Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -kuvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jakuva-aikaisen lineaarisen järjeselmän siirofunkio, sabiilisuus Laplace-muunnos Diskreeiaikaisen lineaarisen järjeselmän (pulssinsiirofunkio, sabiilisuus z-muunnos Diskreoini Aalo-yliopiso/Syseemianalyysin laboraorio
Joiain malliyyppejä Maemaainen malli: muuujien välise suhee kuvau maemaaisesi yhälöin Lohkokaaviomalli: syseemin oiminojen looginen jako lohkoihin, joiden välisiä vuorovaikuuksia kuvaaan nuolin u( S y( u( subsysem1 subsysem2 y( simulaaiomalli: malli ehkä olemassa vain ieokoneohjelmana (joka on ehkä jäsenney maemaaisesa ai lohkokaaviomallisa Aalo-yliopiso/Syseemianalyysin laboraorio
Aalo-yliopiso/Syseemianalyysin laboraorio Sisäänmeno, ulosulo ja häiriö Mallin vakio: syseemiparameri suunnieluparameri Mallin muuuja: ulosulo (oupu y(=[y 1 (,..., y p (] T sisäänmeno (inpu, ohjaus u(=[u 1 (,...,u m (] T voidaan valia häiriö w(=[w 1 (,...,w r (] T ei voida valia Sisäänmenoja ja häiriöiä kusuaan ulkoisiksi muuujiksi, muia mallin muuujia sisäisiksi Dynaamisessa järjeselmässä y( riippuu paisi u(:sä ja w(:sä myös kaikisa u(s ja w(s, s<
Inpu-oupu -kuvaus ja ilayhälömalli Yleinen jakuvan ajan inpu-oupu-kuvaus on muooa g(y (n (, y (n-1 (,...,y(, u (m (,...,u(=0, missä (a viiaa a:neen derivaaaan ja g on jokin epälineaarinen funkio (SISO Muunneaan 1. keraluvun differeniaaliyhälösyseemiksi aseamalla x i (:=y (i-1 (, i=1,...,n Saadaan ilayhälömalli x& ( = y( f(, u( = h(, u( jossa dim =n, dim u(=m, dim y(=p on mallin ila, n on mallin keraluku Aalo-yliopiso/Syseemianalyysin laboraorio
Tila Aiemmin odeiin, eä syseemin ulosuloon y( vaikuava u(s ja w(s, s< Olisi kovin kömpelöä alleaa u(s ja w(s kokonaisuudessaan Syseemin (ai mallin ila on sellainen informaaio, jonka uneminen yhdessä u(:n ja w(:n kanssa mahdollisaa syseemin ulosulon y(τ laskemisen jollekin τ> Käyännössä ilalla on ärkeä merkiys esim. simuloinnissa: se on suoraan kullakin aika-askelella alleeava informaaio Aalo-yliopiso/Syseemianalyysin laboraorio u( y( u( x& ( = f(, u( y( S inpu-oupu-kuvaus (exernal model y( = h(, u( ilamalli (inernal model
Esiysen ero Inpu-oupu -kuvaus ei oa kanaa syseemin sisäiseen rakeneeseen Klassisen sääöeorian perusa siirofunkiolla ilmaisun lineaarisen inpu-oupu -kuvauksen analyysi aajuusasossa Tilayhälöesiys moderni lähesymisapa OR:n syny 1950-luvulla mahdollisi mm. ilaakaisinkykennän, opimisäädön, monimuuuujasäädön ja epälineaarisen mallien käsielyn sekä laajensi lineaarisen järjeselmien eoriaa merkiäväsi Aalo-yliopiso/Syseemianalyysin laboraorio
Tasapainoilan rakaisu Valiaan u(=u 0 (vakio; mihin ja y( aseuva? x 0 : f(x 0,u 0 =0 yksi, useia ai ei yhään rakaisua (x 0,u 0 on asapainopise (saionary poin usein oivoavaa saada syseemi asapainoilaan Vasaavasi asapainoilan ulosulo on y 0 =h(x 0,u 0 (Tasapainopise on asympooisesi sabiili y( konvergoi y 0 :aan Konvergenssinopeua kuvaa aikavakio usein mielenkiinnon kannala nopea ila voidaan korvaa saaisilla approksimaaioilla Saainen vahvisus = y 0 :n herkkyys muuokselle u 0 :ssa eli g (u 0 ; y 0 =h(x 0 (u 0,u 0 =g(u 0 Aalo-yliopiso/Syseemianalyysin laboraorio
g lineaarinen kun g(. on y(:n ja u(:n derivaaojen painoeu summa, saadaan y u:n funkiona Laplace-muunnoksella (SISO: m m 1 bms + bm 1s +... + b0 Y( s = U( s n n 1 n 2 as + a s a s +... + 1 n n 1 Osamäärää kusuaan syseemin siirofunkioksi G(s Toisaala, oimimalla kuen edellä saadaan lineaarinen ilayhälömalli x& ( = A + Bu( n 2 y( = C + Du( ässä dim A=nxn, dim B=nxm, dim C=pxn, dim D=pxm Aalo-yliopiso/Syseemianalyysin laboraorio
Lineaarisen jakuva-aikaisen syseemin sabiilisuus Asympooinen sabiilisuus vs. sabiilisuus: lokaali, globaali Lin. järjeselmälle sabiilisuus on syseemin ominaisuus joka ei riipu oimina-alueesa ai ulosuureisa Siirofunkion G(s väliämä inpu-oupu -kuvaus on globaalisi asympooisesi sabiili joss nimiäjäpolynomin nollakohda (so. siirofunkion nava sijaiseva aidosi kompleksiason vasemmassa puoliskossa kuvaus on sabiili jos jokin nava ova im-akselilla ja ne ova yksinkeraisia Huom. Laplace-muunamalla ilayhälö saadaan G(s=C(sI-A -1 B+D eli nava yhyvä A:n ominaisarvoihin Aalo-yliopiso/Syseemianalyysin laboraorio
Aalo-yliopiso/Syseemianalyysin laboraorio Linearisoini Tarkasellaan epälineaarisa järjeselmää asapainopiseessä (x 0,u 0 sekä poikkeamia =-x 0, y(=y(-y 0 ja u(=u(-u 0 päee: missä laskeuna (x 0,u 0 :ssa Lisäieoa app. B kirjassa ( ' ( ' ( ( ' ( ' ( u D x C y u B x A x d d + + u h D x h C u f B x f A = = = = ', ', ', '
Diskreeiaikainen lineaarinen järjeselmä Inpu-oupu -kuvauksen siirofunkioesiys m m 1 bmz + bm 1z +... + b0 Y( z = U( z n n 1 n 2 a z + a z a z +... + 1 n Tilayhälöesiys: oeaan iloiksi viiväsey y:n ja u:n arvo 1 = k+ n 1 A + Bu( y( k = C k + Du( k Asympooinen sabiilisuus: siirofunkion nava (A:n ominaisarvo yksikköympyrän sisäpuolella sabiilisuus: napoja yksikköympyrällä k n 2 k Aalo-yliopiso/Syseemianalyysin laboraorio
Diskreoini Olkoon anneuna jakuva-aikainen malli x& ( = y( f(, u( = h(, u( ja arkasellaan diskreeiaikaisa mallia 1 y(, u( Mien F ja H ulisi valia, joa diskreeiaikainen malli kuvaisi diskreoinipiseissä jakuva-aikaisa mallia mahdollisimman hyvin? Euler, Runge-Kua meneelmä, yms... k+ k = F( = H( k k, u( k k Aalo-yliopiso/Syseemianalyysin laboraorio
Lineaarisen mallin diskreoini Oleeaan ohjaus aika-askelella vakioksi/lineaariseksi ja rakaisaan ilayhälö => diskreein mallin syseemi- ja ohjausmariisi jouduaan laskemaan mariisieksponeni ja sen inegraali Lue kpl 3.9 ja app. A Harjoiusyö 1 ässä puhuun hands on -sovellus Aalo-yliopiso/Syseemianalyysin laboraorio
Sananen p:sä, s:sä, z:sa, q:sa ja q -1 :sä s on Laplace-ason muuuja - p on derivoinioperaaori aikaasossa sf(s=l{f (}, pf(=f ( G(s on Laplace-ason olio - G(p on operaaoripolynomi G(s operoi U(s:ään, G(p u(:hen z on z-ason muuuja q on eeenpäinsiiro-operaaori q -1 on aaksepäinsiiro-operaaori aikaasossa z -1 Y(z=Z{y( k-1 }, qy(=y( k+1, q -1 y(=y( k-1 G(z on z-ason olio joka operoi U(z:aan G(q ja G(q -1 ova aikaason operaaoripolynomeja joka operoiva u(:hen Huomaa eriyisesi, eä diskreeiaikaisen järjeselmän sabiilisuusulos koskee z:n (ai q:n polynomeja usein käyeään myös merkinää G*(z -1 ai G*(q -1! Aalo-yliopiso/Syseemianalyysin laboraorio