Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6 Yksikkökustnnusten minimin ehdot 7 7 Komprtiivist sttiikk pitkän ikvälin kustnnusfunktioll 7 8 Yrityksen voiton mksimointiongelm 9 9 Monopolistisen kilpilutilnteen yritys 0 0 Yrityksen duliteori Tuotntofunktion prmetrien estimointi kustnnusfunktion kutt 2 Yrityksen tuotntofunktiost Ajtelln yrityksen suunnittelevn toimintns kiinteän jnjkson ikn Olkoon tämä jnjkso kuukuden pituinen, eli trkstelln yrityksen lyhyen ikvälin tuotntosuunnitelm Yrityksen jtelln tuottvn vin yhtä lopputuotett j tuotntopnoksi oletetn on n kpl Tuotntofunktio on muoto y f Z, Z z,, z n, f : R n R, olev sklrirvoinen kuvus, missä y kpl/kk on yrityksen kuukusittinen tuotntonopeus j z i pnoksen i määräyksikkö/kk on pnoksen i kuukusittinen käyttönopeus, i,, n
Olkoon tuotntofunktio k:nnen steen homogeeninen funktio, fs Z s k f Z; s R Tällöin dy ds ksk f Z Määritellään tuotnnon sklmittkvjousto seurvsti: E dy/y ds/s dy s ds y Edellä määritellyn k:nnen steen homogeenisen funktion skljousto on E ks k f Z s s k f Z ksk + k k Määritellään pnoksen i keskimääräinen tuottvuus kuukuden ikn seurvsti y z i jonk mittyksikkö on kpl/z i :n määräyksikkö Tuotnnontekijän z i rjtuottvuus määritellään seurvsti y lim y z i 0 z i zj 0,j i Rjtuottvuus mitt pnoksen keskimääräistä tuottvuutt pnoskäytön mrginlisen lisäyksen oslt Kikkien pnosten rjtuottvuuksien oletetn olevn positiivisi j lenevn rjtuottvuuden oletetn pätevän, 2 y 2 < 0, i,, n 2 Pnosten substituoitvuus Trkstelln tuotntonopeutt tietyllä vkiotsoll, fz,, z n Kokonisdifferentioidn tämä luseke: z dz + + z n dz n d 0 Oletetn nyt, että kikki muut pnoskäytöt pidetään vkioin, j trkstelln tuotntonopeuden vkion pitävää mrginlist vihtosuhdett khden pnoksen k j l välillä, dz i 0, i,, n, i k, l dz k + dz l 0 dz k z l dz l 2 / z l / < 0
Tämä vst smtuotosisokvntti-käyrän kulmkerroint koordintistoss z l, z k Differentioidn isokvnttikäyrän kulmkerroin uudestn z l :n suhteen käyrän muodon tutkimiseksi z l dzk dz l z l z l 2 f z 2 l + z l 2 2 f dz k z l dz l z l 2 f z l z 2 k dz k dz l + 2 f z l 2 2 f z 2 l 2 f / z l z l / 2 f z l z l 2 f / z l z 2 k / 3 z l [ 2 2 2 f z l 2 z l 2 f ] z l 3 2 2 f 2 f + z l z l z 2 k fk 2 f ll + f l 2 f kk 2f k f l f kl, missä f k /, f kl 2 f/ z l jne Nyt viimeisimmän muodon sulkeiss olev os voidn esittää neliömuoton f 2 k f ll + f 2 fll f l f kk 2f k f l f kl f k, f l kl fk f kl Yo neliömuoto on negtiivisesti määritelty, jos f ll < 0 j f ll f kk f 2 kl > 0, mitkä ehdot toteutuvt tuotntofunktiost tekemiemme oletusten perusteell kun f kl on itseisrvoltn f ll, f kk :t pienempi Kosk sulkulusekkeiden edessä olev kerroin on negtiivinen, yo osittisderivtt on positiivisesti määritelty, eli isokvnttikäyrä em koordintistoss on konveksi 3 Yrityksen teori Jos yrityksen tuotntofunktio on k:nnen steen homogeeninen funktio, j jos tuotnnon skljousto eli funktion homogeenisuusste E k <, tuotnto on joustmtont skln suhteen lenevt skltuotot Jos tuotnnon skljousto E k >, tuotnto on joustv skln suhteen ksvvt skltuotot, j jos tuotnnon skljousto E k, tuotnto on ykkösjoustv skln suhteen vkioiset skltuotot 3 f kk f l
Trkstelln yrityksen kuukusikustnnusten minimointiongelm kiinteällä tuotntonopeudell kpl/kk, joss kikki pnoskäytöt voidn vlit optimlisesti pitkän ikvälin tuotntosuunnitelmn mukinen kustnnusfunktio: min C Z,λ w i z i + λ[ fz,, z n ], missä Z yrityksen pnoskäyttövektori j w w,, w n pnosten yksikköhintvektori Ensimmäisen kertluvun ehdot ovt C 0 w i λ 0, i,, n, C λ 0 fz, z n 0 Yo n+ yhtälön j n+ tuntemttomn z, z n, λ muodostm yhtälöryhmä on tietyin ehdoin rtkistviss muotoon z i z i w,, w n,, i,, n, λ λ w,, w n,, missä z i ovt kuukusittiset kustnnukset minimoivt pnoskäytöt pnosten kysyntäfunktiot Jos n 2, minimointiongelmn toisen kertluvun ehdot voidn joht seurvn reunustettu Hessin mtriisi vstvn determinntin vull, 0 f f 2 H f λf λf 2 f 2 λf 2 λf 22 Tämä voidn kirjoitt muodoss H λ[f 2 f 22 2f f 2 f 2 + f 2 2 f ] f f 2 f 22 f 2 f 2 f f Jott optimipiste olisi lokli minimi, yo neliömuodon tulisi oll negtiivisesti määritelty, eli kosk λ > 0, niin tulisi oll f 22 < 0 j f f 22 f 2 2 > 0 Tämä toteutuu kun f < 0 j f 22 < 0 itseisrvot dominoivt f 2 :n rvo, jok s oll posit ti negt näin oletmme olevn Yleistys n:n pnoksen tilnteeseen on esitetty Chingiss f 2 4
4 Mittkvedut tuotnnoss Merkitään yrityksen pitkän ikvälin tuotntosuunnitelmn mukist kuukusittist kustnnusfunktiot seurvsti: C w i z i w, Määritellään yksikkökustnnukset j rjkustnnukset seurvsti C j C w i Väite: Rjkustnnukset yksikkökustnnukset yksikkökustnnusten minimipisteessä, eli C C C kun 0 Todistus: C y n 0 w i C 0 C y 2 0 w i C Kun yksikkökustnnukset ovt vähenevät, rjkustnnukset ovt yksikkökustnnuksi pienemmät C < C Tällöin tuotnnoss vllitsee mittkvetuj yksikkökustnnukset lenevt tuotntonopeuden myötä j päinvstoin 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys Pitkän ikvälin kustnnusten minimointiongelmn ensimmäisen kertluvun ehtoj hyväksikäyttäen sdn C w i λ, z i w i z i w, λ C 5 z i w,
Jetn nämä puolittin keskenään C C n n z i z 2 i Olkoon tuotntofunktio k:nnen steen homogeeninen, jolloin voidn esittää muodoss fsz s k f Z, j sille pätee d ds z i ks k n z i ks k 3 Käyttämällä kust minimointiongelmn ens kertluvun ehtoj sdn: dy 0 4 d Sijoittmll tulokset 3 j 4 2:een, voimme kirjoitt C C ks k Kun k, tuotnnoss vllitsee vkioiset skltuotot j ks k, eli rjkustnnukset ovt yksikkökustnnusten suuruiset Kysymys: Milloin ks k >, eli rjkustnnukset ovt yksikkökustnnuksi pienemmät j tuotnnoss vllitsee mittkvetuj? Trkstelln tilnnett s > eli logs > 0 jolloin pnoskäyttöä lisätään Kosk logritmifunktio on rgumenttins suhteen ksvv kuvus, niin x > y kun logx > logy Olkoon nyt s > j k > eli logk > 0 j k < 0 Tuotnnoss on mittkvetuj, ksvvt skltuotot eli lenevt yksikkökustnnukset, kun: ks k > logks k > log 0 logk + k logs > 0 logk > klogs Tällöin siis pätee: ks k > C < C Jos ts k < niin k > 0 j logk < 0 Tällöin logk < klogs eli ks k <, eli tuotnnoss vllitsee lenevt skltuotot j ksvvt yksikkökustnnukset: ks k < C > C 6
6 Yksikkökustnnusten minimin ehdot C n y0 w i C y 2 0 n w i + y n 0 w i 2 z i y 2 0 C y 2 0 2 y n 0 w i C 4 2 z i w i y + 2 C C 2 0 y 2 0 Yksikkökustnnusten minimissä C / C /, eli jälkimmäinen yhteenlskettv 0 joten yo osittisderivtt on positiivinen, jos 2 z i y 2 0 > 0, i,, n Tämä toteutuu, jos pnoksill on lenev rjtuottvuus, eli mitä suurempi tuotntonopeus on, sitä enemmän pnoksi trvitsee lisätä smn tuotnnon lisäyksen iknsmiseksi 7 Komprtiivist sttiikk pitkän ikvälin kustnnusfunktioll Yrityksen kuukusikustnnusten minimointiongelm on seurv min C w i z i + λ[ fz,, z n ], Z,λ j sen ensimmäisen kertluvun ehdot ovt: C 0 w i λ, i,, n, C λ 0 fz, z n Yhtälöryhmä on tietyin ehdoin rtkistviss muotoon: z i z i w,, w n, z i w,, i,, n, λ λ w,, w n, λ w, Yrityksen pitkän ikvälin tuotntosuunnitelmn mukisess kuukusittisess kustnnusfunktioss kikki pnoskäytöt vlitn optimlisesti, joten se voidn esittää muodoss C w i zi w,, 5 7
missä z i z i w,, i,, n ovt yrityksen kuukusikustnnukset minimoivt pnoskysyntäfunktiot j w w,, w n on pnosten yksikköhintvektori Derivoimll yo kustnnusfunktio pnoshinnn w j suhteen, sdn: C w j z j w, + w i z i w j 6 Olettmll z i z i, i,, n j derivoimll ensimmäisen kertluvun viimeisin ehto puolittin w j :n suhteen, sdn: w j 0 z i w j 7 Sijoittmll ensimmäisen kertluvun n ensimmäistä ehto muodoss w i lusekkeeseen 6 j käyttämällä hyväksi tulost 7, sdn λ C w j z j w, + λ z i w j z j w, Tätä tulost kutsutn Shephrdin lemmksi, jok oltisiin stu myös suorn Envelope -teoreemn nojll Derivoimll luseke 5 :n suhteen, sdn: C w i z i Sijoitetn tähän ehdot w i λ, i,, n j käytetään viimeisimmästä ensimmäisen kertluvun ehdost puolittin :n suhteen derivoimll stu tulost, zi, seurvn tuloksen johtmiseksi: C w i z i λ z i λ suurui- Optimiss Lgrngen kertoimen rvo λ on siis rjkustnnusten C nen 8
8 Yrityksen voiton mksimointiongelm Kirjoitetn yhtä hyödykettä tuottvn yrityksen kuukusittinen voitto seurvsti Π py w z w 2 z 2, missä p eur/kpl on yrityksen lopputuotteen yksikköhint, y kpl/kk yrityksen tuotntonopeus, w eur/h, w 2 eur/h 2 ovt khden tuotntopnoksen yksikköhinnt j z h /kk, z 2 h 2 /kk vstvt pnoskäytöt Muodostetn voiton mksimointiongelmst Lgrngen funktio G py w z w 2 z 2 + µ[y fz, z 2 ], missä sidosehto määrittelee yrityksen tuotntofunktion Oletetn, että yrityksen toimilll vllitsee täydellinen kilpilu, eli yrityksen lopputuotteen hint määräytyy mrkinoill eikä yritys voi siihen vikutt Voiton mksimoinnin ensimmäisen kertluvun ehdot ovt: G 0 w i µ 0, i, 2, 8 G y 0 p + µ 0, 9 G µ 0 y fz, z 2 0 0 Toisen kertluvun ehdot mksimille voidn joht seurv reunustettu Hessin mtriisi vstv determinntti trkstelemll 0 f f 2 H f µf µf 2 0 f 2 µf 2 µf 22 0 0 0 0 Tästä voidn lske kolme nollst erov pääminori: H 2 f 2 < 0, H 3 µ[f 2 f 22 2f f 2 f 2 + f 2 2 f ] H 4 H µ[f f 22 f 2 2 ] Nyt H 3 :ss olev hksulkuluseke voidn esittää neliömuoton f f f 22 f 2 f 2 f 2 f f 2 jok on negtiivisesti määritelty kun f 22 < 0 j f f 22 f 2 2 > 0, joiden oletmme olevn voimss Näillä ehdoill H 3 > 0 j H 4 < 0, sillä optimitilnteess µ p < 0 Nämä ovt riittävät ehdot mksimille Ching s 322 j 385 9
Ensimmäisen kertluvun ehtojen muodostmss yhtälöryhmässä on 4 yhtälöä j 4 tuntemtont, z, z 2, y, µ sekä 3 eksogeenist prmetri w, w 2, p Rtkistn 9:st p µ j sijoitetn yhtälöihin 8 Tällöin smme yhtälöryhmän w i p, i, 2, y fz, z 2, joss on 3 yhtälöä j kolme tuntemtont z, z 2, y Tietyin ehdoin yhtälöryhmä on rtkistviss muotoon z i z i w, w 2, p, i, 2, y fz, z 2 joiden perusteell yrityksen mksimlinen kuukusittinen voitto voidn ilmist muodoss Π py w z w 2 z 2 pfz, z 2 w z w 2 z 2 Johdetn seurvt komprtiivisen sttiikn tulokset Π z p + z 2 z z z 2 w w 2 w z w z 2 w w w z + p z w + p z2 w 2 z, z w z 2 w Π fz, z z 2 + p p z p + z 2 z w z 2 p p w z 2 2 p fz, z 2 + p z w z p + p z2 w 2 z 2 p y Nämä tulokset oltisiin stu suorn Envelope -teoreemn vull Yllä e- sitetty voiton mksimointiongelm vst iemmin johdettu kustnnusten minimointiongelm, kun p µ λ C /, eli kustnnusten minimin ehtojen lisäksi vditn, että lopputuotteen hint on rjkustnnusten suuruinen voiton mksimoinnin ehto täydellisen kilpilun tilnteen yritykselle 9 Monopolistisen kilpilutilnteen yritys Monopolistisen kilpilutilnteen yrityksen kuten myös monopoliyrityksen oletetn tuntevn menekkifunktions, eli korkeimmn mhdollisen yksikköhinnn, joll tietty määrä yrityksen lopputuotteit kuukudess menee kupksi Merkitään tätä menekkifunktiot kuluttjien keskimääräinen mksuhlukkuusfunktio seurvsti p gy, dp/dy g y < 0 jonk käänteiskuvus on y g p Kirjoitetn yrityksen kuukusittinen voittofunktio 0
seurvsti Π py Cy gyy Cy, C y > 0 missä kustnnukset C riippuvt tuotntonopeudest Yrityksen voiton mksimointiongelmn ensimmäisen kertluvun ehto on j riittävä ehto on Π y 0 g yy + gy C y 0 2 Π y 2 g yy + 2g y C y < 0 Tämä ehto toteutuu, jos C y 0 j g y 0, joiden ehtojen oletetn toteutuvn Yrityksen rjtulot ovt nyt p + g yy j rjkustnnukset ovt C y Muoktn rjtuloj seurvsti p + dp dy y p + dp y p + dy p dy p dp y p + Ed, missä E d on kysynnän hintjousto Optimiehto voidn siten kirjoitt muodoss p + Ed C y + C y C y 2 E d p E d p Nyt E d p C y, eli äärimmäisen joustvn kysynnän tpuksess svutetn täydellisen kilpilutilnteen hinnoittelusääntö Kosk E d < 0 2 osoitt, että p > C y Toislt mitä joustmttommp kysyntä on, sitä korkempi on voiton mksimoiv hinttso 0 Yrityksen duliteori Edellä olemme johtneet yritykselle kuukusittiset tuotntokustnnukset minimoivn kustnnusfunktion tietyn tuotntofunktion vull Tiettyä tuotntofunktiot vst siis tietty kustnnusfunktio, mikä riippuvuus voidn esittää myös päinvstisesti Tätä riippuvuutt kutsutn yrityksen duliteoriksi Trkstelln sitä yhden esimerkin vull Olkoon yrityksen kustnnusfunktio muoto y C +b A w +b w 2 b b +b,
missä 0 <, b < ovt mllin prmetrej pljit lukuj A on teknologivkio, y tuotntonopeus j w, w 2 pnosten yksikköhinnt Tällöin Shephrdin lemmn nojll C w C w 2 y +b w2 A bw y +b bw A w 2 b +b z, 3 +b z2 4 Korotetn 3 puolittin potenssiin /b mol puolet positiivisi j rtkistn seurvsti: w 2 y b b z +b b 5 w A Vstvsti 4:st sdn w 2 w y A b z 2 +b 6 Eliminoidn pnoshinnt w j w 2 settmll 5 j 6 yhtäsuuriksi y b b z A +b y b b z A 2 +b Rtkistn tästä y A + b z +b b z2 +b Korotetn tämä puolittin potenssiin b/ j rtkistn sen jälkeen y y Az z 2 b, joten tuotntofunktio on Cobb-Dougls -muoto Tuotntofunktiot estimoitess täytyy tunte pnoskäytöt z, z 2 Kuitenkin pnoshinnt ovt yleensä tunnettuj suureit, mutt ei in pnoskäytöt Yrityksen duliteori voidn siten käyttää tuotntofunktion prmetrien, b estimoinniss epäsuorsti kustnnusfunktion vull Tuotntofunktion prmetrien estimointi kustnnusfunktion kutt Olkoon kustnnusfunktio muoto y C +b A w 2 +b w 2 b b +b
Tehdään logritmimuunnos lnc ln + b + [lnw 2 lnb] [ ln lna ln b + lny + lnw + α + β lny + γ lnw + δ lnw 2 [lny lna] + [lnw ln] lnw 2 b ] lnb Jos muuttujist C, y, w, w 2 on iksrjt tietyltä jnjksolt, yo yhtälön prmetreille α, β, γ, δ sdn estimoitu numeeriset rvot Näiden vull :n j b:n rvot sdn rtkistu seurvsti: β β b; sijoitetn tämä seurvn γ /β b /β b + b bβ b γ β j β γ β γ β Tällöin /β j A:n numeerinen rvo rtkistn seurvsti: α ln/β β lna γ lnγ/β γ ln γ/β A exp [ /β ln/β γ/β lnγ/β γ/β ln γ/β α/β ] 3