Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat

Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot Kovarianssi ja korrelaatio Ehdolliset jakaumat ja odotusarvot Milla Kibble (2013) 2

Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Satunnaistekijöiden väliset riippuvuudet Yhden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat kuvaavat useimpia satunnaisilmiötä vain rajoitetusti. Satunnaisilmiöihin liittyy tavallisesti useita satunnaisia tekijöitä, joiden väliset riippuvuudet ovat mielenkiinnon kohteina. Useiden satunnaisten tekijöiden välisten riippuvuuksien mallintaminen vaatii tekijöihin liittyvien satunnaismuuttujien yhteisjakauman tarkastelua. Milla Kibble (2013) 3

Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Esimerkkejä riippuvuustarkasteluista Miten työttömyysaste Suomessa (% työvoimasta) riippuu BKT:n kasvuvauhdista, viennin volyymista ja BKT:n kasvuvauhdista muissa EUmaissa ja USA:ssa? Miten alkoholin kokonaiskulutus (l per capita vuodessa) riippuu alkoholijuomien hintatasosta, käytettävissä olevista tuloista ja alkoholin saatavuudesta? Miten todennäköisyys sairastua keuhkosyöpään (p) riippuu tupakoinnin määrästä ja kestosta? Miten vehnän sato (t/ha) riippuu kesän keskilämpötilasta, sademäärästä, maan muokkaustavoista, lannoituksesta ja tuholaisten torjunnasta? Milla Kibble (2013) 4

Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Olkoot ja Y satunnaismuuttujia, joiden otosavaruudet ovat R ja S. Tällöin : R Y : S Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: R S= (,) rs r Rs, S { } Satunnaismuuttujien ja Y järjestetty pari (, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan: 2 ( Y, ): R S Milla Kibble (2013) 5

Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset satunnaismuuttujat ja niiden jakaumat Olkoot ja Y diskreettejä satunnaismuuttujia. Tällöin järjestetty pari (, Y) määrittelee diskreetin kaksiulotteisen satunnaismuuttujan. Diskreetti kaksiulotteinen satunnaismuuttuja (, Y) määrittelee diskreetin kaksiulotteisen todennäköisyysjakauman, jota kutsutaan satunnaismuuttujien ja Y yhteisjakaumaksi. Milla Kibble (2013) 6

Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: Pistetodennäköisyysfunktio Reaaliarvoinen funktio 2 : f Y määrittelee diskreettien satunnaismuuttujien ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktion, jos seuraavat ehdot pätevät: (1) f ( xy, ) 0 kaikille xja y Y (2) fy ( xy, ) = 1 x y (3) Pr( = xja Y= y) = f ( xy, ) Y Milla Kibble (2013) 7

Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: Tapahtumien todennäköisyydet Olkoon f Y diskreettien satunnaismuuttujien ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio. Olkoon A Tällöin : 2 2 = Pr(( Y, ) A) f ( xy, ) ( xy, ) A Y Milla Kibble (2013) 8

Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreettien kaksiulotteisten jakaumien kertymäfunktiot Olkoon (, Y) diskreetti kaksiulotteinen satunnaismuuttuja. Olkoon {x 1, x 2, x 3, } satunnaismuuttujan tulosvaihtoehtojen eli arvojen joukko. Olkoon {y 1, y 2, y 3, } satunnaismuuttujan Y tulosvaihtoehtojen eli arvojen joukko. Diskreetin kaksiulotteisen jakauman kertymäfunktio on F ( xy, ) = Pr( xja Y y) Y = x xy y i i f ( x, y ) Y i i jossa f Y satunnaismuuttujien ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio. Milla Kibble (2013) 9

Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: esimerkki nopanheitosta 1/9 Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa. Määritellään satunnaismuuttujat, Y ja Z: = tulos (silmäluku) 1. heitosta Y = tulos (silmäluku) 2. heitosta Z = + Y = silmälukujen summa Voimme olettaa, että 2. heiton tulos on riippumaton 1. heiton tuloksesta (ja kääntäen). Satunnaismuuttujien, Y ja Z mahdolliset arvot: : {1, 2, 3, 4, 5, 6} Y: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Z: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Määrätään satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakauma. Milla Kibble (2013) 10

Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: esimerkki nopanheitosta 2/9 Muodostetaan ensin summamuuttujan Z = + Y jakauma. Muodostetaan sitä varten aputaulukko, joka esittää kaikkia mahdollisia tapoja, joilla nopanheittojen silmälukujen summa Z = + Y voi syntyä: Silmälukujen summat z = x + y 6 7 8 9 10 11 12 5 6 7 8 9 10 11 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 1. heiton silmäluku x Milla Kibble (2013) 11

Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: esimerkki nopanheitosta 3/9 Aputaulukosta voidaan suoraan lukea 1. ja 2. nopanheiton silmälukujen summan Z = + Y todennäköisyysjakauma: I Silmälukujen summat z = x + y ja niiden todennäköisyydet 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 Esimerkki: Summa 5 voi syntyä kahden nopanheiton tuloksena 4:llä eri tavalla: 5 = 1 + 4 = 2 + 3 = 3 + 2 = 4 + 1 joten todennäköisyys saada summaksi 5 on 4/36. Milla Kibble (2013) 12

Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: esimerkki nopanheitosta 4/9 Satunnaismuuttujien ja Z = + Y järjestetty pari (, Z) määrittelee diskreetin kaksiulotteisen satunnaismuuttujan, jonka arvoina on 66 lukuparia (x, z) ; x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; z = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 Milla Kibble (2013) 13

Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: esimerkki nopanheitosta 5/9 Koska noppa oletettiin virheettömäksi ja heittojen tulokset oletettiin riippumattomiksi, 1. heiton tulos ja 1. ja 2. heiton tulosten mahdollisten summien muodostamat 36 tulosvaihtoehtoa (x, z) ; x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; z = x + y ; y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ovat yhtä todennäköisiä. Tällöin satunnaismuuttujien ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio saa positiiviset arvot kun 1 fz ( xz, ) = Pr( = xja Z= z) = 36 x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 z = x + y y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Milla Kibble (2013) 14

Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: esimerkki nopanheitosta 6/9 Satunnaismuuttujien ja Z = + Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: Silmälukujen summa z 12 0 0 0 0 0 1/36 11 0 0 0 0 1/36 1/36 10 0 0 0 1/36 1/36 1/36 9 0 0 1/36 1/36 1/36 1/36 8 0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 7 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 0 5 1/36 1/36 1/36 1/36 0 0 4 1/36 1/36 1/36 0 0 0 3 1/36 1/36 0 0 0 0 2 1/36 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 1. nopan silmäluku x Milla Kibble (2013) 15

Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: esimerkki nopanheitosta 7/9 Esimerkkejä edellisen kalvon taulukon muodostamisesta: (i) Oletetaan, että 1. nopalla on saatu 2. Tällöin silmälukujen summaksi ei voi tulla 10, joten Pr( = 2 ja Z = 10) = 0 (ii) Oletetaan, että 1. nopalla on saatu 2. Tällöin silmälukujen summaksi voi tulla 3, 4, 5, 6, 7 tai 8, joten Pr( = 2 ja Z = z) = 1/36 ; z = 3, 4, 5, 6, 7, 8 Milla Kibble (2013) 16

Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: esimerkki nopanheitosta 8/9 Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: = tulos 1. heitosta Y = tulos 2. heitosta Z = + Y Kuva oikealla esittää satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktiota. Kuvassa on 36 pylvästä, joista jokaisen korkeus on 1/36. 1 2 3 4 5 6 x 2 3 4 5 6 7 8 z 12 11 10 9 0.01 0.00 0.03 0.02 0.04 Milla Kibble (2013) 17

Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: esimerkki nopanheitosta 9/9 Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: = tulos 1. heitosta Y = tulos 2. heitosta Z = + Y Kuva oikealla havainnollistaa satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakaumaa. Kuvassa on 36 pistettä, joista jokaisen todennäköisyys on 1/36. Heittotulosten summa 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 1. heitto Milla Kibble (2013) 18

Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Jatkuvat kaksiulotteiset satunnaismuuttujat ja niiden jakaumat Olkoot ja Y jatkuvia satunnaismuuttujia. Tällöin järjestetty pari (, Y) määrittelee jatkuvan kaksiulotteisen satunnaismuuttujan. Kaksiulotteinen jatkuva satunnaismuuttuja (, Y) määrittelee jatkuvan kaksiulotteisen todennäköisyysjakauman, jota kutsutaan satunnaismuuttujien ja Y yhteisjakaumaksi. Milla Kibble (2013) 19

Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Jatkuvat kaksiulotteiset jakaumat: Tiheysfunktio Reaaliarvoinen jatkuva funktio 2 : f Y määrittelee jatkuvien satunnaismuuttujien ja Y yhteisjakauman tiheysfunktion, jos seuraavat ehdot pätevät: (1) f ( xy, ) 0 kaikille xja y Y + + (2) f ( x, y) dydx = 1 Y (3) Pr( a b ja c Y d) = f Y ( x, y) dydx bd ac Milla Kibble (2013) 20

Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Jatkuvat kaksiulotteiset jakaumat: Tapahtumien todennäköisyydet Olkoon f Y jatkuvien satunnaismuuttujien ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio. Olkoon A Tällöin : 2 2 = Pr((, Y ) A) f ( x, y) dydx A Y Milla Kibble (2013) 21

Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Jatkuvien kaksiulotteisten jakaumien kertymäfunktiot Olkoon (, Y) jatkuva kaksiulotteinen satunnaismuuttuja. Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman kertymäfunktio on F ( xy, ) = Pr( xja Y y) Y x y = f Y ( u, v) dvdu jossa f Y satunnaismuuttujien ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio. Milla Kibble (2013) 22

Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman tiheysfunktion ja kertymäfunktion yhteys Olkoon (, Y) jatkuva kaksiulotteinen satunnaismuuttuja. Olkoon F Y (x, y) satunnaismuuttujien ja Y yhteisjakauman kertymäfunktio. Jos derivaatta 2 FY ( xy, ) xy = f Y ( xy, ) on olemassa ja on jatkuva, funktio f Y (x, y) on satunnaismuuttujien ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio. Milla Kibble (2013) 23

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot Kovarianssi ja korrelaatio Ehdolliset jakaumat ja odotusarvot Milla Kibble (2013) 24

Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Diskreetin kaksiulotteisen jakauman reunajakaumat Olkoon f Y (x, y) diskreetin kaksiulotteisen jakauman pistetodennäköisyysfunktio. Satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköisyysfunktio on f ( x) = Pr( = x) = fy ( xy, ) y Satunnaismuuttujien ja Y reunajakaumat yhtyvät satunnaismuuttujien ja Y todennäköisyysjakaumiin. Milla Kibble (2013) 25

Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Diskreetin 2-ulotteisen jakauman reunajakaumat: esimerkki nopanheitosta 1/5 Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa. Määritellään satunnaismuuttujat, Y ja Z seuraavasti: = tulos (silmäluku) 1. heitosta Y = tulos (silmäluku) 2. heitosta Z = + Y = silmälukujen summa Satunnaismuuttujien, Y ja Z mahdolliset arvot: : {1, 2, 3, 4, 5, 6} Y: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Z: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Määrätään satunnaismuuttujien ja Z reunajakaumat. Milla Kibble (2013) 26

Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Diskreetin 2-ulotteisen jakauman reunajakaumat: esimerkki nopanheitosta 2/5 Satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio: Pr( = x ja Z = z) = f Z (x, z) ; x = 1, 2,, 6 ; z = 2, 3,, 12 Silmälukujen summa z 1. nopan silmäluku x 1 2 3 4 5 6 12 0 0 0 0 0 1/36 11 0 0 0 0 1/36 1/36 10 0 0 0 1/36 1/36 1/36 9 0 0 1/36 1/36 1/36 1/36 8 0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 7 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 0 5 1/36 1/36 1/36 1/36 0 0 4 1/36 1/36 1/36 0 0 0 3 1/36 1/36 0 0 0 0 2 1/36 0 0 0 0 0 KE (2014) 27

Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Diskreetin 2-ulotteisen jakauman reunajakaumat: esimerkki nopanheitosta 3/5 Satunnaismuuttujien ja Y reunajakaumien pistetodennäköisyysfunktiot saadaan määräämällä yhteisjakauman todennäköisyydet antavassa taulukossa rivi- ja sarakesummat. Esimerkkejä: (i) (ii) Satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköisyys, kun = 4: 12 f (4) = f (4, z) z= 1 Z 1 1 1 1 1 1 1 = 0+ 0+ + + + + + + 0+ 0+ 0= 36 36 36 36 36 36 6 Satunnaismuuttujan Z reunajakauman pistetodennäköisyys, kun Z = 10: 6 1 1 1 3 fz (10) = fz ( x,10) = 0 + 0 + 0 + + + = 36 36 36 36 x= 1 KE (2014) 28

Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Diskreetin 2-ulotteisen jakauman reunajakaumat: esimerkki nopanheitosta 4/5 Satunnaismuuttujien ja Z = + Y yhteisjakauma ja reunajakaumat: Silmälukujen summa z 1. nopan silmäluku x 1 2 3 4 5 6 Yht 12 0 0 0 0 0 1/36 1/36 11 0 0 0 0 1/36 1/36 2/36 10 0 0 0 1/36 1/36 1/36 3/36 9 0 0 1/36 1/36 1/36 1/36 4/36 8 0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 5/36 7 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6/36 6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 0 5/36 5 1/36 1/36 1/36 1/36 0 0 4/36 4 1/36 1/36 1/36 0 0 0 3/36 3 1/36 1/36 0 0 0 0 2/36 2 1/36 0 0 0 0 0 1/36 Yht 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 f Z (10) Milla Kibble (2013) f (4) 29

Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Diskreetin 2-ulotteisen jakauman reunajakaumat: esimerkki nopanheitosta 5/5 0.3 1. heiton tuloksen jakauma Heittotuloksien summan jakauma 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Kuvat yllä esittävät satunnaismuuttujien ja Z reunajakaumien pistetodennäköisyysfunktioita: = tulos 1. heitosta Y = tulos 2. heitosta Z = + Y = heittotulosten summa Milla Kibble (2013) 30

Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman reunajakaumat Olkoon f Y (x, y) jatkuvan kaksiulotteisen jakauman tiheysfunktio. Satunnaismuuttujan reunajakauman tiheysfunktio on + f ( x) = f Y ( x, y) dy Satunnaismuuttujien ja Y reunajakaumat yhtyvät satunnaismuuttujien ja Y todennäköisyysjakaumiin. Milla Kibble (2013) 31

Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Satunnaismuuttujien riippumattomuus 1/2 Oletukset: (i) Olkoon satunnaismuuttujien ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio f Y (x, y). (ii) Olkoon satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio f (x). Olkoon satunnaismuuttujan Y reunajakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio f Y (y). Määritelmä: Satunnaismuuttujat ja Y ovat riippumattomia, jos ja vain, jos f Y (x, y) = f (x)f Y (y) Milla Kibble (2013) 32

Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2/2 Oletukset: (i) Olkoon satunnaismuuttujien ja Y yhteisjakauman kertymäfunktio F Y (x, y). (ii) Olkoon satunnaismuuttujan reunajakauman kertymäfunktio F (x). Olkoon satunnaismuuttujan Y reunajakauman kertymäfunktio F Y (y). Määritelmä: Satunnaismuuttujat ja Y ovat riippumattomia, jos ja vain, jos F Y (x, y) = F (x)f Y (y) Milla Kibble (2013) 33

Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Satunnaismuuttujien riippumattomuus: Yleistys 1/2 Oletukset: (i) Olkoon satunnaismuuttujien i, i = 1, 2,, p yhteisjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio f(x 1, x 2,, x p ) (ii) Olkoot satunnaismuuttujien i, i = 1, 2,, p reunajakaumien pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktiot f(x i ), i = 1, 2,, p. Määritelmä: Satunnaismuuttujat i, i = 1, 2,, p ovat riippumattomia, jos ja vain, jos f(x 1, x 2,, x p ) = f(x 1 )f(x 2 ) f(x p ) Milla Kibble (2013) 34

Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Satunnaismuuttujien riippumattomuus: Yleistys 2/2 Oletukset: (i) Olkoon satunnaismuuttujien i, i = 1, 2,, p yhteisjakauman kertymäfunktio F(x 1, x 2,, x p ) (ii) Olkoot satunnaismuuttujien i, i = 1, 2,, p reunajakaumien kertymäfunktiot F(x i ), i = 1, 2,, p. Määritelmä: Satunnaismuuttujat i, i = 1, 2,, p ovat riippumattomia, jos ja vain, jos F(x 1, x 2,, x p ) = F(x 1 )F(x 2 ) F(x p ) Milla Kibble (2013) 35

Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Satunnaismuuttujien riippumattomuus ja tapahtumien riippumattomuus Olkoot satunnaismuuttujat ja Y riippumattomia. Tällöin Pr( a b ja c Y d) = Pr( a b)pr( c Y d) Huomautus: Vrt. riippumattomien tapahtumien tulosääntö: Pr(A B) = Pr(A)Pr(B) Milla Kibble (2013) 36

Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Satunnaismuuttujien riippumattomuus: esimerkki nopanheitosta Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: = tulos (silmäluku) 1. heitosta Y = tulos (silmäluku) 2. heitosta Z = + Y = silmälukujen summa Tarkastellaan satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakaumaa. Esimerkiksi: 1 5 Pr( = 1 ja Z = 8) = 0 = Pr( = 1) Pr( Z = 8) 6 36 Siten satunnaismuuttujat ja Z eivät ole riippumattomia. Milla Kibble (2013) 37

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus >> Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot Kovarianssi ja korrelaatio Ehdolliset jakaumat ja odotusarvot Milla Kibble (2013) 38

Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Diskreetin kaksiulotteisen satunnaismuuttujan funktion yleinen odotusarvo Olkoon satunnaismuuttujien ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio f Y (x, y). Olkoon 2 g : jatkuva funktio. Tällöin satunnaismuuttujan g(, Y) odotusarvo on vakio E( gy (, )) gxy (, ) f ( xy, ) = x y Y Milla Kibble (2013) 39

Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Jatkuvan kaksiulotteisen satunnaismuuttujan funktion yleinen odotusarvo Olkoon satunnaismuuttujien ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio f Y (x, y). Olkoon 2 g : jatkuva funktio. Tällöin satunnaismuuttujan g(, Y) odotusarvo on vakio + + E( g(, Y )) g( x, y) f ( x, y) dydx = Y Milla Kibble (2013) 40

Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Reunajakaumien odotusarvot: Diskreetit jakaumat Olkoon diskreettien satunnaismuuttujien ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio f Y (x, y). Voimme helposti laskea satunnaismuuttujan odotusarvo E() jos tiedämme f Y (x, y) : E( ) xf ( x, y) = x y Y Milla Kibble (2013) 41

Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Reunajakaumien odotusarvot: Jatkuvat jakaumat Olkoon jatkuvien satunnaismuuttujien ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio f Y (x, y). Voimme helposti laskea satunnaismuuttujan odotusarvo E() jos tiedämme f Y (x, y) : + + E( ) xf ( x, y) dydx = Y Milla Kibble (2013) 42

Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Odotusarvot ja todennäköisyysmassan painopiste Olkoot satunnaismuuttujien ja Y odotusarvot E( ) = µ E( Y) = µ Tällöin kaksiulotteisen satunnaismuuttujan (, Y) odotusarvo on järjestetty pari (E( ),E( Y )) = ( µ, µ ) Satunnaismuuttujien ja Y odotusarvojen muodostama järjestetty pari (µ, µ Y ) määrää satunnaismuuttujien ja Y yhteisjakauman todennäköisyysmassan painopisteen. Y Y Milla Kibble (2013) 43

Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Riippumattomuus ja tulon odotusarvo Olkoot satunnaismuuttujien ja Y odotusarvot E( ) = µ E( Y) = µ Y Jos satunnaismuuttujat ja Y ovat riippumattomia, niin tulon Y odotusarvo on odotusarvojen tulo: E( Y ) = E( )E( Y ) = µ µ Y Huomautus: Käänteinen ei päde: Siitä, että E(Y) = E()E(Y) ei seuraa, että satunnaismuuttujat ja Y ovat riippumattomia. Milla Kibble (2013) 44

Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Riippumattomuus ja tulon odotusarvo: Yleistys Olkoot satunnaismuuttujien i, i = 1, 2,, k odotusarvot E( ) = µ, i = 1, 2,, k i i Jos satunnaismuuttujat i, i = 1, 2,, k ovat riippumattomia, niin E( 1 2 k) = E( 1) E( 2) E( k) = µµ 1 2 µ k Huomautus: Käänteinen ei päde: Siitä, että E( 1 2 k) = E( 1) E( 2) E( k) ei seuraa, että satunnaismuuttujat i, i = 1, 2,, k ovat riippumattomia. Milla Kibble (2013) 45

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot >> Kovarianssi ja korrelaatio Ehdolliset jakaumat ja odotusarvot Milla Kibble (2013) 46

Kovarianssi ja korrelaatio Kovarianssi Satunnaismuuttujien riippuvuus voi voimakkuudeltaan vaihdella täydellisestä riippumattomuudesta aina täydelliseen funktionaaliseen riippuvuuteen. Milla Kibble (2013) 47

Kovarianssi ja korrelaatio Kovarianssi Olkoot satunnaismuuttujien ja Y odotusarvot E( ) = µ E( Y) = µ Y Satunnaismuuttujien ja Y kovarianssi on vakio Cov( Y, ) = σ Y = E[( µ )( Y µ )] Y Satunnaismuuttujien ja Y kovarianssi Cov(, Y) kuvaa satunnaismuuttujien ja Y yhteisjakauman todennäköisyysmassan yhteisvaihtelua satunnaismuuttujien ja Y odotusarvojen E() ja E(Y) määräämän pisteen (E(), E(Y)) ympärillä. Milla Kibble (2013) 48

Kovarianssi ja korrelaatio Kovarianssi: Diskreetit jakaumat Olkoon diskreettien satunnaismuuttujien ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio f Y (x, y). Tällöin satunnaismuuttujien ja Y kovarianssi on vakio jossa Cov( Y, ) = ( x µ )( y µ ) f ( xy, ) µ Y = E( ) µ = E( Y ) x y Y Y Milla Kibble (2013) 49

Kovarianssi ja korrelaatio Kovarianssi: Jatkuvat jakaumat Olkoon jatkuvien satunnaismuuttujien ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio f Y (x, y). Tällöin satunnaismuuttujien ja Y kovarianssi on vakio jossa + + Cov(, Y ) = ( x µ )( y µ ) f ( x, y) dxdy µ Y = E( ) µ = E( Y ) Y Y Milla Kibble (2013) 50

Kovarianssi ja korrelaatio Kovarianssi: Vaihtoehtoinen laskukaava Satunnaismuuttujien ja Y kovarianssin kaava voidaan kirjoittaa seuraaviin yhtäpitäviin muotoihin: Cov( Y, ) = E[( µ )( Y µ Y)] = E( Y ) µ µ Y = E( Y ) E( )E( Y ) Huomautus: Vrt. kovarianssin vaihtoehtoista laskukaavaa varianssin vaihtoehtoisiin laskukaavoihin. Milla Kibble (2013) 51

Kovarianssi ja korrelaatio Kovarianssi ja varianssit Satunnaismuuttujien kovarianssit itsensä kanssa yhtyvät satunnaismuuttujien variansseihin: Cov(, ) = E[( µ )( µ )] = Var( ) = σ 2 Cov( YY, ) = E[( Y µ )( Y µ )] = Var( Y ) = σ 2 Y Y Y Milla Kibble (2013) 52

Kovarianssi ja korrelaatio Kovarianssiin liittyviä laskukaavoja Olkoot W = a + b jossa a, b, c, d. Z = c + dy Tällöin Cov( W, Z) = bd Cov(, Y ) = bdσ Y Summan ja erotuksen varianssi yleisessä tapauksessa Var( ± Y) = Var( ) + Var( Y) ± 2Cov( Y, ) = σ + σ ± 2σ 2 2 Y Y Milla Kibble (2013) 53

Kovarianssi ja korrelaatio Riippumattomuus ja kovarianssi Jos satunnaismuuttujat ja Y ovat riippumattomia, niin Cov( Y, ) = 0 mutta käänteinen ei aina päde. Perustelu: Jos satunnaismuuttujat ja Y ovat riippumattomia, niin E(Y) = E()E(Y) Siten Cov(, Y ) = E( Y ) E( )E( Y ) = E( )E( Y) E( )E( Y) = 0 Milla Kibble (2013) 54

Kovarianssi ja korrelaatio Korrelaatiokerroin 1/2 Oletetaan, että satunnaismuuttujilla ja Y on seuraavat odotusarvot, varianssit ja kovarianssi: 2 2 E( ) = µ Var( ) = D ( ) = σ E( Y) = µ Var( Y) = D ( Y) = σ Y 2 2 Y Cov( Y, ) = E[( µ )( Y µ )] = σ Y Y Milla Kibble (2013) 55

Kovarianssi ja korrelaatio Korrelaatiokerroin 2/2 Satunnaismuuttujien ja Y (Pearsonin tulomomentti-) korrelaatiokerroin on vakio Cor( Y, ) = ρ Y Cov( Y, ) = Var( )Var( Y) σ Y = σ σ Y Milla Kibble (2013) 56

Kovarianssi ja korrelaatio Korrelaatiokerroin lineaarisen riippuvuuden mittana Satunnaismuuttujien ja Y korrelaatiokerroin Cor(, Y) mittaa satunnaismuuttujien ja Y lineaarisen riippuvuuden voimakkuutta: (i) Mitä suurempi on Cor(, Y) sitä voimakkaampaa on satunnaismuuttujien ja Y välinen lineaarinen riippuvuus. (ii) Mitä pienempi on Cor(, Y) sitä heikompaa on satunnaismuuttujien ja Y välinen lineaarinen riippuvuus. KE (2014) 57

Kovarianssi ja korrelaatio Korrelaatiokerroin: Ominaisuudet Olkoon satunnaismuuttujien ja Y korrelaatiokerroin Cor(, Y). Tällöin (i) 1 Cor( Y, ) + 1 (ii) Jos ja Y ovat riippumattomia, niin Cor(, Y ) = 0 (iii) Cor( Y, ) = ± 1, jos ja vain, jos Y = α + β jossa α ja β ovat reaalisia vakiota, β 0 ja lisäksi sgn(cor( Y, )) = sgn( β ) Milla Kibble (2013) 58

Kovarianssi ja korrelaatio Korrelaatiokerroin: esimerkki nopanheitosta 1/2 Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: = tulos (silmäluku) 1. heitosta Y = tulos (silmäluku) 2. heitosta Z = + Y = silmälukujen summa Tarkastellaan satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakaumaa. Odotusarvot, varianssit ja standardipoikkeamat: E() = 21/6 = 3.5 E(Z) = 252/36 = 7 D 2 () = 35/12 = 2.917 D 2 (Z) = 210/36 = 5.833 D() = 1.708 D(Z) = 2.415 Milla Kibble (2013) 59

Kovarianssi ja korrelaatio Korrelaatiokerroin: 2. esimerkki nopanheitosta 2/2 Satunnaismuuttujat ja Z eivät ole riippumattomia. Lasketaan ensin kovarianssi: 6 12 987 E( Z) = xz Pr( = x, Z = z) = 36 x= 1 z= 2 987 21 42 105 Cov(, Z) = E( Z) E( )E( Z) = = = 2.917 36 6 6 36 Korrelaatiokertoimen arvo on: Cov(, Z) 1 Cor(, Z) = 0.707 D( )D( Z) = 2 = Milla Kibble (2013) 60

Kovarianssi ja korrelaatio Korreloimattomuus Jos Cov( Y, ) = 0 tai yhtäpitävästi Cor( Y, ) = 0 niin sanomme, että satunnaismuuttujat ja Y ovat korreloimattomia. Huomautus: Satunnaismuuttujien korreloimattomuudesta ei välttämättä seuraa niiden riippumattomuus. Korrelaatio mittaa satunnaismuuttujien lineaarisen riippuvuuden voimakkuutta. Siten korreloimattomien satunnaismuuttujien välillä voi olla jopa eksakti epälineaarinen riippuvuus. Milla Kibble (2013) 61

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot Kovarianssi ja korrelaatio >> Ehdolliset jakaumat ja odotusarvot Milla Kibble (2013) 62

Ehdolliset jakaumat ja odotusarvot Ehdolliset jakaumat Kahden satunnaismuuttujan ja Y yhteisjakauma kuvailee muuttujien yhteistä käyttäytymistä. Kun halutaan kuvailla, miten tieto toisen muuttujan saamasta arvosta vaikuttaa toiseen muuttujaan liittyviin todennäköisyyksiin, tarkastellaan ehdollisia jakaumia. Milla Kibble (2013) 63

Ehdolliset jakaumat ja odotusarvot Ehdolliset jakaumat Olkoon satunnaismuuttujien ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio f Y (x, y). Olkoot satunnaismuuttujien ja Y reunajakaumien pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktiot f (x) ja f Y (y). Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan Y suhteen (ehdolla Y = y) on fy ( xy, ) fy( xy) =, jos fy ( y) 0 f ( y) > Y Milla Kibble (2013) 64

Ehdolliset jakaumat ja odotusarvot Riippumattomuus ja ehdolliset jakaumat Olkoot satunnaismuuttujat ja Y riippumattomia. Tällöin f Y (x, y) = f (x) f Y (y) ja satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan Y suhteen yhtyy satunnaismuuttujan reunajakaumaan: f ( xy) = f ( x), jos f ( y) > 0 Y Y Tällöin satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan Y suhteen ei riipu ehtomuuttujan Y arvoista. Milla Kibble (2013) 65

Ehdolliset jakaumat ja odotusarvot Ehdolliset odotusarvot: Diskreetit jakaumat Olkoot satunnaismuuttujat ja Y diskreettejä. Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan Y suhteen on satunnaismuuttujan ehdollisen jakauman odotusarvo: E( Y = y) = xf Y( x y) x Milla Kibble (2013) 66

Ehdolliset jakaumat ja odotusarvot Ehdolliset odotusarvot: Jatkuvat jakaumat Olkoot satunnaismuuttujat ja Y jatkuvia. Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan Y suhteen on satunnaismuuttujan ehdollisen jakauman odotusarvo: + E( Y = y) = xf Y( x y) dx Milla Kibble (2013) 67

Ehdolliset jakaumat ja odotusarvot Riippumattomuus ja ehdolliset odotusarvot Jos satunnaismuuttujat ja Y ovat riippumattomia, ehdolliset odotusarvot yhtyvät niiden reunajakaumien odotusarvoihin. Jos siis ja Y ovat riippumattomia, seuraava pätee: E( Y) = E( ) E( Y) = E( Y) Tällöin satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan Y suhteen ei riipu ehtomuuttujan Y arvoista. Milla Kibble (2013) 68

Ehdolliset jakaumat ja odotusarvot Regressiofunktiot ja -käyrät Tarkastellaan satunnaismuuttujan ehdollista odotusarvoa E( Y = y) ehtomuuttujan Y arvojen y funktiona. Tätä funktiota kutsutaan satunnaismuuttujan regressiofunktioksi satunnaismuuttujan Y suhteen. Satunnaismuuttujan regressiofunktio muuttujan Y suhteen määrittelee regressiokäyrän x= g ( y) y = E( Y= y) Milla Kibble (2013) 69

Ehdolliset jakaumat ja odotusarvot Regressiokäyrät ja ennustaminen 1/4 Oletetaan, että satunnaismuuttujien ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio f Y tunnetaan. Haluamme ennustaa satunnaismuuttujan (tai Y) arvon satunnaismuuttujan Y (tai ) saaman arvon perusteella. Milla Kibble (2013) 70

Ehdolliset jakaumat ja odotusarvot Regressiokäyrät ja ennustaminen 2/4 Tehtävä 1: (i) Haluamme ennustaa satunnaismuuttujan arvon satunnaismuuttujan Y saaman arvon perusteella. (ii) Olkoon ennustettu arvo d( Y). (iii) Miten ennuste d( Y) valitaan optimaalisella tavalla? Tehtävä 2: (i) Haluamme ennustaa satunnaismuuttujan Y arvon satunnaismuuttujan saaman arvon perusteella. (ii) Olkoon ennustettu arvo d(y ). (iii) Miten ennuste d(y ) valitaan optimaalisella tavalla? KE (2014) 71

Ehdolliset jakaumat ja odotusarvot Regressiokäyrät ja ennustaminen 3/4 Tehtävän 1 ratkaisu: Valitaan d( Y) siten, että ennusteen keskineliövirhe E[ d( Y)] 2 minimoituu. Voidaan osoittaa, että keskineliövirhe minimoituu valinnalla d( Y) = E( Y) Siten ehdollinen odotusarvo E( Y) on keskineliövirheen mielessä optimaalinen ennuste satunnaismuuttujan saamille arvoille. Milla Kibble (2013) 72

Ehdolliset jakaumat ja odotusarvot Regressiokäyrät ja ennustaminen 4/4 Tehtävän 2 ratkaisu: Valitaan d(y ) siten, että ennusteen keskineliövirhe E[Y d(y )] 2 minimoituu. Voidaan osoittaa, että keskineliövirhe minimoituu valinnalla d(y ) = E(Y ) Siten ehdollinen odotusarvo E(Y ) on keskineliövirheen mielessä optimaalinen ennuste satunnaismuuttujan Y saamille arvoille. Milla Kibble (2013) 73

Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Kaksiulotteinen normaalijakauma KE (2014) 74

Kaksiulotteinen normaalijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma on normaalijakauman (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) kaksiulotteinen yleistys. Huomautus: Normaalijakauman yleistystä p-ulotteiseen avaruuteen (p > 1) kutsutaan multinormaalijakaumaksi tai p-ulotteiseksi normaalijakaumaksi. Milla Kibble (2013) 75

Kaksiulotteinen normaalijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma ja sen tiheysfunktio 1/2 Satunnaismuuttujat ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa, jos niiden yhteisjakauman tiheysfunktio on muotoa 1 1 fy ( xy, ) = exp Qxy (, ) 2 2 2πσ 2(1 ) σ Y 1 ρ Y ρ Y jossa 2 2 x y Y x y Y Qxy (, ) µ µ µ µ 2ρ = Y σ + σ Y σ σ Y Merkintä: (, Y) N 2 (µ, µ Y, σ 2, σ Y2, ρ Y ) KE (2014) 76

Kaksiulotteinen normaalijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma ja sen tiheysfunktio 2/2 Kaksiulotteisen normaalijakauman N 2 (µ, µ Y, σ 2, σ Y2, ρ Y ) parametrien on toteutettava seuraavat ehdot: < µ < + σ > 0 < µ < + σ > Y 1< ρ <+ 1 Y Y 0 Milla Kibble (2013) 77

Kaksiulotteinen normaalijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauman parametrit Olkoon (, Y) N 2 (µ, µ Y, σ 2, σ Y2, ρ Y ) Kaksiulotteisen normaalijakauman parametreina, jotka täysin määräävät jakauman, ovat satunnaismuuttujien ja Y odotusarvot ja varianssit sekä niiden korrelaatio: Lisäksi E( ) = µ Var( ) = σ E( Y) = µ Var( Y) = σ Y Cor( Y, ) = ρ Y 2 Y Cov( Y, ) = σ Y = ρyσ σy 2 Milla Kibble (2013) 78

Kaksiulotteinen normaalijakauma Tiheysfunktion ominaisuudet Kaksiulotteisen normaalijakauman tiheysfunktio määrittelee pinnan z = f Y (x, y) kolmiulotteisessa avaruudessa. Pinnalla on maksimi satunnaismuuttujien ja Y odotusarvojen µ ja µ Y määräämässä jakauman todennäköisyysmassan painopisteessä (µ, µ Y ). Pinnan muodon määräävät tasa-arvoellipsit 2 2 x y Y x y Y Qxy (, ) µ µ µ µ 2ρ = Y σ + σ Y σ σ Y = c (vakio) KE (2014) 79

Kaksiulotteinen normaalijakauma Tasa-arvoellipsien ominaisuudet 1/3 Kaksiulotteisen normaalijakauman tiheysfunktion muodostaman pinnan muodon määräävillä tasaarvoellipseillä on seuraavat ominaisuudet: (i) Ellipsien keskipisteenä on jakauman todennäköisyysmassan painopiste (µ, µ Y ) (ii) Ellipsien eksentrisyys on sekä korrelaatiokertoimen ρ Y että standardipoikkeamien σ ja σ Y funktio. (iii) Ellipsi on sitä eksentrisempi mitä voimakkaammin satunnaismuuttujat ja Y ovat korreloituneita eli mitä suurempi on ρ Y KE (2014) 80

Kaksiulotteinen normaalijakauma Tasa-arvoellipsien ominaisuudet 2/3 (iv) Jos ρ Y = 0 ellipsien pääakselit ovat koordinaattiakseleiden suuntaiset. (v) Jos ρ Y = 0 ja lisäksi σ = σ Y niin ellipsit ovat ympyröitä. (vi) Jos ρ Y = ±1 niin ellipsit surkastuvat janoiksi. Milla Kibble (2013) 81

Kaksiulotteinen normaalijakauma Tasa-arvoellipsien ominaisuudet 3/3 Tasa-arvoellipsien pääakselit ovat satunnaismuuttujien ja Y kovarianssimatriisin 2 σ σ Y Σ = 2 σ Y σy ominaisvektoreiden suuntaiset ja niiden pituudet suhtautuvat toisiinsa kuten matriisin Σ ominaisarvojen neliöjuuret. Milla Kibble (2013) 82

Kaksiulotteinen normaalijakauma Esimerkki: Jakauman määrittely Olkoon (, Y) N 2 (4, 3, 2, 1, 0.7) Jakauman parametrit ovat 2 E( ) = µ = 4 Var( ) = σ = 2 2 E( Y) = µ Y = 3 Var( Y) = σy = 1 Cor( Y, ) = ρ Y = 0.7 Siten Cov( Y, ) = ρ σ σ = 0.7 2 1 = 0.9899 Y Y Milla Kibble (2013) 83

Kaksiulotteinen normaalijakauma Esimerkki: Tiheysfunktion kuvaaja Olkoon (, Y) N 2 (4, 3, 2, 1, 0.7) jolloin 2 µ = 4 σ = 2 2 µ Y = 3 σy = 1 ρ = 0.7 Y Kuva oikealla esittää jakauman tiheysfunktiota f Y (x, y) 0.2 0.1 0-2 0 x 2 4 6 8 10-2 0 2 8 10 6 4 y Milla Kibble (2013) 84

Kaksiulotteinen normaalijakauma Esimerkki: Tasa-arvoellipsit Olkoon (, Y) N 2 (4, 3, 2, 1, 0.7) jolloin 2 µ = 4 σ = 2 2 µ Y = 3 σy = 1 ρ = 0.7 Y Kuva oikealla esittää jakauman tiheysfunktion kuvaajan tasaarvoellipsejä, jotka vastaavat (likimäärin) todennäköisyyksiä 68 %, 95 % ja 99.7 %. Esimerkiksi uloimman ellipsin sisään jää n. 99.7 % jakauman todennäköisyysmassasta. 10 8 6 4 2 0-2 N 2 (4, 3, 2, 1, 0.7) ( µ, µ ) Y -2 0 2 4 6 8 10 KE (2014) 85

Kaksiulotteinen normaalijakauma Reunajakaumat Voidaan osoittaa, että kaksiulotteisen normaalijakauman reunajakaumat ovat normaalisia: N(µ, σ 2 ) Y N(µ Y, σ Y2 ) ja niiden tiheysfunktiot ovat 2 1 1 x µ f ( x) = exp 2 2 σ πσ 2 1 1 y µ Y fy ( y) = exp 2πσ 2 σ Y Y Milla Kibble (2013) 86

Kaksiulotteinen normaalijakauma Esimerkki: Reunajakaumat 0.5 N(4, 2) 0.5 N(3, 1) 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0 0-2 0 2 4 6 8 10-2 0 2 4 6 8 10 Olkoon (, Y) N 2 (4, 3, 2, 1, 0.7) Kuvat yllä esittävät satunnaismuuttujien ja Y reunajakaumia: N(4, 2) Y N(3, 1) Milla Kibble (2013) 87

Kaksiulotteinen normaalijakauma Reunajakaumat Huomautus: Jos yhteisjakauman reunajakaumat ovat normaalijakaumia, ei yhteisjakauman tarvitse olla kaksiulotteinen normaalijakauma. Milla Kibble (2013) 88

Kaksiulotteinen normaalijakauma Korreloimattomuus vs riippumattomuus Kaksiulotteisen normaalijakauman tapauksessa satunnaismuuttujien ja Y korreloimattomuus on yhtäpitävää niiden riippumattomuuden kanssa. Huomautuksia: Satunnaismuuttujien riippumattomuudesta seuraa aina niiden korreloimattomuus. Satunnaismuuttujien korreloimattomuudesta ei yleisesti seuraa niiden riippumattomuus. Milla Kibble (2013) 89

Kaksiulotteinen normaalijakauma Ehdolliset jakaumat Kaksiulotteisen normaalijakauman ehdolliset jakaumat ovat normaalisia: ( 2 ) Y Y ( Y= y )~N µ, σ jossa σ µ Y = E( Y= y) = µ + ρ Y ( y µ Y ) σ σ = Var( Y= y) = (1 ρ ) σ 2 2 2 Y Y Y Milla Kibble (2013) 90

Kaksiulotteinen normaalijakauma Ehdolliset odotusarvot Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo eli regressiofunktio satunnaismuuttujan Y suhteen σ E( Y= y) = µ + ρ Y ( y µ Y ) σ Y on lineaarinen satunnaismuuttujan Y arvojen y suhteen. Satunnaismuuttujan Y ehdollinen odotusarvo eli regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen σ E( Y= x) = µ Y Y + ρ Y ( x µ ) σ on lineaarinen satunnaismuuttujan arvojen x suhteen. Milla Kibble (2013) 91

Kaksiulotteinen normaalijakauma Regressiosuorat Kaksiulotteisen normaalijakauman regressiokäyrät ovat suoria, joiden yhtälöt voidaan kirjoittaa satunnaismuuttujan saamien arvojen x funktioina seuraaviin muotoihin: (i) x:n regressiosuora y:n suhteen: 1 Y y = σ µ + Y ( x µ ) ρ σ (ii) y:n regressiosuora x:n suhteen: Y σ Y y = µ Y + ρ Y ( x µ ) σ Milla Kibble (2013) 92

Kaksiulotteinen normaalijakauma Regressiosuorien ominaisuudet 1/4 Regressiosuorilla on seuraavat ominaisuudet: (i) (ii) Molemmat regressiosuorat kulkevat jakauman todennäköisyysmassan painopisteen (µ, µ Y ) kautta. Molempien regressiosuorien kulmakertoimilla ja satunnaismuuttujien ja Y korrelaatiokertoimella ρ Y on aina sama merkki: Suorat ovat nousevia, jos ρ Y > 0. Suorat ovat laskevia, jos ρ Y < 0. (iii) x:n regressiosuora y:n suhteen on aina jyrkempi kuin y:n regressiosuora x:n suhteen, koska 2 ρ 1 Y Milla Kibble (2013) 93

Kaksiulotteinen normaalijakauma Regressiosuorien ominaisuudet 2/4 (iv) x:n regressiosuora y:n suhteen on sitä loivempi mitä voimakkaammin satunnaismuuttujat ja Y ovat korreloituneita eli mitä suurempi on ρ Y (v) y:n regressiosuora x:n suhteen on sitä jyrkempi mitä voimakkaammin satunnaismuuttujat ja Y ovat korreloituneita eli mitä suurempi on ρ Y Milla Kibble (2013) 94

Kaksiulotteinen normaalijakauma Regressiosuorien ominaisuudet 3/4 (vii) Molemmat regressiosuorat ovat sitä jyrkempiä mitä pienempi on satunnaismuuttujan varianssi 2 σ (vi) Molemmat regressiosuorat ovat sitä jyrkempiä mitä suurempi on satunnaismuuttujan Y varianssi 2 σ Y (viii) Regressiosuorat yhtyvät täsmälleen silloin, kun ρ = ±1 Milla Kibble (2013) 95

Kaksiulotteinen normaalijakauma Regressiosuorien ominaisuudet 4/4 (ix) Jos ρ = 0, niin regressiosuorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja x:n regressiosuora y:n suhteen on x = µ ja y:n regressiosuora x:n suhteen on y = µ Y jolloin x:n saamat arvot eivät riipu y:n saamista arvoista ja y:n saamat arvot eivät riipu x:n saamista arvoista. Milla Kibble (2013) 96

Kaksiulotteinen normaalijakauma Esimerkki: Regressiosuorat 1/2 Olkoon (, Y) N 2 (4, 3, 2, 1, 0.7) x:n regressiosuora muuttujan y suhteen on 1 Y y = σ µ + Y ( x µ ) ρ Y σ 1 1 = 3 + ( x 4) = 1.0406 + 1.0101x 0.7 2 y:n regressiosuora muuttujan x suhteen on σ Y y = µ Y + ρ Y ( x µ ) σ 1 = 3 + 0.7 ( x 4) = 1.0201+ 0.4950x 2 Milla Kibble (2013) 97

Kaksiulotteinen normaalijakauma Esimerkki: Regressiosuorat 2/2 Olkoon (, Y) N 2 (4, 3, 2, 1, 0.7) Kuva oikealla esittää jakauman tiheysfunktion kuvaajan tasaarvoellipsejä, jotka vastaavat (likimäärin) todennäköisyyksiä 68 %, 95 % ja 99.7 %. Kuvan suorista jyrkempi y = 1.0406 + 1.0101 x on x:n regressiosuora y:n suhteen ja suorista loivempi y = 1.0201+ 0.4950 x on y:n regressiosuora x:n suhteen. 10 8 6 4 2 0-2 N 2 (4, 3, 2, 1, 0.7) -2 0 2 4 6 8 10 Milla Kibble (2013) 98