Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta 9-9.) y x i y i,00,00,00,80 3,00,0 3,50,50 4,00 3,0 5,00 3,50 x Selittävät polynomit ovat P 0 (x) =, P (x) = x ja P (x) = x. Sijoitetaan selittäjien arvot ohdissa x j matriisin A saraeisiin. Saamme matriisin A =.0.0.0.0 3.0 3.0 3.5 3.5 4.0 4.0 5.0 5.0 = Etsimme nyt mallin ertoimia b 0, b ja b niin, että.0.0.0 3.0 3.0 9.0 3.5.5 4.0 6 5.0 5 P(x j ) = b 0 + b x j + b x j y j, j niin tarasti uin mahdollista. Mallin erroinvetorin b = (b 0 b b ) T pienimmän neliösumman (PNS) estimaatti saadaan aavalla Octavella: o c t a v e :3 > x =[ 3 3. 5 4 5 ] x =.0000.0000 3.0000 3.5000 4.0000 5.0000 b = A y = (A T A) A T y. o c t a v e :4 > y =[. 8.. 5 3. 3. 5 ] y =
.0000.8000.000.5000 3.000 3.5000 o c t a v e :5 > apu = ones ( 6, ) apu = o c t a v e :6 > A=[ apu, x, x. ^ ] A =.0000.0000.0000.0000.0000 4.0000.0000 3.0000 9.0000.0000 3.5000.500.0000 4.0000 6.0000.0000 5.0000 5.0000 o c t a v e :7 > b = b =.474 0.378 0.3377 (A A)^( ) A y Siis approsimoiva plynomi on P(x) =.474 0.378 x + 0.3377 x. Kun polynomin uvaaja piirretään samaan oordinaatistoon lähtö-datan anssa saadaan uva y x
. Miä on seuraavien funtioiden homogeenisuuden aste Tuotantofuntio z(k,l) = L 3/8 K 5/8, b) f (x,y) = x + 3xy, c) g(x,y,z) = x y + xyz (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta 99-00.) z(αk,αl) = (αl) 3/8 (αk) 5/8 = α 3/8 L 3/8 α 5/8 K 5/8 = α z(k,l) asteluu on. b) f (αx,αy) = (αx) + 3(αx)(αy) = α x + 3αxαy = α (x + 3xy) = α f (x,y) asteluu on. c) g(αx,αy,αz) = (αx) αy + (αx)(αy)(αz) = α xα / x / + α / x / α / y / α / z / = α 3/ (x y + xyz) asteluu on 3/. 3. Osoita majoranttiperiaatteella, että seuraava sarja suppenee. (Ohje: Majoranttiperiaate, lause 4.4. sivu 07. 0 a = + < = b ja sarja =0 b suppemee.) Meritään A = a = =0 =0 ( + ) a = +, ja b =. Nyt on selvä, että 0 a < b, un 0. Geometrinen sarja =0 b suppenee, joten se on suppeneva majorantti positiivitermiselle sarjalle a. Majoranttiperiaatteen muaan silloin myös sarja a = =0 =0 ( + ) suppenee. Kommentti: Tehtävässähän ei tarvinnut lasea summaa, vaan ainoastaan tutia suppeneminen. Tämä voi toisinaan olla melo turheuttavaa. Sisi teemme nyt hieman ylimääräistä työtä ja selvitämme summan arvon miljoonasosan taruudella. Lasemme N ensimäistä termiä eriseen ( = 0,,,...,N ) ja arvioimme loppusummaa a eriseen. < ( + ) < N < a < N
Voimme siis arvioida, että A N =0 ( + ) +,5 N, ja virhe on enintään 0,5/ N. Haluttuun taruuteen päästään, jos Excelillä saamme arvion A 0,5 N < 0 7 5000000 < N 3 =0 ln(5000000) < N ln,3 < N ( + ) +,5 =.6449984.64500 3 4. Suppenevato seuraavat sarjat? (Ohje: Suhdetesti, lause 4.4.4 sivu 08.) = ( + ) b) = ( + ) c) = ( + ) suhdetesti ( ) a n+ (n + ) (n + )n lim = lim n a n n (n + )n+ n ( (n + ) ) ( n ) + n + = lim = lim n n(n + ) n n = + 4n < sarja suppenee. b) suhdetesti ( a n+ (n + ) ) (n + )n lim = lim n a n n (n + ) (n+) n ( (n + ) ) ( (n + ) n 3 + 3n ) + 3n + = lim n n = lim (n + ) n n 3 + 4n = < sarja suppenee. c) suhdetesti ( ) a n+ (n + ) (n+) (n + )n lim = lim n a n n (n + )n+ n n = lim (n + ) n (n + ) n } n{{ n } (n + ) = > }{{} > sarja hajaantuu.
Kommentti: Kuten tehtävässä 3 teemme taas hieman ylimääräistä työtä ja selvitämme summan arvon miljoonasosan taruudella. Lasemme N ensimäistä termiä eriseen ( =,,...,N ) ja arvioimme loppusummaa a eriseen. Saamme loppusummalle alaja ylärajan täsmälleen samoin uin tehtävässä 3. < N < a < N ( + ) < Voimme siis arvioida, että A N = ( + ) +,5 N, ja virhe on enintään 0,5/ N. Haluttuun taruuteen päästään, jos 0,5/ N < 0 7 eli N >,3. Excelillä saamme arvion summa 3 = ( + ) +,5 = 0.63705703 0.63706 3 b-ohdan sarja on seleästi haastavampi uin edeltävät. Voimme arvioida loppusummaa seuraavasti 0.5 < 0.5 S N < Määritellään funtio f (x) sarjan avulla f (x) = Funtion f (x) derivaatta on f (x) = x = xn N x = ( + ) < a < S N, S N = ( x/) = N. x N ( x) N NxN ( x) + x N ( x) = xn (N( x) + x) N ( x) S N = f () = N + N Koeilemalla löytyy raja S N < 0 7, jos N 30. Excelillä saamme nyt arvion summa 30 = ( + ) 3 + 0,75 =.386943755.38694 9
5. a-ohdan sarja suppenee. Selvitä ono sarjan summa positiivinen vai negatiivinen. b-ohdan sarja ei suppene. Lase b-sarjan ensimmäisiä osasummia. Voio hajaantumisen perustella Cauchyn yleisen suppenemisriteerin avulla? = ( ) + b) = ( ) + Kirjoitetaan sarjan termejä näyviin, jotta pääsemme aluun = ( ) + = + + + 3 + 3 + 4 + 4 5 + 5 + 6 + 6... = + 3 4 4 9 + 5 6 6 5 + 7 36... Sarja vuorottelee (alternoi) ja termien itseisarvot lähestyvät nollaa monotonisesti. Leibnizin lauseen nojalla sarja suppenee. Osasummien jono suppenee. Tarastellaan parillisten osasummien jonoa (S p ). S p = = = p = p n= p n= ( ) + ( = + + + ) ( + 3 + 3 + 4 + 4 ( n (n ) + n + ) p ( (n + )(n ) (n) = n(n) ) n= (n) (n ) ( 4n ) n + (n) (n ) < 0, aiilla p } {{ } < 0, aiilla n ) ( + 5 + 5 + 6 + 6 ) +... Sarjan summa on siis negatiivinen. b) S = S = S 3 = S 4 = S 5 = S 6 = = = 3 = 4 = 5 = 6 = ( ) + = = 0.5 ( ) + = + 3 = 6 ( ) + = + 3 3 4 = 4 4 ( ) + = + 3 3 4 + 4 5 = 6 0 ( ) + = + 3 3 4 + 4 5 5 6 = 444 70 ( ) + = + 3 3 4 + 4 5 5 6 + 6 7 = 5040 Osasummien jonon graafi on
S Cauchyn suppenemisriteerin muaan osasumman itseisarvo S n+p = a n + a n+ +... + a n+p n saadaan miten pienesi tahansa, unhan n on riittävän iso. Tästä seuraa, että suppenevalle sarjalle lim n a n = 0. Tämä ei ole nyt totta, joten sarja hajaantuu. 6. Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet. Millä x:n arvoilla potenssisarjat supenevat? (! = ( ) ( ) ) =0 (x 5) b) = (x 5)! L = lim c n+ n c n = lim (n + ) n n+ n n = lim n + n + n n = R = L =. Potenssisarja suppenee, un x a < R x 5 < < x 5 < 3 < x < 7 b) L = lim c n+ n c n = lim n+ n (n + )! n! n = lim n n + R =. Potenssisarja suppenee aiilla x:n arvoilla. Vastaus: Suppenemissäde on R =, ja sarja suppenee, un 3 < x < 7. b) Suppenemissäde on R =, ja sarja suppenee aiilla x:n arvoilla.