Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia X i ei ole oletettu riippumattomiksi tai samoin jakautuneiksi. Ratkaisu: M n on martingaali ja M 0 = 0, joten E(M n ) = E(M 0 ) = 0 ja V ar(m n ) = E(Mn) (E(M n )) = E(Mn). M n :n määritelmästä saadaan X n = M n M n. Koska M n on martingaali, E(X n M n,...,m 0 ) = E(M n M n,...,m 0 ) E(M n M n,..., M 0 ) = M n M n = 0 E(X n ) = E (E(X n M n,...,m 0 )) = E(0) = 0. Tästä seuraa, että V ar(x n ) = E(Xn ) (E(X n)) = E(Xn ). Toiselle momentille puolestaan saadaan: E(Xn M n,...,m 0 ) = E((M n M n ) M n,...,m 0 ) = E(Mn M nm n + Mn M n,..., M 0 ) = E(Mn M n,..., M 0 ) M n E(M n M n,...,m 0 ) + E(Mn M n,...,m 0 ) = E(Mn M n,..., M 0 ) Mn + Mn = E(Mn M n,..., M 0 ) Mn E(Xn ) = E ( E(Mn M n,...,m 0 ) ) E(Mn ) = E(Mn ) E(M n ).
Sijoittamalla varianssit toisten momenttien paikalle: V ar(m n ) = E(M n) = E(X n) + E(M n ) = V ar(x n ) + V ar(m n ) = V ar(x n ) + V ar(x n ) + V ar(m n ) = V ar(x n ) + V ar(x n ) +... + V ar(x ) + V ar(m 0 ) }{{} = n V ar(x i ). i=. Olkoon M n martingaali ja 0 k n. Osoita, että E(M n M k,..., M 0 ) = M k. Ratkaisu: Todistetaan väite induktiolla. Alkuaskel: Asetetaan k = n, jolloin =0 E(M n M n,...,m 0 ) = M n Induktioaskel: Oletetaan, että E(M n M k,...,m 0 ) = M k. Kokonaistodennäköisyyden kaavaa soveltamalla voidaan ehdolliseen odotusarvoon lisätä lisäehto M k = m k ja käydä kaikki M k :n mahdolliset arvot läpi todennäköisyyksillä painottaen. (Ajatellaan M n :ää diskreettinä satunnaismuuttujana. Jos M n on jatkuva, on summa M k :n kaikkien arvojen yli korvattava integraalilla.) E(M n M k,...,m 0 ) = E(M n M k = m k, M k,...,m 0 )P(M k = m k M k,..., M 0 ) m k = m k P(M k = m k M k,...,m 0 ) (induktio-oletus!) m k = E(M k M k,...,m 0 ) = M k (M n on martingaali) Näin ollen jos väite pätee k:lle, se pätee myös k :lle. Alku- ja induktioaskel yhdessä todistavat väitteen. 3. Polyan uurna. Uurnassa on mustia ja punaisia kuulia. Hetkellä 0 uurnassa on yksi musta ja yksi punainen kuula. Ajan hetkellä n uurnasta nostetaan satunnaisesti kuula. Kuula palautetaan uurnaan ja lisätään yksi valitun kuulan värinen kuula.
Olkoon X n uurnassa olevien punaisten kuulien suhteellinen osuus ajan hetkellä n. Osoita, että uurnassa olevien punaisten kuulien suhteellinen osuus on martingaali. Ratkaisu: Koska uurnaan lisätään jokaisella aika-askeleella yksi kuula, ajan hetkellä n uurnassa on n+ kuulaa. Jos punaisten osuus on X n, punaisia kuulia on (n+)x n kappaletta. Tällöin: E(X n+ X n,...,x 0 ) = X n (n + )X n + Eli X n on martingaali. = X n + (n + )X n + ( X n ) (n + )X n = X n. 4. Olkoon S n = X +... + X n, missä S 0 = 0. Satunnaismuuttujat X i ovat riippumattomia ja niille pätee: P(X i = ) = p, P(X i = ) = p =. Osoita, että ( stokastinen prosessi M n = p) on martingaali :n suhteen. Ratkaisu: Prosessille M n pätee ( ( ) ) ( + ( ) ) +X n+ E(M n+ S n,...,s 0 ) = E p S n,...,s 0 = E p S n,...,s 0 ( ) ( ( ) ) Xn+ ( ) ( ( ) ) Xn+ = E p p S n,...,s 0 = E p p ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) = p + = ( + p) p p p p ( ) ( ) = ( p + p) = = M n, p p joten M n on martingaali S n :n suhteen. Näin ollen M n on martingaali (esim. Durrett s.06). 5. Epäreilu reilu peli. Määritellään satunnaismuuttujat X n rekursiivisesti s.e. X 0 = ja X n Tas(0, X n ). Jos U, U,... ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, joille pätee U i Tas(0, ), voidaan satunnaismuuttujajono X n esittää muodossa X n = U n U n U 0, missä U 0 =. a) Osoita, että M n = n X n on martingaali.
Ratkaisu: Jos X n Tas(0, X n ), X n /X n Tas(0, ) = U n. Joten X n = U n X n =... = U n U n U 0. E(M n X n,...,x 0 ) = E( n X n X n,...,x 0 ) = E( n U n X n X n,...,x 0 ) = n X n E(U n X n,...,x 0 ) = n X n E(U n ) = n X n = n X n = M n. Eli M n on martingaali satunnaismuuttujajonon X n suhteen ja tästä seuraa, että M n on martingaali. b) Osoita yhtälön ln(x n ) = ln(u ) +... + ln(u n ) avulla, että X n :lle pätee lim n (/n)ln(x n ) =. Ratkaisu: U i ovat riippumattomia, joten vahvasta suurten lukujen laista seuraa: ln(x n ) = ln(u ) +... + ln(u n ) =: S n lim (/n)ln(x S n n) = lim n n n = E(ln(U i)) =, sillä E(ln(U i )) = ln(u)f 0 U(u)du = ln(u)du = / (uln(u) u) =. 0 c) Näytä b)-kohdan avulla, että lim n M n = 0, eli tässä reilussa pelissä pelaajan rahasumma suppenee kohti nollaa, kun pelataan äärettömän monta kierrosta. Ratkaisu: M n = n X n ln(m n ) = nln + ln(x n ) n ln(m n) = ln + n ln(x n) ln < 0. Jos lim n n ln(m n) < 0, oltava lim n ln(m n ) = eli lim n M n = 0. 6. Lognormaalijakautuneet pörssikurssit. Olkoot X, X,... riippumattomia satunnaismuuttujia, joille pätee X i = e Y i, missä Y i N(µ, σ ). Satunnaismuuttujat noudattavat siis lognormaalijakaumaa. Millä µ:n ja σ:n arvoilla prosessi M n = M 0 X 0
X X n on martingaali? (Tämä on ns. diskreetti Black-Scholes-malli osakkeen hinnalle. X n voidaan tulkita osakkeen arvon suhteelliseksi muutokseksi yhdessä aikaaskeleessa.) Ratkaisu: Prosessin M n määritelmästä saadaan: M n = M 0 X X X n M n = X n M n. Tutkitaan, onko M n satunnaismuuttujajonon X n suhteen martingaali, mistä siis seuraa, että M n on martingaali. E(M n X n,...,x 0 ) = E(X n M n X n,...,x 0 ) = M n E(X n X n,...,x 0 ) = M n E(X n ) = M n, missä viimeinen yhtälö toteutuu jos ja vain jos E(X n ) =. X n :n odotusarvo saadaan laskemalla seuraavasti: E(X n ) = E(e Yn ) = π = e µ+σ / π e y e (y µ) σ dy )) e (y (µ+σ σ dy = e µ+σ /, sillä viimeisessä integraalissa integroidaan N(µ + σ, σ )-jakautuneen satunnaismuuttujan tiheysfunktiota yli kaikkien mahdollisten arvojen (muuttujan odotusarvo on siis µ + σ ja varianssi σ ). Integraali on yhtä suuri kuin yksi. Nähdään siis, että M n on martingaali X n :n suhteen, jos E(X n ) = e µ+σ / =, eli µ:lle ja σ:lle on pädettävä: µ + σ / = 0.