Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Samankaltaiset tiedostot
Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:

D ( ) E( ) E( ) 2.917

Ilkka Mellin (2008) 1/5

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat

1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

(x, y) 2. heiton tulos y

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 3. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Heliövaara 1

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat

A = B. jos ja vain jos. x A x B

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

30A02000 Tilastotieteen perusteet

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Johdatus tn-laskentaan torstai

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Tilastomatematiikka Kevät 2008

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, keskihajonta ja varianssi

Johdatus tn-laskentaan perjantai

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1

riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa.

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

tilastotieteen kertaus

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Juuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Tilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

V ar(m n ) = V ar(x i ).

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu ja MAOL taulukkokirjaa

Transkriptio:

Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisslaskenta B 1. välikoe 08.03.2011 / Kibble Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin seuraavat tiedot: Mat-1.2620 SovTnB 1. vk 08.03.2011 opiskelijanumero + kirjain TEKSTATEN sukunimi ja kaikki etunimet koulutusohjelma ja vuosikurssi mahdolliset entiset nimet ja koulutusohjelmat nimikirjoitus Sallitut apuvälineet: Vastausohje: Laskin ja Mellinin kaava- ja taulukkokokoelmat. Vastaa lhesti ja timekkäästi, mutta perustele ratkaisusi. Pelkkä lukuarvo vastauksena ei anna pisteitä. 1. Uurnassa on 5 punaista ja sinistä palloa. (c) Poimit uurnasta satunnaisesti kolme palloa takaisinpanolla. Mikä on todennäköiss, että saat kolme punaista palloa? Poimit uurnasta satunnaisesti kolme palloa ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköiss, että saat kolme punaista palloa? Poimit uurnasta satunnaisesti kolme palloa ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköiss, että viimeisenä poimittava pallo on punainen, jos kaksi edellistä ovat olleet sinisiä? Ratkaisu ksmkseen 1: Poimitaan kolme palloa uurnasta, jossa on 5 punaista ja sinistä palloa. Olkoon A i = {i. pallo on punainen} A c i = {i. pallo on sininen} Kstt todennäköiss on Pr(A 1 A 2 A 3 ) Koska poiminta tapahtuu takaisinpanolla, tapahtumat A 1, A 2 ja A 3 ovat riippumattomia. Siten riippumattomien tapahtumien tulosäännön perusteella Pr(A 1 A 2 A 3 ) = Pr(A 1 )Pr(A 2 )Pr(A 3 ) = (5/12) 3 = 0.023 mikä nähdään todeksi huomaamalla, että koska poiminnan jokaisessa vaiheessa uurnassa on 12 palloa, joista 5 on punaista. Kstt todennäköiss on Pr(A 1 A 2 A 3 ) 1/5

Koska poiminta tapahtuu ilman takaisinpanoa, tapahtumat A 1, A 2 ja A 3 eivät ole riippumattomia. Siten leisen tulosäännön perusteella Pr(A 1 A 2 A 3 ) = Pr(A 1 )Pr(A 2 A 1 )Pr(A 3 A 1 A 2 ) = (5/12)(4/11)(3/10) = 0.0455 (c) Kstt todennäköiss on Pr(A 3 A 1 c A 2 c ) Jos uurnassa on aluksi sinistä ja 5 punaista palloa ja 2 sinistä palloa otetaan pois, jäljelle jää 5 palloa kumpaakin väriä. Siten todennäköiss saada seuraavaksi punainen pallo on Pr(A 3 A 1 c A 2 c ) = 5/10 = 0.5 2. Valheenpaljastuskoneen luotettavuudesta on kätettävissä seuraavat tiedot: Henkilö, joka valehtelee tulee oikein luokitelluksi valehtelijaksi todennäköisdellä 0.9. Toisaalta henkilö, joka ei valehtele tulee virheellisesti luokitelluksi valehtelijaksi todennäköisdellä 0.05. Oletetaan, että valheenpaljastuskonetta kätetään ihmisjoukkoon, jossa 1 % valehtelee. Mikä on todennäköiss että tästä ihmisjoukosta satunnaisesti poimittu henkilö luokitellaan valehtelijaksi? Mikä on todennäköiss, että valehtelijaksi luokiteltu henkilö onkin rehellinen? Ratkaisu ksmkseen 2: Määritellään seuraavat tapahtumat: D = Valheenpaljastuskone luokittelee henkilön valehtelijaksi V = Henkilö valehtelee R = Henkilö ei valehtele Tehtävän asettelun mukaan seuraavat todennäköisdet tunnetaan: Pr(DV) = 0.9 Pr(DR) = 0.05 Pr(V) = 0.01 Komplementtitapahtuman todennäköisden kaavan mukaan Pr(R) = 1 Pr(V) = 0.99 Tehtävässä kstään todennäköisttä Pr(D). Kokonaistodennäköisden kaavan mukaan: Pr( D) Pr( R)Pr( D R) Pr( V )Pr( D V) 0.99 0.05 0.01 0.9 0.0585 Tehtävässä kstään todennäköisttä 2/5

Pr(RD) Baesin kaavan mukaan: Pr( R) Pr( D R) Pr( RD) Pr( R) Pr( D R) Pr( V ) Pr( D V ) 0.990.05 0.846 0.990.05 0.010.9 Huomaa, että todennäköiss sille, että valheenpaljastuskoneen valehtelijaksi luokittelema henkilö on todellisuudessa rehellinen, on erittäin korkea! 3. Heität virheetöntä rahaa 100 000 kertaa. Mikä on odotettavissa oleva kruunien lukumäärä? Mikä on todennäköiss, että kruunien lukumäärä on suljetulla välillä 49 900,50 200? Ohje: Kätä -kohdassa keskeiseen raja-arvolauseeseen perustuvaa normaalijakaumaapproksimaatiota. Ratkaisu ksmkseen 3: Olkoon X kruunien lukumäärä, kun virheetöntä rahaa heitetään 100 000 kertaa. X on satunnaismuuttuja, joka noudattaa binomijakaumaa Bin(n, p), jossa n = 100 000 p = 1/2 Siten odotettavissa oleva kruunien lukumäärä on E(X) = np = 50 000 Keskeisen raja-arvolauseen mukaan satunnaismuuttuja Z X E( X) D( X ) a N(0,1) jossa E(X) = np = 50 000 D 2 (X) = Var(X) = np(1 p) = 25 000 D(X) = 158.1 Standardoimalla satunnaismuuttuja X ja kättämällä standardoidun normaalijakauman N(0,1) taulukoita saadaan kstn todennäköisden approksimaatioksi: Pr(49900 X 50200) = Pr((49900 50000)/158.1 (X 50000)/158.1 (50200 50000)/158.1) = Pr( 0.63 Z 1.26) = Pr(Z 1.26) Pr(Z 0.63) 3/5

= 0.8962 0.2643 = 0.6319 4. Alla oleva taulukko esittää diskreettien satunnaismuuttujien X ja Y hteisjakauman pistetodennäköissfunktiota f XY (, ) = Pr(X = ja Y = ). Laske X:n ja Y:n korrelaatio. Ovatko X ja Y riippumattomia? f XY (,) 1 0 +1 +1 0 3/8 0 0 3/8 0 1/8 1 0 1/8 0 Ratkaisu ksmkseen 4: Satunnaismuuttujan X odotusarvo on E( X ) Pr( X ) ( 1 ) 0 (1 ) 0.25 8 8 4 Satunnaismuuttujan X 2. origomomentti on 2 2 2 2 E( X ) Pr( X ) ( 1) 0 1 0.5 Satunnaismuuttujan X varianssi on 2 2 2 2 1 1 Var( X ) D ( X ) E[ X E( X )] E( X ) [E( X )] 0.435 2 4 16 Satunnaismuuttujan X standardipoikkeama on D( X ) 0.6614 16 Satunnaismuuttujan Y odotusarvo on E( Y) Pr( Y ) 1 0 ( 1) 0.25 8 8 4 Satunnaismuuttujan Y 2. origomomentti on 1 3 1 2 2 2 2 E( Y ) Pr( Y ) (1) 0 ( 1) 0.5 Satunnaismuuttujan Y varianssi on 2 4/5

2 2 2 2 1 1 Var( Y) D ( Y) E[ Y E( Y)] E( Y ) [E( Y)] 0.435 2 4 16 Satunnaismuuttujan Y standardipoikkeama on D( Y) 0.6614 16 2 Määrätään ensin E( XY ) Pr( X, Y ) 0 Satunnaismuuttujien X ja Y kovarianssi on Cov( X, Y ) E[( X E( X ))( Y E( Y))] E( XY ) E( X ) E( Y) 1 1 1 0 0.0625 4 4 16 Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatio on 1 Cov( XY, ) 16 1 Cor( XY, ) 0.1429 D( X) D( Y) 16 16 Eivät ole riippumattomia, esim 1 1 1 Pr( X 1, Y 0) Pr( X 1) Pr( Y 0) 5/5