Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä
|
|
- Kaija Hänninen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä
2 Sisältö
3
4 Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme tästä enemmän luennolla 1.) Kahden tai useamman satunnaismuuttujan välisellä riippuvuudella tarkoitetaan mitä tahansa poikkeamaa tästä stokastisesta riippumattomuudesta.
5 Tilastollinen riippuvuus Tilastotieteessä ollaan hyvin usein kiinnostuneita satunnaismuuttujien välisistä riippuvuuksista. Työttömyysasteen riippuvuus BKTn kasvuvauhdista Suomessa, Suomen viennin volyymista, vaalilupauksista, yms. Alkoholin kulutuksen riippuvuus hintatasosta, ihmisten tuloista, alkoholin saatavuudesta, varoituslapuista, yms. Keuhkosyövän todennäköisyyden riippuvuus tupakoinnin määrästä ja kestosta.
6
7 Olkoot x ja y satunnaismuuttujia. Olkoon y = ax + b, a, b R, a 0. Tällöin muuttuja y on muuttujan x lineaarikombinaatio ja muuttujat x ja y riippuvat toisistaan lineaarisesti (täydellisesti). Kahden satunnaismuuttujan välistä lineaarista riippuvuutta voidaan mitata esim. korrelaatiokertoimen avulla.
8
9 Olkoot (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 )...,(x n, y n ) kaksiulotteisen satunnaismuuttujan (x, y) toisistaan riippumattomat havaitut arvot. Tällöin otoskovarianssi s xy = 1 n 1 n (x i x)(y i ȳ) i=1 estimoi populaatiokovarianssia E[(x E[x])(y E[y])] = σ xy, ja ˆρ(x, y) = s n xy i=1 = (x i x)(y i ȳ) s x s n y i=1 (x i x) 2 n i=1 (y i ȳ) 2 estimoi ta ρ(x, y) = σ xy σ x σ y.
10 Olkoot (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 )...,(x n, y n ) kaksiulotteisen satunnaismuuttujan (x, y) toisistaan riippumattomat havaitut arvot. Jos muutujat x ja y ovat toisistaan riippumattomia, niin tällöin E[(x E[x])(y E[y])] = E[(x E[x])]E[(y E[y])] = 0 ja edelleen ρ(x, y) = 0. Jos taas y = ax + b, a, b R, a 0, niin ρ(x, y) = 1 kun a > 0 ja ρ(x, y) = 1 kun a < 0. (Lisää tästä [3], sivu 102.) Yleisesti mittaa numeerisesti kahden satunnaismuuttujan välistä lineaarista riippuvuutta. Kerroin on aina välillä [ 1, 1].
11 Huomaa, että lineaarinen ei takaa riippumattomuutta. Esim. jos x on tasaisesti jakautunut välillä ( 1, 1) ja y = x 2, niin satunnaismuuttujien x ja y välinen korrelaatio 0, vaikka ne riippuvat toisistaan. Kuitenkin normaalijakautuneeet muuttujat ovat korreloimattomia jos ja vain jos ne ovat riippumattomia.
12 Esimerkki 1 Korrelaatiokertoimia
13 Esimerkki 2 Korrelaatiokertoimia
14 Esimerkki 3 Korrelaatiokertoimia
15 Kaksiulotteinen normaalijakauma Kaksiulotteisen normaalijakautuneen muuttujan tiheysfunktio f(x, y) = 1 2π 1 ρ 2 (x, y)σ x σ y ( 1 ( (x µx ) 2 exp 2(1 ρ 2 2ρ(x, y) (x µ x) (y µ y ) (x, y)) σ x σ 2 x + (y µ y) 2 )). σ y σ 2 y
16 Luottamusväli Olkoot (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 )...,(x n, y n ), kaksiulotteisen satunnaismuuttujan (x, y) havaitut arvot. Oletetaan, että havaintopisteet ovat riippumattomia, samoin jakautuneita ja tulevat kaksiulotteisesta normaalijakaumasta. Tilastollisten ohjelmistojen laskemat luottamusvälien estimaatit perustuvat yleensä normaalisuusoletukseen. Olkoon ja olkoon l = (1+ ˆρ(x, y)) (1 ˆρ(x, y)) exp(2z α/2/ n 3) (1+ ˆρ(x, y))+(1 ˆρ(x, y)) exp(2z α/2 / n 3) u = (1+ ˆρ(x, y)) (1 ˆρ(x, y)) exp( 2z α/2/ n 3) (1+ ˆρ(x, y))+(1 ˆρ(x, y)) exp( 2z α/2 / n 3), missä z α/2 on standardinormaalijakauman luottamuskerroin α 2. Tällöin, kun otoskoko n on suuri, väli (l, u) estimoi korrelaatiokertoimen luottamusväliä 1 α.
17 Luottamusväli ilman normaalisuusoletusta Olkoot (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 )...,(x n, y n ), kaksiulotteisen satunnaismuuttujan (x, y) havaitut arvot. Oletetaan, että havaintopisteet ovat riippumattomia ja samoin jakautuneita. Silloin kun aineisto ei ole normaalijakautunut, niin luottamusväliä voidaan arvioida ns. bootstrap menetelmän avulla.
18 Luottamusväli ilman normaalisuusoletusta 1. Poimi havaituista arvoista (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 )...,(x n, y n ) uusi otoskokoa n oleva satunnaisotos palauttaen. Palauttaen otannassa otospisteitä valitaan uuteen otokseen yksi kerrallaan ja jokaisen riippumaton valinta tehdään koko alkuperäisestä otoksesta. Sama havainto saatetaan tällöin valita useaan kertaan. 2. Laske kohdassa 1 valitusta otoksesta. 3. Toista kohdat 1 ja 2 useita kertoja ja järjestä näin saadut estimaatit suuruusjärjestykseen. Ota mukaan bootstrap estimaattien lisäksi alkuperäisestä otoksesta laskettu estimaatti. 4. Muodosta luottamusvälin 1 α estimaatti valitsemalla luottamusvälin alarajaksi piste, jota suurempia tai yhtäsuuria on 1 α 2 osuus järjestetyistä estimaateista ja ylärajaksi piste, jota pienempiä tai yhtäsuuria on 1 α 2 osuus järjestetyistä estimaateista. (Esim. jos bootstrap otoksia on 99 ja lisäksi alkuperäinen estimaatti, niin suuruusjärjestyksessä 5. ja 95. estimaatti muodostavat 90% luottamusvälin.)
19
20 vertaa ta annettuun vakioon.
21 , oletukset Olkoot (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 )...,(x n, y n ), kaksiulotteisen satunnaismuuttujan (x, y) havaitut arvot. Oletetaan, että havaintopisteet ovat riippumattomia, samoin jakautuneita ja tulevat kaksiulotteisesta normaalijakaumasta. Nollahypoteesi H 0 : ρ(x, y) = ρ 0. Mahdolliset vaihtoehtoiset hypoteesit: H 1 : ρ(x, y) > ρ 0 (yksisuuntainen), H 1 : ρ(x, y) < ρ 0 (yksisuuntainen) tai H 1 : ρ(x, y) ρ 0 (kaksisuuntainen).
22 Testisuure z = 1/2 ln[(1+ ˆρ(x, y))/(1 ˆρ(x, y))] 1/2 ln[(1+ρ 0 )/(1 ρ 0 )]. 1/(n 3) Kun n on suuri, niin nollahypoteesin vallitessa testisuure z noudattaa likimain standardinormaalijakaumaa. Testisuureen normaaliarvo on 0, koska nollahypoteesin pätiessä E[z] = 0. Itseisarvoltaan suuret testisuureen arvot viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos p arvo on kyllin pieni.
23
24 Korrelaatiokertoimien Korrelaatiokertoimien vertaa kahden riippumattoman otoksen korrelaatiokertoimia.
25 Korrelaatiokertoimien, oletukset Olkoot (x 1, y 1 ) 1,(x 2, y 2 ) 1...,(x n, y n ) 1 kaksiulotteisen satunnaismuuttujan (x, y) 1 havaitut arvot ja olkoot (x 1, y 1 ) 2,(x 2, y 2 ) 2...,(x m, y m ) 2 kaksiulotteisen satunnaismuuttujan (x, y) 2 havaitut arvot. Oletetaan, että havaintopisteet (x 1, y 1 ) 1,(x 2, y 2 ) 1...,(x n, y n ) 1 ovat riippumattomia, samoin jakautuneita ja tulevat kaksiulotteisesta normaalijakaumasta, jonka on ρ(x, y) 1, ja oletetaan, että havaintopisteet (x 1, y 1 ) 2,(x 2, y 2 ) 2...,(x m, y m ) 2 ovat riippumattomia, samoin jakautuneita ja tulevat kaksiulotteisesta normaalijakaumasta, jonka on ρ(x, y) 2. Oletetaan vielä, että (x i, y i ) 1 ja (x j, y j ) 2 ovat riippumattomia kaikilla i, j. Nollahypoteesi H 0 : ρ(x, y) 1 = ρ(x, y) 2. Mahdolliset vaihtoehtoiset hypoteesit: H 1 : ρ(x, y) 1 > ρ(x, y) 2 (yksisuuntainen), H 1 : ρ(x, y) 1 < ρ(x, y) 2 (yksisuuntainen) tai H 1 : ρ(x, y) 1 ρ(x, y) 2 (kaksisuuntainen).
26 Korrelaatiokertoimien Testisuure z = 1/2 ln[(1+ ˆρ(x, y) 1 )/(1 ˆρ(x, y) 1 )] 1/2 ln[(1+ ˆρ(x, y) 2 )/(1 ˆρ(x, y) 2 )]. 1/(n 3)+1/(m 3) Kun n ja m ovat suuria, niin nollahypoteesin vallitessa testisuure z noudattaa likimain standardinormaalijakaumaa. Testisuureen normaaliarvo on 0, koska nollahypoteesin pätiessä E[z] = 0. Itseisarvoltaan suuret testisuureen arvot viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos p arvo on kyllin pieni.
27
28 , oletukset Olkoot (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 )...,(x n, y n ), kaksiulotteisen satunnaismuuttujan (x, y) havaitut arvot. Oletetaan, että havaintopisteet ovat riippumattomia, samoin jakautuneita ja tulevat kaksiulotteisesta normaalijakaumasta. Nollahypoteesi H 0 : ρ(x, y) = 0. Mahdolliset vaihtoehtoiset hypoteesit: H 1 : ρ(x, y) > 0 (yksisuuntainen), H 1 : ρ(x, y) < 0 (yksisuuntainen) tai H 1 : ρ(x, y) 0 (kaksisuuntainen).
29 Testisuure t = ˆρ(x, y) n 2/ 1 (ˆρ(x, y)) 2. Jos nollahypoteesi pätee, niin testisuure noudattaa Studentin t jakaumaa vapausastein n 2. Testisuureen normaaliarvo on 0, koska nollahypoteesin pätiessä E[t] = 0. Itseisarvoltaan suuret testisuureen arvot viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos p arvo on kyllin pieni.
30 ilman normaalisuusoletusta Olkoot (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 )...,(x n, y n ), kaksiulotteisen satunnaismuuttujan (x, y) havaitut arvot. Oletetaan, että havaintopisteet ovat riippumattomia ja samoin jakautuneita. Nollahypoteesi H 0 : ρ(x, y) = 0. Mahdolliset vaihtoehtoiset hypoteesit: H 1 : ρ(x, y) > 0 (yksisuuntainen), H 1 : ρ(x, y) < 0 (yksisuuntainen) tai H 1 : ρ(x, y) 0 (kaksisuuntainen).
31 ilman normaalisuusoletusta Olkoot (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 )...,(x n, y n ), kaksiulotteisen satunnaismuuttujan (x, y) havaitut arvot. Oletetaan, että havaintopisteet ovat riippumattomia ja samoin jakautuneita. Havaitun otoskorrelaatiokertoimen todennäköisyyttä nollahypoteesin vallitessa voidaan arvioida ns. Monte Carlo permutaatiotestin avulla. 1. Muodosta havaituista arvoista (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 )...,(x n, y n ) satunnaisesti n uutta paria (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 )...,(x n, y n) siten että jokainen alkuperäinen y j esiintyy yhdessä ja vain yhdessä uudessa parissa. 2. Laske otoksesta (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 )...,(x n, y n ). 3. Toista kohdat 1 ja 2 useita kertoja ja arvioi estimaatin arvon ˆρ(x, y) todennäköisyyttä nollahypoteesin vallitessa kohdassa 2 laskettujen kertoimien avulla (ts. laske kuinka monta prosenttia kohdassa 2 lasketuista estimaateista on pienempiä/suurempia kuin ˆρ(x, y)).
32 ilman normaalisuusoletusta Monte Carlo permutaatiotestiä tarkempi estimaatti saadaan käyttämällä permutaatiotestiä ilman simulointia. Tällöin alkuperäisistä havainnoista muodostetaan kaikki mahdolliset n! kombinaatiota ja arvon ˆρ(x, y) todennäköisyyttä nollahypoteesin vallitessa arvioidaan kaikkien n! avulla.
33
34 Monotoninen riippuvuus Olkoot x ja y satunnaismuuttujia. Olkoon y = g(x), missä g on monotoninen (kasvava tai vähenevä) funktio. Tällöin muuttuja y on muuttujan x monotoninen funktio ja muuttujat x ja y riippuvat toisistaan monotonisesti (täydellisesti). Kahden satunnaismuuttujan välistä monotonista riippuvuutta voidaan mitata esim. Spearmanin järjestyskorrelaatiokertoimen avulla.
35 Olkoot (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 )...,(x n, y n ) kaksiulotteisen satunnaismuuttujan (x, y) toisistaan riippumattomat havaitut arvot. Olkoon R(x i ) havainnon x i järjestysluku otoksessa x 1, x 2,..., x n ja olkoon R(y i ) havainnon y i järjestysluku otoksessa y 1, y 2,..., y n. Tällöin Spearmanin järjestys on laskettuna tästä järjestyslukuaineistosta. Spearmanin järjestys mittaa numeerisesti kahden satunnaismuuttujan välistä monotonista riippuvuutta. Kerroin on aina välillä [ 1, 1].
36 Myös Spearmanin korrelaatiokertoimen luottamusväliä voidaan estimoida bootstrap menetelmällä!
37 Monotonisen riippumattomuuden, oletukset Olkoot (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 )...,(x n, y n ), kaksiulotteisen satunnaismuuttujan (x, y) havaitut arvot. Oletetaan, että havaintopisteet ovat riippumattomia ja samoin jakautuneita. Nollahypoteesi H 0 : ρ S (x, y) = 0. Mahdolliset vaihtoehtoiset hypoteesit: H 1 : ρ S (x, y) > 0 (yksisuuntainen), H 1 : ρ S (x, y) < 0 (yksisuuntainen) tai H 1 : ρ S (x, y) 0 (kaksisuuntainen).
38 Monotonisen riippumattomuuden Testisuure z = ˆρ S (x, y) n 2/ 1 (ˆρ S (x, y)) 2. Kun n on suuri, niin nollahypoteesin vallitessa testisuure z noudattaa likimain standardinormaalijakaumaa. Kun otoskoko on pieni, tilastolliset ohjelmistot laskevat tarkan p arvon. Testisuureen normaaliarvo on 0, koska nollahypoteesin pätiessä E[z] = 0. Itseisarvoltaan suuret testisuureen arvot viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos p arvo on kyllin pieni.
39 Myös Spearmanin korrelaatiokertoimen merkitsevyyttä voidaan tarkastella permutaatiotestin avulla!
40 Jos ta laskiessa osalla otospisteistä on sama järjestysluku, niin tällöin kaikille näille otospisteille valitaan järjestysluvuksi keskimmäinen. Esim. jos kahden havainnon järjestysluku on sama, vastaten järjestyslukuja 7 ja 8, niin molemmille havainnoille asetetaan järjestysluvuksi 7.5. Jos kolmen havainnon järjestysluku on sama, vastaten järjestyslukuja 3, 4 ja 5, niin järjestysluvuksi valitaan kaikille kolmelle 4.
41 Numeerinen esimerkki Spearmanin järjestyskorrelaatiokertoimesta. Kaksossisaruksia pyydettiin järjestämään kymmenen erilaista keksimerkkiä mielijärjestykeensä. Keksit merkittiin jokainen omalla kirjaimella. Haluttiin selvittää riippuvatko sisarusten keksimieltymykset toisistaan monotonisesti 5% merkitsevyystasolla. Nollahypoteesi on siis muotoa ˆρ(x, y) = 0. X J G D H A C B I E F Y G H D C A B J E I F R Taulukko: Kaksosten tekemät keksivalinnat Taulukon arvoista saadaan jokaiselle kaksille järjestysluvuista parit: (6,6), (4,5), (5,7), (8,8), (2,3), (1,1), (9,10), (7,9), (3,2), (10,4).
42 Otosvarianssi X ja Y valintojen järjestylukujen otosvarianssit ovat s X = ja s Y = ja otoskovarianssi s XY = 6.5. ˆρ S (X, Y) = Testisuureen arvoksi saadaan n 2 z = ˆρ S (X, Y) 1 (ˆρS (X, Y)) = 2 1 ( ) 2 = Nollahypoteesin pätiessä testisuure noudattaa likimain standardinormaalijakaumaa. Kriittisiksi arvoiksi 5% merkitsevyystasolla saadaan ja Koska > 1.96 ja p-arvoksi saadaan , nollahypoteesi hylätään ja vaihtoehtoinen hypoteesi astuu voimaan. Kaksosten makumieltymykset eroavat toisistaan.
43 Mikä meni pieleen edellisessä esimerkissä?
44 Tämä meni pieleen Esimerkissä otoskoko ei ole kovin suuri, joten asymptoottisiin p-arvoihin nojaaminen on kyseenalaista. Parempi vaihtoehto olisi nojata esim. R-ohjelmiston laskemaan tarkkaan p-arvoon tai käyttää permutaatiotestiä.
45 , Esimerkki Esimerkkinä pituus ja kengän numero.
46
47 Pari sanaa Kendallin järjestyskorrelaatiokertoimesta Wikipediasta.
48
49 Riippuvuus ei ole sama asia kuin lineaarinen riippuvuus! Riippuvuus on vain riippuvuutta, se ei kerro kausaalisuhteesta!
50 J. S. Milton, J. C. Arnold: Introduction to Probability and Statistics, McGraw-Hill Inc J. Crawshaw, J. Chambers: A Concise Course in Advanced Level Statistics, Nelson Thornes Ltd R. V. Hogg, J. W. McKean, A. T. Craig: Introduction to Mathematical Statistics, Pearson Education Pertti Laininen: Todennäköisyys ja sen tilastollinen soveltaminen, Otatieto 1998, numero 586. Ilkka Mellin: Tilastolliset menetelmät,
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Jakaumaoletuksien. testaaminen
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Sisältö Tilastotieteessä tehdään usein oletuksia havaintojen jakaumasta. Useat tilastolliset menetelmät toimivat tehottomasti tai jopa virheellisesti, jos jakaumaoletukset
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.14 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 7 7. luento: Tarina yhden selittään lineaarisesta regressiomallista atkuu Kai Virtanen 1 Luennolla 6 opittua Kuvataan havainnot (y, x ) yhden selittään
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
Lisätiedot10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut
10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
LisätiedotFoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo
FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio Tilastollinen riippuvuus, korrelaatio ja regressio Kahden muuttujan
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
Lisätiedotedellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾
ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 5
MS-A Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Tilastollinen testaus Tilastollisten testaaminen Tilastollisen tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta on esitetty jokin väite tai
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
LisätiedotHAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT
HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT F: E: Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies (1) 59 28 4 91 Nainen (2) 5 14 174 193 Yhteensä 64 42 178 284 Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 11 (vko 48/003) (Aihe: Tilastollisia testejä, Laininen luvut 4.9, 15.1-15.4, 15.7) Nordlund 1. Kemiallisen prosessin
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen vertaaminen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotTilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä
LisätiedotJos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan
17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten
LisätiedotTutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)
1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi
Lisätiedot¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.
10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat
LisätiedotKopulafunktiot. Joonas Ollila 12. lokakuuta 2011
Kopulafunktiot Joonas Ollila 12. lokakuuta 2011 Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään. Kopula-sanan alkuperä Kopula tarkoittaa
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
Lisätiedot2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN...
!" # 1. 1. JOHDANTO... 3 2. 2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN... 4 2.1. T-TESTI... 4 2.2. RANDOMISAATIOTESTI... 5 3. SIMULOINTI... 6 3.1. OTOSTEN POIMINTA... 6 3.2. TESTAUS... 7 3.3. TESTIEN TULOSTEN VERTAILU...
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu
LisätiedotParametrin estimointi ja bootstrap-otanta
Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta 1/27 Kevät 2003 Käytännön asioista
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
Lisätiedot2. Keskiarvojen vartailua
2. Keskiarvojen vartailua Esimerkki 2.1: Oheiset mittaukset liittyvät Portland Sementin sidoslujuuteen (kgf/cm 2 ). Mittaukset y 1 ovat nykyisestä seoksesta ja mittaukset y 2 uudesta seoksesta, jossa lisäaineena
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Tilastollisen merkitsevyyden testaus (+ jatkuvan parametrin Bayes-päättely) Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas Ilman Ruotsia: r = 0.862 N Engl J Med 2012; 367:1562-1564. POIKKEAVAN HAVAINNON VAIKUTUS PAIRWISE VAI LISTWISE? Kun aineistossa on muuttujia, joilla
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotTilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo
Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B
Tilastollinen päättömyys, kevät 7 Harjoitus 6B Heikki Korpela 8. helmikuuta 7 Tehtävä. Monisteen teht. 6... Olkoot Y,..., Y 5 Nµ, σ, ja merkitään S 5 i Y i Y /4. Näytä, että S/σ on saranasuure eli sen
LisätiedotMoniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset
LisätiedotTutkimustiedonhallinnan peruskurssi
Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,
Lisätiedot1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X
Lisätiedotχ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastollisen merkitsevyyden testaus Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedotr = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.
A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas Keskivirheyksiköllä ilmaistuna voidaan erottaa otantajakaumalta kriittisiä kohtia: Keskimmäinen 95 % otoskeskiarvoista välillä [-1.96,+1.96] Keskimmäinen
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
Lisätiedot6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287
Lisätiedot1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden
Lisätiedot806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.
806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen
LisätiedotKorrelaatiokertoinen määrittely 165
kertoinen määrittely 165 Olkoot X ja Y välimatka- tai suhdeasteikollisia satunnaismuuttujia. Havaintoaineistona on n:n suuruisesta otoksesta mitatut muuttuja-arvoparit (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x
LisätiedotPOPULAATIO. Oikeastaan arvot, joista ollaan kiinnostuneita (mitatut numeeriset suureet, luokittelut).
KÄSITTEITÄ POPULAATIO Joukko, jota tutkitaan (äärellinen, ääretön). Oikeastaan arvot, joista ollaan kiinnostuneita (mitatut numeeriset suureet, luokittelut). Näiden välillä ei aina tehdä eroa, kun puhutaan
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,
Lisätiedot1. Tilastollinen malli??
1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen
Lisätiedot