Kvttimekiik perusteet Aieltokettä j todeäköisyystieys Scrödigeri ytälö Sirot potetiliskeleest lektroitilt potetilikuopss Hrmoie oskillttori Tiltieys lisää sirotilmiöistä Altofuktio o yleisesti kompleksie pik fuktio. Yksikertisi ltofuktioo liittyvä mitttviss olev omiisuus o todeäköisyystieys =. d +, p = m d Scrödigeri ytälö Aieltokettä toteutt Scrödigeri ytälö missä iukkse äkemä potetilieergi. p Hiukkse esiitymistodeäköisyys tilvuudess V o: P =, y, z dv. V V Jos iukke o loklisoituut ltofuktio void ormitt:,, dv=. Koko Avruus ( yz) Altoytälö muodostmie Scrödiger päätyi tutkim ieltoytälöitä de Broglie ispiroim. Hä ydisti sttioäärisii tiloii seisov ltokuv j esitti 96 ltoytälö, jok kuvsi ieltoje eteemistä. Scrödigeri ytälö o kvttimekiik perusoletus eli postultti. Sitä void perustell logioill klssisii ltoytälöii muttei jot iistä. rwi Scrödiger (887 96) Itävltlie teoreettie fyysikko Fysiik Nobel 933: uude tomiteori keittämisestä.
Vp iukkse ltofuktio Vplle iukkselle potetilieergi j Scrödigeri ytälö siis muoto p =, k missä k d d m = + = = m d d m d + = d ik = Ae + Be Potetiliskel < Scrödigeri ytälö lueess I ik Tämä ytälö yleie rtkisu o ik ik = Ae + Be ti = Asi k+ Bcos k ti = Ccos( k+ δ) missä ABC,,, δ ovt itegroitivkioit Tsollo relios Scrödigeri ytälö lueess II m ( ) d + = d α α = Ce + De Jtkuvuuseto ltofuktiolle j derivtlle d( = ) d( = ) ( = ) = ( = ); = d d ( ik + α ) A ika B= j C = Altofuktio < Altofuktio lueess I ik ik + α ik = A e + e Altofuktio lueess II ik α = Ae Alueess I vitoetoie esitysmuoto ik α 4k α = A cos k si k A cos si k k k k + α k sillä ltofuktio void i kerto kompleksisell vietekijällä e i δ : ik 4k iδ e ik α k + α Huom. vikk < ltofuktio tukeutuu kyykse sisää!! Potetilikyykse rjtpus o potetiliseiä. Altofuktio o = lueess (II), sillä iukke ei tueloidu äärettömä kov seiä sisää. Potetiliseiä
mple: Tukeutumissyvyys tulev elektroi eergi fuktio, ku potetilivlli korkeus o ev. Määritellää, että yvä kriteeri tukeutumissyvyydelle o todeäköisyystieyde vimeemie kymmetetee os. Hiukksvirr tieys Hiukkse todeäköisyysvirr tieys * * Ψ ( t, ) Ψ ( t, ) j( t, ) = Ψ ( t, ) Ψ ( t, ) im ev 3 ev 9 ev.75 Å.85 Å.5 Å ( t, ) ± ik iωt Vplle iukkselle Ψ = Ae + ik iωt k Ψ ( t, ) = Ae j= A virt -kseli posit. suut m ik iωt k Ψ ( t, ) = Ae j= A virt -kseli egt. suut m Virr luseke jodet Luvuss 3: Aieltodymiikk Heijstumis- j läpäisykerroi Altofuktio lueess I ik ik + α ik = A e + e Ajst riippuv sttioäärie til i( k ωt) ik + α i( k ωt Ψ ) ( t, ) = A e + e Virt vsemmlt oikelle (ic) k jic = A m Heijstuskerroi: jref R = = Kokoiseijstus j ic Virt oikelt vsemmlle (ref) ik + α k k jref = A = A m m + = k = d m m d ik = Ae + Be Potetiliskel > Scrödigeri ytälö lueess I d ik Scrödigeri ytälö lueess II ( ) ( ) m m + = k = d ik ik = Ce + Be [ B =, lueess II ei vsem. ete. lto] Jtkuvuusedoist: k k k B = A; C = A k + k k + k
Heijstumis- j läpäisykertoimet ik k k ik = A e + e k + k ik k ik = Ce = Ae k + k k Tulev jic = A m k k k Heijstuut jref = A k + k m k k Läpäissyt jtr = A k + k m jref k k j ; tr k R = = T = = j k + k j k + k ic ic Huom! R + T = Potetililtikko /3 Scrödigeri ytälö : d + k = ; k = m d = Acos k+ Bsi k Reueto : = pisteessä = A= = Bsi k Reueto : pisteessä = Bsi k= k=± π ; =,,3,.. π Omiisfuktiot : = Bsi k π Omiisrvot : = = ; =,,3,.. m m Huom! =,, 3,.. ei tuot uusi omiistiloj (erovt vi vietekijällä) B = Potetililtikko /3 Omiisfuktioide ormitus : π d = B si d = π ; B void vlit reliseksi! = si( π ) Ortoormitettu fuktiojoukko : * jos = m m d = δm δm = jos m Omiisrvot : π = ; =,,3,.. m Potetililtikko 3/3 Altofuktioide priteetti: Jos iukkse potetilieergi o symmetrie pistee O sutee myös todeäköisyystieyde o oltv symmetrie tämä pistee sutee. Piste = / o symmetrikeskus = ( / ) ( /) ( / ) =± ( /) + prillie fuktio prito fuktio / : sutee Altofuktiot j todeäköisyystieydet
Omiistilt j degeertiot ergi,, 3 3 (,,) 6 (,,),(,,),(,) 3 9 (,,), (,,),(,,) 3 (,,3), (,3,),(3,,) 3 (,,) 4 (,3,), 6 (3,,),(3,,),(,,3), (,3,),(,,3) Degeertio g Tiltieys 3D potetilikuutioss Yksiulotteise ltiko tp π π π k = ; k = ; k = missä,, =,,3,.. y z 3 3 ( 3) π = + + m Jokisee positiiviste kokoislukuje kolmikkoo liittyy yksi omiistil. Niide kolmikkoje lukumäärä m 3 joille + + o iide tiloje lukumäärä joille. π Tiltieys 3D potetililtikoss Tiltieys suuress 3D ltikoss Itegroid: ( π ) + + 3 m m π d d d 3/ 3/ = -os 8 säteise pllo tilvuudest. 4 m g d = π 83 π missä tiloje tieys eergiyksikköä π m kode o g = 4 π Huom tilvuus V / V = 3 Tämä o kerrottv kdell, kosk elektroill o kksi spi-til. Tiltieysjtkumo o rj-rvo, jot läestytää kuutio sivu pituude ksvess.
Hrmoie oskillttori Hrmoise oskillttori Scrödigeri ytälö simmäiset omiisfuktiot d + k = m d Omiisrvot: = + ω; =,,,3,.. 3 5 7 3 = = ω π e ω π e = ( ) ω 8 π 4 e = ( ) 3 ω 48 π 8 e 3 3 Altofuktiot j todeäköisyystieydet Potetilieergi o symmetrie pistee = sutee, jote ltofuktiot ovt tämä piste sutee prillisi ti prittomi. Vstvuusperite Bori vstvuusperite: Suurill kvttiluvuill iukkse todeäköisyystieys läestyy klssisee rt liittyvää sijititodeäköisyyttä. Hrmoise oskillttori korkeisii viritettyii tiloii liittyvä todeäköisyystieys o suuri iukkse klssiste kääepisteide läeisyydessä, joss iukke o eimmä ik. Äärellie potetilikuopp d Alue I j III: α = d m( ) α = α = C e + D e α I, III I, III d Alue II: + k = d m k = = Acosk+ Bsik Fysikliset reuedot: D I = C = III
Prilliset tilt B = Jtkuvuusedot = / k α / Acos = DIIIe k α / kasi = α DIIIe Grfie rtkisu m π = m 3π = Prilliset tilt rjll << Ku ksv leikk tgeti epäjtkuvuuskotie läeisyydessä: m π = =, 3,5, 7,.. π = =,3,5,7,.. m k m kt = α t = ergit sd kuvjie leikkuspisteistä m= m e = 7 mev j 7 mev = 5,3 m Nämä ovt äärettämä potetililtiko prilliset omiistilt. Prittomt tilt A = Prittomt tilt m = π Jtkuvuusedot = / k α / Bsi = DIII e k α / kbcos = αdiii e k m kcot = α cot = m = π Mlli prmetrit: m = me, = 7 mev j 7 mev = 5,3 m Prittomt tilt rjll << Ku ksv leikk kotgeti epäjtkuvuuskotie läeisyydessä: m π = =,4,6,.. π = =,4,6,.. m Nämä ovt äärettämä potetililtiko prittomt omiistilt.
Sirot potetilivllist Hiukkset spuvt vsemmlt, eijstuvt tkisi, ti läpäisevät vlli. Rtkist Scrödigeri ytälö eriksee lueiss (I- III) j liitetää fuktiot j iide derivtt rjpioill = j =. Huom! Alueess III vi läpäissyt oikelle eteevä lto Läpäisykertoime jotmie: > Alueess I Alueess II Alueess III ik ik ik ik ik I = Ae + Be II = Ce + De III = e k = m k = m( ) k = m Jtkuvuusedot ik ik ik Ce De e A B C D + = + = + = = ik ik ik ik( A B) = ik ( C D) ik ( Ce De ) = ike. Neljä ytälöä viisi tutemtot esitetää B,C,D, A : vull s 4kk ik ik = A missä r = e, s = e r ( k + k ) ( k k ) s B,C,D sd vstvsti. T = m( ) + si 4 Läpäisykerroi Läpäisykerroi sd lskemll todeäköisyys virr tieydet : Tulev virt Läpäissyt virt k k k s 4kk jic = A jtrs = = A m m m r ( k + k ) ( k k ) s T = + si 4 > < m( ) Läpäisykerroi Hiukke voi läpäistä vlli vikk <. Klssise fysiik muk tämä o kiellettyä! Läpäisykerroi voi oll eergioill > yviki suuri, jos vlli o kpe.
Tueloitimikroskooppi lektroit voivt tueloitu eul kärje j jotv pi välillä. Tueloitivirt t yde tomi trkkuudell tieto pi rketeest. STM = scig tuelig microscope Heiric Rorer d Gerd Biig Fysiik Nobel 986 tueloitimikroskoopi keittämisestä Scrödigeri ytälö d + p = m d Todeäköisyystieys = P koko vruus ( y z) Yteeveto /3 Normitus (diskreetissä tilss olevlle iukkselle),, ddydz = Jtkuvuuseto rjpioill ( = ) = ( = ) d( = ) d = ( = ) d d ( k + k' ) Yteeveto /3 Hiukksvirrtieys = vuo (jodet luvuss III) * * j = im Läpäisykerroi j eijstuskerroi potetiliskeleelle k' C 4 kk ' k B k k ' T = = ; R= = ka ka k + k' Potetiliboksi omiiseergit j omiisfuktiot p π = = ; = C si m m ( π ) g = 5/ 3/ π m Yteeveto 3/3 Tiloje tieys 3D potetililtikoss 3 V / Hrmoie oskillttori d + k = m d y = + ω; = H y e, y= α, α = mk ; H ( y) o Hermite polyomi Priteetti symmetripistee O sutee =± A A'