5.3 FERMAT'N PERIAATE

119 5.3 FERMAT'N PERIAATE Fermat'n periaatteen mukaan valo kulkee kahden pisteen välisen matkan siten, että aikaa kuluu mahdollisimman vähän, ts. ajalla on ääriarvo (minimi). Myös Fermat'n periaatteesta voidaan johtaa geometrisen optiikan perusaksiomat. Esimerkiksi taittumislaki saadaan viereisestä kuvasta laskemalla ensin valon käyttämä aika pisteestä A pisteen O kautta pisteeseen B. Kirjoitetaan aika muuttujan x avulla ja minimoidaan se. Lasku johtaa suoraan taittumislakiin (5.2.1). Lisäkommentti: Fermat'n periaate on esimerkki variaatio-laskennasta, jossa yleisesti pyritään minimoimaan jokin määrätty integraali. Esimerkkimme tapauksessa integraali on B ds t = ò, (5.3.1) v () s missä v () s on valon nopeus radan kohdassa s. A Esimerkki: Valonsäde läpäisee kohtisuorasti L-paksuisen lasilevyn z-akselin suunnassa (kuva). Laske a) läpäisyaika t 0, kun levyn taitekerroin on vakio n 0 ja b) läpäisyaika t, kun taitekerroin kasvaa jatkuvasti z-suunnassa yhtälön n (1 3 2 = n az ) 0 + mukaan. Tässä a on positiivinen vakio.

120 Ratkaisu: a) Valon nopeus levyssä on vakio v 0 =c/ n 0, joten ajaksi matkalla L laskemme t 0 L n = = v c 0 0 L. b) Valon nopeus levyssä riippuu z:sta: c c v( z) = = n z n + az 3 ( ) 0(1 3 ) ja läpäisyaika lasketaan (esim) integraalilla (5.3.1), missä nyt reitti s on z-akselilla: L L L dz n0 2 n0 3 n0 2 òv( z) c ò c 0 c 0 0 t = = (1 + 3 az ) dz = ( z + az ) = L(1 + al ) = t (1 + al 2 ). 0 5.4 KOKONAISHEIJASTUS Edellä totesimme, että valo osuessaan rajapintaan sekä heijastuu että taittuu. On kuitenkin olemassa tilanteita, joissa valo ei taitu toiseen väliaineeseen ollenkaan vaan kaikki heijastuu. Puhutaan kokonaisheijastuksesta (total internal reflection). Kun valo tulee optisesti tiheämmästä väliaineesta ja taittuu optisesti harvenpaan, ts. ni > nt (esim. vedestä ilmaan), niin taitekulma on suurempi kuin tulokulma ( q t > q i ) ja säde kääntyy poispäin normaalista

Kun tulokulma q = 90 t 121 q i kasvaa, saavutetaan tilanne, jossa taitekulma Tällöin tulokulma q i = q c on ns. kriittinen tulokulma, jolle pätee sin q = nt nt c sin 90 n = n. (5.4.1) i Jos tulokulma q i > q c, tapahtuu kokonaisheijastuminen. Esimerkki: Laske kokonaisheijastuksen rajakulma eli kriittinen tulokulma rajapinnoille: vesi ( n = 1.33) ilma ( n = 1.00) lasi ( n = 1.52) vesi ( n = 1.33) lasi ( n = 1.52) ilma ( n = 1.00) Ratkaisu: 1.00 vesi ilma: sinq c = = 0.75188 Þ q c = 48.8 1.33 1.33 lasi vesi: sinq c = = 0.87500 Þ q c = 61.0 1.52 1.00 lasi ilma: sinq c = = 0.65789 Þ q c = 41.1 1.52 Sovellutus: Kokonaisheijastavat prismat esimerkiksi kiikarissa: q = 45 > q = 41 i Tapahtuu kokonaisheijastus kaikissa heijastuksissa ja säde ei menetä irradianssia. c i

122 Esimerkki: Sukellusveneen periskoopissa käytetään kahta 45-45- 90-prismaa kokonaisheijastavina komponentteina. Prismat ovat lasia, jonka taitekerroin on 1.52. (a) Hahmottele kuva periskoopin toimintaperiaatteesta. (b) Periskooppiin tulee pieni vuoto ja alempi prisma peittyy veteen. Miksi periskooppi ei enää toimi? Ratkaisu: a) Molemmissa heijastuksissa tulokulma (45 astetta) on suurempi kuin kriittinen kulma (noin 41 astetta), joten tapahtuu kokonaisheijastus. b) Jos alempi prisma on vedessä, niin kriittinen tulo kulma on 61 astetta (ks. esimerkki edellä), joka on suurempi kuin säteen tulokulma 45 astetta. Kokonaisheijastusta ei tapahdu ja valo "vuotaa" hukkaan. Toinen kokonaisheijastuksen sovellutus on optinen kuitu Valo etenee kuidussa häviöttä kokonaisheijastuen kuidun seinämistä.

123 5.5 POLARISAATIO Tavallinen eli ns. luonnollinen valo on satunnaisesti polarisoitunutta. Sähkökenttävektorin Esuunta vaihtelee nopeasti ja satunnaisesti. Matemaattisesti positiivisen z-akselin suuntaan etenevä luonnollinen valo esitetään komponenteilla (ks. 81) ìex ( z, t) = E0 sin[ kz-wt] í îey ( z, t) = E0 sin[ kz- wt+ e( t)] missä siis komponenttien amplitudit ovat samat ( E0x = E0y = E0) ja vaihe-ero e () t on nyt ajasta riippuva ja se vaihtelee nopeasti ja satunnaisesti. Luonnollista valoa sanotaan myös polarisoitumattomaksi valoksi. Geometrisessa optiikassa: Luonnollinen valo voidaan muuttaa polarisoituneeksi valoksi erilaisilla polarisaattoreilla. Kuvassa alla on esitetty ns. selektiiviseen absorptioon (dichroism) perustuva filtteri (Polaroid-levy), joka tuottaa lineaarisesti polarisoitunutta valoa:

124 Sähkökentän "pystykomponentit" (johteiden suuntaiset) synnyttävät johteisiin virtoja ja ohmisen vastuksen kautta niiden energia häviää lämpönä ilmaan. Läpi pääsee vain vaakasuuntainen sähkökenttä ja näin valo on muuttunut lineaarisesti polarisoituneeksi. On huomattava, että polarisaattorin ns. transmissioakseli (polarizing axis) on kohtisuorassa johteita vastaan. Täydellinen (ideal) polarisaattori läpäisee 50% luonnollisen valon irradianssista riippumatta transmissioakselin suunnasta: Miten lineaarisesti polarisoitunut valo läpäisee lineaarisen polarisaattorin? Asiaa tutkitaan kuvassa alla: Ensimmäinen polarisaattori muuttaa luonnollisen valon lineaarisesti polarisoituneeksi valoksi, joka ohjataan toiseen polarisaattori eli ns. analysaattoriin. Polarisaattoreiden transmissioakseleiden välinen kulma on f, joka on myös analysaattorin transmissioakselin ja analysaattoriin saapuvan lineaarisesti polarisoituneen valon polarisaatiosuunnan välinen kulma (ks. kuva). Analysaattorin läpi mennyt valo on lineaarisesti polarisoitunutta analysaattorin transmissio-

125 2 akselin suunnassa ja sen irradianssille ( I µ E ) pätee ns. Malusin laki I = I 2 f, (5.5.1) max cos missä I max on läpi menneen valon maksimi-irradianssi (kun f = 0). Esimerkki: Luonnollinen valo, jonka irradianssi on I 0, läpäisee kaksi peräkkäistä lineaarista polarisaattoria, joiden transmissioakselit muodostavat kulman 30 toistensa suhteen. Laske läpi mennyt irradianssi. Ratkaisu: 1 I1 = I0 (luonnollisesta valosta puolet läpäisee) 2 2 2 1 3 3 I2 I1cos 30 I æ ö = = 0ç = I0 2 è 2 ø 8 Polarisoituminen heijastuksessa Luonnollinen valo polarisoituu, joko osittain tai kokonaan, myös heijastuksessa:

126 Kun tulokulma on ns. polarisaatiokulma ( q i = q p ), heijastunut ja taittunut säde muodostavat keskenään 90 :een kulman ja heijastunut valo on täysin lineaarisesti polarisoitunut rajapinnan suunnassa (kohtisuorassa suunnassa tulotasoon nähden, ks. kuva). Jos qi ¹ qp, polarisoituminen on osittaista. Taittunut valo on aina vain osittain polarisoitunutta. Polarisaatiokulma q p saadaan ns. Brewsterin laista: nb tanq p =. (5.5.2) n a Esimerkki: Johda Brewsterin laki lähtien siitä tiedosta, että heijastunut ja taittunut säde muodostavat kulman 90. Ratkaisu: Kuvasta näemme qb + qp = 180-90 = 90, ts. qb = 90 - qp. Tämä tulos sijoitetaan taittumislakiin: nasinqp = nbsinqb = nbsin(90 - qp) = nbcosqp ja tästä kirjoitamme sinq p nb tanq p cosq = = n p Sovellutus: Polaroid-aurinkolasit. Linssien transmissioakseli on pystysuunnassa, jolloin lasit suodattavat erityisen tehokkaasti esim. veden pinnasta heijastunutta valoa, jonka polarisaation suunta on vaakasuunta. a

127 6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA Näemme itsemme peilistä. Kuuta voidaan katsoa kaukoputken läpi. Nämä ovat esimerkkejä optisesta kuvan muodostumisesta. Molemmissa tapauksissa katsottava esine näyttää olevan eri paikassa ja mahdollisesti eri kokoisena kuin missä se todellisuudessa on. Kuvan muodostuminen voidaan ymmärtää mallintamalla valo säteillä ja soveltamalla yksinkertaisia geometrisen optiikan peruslakeja, geometriaa ja trigonometriaa. 6.1 HEIJASTUMINEN TASOPEILISTÄ Kun valo saapuu kahden aineen rajapintaan, osa siitä heijastuu takaisin tuloväliaineeseen. Jos rajapinta on karkea (kuva b), heijastuneet säteet lähtevät satunnaisiin suuntiin eikä tapahtumaa voida hallita tarkastelemalla yksittäisiä säteitä. Kysymys on ns. diffuusista heijastumisesta. Diffuusi pinta ei pysty tuottamaan varsinaista optista kuvaa, vaikkakin kaikki esineet ympäristössämme (vaatteet, ihmiset, kirjat, yms.) ovat näkyviä juuri sen ansiosta. Tässä kappaleessa tarkastelemme heijastumista ja optisen kuvan muodostumista hyvin sileästä pinnasta (kuva a). Yhdensuuntainen sädekimppu heijastuu yhdensuuntaiseksi sädekimpuksi. Puhutaan peilimäisestä heijastuksesta (specular reflection).

128 Tasopeilissä esinepisteestä (object point) P lähtevät säteet heijastuvat peilistä. Jokaisen säteen heijastuskulma on sama kuin sen tulokulma peilipintaan. Heijastumisen jälkeen jokainen säde näyttää tulevan peilin takaa kuvapisteestä P (image point). Säteet itse eivät kulje kuvapisteen kautta, vaan kuvan paikka voidaan hahmotella säteiden jatkeiden avulla. Yleisesti kuvausteoriassa säteiden jatkeiden muodostamat kuvat ovat ns. valekuvia eli virtuaalisia kuvia (virtual images). Tällaisia valekuvia ei voida projisoida varjostimelle, vaan niitä on katsottava suoraan silmällä. Jos kuva muodostuu itse säteiden leikatessa toisensa, kysymyksessä on ns. todellinen kuva (real image). Tarkastellaan tarkemmin kuvan muodostumista heijastumisessa. Oleelliset säteet on piirretty kuvassa alla: s on esineen etäisyys kuvaavasta pinnasta s ' on kuvan etäisyys Geometrian avulla saadaan tasopeilin ns.kuvausyhtälö: s' = s. (6.1.1)

129 Tarkastellaan seuraavaksi äärellisen esineen kuvautumista tasopeilissä. Esineen (nuoli) korkeus on y. Jokainen esineen piste kuvautuu kuvapisteeksi, joista muodostuu äärellinen kuva. Tutkitaan nuolen kärjen (pisteen Q) kuvautumista. Kuvaan on piirretty kaksi pisteestä Q lähtevää sädettä, jotka heijastuttuaan jatkavat matkaa vasemmalle. Säteiden jatkeet yhtyvät pisteessä Q ', jonne kuva muodostuu. Taas heijastumislain ja yhtenevien kolmioiden avulla näemme, että kuvan korkeus y ' on sama kuin esineen korkeus y, ts. y' = y. Kuvan korkeuden y ' suhdetta esineen korkeuteen y sanotaan (poikittaiseksi) suurennukseksi m (lateral magnification), siis y ' m =. (6.1.2) y Tasopeilille laskimme edellä tuloksen y= y', joten suurennukseksi tulee yksi. Tasopeili ei siis suurenna tai pienennä. Edellisessä kuvassa kuvanuoli osoittaa samaan suuntaan kuin esinenuoli. Sanotaan, että kuva on oikein päin. Tasopeilin suurennus on aina siis m =+ 1, jossa (+)-merkki tarkoittaa oikeinpäin Esimerkki: Nainen, jonka pituus on 160 cm, näkee itsensä juuri ja juuri kokonaan seinäpeilistä. Naisen silmät ovat 150 cm:n korkeudella lattiasta. Määritä peilin korkeus ja alareunan etäisyys lattiasta.

Ratkaisu: 130 Peilin korkeus on 80 cm. Alareuna on 75 cm:n etäisyydellä lattiasta. Mielenkiintoinen yksityiskohta: tulokset eivät riipu peilin ja katsojan etäisyydestä s. 6.2 TAITTUMINEN TASOPINNASSA Kuva voi muodostua myös tasomaisen rajapinnan läpi taittuneilla säteillä (esim. vesi-ilma-rajapinnassa): Kulmat q ovat pieniä ja molemmat säteet menevät silmään.

Taittumislaki: n1sinq1 = n2sinq2. Pienillä kulmilla sinq» tanq, ja taittumislaki voidaan kirjoittaa n 131 tanq» n tanq, 1 1 2 2 joka kuvan perusteella saadaan muotoon n x x» n. s s' 1 2 Tästä kirjoitamme kuvausyhtälöksi n =. (6.2.1) n 2 s' s Suurennuksen tutkimme myöhemmin taittavan pallopinnan yhteydessä. Esimerkki: Kala ui 1 m:n syvyydessä. Kuinka syvällä se näyttää uivan? Ratkaisu: Ilman taitekerroin: n 2 = 1.00 Veden taitekerroin: n 1 = 1.33» 4/ 3 Esine: s = 1.00 m n2 3 Kuva: s' = s = s = 75 cm n1 4 1

132 6.3 HEIJASTUMINEN PALLOPEILISTÄ Pallopeili on esinepisteen O suhteen joko kovera (concave) tai kupera (convex) riippuen siitä onko peilin kaarevuuskeskipiste C samalla tai vastakkaisella puolella kuin esine. Viereisessä kuvassa tarkastellaan kuperaa peiliä. O = esinepiste, I = kuvapiste, V = vertex (huippupiste), s = esineen etäisyys ja s' = kuvan etäisyys V:stä. Jana OC on systeemin ns. optinen akseli. Piste P on mielivaltainen piste pinnalla korkeudella h. Kuvaan on piirretty kaksi esinepisteestä lähtevää sädettä. Toinen, optisen akselin suuntainen säde heijastuu huippupisteestä V suoraan takaisin ja toinen pisteestä P heijastuslain mukaisesti. Heijastuneet säteet divergoivat, mutta niiden jatkeet leikkaavat muodostaen virtuaalisen kuvapisteen I. Etsimme yhtälöä, joka kytkee toisiinsa esineen etäisyyden s kuvapisteen etäisyyden s ' ja peilin kaarevuussäteen R. Kolmiosta OPC kirjoitamme ensin siis a + j+ (180 - q) = 180 ja kolmiosta OPI saamme a + a' + (180-2 q) = 180. Sieventämällä tulee q = a + j ja 2 q = a + a' ja nämä yhdistämällä tulee a - a' =- 2j. (6.3.1)

133 Kuvan perusteella kirjoitamme myös tulokset h h tana =, tan a' s + d = s' - d ja tan j = missä d on pieni väli VQ. h R - d, Seuraavaksi teemme tärkeän approksimaation. Jos piste P on lähellä huippupistettä V, kulmat a, a ' ja j ovat pieniä ja sarjakehitelmistä (esim. j :lle) 3 5 j j sinj = j- + -L 3! 5! 2 4 j j cosj = 1- + -L 2! 4! riittää ottaa huomioon vain ensimmäiset termit. Voidaan kirjoittaa (esim. j :lle) tanj» sin j» j» h/ R. Tässä siis myös pieni väli d on approksimoitu nollaksi. Yhtälö (6.3.1) saa nyt muodon h - h =- 2 h, s s' R mistä pisteen P korkeus h supistuu pois. Kaikki etäisyydet ovat positiivisia ja tulos pätee kuperalle peilille. Vastaava tarkastelu, positiivisia suureita soveltaen johtaa samantapaiseen yhtälöön koveralle peilille. Kun sovelletaan jäljempänä esitettyjä merkkisääntöjä, yhteinen yhtälö molemmille peilityypeille on 1 1 2 s + s' = R. (6.3.2) Tämä on ensimmäisen kertaluvun teorian mukainen kuvausyhtälö. Säteiden suunnat poikkeavat vain vähän optisesta akselista, joten puhutaan myös ns. paraksiaalisesta approksimaatiosta. Kuvausyhtälön esitti ensimmäisen kerran Gauss vuonna 1841 ja hänen mukaansa sitä sanotaan myös Gaussin kuvausyhtälöksi.

134 Merkkisäännöt: 1. Esineen etäisyys s > 0, kun esine on samalla puolella kuin pintaan tulevat säteet. 2. Kuvan etäisyys s ' > 0, kun kuva on samalla puolella kuin pinnasta lähtevät säteet. 3. kaarevuussäde R > 0, kun kaarevuuskeskipiste C on samalla puolella kuin pinnasta lähtevät säteet. - kovera peili R > 0 - kupera peili R < 0 Yhteenvetona merkkisäännöistä voidaan todeta, että positiiviset kuvan ja esineen etäisyydet muodostuvat todellisilla säteillä ja vastaavat siten todellisia esineitä ja kuvia. Negatiiviset etäisyydet muodostuvat säteiden jatkeilla ja vastaavat virtuaalisia (vale-) esineitä ja kuvia. Pallopeilistä saadaan tasopeili asettamalla R. Kuvausyhtälö (6.3.2) antaa tällöin s' =- s, joka on tuloksen (6.1.1) yleisempi muoto. Negatiivinen merkki tarkoittaa, että kuva on virtuaalinen kuva, joka siis muodostuu säteiden jatkeiden avulla. Polttoväli f Jos esine on äärettömän kaukana ( s = ), säteet tulevat peiliin optisen akselin suuntaisina ja fokusoituvat polttopisteeseen F kuvausyhtälön (6.3.2) mukaan etäisyydelle s' = R/2.