IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee jokaisessa pisteessä x A, ts. fx = lim f nx R x A, niin sanotaan, että funktiojono f n suppenee pisteittäin joukossa A kohti rajafunktiota f: A R, ja merkitään Raja-arvon määritelmän mukaan lim f n = f tai f n f tai f n f. lim f n = f A:ssa jokaista ε > ja x A kohti n ε,x N s.e. f n x fx < ε n > n ε,x. Tässä n ε,x riippuu yleensä, paitsi luvusta ε, myös pisteestä x eikä löydy sellaista n ε N, että n ε,x n ε kaikilla x A vaan sup{n ε,x x A} =... Esim. Tarkastellaan funktioita f n : ], [ R, f n x = x n, n N. Koska lim f nx = kaikilla x ], [ Myrberg I, Esim. 2.6.2, niin lim f n = välillä ], [. Olkoon < ε <. Kiinteällä x ], [, x, on f n x = x n < ε n ln x }{{} < < ln ε }{{} < n > ln ε ln x. x Tässä siis on sup{n ε,x x ], [} =..2. Määritelmä. Funktiojono f n suppenee tasaisesti A:ssa kohti funktiota f, jos jokaista ε > kohti on olemassa sellainen n ε N, että aina, kun n > n ε. f n x fx < ε kaikilla x A Huom. Tasaisessa suppenemisessa n ε ei saa riippua x:stä. 2 Geometrisesti ehto merkitsee sitä, että arvoilla n > n ε kuvaajat y = f n x, x A, sijaitsevat kuvaajien y = fx ± ε, x A, välissä. 3 f n f tasaisesti A:ssa = f n f pisteittäin A:ssa voi valita n ε,x = n ε x A. Olkoot f n, f: A R funktioita n N, A. Merkitään σ n = sup{ f n x fx : x A} = sup f n x fx, x A kun n N. Tällöin σ n ja voi olla σ n =. 77
.3. Lause. f n f tasaisesti joukossa A n N s.e. σ n < kaikilla n > n, ja lim σ n =. Tod. = : Olkoon ε >. Koska f n f tasaisesti joukossa A, niin on olemassa n ε N s.e. f n x fx < ε/2 kaikilla x A aina, kun n > n ε. Siis σ n ε/2 < ε aina, kun n > n ε, joten lim σ n =. =: Olkoon ε >. Koska lim σ n =, niin n ε N s.e. σ n < ε kaikilla n > n ε. Siis f n x fx σ n < ε kaikilla x A aina, kun n > n ε, joten f n f tasaisesti A:ssa. Huom. Jos B A ja f n f tasaisesti A:ssa, niin f n f tasaisesti B:ssä, koska tällöin sup{ f n x fx : x B} sup{ f n x fx : x A}..4. Esimerkkejä. jatkoa E.:een f n : ], [ R, f n x = x n = f n pisteittäin välillä ], [. Koska σ n = sup{ f n x : x ], [} = sup{ x n : x < } = kaikilla n N, niin ei ole σ n, joten suppeneminen ei ole tasaista välillä ], [. Olkoon sitten < a < siis a kiinteä. Koska sup{ f n x : x [ a, a]} = sup{ x n : x a} = a n, kun n, niin f n tasaisesti välillä [ a, a]. 2 Olkoon f n x = sinnx, kun x R, n N. n f n x n x R = sup f n x x R n = f n tasaisesti R:ssä. 3 Olkoon f n x = nx2 + nx, kun x [, ]. Tällöin f n = n ja f n x = x 2 /n + x x 2 x joten fx = lim f nx = x x [, ]. Koska nyt niin σ n = f n x fx = nx 2 + nx x = = x, kun x, x + nx n x [, ], sup f n x fx, joten lim x [,] n σ n =. Siis f n f tasaisesti välillä [, ]. IV.2. Tasaisesti suppenevan jonon ominaisuuksia Jos f n f joukossa A vain pisteittäin, funktioiden f n ominaisuudet kuten jatkuvuus eivät yleensä siirry rajafunktiolle f. Esim. Jos f n x = x n, kun x [, ], niin pisteittäin välillä [, ] rajafunktioksi saadaan fx = {, kun x <,, kun x =. Tässä siis f ei ole jatkuva välillä [, ], vaikka f n :t ovat. 78
2.. Lause. Oletetaan, että A R, funktiot f n : A R ovat jatkuvia pisteessä x A tai koko A:ssa ja f n f tasaisesti joukossa A. Tällöin rajafunktio f: A R on jatkuva pisteessä x tai vastaavasti koko A:ssa. Tod. Olkoon ε >, ja merkitään σ n = sup f n x fx. Tasaisen suppenemisen mukaan x A n ε N s.e. σ nε < ε/4. Koska f nε on jatkuva x :ssa, niin δ > s.e. f nε x f nε x < ε/2, kun x x < δ ja x A. Kun x Ux, δ A ts. x A ja x x < δ, on siis fx fx = fx f nε x + f nε x f nε x + f nε x fx fx f nε x + f nε x f nε x + f nε x fx < σ nε + ε/2 + σ nε < ε. Siten f on jatkuva pisteessä x. Jos f n :t ovat jatkuvia jokaisessa pisteessä x A, on myös f jatkuva jokaisessa pisteessä x A. Huom. Jos A on väli ja x A sisäpiste, niin Lauseen 2. johtopäätös f jatkuva x :ssa merkitsee sitä, että lim fx = fx = lim f nx eli lim x x x x lim f nx = lim lim f n x. x x Tällainen kaava ei yleensä päde ilman suppenemisen tasaisuutta. 2 Lause 2. on erityisen hyödyllinen, jos fx:n lauseketta ei osata muodostaa esim. sarjojen yhteydessä. 3 Kääntäen, rajafunktion jatkuvuus ei tietenkään takaa suppenemisen tasaisuutta esim. x n välillä ], [. 4 Lauseen 2. mukaan suppeneminen ei voi olla tasaista, jos f n :t ovat jatkuvia, f n f, mutta f ei ole jatkuva. Esim. Olkoon f n x = nx2 nx 2 +, kun x R, n N. Nyt f n = kaikilla n N ja x : f n x = /nx2 + /nx 2 Siis saadaan fx = lim f nx = lim nx2 =. {, kun x,, kun x =. Koska f n :t ovat jatkuvia R:ssä, mutta f ei ole jatkuva kohdassa x =, niin suppeneminen ei ole tasaista R:ssä. 2.2. Lause. Olkoon R rajoitettu väli, x ja f n : R jatkuva. Oletetaan, että f n f tasaisesti välillä, ja asetetaan F n x = Erityisesti F n F tasaisesti välillä, missä F x = lim f n t dt = x x lim f nt dt, x f n t dt kaikilla x. Tällöin x ft dt kaikilla x. ts. tässä integroinnin ja raja-arvon muodostamisen järjestys voidaan vaihtaa. 79
Tod. Lauseen 2. mukaan f on jatkuva, joten F on määritelty. Merkitään L = l = välin pituus, < L <. Olkoon ε >. Koska f n f tasaisesti välillä, niin n ε N s.e. f n t ft < ε/l kaikilla t aina, kun n > n ε. Olkoon nyt n > n ε. Kun x, x x, on F n x F x = f n t dt x kun x, x < x, on samoin x f n t ft dt F n x F x = fn t ft dt x ft dt = fn t ft dt x x x x ε L dt = ε L x x ε L L = ε ; f n t ft dt x ε L dt ε. Siis F n x F x ε kaikilla x aina, kun n > n ε, ts. F n F tasaisesti välillä. Huom. Yleisemmin pätee: Jos f n : [a, b] R on integroituva jokaisella n ja f n f tasaisesti välillä [a, b], niin f on integroituva ja b a fx dx = lim b a f n x dx. 2.3. Esimerkkejä. f n x = nx2 + nx = x x + nx, kun x [, ]. Koska f nx x = fx tasaisesti välillä [, ] katso E.4.3, niin L 2.2 mukaan lim f n x dx = Tarkistetaan saatu tulos vielä suoralla laskulla: x dx = n 2 +n f n x dx = t x dx = 2. x +n + nx dx = t n 2 t dt / dt = +n n 2 t ln t = n koska n : ln + n < n = ln + n n 2 ln + n n 2 < n. 2 Olkoon f n x = n 2 x n x, kun x [, ], n N. Kaikilla n N on f n = f n =. Jos taas < x <, niin f n+ x f n x = n + 2 x n+ x n 2 x n x Suhdetestin mukaan positiiviterminen sarja Siis = Sij. t = + nx, dx = n dt =, + n 2 x x <. f n x suppenee, joten termi f n x, kun n. fx = lim f nx = x [, ], 8 ja fx dx =.
Tässä ei päde lim f n x dx =, sillä / x f n x dx = n 2 x n x n+ dx = n 2 n+ n + xn+2 n + 2 = n 2 n + n + 2 = n 2 n + n + 2. Siis L 2.2 mukaan f n ei voinut supeta tasaisesti. Suppenemisen epätasaisuus näkyy suoraankin esim. seuraavasti: sup f n x f n = n 2 n x [,] 2n 2n kohdassa on käytetty Bernoullin epäyhtälöä. 2n n 2 n 2n 2n = n 4 3 Olkoon f n x = nx x n, x [, ]. Osoita, että lim f nx = kaikilla x [, ]. Osoita lisäksi, että suppeneminen ei ole tasaista tällä välillä, mutta on tasaista välillä [a, ], kun < a <. Osoita vielä, että kuitenkin on lim f n x dx = = Ratk. Jos < x <, niin f n x on positiiviterminen ja f n+ x n + x x n+ lim = lim f n x nx x n = lim lim f nx dx. n + n x = x <. Siis f n x suppenee, joten lim f nx =. Lisäksi f n = = f n kaikilla n, joten fx = lim f nx = x [, ]. Koska f nx = n x n n 2 x x n = n x n [ n + x], niin f nx = x = tai x = jos n > n + ja Täten max{ f n x x } = f n ja n + σ n = < x < n + = f nx >, n + < x < = f nx <. n sup f n x fx = f n = n = x n + n + n + + + n. n n eli suppeneminen ei ole tasaista välillä [, ]. Siis lim σ n = e Olkoon < a <. Jos n > a, niin < a, joten n + sup kun n, ja täten suppeneminen on tasaista välillä [a, ]. Välillä [, ] suppeneminen ei ollut tasaista, joten integraalit on laskettava suoraan: 8 f n x fx = f n a, a x
Koska fx = lim f nx = x [, ], niin f n x dx = nx x n dx = n [/ = os.int. n x n + xn+ + [ = n n + n + 2 / lim f nx dx = x n+2] = x x n dx ] n + xn+ dx n n + n + 2. dx =. Toisaalta Oletetaan, että f n f tasaisesti välillä ja että f n :t ovat derivoituvia välillä. Kysymys: Onko f x = lim f nx kaikilla x? Vastaus: Yleensä ei; f ei välttämättä ole edes derivoituva eikä jono f n suppeneva. 2.4. Esimerkkejä. Olkoon f n x = x 2 + /n, kun x R, n N. Tällöin fx = lim f nx = x 2 = x kaikilla x R ja suppeneminen on tasaista R:ssä, sillä kaikilla x R on < x 2 + n x 2 = /n x2 + /n + x /n =. 2 /n n Tässä f n :t ovat derivoituvia koko R:ssä, mutta f ei ole derivoituva kohdassa x =. 2 Olkoon f n x = sinnx, kun x R, n N. Esim..4.2 mukaan lim n f nx = = fx kaikilla x R ja f n f = tasaisesti R:ssä. Tässä f n :t ovat derivoituvia ja f nx = cosnx kaikilla x R, n N, mutta jono f nx hajaantuu esim. arvolla x = 2 π. 3 Olkoon f n x = xe nx2, x R. Funktiot f n ovat derivoituvia ja f nx = 2nx 2 e nx2 kaikilla x R. Koska lim f nx =, niin f n:n merkkitarkastelun perusteella x ± sup f n x = f n = e /2, x R 2n 2n joten f n = f tasaisesti R:ssä rajafunktiona fx = kaikilla x R. Kuitenkin todetaan: f n = n N = lim f n = = f lim f nx =, kun x. Jos halutaan tulos lim f n = lim f n, täytyy olettaa, että jono f n suppenee tasaisesti: 2.5. Lause. Olkoon R rajoitettu väli ja funktiot f n : A R derivoituvia välillä. Oletetaan, että jono f n suppenee tasaisesti välillä, jono f n x suppenee eräällä x ja f n:t ovat jatkuvia välillä. Tällöin - jono f n suppenee tasaisesti välillä, - rajafunktio f = lim f n on derivoituva välillä ja f x = lim f nx kaikilla x. 82
Tod. Merkitään A = lim f nx R ja gt = lim f nt kaikilla t. Oletuksen perusteella f n g tasaisesti välillä. Analyysin peruslauseen I.5.6 mukaan kaikilla x ja n N on f n x = x f nt dt + f n x f n jatkuva!. L 2.2 mukaan f nt dt gt dt tasaisesti arvoilla x ja triviaalisti f n x A x x tasaisesti jono vakiofunktioita, joten f n suppenee tasaisesti välillä ja fx = gt dt + A kaikilla x. x L 2. nojalla g on jatkuva, joten f on derivoituva ja f x = gx = lim f nx kaikilla x. Huom. Lause 2.5 pätee ilman oletusta f n:t jatkuvia :ssa, mutta todistus on huomattavasti vaikeampi. IV.3. Sarjan tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f k : A R funktio, k =, 2, 3,.... Tarkastellaan osasummafunktioita S n : A R, n S n x = f k x = f x + f 2 x +... + f n x. 3.. Määritelmä. Funktioterminen sarja f k suppenee pisteittäin vastaavasti tasaisesti joukossa A, jos jono S n suppenee pisteittäin vast. tasaisesti A:ssa. summafunktio S = f k : A R saadaan kaavasta Jos Sx = f k x = lim S nx R kaikilla x A. Tällöin sarjan f k suppenee pisteittäin joukossa A, niin voidaan muodostaa jäännöstermifunktiot R n = S S n : A R, R n x = Sx S n x = k=n+ f k x, jolloin R n pisteittäin A:ssa. Edelleen f k suppenee tasaisesti joukossa A S n S tasaisesti joukossa A R n = S S n tasaisesti A:ssa n N s.e. sup{ R n x : x A} < n > n ja sup R n x. x A 3.2. Esimerkki. Geometrinen sarja x k suppenee pisteittäin välillä ], [ ja sen jäännöstermi on R n x = x k = k=n k= xn, kun x ], [. Nyt x 83
x n sup R n x = sup = n N, x ],[ x ],[ x joten suppeneminen ei ole tasaista välillä ], [. Olkoon < a <. Tällöin x a = x n a n ja x a joten suppeneminen on tasaista välillä [ a, a]. x n sup R n x = sup x [ a,a] x a x = an a, Koska yleensä sarjan summaa ja jäännöstermiä ei osata laskea, niin sarjan tasaisen suppenemisen tutkiminen suoraan määritelmään vedoten on hankalaa. Käytännössä on usein hyötyä seuraavasta tuloksesta: 3.3. Weierstrassin 85 897 testi. Olkoot f k : A R funktioita ja a k R vakioita k N siten, että f k x a k kaikilla x A ja kaikilla k N ja vakiomajoranttisarja a k suppenee. Tällöin f k ja f k suppenee tasaisesti joukossa A. Tod. Majoranttiperiaatteen mukaan f k x suppenee jokaisella x A, joten f k suppenevat ainakin pisteittäin joukossa A. Kun n, p N, on n+p k=n+ Kun p, niin tässä Siis R n x k=n+ = sup R n x x A f k x n+p k=n+ n+p k=n+ f k x f k x k=n+ n+p k=n+ a k kaikilla x A ja kaikilla n N k=n+ a k f k suppenee tasaisesti joukossa A. a k k=n+ f k x = R n x, joten a k x A. suppenevan sarjan jäännöstermi Funktiot g k = f k toteuttavat myös epäyhtälöt g k x a k kaikilla x A, joten suppenee myös tasaisesti A:ssa. 3.4. Esimerkkejä. Sarja x [, ] ja yliharmoninen sarja x k f k k 2 suppenee tasaisesti välillä [, ], sillä x k k 2 k 2 kaikilla k 2 suppenee. 84 ja g k
2 Olkoon f k x = x k + k 2 x 2, kun x R, k N. f kx = k2 x 2 k + k 2 x 2 2 x R = f kx f k = k 2k 2 x R, k N Koska 2 k 2 suppenee, niin Weierstrassin testin mukaan f k suppenee tasaisesti R:ssä. 3 Tarkastellaan sarjaa k 2 x k. Jos x <, niin k + 2 x k+ k 2 x k = + 2 x x <, k k joten suhdetestin raja-arvomuoto 2.7 mukaan sarja suppenee välillä ], [. Suppeneminen ei ole tasaista tällä välillä, sillä sup x ],[ k=n+ k 2 x k sup x< k=n+ k 2 x k sup x< k=n+ x k = x n+ sup x< x = n N. Olkoon < a <. Tällöin k 2 x k k 2 a k kaikilla x [ a, a], k N, ja sarja alkuosan mukaan, joten k 2 x k suppenee tasaisesti välillä [ a, a]. k 2 a k suppenee Sarja voi tietenkin supeta tasaisesti, vaikka se ei toteuttaisikaan Weierstrassin testiä. Tasaisesti suppeneva sarja ei esim. välttämättä suppene itseisesti. k Esim. Vuorotteleva sarja suppenee tasaisesti välillä [a, [, kun a >, sillä Leibnizin lauseen mukaan katso s. 69, Esim. ja k=n+ k x k k x < n + x n + a x a, n + a. Tämä sarja ei suppene itseisesti, jos a x. 3.5. Lause. Jos A R, funktiot f k : A R ovat jatkuvia joukossa A tai eräässä pisteessä x A ja sarja f k suppenee tasaisesti A:ssa, niin summafunktio on jatkuva A:ssa tai vast. pisteessä x. Tod. Koska osasummat n f k ovat jatkuvia, niin väite seuraa heti Lauseesta 2.. 85
Esim. Sarja f k x, f k x = x 2 x k, suppenee pisteittäin kaikilla x [, ], koska k= x = ± = termit = ja tapauksessa x < sarja on geometrinen. Olkoon Sx tällöin sarjan summa. Siis S± = ja x < = Sx = x2 x = + x x 2 = S. Koska f k :t ovat jatkuvia, mutta summafunktio ei ole jatkuva pisteessä, niin suppeneminen ei ole tasaista välillä [, ]. Sarjan termeittäistä integrointia koskee seuraava tulos: 3.6. Lause. Olkoon R rajoitettu väli ja x. Jos funktiot f k : R ovat jatkuvia välillä k N ja sarja f k suppenee tasaisesti :ssa, niin x f k t dt = ja oikeanpuoleinen sarja suppenee tasaisesti arvoilla x. Tod. Lauseen 2.2 perusteella x f k t dt x, x lim n f k t dt = lim x n f k t dt = lim n x f k t dt. 3.7. Esimerkki. Geometrinen sarja x k suppenee x <, jolloin sen summa on k= fx = + x. Funktiot f k, f k x = x k, ja f ovat jatkuvia välillä ], [. Jos < a < ja jos x a, niin f k x = x k a k. Koska a k suppenee, niin f k x suppenee tasaisesti välillä [ a, a]. Olkoon x ], [, jolloin x <. Valitaan sellainen a, että x < a <. Tällöin sarja f k suppenee tasaisesti välillä [ a, a], joten dt + t = k= = ln + x = t k dt = k xk k= k xk+ k + = Tämä kaava pätee myös arvolla x = : Kun x, sarja suppenee Leibniz. Lisäksi jäännöstermille pätee R n x xn+ x [, ] = n + sup k xk k = x x2 2 + x3... x ], [. 3 86 k k xk R n x x [,] n +, k on vuorotteleva ja
joten siis sarja suppenee tasaisesti välillä [, ]. Tällöin sarjan summa S on jatkuva välillä [, ]. Koska on Sx = ln + x, kun x [, [, ja S on vasemmalta jatkuva pisteessä, niin ln 2 = lim ln + x = lim Sx = S = k x x k. Pisteessä x = sarja on eivät, joten sarja hajaantuu., joten se hajaantuu. Jos taas x >, sarjan termit k Lauseesta 2.5 saadaan sarjojen termeittäistä derivointia koskeva tulos: 3.8. Lause. Olkoon R rajoitettu väli. Oletetaan, että funktiot f k : R ovat jatkuvasti derivoituvia :ssa, sarja f k suppenee tasaisesti :ssa ja sarja f k x suppenee eräällä x. Tällöin sarja f k suppenee tasaisesti välillä, summafunktio S = f k on derivoituva :ssa ja S x = f kx kaikilla x. 3.9. Esimerkkejä. Tarkastellaan geometrisen sarjan summafunktiota Sx = + x + x 2 +... =, x ], [. x Derivoimalla yo. geometrinen sarja termeittäin saadaan sarja +2x+3x 2 +.... Suhdetestin mukaan tämä suppenee itseisesti, kun x ], [, ja Weierstrassin testin nojalla suppeneminen on tasaista välillä [ a, a], kun < a < k + x k k + a k kaikilla x [ a, a], k N {}. Olkoon x ], [. Valitaan a s.e. x < a <. L 3.8 mukaan + 2x + 3x 2 +... = S x = d = kaikilla x [ a, a] dx x x 2 toispuoleinen derivaatta, jos x = ±a. Erityisesti tämä pätee, kun x = x. Siis + 2x + 3x 2 +... = kaikilla x ], [ vrt. Esim. s. 76. x 2 x k 2 S. 66 Esim. mukaan sarja suppenee itseisesti kaikilla x R. Merkitään k! k= x k Sx =, kun x R, ja osoitetaan aluksi, että funktio S: R R on derivoituva ja k! k= S x = Sx kaikilla x R. Tod. Olkoon x R. Valitaan M R s.e. x < M. Kun sarja derivoidaan termeittäin, saadaan sama sarja, koska D xk k! = kxk k! k= x k k! = xk, k =, 2, 3,.... Nyt k! 87
xk M k M k kaikilla x [ M, M] ja suppenee k! k! k! k= x k = derivaattasarja suppenee tasaisesti välillä [ M, M]. k! k= Lause 3.8 = S x k x = kaikilla x [ M, M]. k! k= Sijoitetaan x = x : S x k x = k! = Sx. k= Tämän jälkeen todetaan, että De x Sx = e x S x Sx = kaikilla x R, jolloin e x Sx = C = vakio kaikilla x R. Sijoittamalla x = tulee C = e S = =, joten Sx = e x eli Erityisesti e x = k= x k k! = + x + x2 2! + x3 3! +... x R e = e = + + 2! + 3! + 4!... e = e = + 2! 3! + 4!... Arvioidaan e:n jäännöstermiä: e = S n + R n, missä { sopimus : =! =. Siis S n = + + 2! + 3! +... + n! [ R n = n +! + n + 2! +... = + ] n +! n + 2 + n + 2n + 3... [ < + ] n +! n + + n + 2 +... = geom.sarja n +! n + = n + n +! n = n! n. < R n < n! n 3.. Lause. Luku e on irrationaaliluku. Tod. Vastaoletus: e on rationaalinen eli e = p, p, q N. Nyt q < R q < q! q = < q! R q < q ja toisaalta p q! R q = q! e S q = q! q 2! q!... Z = kokonaisluvut. RISTIRIITA. 88
IV.4. Eräs jatkuva, ei-derivoituva funktio Konstruimme funktion f: R R, joka on jatkuva koko R:ssä, mutta ei ole derivoituva yhdessäkään pisteessä ns. Weierstrassin funktio. Määritellään ensin d: R R siten, että dx = x:n etäisyys lähimmästä kokonaisluvusta = x p, kun p Z, p 2 < x p + 2. Tällöin d on jatkuva R:ssä, d on lineaarinen muotoa ±x p väleillä [p 2, p] ja [p, p + 2 ] p Z, dx + p = dx kaikilla x R, p Z, dx dy x y kaikilla x, y R. sahanterä Valitaan a, q siten, että < q <, a N, a 4 ja aq > 2 esim. a = 4, q = 3/4. Koska q k da k x 2 qk kaikilla x R ja kaikilla k N {}, ja geometrinen sarja 2 qk suppenee, niin Weierstrassin testin mukaan sarja q k da k x suppenee tasaisesti R:ssä. k= Määritellään fx = k= q k da k x x R. k= Funktiot x q k da k x ovat jatkuvia ja suppeneminen on tasaista, joten f: R R on jatkuva koko R:ssä. Huom: Kuvaajat y = q k da k x, k >, ovat tiheämpiä sahanteriä. Olkoon x R. Väite. f ei ole derivoituva pisteessä x. Tod. Olkoon n N. Koska a n x ± a n+ = a n x ± a, < a 4, niin d on lineaarinen ainakin toisella väleistä [a n x, a n x + a n+ ] ja [a n x a n+, a n x]. Valitaan h n {a n+, a n+ } siten, että d on lineaarinen a n x + h n :n ja a n x:n välissä. Tarkastellaan erotusosamäärää δ n = fx + h n fx h n = k= 89 q k dak x + h n da k x h n.
Kun k > n, da k x + h n = da k x ± a k n = da k x, sillä a k n Z. Kun k < n, on da k x + h n da k x a k h n = a k h n. = δ n = q n dan x + h n da n n x + q k dak x + h n da k x, h n h n k= missä qn dan x + h n da n x = qn an h n = aq n h n h n ja n q k dak x + h n da k x h n k= Kolmioepäyhtälön mukaan :stä saadaan n k= q k ak h n h n n = aq k = aqn aq k= < aqn aq = ηaqn, < η = aq <. δ n aq n ηaq n = ηaq n. Jos f olisi derivoituva pisteessä x, niin lim δ n = f x R, koska h n, kun n. Siis f ei ole derivoituva x:ssä. 9