MS-AX Di erentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. Sisältö Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk klvot sisältävät vin yhden, usein mhdollisimmn yksinkertisen, esimerkin kustkin iheest. Jonot 2 Srjt 3 Jtkuvuus 4 Derivtt 5 Tylor-polynomit j -srjt 6 Alkeisfunktiot 7 Pint-l 8 Integrli 9. kertluvun di erentiliyhtälö 2. kertluvun di erentiliyhtälö. Lukujoukot.2 Jonot Luonnollisten lukujen joukko N = {, 2, 3,...}. N = {,, 2, 3,...} = N [{}. Kokonislukujen joukko = {,,, 2, 2,...}. Rtionlilukujen joukko Q = {p/q p 2, q 2 N}. Relilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi plutuu rtionlilukuihin, joss eri mhdollisuuksi: Dedekindin leikkukset, rtionliset Cuchy-jonot, desimlipproksimtiot. Intuitiivisesti helpoin vihtoehto on jtell relilukuj desimliesitysten kutt. Suurin os reliluvuist ei ole rtionlisi, esimerkiksi p 2,, Neperin luku e. Lukujonoll trkoitetn ääretöntä jono relilukuj n 2 R, kun indeksi n 2 N. Merkitään ( n ) n2n =( n ) n= =(, 2, 3,...). Lukujonon täsmällinen tulkint on funktio f : N! R, jolle f (n) = n. Jonon indeksöinti voi lk myös jostkin muust rvost kuin. Jos indeksin lkurvo ei ole tärkeä ti tilnne on muuten selvä, voidn käyttää merkintää ( n ). Joisskin sovelluksiss esiintyy myös jonoj, joiden indeksijoukkon on kikkien kokonislukujen joukko..2 Käytännössä.2 Perusongelmt Jonoj voidn määritellä ntmll yleisen termin luseke; esimerkiksi n =2 n, kun n 2 N ) lukujono (2, 4, 8, 6,...). rekursiivisesti plutuskvojen vull, erityisesti moniss numeerisiss menetelmissä. Esimerkiksi f =, f =, f n = f n 2 + f n, kun n 2 ) Fibonccin lukujono (,,, 2, 3, 5,...). tekemällä mittuksi jostkin systeemistä; esimerkiksi äänen voimkkuus tsisin ikvälein (idelisoitun äärettömäksi jonoksi). Mitä jonon ominisuuksi sdn selville yleisen termin ti plutuskvojen vull? Miten plutuskvst sdn yleisen termin luseke? Esimerkiksi Fibonccin jonolle joss f n = p 5 ' n ( ') n, ' = +p 5 2 on ns. kultisen leikkuksen suhde..2 Jonojen ominisuuksi Määritelmä. Lukujono ( n ) on ylhäältä rjoitettu, jos on olemss sellinen C 2 R, että n pple C kikill n lhlt rjoitettu, jos on olemss sellinen c 2 R, että n kikill n rjoitettu, jos se on sekä ylhäältä että lhlt rjoitettu nousev, jos n+ n kikill n lskev, jos n+ pple n kikill n monotoninen, jos se on nousev ti lskev c.3 Suppeneminen I Määritelmä.2 Lukujono ( n ) suppenee kohti rj-rvo L 2 R, jos lusekkeen n L rvo lähestyy noll, kun n!; täsmällisemmin: Jokist ">vst sellinen indeksi n " 2 N, että n L <"in, kun n n ". Tällöin merkitään lim n = L ti lim n = L ti lyhyesti n! L. n! Jos lukujono ei suppenee, niin se hjntuu. Huom: n L = jonon pisteen n j rj-rvon L välinen etäisyys: n L <", L "< n < L + ".
.3 Suppeneminen II Ide: Mitä pienempi ", sitäsuurempin " trvitn. n L+ε L L ε n ε n.3 Täydellisyysksiom Relilukujen joukon erott rtionlilukujen joukost Täydellisyysksiom: Nousev j ylhäältä rjoitettu relilukujono ( n ) n2n suppenee. Täydellisyysksiom voidn muotoill eri tvoill. Aiheest lisää kurssill MS-C54. Aksiom trjo mhdollisuuden reliluvun täsmälliseen määritelmään: Reliluku n,d d 2..., joss kokonisos n on kokonisluku j desimlit d, d 2, 2{,, 2,...,9}, on monotonisen rtionlilukujonon (n; n,d ; n,d d 2 ; n,d d 2 d 3,...) rj-rvo. Rtionlijonojen kohdll ongelm on se, ettei rj-rvo ole in rtionliluku!.3 Yleisiä tuloksi Lskev j lhlt rjoitettu jono suppenee. Suppenev jono on rjoitettu. Suppiloperite: Jos n pple b n pple c n jostkin indeksistä lken j lim n = lim c n = L, n! n! niin jono (b n )suppeneejlim n! b n = L. Geometrinen jono (q n ) suppenee, jos suhdeluku < q pple, jolloin sen rj-rvo on joko ti. Muiss tpuksiss geometrinen jono hjntuu. Jonon suppenemist kohti noll voi tutki lusekkeen n+ / n vull: jos jostkin indeksistä lken on n+ / n ppleq j pple q <, niin lim n! n =. Tämä seur khdest edellisestä kohdst..3 Lskusääntöjä I Luse.3 Jos lim n! n =, lim n! b n = bjc2 R, niin lim ( n + b n )= + b, n! lim (c n)=c, n! lim ( nb n )=b, n! lim ( n/b n )=/b, jos b 6=. n! Huom: Viimeisen kohdn oletuksest b 6= seur,ettäb n 6= jostkin indeksistä lken..3 Lskusääntöjä II Perustelu: Ensimmäinen kv perustuu epäyhtälöön ( n + b n ) ( + b) = ( n )+(b n b) pple n + b n b. Toinen kv seur yhtälöstä c n c = c n. Kolmnnen kvn kohdll käytetään epäyhtälöä n b n b = ( n b n n b)+( n b b) pple n b n b + n b j sitä, että n pplec jollkin vkioll C. Neljännen kvn kohdll osoitetn luksi, että /b n! /b, j käytetään sen jälkeen tulokv..3 Lskusääntöjä III Esimerkki.4 3n 2 +4n Lske rj-rvo lim n! n 2 +. Rtkisu: Kosk 3n 2 +4n n 2 + j 4 lim n! n =, lim niin rj-rvon lskusääntöjen mukn = n2 (3 + 4/n) n 2 ( + /n 2 ) = 3+4/n +/n 2 n! n 2 =, 3n 2 +4n lim n! n 2 + = 3+ + =3..3 Eräitä rj-rvoj.3 Ympyrän krenpituus j kulm I lim p n n! =, kun > lim p n n! n = n = e =Neperinluku 2,78288... Tähän lim n! + n pltn myöhemmin. Stirlingin kv (jolle ei helppo todistust!): Krenpituus yksikköympyrällä 2 + y 2 =määritelläänseurvll tvll: Jetn tutkittv kri tsvälisesti 2 n :ään osn j lsketn vstvn murtoviivn pituus n. Näin sdn nousev j ylhäältä rjoitettu jono, jonk rj-rvo on kyseessä olevn kren pituus. lim n! n! p =. 2 n (n/e) n Ide: Ensimmäinen seur toisest suppiloperitteen vull. Toisen kohdll merkitään n = np n > j sovelletn binomikv: n =(+ n ) n =+n n + n(n )n 2 /2+ > +n(n )n 2 /2, joten < n < p 2/n. Väite seur tästä suppiloperitteen vull.
.3 Ympyrän krenpituus j kulm II.3 Rj-rvon yleistykset Määritelmä.5 Luku on yksikköympyrän puolikkn krenpituus. Krenpituuden vull määritellään kulmn yksikkö rdini (lyh. rd), jok on dimensioton. Trigonometriset funktiot sin j cos määritellään yksikköympyrän krenpituuden vull kikille 2 R. (cos, sin ) Myös käsitteet voidn määritellä täsmällisesti. Esimerkiksi lim n = j lim n = n! n! lim n =, jokist luku M 2 R vst sellinen indeksi n M 2 N, n! että n M in, kun n n M. Snotn: Jono ( n ) hjntuu kohti ääretöntä. 2. Srj 2. Indeksöinti Lukujonost ( k ) k2n voidn muodost sen ossummien jono (s n ): s =, s 2 = + 2, s 3 = + 2 + 3,..., s n = + 2 + + n = k. Määritelmä 2. Jos ossummien jonoll (s n ) on rj-rvo s 2 R, niin snotn, että jonost ( k ) muodostettu srj suppenee j sen summ on s. Tällöin merkitään + 2 + = k= X k = lim k= n! k= k = s. Ossummt knntt indeksöidä smll tvll kuin jono ( k ); esim. jonon ( k ) k= ossummt ovt s =, s = + jne. Suppenevn srjn voidn tehdä summusindeksin siirtoj: esim. Konkreettisesti: X X X k = k+ = k. k= k= k=2 X k 2 =+ 4 + 9 + = X (k + ) 2 k= k= 2. Srjn hjntuminen 2.2 Geometrinen srj I Jos srj ei suppene, niin se hjntuu. Tämä voi tphtu kolmell eri tvll: (i) ossummt lähestyvät ääretöntä; (ii) ossummt lähestyvät miinus-ääretöntä; (iii) ossummien jono heilhtelee niin, ettei rj-rvo ole. Hjntuvn srjn tpuksess merkintä P k= k ei oikestn trkoit mitään. Usein sovitn sen trkoittvn ossummien jono, jok on in hyvin määritelty. Monet srjoihin liittyvät kummllisuudet (esim. = -todistus) johtuvt siitä, että srjn summminen tulkitn opertioksi, joss kikki jonon lkiot lsketn yhteen smll kert. Näin ei ole, vn summ lsketn ossumminen rj-rvon. Tämän vuoksi os äärellisten summien lskusäännöistä ei enää päde srjoille. Joisskin tpuksiss esimerkiksi srjn summ voi muuttu, jos termien järjestystä vihdetn. Luse 2.2 Geometrinen srj q k k= suppenee, jos q < (ti =), jolloin sen summ on niin srj hjntuu. Perustelu: Srjn ossummille pätee seur. Yleisemmin X q k = k=i qi q k= q. Jos q, q k = ( qn+ ), jost väite q srjn. termi =, kun q <. q 2.2 Geometrinen srj II Esimerkki 2.3 Lske srjn summ. Rtkisu: Kosk X 3 4 k+ k= 3 4 k+ = 3 k 4, 4 niin kyseessä on geometrinen srj. Sen summksi sdn 2.2 Lskusääntöjä I Luse 2.4 Suppenevien srjojen ominisuuksi: X X X ( k + b k )= k + k= k= k= b k X X (c k )=c k,kunc2r on vkio k= k= Perustelu: Seur vstvist jonojen rj-rvojen ominisuuksist. 3 4 /4 /4 = 4.
2.2 Lskusääntöjä II 2.2 Lskusääntöjä III Luse 2.5 X Jos k suppenee, niin lim k =. k! k= Kääntäen: Jos lim k! k 6=,niinsrj X k hjntuu. Perustelu: Jos srjn summ on s, niin k = s k s k! s s =. Huom: Ominisuuden lim k! k = vull ei void perustell srjn suppenemist; vrt. seurvt esimerkit. k= Esimerkki 2.6 Tutki srjn suppenemist. Rtkisu: X k k + = 2 + 2 3 + 3 4 +... k= Srjn yleisen termin rj-rvo lim k! ei ole noll, joten srj hjntuu. k k + = 2.2 Hrmoninen srj 2.2 Positiiviset srjt I Esimerkki 2.7 Hrmoninen srj X k =+ 2 + 3 +... k= hjntuu, vikk sen yleisen termin k =/k rj-rvo on noll. Rtkisu: Ktso lkeellinen perustelu esim. Mtemtiikklehti Solmust http://mtemtiikklehtisolmu.fi/24/3/hrmsrj.pdf Toinen tp integrlin vull. Srjn summn lskeminen on usein hnkl ti mhdotont (muuten kuin numeerisen likirvon). Moniss tilnteiss on kuitenkin tärkeintä tietää, suppeneeko vi hjntuuko tutkittv srj. Määritelmä 2.8 Srj P k= p k on positiivinen (ti positiiviterminen), jos p k kikill k. Positiivisille srjoille suppenemisen tutkiminen on suorviivist: Luse 2.9 Positiivinen srj suppenee täsmälleen silloin, kun sen ossummien jono on ylhäältä rjoitettu. Syy: Positiivisen srjn ossummien jono on nousev. 2.2 Positiiviset srjt II Esimerkki 2. Osoit, että ylihrmonisen srjn X k 2 k= ossummille on voimss s n < 2kikilln, joten srj suppenee. Rtkisu: Perustuu kvn k 2 < k(k ) = k kun k 2; vrt. pitkän mtemtiikn ylioppilskokeen tehtävä 5/kevät 25. Toinen tp integrlilskennn vull. Leonhrd Euler keksi v. 735 sin-funktion tulokehitelmän vull, että srjn summ on 2 /6. k, 2.2 Itseinen suppeneminen I Määritelmä 2. Srj P k= k suppenee itseisesti, jos positiivinen srj P k= k suppenee. Luse 2.2 Itseisesti suppenev srj suppenee, j tällöin X k= k pple X k. k= Perustelun ide (ilmn yleistä mjornttiperitett!): Tutkitn erikseen positiivist j negtiivist os: Olkoon b k =m( k, ) j c k = min( k, ). Kosk b k, c k pple k, niin positiiviset srjt P P b k j P ck suppenevt edellisen luseen perusteell. Lisäksi k = b k c k, joten k on suppenevien srjojen erotuksen suppenev. 2.2 Itseinen suppeneminen II Esimerkki 2.3 Tutki vuorottelevn srjn suppenemist. X k= ( ) k+ k 2 = 4 + 9 Rtkisu: Kosk ( )k+ k 2 = j ylihrmoninen srj k2... 2.2 Vuorottelev hrmoninen srj I Itseinen suppeneminen j (tvllinen) suppeneminen ovt kuitenkin eri käsitteitä: Esimerkki 2.4 Vuorottelev hrmoninen srj X ( ) k+ = k k= 2 + 3 4 +... suppenee, mutt ei itseisesti (vrt. hrmoninen srj). X k 2 k= suppenee, niin tutkittv srj suppenee itseisesti. Näin ollen se suppenee myös tvllisess mielessä. Rtkisu: (Ide) Piirretään ossummien jonon (s n )kuvj(seurv sivu) j tutkitn erikseen prillisten j prittomien indeksien ossummi s 2n j s 2n+. Srjn summ on ln 2, jok sdn integroimll geometrisen srjn summkv sopivll tvll; vrt. hrjoitukset?
2.2 Vuorottelev hrmoninen srj II 2.3 Mjorntti j minorntti I Edellisen yleistyksenä sdn Luse 2.5 Mjornttiperite: Jos k pplep k kikill k j P k= p k suppenee, niin myös P k= k suppenee. Minornttiperite: Jos pple p k pple k kikill k j P p k hjntuu, niin myös P k hjntuu. ensimmäistä ossumm (pisteet yhdistetty jnoill) Mjorntin perustelu: Kosk k = k ( k k )j pple k k pple 2 k,niinsrj P k suppenee khden suppenevn positiivisen srjn erotuksen. Tässäkin trvitn pun lkeellisemp positiivisten srjojen mjornttiperitett; kyseessä ei ole kehäpäättely! Minorntin perustelu: Oletuksist seur, että srjn P k ossummt hjntuvt kohti ääretöntä. 2.3 Mjorntti j minorntti II 2.3 Suhdetesti Esimerkki 2.6 Tutki srjojen suppenemist. Rtkisu: Kosk X +k 3 j k= X p k k= < +k 3 < k 3 pple k 2 kikill k 2 N, niinensimmäinensrjsuppeneemjornttiperitteen nojll. Toislt p kikill k 2 N, joten jälkimmäisellä srjll on k k minornttin hjntuv hrmoninen srj. Siispä jälkimmäinen srj hjntuu. Käytännössä tärkein tp suppenemisen tutkimiseen perustuu ns. suhdetestiin, joss srjn termejä verrtn sopivn geometriseen srjn: Luse 2.7 Jos jostkin indeksistä lken on voimss k+ k pple Q <, niin srj P k suppenee (j suppenemisnopeus vst geometrist srj P Q k ti on vieläkin suurempi). Perustelu: Srjn lku ei vikut sen suppenemiseen, joten epäyhtälö voidn olett kikille indekseille. Tästä seur k ppleq k ppleq 2 k 2 pple ppleq k, joten srjlle sdn suppenev geometrinen mjorntti. 2.3 Suhdetestin rj-rvomuoto I 2.3 Suhdetestin rj-rvomuoto II Luse 2.8 k+ Jos on olemss rj-rvo lim = q, niin k! k srj P k 8 >< suppenee, jos pple q <, hjntuu, jos q >, >: voi oll suppenev ti hjntuv, jos q =. Esimerkki 2.9 Tutki srjn suppenemist. X k= ( ) k+ k 2 k = 2 Rtkisu: Tässä k =( ) k+ k/2 k, joten 2 4 + 3 8... Perustelu: Jos q <, niin vlitsemll rj-rvon määritelmässä " =( q)/2 > sdn jostkin indeksistä n " lken k+ / k < q + " =(q + )/2 =Q <. Viimeisessä kohdss ei siis sd mitään tieto suppenemisest. Näin käy mm. hrmonisen (hjntuv!) j ylihrmonisen (suppenev!) srjn kohdll. k+ = ( )k+2 (k + )/2 k+ k ( ) k+ k/2 k = k + = 2k 2 + 2k! 2 <, kun k!.suhdetestinperusteellsrjsuppenee. 3. Fuktiot 3. Erilisi funktioit Tässä luvuss käsitellään relikselin osjoukoiss määriteltyjä funktioit f : A! R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei in. Avoin väli: ], b[ ti], [ ti], b[ ti], [=R. Avoimi välejä merkitään joskus myös krisulkujen vull. Suljettu väli: [, b]. Puolivoimet välit: muoto [, b[ ti], b]. Merkintöjä yksinkertistv sopimus: [, b] trkoitt in suljettu väliä, jonk päätepisteet ovt, b 2 R riippumtt siitä, mikä on lukujen j b suuruusjärjestys. Smoin muiden välien kohdll. n-ulotteinen vruus R n = {(, 2,..., n ) k 2 R, k =, 2,...,n}. Tpuksess n =2pisteitämerkitäänusein(, y) jtpuksessn =3 muodoss (, y, z). Yhden muuttujn funktio f : A! R, kuna R Tsokäyrän prmetrisointi f :[, b]! R 2, jolloin f(t) =((t), y(t)). Avruuskäyrän prmetrisointi f :[, b]! R 3, jolloin f(t) =((t), y(t), z(t)). Usen muuttujn funktio (sklrikenttä) f : A! R, kuna R n ; funktion rvo merkitään f (, y) tpuksessn =2 Vektorikenttä F: A! R k,kuna R n
3.2 Jtkuvuus I 3.2 Jtkuvuus II Funktion jtkuvuus määritellään usein rj-rvon vull. Jtkuvuus on kuitenkin rj-rvo yksinkertisempi käsite, joten loitetn siitä. Muist: Jos, b 2 R, niinluseke b on pisteiden (= lukujen) j b välinen etäisyys. Määritelmä 3. Olkoon A R j f : A! R funktio. Funktio f on jtkuv pisteessä 2 A, kunpätee: Jokist ">vstsellinen >, että f() +ε f ( ) f() ε f () f () f () <" in, kun 2 A j <. Ide: Kun " pienenee, niin = " pienenee (jos jtkuvuus voimss). δ +δ 3.2 Jtkuvuus III Usein funktion määrittelyjoukko A on jokin väli. Tällöin jtkuvuutt voidn tutki määritelmän vull myös väliin kuuluvss päätepisteessä; ehto 2 A on olenninen. Jos f on jtkuv jokisess määrittelyjoukkons pisteessä, niin se on jtkuv joukoss A (ti lyhyesti: jtkuv). Funktion jtkuvuus voidn määritellä myös jonojen vull. Seurv ehto on yhtäpitävä vrsinisen " -määritelmän knss: Funktio f : A! R on jtkuv pisteessä 2 A, täsmälleen silloin, kun pätee: Jos jonolle ( n ) on voimss n 2 A kikill n j lim n! n =, niin silloin lim n! f ( n )=f(). Jonojen vull kirjoitettun jtkuvuus trkoitt siis yhtälöä 3.2 Jtkuvuus IV Jtkuvi funktioit ovt esimerkiksi polynomit: P() =c n n + c n n + + c + c ; rtionlifunktiot: R() = P()/Q(), kun P j Q ovt polynomej; juurifunktiot: f () = p/q,kun ; trigonometriset funktiot sin, cos, tn j cot; jtkuvien funktioiden summt, tulot j osmäärät (määrittelyjoukko!); jtkuvien funktioiden yhdistetyt funktiot. Perustelut suorviivisi, kun jtkuvuutt tutkitn edellisen sivun jono-version vull: tulokset plutuvt jonojen rj-rvojen ominisuuksiin. lim f ( n)=f lim n. n! n! 3.2 Jtkuvuus V Sinin j kosinin jtkuvuus geometrisesti yksikköympyrän vull. ( cos y, sin y) y sin y sin < y (cos, sin ) y 3.3 Mksimi j minimi Olkoon f : A! R. Funktioll f on pisteessä 2 A mksimi eli suurin rvo, jos f () pple f ( )kikill 2 A. Merkitään m{f () 2 A} ti m 2A f (). minimi eli pienin rvo pisteessä 2 A, jos f () 2 A. Merkitään f ( )kikill min{f () 2 A} ti min 2A f (). cos cos y < y Muuttujn rvot j ovt funktion f äärirvokohti. Funktion rvot f ( )jf ( ) ovt funktion äärirvot. 3.3 Ominisuuksi 3.4 Funktion rj-rvo I perustulos: Suljetull välillä määritellyllä jtkuvll funktioll on mksimi j minimi joisskin välin pisteissä. II perustulos (Jtkuvien funktioiden välirvoluse): Suljetull välillä I määritelty jtkuv funktio s kikki rvot, jotk ovt sen minimin j mksimin välissä. Toisin snoen: funktion rvojoukko f [I ]={f () 2 I } on myös väli. Tässä muodoss väite pätee myös voimille ti puolivoimille väleille I (jolloin mksimi ti minimiä ei in ole). Erityisesti: Jos f :[, b]! R on jtkuv j f ()f (b) <, niin funktioll f on nollkoht voimell välillä ], b[. Näitä sioit käsitellään yleisemmin kurssill MS-C54 Euklidiset vruudet, joss ne myös todistetn. Jos A R j f : A! R, niinf :n käyttäytymistä pisteen 2 R lähellä voidn tutki myös funktion rvost f ( )välittämättä;ei edes trvitse oll 2 A. Tällöin on kyseessä funktion f rj-rvo pisteessä. Rj-rvo määritellään (tällä kurssill) vin sellisiss pisteissä 2 R, joille jokinen väli [, + ] sisältää äärettömän mont joukon A pistettä, vikk > olisi kuink pieni thns. Tämä on yhtäpitävää sen knss, että jokinen väli [, + ]sisältää inkin yhden pisteen 2 A, 6=.(Tällisipisteitä kutsutn joukon A ksutumispisteiksi. Esimerkiksi voimen välin päätepisteet.) Jtkoss oletetn siis, että on tällinen piste.
3.4 Funktion rj-rvo I Määritelmä 3.2 Funktioll f : A! R on rj-rvo L pisteessä 2 R, jos pätee: Jokist ">vstsellinen >, että Tällöin merkitään f () L <" in, kun 2 A j < <. lim f () =L.! Huom: Ehdon < ino trkoitus on rjt mhdollinen funktion rvo f ( ) pois käsittelystä; ts. ehto tutkitn vin tpuksess 6=. 3.4 Funktion rj-rvo II Ide: Mitä pienempi "> on nnettu, sitä pienempi onnistuu in, jos rj-rvo on olemss. f () L+ε L L ε δ +δ > täytyy vlit; 3.4 Toispuoleiset rj-rvot Vstvll tvll sdn myös toispuoleiset rj-rvot lim f () j lim! +! f (), kun epäyhtälö < < korvtn epäyhtälöllä < < ti < <. Nämä voidn tulkit myös tvllisen rj-rvon erikoistpuksin, kun funktion määrittelyjoukoksi muutetn A \ ], [ ti A \ ], [. Luse 3.3 Jos funktio f on määritelty joukoss [ on olemss täsmälleen silloin, kun lim f () =! + lim f () =L! lim!, + ] \{ },niinrj-rvo f () =L. 3.4 Lskusääntöjä Luse 3.4 Jos niin lim f () = j! lim g() =b,! f () lim f ()+g() = + b, lim f ()g() =b, lim!!! g() = b ; viimeisen kohdll oletetn b 6= (jolloin g() 6= pisteen lähellä ). Vstvt tulokset ovt voimss myös toispuoleisille rj-rvoille. 3.4 Funktion rj-rvon suppiloperite I Luse 3.5 Jos lim f () = lim g() =L!! j f () pple h() pple g() kikill < <,niin lim h() =L.! Tämäkin tulos on voimss myös toispuoleisille rj-rvoille. 3.4 Funktion rj-rvon suppiloperite II Esimerkki 3.6 Osoit, että sin lim =.! Rtkisu: Geometrinen trkstelu yksikköympyrän vull (seurv sivu) joht epäyhtälöön sin < < tn = sin cos, kun < < /2, joten cos < sin < kikill < < /2. Kosk cos j luseke (sin)/ ovt prillisi, niin sm epäyhtälö on voimss kikill < < /2. Kosk cos! cos =, kun!, niin väite seur suppiloperitteest. 3.4 Funktion rj-rvon suppiloperite III 3.4 Jtkuvuus j rj-rvo sin tn Luse 3.7 Jos funktion f määrittelyjoukko M f on väli, niin funktion f jtkuvuus pisteessä 2 M f on yhtäpitävää sen knss, että lim f () =f ( ).! sin < < tn
3.4 Funktion jtkminen 3.4 Rj-rvon yleistykset Jos f : A! R on jtkuv, 62 A on joukon A ksutumispiste j lim! f () =L, niin voidn määritellä uusi funktio f : A! R, A = A [{ },settmll ( f (), kun 2 A, f () = L, kun =. Tällöin f on jtkuv. Usein merkitään hiukn epätäsmällisesti f = f. Esimerkki 3.8 Funktio f () = on jtkuv koko relikselill. ( sin, 6=,, =, Myös seurvt käsitteet voidn määritellä täsmällisesti: Esimerkiksi lim f () =±,! lim f () =L, lim!± lim f () =,! jos pätee: Jokist M 2 R vst sellinen f () =±, jne.!± >, että f () > M in, kun 2 A j < <. Rj-rvo lim! f () on tärkeä mm. epäoleellisen integrlin yhteydessä. 4. Derivtt 4. Derivtn määritelmä Erilisi lähestymistpoj: geometrinen (käyrän tngentti seknttien rj-senton) f ( ) Määritelmä 4.2 Oletetn, että funktio f on määritelty jollkin välillä ] derivtt pisteessä on, + [. Sen +h fysiklinen (jst riippuvn funktion hetkellinen muutosnopeus). Esimerkki 4. Kppleen -ulotteisen liikkeen pikkkoordintti on = (t) hetkellä t. Sen hetkellinen nopeus on keskinopeuksien rj-rvo: (t + t) (t) v(t) = lim. t! t f f ( + h) f ( ) f () f ( ) ( )= lim = lim, h! h! jos rj-rvo olemss. Funktio on derivoituv, jos sillä on derivtt jokisess määrittelyjoukon (= voin väli) pisteessä. Merkintöjä: f ( )=Df ( )= df d =, f = Df = df d. 4. Korkemmn kertluvun derivtt 4. Linerisointi j di erentili Jos funktion derivtt f () on määritelty jollkin voimell välillä ], + [, niin voidn tutki funktion f erotusosmäärää pisteessä. Näin sdn toisen kertluvun derivtt f ( )=D 2 f ( )= d 2 f d 2 =. Jtkmll smn tpn voidn määritellä korkemmn kertluvun derivtt f (), f (4) (),... Merkintä: C n ], b[ = {f : ], b[! R f on n kert derivoituv välillä ], b[ j f (n) on jtkuv} Tällisi funktioit kutsutn n kert jtkuvsti derivoituviksi. Derivtn määritelmä joht pproksimtioon f ( ) f () f ( ), f () f ( )+f ( )( ) Oiken puoleinen luseke on funktion f linerisointi eli di erentili pisteessä.sillekäytetäänmerkintäädf. Linerisoinnin kuvj y = f ( )+f ( )( ) on funktion kuvjn pisteeseen (, f ( )) setettu tngenttisuor. Di erentilin merkitys tulee premmin esille vst usen muuttujn funktioiden yhteydessä. Myöhemmin käsitellään funktion f pproksimointi myös korkemmn steen polynomien vull (Tylor-polynomi). 4. Derivtn fysiklinen tulkint Jos = (t) on kppleen yksiulotteisen liikkeen pikkkoordintti hetkellä t, niin sen hetkellinen nopeus on v(t) = (t) =ẋ(t). Näistä viimeinen on tvllinen merkintä fysiikss. Vstvll tvll (t) =v (t) = (t) = (t).. on kppleen hetkellinen kiihtyvyys. Yleisemmin: Ajst riippuvn funktion f (t) hetkellinen muutosnopeus on f (t). 4.2 Lskusääntöjä Linerisuus D f ()+g() = f ()+g () D cf () = cf (), kun c 2 R on vkio Tulon derivoimissääntö D f ()g() = f ()g()+f ()g () Osmäärän derivoimissääntö f () D = f ()g() f ()g () g() g() 2 Yhdistetyn funktion derivoimissääntö D f (g() = f g() g () Tälle käytetään nimitystä ketjusääntö = ChinRule;nimentust liittyy osittisderivttoihin, joist lisää kurssill Di erentili- j integrlilskent 2.
4.2 Eräitä derivttoj Erikoistpuksen perustelu D(vkiofunktio) = D( r )=r r, r 6= D(sin ) = cos, D(cos ) = sin D(tn ) =+tn 2 = cos 2,kun 6= /2+n De = e, D ln =/, kun 6= (näihin pltn myöhemmin) Esimerkki 4.3 Johd funktion f () = 2 derivtt kohdss. Rtkisu: Erotusosmäärä on sievennettynä f ( + h) f ( ) h = ( + h) 2 2 h = 2 + h, = 2 +2 h + h 2 2 h joten rjll h! sdnderivtksif ( )=2. Derivttfunktion luseke on siis muoto f () =2, kun 2 R. Hnklmpi perustelu I Esimerkki 4.4 Johd funktion f () =sin derivtt kohdss. Rtkisu: Erotusosmäärä sdn yhteenlskukvn vull muotoon sin( + h) sin( ) h = sin cos h + cos sin h sin h sin h = cos h +sin cos h. h Kosk (perustelut ikisemmin/seurvll sivull) sin h cos h lim = j lim =, h! h h! h niin derivtksi sdn f ( ) = cos +sin = cos. Hnklmpi perustelu II Rj-rvo sin h lim = h! h johdettiin ikisemmin geometrisesti j suppiloperitteen vull. Kosk (muist sin 2 h + cos 2 h = ) cos h h = = (cos h )(cos h + ) h(cos h + ) sin h h = cos2 h h(cos h + ) sin h cos h +! 2 =, kun h!, niin sdn jälkimmäinen rj-rvo. 4.2 Esimerkkejä Käytännössä derivtt voidn lske lskusääntöjen j tunnettujen derivttojen vull: D 3 4 2 +6 =3 2 8 D p +5 2 = 2 ( + 5 2 ) /2 D( + 5 2 )= D 2 cos(3) = D( 2 ) cos(3)+ 2 D cos(3) =2 cos(3)+ 2 sin(3) D(3) =2 cos(3) 3 2 sin(3) D sin(/) = cos(/)d(/) = cos(/) ( / 2 ) = cos(/)/ 2,kun 6= 5 p +5 2 4.3 Yleisiä tuloksi I Olkoon f :[, b]! R. Jos f on derivoituv pisteessä 2 ], b[, niin se on jtkuv pisteessä. Perustelu: Seur derivtn määritelmästä, kosk f ( + h) f ( ) h = f ( )+"(, h) ) f ( + h) f ( )=f ( )h + h "(, h). Tässä "(, h) on rj-rvoon liittyvä virhetermi, jolle "(, h)!, kun h!. 4.3 Yleisiä tuloksi II (Rollen luse) Jos f on derivoituv pikllisess äärirvohdss 2 ], b[, niin f ( ) =. Perustelu: Erotusosmäärän toispuoleiset rj-rvot ovt erimerkkiset pikllisess äärirvokohdss, esim. piklliselle mksimille f ( + h) f ( ) h f ( + h) f ( ) h = negtiivinen positiivinen = negtiivinen negtiivinen j h on niin pieni, että f ( ) on mksimi välillä [ pple, kun h >,, kun h < h, + h]. 4.3 Välirvoluse I Luse 4.5 Jos f on jtkuv välillä [, b] j lisäksi derivoituv voimell välillä ], b[, niin on olemss sellinen piste c 2 ], b[, että f (c) = f (b) b y f (), ts. f (b) f () =f (c)(b ). y = f ( ) c b
4.3 Välirvoluse II 4.3 Välirvoluseen seuruksi Välirvoluseen todistus: Sovelletn Rollen lusett pufunktioon g() =f () f (b) b f () ( ) f (), jok toteutt g() = g(b) =. Sen pikllisess äärirvokohdss c 2 ], b[ päteeg (c) =, f (b) f () =f (c)(b ). y jnn pituus = g() y = f ( ) Jos f () = kikiss voimen välin pisteissä, niinf on vkiofunktio tällä välillä. Jos f () jollkin välillä, niin f on ksvv tällä välillä; jos f () pple jollkin välillä, niin f on vähenevä tällä välillä. Jos edellisen kohdn lisäksi f () = inostn yksittäisissä pisteissä, niin f on idosti ksvv/vähenevä. Esimerkki: f () = 3. b 4.3 L Hospitlin sääntö I Rj-rvojen lskeminen derivtn vull; erilisi versioit mm. tyyppiä / ti / oleville rj-rvoille; myös toispuoleisille. Tärkein tpus: Luse 4.6 Oletetn, että f ( )=g( )=j funktiot f, g ovt derivoituvi jollkin välillä ], + [. Jos on olemss, niin f () lim! g () f () lim! g() = lim f ()! g (). 4.3 L Hospitlin sääntö II Perustelu: Erikoistpuksess g ( ) 6= perustelu on lyhyt: f () g() = f () f ( ) g() g( ) = f () f ( ) /( ) g() g( ) /( )! f ( ) g ( ). Yleisessä tpuksess trvitn ns. yleistettyä välirvolusett, jonk mukn f () g() = f (c) g (c) josskin pisteessä c 2 ], [. Tällöin osoittjss j nimittäjässä on sm piste c, joten edes derivttojen jtkuvuutt ei trvit! 4.3 L Hospitlin sääntö III Esimerkki 4.7 sin(4) Lske rj-rvo lim.! Rtkisu: Kosk sin(4)/ on muoto / kohdss =, niin voidn (yrittää) sovelt L Hospitlin sääntöä: sin(4) 4 cos(4) lim =lim =4.!! Kosk derivoidull muodoll on rj-rvo 4, niin lsku on pätevä. Huom. : Jos derivoitu rj-rvo on edelleen muoto /, niin sääntöä voidn yrittää käyttää toisen (ti usemmn) kerrn. Huom. 2: Muoto / on in trkistettv: cos sin lim 6= lim =.!! 4.3 Äärirvotehtävät I Seurvss A R on väli. Funktioll f : A! R on pikllinen mksimi/minimi pisteessä 2 A, jos on funktion f mksimi-/minimikoht jollkin välillä A \ [, + ]. Pikllinen äärirvo = pikllinen mksimi ti minimi; voi esiintyä myös määrittelyvälin päätepisteessä. Pikllinen äärirvo voi tull (i) derivtn nollkohdss (ii) määrittelyvälin päätepisteessä, ti (iii) sellisess kohdss, joss funktio ei ole derivoituv. Jos tiedetään etukäteen, että funktioll on mksimi/minimi, niin etsitään kikki mhdolliset piklliset äärirvokohdt (vrt. edellinen), lsketn niissä funktion rvot j vlitn näistä suurin/pienin. 4.3 Äärirvotehtävät II 4.3 Kuperuus Esimerkki 4.8 Määritä funktion f :[, 2]! R, f () = 3 6, suurin j pienin rvo. Kuper eli konveksi lue D R 2 : jos, y 2 D, niin myös niiden välinen yhdysjn [, y] D Välillä I R määritelty funktio on kuper eli konveksi, jos sen kuvjn yläpuolinen tsolue on kuper; tähän riittää se että kuvjlle piirretyt sekntit ovt in kuvjn yläpuolell, kvn Rtkisu: Derivtn nollkohdt: f () =3 2 6=, = ± p p p p 2. Kosk 2 62 [, 2], niin lsketn rvot f () =, f ( 2) = 4 2, f (2) = 4, joist voidn vlit funktion pienin rvo 4 p 2jsuurinrvo. f ( t) + ty pple ( t)f ()+tf (y), kun, y 2 I, t 2 [, ]. Erityisesti: jos f () koko välillä, niin f on konveksi Funktion käännepiste: koht, joss kuvjll on tngentti j funktion kuperuussuunt vihtuu. Esimerkiksi, jos f () vihtmerkkiä. Jos funktion f derivtn nollkohdss on f ( ) <, niin kyseessä on pikllinen mksimi; jos f ( ) >, niin kyseessä on pikllinen minimi. Tpuksess f ( )=tilnnetttäytyytutki trkemmin.
5. sin-funktio j polynomit 5. Tylor-polynomi I Esimerkki 5. Verrtn funktion sin kuvj (puninen) polynomien 3 3! + 5 5! kuvjiin (sininen), kun n =, 4, 8, 2. + ( )n 2n+ (2n + )! Tylor-polynomi P n (; ) = funktion prs n-steinen polynomipproksimtio (derivoinnin knnlt) pisteen lähellä. Mclurin-polynomi: tpus =. Jos f on n kert derivoituv pisteessä, niin polynomill P n () = P n (; ) = f ( )+f ( )( )+ f ( ) ( 2! ) 2 + + f (n) ( ) ( n! ) n = f (k) ( ) ( k! ) k k= on pisteessä smt derivtt kuin f :llä kertlukuun n skk. 5. Tylor-polynomi II 5. Tylor-polynomi III Tylorin kv: Jos derivtt f (n+) on olemss j se on jtkuv funktio, niin f () =P n (; )+E n () jvirhetermillee n () pätee E n () = f (n+) (c) (n + )! ( ) n+ josskin pisteessä c 2 [, ]. Jos on olemss indeksistä n riippumton vkio M, jolle f (n+) () pplem jollkin välillä 2 I,niin tällöin M E n () pple (n + )! n+!, kun n!. Eräitä Mclurin-polynomipproksimtioit: + + 2 + + n = k= e + + 2! 2 + 3! 3 + + n! n = ln( + ) sin cos k k= k k! 2 2 + 3 3 + ( )n n ( ) k = k n k k= 3! 3 + 5! 5 + ( )n (2n + )! 2n+ ( ) k = (2k + )! 2k+ 2! 2 + 4! 4 + ( )n (2n)! 2n = k= k= ( ) k (2k)! 2k 5.2 Newtonin menetelmä I Ensimmäisen steen Tylor-polynomi P () =f ( )+f ( )( ) on sm kuin funktion f linerisointi pisteen suhteen. Sitä voidn käyttää erilisiss rvioiss j numeerisiss menetelmissä. Newtonin menetelmä: Yhtälö f () = rtkistn likimääräisesti vlitsemll lkupiste (esimerkiksi kuvion perusteell) j määrittelemällä n+ = n f ( n ) f ( n ), kun n =,, 2,... Näin sdn lukujono (,, 2,...), jonk termit yleensä ntvt yhä prempi likirvoj funktion f nollkohdlle. Plutuskv perustelln geometrisesti etsimällä funktion nollkoht sen linerisoinnin (eli tngentin) vull. 5.3 Tylor-srj I Jos Tylorin kvn virhetermi E n () lähestyy noll, kun n ksv, sdn Tylor-polynomin rj-rvon funktion f Tylor-srj (= Mclurin-srj, jos = ). Tylor-srj on siis muoto X k= f (k) ( ) ( ) k = lim k! n! k= f (k) ( ) ( ) k k! Tämä on esimerkki yleisestä potenssisrjst, joit esiintyy monien lkeisfunktioiden yhteydessä. 5.3 Tylor-srj II Tylor-srj voidn muodost in, kun funktioll f on kikkien kertlukujen derivtt pisteessä j ne sijoitetn ym. kvn. Tähän liittyy kuitenkin kksi ongelm: Suppeneeko Tylor-srj kikill muuttujn rvoill? Vstus: Ei in; esimerkiksi funktion f () = Mclurin-srj (= geometrinen srj) suppenee vin rvoill < <, vikk funktio on derivoituv kikill 6= : f () = =+ + 2 + 3 + 4 +... 5.3 Tylor-srj III Jos srj suppenee jollkin, niin onko srjn summ sm kuin f ()? Vstus: Ei in; esimerkiksi funktiolle ( e / 2, 6=, f () =, =, pätee f (k) () = kikill k 2 N (hnkl, mutt peritteess lkeellinen lsku). Näin ollen sen Mclurin-srj on identtisesti noll j suppenee kohti rvo f () inostn pisteessä =. Johtopäätös: Tylor-srjoj pitäisi tutki trksti virhetermien jms. vull. Käytännössä srjoj muodostetn käyttämällä pun muutmi tunnettuj srjkehitelmiä.
5.3 Tylor-srj IV Esimerkkejä (eksponenttifunktioon pltn vielä myöhemmin): = e = sin = cos = X k, < k= X k! k, 2 R X ( ) k (2k + )! 2k+, 2 R X ( ) k (2k)! 2k, 2 R k= k= k= X ( + ) r = + k= r(r )(r 2)...(r k + ) k, < k! 5.3 Tylor-srj V Viimeinen on nimeltään binomisrj j se on voimss kikill r 2 R. Jos r = n 2 N, niin srjn kertoimet ovt nolli summusindeksistä k = n + lähtien, j kertoimet ovt muoto n k = n! k!(n k)! Vert binomikvn: kun n 2 N. ( + b) n = n(n )(n 2)...(n k + ) =. k! k= n k n k b k, 5.4 Potenssisrj I 5.4 Potenssisrj II Potenssisrj on muoto X c k ( k= ) k = lim n! k= c k ( ) k olev srj. Piste on srjn keskus j luvut c k srjn kertoimi. Srj suppenee rvoll, jos yllä olev rj-rvo on määritelty. Tämän suhteen on vin kolme erilist tpust: srj suppenee vin rvoll = (jolloin srjss esiintyy vin vkiotermi c ) srj suppenee kikill 2 R srj suppenee jollkin välillä ] R, + R[ (j mhdollisesti yhdessä ti molemmiss päätepisteissä), mutt hjntuu muill :n rvoill. Luku R on potenssisrjn suppenemissäde. Sopimus: R =tir = muiss tpuksiss. Esimerkki 5.2 Millä muuttujn rvoill potenssisrj X k 2 k k suppenee? Rtkisu: Tutkitn suppenemist suhdetestin vull, kun k = k k /2 k. Tällöin k+ = (k + ) k+ /2 k+ k k k /2 k = k +! 2k 2, k= kun k!.suhdetestinperusteellsrjsuppenee,kun /2 <, j hjntuu, kun /2 >. Rjtpuksiss /2 =, = ±2 srjn yleinen termi ei lähesty noll, joten srj hjntuu. Tulos: Srj suppenee välillä 2 < < 2 j hjntuu muulloin. 5.4 Potenssisrj III 5.4 Potenssisrj IV Suppenemisvälillä I tulee siis määriteltyä funktio f : I! R, f () = X c k ( ) k, () k= jok on nimeltään srjn summfunktio. Potenssisrjn summfunktio f on välillä ] R, + R[ jtkuvj derivoituv. Lisäksi derivtn f () voi lske derivoimll srj () termeittäin: X f () = kc k ( ) k. k= Huom, että vkiotermi c derivoituu pois eli summ lk indeksistä k =. Lisäksi derivoitu srj suppenee smll välillä 2 ] R, + R[; tämä on hiemn yllättävää (?) kertoimen k vuoksi. Tpuksess [, b] ] integroid termeittäin: f () d = R, + R[ potenssisrjn () voi myös X c k ( ) k d. k= Usein integrointi voidn ulott myös suppenemisvälin päätepisteeseen skk, mutt tämä ei in pidä pikkns. Tilnnett täytyy siis tutki tpuskohtisesti. 6. Funktio I 6. Funktio II Tämä luku sisältää trkennuksi j lisäyksiä funktioihin liittyviin käsitteisiin. Kikki kohti ei käsitellä luennoll, mutt osn niistä pltn trvittess myöhemmin. Funktio f : A! B on sääntö, jok liittää jokiseen joukon A lkioon täsmälleen yhden B:n lkion b. Merkitään b = f (). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko j B on f :n mlijoukko. Funktion f rvojoukko (eli kuvjoukko) on B:n osjoukko f [A] ={f () 2 A}. Esimerkiksi funktion f : R! R, f () = 2, mlijoukko on R, mutt sen rvojoukko on f [R] =[, [. Edellisen esimerkin funktio voidn toki määritellä suorn muodoss f : R! [, [, f () = 2, jolloin rvojoukko on sm kuin mlijoukko. Näin voidn peritteess menetellä kikkien funktioiden kohdll, mutt se ei yleensä ole käytännöllistä. Esimerkki: Yritä tehdä sm funktiolle f : R! R, f () = 6 + 2 +, 2 R. Jos funktion määrittelyjoukko A R, niin kyseessä on yhden muuttujn funktio, joit tällä kurssill käsitellään. Jos A R n, n 2, niin kyseessä on usen muuttujn funktio, joit käsitellään kursseill Di erentili- j integrlilskent 2 3.
6.2 Käänteisfunktio I 6.2 Käänteisfunktio II Funktio f : A! B on injektio, jos eri pisteissä sdn eri rvot, ts. 6= 2 ) f ( ) 6= f ( 2 ), ts. f ( )=f ( 2 ) ) = 2. surjektio, jos rvojoukko on sm kuin mlijoukko, ts. fa = B. bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom: Funktiost tulee surjektio, kun mlijoukko kutistetn mhdollisimmn pieneksi, eli jätetään pois kikki ne pisteet, jotk eivät ole funktion rvoj. Toinen tp määritellä nämä käsitteet perustuu yhtälön rtkisujen lukumäärän tutkimiseen: Jos y 2 B on kiinteä, niin yhtälöllä y = f () on korkeintn yksi rtkisu 2 A, jos f on injektio inkin yksi rtkisu, jos f on surjektio täsmälleen yksi rtkisu, jos f on bijektio. Jos f : A! B on bijektio, niin sillä on käänteisfunktio f : B! A, jok määräytyy ehdost y = f (), = f (y). Käänteisfunktiolle pätee f (f ()) = kikill 2 A j f (f (b)) = b kikill b 2 B. Käänteisfunktion kuvj on lkuperäisen kuvjn peilikuv suorn y = suhteen. Perustelu: piste (, b) on funktion f kuvjll, b = f (), = f (b), piste (b, ) on funktion f kuvjll. Lisäksi opertion (, b) 7! (b, ) geometrinen tulkint on peilus suorn y = suhteen. Jos A R j f : A! R on idosti monotoninen, niin funktioll f : A! f [A] on käänteisfunktio. Jos yllä A on väli j f on jtkuv, niin myös f on jtkuv joukoss f [A]. 6.2 Käänteisfunktio III 6.3 Trigonometriset funktiot I Käänteisfunktion derivtt: Olkoon f : ], b[! ]c, d[ derivoituv idosti monotoninen surjektio, jolloin f :llä on käänteisfunktio f : ]c, d[! ], b[. Tällöin kuvjt y = f () jy = f () ovt toistens peilikuvi suorn y = suhteen j f () = f (f ()), jos f (f ()) 6=. Huom: f (f ()) = funktion f derivtt lskettun pisteessä f (). Kulmn yksikkö rdini = rd: kulm vstvn yksikköympyrän osn krenpituus. rd = 8 stett, ts. rd = 8/ 57,3 stett Funktiot sin, cos määritellään yksikköympyrän vull niin, että (cos, sin), 2 [, 2 ], on yksikköympyrän prmetrisointi krenpituuden vull. Jksollisuus: tn = sin ( 6= /2+n ), cos cot = cos ( 6= n ) sin sin( +2 ) = sin, cos( +2 ) = cos, tn( + ) = tn 6.3 Trigonometriset funktiot II Ominisuuksi (perustelut yksikköympyrästä!): sin =, sin( /2) = cos =, cos( /2) = sin j tn ovt prittomi funktioit, cos on prillinen: sin 2 + cos 2 =kikill 2 R Yhteenlskukvt: sin( ) = sin, cos( ) = cos, tn( ) = tn sin( + y) = sin cos y + cos sin y, cos( + y) = cos cos y sin sin y Perustelu geometrisesti ti helpommin vektoreiden j mtriisien vull. (Kikkien eri tpusten käsittely geometrisesti on hiemn työlästä) 6.3 Trigonometriset funktiot III Derivtt: D(sin ) = cos, D(cos ) = sin Edellisestä seur, että molemmt funktiot y(t) = sin(!t) j y(t) = cos(!t) toteuttvt di erentiliyhtälön y (t)+! 2 y(t) =, jok kuv ns. hrmonist värähtelyä. Tässä muuttuj t on ik j vkio!> on värähtelyn kulmtjuus. Kuten myöhemmin nähdään, di erentiliyhtälön kikki rtkisut ovt muoto y(t) =A cos(!t)+b sin(!t), joss A, B ovt vkioit. Ne määräytyvät yksikäsitteisesti, jos tunnetn esimerkiksi lkutil y() j lkunopeus y (). Kikki rtkisut ovt jksollisi j niiden jksonik on T = 2 /!. 6.3 rcus-funktiot I 6.3 rcus-funktiot II Trigonometrisill funktioill on käänteisfunktio, jos funktioiden määrittely- j mlijoukkoj rjoitetn sopivll tvll. Sini-funktio on idosti ksvv bijektio. Kosini-funktio on idosti vähenevä bijektio. Tngentti-funktio sin: [ /2, /2]! [, ] cos: [, ]! [, ] tn: ] on idosti ksvv bijektio. /2, /2[! R Käänteisfunktiot: Siis: rctn : R! ] /2, /2[, rcsin : [, ]! [ /2, /2], rccos : [, ]! [, ] = tn, =rctn, kun 2 ] /2, /2[ = sin, =rcsin, kun 2 [ /2, /2] = cos, = rccos, kun 2 [, ] Huom: rc nnetn rdineiss, ellei kyseessä ole geometrinen sovellus.
6.3 rcus-funktiot III Käänteisfunktioiden derivtt 6.3 Johdnto: Rdioktiivinen hjominen D rctn = + 2, 2 R D rcsin = p, < < 2 D rccos = p 2, < < Vrsinkin ensimmäinen kv on tärkeä integrlilskennss. Perustelu derivoimll puolittin yhtälö tn(rctn ) =, kun 2 R: + tn 2 (rctn ) D(rctn ) =D = ) D(rctn ) = +tn 2 (rctn ) = + 2. Alin rivi myös suorn käänteisfunktion derivtn kvst. Rdioktiivisen ineen ydinten lukumäärää hetkellä t kuv funktio y(t). Lyhyellä ikvälillä t hjovien ydinten lukumäärä on likimin suorn verrnnollinen sekä ikvälin pituuteen että ydinten lukumäärään ikvälin luss: y = y(t + t) y(t) k y(t) t. Vkio k on ineest riippuv hjomisvkio. Tästä sdn y t ky(t), j rjll t! di erentiliyhtälöy (t) = ky(t). 6.3 Eksponenttifunktio I Neperin luku e = lim + n =++ n! n 2! + 3! + 4! +... 2,7828828459... Eksponenttifunktio ep: ep () = X n= n n! = lim + n = e. n! n Määritelmä (srjkehitelmä) perustuu ominisuuteen ep () =ep (), jonk vuoksi eksponenttifunktio on tärkeä di erentiliyhtälöiden rtkisemisess. 6.3 Eksponenttifunktio II Yhteys erilisten määritelmien välillä on suorviivinen, mutt pitkähkö lsku, jok on tällä kurssill oheislukemist. Päättely etenee esimerkiksi seurvll tvll: Määritellään ep: R! R, X k ep () = k!. Srj suppenee suhdetestin perusteell kikill 2 R. Osoitetn: ep on derivoituv j toteutt ep () =ep () kikill 2 R. (Srjn derivoiminen termeittäin on koko päättelyn hnklin koht, vikk intuitiivisesti helppo ymmärtää.) Se toteutt myös ominisuudet ep () =, ep ( kikill, y 2 R. k= ) =/ep () jep ( + y) =ep () ep (y) 6.3 Eksponenttifunktio III Edellisistä seur, että ep (p/q) =(ep ()) p/q kikille rtionliluvuille p/q 2 Q. Jtkuvuuden perusteell kikill 2 R. Kosk X ep () = ep () =(ep ()) k= k! = lim n! + n n = e, niin eksponenttifunktiolle sdn muoto e. Lisäksi edellisistä seur, että ep: R! ], [ on idosti ksvv bijektio, jolle lim ep () =, lim ep () =, lim!!! n =kikilln 2 N. ep () 6.3 Eksponenttifunktio IV Jtkoss kirjoitetn e = ep (). Ominisuuksi: e = e > D(e )=e e =/e (e ) y = e y e e y = e +y kikill, y 2 R. 6.3 DY y = ky Luse 6. Olkoon k 2 R vkio. Kikki di erentiliyhtälön y () =ky(), 2 R, toteuttvt funktiot y = y() ovt muoto y() =Ce k, joss C on vkio. Jos funktion y rvo tunnetn josskin pisteessä, niin vkiolle C sdn yksikäsitteinen rvo. Perustelu: y () =ky(), y () ky() e k = kosk e k > in, y ()e k ke k y() =, d d y()e k =, y()e k = C =vkio, y() =Ce k. 6.3 Logritmi I Logritmifunktio = eksponenttifunktion käänteisfunktio: ln: ], [! R Trksti otten kyseessä on e-kntinen eli luonnollinen logritmi. Yleisen -kntisen logritmin määritelmä perustuu kvn kun > jy >. = y, = log y, Muit sovelluksiss esiintyviä logritmej ovt Briggsin -kntinen logritmi lg = log j binäärilogritmi lb = log 2. Merkinnällä log trkoitetn yleensä (esim. tietokoneohjelmiss) luonnollist logritmi ln.
6.3 Logritmi II 6.3 Eulerin kv Logritmin ominisuuksi e ln =, kun > ln(e )= kikill 2 R ln =, ln e = ln( b )=b ln, kun >, b 2 R ln(b) =ln +lnb, kun, b > D ln =/, kun 6= Nämä seurvt vstvist ep-funktion ominisuuksist. Esimerkiksi: Sijoittmll = ln j y = ln b kvn joten ln(b) = ln + ln b. e e y = e +y sdn b = e ln +ln b, Imginriyksikkö i: olio, jok toteutt i 2 =. Kompleksiluvut muoto z = + iy, joss, y 2 R. Ktsotrkemminerillistä monistett kompleksiluvuist. Kun eksponenttifunktion srjkehitelmään sijoitetn muuttujn piklle i j ryhmitellään reliset termit erikseen, niin sdn Eulerin kv e i = cos + i sin. Seuruksen on kv e i + =, jot jotkut pitävät mtemtiikn hienoimpn kvn. Se sitoo toisiins tärkeimmät luvut,, i, e j sekä kolme lskutoimitust. Kvojen e ±i = cos ± i sin vull voidn joht myös esitykset cos = 2 ei + e i, sin = e i e i, 2 R. 2i 6.3 Hyperboliset funktiot I 6.3 Hyperboliset funktiot II Hyperbolinen sini sinus hyperbolicus sinh, hyperbolinen kosini cosinus hyperbolicus cosh j hyperbolinen tngentti tnh: sinh: R! R, sinh = 2 (e e ) cosh: R! [, [, cosh = 2 (e + e ) tnh: R! ], [, tnh = sinh cosh Ominisuuksi: cosh 2 sinh 2 = ; kikill trigonometrisill kvoill on hyperbolinen vstine, jok seur yhteyksistä sinh(i) =i sin, cosh(i) = cos. Kvoiss sin 2 -termien merkki vihtuu, muut pysyvät smoin. Derivtt: D sinh = cosh, D cosh =sinh. Hyperboliset käänteisfunktiot eli re-funktiot; re j lyhenne r viitt käänteisfunktioiden geometriseen tulkintn eräänä hyperbeliin liittyvänä pint-ln: sinh = r sinh =ln + p + 2, 2 R cosh = r cosh =ln + p 2, Käänteisfunktioiden derivtt: D sinh = D cosh = p + 2, 2 R p 2, > 7. Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi joukkoj. Tsojoukon pint-l määritellään pluttmll se yksinkertisemmn joukon pint-ln. Joukon pint-l ei voi lske, ellei pint-l ole ensin yleisesti määritelty (vikk koulumtemtiikss näin yleensä menetelläänkin). Lähtökoht: Suorkulmion pint-l on (määritelmän mukn) knt korkeus: A = b. 7. Suunniks Suunnikkn pint-l on (määritelmän mukn) knt korkeus: A = h. h b 7. Kolmio 7. Monikulmio Kolmion pint-l on (määritelmän mukn) Monikulmio on tsolue, jot rj umpininen (j itseään leikkmton) murtoviiv. A = 2 h. h Murtoviiv koostuu peräkkäisistä jnoist, joille edellisen päätepiste = seurvn lkupiste. Se on umpininen, jos viimeisen päätepiste = ensimmäisen lkupiste.
7. Monikulmion pint-l Monikulmion pint-l sdn jkmll monikulmio kolmioihin (= monikulmion kolmiointi) j lskemll kolmioiden pint-lojen summ. 7. Yleinen tsojoukko Muodostetn rjoitetulle tsolueelle D sisämonikulmioit M s j ulkomonikulmioit M u : M s D M u. Luse: Kolmioiden pint-lojen summ ei riipu kolmioinnin vlinnst. Ain pätee: A(M s ) pple A(M u ). 7. Pint-ln määritelmä 7. Ympyrän pint-l Määritelmä 7. Rjoitetull tsojoukoll D on pint-l, jos jokist "> vst sisämonikulmio M s j ulkomonikulmio M u, joiden pint-lojen erotus on pienempi kuin ": A(M u ) A(M s ) <". Tällöin kikkien lukujen A(M s )ja(m u ) välissä on yksikäsitteinen luku A(D), jok on (määritelmän mukn) joukon D pint-l. Yllätys: Vikk joukko D rjoittisi jtkuv umpininen tsokäyrä, ei sillä in ole pint-l! Syy: Reunkäyrä voi oll niin kiemurtelev, että sen pint-l >. Ensimmäinen esimerkki [W.F. Osgood, 93]. Esimerkki 7.2 Johd R-säteisen ympyrän pint-ln kv A = R 2 trkstelemll sen sisä- j ulkopuolelle setettujen säännöllisten n-kulmioiden pint-lojen rj-rvoj, kun n!. Rtkisu jätetään (vpehtoiseksi) hrjoitustehtäväksi. 8. Määrätty integrli I Geometrinen tulkint: Funktiolle f :[, b]! R pätee f () kikill 2 [, b]. Kuink suuren pint-ln käyrä y = f () rjyhdessä -kselin knss välillä [, b]? Vstuksen tähän kysymykseen nt määrätty integrli jonk määritelmässä ehto f () y A = b f () d, ei tosin trvit linkn. f () d y = f () b 8. Määrätty integrli II Tällä kurssill integrli määritellään kikille ploittin jtkuville funktioille; yleisemmin sitä voidn tutki myös rjoitettujen funktioiden tpuksess, jolloin puhutn Riemnn-integrlist. Ploittin jtkuvt funktiot ovt Riemnn-integroituvi, mutt toislt kikki rjoitetut funktiot eivät ole. Tämä hnkloitt yleisen tpuksen käsittelyä. Vielä yleisempi integrlin käsite on Lebesgue-integrli, jot käsitellään kurssill MS-E28 Mesure nd integrl. Sen vull voidn mm. systemttisesti selvittää, millisille tsojoukoille pint-l voidn järkevällä tvll määritellä. 8. Jtkuvn funktion integrli I 8. Jtkuvn funktion integrli II Olkoon f :[, b]! R jtkuv. Välin [, b] jkoon = < < 2 < < n = b liittyy sitä vstv funktion f yläsumm y y = f ( ) y y = f () S = j lsumm s = M k ( k k ), M k =m{f () k pple pple k }, k= m k ( k k ), m k =min{f () k pple pple k }. k= Nämä ovt positiivisen funktion tpuksess erään ulko- j sisämonikulmion (= pylväsdigrmmit) pint-loj. b Punisten pylväiden pint-lojen summ on (tsvälistä jko vstv) yläsumm S vsemmnpuoleisess kuvss j lsumm s oikenpuoleisess kuvss. b
8. Ominisuuksi 8. Integrlin määritelmä Ain pätee: (i) Kun jkopisteitä lisätään (snotn: jko tihennetään), niin s ksv j S pienenee; (ii) s pple S, vikk ne lskettisiin eri jkopisteillä. Perustelu: (i) Kuviost (ti muull tvoin) nähdään, miten l- j yläsumm muuttuvt, kun lisätään yksi jkopiste. (ii) Jos ylä- j lsummn lskemiseen käytetään smoj jkopisteitä, niin väite on selvä, kosk m k pple M k kikill k. Jos jkopisteet eivät ole smt, niin trkstelln tihennettyä jko ottmll mukn molempien jkojen kikki pisteet. Tämän jälkeen väite seur kohdst (i). Määritelmä 8. Funktio f on integroituv välillä [, b], jos jokist "> vst sellinen jko, joss S s <". Funktion f integrli I 2 R on tällöin se yksikäsitteinen luku, jolle s pple I pple S kikiss joiss; merkitään f () d = I. Positiivisen funktion tpuksess tämä vst täsmälleen sitä vtimust, että jkoihin liittyvien pylväsdigrmmien vull lsketut ulko- j sisämonikulmioiden pint-lt sdn mielivltisen lähelle toisin, kun vlitn riittävän tiheä jko. 8. Integroituvuus 8. Sopimuksi Luse 8.2 Integrli on määritelty kikille jtkuville funktioille j se voidn lske rj-rvon f () d = lim f ( k ) n! k= käyttämällä tsvälisiä jkopisteitä k = + k, joss =(b )/n on skelpituus j pple k pple n. Sopimus: Tällöin pätee f () d =, f () d = b f () d. Yleisemmin: Edellisessä summss rvon f ( k ) tilll voi oll mikä thns rvo f (z k ), kun k pple z k pple k, eikä jon trvitse oll tsvälinen. Aino vtimus: Jkovälien m-pituus!, kun n!. Tässätpuksess puhutn integrlin lskemisest Riemnnin summien vull. Moniss sovelluksiss integrliin päädytään juuri Riemnnin summien kutt. f () d = c f () d + c f () d kikill, b, c järjestyksestä riippumtt (Piirrä kuvio!). 8. Ploittin jtkuv funktio 8. Integrlin yleistys Määritelmä 8.3 Funktio f :[, b]! R on ploittin jtkuv, jos sillä on vin äärellinen määrä epäjtkuvuuskohti pple c < c 2 < < c m pple b, joiss kikiss toispuoliset rj-rvot ovt olemss j äärellisiä (ts. ± ei sllit). Määritelmästä seur, että jokisell yksittäisellä välillä [c k, c k ]funktio f voidn muokt jtkuvksi muuttmll päätepistervoiksi ko. toispuoliset rj-rvot. Määritelmä 8.4 Jos f :[, b]! R on ploittin jtkuv, niin m+ X f () d = k= ck c k f () d, kun käytetään edellisen sivun merkintöjä, c =, c m+ = b j f tulkitn jtkuvksi jokisell välillä [c k, c k ]erikseen. Käytännössä integrlin lskeminen täytyy tehdä usemmss osss yllä olevn kvn tpn myös silloin, kun funktio f on määritelty ploittin (jtkuvuudest riippumtt). 8.2 Integrlin ominisuuksi 8.2 Di -int-lskennn perusluse Ploittin jtkuvien funktioiden integrlille pätee Linerisuus: Jos c, c 2 2 R, niin c f ()+c 2 g() d = c f () d + c 2 g() d. Positiivisuus: Jos h() Seurus: f () pple g() ) kikill, niin f () d pple Erityisesti: Kosk ±f () pple f (), niin ± f () d pple f () d ) h() d. g() d f () d pple f () d. Luse 8.5 Keskirvoperite: Jos f :[, b]! R on jtkuv, niin f (c) = b f () d = f (c)(b ) jollkin c 2 [, b], ts. f () d = f = funktion f keskirvo välillä [, b]. Luse 8.6 Anlyysin perusluse: Jos f :[, b]! R on jtkuv, niin kikill 2 ], b[. d d f (t) dt = f ()
8.2 Integrlifunktio I 8.2 Integrlifunktio II Määritelmä 8.7 Jos F () =f () jollkin voimell välillä, niin F on funktion f integrlifunktio. Perusluseen mukn kikill jtkuvill funktioill f on integrlifunktio F () = f (t) dt. Sitä ei in void esittää lkeisfunktioiden vull, vikk f olisi lkeisfunktio; esim. f () =e 2. Tällisi integrlifunktioit (j muit vstvi) kutsutn erikoisfunktioiksi. Integrlifunktio ei ole yksikäsitteinen, mutt eri integrlifunktiot poikkevt toisistn vin vkioll; merkitään f () d = F ()+C, C 2 R vkio, jos F () =f (). Perustelu: Jos F () =F 2 () =f () kikill, niin funktion F () F 2 () derivtt on identtisesti noll, joten se on vkio. Luse 8.8 Jos f :[, b]! R on jtkuv, niin sen määrätty integrli voidn lske (päätepisteissäkin jtkuvn) integrlifunktion F vull: f () d = / b =b F () =F () = F (b) F (). = 8.2 Integrlifunktio III Tärkeimmät integrlifunktiot sdn suorn derivoimissäännöistä: r d = r + r+ + C, r 6= d = ln + C e d = e + C sin d = cos + C cos d = sin + C d + 2 = rctn + C 8.2 Integrlifunktio IV Esimerkki 8.9 Lske integrlit e d j sin( ) d. Rtkisu: Ensimmäinen integrlifunktio on e, joten integrlin rvo on e d = e + e =2sinh. Toinen integrlifunktio on cos( ), joten integrlin rvo on sin( ) d = (cos cos ) = 2. 8.2 Integrlifunktio V Esimerkki 8. Lske integrli p d. 25 9 2 Rtkisu: Integrlifunktion oike muoto voisi oll F () =(25 9 2 ) /2 ; trkistetn kerroin derivoimll: D (25 9 2 ) /2 = 2 ( 8)(25 9 2 ) /2 9 = p, 25 9 2 joten vlinnll = /9 sdn oike integrlifunktio. Näin ollen p d = / 9 25 9 2 9 (25 2 ) /2 = 9 p 6 p 25 = 9. Toinen tp: Käytetään myöhemmin käsiteltävää sijoitusmenetelmää. 8.2 Integrlifunktio VI Perusluseen vull sdn seurv yleisempi derivoimiskv: Luse 8. Jos f on jtkuv j funktiot j b ovt derivoituvi, niin d d () () f (t) dt = f b() b () f () (). Perustelu: Olkoon F funktion f integrlifunktio. Tällöin () () f (t) dt = F b() F (). Väite seur tästä käyttämällä yhdistetyn funktion derivoimissääntöä, kosk F = f. 8.3 Geometrisi sovelluksi I 8.3 Geometrisi sovelluksi II Jos f (), niin R b f () d on funktion kuvjn j -kselin rjoittmn tsolueen pint-l välillä [, b]. Yleisemmin: R b f () g() d on kuvjien y = f () jy = g() väliin jäävän lueen pint-l välillä [, b]. Funktion kuvjn y = f () krenpituusvälillä[, b] on ` = q +f () 2 d. Kun funktion f kuvj y = f () pyörähtää -kselin ympäri välillä [, b], niin syntyvän pyörähdyspinnn pint-l on A =2 q f () +f () 2 d. Jos kpplett leiktn yz-tson suuntisell tsoll kohdss j poikkileikkuksen pint-l on A(), kun 2 [, b], niin kppleen tilvuus on V = A() d. Kun funktion f kuvj y = f () pyörähtää -kselin ympäri välillä [, b], niin se rj pyörähdyskppleen, jonk tilvuus on V = f () 2 d Syy: Poikkileikkus kohdss on f ()-säteinen ympyrä, joten A() = f () 2.