SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu aiilla muilla x:n arvoilla. Sarjan summa on /( x). Siis geometrinen sarja määrää funtion g :], [ R, (4.) g(x) = x. Ajatus on siis se, että parametrista tai muuttujasta riippuva sarja määrää funtion siinä jouossa, jossa se suppenee. Muodollisesti: Määritelmä 4.2. Oloon (f ) funtiojono. Funtiosarja (4.2) suppenee pisteittäin, jos sen äärellisten osasummien jono ( n f ) n= suppenee pisteittäin. Funtiosarja suppenee tasaisesti, jos sen äärellisten osasummien n f jono suppenee tasaisesti. Pisteittäin tai tasaisesti suppeneva funtiosarja määrää funtion f : A R, (4.3) f(x) = f (x), f un funtioiden f, = 0,, 2,..., määrittelyjouo on A. Jos f (x) = a (x x 0 ) jollain x 0 R aiilla = 0,, 2,..., funtiosarjaa sanotaan potenssisarjasi, ja sitä meritään (4.4) a (x x 0 ). Tarastelemme lähinnä potenssisarjoja. Tareä ysymys on, millä x:n arvoilla potenssisarja (4.4) suppenee pisteittäin tai tasaisesti. Selvästi sarja (4.4) suppenee, un x = x 0, osa tarasteltavan sarjan aii termit ovat nollia. Potenssisarjoja (4.4) tarasteltaessa sarja muodostetaan siis funtioista a p, missä potenssifuntio p, p (x) = (x x 0 ) on määritelty oo R:ssä. Kuitenin hyväsymme sellaisenin tilanteen, että sarja suppenee vain jossain R:n aidossa osajouossa A. Tällöin siis tarastelemmein oieammin funtiosarjaa (4.5) a p A. Tarastelemme potenssisarjan suppenemisjouoa taremmin: on rajoitettu, niin po- Lause 4.3. Oloon x x 0. Jos jono ( a (x x 0 ) ) tenssisarja (4.6) a (x x 0 ) suppenee itseisesti aiilla x R, joille pätee (4.7) x x 0 < x x 0
32 JOUNI PARKKONEN Todistus. Oloon (4.8) M = sup { a (x x 0 ) : N }. Oletusen muaan M <. Siis (4.9) a M x x 0 aiilla = 0,, 2,..., joten aiilla n N pätee n (4.0) a (x x 0 ) n M x x 0 x x 0 <, osa oieanpuoleinen sarja on suppeneva geometrinen sarja, un x x 0 < x x 0. Siis sarja a (x x 0 ) suppenee itseisesti, un x x 0 < x x 0. Tästä saamme seurausena Lause 4.4. Jos sarja (4.) suppenee, niin potenssisarja (4.2) a (x x 0 ) a (x x 0 ) suppenee itseisesti aiilla x R, joilla (4.3) x x 0 < x x 0. Todistus. Sarja a (x x 0 ) suppenee, joten jono ( a (x x 0 ) ) rajoitettu. Tulos seuraa Lauseesta 4.3. Esimeri 4.5. Tarastelemme potenssisarjaa x (4.4). on Kun x =, potenssisarja on, eli harmoninen sarja, joa hajaantuu. Kun x =, potenssisarja on ( ), eli vuorotteleva harmoninen sarja, joa suppenee. Lauseen 4.4 nojalla potenssisarja suppenee välillä [, [. Kun x >, niin (4.5) lim joten sarja ei suppene näillä x:n arvoilla. x =, Määritelmä 4.6. Potenssisarjan a (x x 0 ) suppenemissäde on { } (4.6) R = sup x x 0 : a (x x 0 ) suppenee. Jos 0 < R, niin väliä ]x 0 R, x 0 + R[ sanotaan potenssisarjan suppenemisvälisi. Määritelmä 4.6 on järevä, osa pätee: Lause 4.7. Oloon R potenssisarjan a (x x 0 ) suppenemissäde. Tällöin: (a) Jos R = 0, niin sarja suppenee vain, un x = x 0. (b) Jos R =, niin sarja suppenee itseisesti aiilla x R.
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 33 (c) Jos 0 < R <, niin sarja suppenee itseisesti aiilla x ]x 0 R, x 0 + R[ ja hajaantuu aiilla x R \ [x 0 R, x 0 + R]. Todistus. (a) Seuraa suppenemissäteen määritelmästä. (b) Oloon x R. Kosa R =, on olemassa x R siten, että x > x ja a (x x 0 ) suppenee. Lauseen 4.4 nojalla a (x x 0 ) suppenee itseisesti. (c) Jos x x 0 < R, niin R:n määritelmän nojalla on x R siten, että (4.7) x x 0 < x x 0 < R ja a (x x 0 ) suppenee. Lauseen 4.4 nojalla a (x x 0 ) suppenee itseisesti. Jos taas x x 0 > R, niin R:n määritelmän nojalla a (x x 0 ) hajaantuu. Huomautus 4.8. Potenssisarjan suppeneminen suppenemisvälin päätepisteissä on tarastettava eriseen. Esimerissä 4.5 voisimme nyt päätellä suppenemisjouon näin: Potenssisarja suppenee, un x = = R. Potenssisarja hajaantuu, un x = = R. Siis Lauseen 4.7 nojalla potenssisarjan (4.4) suppenemissäde on, ja sarja suppenee, jos ja vain jos x [, [. Suppenemissäde on usein helppo selvittää seuraavan tulosen avulla: Lause 4.9. Oloon R potenssisarjan a (x x 0 ) suppenemissäde. Tällöin ( (a) Jos jono a ) suppenee, niin (4.8) R = lim a. ( ) (b) Jos jono a a + suppenee, niin (4.9) a R = lim a + Todistus. Oloon S = lim a. Juuritestissä saamme (4.20) a x x 0 = a x x 0 S x x 0. Jos S <, niin Lauseen 3.6 (a)-ohdan muaan sarja suppenee, un S x x 0 <. Toisaalta, jos S x x 0 >, niin sarja hajaantuu Lauseen 3.6 (b)-ohdan muaan. Siis suppenemissäde on /S, jos S <. Jos taas S =, niin aiilla x x 0 ja aiilla M > 0 on N N siten, että aiille N pätee (4.2) a x x 0 > M, eli (4.22) a (x x 0 ) > M. Kun valitsemme M, niin minoranttiperiaatteesta seuraa, että sarja hajaantuu. (b) Harjoitus. Esimeri 4.0. (a) Sarjan (4.23) e 2 x
34 JOUNI PARKKONEN suppenemissäde on Lauseen 4.9 muaan 0, osa (4.24) lim e 2 = lim e =. Tässä esimerissä potenssisarjan ertoimet asvavat siis niin nopeasti, että sarja suppenee ainoastaan, un x = 0. Toisaalta, jos orvaamme ertoimen e 2 e :lla, saamme positiivisen suppenemissäteen: (4.25) e x = (ex), joa suppenee geometrisena sarjana täsmälleen jouossa ] e, e [. (b) Sarjan ( ) (4.26) + x suppenemissäde on Lauseen 4.9 muaan, osa ( ) (4.27) lim ( + +2 + 2 ) = lim + =. Kuten Esimerissä 4.5 huomaamme, että sarja suppenee, un x = ja hajaantuu, un x =. Siis sarja suppenee, jos ja vain jos x [, [. (c) Jos yritämme etsiä sarjan (4.28) suppenemissädettä Lauseen 4.9 (a)-ohdan juuritestillä, joudumme tarastelemaan raja-arvoa lim!, jona määrittäminen tuntuu hanalalta. Sen sijaan (4.29) lim ( (!) (+)! x! ( + )! ) = lim =,! joten suppenemissäde on ja sarja suppenee itseisesti aiilla x R. Tästä seuraa, että sarjat x 2+ (4.30) (2 + )! ja (4.3) ( ) x 2+ (2 + )! suppenevat itseisesti aiilla x R, osa näistä sarjoista itseisarvot lisäämällä muodostetut sarjat saadaan sarjan (4.28) itseisarvosarjasta jättämällä x:n parilliset potenssit pois. Tämä argumentti toimii Lauseen 3.9 nojalla, osa sarja (4.28) suppenee itseisesti. (d) Jos derivoimme geometrisen sarjan termeittäin, saamme sarjan (4.32) x. Tämän sarjan suppenemissäde on eli se on sama uin geometrisen sarjan suppenemissäde: (4.33) lim + =.
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 35 Sarjat ja ( ) hajaantuvat, joten sarja (4.32) suppenee, jos ja vain jos x ], [. Potenssisarjat ovat siis funtiosarjoja (4.34) f, un f : I R, (4.35) f (x) = a (x x 0 ) ja I on esimerisi potenssisarjan suppenemisväli. Potenssisarjojen määräämät funtiot äyttäytyvät erittäin siististi. Ennen näiden hyvien ominaisuusien tarastelua, todistamme yleisiä tulosia funtiosarjoille. Lause 4. (Cauchyn ehto funtiosarjojen tasaiselle suppenemiselle). Oloot A R ja f : A R, = 0,, 2,.... Funtiosarja f suppenee tasaisesti, jos ja vain jos aiilla ɛ > 0 on N N siten, että n+p (4.36) f (x) < ɛ x A aiilla n N ja p N. =n Todistus. Seuraa Lauseesta.. Lause 4.2 (Weierstrassin ehto). Oloot A R, f : A R, a 0 siten, että (4.37) f(x) a x A aiilla = 0,, 2,.... Jos a suppenee, niin f suppenee tasaisesti. Todistus. Oloon ɛ > 0. Cauchyn ehdon 3.4 nojalla on N N siten, että (4.38) n+p a < ɛ =n aiilla n N ja p N. Oletusen (4.37) nojalla aiille x A pätee n+p n+p (4.39) f (x) n+p f (x) a < ɛ, =n =n un n N ja p N. Cauchyn ehdon, Lause 4. nojalla funtiosarja suppenee tasaisesti. Lause 4.3. Oloon I R väli. Oloot f : I R, = 0,, 2,..., jatuvia funtioita. Jos f suppenee tasaisesti ja määrää funtion f : I R, (4.40) f(x) = f (x) x I, =n niin (a) f on jatuva, ja (b) f on Riemann-integroituva joaisella suljetulla välillä [a, b] I ja d d (4.4) f(x)dx = f (x)dx, eli (4.42) d c c f (x)dx = c d c f (x)dx,
36 JOUNI PARKKONEN Todistus. Seuraa Lauseista.3 ja.6. Todistamme nyt tulosen, josta funtiojonojen lause.8 seuraa: Lause 4.4. Oloot f :]a, b[ R jatuvasti derivoituvia ja x 0 ]a, b[. Jos f suppenee tasaisesti ja määrää funtion g :]a, b[ R, ja jos f (x 0 ) suppenee, niin f suppenee tasaisesi. Lisäsi, jos (4.43) f(x) = f (x) x ]a, b[, pätee f = g. Todistus. Oloon x ]a, b[. Analyysin peruslauseesta seuraa, että n x n n (4.44) f (x) = f (t)dt + f (x 0 ) x 0 aiilla n N. Funtiosarja f suppenee tasaisesti, joten funtio g on integroituva välillä [x 0, x] (tai [x, x 0 ]) ja x x (4.45) g = f x 0 x 0 Lauseen 4.3(b) nojalla. Kosa f (x 0 ) suppenee, niin (4.44):n nojalla x (4.46) f (x) = f (t)dt + f (x 0 ). x 0 Analyysin peruslauseen nojalla g = f. Palaamme nyt potenssisarjojen äsittelyyn. Weierstrassin ehdolla on helppo todistaa seuraava tulos: Lause 4.5. Potenssisarja suppenee tasaisesti joaisella suppenemisvälinsä suljetulla osavälillä. Todistus. Harjoitus. Seuraava tulos osoittaa, että Lauseen 4.4 ehdot toteutuvat potenssisarjoille. Lauseen jälimmäinen sarja saadaan edellisestä derivoimalla termeittäin. Lause 4.6. Potenssisarjoilla a (x x 0 ) ja a (x x 0 ) on sama suppenemissäde. Todistus. Oloot R potenssisarjan a (x x 0 ) suppenemissäde ja R potenssisarjan a (x x 0 ). Osoitamme, että R = R. () Oloon x R. Kaiilla N pätee (4.47) a (x x 0 ) a (x x 0 ) = x x 0 ( a (x x 0 ) ). Siis, jos (4.48) hajaantuu, niin (4.49) a (x x 0 ) a (x x 0 ) hajaantuu, joten R R. (2) Oloon x ]x 0 R, x 0 + R[. Oloon c R siten, että x x 0 < c < R.
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 37 Tällainen c on olemassa, osa suppenemisväli ]x 0 R, x 0 +R[ on avoin. Siis x 0 +c ]x 0 R, x 0 + R[, joten (4.50) a c suppenee. Siis jono ( a c ) on rajoitettu, eli on M > 0 siten, että a c < M aiilla R. Toisin sanoen, a < M. Siis c (4.5) a x x 0 M c x x 0 = M c x x 0 c. Sarjan x suppenemissäde on Esimerin 4.0(d) nojalla. Siis sarja (4.52) x x 0 c suppenee. Majoranttiperiaatteen muaan sarja a (x x 0 ) suppenee itseisesti, joten R > x x 0. Tästä seuraa R R, osa x voidaan valita läheltä suppenemisvälin päätepistettä. Potenssisarjoille saamme edellisistä tulosista äyttöelpoisen seurausen: Seuraus 4.7. Oloon f :]x 0 R, x 0 + R[ R potenssisarjan a (x x 0 ) määräämä funtio. Tällöin (a) f on jatuva, (b) f on Riemann-integroituva aiilla suljetuilla väleillä [c, d] ]x 0 R, x 0 +R[ ja (4.53) (4.54) Erityisesti d c f = x a ( (d x0 ) + (c x 0 ) +). + x 0 f = a + (x x 0) +. (c) f on jatuvasti derivoituva välillä ]x 0 R, x 0 + R[ ja (4.55) f (x) = a (x x 0 ). (d) Oloon n N. funtio f on n ertaa jatuvasti derivoituva välillä ]x 0 R, x 0 + R[ ja (4.56) f (n) (x 0 ) = n!a n. Todistus. (a) Lause 4.3(a) ja Lause 4.5. (b) Lause 4.3(b) ja Lause 4.5. (c) Lause 4.6 ja 4.4. (d) Harjoitus. Seuraus 4.8. Oloon f :]x 0 R, x 0 + R[ R potenssisarjan a (x x 0 ) määräämä funtio. Tällöin aiilla n N n (4.57) T n,x0 f(x) = a (x x 0 ). Todistus. Lause 4.7 ja Taylorin polynomin määritelmä.
38 JOUNI PARKKONEN Jos funtio f :]a, b[ R on n ertaa jatuvasti derivoituva aiilla n N, meritsemme f C (]a, b[). Lauseen 4.7 muaan, jos f :]x 0 R, x 0 + R[ R on potenssisarjan määräämä funtio, niin f C (]x 0 R, x 0 + R[). Yleistämme Taylorin polynomit C -funtioiden tapausessa: Määritelmä 4.9. Oloot f C (]a, b[) ja x 0 ]a, b[. Potenssisarja f () (x 0 ) (4.58) T,x0 f(x) = (x x 0 )! on f:n Taylorin sarja pisteessä x 0. Seuraus 4.20. Oloon f :]x 0 R, x 0 + R[ R potenssisarjan a (x x 0 ) määräämä funtio. Tällöin (4.59) T,x0 f(x) = a (x x 0 ). Todistus. Lause 4.7(d). Milloin f(x) = T,x0 f(x)? Seuraava Lause muotoilee ysymysen Luujen ja 2 avulla: Lause 4.2. Oloot x, x 0 ]a, b[ ja f C (]a, b[). Jos (4.60) lim R n,x 0 f(x) = 0, niin (4.6) Todistus. Määritelmät. f () (x 0 ) (x x 0 ) = f(x).! Seuraava tulos antaa einoja tarastella Taylorin sarjan suppenemista: Lause 4.22. Oloot x 0 ]a, b[ ja f C (]a, b[). Jos on r > 0 ja M > 0 siten, että ]x 0 r, x 0 + r[ ]a, b[ ja (4.62) f () (x) M x ]x 0 r, x 0 + r[, niin (4.63) f(x) = f () (x 0 ) (x x 0 ) x ]x 0 r, x 0 + r[.! Todistus. Tarastelemme jäännöstermiä Lagrangen muodon avulla. Pisteiden x ja x 0 välissä on piste ξ siten, että (4.64) R n,x0 f(x) = f (n+) (ξ) (n + )! (x x 0) n+ M n+ (n + )! x x 0 n+ (Mr)n+ (n + )! Väite seuraa Lauseesta 4.2 n 0. Esimeri 4.23. (a) Esponenttifuntion Taylorin sarja 0:ssa on Esimerin 2.2 muaan x (4.65) T,0 exp(x) =!. Esimerissä 2.7 osoitimme, että sarjan (4.65) osasummien jono suppenee tasaisesti ohti esponenttifuntiota joaisella suljetulla välillä [a, b] R. Siis Taylorin
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 39 sarja (4.65) suppenee pisteittäin ohti esponenttifuntiota aiilla x R. Saman tulosen saamme myös Lauseesta 4.22, sillä (4.66) exp () (x) = e x e b (e b ) aiilla x [ b, b] (b > 0) ja N. (b) Samalla perustelulla saamme Esimerin 2.2(a) nojalla (4.67) cos(x) = ( ) (2)! x2 x R, sillä osinin aii derivaatat toteuttavat cos () (x) aiilla x R, atso (2.48). (c) Sinifuntion Taylorin sarja 0:ssa saadaan Lauseen 4.7 nojalla integroimalla termeittäin osinin sarjasta: x (4.68) sin(x) = cos(t)dt = ( ) x2 (2)! = ( ) x 2+ x R. (2 + )! (d) Esimerin 4. nojalla (4.69) 0 x = x x ], [. (e) Sijoittamalla aavaan (4.69) x:n paialle x, saamme (4.70) + x = ( x) x ], [. (f) Integroimalla (e)-ohdan sarjan termeittäin saamme (4.7) log( + x) = = x 0 + t dt = x ( ) t dt ( ) x+ + = 0 + x ( ) x ], [. Edellä osoitimme, että potenssisarja suppenee tasaisesti (avoimella) suppenemisvälillään. Siis potenssisarjan määräämä funtio on tällä välillä jatuva, osa potenssifuntiot ovat jatuvia. Seuraava lause osoittaa, että potenssisarjan määräämä funtio on jatuva oo siinä jouossa, jossa potenssisarja suppenee. Lause 4.24 (Abelin raja-arvolause). Oloon R > 0 potenssisarjan (4.72) a (x x 0 ) suppenemissäde. Oloon (4.73) f(x) = a (x x 0 ) (a) Jos a R suppenee, niin x ]x 0 R, x 0 + R[. (4.74) lim f(x) = a R. x x 0 +R
40 JOUNI PARKKONEN (b) Jos a ( R) suppenee, niin (4.75) lim f(x) = a ( R). x x 0 R+ Todistus. (a) Voimme olettaa, että x 0 = 0 ja R =. Meritsemme (4.76) f() = a = a. Geometriselle sarjalle pätee (4.77) x = x x ], [. Kun x < pätee siis Lauseen 3.25 nojalla ( ) ( (4.78) x f(x) = ) x a x = c x, un (4.79) c = Tällöin (4.80) a j. j=0 f(x) f() =( x) c x ( x) x f() =( x) (c f())x. Oloon ɛ > 0. Kosa tarastelemme raja-arvoa, un x, voimme olettaa, että 0 < x <. On N N siten, että (4.8) c n f() < ɛ n N, 2 osa c n on sarjan a n. osasumma. Oloon (4.82) M = max { c f() : N }. Jaamme sarjan ahteen osaan: N f(x) f() = ( x) (c f())x + ( x) (c f())x =N N ( x) (c f())x + ( x) (c f())x (4.83) un ( x)nm + ( x) ɛ 2 =N x N ( x)nm + ( x) ɛ 2 x < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ, (4.84) x > ɛ 2NM. x =N
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 4 0.8 0.6 0.4 0.2-2 - 2 Kuva 9. Esimerin 4.26(a) funtion uvaaja 0:n lähellä. Siis (4.85) lim f(x) = f(). x Esimeri 4.25. (a) Funtio f :], [ R, f(x) = log( + x) on jatuva. Esimerissä 4.23(f) osoitimme, että + x (4.86) log( + x) = ( ) x ], [. Tämä on vuorotteleva harmoninen sarja, un x =. Siis potenssisarja suppenee suppenemisvälin päätepisteessä, joten osamme nyt lasea vuorottelevan harmonisen sarjan summan Lauseen 4.24 avulla: ( ) + (4.87) log(2) =. (b) Arustangentin päähaaran potenssisarja 0:ssa on (Harjoitus) (4.88) arctan(x) = ( ) x2+ x ], [. 2 + Kun x =, tämä on vuorottelevaterminen sarja, joa toteuttaa Leibnitzin testin (Lause 3.20) ehdon. Siis Lauseen 4.24 muaan (4.89) eli π 4 = arctan() = ( ) 2 + = 3 + 5 7 +..., (4.90) π = arctan() = 4 4 3 + 4 5 4 7 +.... Esimeri 4.26. (a) Funtio f : R R, {e x (4.9) f(x) = 2, un x 0 0, un x = 0 on jatuva 0:ssa. Erotusosamäärien tarastelu 0:ssa osoittaa, että f C (R) ja f (n) (0) = 0 aiilla n N (Harjoitus). Siis T,0 f(x) = 0 aiilla x R, eli f:n Taylorin sarja suppenee aiialla, mutta se suppenee ohti f:ää vain pistessä 0. (b) Funtiosarjojen avulla voi muodostaa funtioita, jota ovat jatuvia, mutta jota eivät ole derivoituvia missään: Oloon φ : R R 4-jasollinen funtio siten, että (4.92) φ(x) = x, un x < 2, ja (4.93) φ(4p + x) = φ(x)
42 JOUNI PARKKONEN 2.5 0.5 0.8 0.6 0.4 0.2-4 -2 2 4 Kuva 0. Esimerin 4.26(b) funtiot φ (punainen), x φ(4x)/4 (vihreä) ja ψ (sininen). 2 3 4 Kuva. Esimerin 4.26(c) funtio φ. aiilla p Z. Oloot φ : R R, (4.94) φ (x) = 4 φ(4 x). Funtiosarja (4.95) suppenee tasaisesti, joten se määrää jatuvan funtion ψ : R R (Harjoitus). Kuitenaan tällä funtiolla ei ole derivaattaa missään pisteessä x R (Taagi 903). (c) Oloon φ : R R uten uvassa. Oloot (4.96) f (x) = 2 φ(3 2 2 x) ja (4.97) f 2 (x) = φ 2 φ(3 2 x). Funtio f : [0, ] [0, ] [0, ] R 2, f(x) = (f (x), f 2 (x)) on jatuva surjetio. Siis on olemassa jatuva uvaus, joa uvaa janan neliösi!
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0. 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0. 0. 0.2 0.3 0.4 0.5 0. 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 Kuva 2. Esimerin 4.26(c) uvausen ensimmäinen, toinen ja ymmenes osasumma. Department of Mathematics and Statistics, P.O. Box 35, 4004 University of Jyväsylä, Finland E-mail address: parone@maths.jyu.fi