Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3. Jono (a n ) on rajoitettu. Tehtävä. Osoita tarasti, että seuraavat jonot (a ) suppenevat. a sin. a 5 Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot. + +. 4 + 3+ 3. ( + ) Tehtävä 4. Osoita, että jos jono suppenee, niin sen raja-arvo on ysiäsitteinen. Tehtävä 5. Ovato väitteet tosia?. Jos jono (a n ) suppenee ohti luua a, niin jono ( a n ) suppenee ohti luua a.. Jos jono ( a n ) suppenee ohti luua a, niin jono (a n ) suppenee ohti luua a. 3. Jos jono (a n ) suppenee ja jono (b n ) hajaantuu, niin jono (a n +b n ) hajaantuu. 4. Jos jonot (a n ) ja (b n ) hajaantuvat, niin jono (a n + b n ) hajaantuu. Tehtävä 6. Osoita, että joainen suppeneva jono on myös Cauchyn jono. Tehtävä 7. Osoita, että seuraavat jonot (a ) ovat Cauchyn jonoja.. a +. a + +... + 3. a! +! +... +!
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Tehtävä 8. Tiedetään, että jonon (a n ) aliot toteuttavat ehdon Suppeneeo jono? a n+ a n < n. Tehtävä 9. Mitä voidaan sanoa jonon a n suppenemisesta, miäli. joainen reaaliluu esiintyy jonossa oreintaan äärellisen monta ertaa (voi siis olla, että luu ei esiinny jonossa ollenaan). täsmälleen ysi luu esiintyy jonossa äärettömän monta ertaa ja muut luvut oreintaan äärellisen monta ertaa 3. useampi uin ysi luu esiintyy jonossa äärettömän monta ertaa Tehtävä 0. (Neliöjuuren laseminen reursiivisesti) Oloon x > 0 mielivaltainen ja määritellään reursiivinen jono (a n ). Oloon a > x ja a n a n + x a n joaiselle n, 3, 4,... Osoita, että jono suppenee ja lim a x.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu 3 / 5 Vaativammat tehtävät Tehtävä. Osoita, että jos luujono ei ole ylhäältä rajoitettu, niin se hajaantuu. Tehtävä. Osoita suoraan määritelmien perusteella.. Jos jono (a n ) on Cauchyn jono, niin se on rajoitettu.. Jos Cauchyn jonolla (a n ) on suppeneva osajono (a n ), niin jono (a n ) suppenee. Mieti mitä vielä tarvitaan osoittamaan, että joainen Cauchyn jono suppenee. Tehtävä 3. Konstruoi jono, jolla on joaista rationaaliluua q Q ohti olemassa osajono, jossa tämä rationaaliluua q esiintyy äärettömän monta ertaa. Suppeneeo tämän jonon joainen osajono? Ota mielivaltainen suppeneva osajono. Suppeneeo se välttämättä ohti rationaaliluua? 3
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu 4 / 5 Vinejä perustehtäviin Tehtävä. Lähde taroista määritelmistä ja mieti mitä tarvitaan, että ehto rioutuisi. Ole tara termien joaisella ja on olemassa anssa. Tehtävä.. Käytä arviota sin todistaasesi, että jono suppenee ohti luua 0.. Osoita, että jono suppenee ohti luua. Lavenna nimittäjät itseisarvojen sisällä samannimisisi ja sievennä. Tehtävä 3.. Supista oreimman potenssin sisältävällä termillä. Käytä apuna aavaa (a b)(a + b) a b neliöjuurten supistamisesi. 3. Yritä haniutua neliöjuurista eroon sopivalla sievennysellä. Tehtävä 4. Tee vastaoletus, että jonolla olisi asi erisuurta raja-arvoa ja äytä suppenemisen määritelmää näihin. Tehtävä 5.. Mieti asiaa olmioepäyhtälöä äyttäen. Koeta esiä vastaesimeri väitteelle. 3. Mieti mitä tapahtuu, jos väite ei olisi tosi. 4. Mieti sopivaa vastaesimeriä, jossa termit umoaisivat toisensa sopivasti. Tehtävä 6. Lisää ja vähennä lauseeessa a n a m sopiva luu ja äytä olmioepäyhtälöä. Tehtävä 7.. Osoita suoraan määritelmän nojalla tai osoita, että jono suppenee ja äytä Cauchyn riteeriä.. Käytä tulosta + +... + (+) ja edellistä ohtaa. 3. Yritä muodostaa sopiva geometrinen sarja. Tehtävä 8. Osoita ehdon täyttävän jonon olevan Cauchyn jono. Kehitä sopiva geometrinen sarja. Tehtävä 9. Mieti ysinertaisia esimerejä. Tehtävä 0. Osoita indutiivisesti, että a n x aiilla n,,... ja jono (a n ) on vähenevä. 4
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu 5 / 5 Vinejä vaativampiin tehtäviin Tehtävä. Tee vastaoletus Tehtävä.. Valitse esimerisi ɛ ja sitten määrää jonolle sopiva yläraja.. Valitse ɛ > 0 mielivaltaisesi. Nyt poimi sellainen suppenevan osajonon termi, että se on sopivalla indesillä oreintaan etäisyydellä ɛ osajonon raja-arvosta ja jonon hännän termeistä. Sen jäleen sovella vain olmioepäyhtälöä. Tehtävä 3. Käytä hyväsi esimerisi sitä, että rationaaliluujen esitys p q ei ole ysiäsitteinen. Apuna voi äyttää myös tietoa, että positiivisen oonaisluvun esitys aluluujen tulona on ysiäsitteinen. 5
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu 6 / 5 Perustehtävien rataisut Tehtävä.. Pitäisi siis sanoa, että jono (a n ) ei suppene ohti luua a. Silloin on olemassa sellainen ɛ > 0, että joaista luua n ɛ Z + ohti on olemassa sellainen luu n n ɛ, että a n a ɛ. Jono (a n ) ei ole asvava, un on olemassa sellainen n Z +, että a n+ < a n. 3. Jono (a n ) ei ole rajoitettu eli joaista M > 0 ohti on olemassa join sellainen n Z +, että a n > M. Tehtävä.. Oloon ɛ > 0 mielivaltainen. Kosa sin, niin jono näyttäisi suppenevan ohti luua 0. Lisäsi sin 0 < ɛ aina, un > ɛ. Valitsemalla sellainen ɛ Z +, että ɛ > saadaan ɛ sin 0 < ɛ aina, un > ɛ. Siis lim sin 0.. Kosa 5 5 + 5 5 5 5, niin valistunut arvaus raja-arvosi on. Oloon ɛ > 0 mielivaltainen. Nyt 5 5 5 5 5 5 4 + < ɛ. 5 6
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu 7 / 5 Siis voidaan valita sellainen ɛ > 5 4ɛ 5, missä ɛ Z +, jolloin yllä oleva ehto pätee aina, un > ɛ. Tehtävä 3.. Nyt. Kun, niin + + + + 0 + 0 + 0 0. un. 4 + 3 + 3. Sieventämällä huomataan, että un. 4 (3 + )( + 4 + ) 3 3 + 3 4 + + + 4 + 3 3 + 3 4 + + + 4 + 4 3 3 + 3 4 + 3 ( ) + + + + + 3 + + 3 + + 3 + + 3 3 + 0 + 0, Tehtävä 4. Oletetaan, että jono (a n ) suppenee. Meritään lim a a ja lim a b. Tehdään vastaoletus, että a b. Suppenemisen määritelmän nojalla joaista luua ɛ > 0, erityisesti luua ɛ a b, ohti on olemassa sellaiset luvut a, b Z +, 7
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu 8 / 5 että a a < ɛ aina, un > a ja a b < ɛ aina, un > b. Valitaan 0 > 0, niin max{ a, b }. Kolmioepäyhtälöä soveltamalla saadaan, että un a b a a + a b a a + a b < ɛ + ɛ a b, miä on ristiriita. Vastaoletus a b on siis väärä, joten a b. Siis raja-arvon täytyy olla ysiäsitteinen. Tehtävä 5.. Kosa lim a n a, niin joaista luua ɛ > 0 ohti on olemassa sellainen luu n ɛ Z +, että Kolmioepäyhtälön perusteella joten väite pätee selvästi. a n a < ɛ aina, un n > n ɛ. a n a a n a. Jono ( a n ), missä a n ( ) n suppenee selvästi ohti luua, mutta jono (a n ) hajaantuu. 3. Väite on tosi. Tehdään vastaoletus, että jono (a n + b n ) suppenee ja oloon lim (a n + b n ) x. Oloon lisäsi lim a n a. Tällöin x a lim (a n + b n ) lim a n lim (a n + b n a n ) lim b n, miä on ristiriita jonon (b n ) hajaantumisen anssa. 8
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu 9 / 5 4. Väite ei ole tosi aina, sillä jos esimerisi a n n, niin jonot (a n ) ja ( a n ) hajaantuvat, mutta jono (a n a n ) suppenee. Tehtävä 6. Oloon (a n ) mielivaltainen suppeneva jono. Oloon sen raja-arvo luu a. Valitaan luu ɛ > 0 mielivaltaisesi. Nyt on olemassa sellainen n 0 Z +, että a n a < ɛ aina, un n > n 0. Oloon luvut n, m > n 0 mielivaltaisia. Nyt olmioepäyhtälöä äyttämällä saadaan, että a m a n a m a + a a n a m a + a n a < ɛ + ɛ ɛ Täten joainen suppeneva jono on myös Cauchyn jono. Tehtävä 7.. Oloon ɛ > 0 ja n, p Z + mielivaltaisia. Nyt a n+p a n n + p + n + n + p n + n + p n n n p n(n + p) p n(n + p) < n + p n(n + p) n < ɛ aina, un n > n ɛ > ɛ, missä n ɛ Z + ja p Z +. Täten jono on Cauchyn jono. Tietenin toisena tapana olisi osoittaa jono suppenevasi ja äyttää tulosta, että joainen suppeneva jono on Cauchyn jono.. Kosa + +... + (+) (todistus esimerisi indutiolla), niin Kosa + Cauchyn jono. a + +... + ( + ) + +. on edellisen ohdan jono errottuna vaiolla, niin se myös on 9
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu 0 / 5 3. Oloon ɛ > 0 ja n, p Z + mielivaltaisia. Nyt a n+p a n (n + )! + (n + )! +... + (n + p)! ( ) (n + )! n + + (n + )(n + 3) +... + (n + )(n + 3) (n + p) ( ) (n + )! n + + (n + ) +... +, (n + ) p osa > >... >. Suleisiin saatiin siis muodostettua geometrinen sarja. Geometrisen sarjan summan n+ n+ n+p perusteella a n+p a n < (n + )! (n + )! (n+) p n+ n+ (n + )! n! n!(n + ) n!n n < ɛ aina, un n > n ɛ > ɛ, missä n ɛ Z + ja p Z +. Täten jono on Cauchyn jono ja se suppenee. Eräs tapa määritellä luu e on antaa se raja-arvona e lim n 0!. Jono suppenee, joten määrittely on mieleäs. Tehtävä 8. Osoitetaan, että jono (a n ) on Cauchyn jono. Oloon n, p Z + mielivaltaisia. Nyt olmioepäyhtälöllä saadaan, että a n+p a n a n+p a n+p + a n+p a n+p + a n+p... + a n+ a n a n+p a n+p + a n+p a n+p +... + a n+ a n < + n+p +... + n+p n n ( p + p +... + ). 0
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Geometrisen summan aavan perusteella siis a n+p a n p n < n 0, n un n. Täten jono (a n ) on Cauchyn jono ja se suppenee Cauchyn riteerin nojalla. Tehtävä 9.. Jono voi supeta tai hajaantua. Jono (a ), missä a, suppenee ja luu voi esiintyä jonossa oreintaan erran. Toisaalta, jos a, niin jono hajaantuu ja luu voi esiintyä jonossa oreintaan yhdesti.. Jono voi supeta tai hajaantua. Luujono (a ) suppenee ohti luua 0 jos esimerisi un parillinen a 0 un pariton, mutta hajaantuu, miäli un parillinen a un pariton. 3. Jonon täytyy hajaantua. Jos erisuuret luvut a ja b esiintyvät jonossa (a n ) äärettömän monta ertaa, niin voidaan valita asi osajonoa, joista toisessa esiintyy vain luu a ja toisessa luu b. Kosa a b, niin jono ei voi supeta, sillä jos se suppenisi ohti luua x, niin x a b, miä olisi ristiriita. Tehtävä 0. Kosa x > 0, niin myös a > x > 0. Indution avulla saadaan, että aii luvut a n a n + x a n n, 3, 4,... ovat positiivisia, osa aavassa summataan vain positiivisia termejä.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Osoitetaan, että luu x rajoittaa jonoa alhaaltapäin. Jos a n x, niin laventamalla ja muodostamalla neliö saadaan a n x a n + x a n x a n a n x + x a n (a n x) a n 0. Eli a n x. Osoitetaan jono väheneväsi tarastelemalla erotusta a n a n a n + x a n a n a n x a n a n 0, osa a n x. Siis a n a n aiilla n Z +, joten jono on vähenevä. Jono siis suppenee, joten on olemassa sellainen luu a x, että lim a n lim a n a. Täten a lim a n ( ) lim a x n + lim a ( a + x ). n a Kosa a x > 0, niin a a + x a a x ja siten a x. Tehtävän reursiivinen jono antaa siis algoritmin, jolla voi arvioida neliöjuuren arvoa.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu 3 / 5 Vaativampien tehtävien rataisut Tehtävä. Osoitetaan ensisi, että joainen suppeneva jono on ylhäältä rajoitettu. Oloon ɛ ja lim a n a. Siis on olemassa sellainen luu n ɛ, että a n a < aina, un n n ɛ. Valitaan M max{ a n n n ɛ }. Valinta voidaan tehdä, osa luu n ɛ on äärellinen. Asetetaan vielä, että M max{m, a + }. Nyt a n < M aiilla n Z +. Siis luujono (a n ) on rajoitettu. Oloon nyt luujono (a n ) nyt ylhäältä rajoittamaton. Jos se suppenisi, niin edellisen perusteella se olisi myös ylhäältä rajoitettu, miä on ristiriita. Siis ylhäältä rajoittamaton luujono hajaantuu välttämättä. Tehtävä. n ɛ Z +, että. Oloon ɛ. Oletusen perusteella on olemassa sellainen a n a m < aina, un n, m n ɛ Valitsemalla M max{+ a nɛ, a, a,..., a nɛ } saadaan, että a n M aiilla n Z +. Siis jono (a n ) on rajoitettu.. Oloon ɛ > 0 mielivaltainen. Oletusien perusteella on olemassa sellaiset luvut n ɛ ja ɛ, että a n a p < ɛ aina, un n, p > n ɛ ja a n a < ɛ aina, un n > ɛ, missä a on osajonon (a n ) raja-arvo. Valitaan luu n l siten, että l > max{n ɛ, ɛ }. Kosa (a n ) oli osajono, niin nyt n l > ɛ ja n l > n ɛ. Kolmioepäyhtälöä äyttämällä saadaan, että jos n > n ɛ, niin a n a a n a nl + a nl a a n a n l + a nl a < ɛ + ɛ ɛ. 3
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu 4 / 5 Siten jono (a n ) suppenee ohti luua a. Cauchyn riteerin todistamiseen tarvitaan vielä niin sanottua Bolzano-Weierstrassin lausetta. Sen seurasena saadaan, että joaisella rajoitetulla jonolla on suppeneva osajono. Kosa Cauchyn jono on rajoitettu, niin sillä on suppeneva osajono ja siten jono itsein suppenee. Tehtävä 3. Käytetään apuna sitä, että aluluuja on ääretön määrä ja että joainen luu voidaan esittää ysiäsitteisesti aluluujen tulona. Esimerinä vaadittavasta jonosta äy i, un j i 3 j ja i, j Z + a i, un j 5i 7 j ja i, j Z + 0, muutoin. Tällöin ensimmäinen nollasta eroava termi tulee olemaan a 6, osa 6 3. Ensimmäinen negatiivinen termi on a 35, osa 35 5 7. Kosa luvut, 3, 5 ja 7 ovat aluluuja, niin jono on hyvin määritelty, sillä i 3 j 5 s 7 t aiilla i, j, s, t Z +. Lisäsi jos i, j Z +, niin a i j a jos ja vain jos p i 3 p j ja p i 3 p j joillein luvuille p, p Z +. Vastaava pätee myös jonon negatiivisille termeille. Oloon q Q \ {0} mielivaltainen nollasta eroava rationaaliluu. Tällöin q i j tai q i j, missä i, j Z +. Esitys ei ole ysiäsitteinen, sillä esimerisi 3 4 6. Itseasiassa muotoja on äärettömän monta, sillä i j pi pj aiilla p Z +. Luua q ohti suppeneva osajono saadaan valitsemalla jonosta ne luvut a, missä i 3 j un q > 0 tai 5 i 7 j un q < 0. Tämä osajono on todellain mahdollista valita, osa muotoja q ± pi pj on äärettömän monta. Esimerisi rationaaliluua ohti suppeneva osajono saadaan valitsemalla termit a, missä p 3 p ja p Z +. Tällöin 8, 34, 583,.... 4
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu 5 / 5 Luua 0 ohti suppeneva osajono saadaan helposti vaiapa valitsemalla termit a, missä p ja p Z +. Kosa näissä esimereisi poimituissa osajonoissa esiintyy vain ysi luu, niin niiden täytyy myös supeta ohti tätä luua. Kaii osajonot eivät suppene, osa jonoa ei ole rajoitettu. Esimerisi jono,, 3,... on eräs osajono, mutta se ei suppene. Osajonoissa on myös sellaisia, jota suppenevat ohti irrationaaliluuja. Kosa joainen rationaaliluu esiintyy aluperäisessä jonossa ja joaiselta reaaliluuväliltä löytyy myös rationaaliluu, niin sopivalla termien valinnalla saadaan mielivaltaista irrationaaliluua ohti suppeneva osajono. 5