Materiaalifysiikan perusteet P Ratkaisut 4, Kevät Ajasta riippumaton yksiulotteinen Schrödingerin yhtälö voidaan esittää muodossa

Transkriptio

1 OY/MP R4 7 Materiaaliysiikan erusteet 54P Ratkaisut 4, Kevät 7. jasta riiumaton yksiulotteinen Scrödinerin ytälö voidaan esittää muodossa Hy x y x, missä H on ns. Hamiltonin oeraattori, ψx on iukkasen tilaa ilmaiseva aaltounktio ja on kyseisen tilan enerian ominaisarvo. Hamiltonin oeraattori sisältää kaikki iukkasen eneriamuodot liike ja otentiaalienerioiden summa i i H T + V + V x + V x + V x m m m Potentiaalikuoan sisällä V x, kun < x <, joten Scrödinerin ytälö on muotoa d y x d y x m y x + y x y '' + k y. m dx dx Kyseinen omoeeninen toisen asteen dierentiaaliytälö ratkeaa yritteellä ikx ikx y x ae + be a[ cos kx + isin kx ] + b[ cos kx isin kx ] a + bcos kx + i a bsin kx cos kx + sin kx, missä m k on reaalinen. Vaaditaan, että elektronin aaltounktio saa arvon äärettömän otentiaalikuoan reunoilla kodissa V, jolloin y y, koska V y cos k + sin k y cos k + sin k y sin k k n n k, n,,, y x sin kx Suoritetaan vielä aaltounktion normitus eli lasketaan kertoimen arvo käyttäen todennäköisyystulkintaa katso jaettu lisämoniste

2 OY/MP R4 7 y * x y x dx sin Ø ø Œ x sinkx œ º k ß kx dx nx y x sin, n,,, Ø ø Œ coskx dx º œ ß Ø n ø n ø sin sin n Œ Ø Œ œ º ß º n œ ß Ylläoleva aaltounktion selvittäminen on jodantoa ja kuvailtu myös jaetussa lisämateriaalissa. a Kvanttitilassa n elektronin aaltounktio on siten y x x sin ja sitä vastaava todennäköisyystieys on y x sin x. lektronin aikan todennäköisyys välillä,6 todennäköisyystieyttä x,8 saadaan interoimalla P,8,6 y x dx,8,6 x sin dx,8,6 Ø 6x ø Œ cos œdx º ß, 8 Ø 6x ø Ø / Œx sin œ Œ,8 sin,6 º 6 ß º 6 6,86...» % b Todennäköisyystieys kodassa x,4 Å: ø 4,8,6 sin,6 œß y Å, Å Å,4 Å sin»,69 Å c Siirryttäessä kvanttitilasta n kvanttitilaan n enerian muutos on D 8m 8m 9,9 4 6,66 Js k m 7 4, m J» ev

3 OY/MP R4 7 Materiaaliysiikan erusteet 54P Ratkaisut 4, Kevät 7. Kolmen iukkasen systeemin kokonaiseneria on 6 ja iukkaset jakautuvat systeemin eri enerisille kvanttitiloille,, ja 44. Kun iukkaset noudattavat ermidirac jakaumaa, mieittävät ne eri tilat alla olevan taulukon mukaisesti. Siis vain yksi ermioni D jakaumaa noudattava iukkanen voi olla ydessä kvanttitilassa kerrallaan. neria 44 ermidirac a Kun iukkaset noudattavatkin oseinstein jakaumaa, useami iukkanen voi olla samassa kvanttitilassa. isäksi jakauman iukkaset eivät ole tunnistettavissa, joten merkitään niitä edelleen samalla symbolilla. Tuloksena saadaan, että iukkaset voivat muodostaa kolme erilaista mikrotilaa ks. taulukko alla kokonaisenerian ollessa 6. neria oseinstein 44 b Kun iukkaset noudattavat Maxwelloltzmann jakaumaa, useami iukkanen voi olla samassa kvanttitilassa ja lisäksi jakauman iukkaset ovat tunnistettavissa. Merkitään eri iukkasia symboleilla, ja. Tuloksena saadaan, että iukkaset voivat muodostaa erilaista mikrotilaa ks. taulukko alla kokonaisenerian ollessa 6. neria Maxwelloltzmann 44

4 OY/MP R4 7 Materiaaliysiikan erusteet 54P Ratkaisut 4, Kevät 7. Nyt kvanttitila jakautuu kadeksi tilaksi, joilla on sama eneria. Tämä tarkoittaa, että vastaava eneriatila on deeneroitunut. Yleisesti deeneraatiolla tarkoitetaan, että kadella tai useammalla tilalla on sama eneria. li voidaan myös uua deeneroituneista tiloista, jos niillä on sama eneria. Uusien kvanttitilojen a ja b eneria on siis sama. a Deeneroituneen eneriatason vuoksi edellisen tetävän ermidirac jakaumaan tulee uusi mikrotila. neria ermidirac 44 a b b Vaikka usea oseinstein jakaumaa noudattavat iukkanen voikin olla samassa tilassa, niin uuden kvanttitilan lisäys tuo myös jakaumaan lisää mikrotiloja. neria oseinstein 44 a b Nädään, että mikrotiloja on nyt 7 aikaisemman kolmen sijaan. c Maxwelloltzmann jakauman erotettavissa olevat iukkaset voivat muodostaa vielä enemmän mikrotiloja eneriatason deeneraation vuoksi. Mikrotilojen kokonaismääräksi saadaan ++8, kun edellisessä tetävässä niitä saatiin. neria Maxwelloltzmann 44 b a Maxwelloltzmann 4

5 OY/MP R4 7 5 Materiaaliysiikan erusteet 54P Ratkaisut 4, Kevät 7 4. Yleisesti jodeelektronien määrä tietyllä eneriavälillä saadaan interoimalla mieitystieyttä tämän eneriavälin ylitse eli d Suteellinen osuus saadaan jakamalla tämä interaali kaikkien jodeelektronien määrällä, joka saadaan lämötilassa T K interoimalla mieitystieyttä ermieneriaan asti. Kaikkien jodeelektronien määrä saadaan näin, koska lämötilassa T K kaikki elektronitilat on mieitetty aina ermieneriaan asti. li suteellinen osuus eneriavälillä lämötilassa T K on siten d d. a Niiden elektronien, joiden eneria on korkeintaan uolet ermieneriasta, suteellinen määrä saadaan edellisen erusteella seuraavasti 5 %,54» m V m V d d d d Huomaa, että, kun < ja T K. on :n derivaatta :n suteen.

6 OY/MP R4 7 b ermienerian yläuolella olevien jodeelektronien määrä on d d d % kun > ja T K. li absoluuttisessa nollaisteessä T K jodeelektroneilla ei ole korkeamaa eneriaa kuin. 6