REAALIANALYYSI. Pekka Koskela. Syksy 2015

REAALIANALYYSI Pekka Koskela Syksy 2015 Luennot: Ti 1012, To 1416, MaD 380. Demot: To 1012, MaD 355, Changyu Guo.. Demohyvitys: 80%6 p., 70%5, 60%4, 50%3, 30%2, 20%1. Pertti Mattila: Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Ilkka Holopainen: luentomuistiinpanoja verkossa. Bruckner, Bruckner, Thompson: Real analysis. Lehto: Reaalifunktioiden teoria. Rudin: Real and complex analysis. 1

1 Mittateoriaa Olkoon (X, d) metrinen avaruus. Tällöin µ : P(X) [0, ] on (ulko)mitta jos (a) µ( ) = 0, (b) µ(a) µ(b) aina kun A B, ja (c) µ( A i) kaikille A 1, A 2,.... Kokoelma Γ P(X) on sigma-algebra (σ-algebra) jos (a) Γ, (b) X \ A Γ aina kun A Γ, ja (c) A i Γ aina kun A 1, A 2, Γ. Olkoon Γ σ-algebra. Tallöin µ : Γ [0, ] on mitta jos (a) µ( ) = 0 ja (b) µ( A i) = µ(a i) aina kun A 1, A 2 Γ ovat pareittain pistevieraita. Olkoon µ : P(X) [0, ] ulkomitta. Tällöin A X on µ-mitallinen jos µ(e) = µ(e A) + µ(e \ A) jokaiselle E X. Merkitään M µ = {A X : A µ mitallinen}. Tällöin M µ on σ-algebra ja µ : M µ [0, ] on mitta. Kääntäen, jos µ : Γ [0, ] on mitta, missä Γ on σ-algebra, niin kaava µ (B) = inf{µ(a) : A Γ ja B A} antaa ulkomitan, jolle µ (A) = µ(b) jokaiselle A Γ. Ulkomitta µ : P(X) [0, ] on säännöllinen, jos jokaiselle B X löytyy mitallinen A X s.e. B A ja µ(a) = µ(b). X :n Borelin joukkojen σ-algebra B(X) on X :n suppein σ-algebra, joka sisältää kaikki X :n avoimet joukot (ekvivalentisti kaikki suljetut joukot). Muista, että σ-algebrojen leikkaus on σ-algebra. (Ulko)mitta µ : P(X) [0, ] on Borelin mitta jos B(X) M µ ja Borelsäännöllinen jos lisäksi jokaiselle A X löytyy B B(X), jolle A B ja µ(b) = µ(a). 2

Huomautus. (Ulko)mitta µ on Borelin mitta joss jokainen suljettu (avoin) joukko on µ-mitallinen. Esimerkki. Lesguen mitta m n on Borel-säännöllinen. Myös Diracin mitta δ a on Borel-säännöllinen jokaiselle a R n. HT Samoin myös lukumäärämitta. (Ulko)mitta µ : P(X) [0, ] on metrinen, jos aina kun d(a, B) > 0, A, B X. µ(a B) = µ(a) + µ(b) 1.1 Lause. (Ulko)mitta µ on Borelin mitta jos ja vain jos se on metrinen. Todistus. Todistetaan metrisyyden rittävyys, välttämättömyys HT. Rittää osoittaa, että jokainen suljettu joukko F on µ-mitallinen. Olkoon siis F X suljettu ja E X. Määritellään E i = {x E \ F : d(x, F ) 1/i}, jolloin d(e i, E F ) 1/i. Siispä metrisyyden nojalla Jos tiedettäisiin, että µ(e i ) + µ(e F ) = µ(e i (E F )) µ(e). µ(e i ) µ(e \ F ) kun i, niin saataisiin tästä ja subadditiivisuudesta µ(e) µ(e \ F ) + µ(e F ) µ(e) ja joukon F mitallisuus seuraisi. Nyt E 1 E 2... ja E \ F = E i sillä F on suljettu. Niinpä väite seuraa seuraavasta lemmasta. 3

1.2 Lemma. Olkoon µ metrinen, A 1 A 2..., A = A i ja d(a i, A \ A i+1 ) > 0 kaikille i 1. Tällöin µ(a) = lim µ(a i ). i Todistus. Voidaan olettaa, että lim i µ(a i ) = M <. Merkitään B i = A i \ A i 1 kun i 2. Tällöin d(b i, B j ) > 0 kun i j 2. Koska µ on metrinen, saadaan ja samoin kaikille m. Täten mistä seuraa, että m m µ(b 2i ) = µ( B 2i ) µ(a 2m ) M m µ(b 2i+1 ) M µ(a) µ(a m B i ) µ(a m ) + i=m µ(a) lim i µ(a i ). Monotonisuus antaa vastakkaisen epäyhtälön. µ(b i ), i=m Esimerkki. Lebesguen mitta on metrinen. Tämä ei näy suoraan määritelmästä, sillä m ( A) = inf{ v(i i ) : A I i }, missä joukot I i ovat n-välejä ja v(i i ) on kyseisen n-välin geometrinen tilavuus. Paloittelemalla kyseiset n-välit nähdään, että annetulle δ > 0, voidaan olettaa, että jokaisen peittävän n-välin halkaisija on alle δ. Väite seuraa helposti tästä: kun d(a, B) > 0, tarkastellaan joukon A B peitettä n-väleillä I i, joiden halkaisijat enintään δ/3. Jos määritellään J A = {i : I i A } ja J B = {i : I i B }, 4

niin J A J B =. Täten v(i i ) v(i i ) + v(i i ) i J A i J B ja A i J A I i, B i J B I i jne. 1.1 Caratheodoryn konstruktio Miten mitata käyrän γ B 3 (0, 1) pituus? Yrite: µ(γ) = inf{ diam(i i) : γ I i}, missä jokainen I i on n-väli. Ongelma: tällä määritelmällä µ(γ) 2 3, sillä γ ] 1, 1[ 3. Korjaus: µ δ (γ) = inf{ diam(i i ) : γ I i, diam(i i ) δ}, missä jokainen I i on n-väli. Tällöin kun ˆδ < δ ja siispä antaa järkevämmän määritelmän. µ δ (γ) µˆδ(γ) µ(γ) := lim µ δ (γ) = sup µ δ (γ) δ 0 Tarkastellaan yleistä tilannetta. Olkoot F P(X) kokoelma joukkoja ja ϕ : F [0, ] funktio s.e. jokaiselle δ > 0, (a) löytyy A 1, A 2, F s.e. X A i ja diam(a i ) δ kaikille i, (b) löytyy A F s.e. diam(a) < δ ja ϕ(a) < δ. Kun A X, asetetaan ψ δ (A) = inf{ ϕ(a i ) : A A i, A i F, diam(a i ) δ} ja määritellään Tällöin ψ(a) = lim δ 0 ψ δ (A). δ>0 ψ(a) = sup ψ δ (A). δ>0 5

1.3 Lause. 1. ψ δ on (ulko)mitta kaikille δ > 0. 2. ψ on Borelin mitta. 3. Jos F B(X), niin ψ on Borel-säännöllinen. Todistus. Kohta (1) on helppo, kopioi Lebesguen mitan todistuksen idea; (b) antaa ψ δ ( ) = 0. Kohtaa (1) käyttäen nähdään, että myös ψ on (ulko)mitta, joten Lause 1.1:n nojalla (2) seuraa jos osoitetaan, että ψ on metrinen. Tämä taas seuraa helpohkosti käyttäen tietoa ψ(a) = lim δ 0 ψ δ (A). Todistetaan kohta (3). Olkoon A X. Jokaiselle k löytyy A k,1, A k,2, F s.e. diam(a k,i ) 1/k, A A k,i ja Joukko ϕ(a k,i ) ψ 1/k (A) + 1/k. B := k=1 A k,i on selvästi Borelin joukko ja A B. Edelleen ψ 1/k (A) ψ 1/k (B) Väite seuraa antamalla k. ϕ(a k,i ) ψ 1/k (A) + 1/k. Esimerkki. Ottamalla kokoelmaksi F avaruuden R n n-välien luokka ja ϕ(i) = v(i) saadaan mittana ψ Lebesguen mitta m n. Hausdorn mitta H s, 0 s < saadaan valinnoilla F = P(X), ϕ(a) = diam(a) s, missä sovitaan, että diam( ) 0 = 0 ja diam(a) 0 = 1 kun A. Mikäli käytetään P(X) :n sijasta suljettuja palloja, {B(x, r) : x X, r > 0}, saadaan S s, jolle HT Lisäksi S s = H s reaaliakselilla. H s (A) S s (A) 2 s H s (A). 6

Huomautus. H 0 on lukumäärämitta. Kun X = R n ja metriikka tavallinen euklidinen, niin H n = c(n)m n, missä 0 < c(n) < ja c(1) = 1. Itse asiassa c(n) = 2 n /m n (B n (0, 1)), katso Mattilan kirja. Jos γ on siisti käyrä, niin H 1 (γ) on käyrän γ pituus. Jos X on siisti pinta avaruudessa R n, niin H m (X) on pinnan M m- ulotteinen pinta-ala. H m on peräisin Caratheodory'lta vuodelta 1914. Hausdor määritteli yleisen H s vuonna 1918 ja osoitti, että H s (C) = 1 kun C on Cantorin 1 log 2 -joukko ja s =. 3 log 3 Kun 0 s < t < ja H s (A) <, niin H t (A) = 0. Määritellään dim H (A) = inf{s : H s (A) = 0}. Esimerkiksi H s (R n ) = 0 kun s > n ja dim H (R n ) = n. Hausdordimension voi määritellä monella ekvivalentilla tavalla HT. H s on Borel-säännöllinen, sillä voidaan ottaa F = {A X : A suljettu}; huomaa, että diam(a) = diam(a) jokaiselle A. H s δ ei ole yleensä Borelin mitta. Hausdorn mitta H 1 toimii huonosti esimerkiksi koko tasossa, sillä tällöin jokaisen epätyhjän avoimen joukon mitta on ääretön. Toisaalta H 1 antaa äärellisen mitan suoristuvan käyrän osajoukoille. Tämä motivoi seuraavan määritelmän. Määritelmä. Olkoon µ (ulko)mitta X :ssä ja A X. Mitan µ rajoittuma joukkoon A saadaan kaavalla (µ A)(B) = µ(a B). 7

1.4 Lause. 1. µ A on ulkomitta. 2. Jos B on µ-mitallinen, niin B on µ A-mitallinen. 3. Jos A on µ-mitallinen, µ(a) < ja µ on Borel-säännöllinen, niin µ A on Borel-säännöllinen. Lause 1.4:n todistus jätetään harjoitustehtäväksi. Esimerkki. Jos A X on H s -mitallinen ja H s (A) <, niin H s A on äärellinen Borel-säännöllinen mitta. Erityisesti H s C on sellainen kun C on Cantorin 1 log 2 -joukko ja s =. 3 log 3 Tarkastellaan seuraavaksi mitallisten joukkojen approksimointia suljetuilla/avoimilla joukoilla. Palautetaan ensin mieleen Lebesguen mitan tapaus: (1) Jokaiselle A R n ja jokaiselle ɛ > 0 löytyy avoin U ɛ s.e. A U ɛ ja m n (U ɛ ) m n (A) + ɛ. (2) Jokaiselle Lebesgue-mitalliselle A R n ja jokaiselle ɛ > 0 löytyy suljettu F ɛ s.e. F ɛ A ja m n (A) m n (F ɛ ) + ɛ. 1.5 Lause. Olkoon µ Borel-säännöllinen (ulko)mitta ja A X µ-mitallinen. 1. Jose µ(a) <, niin jokaiselle ɛ > 0 löytyy suljettu F ɛ s.e. F ɛ A ja m n (A \ F ɛ ) ɛ. 2. Jos on olemassa avoimet joukot V 1, V 2,... s.e. A V i ja µ(v i ) < jokaiselle i, niin jokaiselle ɛ > 0 löytyy avoin V s.e. A V ja µ(v \ A) < ɛ. Todistus. Todistetaan väite (1) ensin Borelin joukolle A. Siirtymällä mittaan µ A voidaan olettaa, että µ(x) <. Asetetaan Γ = {A B(X) : sekä (1) että (2) pätee joukolle A}. Osoitetaan, että Γ on σ-algebra. Selvästi Γ. 8

Olkoon B Γ ja ɛ > 0. Tällöin löytyy avoin U ja suljettu F s.e. F B U ja µ(b \ F ) < ɛ. µ(u \ B) < ɛ. Nyt X \ U X \ B X \ F antaa approksimaation suljetulla joukolla ja avoimella joukolla joukolle X\B. Lisäksi µ((x \ F ) \ (X \ B)) = µ(b \ F ) < ɛ ja µ((x \ B) \ (X \ U)) = µ(u \ B) < ɛ. Täten X \ B Γ. Olkoot B 1, B 2, Γ ja ɛ > 0. Löytyy suljetut F i ja avoimet U i s.e. F i B i U i ja µ(b i \F i ) < ɛ/2 i, µ(u i \B i ) < ɛ/2 i. Asettamalla U = U i saadaan avoin joukko, jonka nähdään helposti approksimoivan joukkoa B := B i halutulla tavalla. Subadditiivisuudella nähdään myös, että µ(b \ F i ) < ɛ. Toisaalta joukot B\ k F i muodostavat vähenevän jonon mitallisia joukkoja ja µ(b \ F 1 ) µ(x \ F 1 ) <, joten lim µ(b \ k F i ) = µ(b \ F i ) < ɛ. k Siispä F := k F i kelpaa approksimoivaksi suljetuksi joukoksi rittävän suurella k. Olemme todistaneet, että Γ on σ-algebra. Olkoon nyt E suljettu. Osoittaaksemme, että E Γ, rittää approksimoida E :tä ulkoa sopivalla avoimella joukolla. Olkoon ɛ > 0 ja määritellään U i = {x X : d(x, E) < 1/i}, jolloin U i on avoin. Nyt E U i jokaisella i, ja koska E on suljettu, seuraa helposti, että E = U i. Edelleen U 1 U 2..., µ(u 1 ) µ(x) < ja jokainen U i on avoimena mitallinen sillä µ on Borelin mitta. Täten µ(e) = µ( U i ) = lim i µ(u i ). 9

Koska E on mitallinen, saadaan µ(u i \ E) = µ(u i ) µ(e) 0 kun i, joten U i riittävän suurella i kelpaa halutuksi approksimoivaksi avoimeksi joukoksi. Olemme osoittaneet, että Γ on σ-algebra, joka sisältää suljetut joukot, erityisesti jokaisen Borel-joukon. Todistetaan nyt väite (1). Voidaan jälleen olettaa, että µ(x) <. Olkoon A µ-mitallinen ja ɛ > 0. Tällöin myös X \ A on µ-mitallinen ja koska µ on Borel-säännöllinen, löytyy B B(X) s.e. X \ A B ja µ(x \ A) = µ(b). Nyt myös µ(a \ (X \ B)) = µ(b \ (X \ A)) = 0. Koska X \ B A on Borel, todistuksen alkuosan nojalla löytyy suljettu F X \ B s.e. Täten µ(a \ F ) < ɛ sillä µ((x \ B) \ F ) < ɛ. A \ F = ((X \ B) \ F ) ((A \ (X \ B)) \ F ). Todistetaan lopuksi väite (2). Olkoon ɛ > 0. Nyt V i \ A on mitallinen ja µ(v i \ A) <. Kohdan (1) nojalla löytyy suljettu F i V i \ A s.e. µ((v i \ A) \ F i ) < ɛ/2 i. Asetetaan U = (V i \ F i ), jolloin U on avoin ja väite seuraa: µ(u \ A) = µ(( (V i \ F i )) \ A) µ((v i \ F i ) \ A) < ɛ. Huomautus. Jos X voidaan esittää numeroituvana yhdisteenä kompakteja joukkoja, niin kohdassa (1) joukon F voidaan vaatia olevan kompakti. Näin on esimerkiksi kun X = R n. 10

2 Mitalliset funktiot Kertaa perusasiat mitta- ja integraaliteoriasta. Määritelmä. Olkoon f : X R ja Γ P(X). f on Γ-mitallinen jos f 1 ([, t[) Γ jokaiselle t R. f on Borelin funktio jos se on B(X)-mitallinen. Jos µ on (ulko)mitta X :ssä, niin f on µ-mitallinen jos se on M µ - mitallinen. Ominaisuuksia Jos f i : X R ovat Γ-mitallisia, i = 1, 2,..., niin inf i 1 f i, sup i 1 f i, lim inf i f i ja lim sup i f i ovat Γ-mitallisia. Erityisesti lim i f i on Γ-mitallinen jos kyseinen raja-arvo on olemassa. Jos f : X R on jatkuva ja µ Borelin mitta, niin f on Borelin funktio ja µ-mitallinen. Jos f : X R on Borelin funktio ja µ Borelin mitta, niin f on µ-mitallinen. 2.1 Lause. Egorovin lause (Dmitri Egorov 18691931) Olkoon Γ σ-algebra X :ssä, µ : Γ [0, ] mitta, µ(x) < ja f i : X R Γ-mitallisia. Jos f i (x) f(x) R µ-m.k. niin jokaiselle ɛ > 0 löytyy A ɛ Γ s.e. µ(x \ A ɛ ) < ɛ ja f i (x) f(x) tasaisesti joukossa A ɛ. Huomautus. 1. Valitsemalla Γ = M µ saadaan vastaava tulos µ-mitallisuuden suhteen. 2. Esim. Lebesguen mitan tapauksessa voidaan ottaa Γ = B(R n ), funktiot f i Borelin funktioiksi ja saadaan A ɛ B(R n ). Esimerkki. Olkoon X =]0, 1[ ja µ = m 1, f i (x) = 1/(ix). Tällöin f i (x) 0 kaikille x X. Annetulle ɛ > 0, joukoksi A ɛ voidaan valita ]ɛ/2, 1[. 11

Todistus. Asetaan A k,m = {x : f i (x) f(x) < 1/k kaikille i m} kun k, m 1. Jokaiselle k pätee {x : lim i f i (x) = f(x)} m=1 A k,m. Nyt A k,m Γ kaikille k, m mitallisuuden ja mitallisten funktioiden perusoperaatioiden nojalla. Täten myös m=1 A k,m Γ. Niinpä 0 = µ(x \ m=1 A k,m = µ( (X \ A k,m )). Jos m n, niin A k,m A k,n, joten X \ A k,n X \ A k,m. Koska µ(x) <, saadaan lim µ(x \ A k,m) = µ( (X \ A k,m )) = 0. m m=1 Olkoon ɛ > 0. Jokaiselle k löytyy m k s.e. Asetetaan Tällöin A Γ ja µ(x \ A) = µ(x \ m=1 µ(x \ A k,mk ) < ɛ/2 k. A = A k,mk. k=1 A k,mk ) = µ( (X \ A k,mk )) ɛ. k=1 k=1 Kun x A, pätee x A k,mk kaikille k ja f i (x) f(x) < 1/k kaikille i m k. Täten f i (x) f(x) tasaisesti joukossa A. Huomautus. Oletusta µ(x) < tarvitaan HT. 2.2 Lause. Lusinin lause (Nikolai Luzin 18831950) Olkoon µ Borel-säännöllinen, µ(x) < ja f : X R µ-mitallinen. Tällöin 12

jokaiselle ɛ > 0 löytyy suljettu joukko F ɛ X s.e. µ(x \ F ɛ ) < ɛ ja f Fɛ on jatkuva. Huomautus. Myös Lusinin lauseen käänteinen väite pätee HT. Ehto µ(x) < voidaan työllä korvata oletuksella, että X voidaan esittää numeroituvana yhdisteenä joukkoja, joiden µ-mitta on äärellinen. Lause pätee myös kun f : A R, missä A on µ-mitallinen ja µ(a) < : tarkastele mitan µ rajoittumaa joukkoon A. Lusinin lause EI väitä, että f olisi jossakin pisteessä jatkuva: tarkastele vaikkapa rationaalipisteiden karakterista funktiota reaaliakselilla ja käytä mittana Lebesguen mittaa. Todistus. Oletetaan ensiksi, että f on yksinkertainen: f = k a i χ Ai, missä 0 a i <, A i M µ, A i A j = kun i j ja X = k A i. Lause 1.4 antaa suljetut joukot F j A j s.e. µ(a j \ F j ) < ɛ/k. Asetetaan F = k F j, jolloin F on suljettu ja µ(x \F ) < ɛ. Lisäksi funktion f rajoittuma joukkoon F on selvästi jatkuva: jos x F j, niin d(x, F i ) > 0 jokaisella i j ja f = a j joukossa F j. Olkoon nyt f 0 mitallinen. Löytyy yksinkertaiset f i s.e. f i (x) f(x) kaikilla x X. Todistuksen ensimmäisen kappaleen nojalla saadaan suljetut E i X s.e. µ(x \ E i ) < ɛ/2 i+1 ja f i Ei on jatkuva. Asetetaan jolloin F on suljettu ja µ(x \ F ) = µ(x \ F = E i, E i ) = µ( (X \ E i ) < ɛ/2. 13

Egorovin lauseen nojalla löytyy mitallinen A ɛ X s.e. µ(x \ A ɛ ) < ɛ/4. ja f i (x) f(x) tasaisesti joukossa A ɛ. Täten f F Aɛ on jatkuva. Edelleen Lause 1.4 antaa suljetun joukon F ɛ F A ɛ, jolle µ((f A ɛ ) \ F ɛ. Siispä F ɛ on haluttu joukko funktiolle f : µ(x \ F ɛ ) < ɛ. Yleiselle mitalliselle f = f + f väite seuraa käyttäen edellisen kappaleen tulosta funktioille f +, f. 2.3 Seuraus. Olkoon µ Borel-säännöllinen ja µ(x) <. Tällöin f : X R on µ- mitallinen jos ja vain jos löytyy jatkuvat f i : X R s.e. f i (x) f(x) µ-m.k. Todistus. Olkoon f : X R µ-mitallinen. Lusinin lauseen nojalla löydetään suljetut F j X s.e. µ(x \ F j ) < 1/j ja f Fj on jatkuva. Voidaan olettaa, että F j F j+1 kaikille j 1 : korvataan joukot F j tarvittaessa joukoilla ˆF j := j F i. Tietzen jatkolauseen nojalla löytyy jatkuvat f j : X R s.e. f j Fj = f. Haluttu approksimaatio seuraa, sillä X \ F j on Borelin joukko ja siten mitallinen, f i = f = f j joukossa F j jokaiselle i j, ja µ(x \ F j ) < 1/j. Olkoon funktiolla f väitteessä annettu approksimaatio. Jokainen kyseisistä funktioista f i on jatkuvana Borelin funktio ja siten myös µ-mitallinen, sillä µ on Borel-säännöllinen. Olkoon E se joukko, missä funktiot f i eivät suppene funktioon f. Tällöin µ(e) = 0 ja Borel-säännöllisyyden nojalla löytyy Borelin joukko B s.e. E B ja µ(b) = 0. Nyt f i (x) f(x) Borelin joukossa X \B, joten f B on Borelin funktio. Määrittelemällä ˆf = f joukossa X \ B ja ˆf = 0 joukossa B saadaan Borelin funktio ˆf, joka yhtyy funktioon f µ-m.k. Koska µ on Borelin mitta, ˆf on µ-mitallinen ja täten myös f. 14

3 Rieszin esityslause Tässä luvussa oletamme, että avaruuden X jokainen joukko, joka on sekä rajoitettu että suljettu, on kompakti. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että jokainen suljettu pallo on kompakti. Luvun päätulokseen riittää lokaalimpi oletus, katso esim. Rudin. Merkitään C(X) = {f : X R : f jatkuva}. Funktion f : X R kantaja on spt(f): ={x X : f(x) 0}. Edelleen C 0 (X) = {f C(X) : spt(f) kompakti}. Avaruus C(X) on vektoriavaruus ja sen aliavaruus C 0 (X) on normiavaruus, f = sup{ f(x) : x spt(f)} = max{ f(x) : x spt(f)}. Olkoon µ Borel-säännöllinen mitta, jolle µ(k) < jokaiselle kompaktille K X (Radonin mitta). Kertaa integraaliteorian osuus mitta- ja integraaliteoriasta. Lyhennetään merkintä f dµ merkinnäksi f dµ. X Määritellään T : C 0 (X) R kaavalla T (f) = T f = f dµ. Tällöin T on lineaarinen: T (αf + βg) = αt f + βt g kun α, β R ja f, g C 0 (X). Lisäksi T f 0 jos f 0. Määritelmä. L : C 0 (X) R on positiivinen lineaarinen funktionaali jos se on lineaarinen ja Lf 0 aina kun f 0. Huomautus. Positiivinen lineaarinen funktionaali on monotoninen: Lf Lg jos f g : koska g f 0, niin Lg Lf = L(g f) 0. 3.1 Lause. Rieszin esityslause (Frigyes Riesz 18801956) Olkoon L : C 0 (X) R positiivinen lineaarinen funktionaali. Tällöin löytyy yksikäsitteinen Borel-säännöllinen mitta µ s.e. 1. Lf = f dµ kaikille f C 0 (X) ja 2. µ(k) < jokaiselle kompaktille K X. 15

Todistusta varten tarvitsemme topologisia aputuloksia. 3.2 Lemma. Urysohnin lemma (Pavel Urysohn 18981924) Jos K U on kompakti ja U on avoin, niin löytyy f C 0 (X) s.e. f K = 1, 0 f 1 ja spt(f) U. Todistus. Määritellään f(x) = max{0, (δ d(x, K))/δ}, missä δ = d(k, X \ U)/2 jos U X ja δ = 1 jos U = X. 3.3 Lemma. Olkoon K X ja kompakti ja U 1, U 2,..., U m X avoimia s.e. K m U i. Tällöin löytyy kompaktit K 1, K 2,..., K m s.e. K i U i kaikilla i ja K = m K i. Todistus. Oletetaan ensiksi, että m = 2. Löytyy ɛ > 0 s.e. jokaiselle x K pätee B(x, ɛ) U 1 tai B(x, ɛ) U 1 (Lebesguen luku). Asetetaan K i = {x K : d(x, X \ U i ) ɛ} kun i = 1, 2. Helposti nähdään, että joukoilla K 1, K 2 on halutut ominaisuudet. Tapaus m 3 saadaan induktiolla. 3.4 Lemma. Ykkösen ositus Olkoon K X kompakti ja U 1,..., U m avoimia joukkoja s.e. K m U i. Tällöin löytyy funktiot h 1,..., h m C 0 (X) s.e. spt(h i ) U i, 0 h i 1 ja m h i(x) = 1 jokaiselle x K. Todistus. Olkoot K 1,..., K m edellisen lemman antamat kompaktit joukot. Urysohnin lemman nojalla löytyy f i C 0 (X) s.e. 0 f i 1, f i (x) = 1 kun x K i ja spt(f i ) U i. Asetetaan h 1 = f 1, h 2 = (1 f 1 )f 2,..., h m = (1 f 1 )... (1 f m 1 )f m. Tällöin 0 h i 1, h i C 0 (X) ja selvästi spt(h i ) U i. Edelleen ja induktiolla saadaan h 1 + h 2 = f 1 + (1 f 1 )f 2 = 1 (1 f 1 )(1 f 2 ) m h i = 1 (1 f 1 )... (1 f m ). Kun x K, x K i jollakin i ja tällöin f i (x) = 1. Täten m h i(x) = 1. 16

Todistus. (Rieszin esityslause) Yksikäsitteisyys: olkoot µ, ν Borel-säännöllisiä mittoja, jotka toteuttavat Rieszin esityslauseen ominaisuudet (1) ja (2). Kiinnitetään x X. Nyt X = B(x, i) ja µ(b(x, i)) µ(b(x, i)) < jokaiselle i ja vastaavasti mitalle ν; muista, että oletimme että ne joukot ovat sekä suljettuja että rajoitettuja ovat kompakteja. Siispä avaruudelle X löytyy numeroituva peite avoimia, äärellismittaisia joukkoja molempien mittojen suhteen. Täten Lause 1.4 antaa µ(a) = inf{µ(u) : A U, U avoin} kun A B(X) ja vastaava pätee myös mitalle ν. Olkoon U avoin. Löytyy kompaktit K 1 K 2... s.e. U = K i. Urysohnin lemman nojalla löytyy f i C 0 (X) s.e. 0 f i 1, f i (x) = 1 kun x K i ja spt(f i ) U. Korvaamalla f i funktiolla ˆf i = max 1 j i f j voidaan olettaa, että f 1 f 2 Nyt jono f j kasvaa joukon U karakteriseen funktioon, joten monotoninen konvergenssi ja ominaisuus (1) antavat µ(u) = lim f i dµ = lim f i dν = ν(u). i i Edellisen kappaleen approksimointituloksen nojalla saamme µ(a) = ν(a) jokaiselle A B(X). Annetulle A X, mittojen µ, ν Borel-säännöllisyys antaa Borelin joukot B µ, B ν s.e. A B µ, µ(a) = µ(b µ ) ja vastaavasti mitalle ν ja joukolle B ν. Nyt B µ B ν on Borelin joukko ja A B µ B ν, joten µ(a) = µ(b µ B ν ) = ν(b µ B ν ) = ν(a) edellisen kappaleen nojalla. Täten µ(a) = ν(a) jokaiselle A X. Todistetaan seuraavaksi vaaditun mitan olemassaolo askeleittain. Aloitetaan määrittelemällä µ( ) = 0 ja avoimelle U asetetaan µ(u) = sup{lf : f C 0 (X), 0 f 1, spt(f) U}. Yleiselle A X määritellään µ(a) = inf{µ(u) : A U, U avoin}. Tällöin µ : P(X) [0, ] on hyvin määritelty. Aloitetaan todistamalla, että µ on (ulko)mitta. Ensinnäkin, jos A B, niin selvästi µ(a) µ(b). Olkoot A 1, A 2, X ja ɛ > 0. Löytyy avoimet U i s.e. A i U i ja µ(u i ) µ(a i ) + ɛ/2 i. 17

Olkoon f C 0 (X) s.e. 0 f 1 ja spt(f) U i. Koska spt(f) on kompakti, löytyy m s.e. spt(f) m U i. Lemma 3.4 antaa funktiot h i C 0 (X) s.e. 0 h i 1, spt(h i ) U i ja m h i(x) = 1 jokaiselle f :n kantajan pisteelle x. Nyt m f = h i f, missä h i f C 0 (X), 0 h i f 1 ja kantaja sisältyy joukkoon U i, joten Täten ja siten Lf = L( m h i f) = m L(h i f) µ( U i ) µ( A i ) m µ(u i ) µ(a i ) + ɛ µ(a i ). m µ(a i ) + ɛ. Olemme osoittaneet, että µ on ulkomitta. Osoitetaan seuraavaksi, että µ(k) < jokaiselle kompaktille K X. Olkoon K X kompakti. Tällöin löytyy x X ja r > 0 s.e. K B(x, r). Urysohnin lemman avulla saadaan g C 0 (X) s.e. g(x) = 1 jokaiselle x B(x, r). Olkoon f C 0 (X) s.e. 0 f 1 ja f :n kantaja sisältyy avoimeen joukkoon B(x, r). Nyt Lf Lg sillä f g; muista, että L on monotoninen. Täten µ(k) µ(b(x, r)) Lg <. Osoitetaan, että µ on Borelin mitta. Rittää osoittaa, että µ on metrinen. Olkoot A, B X ja d(a, B) > 0. Pitää osoittaa, että µ(a B) = µ(a)+µ(b). Subadditiivisuuden nojalla riittää osoittaa, että µ(a) + µ(b) µ(a B). Olkoon ɛ > 0 ja W avoin joukko s.e. µ(w ) µ(a B) + ɛ ja A B W. Olkoot U, V avoimia s.e A U W, B V W ja U V =. Valitaan f, g C 0 (X) s.e. 0 f 1, 0 g 1, spt(f) U, spt(g) V ja µ(u) Lf + ɛ, µ(v ) Lg + ɛ. Nyt f + g C 0 (X), 0 f + g 1 ja spt(f + g) W, joten L(f + g) µ(w ). Edelleen µ(a) + µ(b) Lf + Lg + 2ɛ = L(f + g) + 2ɛ µ(a B) + 3ɛ ja väite seuraa antamalla ɛ 0. 18

Osoitetaan seuraavaksi, että µ on Borel-säännöllinen. Olkoon A X. Jos µ(a) =, valitaan B = X B(X). Ellei, löytyy avoimet U i X s.e. A U i ja µ(u i ) < µ(a i ) + 1/i. Olkoon V i = i j=1 U j. Tällöin V 1 V 2... ja V i, V i B(X). Nyt µ(a) (µ V i ) = lim i µ(v i ) lim i µ(a) + 1/i = µ(a). Osoitetaan lopulta ehto (1): Lf = f dµ kun f C 0 (X). Riittää osoittaa, että Lf f dµ kaikille f C 0 (X). Jos nimittäin tämä pätee, niin Lf = L( f) ( f) dµ = f dµ. Tarkastellaa vain tapausta f 0. Yleinen tapaus saadaan tämän argumentin pienellä modikaatiolla. Olkoon 0 f C 0 (X) ja ɛ > 0. Tällöin löytyy b < s.e. 0 f(x) < b kaikille x X. Olkoot 0 = y 0 < y < < y m = b s.e. y i y i 1 < ɛ kaikille i = 1,..., m. Asetetaan E i = {x sptf : y i 1 f(x) < y i }. Tällöin sptf = m E i, E i E j = kun i j ja E i B(X) M µ. Löytyy avoimet U i E i s.e. µ(u i ) < µ(e i ) + ɛ/2 i. Leikkaamalla U i avoimella joukolla {x X : f(x) < y i } voidaan olettaa, että f(x) < y i joukossa U i. Ykkösen ositus joukoille spt(f) ja U 1,..., U m antaa funktiot h i C 0 (X) s.e. 0 h i 1, spt(h i ) U i ja m h i(x) = 1 jokaiselle funktion f kantajan pisteelle x. Nyt m Lf = L( h i f) = m L(h i f) m y i L(h i ). Edelleen L(h i ) µ(u i ) µ(e i ) + ɛ/2 i, y i y i 1 + ɛ ja f y i 1 joukossa E i. Täten m Lf (y i 1 + ɛ)(µ(e i ) + ɛ/2 i ) f dµ + (b + µ(sptf))ɛ + ɛ 2, ja haluttu epäyhtälö seuraa antamalla ɛ 0. 19

Esimerkki. Olkoon X = R. Määritellään Lf = f(x) dx kun f C 0 (R), missä integraali on tavallinen Riemannin integraali. Tämä on lineaarinen funktionaali, joten Rieszin esityslauseen nojalla löytyy yksikäsitteinen Borel-säännöllinen mitta µ, jolle µ(k) < jokaiselle kompaktille K ja f(x) dx = f dµ kaikille f C 0 (R). Tällöin µ = m 1. R 20

4 Mittojen heikko konvergenssi Määritelmä. Sanotaan, että Borel-säännöllinen mitta µ on Radonin mitta jos µ(k) < jokaiselle kompaktille K X. Olkoot µ i, µ Radonin mittoja. Sanotaan, että (µ i ) suppenee heikosti kohti mittaa µ jos f dµ i f dµ kun i jokaiselle f C 0 (X). Merkitään tällöin µ i µ. Huomautus. Merkintä µ i konvergenssi. µ olisi järkevämpi, sillä kyseessä on heikko Esimerkki. 1. Jos x i x, niin Diracin mitoille δ xi pätee δ xi δ x. 2. Jos X = R, niin Diracin mitat δ i suppenevat heikosti mittaan µ = 0. Toisaalta δ i (R) = 1 0 = µ(r). 3. Jos X = R, niin Diracin mitat δ 1/i suppenevat heikosti Diracin mittaan δ 0, mutta δ i ({0}) = 0 1 = δ 0 ({0}). Mittojen heikko suppeneminen ei siis takaa joukkojen mittojen suppenemista. 4. Olkoon X = R ja µ k = 1 k k δ i/k kun k 2. Nyt R f dµ k = 1 k k f( i 1 k ) f dx = 0 [0,1] f dm 1 jokaiselle f C 0 (R), missä toiseksi viimeinen integraali on Riemannintegraali. Siispä jonon (µ k ) heikko raja on Lebesguen mitan rajoittuma välille [0, 1]. Huomautus. Mittojen heikko raja on yksikäsitteinen (jos olemassa) kun jokainen joukko joka on sekä suljettu että rajoitettu on kompakti.tämä seuraa Rieszin esityslauseesta sovellettuna positiiviseen lineaariseen funktionaaliin Lf := lim i f dµi. 21

4.1 Lause. Olkoon (µ i ) jono Radonin mittoja R n :ssä s.e. sup i µ i (K) < jokaiselle kompaktille joukolle K. Tällöin jonolla (µ i ) on heikosti suppeneva osajono. Kyseinen mittojen heikko raja µ on myös Radonin mitta. Todistus. Oletetaan ensiksi, että sup i (R n ) = M <. Yleinen tapaus todistetaan lopuksi tätä argumenttia käyttäen. Koska C 0 (R n ) on separoituva (Weierstrassin lause), löytyy jono (ϕ i ) C 0 (R n )- funktioita, s.e. jokaiselle f C 0 (R n ) ja jokaiselle ɛ > 0, sup f(x) ϕ i (x) < ɛ x R n jollekin i. Jono ( ϕ 1 dµ i ) on rajoitettu jono reaalilukuja, joten löytyy suppeneva osajono ( ϕ 1 dµ 1 i ). Edelleen jono ( ϕ 2 dµ 1 i ) on rajoitettu, ja saadaan jonon (µ 1 i ) osajono (µ 2 i ), jolle sekä lim i ϕ1 dµ 2 i että lim i ϕ2 dµ 2 i ovat olemassa. Jatketaan induktiivisesti. Diagonaalijonolle (µ i i) haluttu raja-arvo lim i ϕj dµ i i on olemassa jokaiselle j. Määritellään Lϕ j := lim ϕ j dµ i i i. Osoitetaan, että jokaiselle f C 0 (R n ) on olemassa lim i f dµ i i. Kiinnitetään f C 0 (R n ) ja ɛ > 0. Valitaan k s.e. sup f(x) ϕ k (x) < ɛ x R n ja j ɛ s.e. ϕ k dµ i i ϕ k dµ j j < ɛ kaikille i, j j ɛ. Nyt f dµ i i f dµ j j 2 max m {i,j} f dµ m m ϕ k dµ m m + ϕ k dµ i i ϕ k dµ j j. Yhdistämällä estimaatit saadaan f dµ i i f dµ j j ɛ + (µj j (Rn ) + µ i i(r n ))ɛ (1 + 2M)ɛ kun i, j j ɛ. Täten ( f dµ i i) on Cauchy ja voidaan määritellä Lf := lim f dµ i i i. 22

Tällöin L on positiivinen lineaarinen funktionaali ja Rieszin esityslause antaa halutun Radonin mitan µ. Oletetaan nyt, että sup i µ i (K) < jokaiselle kompaktille K. Erityisesti siis sup i µ i (B(0, j)) < jokaiselle j 1. Tarkastellaan mittoja ν i = µ i B(0, j) kiinteälle j. Tällöin sup i (ν i (R n )) < ja jokainen ν i on Radonin mitta. Todistuksen alkuosan perusteella saadaan osajono ν j i siten että lim f dν j i i jokaiselle f C 0 (R n ). Siirtymällä diagonaalijonoon voidaan määritellä Lf := lim f dµ i i i. Tällöin L on positiivinen lineaarinen funktionaali ja Rieszin esityslause antaa halutun Radonin mitan tässäkin tapauksessa. Esimerkki. Tarkastellaan standardia Cantorin 1 -joukkoa C. Konstruktion 3 tasolla j meillä on 2 j suljettua välin [0, 1] osaväliä I j,i, joiden jokaisen pituus on 3 j. Asetetaan mitaksi µ j Lebesguen mitan m 1 rajoittuman kyseisten välien yhdisteeseen F j painotettuna kertoimella ( 3 2 )j. Tällöin µ j (R) = 1. Lause 4.1 antaa Radonin mitan µ, jolle µ j µ. Tälle mitalle µ(r) = 1 ja µ(r \ C) = 0, joten µ(c) = 1. Perustellaan lyhyesti: selvästi µ(r) 1. Löytyy f C 0 (R), jolle 0 f 1 ja f = 1 välillä [0, 1]. Tällöin µ(r) f dµ = lim f dµ j = 1. j R Jos K R \ C on kompakti, niin d(k, C) > 0. Löytyy siten f C 0 (R), jolle 0 f 1, f = 1 joukossa K ja spt(f) C =. Siispä µ(k) f dµ = lim f dµ j = 0. j Itse asiassa µ = H s C, missä s = log 2 log 3. R Huomautus. Lause 4.1 pätee yleisemminkin: tarvitaan avaruuden C 0 (X) separoituvuus ja sopiva versio Rieszin esityslauseesta. Erityisesti kun (X, d) :n suljetut pallot ovat kompakteja voidaan käyttää Rieszin esityslausetta. Tällaisille (X, d) avaruus C 0 (X) on separoituva Stone-Weierstrassin lauseen nojalla. 23

Perustellaan avaruuden C 0 (X) separoituvuutta hieman tarkemmin. Stone- Weierstrass kertoo seuraavan: Olkoon X kompakti avaruus. Tällöin A C(X) on tiheä supremum-normin suhteen jos kokoelmalla A on seuraavat ominaisuudet 1) jos f, g A ja λ 1, λ 2 R, niin λ 1 f + λ 2 g A, 2) jos f, g A, niin fg A, 3) vakiofunktio f(x) = 1 kuuluu kokoelmaan A, 4) jos x y, niin löytyy f A, jolle f(x) f(y). Tällaista kokoelmaa sanotaan algebraksi, joka separoi pisteet. Jos (X, d) :n suljetut pallot ovat kompakteja, separoituvuus seuraa helposti jos kiinteälle x 0 löydetään jokaiselle j 1 numeroituva algebra joukosta C(B(x 0, j)). Kiinnitetään j ja valitaan numeroituva tiheä joukko pisteitä y i B(x 0, j). Tämä onnistuu kompaktiuden avulla. Määritellään f i (x) = d(x, y i ), jolloin f i C(B(x 0, j)). Otetaan kokoelmaksi A vakiofunktion f(x) = 1 ja kaikkien äärellisten tulojen funktioista f i virittämä lineaarinen avaruus. Tämä on selvästi algebra, joka separoi pisteet. Nyt A ei ole numeroituva, mutta rationaalikertoimiset A :n alkiot antavat numeroituvan tiheän joukon. 24

5 Konvoluutio ja C -approksimaatio Kertausta muuttujanvaihdosta: Olkoon f L 1 (R n ), A M mn, h R n ja λ > 0. Tällöin missä ja f(x + h) dm n = f(y) dm n, A A+h f(λx) dm n = λ n f(y) dm n, A λa A + h = {x R n : x = a + h jollekin a A} λa = {x R n : x = λ jollekin a A}. Nämä kaavat ovat helppoja yksinkertaisille funktioille ja yleiset tapaukset saadaan approksimoimalla. Yleisemmin: jos L : R n R n on lineaarinen bijektio, niin A f(lx) dm n = 1 detl LA f(y) dm n. Jos g : U V on dieomorsmi, U, V avoimia ja A U, niin (f g) J g (x) dm n = f(y) dm n, missä J g (x) = det(dg(x)). A Määritelmä. Funktioiden f, g L 1 (R n ) konvoluutio f g määritellään asettamalla (f g)(x) = f(x y)g(y)dm n (y) R n g(a) kun x R n on sellainen, että g(y) := f(x y)g(y) on integroituva. Huomautus. Muuttujanvaihdolla nähdään, että (f g)(x) = (g f)(x). 5.1 Lause. Jos f, g L 1 (R n ), niin f g on määritelty m n -m.k. x R n. Lisäksi f g L 1 (R n ) ja f g L 1 f L 1 g L 1. 25

Todistus. Määritellään F : R n R n R kaavalla F (x, y) = f(x y)g(y). Tällöin F on m 2n -mitallinen: määritellään L(x, y) = (x y, y), F 1 (x, y) = f(x)g(y), jolloin F = F 1 L; esim. yksinkertaisten funktioiden avulla nähdään helposti, että F 1 on m 2n -mitallinen ja edelleen, että F on myös HT. Integroidaan: f(x y)g(y) dxdy = R n R n g(y) R n f(x y) dxdy = R n = f L 1 g(y) dy = f L 1 g L 1. R n Fubinin lauseesta saadaan, että f(x y)g(y) dy < R n m.k. x R n ja että h(y) = f(x y)g(y) on integroituva m.k. x R n. Halutttu normiepäyhtälö saadaan yllä olevasta laskusta. 5.2 Lause. Olkoon f L 1 (R n ). 1. Jos g C 0 (R n ), niin f g C(R n ). 2. Jos g C k 0 (R n ), niin f g C k (R n ). Huomautus. Jos molemmat funktiot ovat kompaktikantajaisia, niin myös niiden konvoluutio on. Tähän ei riitä toisen kompaktikantajaisuus. Todistus. Koska g C 0 (R n ), niin g L 1 (R n ) ja g on rajoitettu. Niinpä f g(x) on määritelty jokaiselle x R n ja (f g)(x + h) (f g)(x) = [g(x y + h) g(x y)]f(y)dy R n kun h R n. Koska g C 0 (R n ), niin g on tasaisesti jatkuva: annetulle ɛ > 0 löytyy δ > 0 s.e. g(x y + h) g(x y) < ɛ 26

kaikille x, y kun h < δ. Täten annetulle ɛ > 0 löytyy δ > 0 s.e. (f g)(x + h) (f g)(x) ɛ f L 1 kun h < δ. Siispä f g on (tasaisesti) jatkuva kun g C 0 (R n ). Oletetaan, että g C0(R 1 n ). Olkoon e i = (0,..., 1,..., 0) standardi kantavektori, 1 i n, ja 0 h R. Tällöin 1 h (f g(x + he i) f g(x)) = Väliarvolauseen nojalla g(x y + he i ) g(x y) R h n g(x y + he i ) g(x y) = h i g(z) M h f(y)dy. jollekin z pisteiden x y + he i ja x y välisellä janalla, missä M riippuu vain funktiosta g C0(R 1 n ). Täten dominoidun konvergenssin lause antaa 1 lim h 0 h (f g(x + he i) f g(x)) = i g(x y)f(y)dy = f ( i g)(x) R n ja tämä on todistuksen ensimmäisen kappaleen nojalla jatkuva. Yleinen tapaus g C k 0 (R n ) saadaan induktiolla. Määritelmä. Funktioperhe {ϕ ɛ : ɛ > 0} on approksimatiivinen identiteetti jos jokaiselle ɛ > 0 ϕ ɛ 0 ja ϕ ɛ on jatkuva, sptϕ ɛ B(0, ɛ) ja R n ϕ ɛ dm n = 1. Edelleen approksimatiivinen identiteetti on sileä jos sen jokainen ϕ ɛ on sileä. Huomautus. Approksimatiiviisia identiteettejä on helppo konstruoida: kiinnitetään 0 ϕ C 0 (B(0, 1)), joka ei ole nollafunktio, ja asetetaan ϕ ɛ = c ɛ ϕ(x/ɛ), missä c = 1/ R n ϕ. Valitsemalla sileä ϕ saadaan sileä approksimatiivinen identiteetti. 5.3 Lause. Jos f L p (R n ), 1 p <, niin ϕ ɛ f f avaruudessa L p (R n ). 27

Todistusta varten tarvitaan seuraava lemma. 5.4 Lemma. Olkoon 1 p <. Tällöin kompaktikantajaisten jatkuvien funktioiden luokka C 0 (R n ) on tiheä avaruudessa L p (R n ). Erityisesti, jos f L p (R n ), niin lim h 0 R n f(x + h) f(x) p dx = 0. (1) Todistus. Dominoidun konvergenssin lauseesta saadaan helposti, että niiden rajoitettujen funktioiden luokka, joiden kantajat ovat rajoitettuja, on tiheä avaruudessa L p (R n ). Tällaisen funktion positiivi- ja negatiiviosaa voi approksimoida kasvavalla jonolla yksinkertaisia funktioita. Helposti nähdään, että kyseiset jonot antavat approksimaation avaruudessa L p (R n ). Riittää siten approksimoida näitä yksinkertaisia funktioita. Minkowskin epäyhtälön nojalla riittää approksimoida mitallisen, äärellismittaisen joukon karakterista funktiota jatkuvalla, kompaktikantajaisella funktiolla avaruudessa L p (R n ). Tämä on helppoa käyttäen monotonista konvergenssia ja Urysohnin lemmaa: muista, että m n (A) = sup{m n (K) : K A, K kompakti} = inf{m n (U) : A U, U avoin} kun A on m n -mitallinen. Jälkimmäinen väite on selvästi totta jos f C 0 (R n ), sillä tällöin f on tasaisesti jatkuva ja integrointi on yli kompaktien joukkojen. Olkoon sitten f L p (R n ) mielivaltainen ja ɛ > 0. Valitaan sellainen ϕ C 0 (R n ), jolle f ϕ p < ɛ. Silloin f(x + h) f(x) p = = f(x + h) ϕ(x + h) + ϕ(x + h) ϕ(x) + ϕ(x) f(x) p 2 f ϕ p + ϕ(x + h) ϕ(x) p < 3ɛ kunhan h on riittävän pieni, sillä ϕ on tasaisesti jatkuva ja kompaktikantajainen. Todistus. (Lause 5.3) 28

Ensinnäkin (ϕ ɛ u)(x) u(x) = ϕ ɛ (x y)u(y)dy u(x) ϕ ɛ (x y)dy R n R n ϕ ɛ (x y) u(y) u(x) dy R n ( ϕ ɛ (x y)dy) (p 1)/p ( R n ϕ ɛ (x y) u(y) u(x) p dy) 1 p R }{{} n =: z = ( ϕ ɛ (z) u(x z) u(x) p dz) 1 p R n Hölderin epäyhtälön nojalla kun 1 < p <, ja vastaava epäyhtälö pätee myös kun p = 1. Täten (ϕ ɛ u)(x) u(x) p dx ϕ ɛ (y) u(x y) u(x) p dydx R n R n R n = ϕ ɛ (y) u(x y) u(x) p dx dy, B(0,ɛ) R } n {{} 0 mikä menee nollaan kun ɛ 0 Lemma 5.4:n nojalla, sillä y B(0, ɛ) ja siten y 0, kun ɛ 0. 5.5 Lause. Olkoon 1 p <. Tällöin C 0 (R n ) on tiheä avaruudessa L p (R n ). Todistus. Oletetaan ensin, että sptf on kompakti. Olkoot ϕ 1/i sileitä funktioita sileästä approksimatiivisesta indentiteetistä. Edellisen lauseen nojalla ϕ 1/i f f avaruudessa L p (R n ) kun i. Edelleen ϕ 1/i f on kompaktikantajainen, sillä konvoluution molemmat funktiot ovat, ja täten Lause 5.2 antaa ϕ 1/i f C 0 (R n ). Olkoon sitten f L p (R n ) yleinen ja ɛ > 0. Valitaan j 1 niin suuri, että fχ B(0,j) f L p (R n ) < ɛ. Todistuksen ensimmäisen osan nojalla löytyy f i C 0 (R n ) s.e. fχ B(0,j) f i L p (R n ) < ɛ. 29

Väite seuraa Minkowskin epäyhtälöllä. Huomautus. 1. C 0 (R n ) ei ole tiheä avaruudessa L (R n ) : esim. kun n = 1 ja f = χ [0,1], niin f ϕ L (R) 1/2 jokaiselle ϕ C(R). 2. Jos Ω R n on avoin ja 1 p <, niin C 0 (Ω) on tiheä avaruudessa L p (Ω) : jos Ω R n, asetetaan K j = B(0, j) {x Ω : d(x, Ω) 1 j }. Tällöin K j on kompakti ja uχ Kj u avaruudessa L p (Ω); käytä edellistä lausetta funktion uχ Kj nollajatkoon ja valitse todistuksessa niin suuri i, että sptf i Ω. Huomautus. Jos f i f avaruudessa L p (R n ), niin ei välttämättä päde että f i (x) f(x) m.k., mutta löytyy osajono, jolle tämä on totta. Edellisen lauseen nojalla siis: jos f L p (R n ), niin löytyy f i C0 (R n ) s.e. f i (x) f(x) m.k. Voidaan myös määritellä mitan konvoluutio. Määritelmä. Olkoon µ Borelin mitta avaruudessa R n ja f : R n R. Tällöin f µ(x) = f(x y)dµ(y) R n niille x, joille y f(x y) on µ-integroituva. Palautetaan mieliin Fourier-muunnoksen määritelmä. Määritelmä. Funktion f Fourier-muunnos on ˆf(x) = f(y)e ix y dy = R n f(y) cos(x y)dy i R n f(y) sin(x y)dy, R n missä x y = x 1 y 1 + + x n y n on tavallinen sisätulo. Fourier-muunnos käyttäytyy hyvin konvoluutioissa HT. Määritelmässä käytetään usein termin ix y sijaan termiä iπxẏ, joka antaa yksinkertaisemman Parsevalin ja Plancherelin kaavat. 30

Huomautus. Idea funktioiden sileästä approksimaatiosta konvoluutiolla on peräisin Sergei Sobolevilta vuodelta 1938. Kurt Otto Friedrichs keksi saman idean vuonna 1944. Termi mollier on peräisin Friedrichs'iltä. 31

6 Peitelauseita ja niiden sovelluksia Kurssin eräs päämäärä on osoittaa, että jokainen kasvava f : [a, b] R on dierentioituva m 1 -m.k. x [a, b]. Tarkastellaan ongelmaa lyhyesti. Tarvitaan erityisesti toispuoleisten ala- ja yläderivaattojen D + f(x) = lim inf h 0+ ja f(x + h) f(x) h f(x + h) f(x) = lim inf{ δ 0 h : 0 < h < δ} D + f(x) = lim sup h 0+ f(x + h) f(x) h f(x + h) f(x) = lim sup{ δ 0 h : 0 < h < δ} yhtäsuuruus m 1 -m.k. Ellei, löytyy joukko A [a, b] s.e. m 1 (A) > 0 ja kaikille x A löytyy u < v joille D + f(x) < u < v < D + f(x). Tämä seuraa, sillä jos D + f(x) < D + f(x), löytyy rationaaliset q < r, joille D + f(x) < q < r < D + f(x). Tarkastellaan erikoistapausta misä A = [c, d[ joillekin c < d ja f on jatkuva. Tällöin myös f(a) on väli. Voitaisiin ehkä löytää äärellinen määrä erillisiä välejä [x i, x i + h i [, i = 1, 2,... ja [y i, y i + k i [ joukon A määritelmää käyttäen s.e. A = [x i, h i [= [y i, k i [ i i ja Tällöin saataisiin f(x i + h i ) f(x i ) < uh i, vk i < f(y i + k i ) f(y i ). d c = m 1 (A) = i i h i > 1 [f(x i + h i ) f(x i )] = u = 1 [f(y i + k i ) f(y i )] v k i = v (d c) > d c. u u u Yritetään käyttää tätä ideaa. Ongelmia syntyy, sillä A ei välttämättä ole väli, eikä ole selvää että kyseisten erillisten välien vastineet voidaan löytää. Tähän tarvitaan peitelauseita. i i 32

6.1 Lause. (5r-peitelause) Olkoon F perhe separoituvan avaruuuden (X, d) palloja B s.e. M := sup{r B : B F} <, missä 0 < r B < on pallon B säde. Tällöin on olemassa numeroituva (mahdollisesti äärellinen) perhe G F s.e. B j B i = kun B i, B j G, B i B j ja 5B. Todistus. Asetetaan B F B B G F j = {B F : M/2 j < r B M/2 j 1 }, j = 1, 2,..., jolloin F = j=1 F j. Määritellään perheet G j induktiivisesti: Olkoon G 1 mikä tahansa maksimaalinen perhe F 1 :n erillisiä palloja (siis pareittain pistevieras kokoelma palloja s.e. jokainen pallo B F 1 leikkaa jotakin perheen G 1 palloa). Tällainen kokoelma löytyy Zornin lemman nojalla. Oletetaan, että G 1,... G k 1 on valittu. Olkoon G k mikä tahansa maksimaalinen kokoelma F k :n erillisiä palloja B s.e. B B = jokaiselle B k 1 j=1 G j. Asetetaan G = j=1 G j, jolloin G on perhe kokoelman F erillisiä palloja. Olkoon x 1, x 2, X numeroituva tiheä joukko. Jokaiselle B G löytyy x j B. Koska pallot B G ovat erillisiä, myös kokoelman G täytyy olla numeroituva. Todistetaan lopuksi että jokaiselle B F löytyy B G s.e. B 5B. Olkoon B F. Löytyy k s.e. B F k. Koska G k on maksimaalinen, niin B B jollekin B k j=1 G j. Toisaalta r B > M/2 k ja r B M/2 k 1, joten r B < 2r B. Kolmioepäyhtälöllä saadaan B 5B käyttämällä tietoa B B. Huomautus. Jos avaruuden (X, d) suljetut pallot ovat kompakteja, Zornin lemman käyttö voidaan välttää: kiinnitetään x X ja tarkastellaan yllä ensiksi vain niitä perheen F 1 palloja, jotka sisältyvät palloon B(x, 2M). Jos näitä löytyy, valitaan yksi ja jatketaan valitsemalla erillisiä palloja niin kauan kuin mahdollista. Koska B(x, 2M) on kompakti, tämä prosessi on äärellinen. Jatketaan tarkastelemalla niitä perheen F 1 palloja, jotka sisältyvät palloon B(x, 2 2 M), ja jotka eivät leikkaa yhtään ensimmäisessä vaiheessa valittua palloa. Jatketaan ilmeisellä tavalla. Tällä argumentilla saadaan maksimaalinen perhe G 1. Loppu todistuksesta saadaan modioimalla alkuperäistä todistusta samalla tavalla. 33

Tarvitsemme myös seuraavaa peitelausetta. Muista, että suljetun pallon säde on aina aidosti positiviinen ja äärellinen. 6.2 Lause. (Vitalin peitelause) Olkoon A R n ja B perhe avaruuden R n suljettuja palloja s.e. inf{diam(b) : x B, B B} = 0 jokaiselle x A. Tällöin löytyy numeroituva (mahdollisesti äärellinen) kokoelma erillisiä palloja B j B s.e. m n (A \ j B j ) = 0. Lisäksi, jos ɛ > 0, niin pallot voidaan valita s.e. m n (A) j m n (B j ) m n (A) + ɛ. Todistus. Tarkastellaan ensin jälkimmäistä väitettä. Annetulle ɛ > 0 löytyy avoin joukko U ɛ s.e. A U ɛ ja m n (U ɛ ) m n (A) + ɛ. Asetetaan B ɛ = {B B : B U ɛ }. Tämä pallokokoelma toteuttaa lauseen ensimmäisen osan vaatimukset ja jälkimmäinen väite seuraa jos todistamme lauseen ensimmäisen osan. Oletetaan ensiksi, että A on rajoitettu. Voidaan olettaa, että m n (A) > 0. Löytyy avoin ja rajoitettu U s.e. A U ja Tarkastellaan kokoelmaa m n (U) (1 + 7 n )m n (A). B U = {B B : B U}. 5r-peitelauseen avulla löydetään B 1, B 2, B U s.e. B i B j = aina kun i j ja A j I 5B j. Nyt m n (A) j I m n (5B j ) 5 n j I m n (B j ) 5 n m n (U) <. Löytyy k 1 s.e. k 1 m n (A) 6 n m n (B j ) j=1 34

eli Asetetaan Tällöin k 1 j=1 m n (B j ) 6 n m n (A). A 1 = A \ k 1 j=1 B j. k 1 m n (A 1 ) m n (U) m n (B j ) λm n (A), j=1 missä λ := (1 + 7 n 6 n ) < 1. Lisäksi A 1 sisältyy avoimeen joukkoon U \ k 1 j=1 B j. Toistetaan tämä argumentti korvaamalla joukko A joukolla A 1 ja tarkastelemalla sopivaa avointa joukkoa U 1, jolle A 1 U 1 U \ k 1 j=1 B j. Saadaan uusi äärellinen kokoelma erillisiä palloja ja niiden avulla A 2 s.e. m n (A 2 ) λm n (A 1 ) λ 2 m n (A). Näiden kahden kokoelman pallot ovat selvästi erillisiä. Jatkamalla induktiivisesti saadaan väite. Jos A ei ole rajoitettu, tarkastellaan joukkoja A Q 1 ja A (Q j \ Q j 1 ), j 2, missä Q j =] j, j[ n on origokeskinen avoin kuutio.tällöin joukot Q 1, Q j \ Q j 1 ovat avoimia, pareittain pistevieraita ja todistuksen alkuosan argumentti antaa numeroituvan kokoelman erillisiä palloja jotka peittävät joukon A Q 1 A (Q j \ Q j 1 ) j nollamittaista joukkoa lukuunottamatta. Koska kyseisten kuutioiden reunojen yhdiste on nollamittainen, väite seuraa. Huomautus. Vitalin peitelause on peräisin Giuseppe Vitalin paperista vuodelta 1908 (n = 1) ja Henri Lebesguen paperista vuodelta 1910. Tarkastellaan lyhyesti Cantorin joukkoja ennen Vitalin lauseen seurauksia. Esimerkki. Olkoot λ i ]0, 1/2[ ja merkitään λ = (λ i ) i. Konstruoidaan Cantorin joukko C(λ). Poistetaan ensiksi välin [0, 1] keskeltä avoin väli, jonka pituus on λ 1. Jäljelle jää kaksi suljettua väliä, joiden kummankin pituus 35

on 1 2 (1 λ 1). Poistetaan molempien keskeltä avoin väli, jonka pituus on λ 2 1 2 (1 λ 1). Jäljelle jää neljä suljettua väliä, joiden jokaisen pituus on 1 2 [1 2 (1 λ 1) λ 2 1 2 (1 λ 1)] = 1 4 (1 λ 1)(1 λ 2 ). Tasolla k meillä on suljetut välit I k,1,..., I k,2 k, joiden jokaisen pituus on 2 k (1 λ 1 )... (1 λ k ). Asetetaan jolloin Siispä Täten m 1 (C(λ)) > 0 joss C(λ) = 2 k k=1 I k,i =: F k, k=1 m 1 (F k ) = Π k (1 λ i ). m 1 (C(λ)) = Π (1 λ i ). < log(π (1 λ i )) = log(1 λ i ). Koska funktiolle f(t) = log(t) pätee f (1) = 1 saadaan m 1 (C(λ)) > 0 joss λ i <. Esim. valinnalla λ i = 1/i 2 saadaan positiivimittainen Cantorin joukko ja valinnalla λ i = 1/i nollamittainen. Miten m 1(B(x,r) C(λ)) m 1 käyttäytyy kun λ (B(x,r)) i = 1/i 2? Poistettujen välien päätepisteissä tämä on enintään 1/2, mutta syvällä Cantorin joukossa varmaan lähes 1. Jos korvataan x-keskiset pallot suljetuilla palloilla B x, voidaanko sanoa jotakin osamäärästä m 1(B C(λ)) m 1? (B) 6.3 Lause. (Lebesguen tiheyspistelause) Olkoon A R n. Pisteelle x R n asetetaan Tällöin B(x) = {B : B suljettu pallo ja x B}. 36

1. m n -m.k. x A. m n (B A) lim B(x) B x m n (B) = 1 2. Jos A on mitallinen, niin m.k. x R n \ A. m n (B A) lim B(x) B x m n (B) = 0 Todistusta varten tarvitaan seuraava määritelmä. Määritelmä. Joukon A ala- ja ylätiheydet pisteessä x ovat m n (A B) D(A, x) = lim inf B(x) B x m n (B) ja D(A, x) = lim sup B(x) B x m n (A B). m n (B) Todistus. (Lause 6.3) Todistetaan ensin osa 1. Koska riittää osoittaa, että Merkitään D(A, x) D(A, x) 1, m n ({x A : D(A, x) < 1}) = 0. A j = {x A : D(A, x) 1 1/j} B(0, j). Rittää osoittaa, että m n (A j ) = 0 jokaiselle j 1. Kiinnitetään j. Jokaiselle x A j löytyy mielivaltaisen pieniä suljettuaja palloja B s.e. x B ja m n (A B) (1 1/(2j))m n (B). Vitali antaa suljetut erilliset pallot B 1, B 2,... s.e. m n (A j \ i B i) = 0, m n (A B i ) (1 1/(2j))m n (B i ) jokaiselle i ja i m n(b i ) m n (A j ) + ɛ. Nyt m n (A j ) m n (A j ( i B i )) + m n (A j \ i B i ) = m n ( i (A j B i )) 37

i m n (A j B i ) i m n (A B i ) (1 1/(2j)) i m n (B i ) (1 1/(2j))[m n (A j ) + ɛ]. Antamalla ɛ 0, saadaan m n (A j ) < m n (A j ), mistä seuraa m n (A j ) = 0 sillä m n (A j ) <. Jos A on mitallinen, niin m n (B) = m n (A B) + m n (A c B) ja väite seuraa käyttämällä ensimmäistä väitettä joukolle A c. Huomautus. 1. Lebesguen tiheyspistelauseen ensimmäisen osan nojalla m.k. x A jokaiselle ɛ > 0 löytyy δ > 0 s.e. (1 ɛ)m n (B) m n (B A) m n (B) aina kun B on suljettu pallo, x B ja diam(b) δ. 2. Vitalin peitelause ja Lebesguen tiheyspistelause pätevät monille muillekin joukkoperheille. Esimerkiksi kuutiot tai λ-säännölliset n-välit käyvät: I(λ) := {[a 1, b 1 ] [a n, b n ] : b j a j b i a i λ kaikille i, j = 1,..., n}. 3. Kun A on mitallinen, niin tiheyspistelauseen nojalla 1 χ A (y) dm n (y) χ A (x) m n (B) m.k. x A kun B(x) B x. Milloin pätee 1 f(y) dm n (y) f(x) m n (B) B m.k. x kun B(x) B x? 6.4 Lause. (Lebesguen derivointilause) Olkoon f L 1 (R n ). Tällöin B 1. m.k. x R n, lim B(x) B x 1 f dm n = f(x) m n (B) B 38

2. 1 lim sup{ δ 0 m n (B) m n -m.k. x R n. B f(y) f(x) dm n (y) : B B(x), diam(b) δ} = 0 Huomautus. Lebesguen deriviointilauseen todisti Henri Lebesgue vuonna 1910. Todistusta varten tarvitaan maksimaalifunktiota. Määritelmä. Kun f : R n R on mitallinen, asetetaan Mf(x) = sup B(x) B 1 m n (B) B f dm n. Huomautus. 1. Mf on mitallinen HT. 2. Mf(x) f L kaikille x R n. 3. Jos f L 1 > 0, niin Mf =. R n 4. M on sublineaarinen: M(f + g) Mf + Mg. 6.5 Lause. (Hardy-Littlewood-Wiener) 1. kun λ > 0. m n ({x : Mf(x) > λ}) 5 n λ 1 f L 1 2. Mf L p C(p, n) f L p aina kun f L p (R n ) ja 1 < p. 39

Huomautus. Tapaus n = 1 on peräisin vuodelta 1930, G.H. Hardy ja J.E. Littlewood, ja n 2 vuodelta 1939, N. Wiener. Todistus. Asetetaan E λ = {x R n : Mf(x) > λ} kun λ > 0. Olkoon x E λ. Löytyy suljettu pallo B x s.e. f dm n > λm n (B). B Tällöin diam(b) C(λ, n)( f dm n ) 1/n C(λ, n) f L 1. B 5r-peitelauseen nojalla löytyy erilliset B 1, B 2,... s.e. E λ j 5B j ja λm n (B j ) < B j f dm n jokaiselle j. Siispä m n (E λ ) m n ( j 5B j ) 5 n j m n (B j ) < 5 n λ 1 R n f dm n. Todistetaan lauseen jälkimmäinen väite. Edellisen huomautuksen nojalla Mf on mitallinen ja voidaan olettaa että p <. Kiinnitetään 1 < p <, t > 0 ja asetetaan f t (x) = f(x) kun f(x) > t/2 ja f t (x) = 0 muulloin. Tällöin f(x) f t (x) + t 2, joten Mf(x) Mf t (x) + t 2 ja {x : Mf(x) > t} {x : Mf t (x) > t 2 }. Soveltamalla lauseen ensimmäistä väitettä funktioon f t saadaan m n ({x : Mf(x) > t}) 2 5 n t 1 f t L 1. Cavalierin kaavan, muuttujanvaihdon ja Fubinin avulla tästä saadaan Mf p dm n = p t p 1 m n ({Mf > t}) dt R n 0 2p5 n t p 2 f dm n dt 0 { f >t/2} 40

= 2 p p5 n s p 2 f dm n ds = 2 p p5 n R n f(x) 0 { f >s} f(x) 0 s p 2 ds dm n (x) = 2 p p5 n (p 1) 1 R n f p dm n. Todistus. (Lause 6.4) Riittää todistaa lauseen jälkimmäinen väite. Olkoon f L 1 (R n ) ja ɛ > 0. Löytyy g C 0 (R n ) s.e. f g L 1 < ɛ. Määritellään 1 ϕ f (x) = lim sup{ f(y) f(x) dm n (y) : B B(x), diam(b) δ}. δ 0 m n (B) Nyt joten sillä B f(y) f(x) f(y) g(y) + g(y) g(x) + g(x) f(x), kun B x. Täten {ϕ f > t} {M(f g) > t/2} { g f > t/2}, 1 g(y) g(x) dm n (y) 0 m n (B) B m n ({ϕ f > t}) m n ({M(f g) > t/2}) + m n ({ g f > t/2}) Siispä 2 5 n t 1 f g L 1 + 2t 1 f g L 1 2t 1 6 n ɛ. m n ({ϕ f > 0}) j m n ({ϕ f > 1/j}) = 0. Tarkastellaan seuraavaksi mitallisten funktioiden jatkuvuutta uudelleen. Määritelmä. Funktion f : A R approksimatiivinen raja-arvo pisteessä x on λ jos jokaiselle ɛ > 0 m n ({y B(x, r) A : f(y) λ > ɛ}) lim r 0 m n (B(x, r)) = 0. 41

Merkitään tällöin λ = applim y x f(y) ja sanotaan, että f on approksimatiivisesti jatkuva pisteessä x jos lisäksi λ = f(x). Huomautus. Jos f on jatkuva pisteessä x, niin f on myös approksimatiivisesti jatkuva pisteessä x : kun ɛ > 0 on annettu, niin f(y) f(x) < ɛ kunhan x y < r ja r on riittävän pieni. Esimerkki. Funktio f(x) = χ Q (x), f : R R, on approksimatiivisesti jatkuva joukossa R \ Q. Olkoon A = {(x, y) : y < x 2 } ja f = χ A. Tällöin f(0, 0) = 0 ja f on approksimatiivisesti jatkuva pisteessä (0, 0). 6.6 Lause. Funktio f : R n R on m n -mitallinen joss f on m n -m.k. approksimatiivisesti jatkuva. Todistus. Todistetaan approksimatiivisen jatkuvuuden välttämättömyys. Lusinin lauseen nojalla löytyy suljetut joukot C 1 C 2... s.e. f Cj on jatkuva jokaiselle j ja m n (R n \ C j ) = 0. Riittää osoitaa, että f on approksimatiivisesti jatkuva m.k. x C j jokaiselle j. Kiinnitetään j. Koska C j on suljettuna m n -mitallinen, niin Lebesguen tiheyspistelauseen nojalla m n (B(x, r) \ C j ) lim r 0 m n (B(x, r) m n -m.k. x C j. Approksimatiivinen jatkuvuus seuraa jokaiselle tällaiselle x C j, sillä joukossa C j, f(y) f(x) < ɛ kun r < r ɛ. Oletetaan, että f on m n -m.k. approksimatiivisesti jatkuva. Rittää osoittaa, että E t := {x R n : f(x) > t} on m n -mitallinen jokaiselle t R. Merkitään = 0 A = {x R n : f on approksimaativesti jatkuva pisteessä x}. Tällöin m n (R n \ A) = 0 ja E t = E t A E t (R n \ A), joten riittää osoittaa, että E t A on m n -mitallinen. Jokaiselle x E t A pätee f(x) > t, joten m n ((B(x, r) \ E t ) lim r 0 m n (B(x, r)) 42 = 0

sillä f on approksimatiivisesti jatkuva ja f t joukossa B(x, r) \ E t. Myös m n ((B(x, r) \ (A E t )) lim r 0 m n (B(x, r)) sillä m n (R n \ A) = 0. Toisaalta tämä raja-arvo on Lebesguen tiheyspistelauseen nojalla 1 m n -m.k. x R n \ (A E t ). Siispä = 0 χ A Et = 1 lim r 0 m n ((B(x, r) \ (A E t )) m n (B(x, r)) m n -m.k. x. Toisaalta jokaiselle joukolle F R n funktio u(x) = lim sup r 0 on mitallinen HT, joten myös χ A Et m n (F B(x, r)) m n (B(x, r)) ja siten myös E t A on mitallinen. Huomautus. Lebesguen derivointilauseen nojalla erityisesti µ(b(x, r)) lim r 0 m n (B(x, r)) kun µ(a) = A f dm n ja f L 1. Voisiko tämä päteä yleiselle Radonin mitalle µ? Entä jos korvataan B(x, r) pallolla B B(x)? Lebesguen tiheyspistelauseen todistus perustuu Vitalin peitelauseeseen. Voisiko tämä peitelause päteä yleiselle Radonin mitalle? Esimerkki. Löytyy Radonin mitta µ R n :ssä, jolle Vitalin suora yleistys ei päde: määritellään µ : P(R 2 ) kaavalla Asetetaan µ(a) = m 1 ({x R : (x, 0) A}). F = {B((x, y), y) : x R, y > 0} ja A = {(a, 0) : 0 < a < 1}. Tällöin (a, 0) B((a, y), y) jokaisella y > 0 ja siten löytyy B F s.e. (a, 0) B. Toisaalta jos B 1, B 2, F, niin A i B i on numeroituva ja siten µ(a \ i B i) = 1. 6.7 Lause. (Besicovitchin peitelause) Löytyy P (n), Q(n) N s.e. seuraava pätee. Olkoon A R n rajoitettu ja B kokoelma suljettuja palloja siten, että jokainen a A on jonkin (mahdollisesti usean) pallon B B keskipiste. Tällöin 43