, (c k) k=1 vähenevä ja b k a n c k kaikille n k. Asetetaan ja inf a k := a k := b k = sup{b k k Z + } sup a k := a k := c k = inf{c k k Z + }. Luku inf a k on jonon (a n ) alaraja-arvo ja sup a k yläraja-arvo. Seuraavan lauseen todistus jätetään harjoitustehtäväksi: Lause 4.6. Olkoon (a n ) on rajoitettu reaalilukujono. Tällöin jono (a n ) suppenee, jos ja vain jos Kun jono (a n ) suppenee, on inf a k = inf a k = sup a k. a k = sup a k. a n.

4. KONVEGENSSILAUSEITA 20 jono Lebesgue- Lause 4.7 (Dominoidun konvergenssin lause). Olkoon (f n ) integroituvia funktioita. Oletetaan, että a) raja-arvo f(x) := f n (x) on olemassa melkein kaikille x ; b) on olemassa g L 1 () siten, että kaikille n Z + pätee Tällöin f L 1 () ja f n (x) g(x) m.k. x. f n = f. Ehdosta f n (x) g(x) m.k. x seuraa, että f n f n g, joten lukujono ( f n) on rajoitettu. ja Todistus. Kun 1 k m, olkoon g k,m (x) = min{f n (x) k n m} g k (x) = inf{f n (x) n k}. Tällöin g k,m L 1, jono (g k,m ) m=k on vähenevä ja se suppenee melkein kaikkialla kohti funktiota g k. Lisäksi g k,m g, joten g k,m g >. Monotonisen konvergenssin lauseen (huomautus 4.3) nojalla g k L 1, ja kaikille k Z + on g k = g k,m g <. m Jonolla (g k (x)) k=1 on melkein kaikille x raja-arvo f n (x) = f(x). Koska jono (g k ) k=1 on vähenevä ja g k f k, saadaan monotonisen konvergenssin lauseen (huomautus 4.3) avulla f = g k = inf g k inf f k. Soveltamalla tätä jonoon ( f n ), saadaan f = ( f) inf ( f k ) = sup Näistä yhdessä seuraa, että sup f k f inf Siis raja-arvo f k on olemassa ja on f. Huomautus 4.8 (Vastaesimerkki). Kummassakin konvergenssilauseessa, Monotonisen konvergenssin lauseessa ja Dominoidun konvergenssin lauseessa, on väitteen paikkaansapitävyydelle välttämätön oletus (osa oletuksista on tarpeellisia jo sen vuoksi, että väitteet ovat mielekkäitä). f k. f k.

4. KONVEGENSSILAUSEITA 21 Monotonisen konvergenssin lauseessa tämä oletus on jonon (f n ) monotonisuus. Dominoidun konvergenssin lauseessa tämä oletus on jonoa dominoivan funktion g L 1 olemassaolo, f n (x) g(x) m.k. x. Jotta näiden oletusten tarpeellisuus nähtäisiin, tarkastellaan esimerkkinä jonoa (f n ), missä { 1, jos n x n + 1, ja f n (x) = 0, muuten. Tällöin f n (x) 0 =: f(x) kaikille x. Lisäksi jokainen f n on integroituva (f n on porrasfunktio) ja f n(x) dm(x) = 1, joten f n(x) dm(x) = 1. Toisaalta, rajafunktio f = 0 on integroituva ja f(x) dm(x) = 0. Tässä jono (f n ) ei ole monotoninen, joten Monotonisen konvergenssin lausetta ei voida soveltaa. Dominoidun konvergenssin lauseen funktiolle g tulisi olla 1 g(x) m.k. x [1, ). Tällainen funktio g ei kuitenkaan voi olla integroituva. Nimittäin, porrasfunktio χ [1,n] on integroituva kaikille n Z + ja χ [1,n] g kaikille n Z +. Lauseen 3.12 (kohta i) nojalla pitäisi olla n = χ [1,n] dm g dm kaikille n Z +, joten g dm =. Mutta integroituvan funktion integraalin pitää olla äärellinen. Ennenkuin konvergenssilauseille saadaan kunnollisia sovelluksia, kannattaa Lebesguen integraalin ja tutun iemannin integraalin välistä yhteyttä selvittää. Tähän mennessähän oikeastaan muita tuttuja funktioita ei osata integroida kuin porrasfunktioita. Monotonisen konvergenssin lause on peräisin Beppo Leviltä vuodelta 1906. Lause tunnetaan tästä syystä myös Beppo Levin lauseena. Monotonisen konvergenssin merkitys tosin oli tiedossa jo Lebesgue illä. Vuoden 1904 luennoissaan [23] hän asetti integraalille kuusi vaatimusta, joista viisi ensimmäistä ovat tavallisia ja yksinkertaisia. Kuudes ehto oli monotonisen konvergenssin lause. Dominoidun konvergenssin lause on peräisin Lebesgue iltä vuodelta 1910. Toisinaan se kulkee nimellä Lebesguen dominoidun konvergenssin lause tai yksinkertaisesti Lebesguen lause (mikä ei ole erityisen hyvä, koska Lebesgue iltä on asian tiimoilta nimissään useita lauseita). Dominoidun konvergenssin lauseen erikoistapaus on jo Lebesguen väitöskirjassaan 1902 esitettämä rajoitetun konvergenssin lause (kaikki funktiot jatketaan nollana välin [a, b] ulkopuolelle): Olkoon funktiojono f k : [a, b], k Z +, sellainen, että a) jokainen f k on Lebesgue-integroituva, b) jono (f k ) k=1 suppenee pisteittäin melkein kaikkialla kohti funktiota f, c) jono (f k ) k=1 on melkein tasaisesti rajoitettu, t.s. on olemassa vakio M siten, että kaikille k Z + on voimassa Tällöin f on Lebesgue-integroituva ja f k (x) M melkein kaikille x [a, b]. f n = f.

4. KONVEGENSSILAUSEITA 22 Vastaava tulos iemannin integraalille on peräisin Cesare Arzelàlta (1885) ja W. F. Osgoodilta (1897) (tunnetaan Arzelàn lauseena): Oletetaan, että a) jokainen f k on iemann-integroituva, ja b) jono (f k ) k=1 suppenee pisteittäin kohti funktiota f, c) rajafunktio f on iemann-integroituva. d) jono (f k ) k=1 on tasaisesti rajoitettu, t.s. on olemassa vakio M siten, että f k (x) M kaikille x [a, b] ja k Z +. Tällöin b a f k (x) dx = b a f(x) dx. Eräs oleellinen ero Lebesguen rajoitetun konvergenssin lauseeseen tässä kuitenkin on: rajafunktion iemann-integroituvuus pitää olettaa etukäteen. On olemassa funktiojonoja, jotka toteuttavat kaikki muut Arzelàn lauseen ehdot, mutta eivät rajafunktion iemannintegroituvuusehtoa, ja joille rajafunktio ei ole iemann-integroituva. Lisäksi Arzelàn lauseen todistus varsin hankalaa. Todistus löytyy mm. Apostolin kirjasta [2, lause 13 17]. Huomaa, että viite on kirjan ensimmäiseen laitokseen. Todistusta ei löydy kirjan toisesta laitoksesta [3] (tulos kylläkin, [3, lause 9.12]). Syy tähän on yksinkertainen: kirjan ensimmäisessa laitoksessa ei käsitellä lainkaan Lebesguen integraalia (Lebesguen in mittaakin varsin suppeasti), kun taas toisesta laitoksesta löytyy varsin elegantti Lebesguen integraalin käsittely (Arzelàn lause on esitetty seurauksena Lebesguen dominoidun konvergenssin lauseesta). Fatoun lemma (P. Fatou (1906)) ei käsittele integroinnin ja rajankäynnin vaihtamista; se antaa helpon menetelmän todeta rajafunktio integroituvaksi ainakin joissakin tilanteissa, joissa monotonisen tai dominoidun konvergenssin lauseita ei voida käyttää (integroimisväli [a, b] on peräisin Fatoulta; sen tilalla voisi yhtä hyvin olla koko reaaliakseli). Olkoon funktiojono ( f k : [a, b] ), sellainen, että k=1 a) jokainen f k on Lebesgue-integroituva ja ei-negatiivinen, b) jono (f k ) k=1 suppenee pisteittäin melkein kaikkialla kohti funktiota f, ja c) integraalien jono ( f k) k=1 on rajoitettu. Tällöin f on Lebesgue-integroituva ja f inf f n.