Option deltan laskeminen diskreetin Malliavin-laskennan avulla

Option deltan laskeminen diskreetin Malliavin-laskennan avulla Timo Puustinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 016

Tiivistelmä: Timo Puustinen, Option deltan laskeminen diskreetin Malliavin-laskennan avulla engl Computation of option delta using discrete Malliavin calculus, matematiikan pro gradu -tutkielma, 4 sivua, Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, syksy 016 Tässä tutkielmassa esitellään tapa laskea diskreetti approksimaatio option deltalle Approksimaatio saadaan diskreetin Malliavin-laskennan avulla ja tätä varten määritellään Malliavin-derivaatta sekä Skorohod-integraali sopivaan diskreettiin todennäköisyysavaruuteen Tavoitteena on laskea eurooppalaisen osto-option ja binäärioption deltat Ensimmäisessä luvussa esitellään oleellisimpia määritelmiä, esimerkkejä ja aputuloksia, joita tarvitaan esitiedoiksi myöhempiä lukuja varten Luvun määritelmiin ja aputuloksiin ei kuitenkaan syvennytä sen enempää Heti toisen luvun alussa määritellään todennäköisyysavaruus diskreettiä satunnaiskävelyä varten Satunnaiskävelyä käytetään diskreetissä optionhinnoittelumallissa Brownin liikkeen vastineena, siis mallinnettaessa option kohde-etuuden hintaa Toisessa luvussa käsitellään myös diskreettiä Malliavin-laskentaa ja määritellään kaksi oleellista käsitettä: Malliavinderivaatta ja diskreetti Skorohod-integraali Malliavin-derivaatan määritelmän yhteydessä esitetään tulokset, joiden nojalla diskreetti Malliavin-derivaatta yhdistyy tietyin oletuksin tavalliseen derivaattaan Vastaava tulos esitetään myös yhdistetyille funktioille Toisen luvun lopussa määritellään Skorohod-integraali ja todistetaan diskreetin Malliavin-laskennan osittaisintegrointikaava Kolmas ja viimeinen luku käsittelee binomipuumallia ja option deltan laskemista diskreetin Malliavin-laskennan avulla Luku rakentuu siten, että ensin määritellään binomipuumalli, jolla mallinnetaan option kohde-etuuden hintaa Sen avulla saadaan diskreetit approksimaatiot Black-Scholes -mallin mukaiselle option hinnalle ja option deltalle Tämän jälkeen option deltalle johdetaan muoto tilanteessa, jossa option tuottofunktio täyttää tietyt oletukset Erityisesti tuottofunktion tulee olla rajoitettu, jatkuva ja derivoituva Edeltäviä oletuksia voidaan kuitenkin lieventää Option tuottofunktiolla voi olla pisteitä, joissa se ei ole derivoituva tai edes jatkuva Viimeisessä ja tärkeimmässä lauseessa lasketaan delta optiolle φ, jolla on äärellinen määrä ongelmapisteitä ja jota voidaan approksimoida kaksi kertaa jatkuvasti derivoituvalla funktiolla kaikkien ongelmapisteiden ympäristöissä Avainsanoja: binomipuumalli, diskreetti Malliavin-laskenta, Malliavin-derivaatta, Skorohod-integraali, diskreetti satunnaiskävely, option delta

Sisältö Johdanto 5 Luku 1 Käsitteitä ja määritelmiä 7 Luku Diskreetti Malliavin-laskenta 11 1 Diskreetti Malliavin-derivaatta 11 Diskreetti Skorohod-integraali 18 Luku 3 Option deltan laskeminen 5 31 Diskreettiaikainen optionhinnoittelumalli 5 3 Option delta 7 33 Eurooppalainen osto-optio ja binäärioptio 37 Liite A 43 11 Binomikertoimet 43 1 Tasainen integroituvuus 43 13 Heikko suppeneminen 43 Lähdeluettelo 45 3

Johdanto Optio on sopimus, joka antaa haltijalleen oikeuden ostaa tai myydä sovitun määrän kohde-etuutta ennalta sovittuun hintaan Eurooppalaisilla optioilla on yksi tietty lunastushetki, mutta on olemassa myös esimerkiksi amerikkalaisia optioita, jotka voidaan lunastaa koska vain option voimassaoloaikana Option kohde-etuus voi olla mitä vain minkä hinta muuttuu ajan kuluessa, esimerkiksi osake tai valuutta Option hinnoittelussa kohde-etuuden hinnan mallintaminen on oleellista Tunnetussa Black-Scholes -mallissa eurooppalaisen option kohde-etuuden hintaa mallinnetaan Brownin liikkeen avulla Mallin kehittivät Robert Mertonin avustuksella Fischer Black ja Myron Scholes, ja se julkaistiin vuonna 1973 Vuonna 1997 työstä myönnettiin Mertonille ja Scholesille Ruotsin keskuspankin taloustieteen palkinto The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred obel Black-Scholes -malli antoi ratkaisun tärkeään käytännön ongelmaan, eurooppalaisen osto-option tasapuolisen hinnan laskemiseen Myöhemmin Black-Scholes -mallia on yleistetty ja sen avulla voidaan hinnoitella myös muunlaisia optioita Käytännön sovelluksia varten Black-Scholes -mallista haluttiin kehittää yksinkertaistettu versio Ensimmäisenä mallin diskreettiä vastinetta kehittivät 1970-luvun lopulla John Cox, Stephen Ross ja Mark Rubinstein sekä Richard Rendleman ja Brit Bartter Syitä mallin diskretisoinnille ovat esimerkiksi se, että kaupankäynti ei oikeasti ole jatkuva-aikaista ja että tietokoneella ei voida laskea jatkuva-aikaisesti Binomipuumalli on Black-Scholes -mallin diskreetti vastine ja siihen liittyvä laskenta on käytännön kannalta yksinkertaisempaa kuin jatkuva-aikainen Binomipuumallilla approksimoidaan Brownin liikettä ja se pohjautuu Donskerin lauseeseen ja sopivasti skaalattuun Bernoulli-satunnaiskävelyyn Malliavin-laskenta on nykyään tärkeä työkalu rahoitusteoriassa ja sitä käytetään laskettaessa option herkkyysparametreja Tässä tutkielmassa ei käsitellä jatkuvaaikaista Malliavin-laskentaa, mutta siitä ja sen sovelluksista löytyy lisätietoa lähteestä 9 Tämä tutkielma pohjautuu monilta osin lähteeseen 8, joka on Yoshifumi Muroin ja Shintaro Sudan kirjoittama artikkeli diskreetistä Malliavin-laskennasta Artikkelissa jatkuvaa Malliavin-laskentaa on pyritty yksinkertaistamaan määrittelemällä sen vastine diskreetille satunnaiskävelylle Diskreettiä Malliavin-laskentaa on käytetty artikkelissa option herkkyysparametrien laskemiseen Tässä tutkielmassa määritellään diskreetti Malliavin-derivaatta ja diskreetti Skorohod-integraali kuten edellämainitussa artikkelissa Myös diskreettiin Malliavin-laskentaan liittyvät lauseet ja osa option deltan laskemista käsittelevästä luvusta pohjautuvat Muroin ja Sudan artikkeliin Tutkielmassa kyseisiä tuloksia on kuitenkin täsmennetty ja yleistetty, ja niiden todistuksiin on lisätty yksityiskohtia Erityisesti deltan laskemisessa esiintyy artikkelissa epätäsmällisyyttä, joten se osa on tehty tässä tutkielmassa eri tavalla 5

6 JOHDATO Option hinta riippuu kohde-etuuden hinnasta Delta määritellään option hintafunktion derivaattana kohde-etuuden hinnan suhteen Tämä määritelmä johtaa option tuottofunktion derivaattaan Eurooppalaisen osto-option tuottofunktiolla ei ole kuitenkaan olemassa derivaattaa lunastushinnassa ja binäärioption tuottofunktio ei ole kyseisessä pisteessä edes jatkuva Tutkielman viimeisenä tuloksena esitellään keino määrittää delta optiolle, jonka tuottofunktiolla on äärellinen määrä vastaavia ongelmapisteitä Eurooppalaisen osto-option ja binäärioption tuottofunktioista löytyy GeoGebralla piirretyt kuvat luvun 3 loppupuolelta

LUKU 1 Käsitteitä ja määritelmiä Tässä luvussa määritellään ja palautetaan mieleen tutkielman kannalta hyödyllisiä käsitteitä Aloitetaan määrittelemällä todennäköisyysavaruus Määritelmä 11 σ-algebra, mitallinen avaruus Olkoon Ω epätyhjä joukko Joukon Ω osajoukkojen kokoelmaa F sanotaan σ-algebraksi, jos se täyttää seuraavat kolme ehtoa: 1, Ω F, Jos A F, niin Ω \ A F, 3 Jos A 1, A, F, niin A i F Paria Ω, F sanotaan mitalliseksi avaruudeksi Määritelmä 1 Potenssijoukko Olkoon Ω epätyhjä joukko Joukon Ω kaikkien osajoukkojen kokoelmaa sanotaan potenssijoukoksi ja merkitään P Ω : {A: A Ω} Määritelmä 13 Todennäköisyysmitta Olkoon Ω, F mitallinen avaruus Kuvaus P: F 0, 1 on todennäköisyysmitta, jos seuraavat ominaisuudet ovat voimassa: 1 P Ω 1, Jos A 1, A, F siten, että A i A j kaikilla i j, niin P A i P A i Kolmikkoa Ω, F, P kutsutaan todennäköisyysavaruudeksi Määritellään seuraavaksi filtraatio, joka kuvaa tietyllä ajanhetkellä käytössä olevaa informaatiota Määritelmä 14 Olkoon Ω, F mitallinen avaruus Filtraatio F i i0 on jono σ-algebroja siten, että F 0 F 1 F Myöhemmin tarvitaan myös ehdollisen odotusarvon käsitettä, joten määritellään se ja esitellään kaksi siihen liittyvää ominaisuutta Määritelmä, ominaisuudet ja todistukset löytyvät esimerkiksi lähteestä 1 sivulta 13 alkaen 7

8 1 KÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ Määritelmä 15 Olkoon Ω, F, P todennäköisyysavaruus ja G F σ-algebra Satunnaismuuttujan f L 1 Ω, F, P ehdollinen odotusarvo σ-algebran G suhteen on G-mitallinen satunnaismuuttuja g L 1 Ω, G, P, jolle B fdp Ehdolliselle odotusarvolle g käytetään merkintää B gdp kaikilla B G g E f G Lemma 16 Olkoot f, g L 1 Ω, F, P ja G F σ-algebroja Tällöin seuraavat kaksi ominaisuutta ovat voimassa i Jos µ, λ R, niin melkein varmasti pätee E λf + µg G λe f G + µe g G ii Jos h: Ω R on G-mitallinen kuvaus ja fh L 1 Ω, F, P, niin melkein varmasti pätee E hf G he f G Todistus Todistus löytyy lähteestä 1 sivulta 15 alkaen Määritelmä 17 Funktioiden luokka C 1,θ Olkoon θ > 0 Derivoituva kuvaus f : R R kuuluu luokkaan C 1,θ, jos on olemassa jatkuva funktio h siten, että f x h x kaikilla x R ja jos kaikille ɛ > 0 on olemassa jatkuva kuvaus R f,ɛ x siten, että kaikilla x, δ R missä f x + δ f x + δf x + R f x, δ, R f x, δ R f,ɛ x δ 1+θ, kun δ < ɛ Määritelmä 18 Funktioiden luokka C 1,1 Kuvaus g C 1,1 kuuluu luokkaan, jos on olemassa C > 0 siten, että kaikilla ɛ > 0 ja kaikilla x R pätee C 1,1 R g,ɛ x C Huomautus 19 Olkoon g C 1,1 Tällöin g x + δ g x δg x C δ Esimerkki 110 1 Olkoon f kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva funktio, jonka toinen derivaatta f on rajoitettu Tällöin kuvaus f kuuluu joukkoon C 1,1 Taylorin lauseen ja määritelmän 18 nojalla Määritellään kuvaus f : R R siten, että { 0, kun x < 0 f x : 1 x, kun x 0

1 KÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ 9 Tällöin kuvaus f on derivoituva ja f on jatkuva, mutta toista derivaattaa f ei ole määritelty pisteessä x 0 Kuvaus f kuuluu kuitenkin joukkoon C 1,1 imittäin jos δ < 0, niin Jos taas δ > 0, saadaan f0 + δ 0 f0 + δf 0 + 0 f0 + δ 1 δ f0 + δf 0 + 1 δ 3 Olkoon fx e x Tällöin f x e x, joten tämän esimerkin kohdan 1 ehto ei täyty Taylorin lauseen nojalla kaikille δ R pätee kuitenkin e x+δ e x + δe x + eξ δ, missä ξ x, x + δ tai ξ x δ, x Siis f C 1,1 Esimerkki 111 1 Olkoon θ > 0 Olkoot lisäksi f, g C 1,θ ja α, β R Tällöin αf + βg C 1,θ, koska αf + βg x + δ α fx + δf x + R f x, δ + β gx + δg x + R g x, δ αf + βg x + δ αf + βg x + αr f x, δ + βr g x, δ yt kaikilla ɛ > 0 on olemassa funktiot R f,ɛ x, R g,ɛ x siten, että αr f x, δ + βr g x, δ αr f,ɛ x + βr g,ɛ x δ 1+θ, kun δ < ɛ Olkoon θ > 0 Jos f, ϕ C 1,θ ja on olemassa vakio C ϕ siten, että kaikilla ɛ > 0 ja x R pätee R ϕ,ɛ x C ϕ, niin ϕ f C 1,θ : Olkoon ɛ > 0 ja x, δ R siten, että δ < ɛ Kirjoitetaan ϕ f x + δ ϕ f x + δf x + R f x, δ ja otetaan käyttöön merkintä ˆδ : δf x + R f x, δ yt edelleen saadaan ϕ f x + ˆδ ϕ f x + ˆδϕ f x + R ϕ f x, ˆδ ϕ f x + δf x ϕ f x + ϕ f x R f x, δ + R ϕ f x, ˆδ ϕ f x + δ ϕ f x + ϕ f x R f x, δ + R ϕ f x, ˆδ yt viimeiselle termille saadaan ϕ f x R f x, δ + R ϕ f ˆδ x, ϕ f x R f,ɛ x δ 1+θ + R ϕ,ˆɛx f x ˆδ 1+θ

10 1 KÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ ϕ f x R f,ɛ x δ 1+θ + C ϕ δ f x + R f,ɛ x δ 1+θ 1+θ ϕ f x R f,ɛ x + C ϕ f x + R f,ɛ x δ θ 1+θ δ 1+θ, missä ˆɛ : ɛ f x + R f,ɛ x ɛ 1+θ

LUKU Diskreetti Malliavin-laskenta Tässä luvussa määritellään Malliavin-derivaatan ja Skorohod-integraalin diskreetit versiot ja todistetaan niihin liittyviä tärkeitä tuloksia Lähteessä 9 on esitelty vastaavia tuloksia jatkuvalle Malliavin-laskennalle Luvun päätulos on osittaisintegrointikaava, jota käytetään laskettaessa option deltaa luvussa 3 Tutkielmassa käytetään binomipuumallia, joten määritellään aluksi sopiva todennäköisyysavaruus Määritelmä 1 Olkoot ja T > 0 Olkoon lisäksi 0 < p < 1 Otetaan selvyyden vuoksi käyttöön merkintä : T Määritellään todennäköisyysavaruus D,T, F, µ p siten, että D,T : { { e ɛ 1,, ɛ, ɛ i, }}, F : P D,T ja { µ p {e } : p k 1 p k, missä k # i : ɛ i } Huomautus Tässä tutkielmassa käytetään avaruutta D,T, F, µ : D,T, F, µ 1 Määritelmä 3 Määritellään avaruuteen asettamalla D,T, F, µ p filtraatio F i i0 F 0 : {, D,T } ja F i : σ ɛ 1,, ɛ i 1 Diskreetti Malliavin-derivaatta Määritelmä 4 Olkoot W j : D,T R satunnaismuuttujia, joille W j e : j ɛ i Stokastista prosessia W j j1 kutsutaan diskreetiksi satunnaiskävelyksi 11

1 DISKREETTI MALLIAVI-LASKETA Edellä olevat määritelmät antavat diskreetin vastineen Brownin liikkeelle, jonka avulla mallinnetaan option kohde-etuuden hintaa jatkuva-aikaisessa Black-Scholesmallissa Perusjoukon alkioiden e skaalaus perustuu Donskerin lauseeseen Donskerin lauseesta löytyy lisätietoa esimerkiksi lähteestä 3 luvusta Tulos on lähteessä lause 40 Määritelmä 5 Myöhemmin käytetään jonoja e, joissa alkio ɛ i on kiinnitetty Otetaan näille jonoille käyttöön merkinnät missä i {1,, } Merkitään vastaavasti missä i, j {1,, } e i+ : ɛ 1,, ɛ i 1,, ɛ i+1,, ɛ ja e i : ɛ 1,, ɛ i 1,, ɛ i+1,, ɛ, W i+ j : W j e i+ W i j : W j e i, Määritellään seuraavaksi diskreetti Malliavin-derivaatta, jota hyödynnetään luvussa 3 option deltaa laskettaessa Määritelmä 6 Satunnaismuuttujan F : D,T prosessi D i F, missä D i F e : F e i+ F e i R Malliavin-derivaatta on Lause 7 Olkoot θ > 0, prosessi W j j1 diskreetti satunnaiskävely ja f kuvaus luokasta C 1,θ Tällöin on olemassa jatkuva kuvaus Rf D siten, että kaikilla i, k {1,, } pätee missä D k f W i f W i + R i,k 1 k i, R i,k R D f W i θ Todistus Suoraan diskreetin Malliavin-derivaatan määritelmästä saadaan D k f W i f W k+ i f W k i Tapaus k > i on selvä, koska tällöin W k+ i W k i W i

1 DISKREETTI MALLIAVI-DERIVAATTA 13 ja siten D k f W i 0 Tarkastellaan seuraavaksi tapausta, jossa k i ja ɛ k Tällöin ja f W k+ i f Wi f W k i f W i Olkoon ξ : T yt koska f C 1,θ, määritelmän 17 nojalla on olemassa jatkuva kuvaus R f,ξ siten, että f W i f W i f W i + R f W i, ja R f W i, Rf,ξ W i 1+θ Tällöin satunnaismuuttujan f W i Malliavin-derivaatalle D k f W i k1 pätee ja f W i f W i f W i + R f W i, D k f W i f W i R f W i, R f W i, f W i Viimeinen tapaus, k i ja ɛ k, saadaan vastaavasti Tällöin nimittäin f W k+ i f W i + f W k i f Wi Jälleen määritelmän 17 nojalla kuvauksella R f,ξ pätee f W i + f W i + f W i + R f W i, ja R f W i, Rf,ξ W i 1+θ

14 DISKREETTI MALLIAVI-LASKETA Tässä tapauksessa satunnaismuuttujan f W i Malliavin-derivaatalle pätee D k f W i k1 f W i + f W i + R f W i, f W i D k f W i f W i + R f W i, R f W i, f W i + Tällöin siis D k f W i f W i + R i,k, missä yt erityisesti R i,k : R f W i, ɛ k ɛ k 1+θ R f,ξ W i R i,k R f,ξ W i θ yt voidaan määritellä jatkuva kuvaus Rf D : R R, jolloin Rf D x : R f,ξ x, R i,k R D f W i θ Lause 8 Olkoot θ > 0 ja f, g funktioita luokasta C 1,θ Oletetaan lisäksi, että on olemassa C g > 0, jolle R g,ɛ x C g kaikilla ɛ > 0 ja kaikilla x R Tällöin on olemassa jatkuva kuvaus R g f siten, että satunnaismuuttujan g f W i Malliavinderivaatalle pätee D k g f W i g f W i D k f W i + R i,k 1 k i, missä R i,k Rg f W i θ

1 DISKREETTI MALLIAVI-DERIVAATTA 15 Todistus Tapauksessa k > i väite pätee selvästi koska, W k+ i W k i W i Kun k i ja ɛ k, lauseen 7 todistusta jäljitellen saadaan funktiolle g f ja g f W k+ i g f Wi g f W k i g f W i g f W i f W i + R f W i, yt, koska myös g C 1,θ, voidaan edelleen kirjoittaa g f W k i g f W i f W i + R f W i, g f W i + f W i + R f W i, g f W i + R g f W i, f W i + R f W i, g f W i f W i g f W i + R f W i, g f W i + R g f W i, f W i + R f W i, Tällöin satunnaismuuttujan g f W i Malliavin-derivaataksi saadaan D k g f W i g f W k+ i g f W k i g f W i g f W i f W i g f W i R f W i, g f W i R g f W i, f W i + R f W i, f W i g f W i R f W i, g f W i R g f W i, f W i + R f W i,

16 DISKREETTI MALLIAVI-LASKETA Lauseen 7 nojalla funktiolle f pätee mistä saadaan edelleen muoto D k f W i f W i f W i D k f W i + R f W i,, R f W i, Sijoittamalla tämä satunnaismuuttujan g f W i Malliavin-derivaatan yhtälöön saadaan D k g f W i g f W i D k f W i R g f W i, f W i + R f W i, Täysin vastaavalla päättelyllä voidaan laskea satunnaismuuttujan g f W i Malliavin derivaatta, kun k i ja ɛ k Tällöin arvoksi saadaan missä D k g f W i g f W i D k f W i R g f W i, f W i + R f W i, + yt voidaan yhdistää edelliset päätelmät, jolloin kaikilla k i pätee D k g f W i g f W i D k f W i + R i,k, R i,k : R g f W i, ɛ k f W i + R f W i, ɛ k ɛ k Jäännös R i,k on haluttua muotoa, koska R g,ˆξwi R f W i ɛ k f W i + R f W i, ɛ k 1+θ i,k C g f W i + R f,ξ W i 1+θ 1+θ C g f W i + R f,ξ W i θ 1+θ θ, missä ξ : T ja ˆξ W i : T f W i + R f,ξ W i T 1+θ Edellä kuvaus R f,ξ on jatkuva Lisäksi on olemassa jatkuva kuvaus h siten, että f x h x kaikille

x R Siis kun määritellään 1 DISKREETTI MALLIAVI-DERIVAATTA 17 R g f x : C g h x + alkuperäinen väite on saatu todistettua R f, T x θ 1+θ Seuraavaa esimerkkiä hyödynnetään myöhemmin esimerkissä 14, jota taas käytetään myöhemmin laskettaessa option deltaa Esimerkki 9 Olkoot s > 0 ja µ, σ R Olkoot lisäksi fx se µt e σx ja g C 1,1 Esimerkin 110 kohdan 3 nojalla f C 1,1 Koska funktion f derivaatta f x sσe µt e σx on jatkuva ja myös g C 1,1, lauseen 8 todistuksen nojalla saadaan missä D k g f W i g f W i D k f W i + R i,k 1 k i, C ɛ k f W i + R f W i, ɛ k R i,k Koska funktion f toinen derivaatta on f x sσ e µt e σx, jäännökselle R f W i, ɛ k pätee esimerkin 110 kohdan 3 nojalla R f W i, ɛ k s σ e µt e σw i+ Tätä arviota käyttäen voidaan edelleen kirjoittaa sσ e µt +σ e σw i C ɛ k f W i + R f W i, ɛ k R i,k C f W i + R f W i, ɛ k C f W i, + C f W i R f W i, ɛ k + C R f W i, ɛ k C s σ e µt e σw i C + + C s σ e µt e i σw s σ e µt +σ e σw i s σ e µt +σ e σw i C s σ e µt e σw i

18 DISKREETTI MALLIAVI-LASKETA + 4C s σ 3 e µt +σ e σw i + C s σ e µt +σ e σw i 3 yt voidaan selkeyden vuoksi määritellä α : C s σ e µt, β : 4C s σ 3 e µt +σ ja jolloin γ : C s σ e µt +σ, R i,k α e σw i + β e σw i + γ e σw i 3 Erityisesti α < ja yllä määritellyt jonot β 1, γ 1 suppenevat: β 4C s σ 3 e µt, kun ja γ C s σ e µt kun Koska jonot β 1, γ 1 suppenevat, niille on olemassa myös ylärajat β ja γ Diskreetti Skorohod-integraali Määritellään seuraavaksi Skorohod-integraali Se on keskeinen käsite diskreetissä Malliavin-laskennassa ja sitä käytetään luvussa 3 laskettaessa option deltaa Määritelmä 10 Olkoot F i : D,T R satunnaismuuttujia, missä i {1,, } Prosessin F i Skorohod-integraali on δ F : F i e ɛ i D i F i e Malliavin-derivaatalla ja Skorohod-integraalilla on seuraavan lauseen mukainen yhteys, joka vastaa osittaisintegrointikaavaa Lauseen todistuksessa käytetään ehdollista odotusarvoa Tarvittavat ominaisuudet on esitelty lemmana 16 Lausetta käytetään todistettaessa tämän luvun päätulosta, lausetta 1 Lause 11 Olkoon F : D,T R satunnaismuuttuja ja U i stokastinen prosessi, missä U i : D,T R kaikilla i Tällöin E D i F U i e E F δ U

DISKREETTI SKOROHOD-ITEGRAALI 19 Todistus Aloitetaan väitteen vasemmasta puolesta Se voidaan kirjoittaa odotusarvon lineaarisuuden ja Malliavin-derivaatan määritelmän nojalla muotoon 1 E D i F U i e E F e i+ F e i Määritellään nyt jokaiselle 1 k uusi σ-algebra F k siten, että U i e F k : σ ɛ 1,, ɛ k 1, ɛ k+1,, ɛ Avaruus D,T, F, µ on diskreetti ja äärellinen, joten satunnaismuuttujan U i ehdollinen odotusarvo σ-algebran F i suhteen on E U i e F i U i e i+ + Ui e i Jatketaan tarkastelemalla yhtälön 1 oikealla puolella olevaa odotusarvoa Seuraavissa yhtälöissä käytetään lemman 16 kohtia i ja ii, sekä yhtälöä Edellämainitulle odotusarvolle pätee E F e i+ E ii E E E F e i F e i+ F e i+ F e i+ F e i+ U i e F e i F e i F e i U i e F i E U i e F i Ui e i+ + Ui e i Ui e i Ui e i+ E 4 + F e i+ 4 F e i Ui e i+ 4 F e i Ui e i 4 1 F e i+ Ui e i+ E + F e i F e i+ 4 Ui e i+ Ui e i+ F e i 4 Ui e i Ui e i + F e i+ 4 Ui e i + F e i 4 yt edelleen yhtälön ja lemman 16 kohtien i ja ii nojalla saadaan

0 DISKREETTI MALLIAVI-LASKETA E 1 F e i+ Ui e i+ + F e i + F e i+ Ui e i 4 F e i 4 F e U i e F i E E ɛ i Ui e i Ui e i+ + F e i 4 Ui e i Ui e i+ F e i+ 4 Ui e i 1 F e i+ + F e i U i e i+ F e U i e E E ɛ i F i E F e F i Di U i e ii F e U i e E E ɛ i F i E F e D i U i e F i i F e U i e E E F e D i U i e ɛ i F i F e U i e E F e D i U i e ɛ i Sijoittamalla edellä saatu tulos alkuperäisen väitteen vasempaan puoleen saadaan E D i F U i e E E a E F e U i e E F e D i U i e ɛ i F e F e F e Ui e D i U i e ɛ i Ui e D i U i e ɛ i U i e ɛ i D i U i e E F δ U Edellä yhtälö a seuraa siitä, että ɛ i kaikilla i Todistetaan seuraavaksi luvun tärkein lause, joka antaa keinon yhdistää diskreetin Malliavin-laskennan ja option deltan määritelmän luvussa 3

DISKREETTI SKOROHOD-ITEGRAALI 1 Lause 1 Olkoot θ > 0 sekä f ja g funktioita luokasta C 1,θ Olkoot lisäksi Y : D,T R satunnaismuuttuja ja H i stokastinen prosessi siten, että Merkitään H j e D j fw 0 kaikilla e D,T j1 U i e : Y H i e j1 H j e D j f W Tällöin on olemassa jatkuva kuvaus R g f siten, että E g f W Y E g f W δ U E R,i U i e ja termille R,i pätee Todistus Aloitetaan kirjoittamalla E gfw δ U i E D i gfw U i e ii E R,i R g f W θ g fw D i fw + R,i U i e E g fw D i fw U i e + R,i U i e E g Y H i e fw D i fw j1 H je D j fw + R,i U i e E g fw Y D ifw H i e j1 H je D j fw + R,i U i e E g fw Y + E R,i U i e

DISKREETTI MALLIAVI-LASKETA Kohta i seuraa lauseesta 11 ja kohta ii seuraa lauseesta 8 Lauseen 8 nojalla pätee lisäksi missä R g f on jatkuva kuvaus R,i R g f W θ, Seuraava huomautus ja sitä seuraava esimerkki ovat valmistelua lukua 3 varten Siellä niitä käytetään jäännöstermin arvioinnissa laskettaessa option deltaa Huomautus 13 Oletetaan, että on olemassa vakiot C, η > 0 siten, että edellisen lauseen 1 prosessille U i pätee kaikilla i yt edelleen, kun < η, saadaan U i C, kun < η E R,i U i e E R,i U i e E R g f W θ C E R g f W CT θ Esimerkki 14 Olkoot s > 0 ja µ, σ R sekä fx se µt e σx ja g C 1,1 Arvioidaan lauseessa 1 esiintyvää jäännöstermiä R,i Esimerkkiä 9 soveltamalla saadaan arvio R,i α e σw + β e σw + γ e σw 3 α + β + γ e σw Määritellään nyt jolloin saadaan edelleen R g f x : α + β + γ e σx, E R g f W α + β + γ E e σw Olkoon a R yt satunnaismuuttujat ɛ i ovat riippumattomia, joten pätee E e aw E e aɛ i E e aɛ i

Taylorin lauseen nojalla Vastaavasti Tällöin Koska niin DISKREETTI SKOROHOD-ITEGRAALI 3 e a 1 + a + eξ 1 e a 1 a + eξ 1 e a + e a e a + e a a, missä ξ 1 a, missä ξ E e aw 1 + a + e ξ 1 a + 1 a + eξ + a e ξ 1 + e ξ 1 1 + 1 + 1 + a T ea a T ea a T ea T e x lim 1 + x n, n n lim sup E e aw a e T ea T < yt jos prosessi U i on kuten huomautuksessa 13, niin lim sup lim sup E R,i U i e E R g f W CT E R g f W CT lim sup CT lim sup E R g f W lim sup 0, a a, 0 a

4 DISKREETTI MALLIAVI-LASKETA CT lim sup CT α lim sup CT α e σ T e σ T 0 α + β + γ E e σw lim sup E e σw lim sup lim sup

LUKU 3 Option deltan laskeminen 31 Diskreettiaikainen optionhinnoittelumalli Aloitetaan tämä luku rakentamalla binomipuumalli, jossa on aika-askelta Binomipuumalleja hyödyntäviä diskreettejä optionhinnoittelumalleja ovat kehittäneet ensimmäiseksi Cox, Ross ja Rubinstein sekä Rendleman ja Bartter Tarkastellaan eurooppalaisia optioita, joiden maturiteettihetki on T ja tuottofunktio on φ Oletetaan, että on olemassa riskitön korko r Olkoon S i option kohde-etuuden hinta hetkellä i, missä i {0,, 1} Olkoon p 0, 1 ja u > e r > d > 0 Kohde-etuuden hinta hetkellä i + 1 on us i todennäköisyydellä p ds i todennäköisyydellä 1 p Olkoon σ > 0 Tarkastellaan tilannetta, jossa u : e r 1 σ +σ, d : e r 1 σ σ ja p : 1 Tässä parametrit on valittu lähteestä 5 löytyvän RB-mallin mukaan Jatkossa käytetään aina kyseistä RB-mallia Oletetaan, että kohde-etuuden hinta liikkuu hetkeen n mennessä ylöspäin j kertaa ja alaspäin n j kertaa Kun merkitään S 0 : s, saadaan kohde-etuuden hinnaksi hetkellä n S n su j d n j 31 se jr 1 σ +σ e n jr 1 σ σ se nr 1 σ e σj n Olkoon ɛ 1,, ɛ n jono satunnaismuuttujia, joille pätee ɛ i {, jos kohde-etuuden hinta nousee hetkellä i, jos kohde-etuuden hinta laskee hetkellä i Käytetään luvusta tuttua satunnaiskävelyn merkintää W n n ɛ i Edellä tarkastellussa tilanteessa kohde-etuuden hinta nousi j kertaa ja laski n j kertaa, joten 5

6 3 OPTIO DELTA LASKEMIE W n j n j j n äiden merkintöjen ja yhtälön 31 avulla saadaan seuraava määritelmä Määritelmä 31 Option kohde-etuuden hinta hetkellä n, n {1,, } on S n : se nr 1 σ e σw n Määritelmä 3 Option hinta riippuu ajanhetkestä n, n {0,, }, ja kohde-etuuden hinnasta x > 0 kyseisellä ajanhetkellä Olkoon i {0,, 1} Määritellään option hintafunktio 3 33 Cx, : φx, Cx, i : 1 Cux, i + 1 + Cdx, i + 1 e r Edellisen määritelmän kohta 3 perustuu ajatukseen, että option hinta ja tuotto ovat tasapainossa lunastushetkellä, jolloin ei ole riskittömän voiton mahdollisuutta Kohta 33 taas pohjautuu siihen, että optio hinnoittautuu kullakin ajan hetkellä vastaamaan tulevan hetken odotettua hintaa riskitön korko huomioituna Option alkuperäinen hinta voidaan laskea ehtojen 3 ja 33 avulla käänteisellä induktioalgoritmilla Seuraava lause on tärkeä tulos ja sitä hyödynnetään käytännössä laskettaessa option hintaa Lause 33 Olkoot φ: R R funktio ja Cs : CS 0, 0 option hinta hetkellä 0 Hinnalle Cs pätee Cs e r j0 j Ee rt φs 1 φsu j d j Todistus Tässä todistuksessa käytetään määritelmän 3 avulla rakennettua käänteistä induktioalgoritmia Olkoon x R Osoitetaan, että kaikilla i {0,, } pätee 34 C x, i e ir i i k0 i φ u k d i k x k Ehdon 3 nojalla väite 34 pätee, kun i 0 Oletetaan nyt, että väite pätee jollain luvulla i {0,, 1}, ja osoitetaan, että se pätee myös luvulle i + 1 C x, i + 1 33 1 C ux, i + C dx, i e r

indol Lemma A1 1 e ir i + e ir i e i+1r i+1 k0 e i+1r i+1 i+1 k1 e i+1r + i+1 i k0 i k 3 OPTIO DELTA 7 i i φ u k d i k ux k k0 i i φ u k d i k dx e r k k0 i i φ u k+1 d i k x + φ u k d i+1 k x k i φ u k d i+1 k x i + k 1 k0 i i φ u k d i+1 k x + φ u i+1 x k 1 k1 φ u k d i+1 k x i e i+1r i φ u k d i+1 k x + i+1 k 1 k1 +φ u i+1 x + φ d i+1 x e i+1r i+1 k1 e i+1r i+1 i+1 k0 i k1 i φ u k d i+1 k x k i φ u k d i+1 k x k i i + 1 φ u k d i+1 k x + φ u i+1 x + φ d i+1 x k i + 1 k φ u k d i+1 k x yt siis väite 34 pätee kaikilla i {0,, } ja siten valitsemalla i saadaan tästä suoraan lauseen varsinainen väite: C s e r k0 φ u k d k s k Ee rt φs 3 Option delta Aiemmin esiteltyjä tuloksia voidaan soveltaa laskiessa option herkkyysparametria delta Option delta kertoo kuinka herkästi option hinta reagoi kohde-etuuden hinnan muutoksiin Seuraavaksi lasketaan eurooppalaisen option delta aiemmin määritellyssä binomipuumallissa Oletetaan, että option tuotto-funktio φ on derivoituva ja sen derivaatta φ on jatkuva Delta on option alkuperäisen hinnan määrävän funktion C ensimmäinen derivaatta kohde-etuuden hinnan s suhteen Siis

8 3 OPTIO DELTA LASKEMIE : C s d e ds E rt φ se r 1 σ e σw e rt E φ se r 1 σ T e σw e r 1 σ T e σw e rt E φ S e r 1 σ T e σw Otetaan vielä käyttöön merkintä µ : r 1 σ, jolloin diskreetti option delta voidaan kirjoittaa muodossa e rt E φ S e µt e σw Jatkossa tutkitaan jonon W käyttäytymistä, kun Tätä varten tarvitaan heikon suppenemisen käsitettä, joka on liitteessä määritelmä A4 Tähän liittyy vahvasti keskeinen raja-arvolause, joka on liitteessä tulos A6 Keskeisen rajaarvolauseen nojalla Tällöin W T g 0, 1, kun W g 0, T, kun Luvun 3 lopullinen tavoite on osoittaa, että eurooppalaiselle osto-optiolle ja binäärioptiolle pätee 35 lim e rt st σ E φse µt e σg g, missä yhtälön oikea puoli on lähteessä 9 luvussa 61 laskettu Black-Scholes -malliin perustuva option delta Seuraavassa lauseessa option diskreetti delta kirjoitetaan hieman erilaiseen muotoon, jonka myötä päästään hyödyntämään Malliavin-laskentaa Lause 34 Olkoot fx se µt e σx ja φ C 1,1 Tällöin e rt e µt e σw E φ S δ j1 D + Q, j S missä Q n n1 on jono reaalilukuja ja lim Q 0

3 OPTIO DELTA 9 Todistus Huomataan aluksi, että fw S Esimerkin 110 kohdan 3 nojalla f C 1,1 Kun H i on stokastinen prosessi, jolla H j e D j fw 0 kaikilla e D,T, j1 lausetta 1 soveltamalla saadaan missä e rt E φ S e µt e σw e rt E φ S δ E R,i e µt e σw H j1 H je D j S e µt e σw H i e j1 H je D j S, R,i R φ f W ja kuvaus R φ f on jatkuva Valitsemalla H i 1 kaikilla i, saadaan e rt E φ S e µt e σw e rt E φ S δ E R,i Huomataan, että e σw saadaan e µt e σw j1 D j S e µt e σw j1 D js j1 eσɛ j, joten Malliavin-derivaatan määritelmästä D i se µt e σw se µt e σɛ e σ e σ j j i se µt e σw e σ e σ e σɛ i Tällöin käyttämällä lauseen 1 merkintää U i e, kaikille i {1,, } pätee U i e e µt e σw j1 D js 1 s eσ e σ j1 e σɛ j

30 3 OPTIO DELTA LASKEMIE 1 1 s e σ e σ j1 e σɛ j 1 st e σ e σ e σ 1 1 st e σ e σ e σ Eksponenttifunktion Taylorin kehitelmän avulla nähdään, että e σ e σ 1 σ, kun 0 Lisäksi tiedetään, että 1 e σ 1, kun 0 Edelliset päätelmät yhdistämällä saadaan 1 1 st e σ e σ e 1 σ st σ, kun 0 äin ollen U i täyttää huomautuksen 13 ehdon kaikilla i ja esimerkin 14 nojalla missä ja siten lim sup E R,i e µt e σw j1 D js 0 e rt E φ S e µt e σw e rt e µt e σw E φ S δ j1 D j S lim Q 0 + Q, Option diskreetti delta saadaan siis esitettyä Malliavin-derivaatan ja Skorohodintegraalin avulla Seuraava tavoite on osoittaa, että rajoitetulle funktiolle φ pätee e µt e σw e rt E φ S δ j1 D j S st σ E φ S W 0 e rt Tämä tulos muotoillaan lauseeksi 37 ja sen todistuksessa tarvitaan aputuloksia, jotka todistetaan seuraavaksi

3 OPTIO DELTA 31 Lemma 35 On olemassa jonot γ 1 ja η 1 positiivisia reaalilukuja siten, että lim γ 0, lim η 0 ja δ e µt e σw j1 D 1 j S st σ W 1 σ st σ e σ e σ 1 W + j1 e σɛ j γ W + η Todistus Kirjoitetaan aluksi e µt e σw δ j1 D δ j S 1 st δ yt siis väitteen vasen puoli saadaan muotoon e µt e σw j1 D j se µt e σw T e σw j1 D j e σw 1 se σ 1 st δ e σw j1 eσw e σ e σ e σɛ j 1 st δ e σ e σ j1 e σɛ j 1 σ δ st σ e σ e σ j1 e σɛ j 1 σ δ st σ e σ e σ 1 j1 e σɛ j st σ W 1 σ δ st σ e σ e σ W j1 e σɛ j Skorohod-integraalin määritelmän nojalla saadaan δ j1 e σɛ j ɛ i D i j1 e σɛ j W D i j1 e σɛ j j1 e σɛ j j1 e σɛ j

3 3 OPTIO DELTA LASKEMIE i W eσ e σ j1 e σɛ j T j1 e σɛ j j i e σɛ j + e σɛ i Edellä viimeinen yhtälö i saadaan seuraavasti: D i j1 e σɛ j 1 D i T j1 e σɛ j T 1 j i e σɛ j + e σ 1 j i e σɛ j + e σ T j i e σɛ j + e σ j i e σɛ j e σ j i e σɛ j + e σ j i e σɛ j + e σ T e σ e σ j i e σɛ j + e σ j i e σɛ j + e σ T Edellä tehtyjen laskujen nojalla saadaan arvio e σ e σ j1 e σɛ j j i e σɛ j + e σɛ i 1 σ st σ e σ e δ σ W j1 e σɛ j 1 σ st σ e σ e σ W j1 e σɛ j σ e σ e σ e σ e σ T W j1 e σɛ j j i e σɛ j + e σɛ i 1 σ st σ e σ e σ W j1 e σɛ j T σ W j1 e σɛ j j i e σɛ j + e σɛ i i 1 σ st σ e σ e σ 1 W j1 e σɛ j + 1 1 s j1 e σɛ j j i e σɛ j + e σɛ i ii 1 σ st σ e σ e σ 1 W j1 e σɛ j

3 OPTIO DELTA 33 + 1 1 s e σ e σ 1 σ st σ e σ e σ 1 W + 1 j1 e σɛ j s e σ 1 σ st σ e σ e σ 1 W + 1 j1 e σɛ j se σ Edellä epäyhtälö i saadaan termejä siirtämällä ja kolmioepäyhtälöä käyttämällä Epäyhtälössä ii käytetään arviota yt voidaan määritellä η : 1 j1 e σɛ j 1 se σ 1 e σ 0, kun Eksponenttifunktion Taylorin kehitelmän avulla nähdään, että σ α : 1, kun e σ e σ Koska eksponenttifunktio on aidosti kasvava ja ɛ i, saadaan ja edelleen e σ e σɛ i e σ e σ yt edellisissä epäyhtälöissä pätee e σɛ i e σ joten myös 1 e 1 ja 1 σ e σ 1, kun, β : e σɛ i 1 yt voidaan kirjoittaa α β 1 α β α + α 1

34 3 OPTIO DELTA LASKEMIE Tällöin siis α β 1 + α 1 sup α β 1 + α 1 1 + sup α β 1 + α 1 0 σ e σ e σ 1 j1 e σɛ j yt tiedetään, että on olemassa jono γ 1 positiivisia reaalilukuja, joille 1 st σ α β 1 γ ja lim γ 0 Lisäksi tiedetään, että lim η 0 Tästä seuraa väite δ e µt e σw j1 D 1 j S st σ W γ W + η Lauseen 37 todistamiseksi tarvitaan vielä arvio odotusarvolle E W Lasketaan se seuraavaksi Lause 36 Olkoon W 0 diskreetti satunnaiskävely Tällöin kaikilla E W E W 1 T 1 Todistus Hölderin epäyhtälöstä saadaan yt E W E W 1 E W E ɛ k k1 E ɛ k ɛ l E k1 k1 ɛ k ɛ l l1 l1 E ɛ k + E ɛ k ɛ l k1 k l T

3 OPTIO DELTA 35 yt ollaan saatu todistettua tarvittavat aputulokset ja voidaan todistaa tavoitteena ollut lause Lause 37 Olkoon φ rajoitettu funktio Tällöin lim e µt e σw e rt E φ S δ j1 D j S Todistus Lemmasta 35 saadaan arvio st σ E φ S W 0 e rt δ e µt e σw j1 D 1 j S st σ W γ W + η, missä γ 0 ja η 0 Oletuksen mukaan kuvaus φ on rajoitettu, joten on olemassa M < siten, että φx M kaikilla x R yt voidaan kirjoittaa e µt e σw e rt E φ S δ j1 D e rt j S st σ E φ S W e µt e σw e rt E φ S δ j1 D 1 j S st σ W e rt E φ S δ e µt e σw j1 D 1 j S st σ W e rt E φ S γ W + η e rt E M γ W + η e rt M γ T 1 + η 0 Edellä viimeinen epäyhtälö seuraa lauseesta 36 Seuraava tavoite on osoittaa, että yhtälö 35 pätee, kun kuvaus φ täyttää lauseen 34 oletukset ja on lisäksi rajoitettu Tätä tulosta varten tarvitaan seuraava lause Lause 38 Jatkuvalle ja rajoitetulle funktiolle φ pätee missä g 0, T Todistus Ehto lim E φ S W E φse µt e σg g, E W T takaa, että perhe W 1 on tasaisesti integroituva Tasaisen integroituvuuden määritelmä ja tarvittava tulos löytyvät liitteestä A Olkoon c > 0 Määritellään funktio T c : R c, c seuraavasti:

36 3 OPTIO DELTA LASKEMIE yt voidaan kirjoittaa c, kun x > c T c x x, kun x c, c c, kun x < c E φse µt e σw W E φse µt e σg g E φse µt e σw T c W + E φse µt e σw W T c W E φse µt e σg g E φse µt e σw T c W E φse µt e σg g + E φse µt e σw W T c W Koska φx M kaikilla x R, jälkimmäiselle termille pätee E φse µt e σw W T c W ME W T c W Vastaavasti ensimmäiselle termille pätee M sup E W 1 { W >c} 1 E φse µt e σw T c W E φse µt e σg g E φse µt e σw T c W E φse µt e σg T c g + E φse µt e σg T c g E φse µt e σg g E φse µt e σw T c W E φse µt e σg T c g + E φse µt e σg T c g E φse µt e σg g E φse µt e σw T c W E φse µt e σg T c g + ME g1{g>c} Yhdistämällä edelliset päätelmät saadaan epäyhtälö E φse µt e σw W E φse µt e σg g E φse µt e σw T c W E φse µt e σg T c g + ME g1 {g>c} + M sup E W 1 { W >c} 1 Keskeisen raja-arvolauseen nojalla tiedetään, että W g, missä g 0, T Lisäksi kuvaukset φ ja T c ovat jatkuvia ja rajoitettuja, joten E φse µt e σw T c W E φse µt e σg T c g 0 Perhe W 1 on tasaisesti integroituva, joten

33 EUROOPPALAIE OSTO-OPTIO JA BIÄÄRIOPTIO 37 Lisäksi Tällöin siis lim sup E W c 1 { W >c} 0 1 ME g1{g>c} 0, kun c lim E φ S W E φse µt e σg g Seuraus 39 Jatkuvalle ja rajoitetulle funktiolle φ pätee lim E e rt e µt e σw φ S δ j1 D j S Todistus Lauseista 37 ja 38 saadaan e rt st σ E φse µt e σg g E e rt e µt e σw φ S δ j1 D e rt j S st σ E φse µt e σg g E e rt e µt e σw φ S δ j1 D e rt j S st σ E φ S W + e rt st σ E φ S W e rt st σ E φse µt e σg g 0 yt seurauksesta 39 ja lauseesta 34 saadaan tulos, jonka mukaan diskreetti delta suppenee Black-Scholes -mallin mukaiseen deltaan, kun option tuottofunktio φ täyttää lauseen 34 oletukset ja on lisäksi rajoitettu Seuraus 310 Olkoot fx se µt e σx ja φ C 1,1 rajoitettu kuvaus Tällöin S f W ja option φ S diskreetille deltalle pätee lim lim e rt E φ S e r 1 σ T e σw e rt st σ E φse µt e σg g 33 Eurooppalainen osto-optio ja binäärioptio Aiemmin option tuottofunktion on oletettu olevan derivoituva ja rajoitettu Esimerkiksi eurooppalaisen osto-option tuottofunktio ja binäärioption tuottofunktio eivät täytä näitä oletuksia Määritelmä 311 C -approksimaatio Olkoot L ja φ: R 0, mitallinen kuvaus Olkoot lisäksi 0 < K 1 < K < < K L < M < Määritellään kaikille η > 0 L I η i : K i η, K i + η ja I η : I η i

38 3 OPTIO DELTA LASKEMIE Sanotaan että kuvaukselle φ on olemassa yksinkertainen C -approksimaatio, jos seuraavat ehdot pätevät: 0 φx M kaikilla x R ja kuvaus φ on vakio väleillä, 0 ja M, Kaikille η 0, K 1, joilla I η i I η j kun i j, on olemassa kuvaus φ η C R, jolle pätee 0 φ η x M kaikilla x R ja φ η x φx kaikilla x I η Tarkastellaan tässä luvussa eurooppalaisia osto-optiota, jotka ovat muotoa 0, kun x < K φx x K, kun K x < K + C C, kun K + C < x Kaikilla η > 0 eurooppalaiselle osto-optiolle on olemassa yksinkertainen C -approksimaatio väleillä K η, K + η ja K + C η, K + C + η, missä 0 < η < C Kuva 31 Eurooppalainen osto-optio Kuva 3 Binäärioptio Binäärioption tapauksessa tuottofunktio on φx 1 {x>k} Funktio on rajoitettu ja sille on olemassa yksinkertainen C -approksimaatio välillä K η, K + η Seuraava lause on yleisempi versio seurauksesta 39 ja sen avulla

33 EUROOPPALAIE OSTO-OPTIO JA BIÄÄRIOPTIO 39 voidaan laskea delta esimerkiksi edellä mainituille eurooppalaiselle osto-optiolle ja binäärioptiolle Lause 31 Olkoon φ: R 0, mitallinen kuvaus, jolle on olemassa yksinkertainen C -approksimaatio Tällöin lim E e rt e µt e σw φ S δ j1 D j S e rt st σ E φse µt e σg g Todistus Arvioidaan aluksi erotusta lisäämällä termejä ja käyttämällä kolmioepäyhtälöä E e rt e µt e σw φ S δ j1 D e rt j S st σ E φse µt e σg g E e rt e µt e σw φ S δ j1 D e rt j S st σ E φ S W + e rt st σ E φ S W e rt st σ E φse µt e σg g E e rt e µt e σw φ S δ j1 D e rt j S st σ E φ S W + e rt st σ E φ S W e rt st σ E φ η S W + e rt st σ E φ η S W e rt st σ E φ η se µt e σg g + e rt st σ E φ η se µt e σg g e rt st σ E φse µt e σg g Tarkastellaan epäyhtälön oikeaa puolta pala kerrallaan Otetaan käyttöön selkeyttävät merkinnät A : B,η : C,η : D η : E e rt e µt e σw φ S δ j1 D e rt j S st σ E φ S W, e rt st σ E φ S W e rt st σ E φ η S W, e rt st σ E φ η S W e rt st σ E φ η se µt e σg g, e rt st σ E φ η se µt e σg g e rt st σ E φse µt e σg g Funktiolle φ pätee 0 φx M kaikilla x Tällöin lauseen 37 nojalla

40 3 OPTIO DELTA LASKEMIE A E e rt e µt e σw φ S δ j1 D j S 0 st σ E φ S W e rt Kuvaus φ η on jatkuva ja rajoitettu, joten se täyttää lauseen 38 oletukset ja siten kaikilla η C,η e rt st σ E φ η S W e rt st σ E φ η se µt e σg g 0 Funktiot φ ja φ η ovat rajoitettuja Tällöin D,η e rt st σ E φ η se µt e σg g e rt st σ E φse µt e σg g e rt E φη se µt e σg φse µt e σg g st σ e rt st σ E φη se µt e σg φse µt e σg g Oletusten mukaan φ η φx voi erota nollasta vain kun x I η i jollain i {1,, L} Määritellään ja a η i : 1 σ ln Ki η se µt b η i : 1 σ ln Ki + η se µt yt siis φ η φse µt e σg voi erota nollasta vain kun g a η i, bη i jollain i {1,,, L} Tällöin saadaan edelleen yt D,η e rt st σ M e rt st σ M L E g 1 {g a η i,bη i } sup i {1,,L} max { a η i, bη i } L lim η 0 aη i lim η 0 bη i 1 σ ln Ki, se µt E 1 η {g a i,bη i } joten satunnaismuuttujan g tiheysfunktion jatkuvuuden nojalla

33 EUROOPPALAIE OSTO-OPTIO JA BIÄÄRIOPTIO 41 Edelleen kaikilla pätee E 1 {g a η i,bη i } 0, kun η 0 Viimeiselle termille B,η pätee D,η 0, kun η 0 B,η e rt st σ E φ S W e rt st σ E φ η S W e rt st σ E φ S φ η S W e rt st σ ME W 1 {S I η } Hölderin epäyhtälöllä saadaan E W 1 {S I η } E W 1 E 1{S 1 I η } T 1 1 E 1{S I } η yt kaikille K i löytyy C -funktio ϕ Ki,η, jolle pätee ϕ Ki,ηx 1 kaikilla x, 1 {x I η i } x ϕ Ki,ηx ja ϕ Ki,ηx 0 kaikilla x K i η, K i + η yt edellisten ominaisuuksien ja heikon suppenemisen nojalla kaikille i 1,, L saadaan E 1 {S I ηi } E ϕ Ki,ηS E ϕ Ki,ηse µt e σg Tällöin satunnaismuuttujan g tiheysfunktion jatkuvuuden nojalla tiedetään erityisesti, että lim sup E 1 {S I ηi } E ϕ Ki,ηse µt e σg 0, kun η 0 Yhdistämällä edelliset päättelyt saadaan arvio B,η e rt st σ MT L 1 E ϕ Ki,ηS 1

4 3 OPTIO DELTA LASKEMIE yt pätee E e rt e µt e σw φ S δ j1 D j S A + B,η + C,η + D,η A + e rt st σ MT L 1 E ϕ Ki,ηS + C,η + e rt st σ M sup i {1,,L} 1 max { a η i, bη i } L st σ E φse µt e σg g e rt E 1 {g a η i,bη i } yt kaikki epäyhtälön oikealla puolella olevat jonot ovat rajoitettuja, joten ylärajaarvon ominaisuuksien nojalla lim sup E e rt e µt e σw φ S δ j1 D e rt j S st σ E φse µt e σg g L 1 lim sup A + lim sup e rt st σ MT 1 E ϕ Ki,ηS + lim sup C,η + e rt st σ M e rt st σ MT L 1 + e rt st σ M sup i {1,,L} sup i {1,,L} E ϕ Ki,ηse µt e σg 1 max { a η i, bη i } L max { a η i, bη i } L Lauseen alkuperäinen väite seuraa tästä, koska E 1 η {g a i,bη i } 1 e rt st σ MT L 1 E ϕ Ki,ηse µt e σg + e rt st σ M sup i {1,,L} max { a η i, bη i } L E 1 {g a η i,bη i } E 1 η {g a i,bη i } 0, kun η 0

LIITE A 11 Binomikertoimet Lemma A1 Olkoot, k ja 0 < k Tällöin + 1 k + k k 1 1 Tasainen integroituvuus Määritelmä A Satunnaismuuttujaperhe {X i } i 1 on tasaisesti integroituva, jos sup E X i 1 { Xi >c} 0, kun c i Lemma A3 Olkoon X 1, X, jono satunnaismuuttujia ja G: 0, 0, kasvava funktio, jolle pätee ja G t lim t t sup E G X i < i Tällöin perhe {X i } i 1 on tasaisesti integroituva Lisää tietoa tasaisesta integroituvuudesta löytyy lähteestä 1 sivulta 188 alkaen 13 Heikko suppeneminen Määritelmä A4 Olkoot Ω n, F n, P n ja Ω, F, P todennäköisyysavaruuksia sekä X n : Ω n R ja X : Ω R satunnaismuuttujia Jono X n n1 suppenee heikosti satunnaismuuttujaan X, jos kaikille jatkuville ja rajoitetuille kuvauksille f : R R pätee lim E f X n E f X n Heikolle suppenemiselle käytetään merkintää X n X 43

44 A Lemma A5 Olkoot X n n1 ja X satunnaismuuttujia sekä F n ja F vastaavat kertymäfunktiot Tällöin jos ja vain jos X n X lim F n x F x n kaikilla funktion F jatkuvuuspisteillä x Todistus Todistus löytyy lähteestä 1 sivulta 4 alkaen Lause A6 Keskeinen raja-arvolause Olkoon {X 1, X, } jono riippumattomia ja samoinjakautuneita satunnaismuuttujia, joilla E X i µ ja 0 < E X i EX i σ < Merkitään lisäksi S n : n X i Tällöin eli jono g 0, 1 S n nµ nσ lim P Sn nµ n nσ x 1 x e y dy, π suppenee heikosti kohti nomaalijakautunutta satunnaismuuttujaa Todistus Todistus löytyy lähteestä 1 sivulta 36

Lähdeluettelo 1 Patrick Billingsley: Convergence of Probability Measures John Wiley & Sons, Inc, 1999 Richard Courant and Fritz John: Introduction to Calculus and Analysis I Springer, 1999 3 Ioannis Karatzas and Steven E Shreve: Brownian Motion and Stochastic Calculus Springer, 1991 4 Anthony W Knapp: Basic Real Analysis Birkhäuser Boston, 005 5 Ralf Korn and Stefanie Müller: Binomial Trees in Option Pricing - History, Practical Applications and Recent Developments In: L Devroye et al eds, Recent Developments in Applied Probability and Statistics 010 59-77 6 Damien Lamberton and Bernard Lapeyre: Intoduction to Stochastic Calculus Applied to Finance Chapman & Hall, 1996 7 Martin Leitz-Martini: A discrete Clarck-Ocone formula MaPhySto Research Report, 000 http://wwwmaphystodk/publications/mps-rr/000/9pdf luettu 1911015 8 Yoshifumi Muroi and Shintaro Suda: Discrete Malliavin calculus and computations of greeks in the binomial tree European Journal of Operational Research 31 013 349-361 9 David ualart: The Malliavin Calculus and Related Topics Springer, 006 10 icolas Privault: Stochastic Analysis in Discrete and Continuous Settings Springer, 009 11 Walter Rudin: Real and Complex Analysis McGraw-Hill, Inc 1974 1 Al bert ikolaevich Shiryaev: Probability Springer, 1996 13 Steven Shreve: Stochastic Calculus for Finance I - The Binomial Asset Pricing Model Springer, 004 45