Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisslaskenta B 1. välikoe 08.03.2011 / Kibble Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin seuraavat tiedot: Mat-1.2620 SovTnB 1. vk 08.03.2011 opiskelijanumero + kirjain TEKSTATEN sukunimi ja kaikki etunimet koulutusohjelma ja vuosikurssi mahdolliset entiset nimet ja koulutusohjelmat nimikirjoitus Sallitut apuvälineet: Vastausohje: Laskin ja Mellinin kaava- ja taulukkokokoelmat. Vastaa lhesti ja timekkäästi, mutta perustele ratkaisusi. Pelkkä lukuarvo vastauksena ei anna pisteitä. 1. Uurnassa on 5 punaista ja sinistä palloa. (c) Poimit uurnasta satunnaisesti kolme palloa takaisinpanolla. Mikä on todennäköiss, että saat kolme punaista palloa? Poimit uurnasta satunnaisesti kolme palloa ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköiss, että saat kolme punaista palloa? Poimit uurnasta satunnaisesti kolme palloa ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköiss, että viimeisenä poimittava pallo on punainen, jos kaksi edellistä ovat olleet sinisiä? Ratkaisu ksmkseen 1: Poimitaan kolme palloa uurnasta, jossa on 5 punaista ja sinistä palloa. Olkoon A i = {i. pallo on punainen} A c i = {i. pallo on sininen} Kstt todennäköiss on Pr(A 1 A 2 A 3 ) Koska poiminta tapahtuu takaisinpanolla, tapahtumat A 1, A 2 ja A 3 ovat riippumattomia. Siten riippumattomien tapahtumien tulosäännön perusteella Pr(A 1 A 2 A 3 ) = Pr(A 1 )Pr(A 2 )Pr(A 3 ) = (5/12) 3 = 0.023 mikä nähdään todeksi huomaamalla, että koska poiminnan jokaisessa vaiheessa uurnassa on 12 palloa, joista 5 on punaista. Kstt todennäköiss on Pr(A 1 A 2 A 3 ) 1/5
Koska poiminta tapahtuu ilman takaisinpanoa, tapahtumat A 1, A 2 ja A 3 eivät ole riippumattomia. Siten leisen tulosäännön perusteella Pr(A 1 A 2 A 3 ) = Pr(A 1 )Pr(A 2 A 1 )Pr(A 3 A 1 A 2 ) = (5/12)(4/11)(3/10) = 0.0455 (c) Kstt todennäköiss on Pr(A 3 A 1 c A 2 c ) Jos uurnassa on aluksi sinistä ja 5 punaista palloa ja 2 sinistä palloa otetaan pois, jäljelle jää 5 palloa kumpaakin väriä. Siten todennäköiss saada seuraavaksi punainen pallo on Pr(A 3 A 1 c A 2 c ) = 5/10 = 0.5 2. Valheenpaljastuskoneen luotettavuudesta on kätettävissä seuraavat tiedot: Henkilö, joka valehtelee tulee oikein luokitelluksi valehtelijaksi todennäköisdellä 0.9. Toisaalta henkilö, joka ei valehtele tulee virheellisesti luokitelluksi valehtelijaksi todennäköisdellä 0.05. Oletetaan, että valheenpaljastuskonetta kätetään ihmisjoukkoon, jossa 1 % valehtelee. Mikä on todennäköiss että tästä ihmisjoukosta satunnaisesti poimittu henkilö luokitellaan valehtelijaksi? Mikä on todennäköiss, että valehtelijaksi luokiteltu henkilö onkin rehellinen? Ratkaisu ksmkseen 2: Määritellään seuraavat tapahtumat: D = Valheenpaljastuskone luokittelee henkilön valehtelijaksi V = Henkilö valehtelee R = Henkilö ei valehtele Tehtävän asettelun mukaan seuraavat todennäköisdet tunnetaan: Pr(DV) = 0.9 Pr(DR) = 0.05 Pr(V) = 0.01 Komplementtitapahtuman todennäköisden kaavan mukaan Pr(R) = 1 Pr(V) = 0.99 Tehtävässä kstään todennäköisttä Pr(D). Kokonaistodennäköisden kaavan mukaan: Pr( D) Pr( R)Pr( D R) Pr( V )Pr( D V) 0.99 0.05 0.01 0.9 0.0585 Tehtävässä kstään todennäköisttä 2/5
Pr(RD) Baesin kaavan mukaan: Pr( R) Pr( D R) Pr( RD) Pr( R) Pr( D R) Pr( V ) Pr( D V ) 0.990.05 0.846 0.990.05 0.010.9 Huomaa, että todennäköiss sille, että valheenpaljastuskoneen valehtelijaksi luokittelema henkilö on todellisuudessa rehellinen, on erittäin korkea! 3. Heität virheetöntä rahaa 100 000 kertaa. Mikä on odotettavissa oleva kruunien lukumäärä? Mikä on todennäköiss, että kruunien lukumäärä on suljetulla välillä 49 900,50 200? Ohje: Kätä -kohdassa keskeiseen raja-arvolauseeseen perustuvaa normaalijakaumaapproksimaatiota. Ratkaisu ksmkseen 3: Olkoon X kruunien lukumäärä, kun virheetöntä rahaa heitetään 100 000 kertaa. X on satunnaismuuttuja, joka noudattaa binomijakaumaa Bin(n, p), jossa n = 100 000 p = 1/2 Siten odotettavissa oleva kruunien lukumäärä on E(X) = np = 50 000 Keskeisen raja-arvolauseen mukaan satunnaismuuttuja Z X E( X) D( X ) a N(0,1) jossa E(X) = np = 50 000 D 2 (X) = Var(X) = np(1 p) = 25 000 D(X) = 158.1 Standardoimalla satunnaismuuttuja X ja kättämällä standardoidun normaalijakauman N(0,1) taulukoita saadaan kstn todennäköisden approksimaatioksi: Pr(49900 X 50200) = Pr((49900 50000)/158.1 (X 50000)/158.1 (50200 50000)/158.1) = Pr( 0.63 Z 1.26) = Pr(Z 1.26) Pr(Z 0.63) 3/5
= 0.8962 0.2643 = 0.6319 4. Alla oleva taulukko esittää diskreettien satunnaismuuttujien X ja Y hteisjakauman pistetodennäköissfunktiota f XY (, ) = Pr(X = ja Y = ). Laske X:n ja Y:n korrelaatio. Ovatko X ja Y riippumattomia? f XY (,) 1 0 +1 +1 0 3/8 0 0 3/8 0 1/8 1 0 1/8 0 Ratkaisu ksmkseen 4: Satunnaismuuttujan X odotusarvo on E( X ) Pr( X ) ( 1 ) 0 (1 ) 0.25 8 8 4 Satunnaismuuttujan X 2. origomomentti on 2 2 2 2 E( X ) Pr( X ) ( 1) 0 1 0.5 Satunnaismuuttujan X varianssi on 2 2 2 2 1 1 Var( X ) D ( X ) E[ X E( X )] E( X ) [E( X )] 0.435 2 4 16 Satunnaismuuttujan X standardipoikkeama on D( X ) 0.6614 16 Satunnaismuuttujan Y odotusarvo on E( Y) Pr( Y ) 1 0 ( 1) 0.25 8 8 4 Satunnaismuuttujan Y 2. origomomentti on 1 3 1 2 2 2 2 E( Y ) Pr( Y ) (1) 0 ( 1) 0.5 Satunnaismuuttujan Y varianssi on 2 4/5
2 2 2 2 1 1 Var( Y) D ( Y) E[ Y E( Y)] E( Y ) [E( Y)] 0.435 2 4 16 Satunnaismuuttujan Y standardipoikkeama on D( Y) 0.6614 16 2 Määrätään ensin E( XY ) Pr( X, Y ) 0 Satunnaismuuttujien X ja Y kovarianssi on Cov( X, Y ) E[( X E( X ))( Y E( Y))] E( XY ) E( X ) E( Y) 1 1 1 0 0.0625 4 4 16 Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatio on 1 Cov( XY, ) 16 1 Cor( XY, ) 0.1429 D( X) D( Y) 16 16 Eivät ole riippumattomia, esim 1 1 1 Pr( X 1, Y 0) Pr( X 1) Pr( Y 0) 5/5