Sopimuksenteon dynmiikk: morlinen uhkpeli Mt-2.4142 Optimointiopin seminri Ville Venoärvi 15.4.2008 Esitelmä 15 Ville Venoärvi
Sisältö Hsteit Uudelleen neuvottelu gentin työpnoksen älkeen Konvergenssi optimiin Äärellisesti toistuv morlinen uhkpeli: Agentill ei mhdollisuutt luottoon Agentill mhdollisuus luottoon Kotitehtävä Esitelmä 15 Ville Venoärvi
Kertust Morlist uhkpeliä esiintyy os Agentti toiminnlln vikutt sekä omn että päämiehen hyötyyn. Päämies hvitsee inostn toiminnn tuloksen ei itse toimint. Agentin spontnisti vlitsem toiminto ei ole Preto-optimlinen. Esitelmä 15 Ville Venoärvi
Hsteit 1/2 Agentin sm korvus työstä määräytyy hänen työpnoksens, sekä hänestä riippumttomst häiriöstä, ok vikutt työsuorituksen lopputulokseen. x = + ε. Näin ollen gentti hlu tsoitt kulutustn säästämällä, linmll ti kuluttmll säästöä. Edellinen seurust oletuksest että gentin hyötyfunktio on idosti konkvi. Esitelmä 15 Ville Venoärvi
Hsteit 2/2 Usein toistuvss morlisen uhkpelin ongelmss on mhdollist että gentti hyötyy yksityisestä informtiostn. Esiintyy esimerkiksi os gentin tuotos riippuu hänen nykyhetkeä edeltävistä työpnoksist. Päämies hvitsee inostn työn lopputuloksen, ei työpnost. Esitelmä 15 Ville Venoärvi
Uudelleen neuvottelu gentin työpnoksen älkeen1/2 Trksteluss yksiperiodinen morlisen uhkpelin ongelm. Agentin tuotos: x = + ε * * * Päämiehen yliäämä optimiss: + ε w + ε Trkstelunkohtn hetki olloin gentti suorittnut työpnoksens, mutt työntulost ei vielä hvit. Oletus: päämies riskineutrli gentti riskiä krttv. * Optimiss tulee plkn w oll vkio. Ospuolet hyötyisivät os kikki riski siirretään päämiehen knnettvksi lkuperäinen optimlinen sopimus ei ole robusti uudelleen neuvottelulle. Tämä gentin vlitsemn itsensä knnlt edullisimmn työpnoksen, sillä plkk ei enää gentille knnustin. Esitelmä 15 Ville Venoärvi
Uudelleen neuvottelu gentin työpnoksen älkeen2/2 Uudelleen neuvottelu stt sd huomttvsti lisää pinorvo tilnteiss oiss intervlli työpnoksen vlitsemisen työn tuloksen hvitsemisess pitenee. Esimerkiksi mittvt rkennusproektit. Stt oht hitllisen vlikoitumisen tehtäväänei käsitellä. Tällisess tilnteess päämies ei enää kykene smn gentti toimimn optimlisesti todennäköisyydellä 1, eli uudelleen neuvottelun mhdollisuus työpnoksen vlitsemisen älkeen ikns tehottomuutt. Näin ollen yhden periodin mittisill morlisen uhkpelin ongelmill on myös dynmisi piirteitä. Esitelmä 15 Ville Venoärvi
Konvergenssi optimiin1/3 Trksteluss tilnne, oss gentin päämiehen välisten knsskäymisten määrä lähestyy ääretöntä. Voidn osoitt että tällöin gentti voidn sd toimimn optimlisell tvll. Perustuu päämiehen kykyyn rvioid gentin työpnost trkkilemll gentin työn tuloksi. Esitelmä 15 Ville Venoärvi
Konvergenssi optimiin2/3 2 Olkoot: xt = + ε t, E ε t = 0, vr ε t = σ. * Olkoot: gentin optimlinen työpnos. t 1 * Tällöin: At = xτ 0, t, os gentti vlitsee t τ = 1 optimlisen työpnoksen kikill periodeill. Näin ollen päämies voi pyrkiä pkottmn gentin * toimimn tvll, rnkisemll gentti os At :n itseisrvo trpeeksi suuri. Ongelmn kuink vlit se r olloin gentti tulee rnkist? Esitelmä 15 Ville Venoärvi
Konvergenssi optimiin3/3 Eräs vihtoehto on rnkist gentti os: Pätee A t 2 2 λσ ln ln t >, λ t Johto ks. kir: Hyödyntää mm. Iteroidun logritmin lki. Jos päämiehen genttiin soveltm rngistus trpeeksi voimks gentti vlitsee työpnoksekseen * optimlisen. > 1 Mllin heikkouksi/vhvuuksi: kotitehtävä. Esitelmä 15 Ville Venoärvi
Morlinen uhkpeli: äärellisesti toistuv peli. Agentin päämiehen välinen knsskäynti kestää T periodi. Kyseessä siis äärellisesti toistuv morlinen uhkpeli. Olkoot: xt = + ε t T Päämiehen hyöty: x t. w t T t = 1 Agentin hyöty: u c t t t = 1 Missä u ksvv konkvi sekä ct gentin kulutus. Oletuksen että x riippuu inostn :stä t Muutoin gentti sttisi hyötyä siitä että hän tietää iemmt työsuorituksens. Oletuksen ei diskonttust. t Esitelmä 15 Ville Venoärvi
Äärellisesti toistuv peli: ei mhdollisuutt luottoon1/4 Agentin kulutus vst hänen tulons kikiss periodeiss. Voidn osoitt että tässä mlliss täysi sitoutuminen vst pitkänn sitoutumist. Konkvin hyötyfunktions tki gentti hlu kulutt mhdollisimmn tsisesti. x t stt kuitenkin ksv onin periodin voimkksti suotuisn häiriön seuruksen. Päämies voi pyrkiä säilyttämään gentin tulovirrn mhdollisimmn tsisen Agentin päämiehen välinen sitoutuminen mhdollist tämän. Näin ollen gentin tulot riippuvt myös menneistä työtuloksistmuistiefekti. Jos päämiehen gentin välillä ei ole minkäänlist sitoutumist, päämies ei voi tsoitt gentin tulovirt tehottomuutt. Esitelmä 15 Ville Venoärvi
Äärellisesti toistuv peli: ei mhdollisuutt luottoon2/4 Täyden sitoutumisen optimiss on seurv ominisuus: Se roitt gentin säästämään vähemmän kuin hän hluisi. Olkoot: T =2kksi periodi, muodostetn: u wi + u wi = Ui, i, C i 1 m wi + p i wi, i 2 = 1 Minimoidn 2 i, s.e C i = 1... m pätee kun ensimmäisen periodin ulostulo on. x i Lgrnge + Jensenin epäyhtälö Esitelmä 15 Ville Venoärvi
Äärellisesti toistuv peli: ei mhdollisuutt luottoon3/4 Edellisen klvon muuttuien selitykset: w i,ensimmäisen periodin plkk, kun ensimmäisen periodin työtulos on x i. w i, toisen periodin plkk, kun ensimmäisen periodin työtulos on x i toisen x. i työpnos, onk gentti vlitsee toisell periodill, kun ensimmäisen periodin työtulos on x i. p työtuloksen x tn. millä thns periodill os vlittu työpnos on. Esitelmä 15 Ville Venoärvi
Äärellisesti toistuv peli: ei mhdollisuutt luottoon4/4 u w m p u w i i i = 1 Yllä olevst tuloksest voidn nähdä että gentti tosin hluisi säästää os vin voisi. Edellä esitetty tulos osoitt että tämän mllin soveltminen stt oll hnkl. Eräs rtkisu se että päämies määrää gentin periodikohtisen plkn lisäksi myös hänen kulutuksens. Tässä tpuksess gentin päämiehen välinen sitoutumttomuus, oht smn optimiin kuin täysi sitoutuminen. Esimerkkinä kehittyvien miden vilely sekä tilnhltioiden vuokrien välinen suhde. Esitelmä 15 Ville Venoärvi
Äärellisesti toistuv peli: mhdollisuus luottoon 1/5 Agentti voi säästää lint omn thtons mukn. Päämies ei voi hvit Agentin säästöä. Olkoot s T 1 gentin säästöt periodill T-1. Agentin hyötyfunktioksi sdn u w T + s T 1. Kosk päämies ei hvitse gentin säästöä hän ei yleensä tiedä tämän hyötyfunktiot morlisen uhkpelin ongelmn lisäksi, esiintyy myös hitllist vlikoitumist. Näin ollen mm. täyden pitkäikisen sitoutumisen rtkisut erovt toisistn. Esitelmä 15 Ville Venoärvi
Äärellisesti toistuv peli: mhdollisuus luottoon 2/5 Merkittävä tulos: Jos pitkäikinen optimi svutetn soveltmll puhtit strtegioit, vst toisest periodist lähtien voidn sovelt kustnnukset minimoiv toimint. Todistus: T = 2 si säästöt kun ensimmäisen periodin ulostulo on i. 0 gentin optimlinen toimint ensimmäisellä periodill. Muuten merkinnät kuten edellä. Esitelmä 15 Ville Venoärvi
Äärellisesti toistuv peli: mhdollisuus luottoon 3/5 Oletus: optimlinen sopimus iheutt toiminnon i toisell periodill, kun ensimmäisen ulostulo ollut i. Jos i ei ole kustnnukset minimoiv, tulee onkin toisen periodin knnustin roitteen oll ktiivinen. Näin ollen tulisi s.e p u w s = p u w + s i i + i i i i Esitelmä 15 Ville Venoärvi
Äärellisesti toistuv peli: mhdollisuus luottoon 4/5 Olkoot s optimlinen säästöen määrä kun gentti vlitsee. Tällöin s mksimoi s:n suhteen: u w i s + p u w Oletetn että sen sin että gentin vste optimliseen sopimukseen w i, w i olisi 0, s i, i gentti vstkin strtegill, s i,, missä =, s s. 0 i Tämän voidn osoitt prntvn gentin odotettv hyötyä. i + s i i = Esitelmä 15 Ville Venoärvi
Esitelmä 15 Ville Venoärvi Äärellisesti toistuv peli: mhdollisuus luottoon 5/5 Yllä olevss ensimmäinen yhtälöroite seur :n määritelmästä. Epäyhtälö yleensä pätee kosk on prempi vihtoehto säästöen määräksi kuin, nnetull. Kosk epäyhtälö rikkoo ensimmäisen periodin knnustinroitett, tulee oletuksen että ei ole kustnnukset minimoiv toiminto oll väärä. M.O.T + + < + + = + + k k k k k k k k k s w u p s w u p s w u p s w u p s w u p s w u p 0 0 0 0 0 0 i s s i
Yhteenveto Myös yhden periodin mittisess morlisen uhkpelin ongelmss stt oll dynmisi piirteitä. Jos morlisen uhkpelin ongelmn periodien määrä lähestyy ääretöntä voi päämies pyrkiä pkottmn gentin toimimn optimlisesti. Äärellisesti toistettvt pelit: Ei mhdollisuutt luottoon: optimiss gentti hluisi säästää. Mhdollisuus luottoon: optimiss sovellettv sekstrtegioit os sen hlutn omvn hyvät knnustin ominisuudet. Kulutuksen tsminen: muistiefekti : kunkin hetken kulutus riippuu myös menneistä nhetkistä. Eri sitoutumistyyppien suhteellinen tehokkuus määräytyy niiden kyvystä tsoitt gentin kulutust. Esitelmä 15 Ville Venoärvi
Kotitehtävä Äärettömästi toistuv morlinen uhkpeli. pohdi konvergenssi optimiin kohdss esitetyn mllin vhvuuksi/heikkouksi, os sitä pyritään soveltmn käytäntöön? b keksitkö mitään relimilmn tilnnett, oss esitettyä mlli voidn sovelt? Perustele. Esitelmä 15 Ville Venoärvi