Jkso 7. Loentz-voim Mgnetismi-ilmiö on monelle mysteei. Siksi sen vull voidn helposti huijt ihmisiä j myydä kiken milmn polttoineen säästäjiä utoihin. Edelleen on kuitenkin kysymys Coulombin voimst eli sähköisesti vutuneiden hiukksten välisestä voimst. Sen ven mgnetismiilmiössä on outo, että se voidn joht suhteellisuusteoin vull Coulombin voimst. (Voitisiin tietysti jtell niinkin, että mgneettinen voim on peusvoim j Coulombin voim suhteellisuusteoin mukinen seuus siitä.) Suppen suhteellisuusteoin ensimmäinen ksioom snoo, että fysiikn leill täytyy oll sm muoto kikiss inetilikoodintistoiss eli tsisell nopeudell toistens suhteen liikkuviss koodintistoiss. Mgneettikenttää tvitn, jott tämä ksioom toteutuisi sähkömgnetismiss. (Tästä on puhuttu enemmän kijss Gnt & Phillips: Electomgnetism, kppleess 1.) Liikkuv vttu ptikkeli iheutt lähistöönsä mgneettikentän. Vstvsti mgneettikentän voimvikutus kohdistuu liikkuvn vttuun ptikkeliin, ei piklln pysyvään vukseen. Akielämästä tuttu kestomgneetin voimvikutus peustuu myös vttujen ptikkelien liikkeeseen, jok on mteilin sisältämien tomien elektonien liikettä. Peuskussin kijss on liikkuvn vtun (pistemäisen) ptikkelin iheuttm mgneettikenttä esitetty yhtälöllä qv ˆ 4 missä q on ptikkelin vus, v ptikkelin nopeus, ptikkelin etäisyys siitä pisteestä, joss mgneettikenttä lsketn j ˆ yksikkövektoi, jok ilmisee suunnn vtust ptikkelist siihen pisteeseen, joss mgneettikenttä lsketn. -kijimell mekityn suueen täsmällinen nimi on mgneettivuon tiheys. Jos käytämme sm mekitsemistp kuin luentomonisteess on käytetty, yhtälö tulee muotoon qv ( ) ( ) 4 Tässä yhtälössä vektoi ilmisee sen pisteen, missä mgneettikenttä lsketn j vektoi ilmisee vuksen pikn. v on ptikkelin nopeus. Tämä yhtälö nt sekä mgneettikentän suunnn että suuuuden. Jos yhtälöä os luke oikein, huom, että mgneettikentän voimviivt kulkevt oheisen kuvn mukisesti. Kuvst ei näe mgneettikentän voimkkuutt ei kohdiss, inostn suunnn. Näitä sioit käsitellään myöhemmin tkemmin. + v
Edellä keottiin, että mgneettikenttä vikutt liikkuvn vukseen, ei piklln pysyvään vukseen. Voimn suunt ei ole mgneettikentän suuntinen vn kohtisuon kenttäviivoj vstn. Yhtälönä tämä mgneettikentän iheuttm voim, niin kutsuttu Loentz-voim, on qv Voimn suunnn s (oiken käden) kolmisomisäännöstä. Positiiviselle vukselle voimn suunt on oheisen kuvn mukinen, negtiiviselle vstkkissuuntinen. v Jos vttu ptikkeli joutuu sähkö- j mgneettikenttään, siihen vikutt näiden miolempien kenttien iheuttm summvoim: qe qv Kosk mgneettikenttä vikutt liikkuvn vukseen, iheutt se voimn myös vitjohtimeen. Vithn on vusten liikettä. vin suunt, iheutt mgneettikenttä voimn d l :n suuuiseen vitjohdinlkioon, jonk pituus on dl j suunt d dl j koko johtimeen voimn dl. Suon vitjohtimeen mgneettikenttä iheutt voimn l Vektoi l on johdinvektoi, jonk suunt on vin suunt j pituus johtimen pituus.
Sähkösttiikss esiteltiin sähköinen dipoli, joll on suui mekitys esimekiksi eisteiden ymmätämisessä. Vstv ilmiö mgnetismin puolell on vitsilmukk. Mgneettiset mteilit sisältävät pieniä vitsilmukoit smll tvll kuin eisteessä on pieniä dipolej. Dipolimomentti vst vitsilmukll mgneettimomentti. Se määitellää yhtälöllä m S missä on silmukss kulkev vit j S pint-lvektoi, jonk suuuus on silmukn pint-l j suunt iippuu vin suunnst oheisen kuvn mukisesti: S m Vitsilmukkn vikutt mgneettikentässä voimn momentti (vääntömomentti) T m mistä iheutuu potentilienegi U m
iot-svtin lki Edellä esiteltiin liikkuvn vuksen iheuttm mgneettikenttä (tkemmin snottun mgneettivuon tiheys) yhtälöllä qv ( ) ( ) 4 missä vektoi ilmisee sen pisteen, joss mgneettikenttä lsketn j vektoi ilmisee vuksen pikn. v on ptikkelin nopeus. Kuten on ollut jo puhett, tämä yhtälö nt sekä mgneettikentän suunnn että suuuuden. Aikisemmin esitettiin kuv mgneettikentän voimviivoist liikkuvn vuksen lähellä. Jos johtimess kulkee vit, voimme jtell, että pieni johtimenpätkä dl sisältää liikkuvn pistevuksen. Vit voidn määitellä yhtälöllä Täten smme qv dq dt dtv d x dt dt d x Täällä on pituuslkiovektoi d x tpn mekitä vektoill d l. Nyt smme edellä olevn yhtälön muotoon dl ( ) ( ) 4 Kun integoimme yli koko johtimen, smme kikkien johdinlkioiden dl iheuttmn summmgneettikentän: ( ) 4 dl ( ) Tämä on iot-svtin lki, jot käytetään vitjohtimen iheuttmn mgneettikentän lskemisess.
Esimekki 7.1: Suoss johtimess, jonk pituus on 5 cm j jok on x-kselin suuntinen, kulkee.5 A:n sähkövit positiivisen x-kselin suuntn. Johdin on mgneettikentässä (.T ) ˆj (.1T ) kˆ Mikä on johtimeen vikuttv voim? Rtkisu: Vitjohtimeen vikuttv voim on: dl Nyt tässä suoss johtimess kikkien johdinlkioiden suunt eli vin suunt. nteglist tulee silloin: d l suunt on sm positiivisen x-kselin l Lsketn istitulo: l liˆ ˆj kˆ y z iˆ l ˆj y kˆ z [ˆ( i ) ˆ( j l z ) kˆ( l y )] l iˆ l kˆ z y (.5A.5m.T ) ˆj (.5A.5m.1T ) kˆ (7.5ˆ i 5 ˆ) j 1 Yksikkötkstelu: 4 N T Vs m VAsm AmT m J m N Muist: VAs = J!!!
Esimekki 7.: Neliön muotoisess johdinsilmukss (sivun pituus ) kulkee vit. Silmukk seten mgneettikenttään kuvn mukisesti siten, että mgneettikentän j silmukn tson nomlin väliin jää kulm α. ) Mikä on vitsilmukn mgneettimomentti? b) Mikä voimn momentti kohdistuu vitsilmukkn? c) Mikä on vitsilmukn potentilienegi mgneettikentässä? α Silmukk sivust ktsottun Rtkisu: ) Mgneettimomentti on m S Snˆ Vektoi nˆ tkoitt pint-lkiovektoin suuntist eli pinnn nomlin suuntist yksikkövektoi. Nyt m S nˆ kosk pint-l S on neliön muotoiselle silmuklle.
b) Voimn momentti on vektoimuodoss: T S Snˆ nˆ Sklimuodoss voimn momentiksi tulee: T nˆ sin sin c) Potentilienegi voidn lske khdell tvll. Joko yhtälöllä U P S Snˆ S nˆ cos cos ti yhtälöllä U P m n ˆ nˆ cos cos Esimekki 7.: Oheisess kuvss esitettyyn suokiteen muotoiseen lueeseen tulee positiivisesti vttu hiukknen +q P jonk vus on q, mss m j nopeus v. Alueeess on ppein tson suuntinen homogeeninen sähkö- d kenttä E, jonk suunt näkyy kuvss. ) Minkä E suuuinen j suuntinen homogeeninen mgneetti- S kenttä tvitn lueeseen, jott vus osuisi pisteeseen P. b) Sähkökenttä E kytketään pois. Minkä suuuinen j suuntinen mgneettikenttä tvitn lueeseen, jott vus osuisi pisteeseen S. Rtkisu: Sähkö- j mgneettikentässä vukseen q vikutt Loentz-voim: qe qv ) Vukseen vikuttvn mgneettikentän iheuttmn voimn j sähkökentän iheuttmn voimn täytyy kumot toisens, sillä vuksen t on suo: qe qv
Sähkökentän voim osoitt lspäin. Silloin mgneettikentän voimn täytyy osoitt ylöspäin. Käytetään kolmisomisääntöä mgneettikentän suunnn määittämiseksi: v Kuvn mukn mgneettikentän täytyy oll suon ppein tsost sisäänpäin, jott sen iheuttm voim olisi ylöspäin, kun positiivisesti vttu kpple liikkuu vsemmlt oikelle. Kosk nyt nopeus j mgneettikenttä ovt kohtisuoss toisin vstn: v v Nyt sdn mgneettikentän suuuus. qe qv qe qv Mgneettikentän suunt on siis kohtisuoss ppein tso vstn j sisäänpäin. E v b) Sähkökenttää ei nyt ole. Vus pitäisi sd kääntymään lspäin. Kolmisomisäännön mukn se vtii mgneettikentän, jonk suunt on suon ppein tsost ulospäin. Vus lk kulke ympyät pitkin. Rdn säteen pitäisi oll sopivn suuuinen, jott vus osuisi pisteeseen S eli = d. Ympyädll keskeisvoimn toimii mgneettikentän iheuttm voim. Voimme lske skleill j otmme huomioon, että nopeus j mgneettikenttä ovt kohtisuoss toisin vstn, jolloin mgneettikentän iheuttm voim on = qv: Keskeisvoim = Loentz-voim mv mv mv qv Suunt määitettiin edellä q qd
Esimekki 7.4: Pitkässä suoss vitjohtimess kulkee vit. Lske mgneettikenttä etäisyydellä vitjohtimest. Rtkisu: iot-svtin lki: ( ) 4 dl ( ) Jos sitä pistettä, joss mgneettikenttä lsketn, mekitään P:llä, vektoi kuv P:n pikk j vektoi kuv johdinlkion dl pikk. Yleensä P sijoitetn oigoon, jolloin =. l α P Mekitään, että = jolloin sdn: dl ( ) dl ( ) dl ( ) dl ( ) 4 4 4 4 Tehdään tällä ket niin, että päätellään mgneettikentän suunt j sen jälkeen lsketn skleill. Tämä tp ei ole kuitenkn suositeltv. Jäljempänä on esimekki siitä, miten pituutt l käytetään muuttujn. Kolmisomisäännön vull sdn, että vektoin dl suunt on ppein tsost sisäänpäin: P
Siiytään nyt skleihin: ) (cos sin sin dl dl dl dl cos d dl l cos 1 tn iot-svtin list smme nyt: d dl dl cos cos 1 ) (cos 4 ) ( cos 4 ) ( cos 4 ) ( d cos 4 Kun on kyseessä ääettömän pitkä johdin, kulm α vihtelee välillä π/ π/. Tästä smme integoimisjt: d 1)] ( [1 4 sin / 4 cos 4 ) ( Tämä on pitkän suon vitjohtimen iheuttm mgneettikenttä etäisyydellä johtimest. Mgneettikentän suunt on kohtisuon johdint vstn j pisteessä P (ktso kuv!) ppein tsost sisäänpäin.
Esimekki 7.5: Kuutio, jonk sivun pituus on, on sijoitettu xyz-koodintistoon kuvn mukisesti siten, että yksi nukk on oigoss j kolme sämää on koodinttikseleill. Alueell on x-kselin suuntinen mgneettivuon tiheys, jonk itseisvo on. Kuution ympäille on kiedottu viiden nukn kutt kulkev johdinsilmukk, jok koostuu viidestä suost osst kuvn mukisesti. Johdinsilmukss kulkee vit. Lske kuhunkin johtimen suon osn vikuttv voim. Ann tulokset vektoimuodoss. y 1 x 5 4 z Rtkisu:
Esimekki 7.6: Neliön (sivun pituus ) muotoisen johdinsilmukn yksi sivu on y-kselill. Silmukss kulkee vit kuvn mukisesti. Alueess on + z kselin suuntinen mgneettikenttä, jonk suuuus iippuu y-kselist mittust etäisyydestä j jonk yhtälö on ) Määitä silmukn mgneettinen momentti? b) Määitä silmukkn vikuttv kokonisvoim? c) Määitä mgneettikentän silmukkn iheuttm voimn momentti (= vääntömomentti). Kxk ˆ, missä K on vkio. y Kx x Rtkisu:
Esimekki 7.7: All olevss kuvss on vitsilmukk, jok koostuu kolmest suost osst j puoliympyästä. Suoien osien pituudet ovt, j j puoliympyän kevuussäde. Lyhyet sivut ovt kohtisuoss pitkää sivu vstn. Puoliympyä ei ole kontktiss pitkän sivun knss. Silmukss kulkee vit kuvn mukisesti. Lske -kenttä puoliympyän kevuuskeskipisteessä P. ei kontkti P Rtkisu:
VAKAVA VAROTUS: Kun käytät iot-svtin lki, älä ot johdinlkiot lueen eunst, vn jostkin epämäääisestä pikst: dl Ei, ei j ei! P